La interpolación numérica consiste en aproximar el valor de una función en un punto dado entre dos puntos conocidos mediante el uso de polinomios. Se pueden usar polinomios de primer, segundo o mayor grado dependiendo de la cantidad de puntos conocidos. La fórmula de Newton permite determinar el polinomio de interpolación para aproximar el valor buscado.

1. INTERPOLACIÓN
NUMERICA

2. INTERPOLACIÓN
• El problema de interpolación consiste en encontrar el valor de la función
F(x), de la cual sólo se conocen algunos puntos, para un valor de x que
se encuentre entre dos valores consecutivos conocidos. En pocas
palabras podriamos decir que:
• "La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en
el que conocemos los valores en los extremos".
• El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan
una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:
• (xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)
• y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta
función.

3. INTERPOLACION
• INTERPOLACION CON ESPACIOS IGUALES
• Consideremos el primer intervalo de la siguiente tabla

4. INTERPOLACION
• Se trata de evaluar la función F(x) en un punto intermedio xk
• Debido a que la función F(x) se desconoce, lo que se puede hacer
es unir los puntos por una recta

5. INTERPOLACION
• La ecuación de esta recta esta dada por la expresión:

6. INTERPOLACION
• Que es un polinomio de primer grado en k, siendo esta la ecuación
de la recta que une los puntos dados en la figura. Este polinomio
se valuará para el valor xk deseado con lo que se obtendrá una
aproximación para F(xk)
• Considerando tres puntos de la función definida en la tabla es
posible unirlo por un polinomio de segundo grado, cuya ecuación
esta dada por la expresión

7. INTERPOLACIÓN
• Simplificando
• Generalizando, si se consideran j + 1 puntos de la función definida
de la tabla, se podrá pasar un polinomio de grado j por los j + 1
puntos dados, cuya ecuación será
• Esta expresión recibe el nombre de formula de interpolación de
Newton y es aplicable a cualquier valor xk.

8. INTERPOLACION
• Ejemplo:
• Dada la siguiente tabla, aproximar el valor de la función F(X) para
x = 1.5

9. INTERPOLACIÓN
• Al obtener sus diferencias hacia adelante se genera la siguiente
tabla

10. INTERPOLACION
• La formula de interpolación de Newton queda
• Considerando x0 = 1, y0 = 1, se obtiene
• Sustituyendo

11. INTERPOLACION
• Donde k esta dada por la expresión
• Sustituyendo
• Efectuando las operaciones

12. INTERPOLACION
• Por lo tanto F(1.5) = 4.375
• Si se desea obtener la expresión de la función F(x) definida en
forma tabular, se puede hacer interpolando un valor xk = x, al
sustituir este valor se obtiene
• Por lo tanto:

13. INTERPOLACION
• Efectuando operaciones

14. INTERPOLACION
• Obtener el valor de y para x = 7.1
• La tabla de diferencias de la función es:

15. INTERPOLACION
• ,
• La interpolación no puede efectuarse directamente de la tabla de
diferencias de la función, ya que faltarían las segundas y terceras

16. INTERPOLACION
• diferencias, para x0 = 7.1. Sin embargo, es posible invertir la tabla
que define a la función y obtener nuevamente su tabla de
diferencias

17. INTERPOLACION
• Sustituyendo los valores
• El valor de k esta dado por la expresión
• Sustituyendo:

18. INTERPOLACION
• Efectuando operaciones
• Por lo tanto F(7.1) = 11.970
• Obsérvese que al invertir la tabla de diferencias, lo único que
cambio fue el signo de las diferencias de orden impar; teniendo en
cuanta esto, la interpolación puede efectuarse directamente
sobre la tabla original, cambiando solamente signos de las
diferencias de orden impar y siguiendo la diagonal ascendente
,marcada en la tabla original

19. INTERPOLACION
• b) El valor de y para x = 10.4
• Se ha calculado el valor de y para una x dada entre dos valores de
xk de la tabla que define a la función. Ahora se trata de calcular el
valor de y para una x fuera del rango de los valores xk de la tabla.
A este problema se le conoce como extrapolación.
• Como para x = 13 no se tienen definidas las diferencias de la
función, habrá que determinarlas aceptando que las terceras
diferencias son constantes e iguales a 6. A partir de la tercera
diferencia se puede determinar la segunda; con la segunda la

20. INTERPOLACION
• primera y con esta ultima el valor de la función para x = 13. En la
siguiente tabla se han marcado con un asterisco los valores
encontrados con este procedimiento:

21. INTERPOLACION
• Interpolando:
• Luego:
• Efectuando operaciones
• Por tanto: F(10.4) = 16.172