El documento explica cómo calcular el área entre dos funciones en un intervalo dado. Primero, se sustituyen las funciones específicas y se integran con las reglas de la constante y la potencia. Luego, se evalúan los límites de integración para obtener el área final. El área entre las curvas x2 y 27 - x2 en el intervalo dado es 54 unidades cuadradas.

1. Cálculo del área entre dos funciones en un intervalo dado Prof. León Hurtado

2. Prof. León Hurtado a x y

3. Prof. León Hurtado A f a x y

4. Prof. León Hurtado A g a x y

5. Prof. León Hurtado A f A g a x y

6. Prof. León Hurtado a x y A f A g

7. Prof. León Hurtado Sustituyendo a g ( x ) y f ( x ) por las funciones específicas Agrupamos los términos semejantes y simplificamos Aplicando las Propiedades de la suma (5) y del Coeficiente (4) Integramos con las Reglas de la Constante y Potencia a x y

8. Prof. León Hurtado Evaluando en los límites de integración Simplificamos Solo nos queda determinar el valor de la constante a ¿Qué sucede con las funciones en el valor x = a ? a x y

9. Prof. León Hurtado Así que evaluamos las funciones en a las igualamos y despejamos el valor de a En éste punto a las dos curvas se cortan, es decir valen los mismo ¿Qué sucede con las funciones en el valor x = a ? a x y

10. Prof. León Hurtado Ahora sustituimos el valor de a en la ecuación obtenida para el Área Finalmente damos nuestra Respuesta : El área entre las curvas es x 2 y 27 – x 2 es de 54 unidades cuadradas a y resolvemos x y

11. Prof. León Hurtado Así que evaluamos las funciones en a Determinemos el valor de a , o sea, la coordenada x del punto donde las gráficas de las dos funciones se cortan Nuestro intervalo de Integración es: x y a

12. Prof. León Hurtado Para obtener el área bajo la curva f ( x ) , desde el origen hasta 3 , simplemente calculamos la Integral: Nuestro intervalo de Integración es: 3 x y

13. Prof. León Hurtado Ahora, sí recordamos de clases anteriores, sí el área se encuentra por debajo del eje de las x debemos cambiarle el signo. Así que el área será: Para obtener el área “bajo la curva” g ( x ) desde el origen hasta 3 Calculamos la siguiente integral: Nuestro intervalo de Integración es: x y 3

14. Prof. León Hurtado Eliminamos el corchete y agrupamos: Para determinar el área entre las curvas solamente debemos sumar las áreas “ bajo la curva” descritas: Reemplazando por las integrales escritas: Como podemos apreciar, llegamos a la misma fórmula que en el caso anterior. ¿Qué podemos sacar en conclusión? x y 3

15. Prof. León Hurtado En conclusión , cuando queremos obtener el área entre dos curvas, simplemente Hallamos la Integral de la diferencia (resta) de la función que representa la curva superior menos la que representa a la curva inferior x y 3

16. Prof. León Hurtado Agrupando términos semejantes y simplificando: Reemplazando por las funciones dadas: Calculamos la integral y evaluamos x y 3

17. Prof. León Hurtado Área bajo la curva Área entre dos curvas Calculamos la Integral de la diferencia (resta) de la función de la curva superior menos la de la curva inferior en el intervalo dado

18. x y a 2 a 3 a 4 a 1 a 5 a 6 a 7