El documento describe el estándar IEEE 754 para números de punto flotante. Explica que este estandar define tres formatos (simple, doble y extendida precisión) para representar números de punto flotante usando tres campos: signo, exponente y mantisa. También describe cómo se realizan operaciones como suma, resta, multiplicación y división usando esta representación.

1. Matemática de Punto
Flotante

2. Estándar IEEE 754
 En 1985, el IEEE (Institute of Electrical and Electronics
Engineers) publicó la norma IEEE 754.
 Una especificación relativa a la precisión y formato de los
números de "punto flotante". Incluye una lista de las
operaciones que pueden realizarse con dichos números.
 La adopción de este estándar se debe a que el hardware que
los sustenta también lo sigue.
 Ampliamente usado en las operaciones computacionales de
punto flotante, y es utilizada por muchas de las
implementaciones de CPU y FPUi

3. Representación del punto flotante
 El Estándar utiliza tres formatos: Precisión Simple, Doble, y Extendida
 Cuádruple Precisión, no es contemplado en el estándar.
 En todos los casos se utilizan tres campos para describir el número: El signo S, el exponente k
y la mantisa n, que se almacenan en ese orden en memoria (no en los registros del procesador)
Precisión Bytes Bits
Simple 4 32
Double 8 64
Extendida >=10 >=80
Cuádruple 16 128

4. Representación del punto flotante
 El signo S, se almacena como es usual en un bit (0 significa positivo, 1 negativo).
 El exponente k se almacena en forma de un número binario con signo según una regla
que, como veremos a continuación, depende del rango y del formato.
 La mantisa n se almacena en forma normalizada, salvo cuando se representan
mantisas especiales.
 El esquema de la distribución utilizada para los de simple y doble precisión es el
indicado.
 Simple precisión:
 Doble precisión:
mm mmmmmmmmmmmmmmmmmmmEEEEEEEEs
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm……..………mmmmmmmEEEEEEEEEEEs

5. Operaciones con punto flotante y
Algoritmos de operaciones
 Cuando sumamos o restamos dos números en coma flotante se deben comparar los
exponentes y hacerlos iguales, para lo cual hay que desplazar o alinear uno de ellos
respecto al otro.
 Dados dos números en representación en coma flotante como:

6. ‣ Las operaciones de suma y resta se definen de la siguiente forma.

7. ‣ Y para realizar estas operaciones en representación en coma flotante deberíamos aplicar las fórmulas vistas
con anterioridad

8. La multiplicación y la división en punto flotante son más sencillas de realizar. Vemos la formula que nos
permitirá realizar estas operaciones manualmente
X * Y (𝑚 𝑥 * 𝑚 𝑦 ) 2 𝑥𝑒+𝑦𝑒
X ÷ Y (𝑚 𝑥 * 𝑚 𝑦 ) 2 𝑥𝑒−𝑦𝑒
Operaciones con punto flotante y
Algoritmos de operaciones

9. Verificaciones
Verificación Texto XD-Argumentos-Letanías Resultado
𝑁𝛼𝑁 Si alguno de los argumentos es NaN (Q o S) 𝑁𝛼𝑁
∅ ∅ Si ambos argumentos son ∅ 𝑄𝑁𝛼𝑁
∞ ∞ Si ambos argumentos son ∞ 𝑄𝑁𝛼𝑁
∞ 𝑥 Si el dividendo es ∞ ∞
𝑥 ∞ Si el divisor es ∞ ∅
𝑥 ∅ Si el divisor es ∅ ∞
∅ 𝑥 Si el dividendo es ∅ y el divisor cualquier número ∅

10. Propagación del Error
 Operaciones simples pueden incrementar el error del resultado
 La multiplicación y la división son operaciones “seguras”
 La suma y la resta presentan serios problemas
 Los números más pequeños se pierden cuando se implican números de
magnitudes abismales
 Pérdida Inevitable: Benigna o Catastrófica
 Iteraciones con problemas de pérdida
 Un método de cálculo puede ser estable o inestable
0.0000000000000000000100034500021
0.00000000333000004500000000000004
4512124400333000004500000043254237553469900000487687698765
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000005

11. Errores
 De redondeo
 Desbordamiento y Subdesbordamiento
 Cuando se representan cantidades fuera del rango permisible,
Desbordamiento: cantidades muy grandes;
Subdesbordamiento: cantidades muy pequeñas
 De Cuantificación
 Errores ocasionados por la aproximación
 Corte y Redondeo

12. Tipos de Punto Flotante
Decimal de Precisión
Limitada
‣ Lo mismo que IEEE 754
‣ El exponente se interpreta en
base 10
‣ No hay errores de redondeo
inesperados
‣ Compacto y rápido
‣ Más lento que los formatos
binarios
Decimal de Precisión
Arbitraria
‣ Bignum
‣ Incrementa la longitud de la
mantisa y el exponente
‣ Costo en memoria y velocidad
Cálculo Simbólico
‣ Programa que conozca todas las
reglas matemáticas
‣ Representación de datos como
símbolos
‣ Complejos
‣ Lentos
‣ Conocimientos matemáticos
significativos
‣ Inapropiados para tareas diarias
en programación

13. Errores de Redondeo
Denominadores Grandes
‣ Cuanto mayor es el denominador
de una fracción, más dígitos se
necesitan
Dígitos Periódicos
‣ Fracciones con denominadores
primos que no estén en la base
Números Irracionales
‣ No se pueden representar como
una fracción regular

14. Métodos de Redondeo
Redondeo hacia el cero
‣ Se omiten los dígitos sobrantes
‣ Método más sencillo
‣ Provoca más error del necesario
Redondeo al Alza
‣ Si la fracción truncada es ≥ que la
mitad de la base se incrementa en
uno
Redondeo mitad al par
‣ Si la fracción truncada es mayor
que la mitad de la base se
incrementa el último dígito
‣ Si es igual a la mitad de la base se
incrementa sólo si el resultado es
par
‣ Método por defecto de IEEE 754

15. Comparación
 La mayoría de los números punto flotante terminan siendo ligeramente imprecisos
 Si la imprecisión es pequeña, puede ignorarse
 Sin embargo, números que se esperan iguales pueden al final no serlo
float a = 0.15 + 0.15;
float b = 0.1 + 0.3;
if (a==b){
System.out.println(“A y B son iguales”); //Quiza sea falso
}
else
{
System.out.println(“A y B no son iguales”); //Probablemente sea correcto
}

16. Solución para Comparación
Margen de Error
if (Math.abs(a-b)<0.00001){}
 Forma negativa de hacerlo
 Las diferencias pueden ser muy grandes para
números muy pequeños o muy pequeñas
para números muy grandes
if (Math.abs((a-b)/b)<0.00001){}
 Falla en:
 Cuando tanto a como b son cero es NaN
 Cuando sólo b es cero el cociente retorna ∞ o
es mayor que épsilon
 Devuelve falso cuando a y b son muy
pequeños (+ y -).
 Resultado no conmutativo
𝜀 = 𝑏1−𝑡

17. Solución para
Comparación public static boolean nearlyEqual(float a, float b, float
epsilon)
{
final float absA = Math.abs(a);
final float absB = Math.abs(b);
final float diff = Math.abs(a - b);
if (a == b) { // Atajo, maneja los infinitos
return true;
} else if (a * b == 0) { /* a o b o ambos son cero
El error relativo no es importante aquí*/
return diff < (epsilon * epsilon);
} else { // Usar el error relativo
return diff / (absA + absB) < epsilon;
}
}
‣ Crear Método
‣ Pasa las pruebas para
muchos casos especiales
importantes
‣ En algunas situaciones
puede fallar
‣ Comportamiento
inapropiado para algunas
aplicaciones

18. Bibliografía
‣ Métodos Numéricos para Ingenieros 5nta Edición
‣ http://support.microsoft.com/kb/78113/es
‣ http://support.microsoft.com/kb/42980/es
‣ http://protoncompiler.blogspot.mx/2010/09/matematica-de-punto-flotante.html
‣ http://www.infor.uva.es/~fernando/asignaturas/estruct/leccion7
‣ http://www.edudevices.com.ar/download/articulos/buceando/BC_MCU_42_ED.pdf

19. ¡Muchas Gracias
por su Atención!
CRÉDITOS:
RAMÍREZ GONZÁLEZ FERMÍN
RODRÍGUEZ CRUZ ROBERTO CARLOS
URIBE GAMIÑO AURA ELIZABETH