INVESTIGACION OPERATIVA I.pdf

Ciencias Empresariales Investigación de Operaciones
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
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INDICE
UNIVERSIDAD PRIVADA DOMINGO SAVIO
SANTA CRUZ – BOLIVIA
PROGRAMA ANALITICO
IDENTIFICACIÓN
Carreras : Ingeniería de Sistemas
Ingeniería Comercial
Materia : Investigación de Operaciones
Carga Horaria : 60 hrs
Nivel : Sexto Semestre
Prerequisitos : Estadística II
I. JUSTIFICACION
Toda organización empresarial día a día se enfrenta a la toma de decisiones (en lo
que se refiere a la administración de sus recursos) para desarrollar cada una de las
actividades que relacionan a la misma con el medio en el que se desenvuelve; es en
este sentido que de la administración óptima de los recursos dependerá el éxito o el
retraso de la organización, por lo que contar con herramientas científicas para
plantear, desarrollar y resolver problemas de optimización permitirá a la organización
una mejor toma de decisiones.
II. OBJETIVO DE LA MATERIA
Proporcionar al estudiante las herramientas básicas y técnicas necesarias, para el
planteamiento, desarrollo y solución de modelos matemáticos que expresen la
Optimización de los recursos (humanos, materiales y económicos) inherentes a toda
organización empresarial; coadyuvando en la toma decisiones con fundamentos
científicos y racionales.
III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
El alumno al concluir el curso podrá:

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a) Formular situaciones reales como modelos matemáticos de
optimización y/o asignación de recursos en organizaciones
empresariales.
b) Establecer una buena comprensión y adquirir destreza en el desarrollo
de problemas de optimización de recursos.
c) Analizar y resolver problemas de optimización, a través de la aplicación
de modelos matemáticos.
d) Interpretar y diferenciar los distintos tipos de modelos y soluciones.
IV. UNIDADES PROGRAMÁTICAS
UNIDAD 1
INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Objetivos de la unidad:
Analizar los orígenes, precursores y evolución de la Investigación de
operaciones (I.O.).
Conceptualizar y clasificar los distintos modelos matemáticos de optimización.
Comprender y aplicar la metodología que emplea la I.O. para la solución de
problemas de optimización.
1.1 Introducción
1.2 Origen de la Investigación de Operaciones (I.O.)
1.3 Precursores y estudiosos de la I.O.
1.4 Noción, Concepto y alcance de la I.O.
1.5 Modelos matemáticos de decisión y su clasificación
1.5.1Concepto de modelo
1.5.2Clasificación de los modelos matemáticos de decisión
a) Modelos Determinísticos
b) Modelos Estocásticos (Probabilísticos)
c) Modelos Estáticos
d) Modelos Dinámicos
1.6 Metodología de la Investigación de Operaciones
1.7 Aplicaciones de la I.O.
1.8 Beneficios con la aplicación de la I.O.

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UNIDAD 2
FORMULACIÓN DEL MODELO DE PROGRACMACIÓN LINEAL
Comprender y aplicar el procedimiento para formular un Modelo de
Programación Lineal (M.P.L.)
Desarrollar las diferentes formas de presentación de un Modelo de
Programación Lineal (M.P.L.)
2.1 Introducción
2.2 Concepto de Programación Lineal
2.3 Procedimiento para Formular un M.P.L.
2.3.1Definición de Variables
2.3.2 Función Objetivo
2.3.3 Restricciones Estructurales o Funcionales
2.3.4 Restricciones de No negatividad
2.4 Formas de presentación de un M.P.L.
2.4.1Formulación Canónica
2.4.2 Formulación Estándar
2.5 Planteamiento de los recursos por unidad de actividad
2.6 Problemas de aplicación
UNIDAD 3
SOLUCIÓN DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Analizar, representar é interpretar el método gráfico para resolver un M.P.L.
Analizar la teoría del Método Simplex
Aplicar los métodos de resolución Simplex, de las M’s y de las dos fases para
determinar la solución óptima.
3.1 Introducción
3.2 Método Gráfico
3.2.1Fundamentos y mecánica del método gráfico
3.2.2Región Factible (Solución Básica Factible)
3.2.3 Solución Óptima
3.2.4 Casos Especiales
3.3 Método Simplex

4
3.3.1 Teoría del Método Simplex
3.3.2 Definición Matricial del problema de P.L.
3.3.3 Planteamiento del Algoritmo Simplex
3.4 Solución Óptima del problema de P.L.
3.4.1 Método Simplex
3.4.2 Método de las M’s
3.4.3 Método de las Dos Fases
UNIDAD 4
TEORIA DE LA DUALIDAD
Analizar y comprender la Teoría de la Dualidad.
Plantear y resolver problemas de P.L. mediante el método DualSimplex
4.1 Introducción
4.2 Formulación matemática del problema Dual
4.3 Comparación Primal Dual
4.4 Interpretación Económica del problema Dual
4.5 Solución de problemas duales
4.5.1Método Dual Simplex
UNIDAD 5
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Analizar y aplicar los cambios en los parámetros y determinar como afectan
en los resultados finales.
Establecer controles y rangos de validez para las soluciones.
5.1 Introducción
5.2 Cambios Discretos
5.2.1Cambios en el vector b
5.2.2Cambios en el vector c
5.2.3 Cambios en los coeficientes tecnológicos
5.3 Cambios Continuos
5.4.1 Cambios continuos en el vector b

5
5.4.2 Cambios continuos en el vector c
UNIDAD 6
MODELO DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN
Establecer é identificar los problemas de transporte de recursos.
Analizar, formular y resolver problemas de transporte.
Analizar, formular y resolver problemas de asignación de recursos
6.1 Introducción
6.2 Problema de Transporte
6.2.1 El Modelo de Transporte
6.2.2 Algoritmo del Modelo de Transporte
6.2.3 Balanceo de problemas de transporte
6.3 Solución del Modelo de Transporte
6.3.1Método de la Esquina Noroeste
6.3.2 Método de Aproximación de Vogel
6.3.3 Método del Costo Mínimo
6.4 Problema de Asignación
6.4.1Formulación del modelo
6.3.2 Solución del modelo (Método Húngaro)
UNIDAD 7
TEORIA DE REDES
Establecer é identificar los problemas de optimización mediante la teoría de
redes.
Analizar, formular y resolver problemas de redes, aplicando los métodos de
la ruta más corta, el flujo máximo y árbol de extensión mínima.
Analizar, formular y resolver problemas de planeamiento de actividades
mediante CPM y PERT
7.1 Introducción
7.2 Definición de Red
7.3 Problema del Árbol de extensión mínima

6
7.4 Problema de la Ruta mas corta
7.5 Problema del Flujo máximo
7.6 Redes de Planeamiento
7.6.1Proceso de Planificación por red
7.6.2 Representación de la red
7.7 CPM. y PERT
7.7.1Representación de la red
7.7.2 La Ruta Crítica
7.7.3 Diferencias entre CPM y PERT
V. METODOLOGÍA DE LA ENSEÑANZA
La metodología que se empleará es de objetivos por unidad, con exposiciones teórico
prácticas; apoyados estos por material visual ( acetatos ) preparado para la
interpretación gráfica de los diferentes conceptos desarrollados en clase. Además la
realización de trabajos de investigación individual y por grupos (desarrollo de ejercicios
prácticos), que permitan una mayor comprensión por parte del alumno.
VI. SISTEMA DE EVALUACIÓN
Materia tipo C ( Sistema Modular )
Examen parcial 40 puntos
Actividad Académica 20 puntos
Examen final 40 puntos
TOTAL 100 puntos
VII. BIBLIOGRAFÍA
BASICA:
1. Taha, Hamdy A., Investigación de Operaciones una introducción (Sexta
edición), Prentice Hall, 1998
2. Terrazas Pastor, Rafael, Modelos Lineales de Optimización (tercera
edición), Etreus Impresores , 2005
3. Lieberman Hiller, Frederik, Introducción a la Investigación de
Operaciones.

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LAS ORIENTACIONES METODOLÓGICAS
1. Introducción.
La asignatura de Investigación de Operaciones se constituye en una de las asignaturas
importantes dentro del ciclo profesional en el ámbito de las ciencias administrativas y de ingeniería,
esto por la relación de coherencia temática que presenta con otras asignaturas de la malla
curricular como Administración, Costos, Producción, Proyectos y específicamente con asignaturas
que sirvan de base para la toma de decisiones en los distintos niveles de las Organizaciones
empresariales privadas y/o estatales.
La resolución de sistemas de inecuaciones y las operaciones con matrices, además de los
conceptos básicos de administración, costos y producción son un requisito básico de conocimiento
previo para la asignatura de Investigación de Operaciones.
El nivel de profundidad y complejidad que abarca el desarrollo del módulo esta enfocado a
desarrollar competencias básicas y complementarias; en cuanto se refiere a la toma de decisiones,
proporcionando al estudiante los elementos científicos para el análisis, solución é interpretación de
problemas de aplicación práctica.
1.1. Objetivos Generales
Desarrollar habilidades cognitivas desde un enfoque científico para la solución de problemas
relacionados con los distintos ámbitos de las organizaciones empresariales, encaminados éstos
a respaldar la toma de decisiones.
Desarrollar las capacidades de abstracción y síntesis por medio de la aplicación del
razonamiento matemático a través de los distintos métodos de solución de problemas,
interpretación de resultados y toma de decisiones.
Los objetivos planteados están orientados a profundizar las siguientes competencias:
· Formular matemáticamente los problemas.
· Resolver problemas planteados matemáticamente.
· Analizar é interpretar los resultados obtenidos.

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2. DESARROLLO.
2.1. NÚCLEOS TEMÁTICOS.
PRIMER ENCUENTRO
UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Analizar los orígenes, precursores y evolución de la Investigación de operaciones (I.O.).
Conceptualizar y clasificar los distintos modelos matemáticos de optimización.
Comprender y aplicar la metodología que emplea la I.O. para la solución de problemas
de optimización.
1.6 Introducción
1.7 Origen de la Investigación de Operaciones (I.O.)
1.8 Precursores y estudiosos de la I.O.
1.9 Noción, Concepto y alcance de la I.O.
1.10 Modelos matemáticos de decisión y su clasificación
1.5.1 Concepto de modelo
1.5.2 Clasificación de los modelos matemáticos de decisión
a) Modelos Determinísticos
b) Modelos Estocásticos (Probabilísticos)
c) Modelos Estáticos
d) Modelos Dinámicos
1.7 Aplicaciones de la I.O.
1.8 Beneficios con la aplicación de la I.O.
UNIDAD 2: FORMULACIÓN DEL MODELO DE PROGRACMACIÓN LINEAL
Comprender y aplicar el procedimiento para formular un Modelo de Programación
Lineal (M.P.L.)

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Desarrollar las diferentes formas de presentación de un Modelo de Programación
Lineal (M.P.L.)
2.5 Introducción
2.3.1 Definición de Variables
2.3.2 Función Objetivo
2.3.3 Restricciones Estructurales o Funcionales
2.3.4 Restricciones de No negatividad
2.4.1 Formulación Canónica
2.4.2 Formulación Estándar
2.6 Problemas de aplicación
SÍNTESIS
En el desarrollo de las unidades 1 y 2 que corresponden al primer encuentro se presentan:
· Definiciones y conceptos teóricos relacionados con las bases de la Investigación de
operaciones.
· El análisis de las etapas de formulación de un Modelo de Programación Lineal y sus
diferentes formas de presentación.
· Las aplicaciones prácticas de la formulación de los distintos modelos de programación
lineal, paso a paso.
SEGUNDO ENCUENTRO
UNIDAD 3: SOLUCIÓN DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Analizar, representar é interpretar el método gráfico para resolver un M.P.L.
Analizar la teoría del Método Simplex
Aplicar los métodos de resolución Simplex, de las M’s y de las dos fases para determinar
la solución óptima.

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3.5 Introducción
3.6 Método Gráfico
3.2.1 Fundamentos y mecánica del método gráfico
3.2.2 Región Factible (Solución Básica Factible)
3.2.3 Solución Óptima
3.7 Método Simplex
3.3.1 Teoría del Método Simplex
3.3.2 Definición Matricial del problema de P.L.
3.3.3 Planteamiento del Algoritmo Simplex
SINTESIS
En el desarrollo de los temas que corresponde al segundo encuentro presentan:
· Definiciones de las distintas características que presenta los métodos de solución de
M.P.L.
· Los algoritmos de resolución de los distintos métodos (gráfico y analíticos)
· Aplicaciones de los métodos en formulados en las unidades 1 y 2.
TERCER ENCUENTRO
3.8 Solución Óptima del problema de P.L.
3.4.1 Método Simplex
3.4.2 Método de la M
3.4.3 Método de las Dos Fases
UNIDAD 4: TEORIA DE LA DUALIDAD
Analizar y comprender la Teoría de la Dualidad.
Plantear y resolver problemas de P.L. mediante el método DualSimplex
4.1 Introducción
4.2 Formulación matemática del problema Dual

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4.3 Comparación Primal Dual
4.4 Interpretación Económica del problema Dual
4.5 Solución de problemas duales
4.5.1 Método Dual Simplex
UNIDAD 5: ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Analizar y aplicar los cambios en los parámetros y determinar como afectan en los
resultados finales.
Establecer controles y rangos de validez para las soluciones.
5.1 Introducción
5.2 Cambios Discretos
5.2.1 Cambios en el vector b
5.2.2 Cambios en el vector c
5.2.3 Cambios en los coeficientes tecnológicos
5.3 Cambios Continuos
5.4.1 Cambios continuos en el vector b
5.4.2 Cambios continuos en el vector c
SINTESIS
En el desarrollo de los temas que corresponde al tercer encuentro se presenta:
· La solución de un M.P.L. por medio de los métodos de penalización (método de la M y
métodos de las dos fases)
· La formulación, análisis é interpretación del modelo dual y su interpretación económica.
· El análisis de sensibilidad, variando los recursos para obtener una nueva solución a partir
de la solución ya obtenida.
CUARTO ENCUENTRO
UNIDAD 6: MODELO DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN

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Establecer é identificar los problemas de transporte de recursos.
Analizar, formular y resolver problemas de transporte.
Analizar, formular y resolver problemas de asignación de recursos
6.5 Introducción
6.6 Problema de Transporte
6.6.1 El Modelo de Transporte
6.6.2 Algoritmo del Modelo de Transporte
6.6.3 Balanceo de problemas de transporte
6.7 Solución del Modelo de Transporte
6.3.1 Método de la Esquina Noroeste
6.3.2 Método de Aproximación de Vogel
6.3.3 Método del Costo Mínimo
6.8 Problema de Asignación
6.4.1 Formulación del modelo
6.3.2 Solución del modelo (Método Húngaro)
SINTESIS
En el desarrollo de los temas que corresponde al cuarto encuentro se presenta:
· Definición y planteamiento del modelo de transporte y asignación.
· Aplicación de los métodos (M.E.N., M.C.M. y M.A.V.) para obtener una solución básica
factible inicial.
· Optimización de la solución básica factible inicial, é interpretación de la solución óptima.
· Aplicaciones del modelo de asignación y transbordo.
METODOLOGIA DE ESTUDIO PARA EL ESTUDIANTE
La sugerencia metodológica de estudio que puede conducirle a una interesante experiencia de
aprendizaje en la asignatura, considera importante los siguientes principios:
1º Lectura de las definiciones, conceptos y características de los algoritmos presentados en
el texto guía.
2º Analizar los ejemplos resueltos en el texto guía, mediante la revisión y verificación de los
resultados.
3º Resolver los ejercicios planteados, que se encuentran a continuación de los ejemplos
resueltos.

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NUCLEO TEMATICO PARA ESTUDIO INDEPEDIENTE
A través de interacción por plataforma (foro, tareas y chat) y clases practicas a acordar,
se proporcionará orientación y pautas el estudio de los temas que contempla este núcleo
temático.
UNIDAD 7: TEORIA DE REDES
Establecer é identificar los problemas de optimización mediante la teoría de redes.
Analizar, formular y resolver problemas de redes, aplicando los métodos de la ruta
más corta, el flujo máximo y árbol de extensión mínima.
No
Si
Lectura de conceptos,
definiciones y
características de los
algoritmos
Analizar, revisar y
verificarlos ejemplos
¿Entendió los ejemplos
resueltos?
Leer, para estudio
comparativo
TAHA
Resolver tarea
Asistir al encuentro del
día sábado. El docente
realizará las
aclaraciones y
profundizará el tema

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7.8 Introducción
7.9 Definición de Red
7.10 Problema del Árbol de extensión mínima
7.11 Problema de la Ruta mas corta
7.12 Problema del Flujo máximo
2.2. BIBLIOGRAFÍA COMENTADA
1. El Libro de texto de Investigación de Operaciones, cuyo autor es el Ing. John Walter Soria
Martínez., es el resultado de siete años de interacción y experiencia continua en la enseñanza
de las matemáticas y de la ingeniería, adecuándose a las características heterogéneas de
conocimientos previos de estudiantes que buscan su profesionalización en aulas de nuestra
Universidad.
Presenta ejemplos de fácil comprensión y aplicaciones básicas que van gradualmente
incrementando su complejidad hasta alcanzar un nivel intermedio, que proporcionan al
estudiante bases sólidas que le permitan alcanzar un mayor logro en la comprensión de los
temas.
2. Terrazas Pastor, Rafael, “ Modelos Lineales de Optimización (tercera edición)”, Etreus
Impresores , 2005
Este libro sustenta la base teórica fundamental de la asignatura, proporcionando de manera
clara los esquemas de las características, algoritmos y ejemplos que presentan los distintos
temas considerados en el desarrollo de la asignatura.
3. Taha, Hamdy A., “Investigación de Operaciones una introducción (Sexta edición)” ,
Prentice Hall, 1998
Este libro sustenta también la base teórica fundamental y nos proporciona parte de los ejemplos
que se desarrollan en la asignatura, además de ofrecernos el software “TORA” que nos permite
resolver los ejercicios haciendo uso de la computadora.
2.3. MATERIAL EXPLICATIVO

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El texto guía incluye ejercicios de aplicación práctica, con un nivel básico simple que
gradualmente se incrementa su complejidad.
2.4.EJEMPLIFICACIÓN
· Una aplicación práctica y relevante de la Investigación de Operaciones, específicamente
de la programación lineal es: Si suponemos que se producen tres productos (A, B y C)
en una fábrica, los cuales proporcionan utilidades diferentes (UA, UB y UC); conocemos
también que los recursos (Materia prima, Mano de obra, maquinaria, etc) disponibles son
limitados. También se tiene información respecto a la demanda máxima o mínima de los
tres productos.
¿Usted como responsable de la empresa debe decidir cuantas unidades de cada
producto (A, B y C) deben producirse para que su utilidad total sea máxima?
Análisis cualitativo del problema
Si bien en este tipo de problemas se pueden tomar decisiones respaldadas por la experiencia,
en muchos de los casos esas decisiones tienen un grado muy elevado de incertidumbre. Debido
a que muchas de nuestras decisiones pueden ocasionar grandes pérdidas, entonces debemos
recurrir a la aplicación de algunas herramientas científicas que nos permitan reducir la
incertidumbre; es en este sentido que la I.O. nos proporciona métodos y técnicas para tomar
decisiones que tengan un menor grado de incertidumbre.
2.5. MÉTODOS A UTILIZAR
Encuentro físico
El docente realizará una evaluación diagnóstica cualitativa del núcleo temático correspondiente
al encuentro, por medio de preguntas y respuestas orales.
A través de exposición magistral consolidará los elementos más relevantes del núcleo temático;
así mismo, profundizará las extensiones de los temas tratados.
Planteará ejemplos representativos que contribuyan a la comprensión profunda del tema. La
resolución de dichos ejemplos se realizará en forma grupal cooperativo o individual.
Encuentro virtual
El estudiante y el docente dispondrán de dos sesiones semanales, cada sesión con tiempo de
duración de dos horas para interactuar mediante la plataforma (foro, tarea y chat).
El docente planteará ejemplos representativos para realizar seguimiento del estudio
independiente del estudiante; así mismo, responderá a las consultas de los estudiantes

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atendiendo dudas referentes al texto guía, las tareas y/o prácticos planteados.
3. CONCLUSIONES
La segunda unidad del texto Guía presenta un menú de ejercicios propuestos (práctico 1), las
unidades 3, 4 y 5 son aplicadas en parte del grupo de ejercicios del práctico 1.Los ejercicios
propuestos para la unidad 7, serán complementados por el docente durante el desarrollo del
curso; los cuales deberán ser resueltos en los plazos y términos señalados en plataforma del
sistema.

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UNIDAD 1
INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
1.1 Introducción
El término de Investigación de operaciones muy a menudo es asociado con la aplicación
de técnicas matemáticas que permiten representar y analizar por medio de un modelo,
problemas reales que implican la toma de decisiones.
El campo de estudio de la I.O. (llamada también Ciencia de la Administración),
aparentemente es nuevo, pero éste data desde la segunda guerra mundial; pero su
impacto social es tremendo, contándose actualmente con aplicaciones que van desde el
aspecto laboral hasta el plano criminal, pasando por los sistemas de salud, transporte,
sistemas financieros, sistemas de comercialización, pólución, todos los ámbitos de la
Industria en general, además de otros.
En la actualidad la I.O. no solo se aplica en los ámbitos privados, si no tambien en el
sector de los servicios públicos gubernamentales, tanto en los países desarrollados como
los países en vías de desarrollo; alcanzando una presencia relevante debido al avance
tecnológico en el desarrollo de los computadores, que permiten resolver algoritmos
complejos.
1.2 Origen de la Investigación de Operaciones
En el siglo pasado, las organizaciones industriales de U.S.A. y el Reino Unido estaban
constituidas por un número reducido de empleados los que ocupaban espacios muy
pequeños, los cuales eran dirigidos por una sola persona.
Todo este panorama cambia en el periodo de la Primera revolución industrial, la cuál
trajo consigo el desarrollo de la energía, las maquinarias y los equipos. Al mecanizarse
la producción ocurrió la segmentación funcional y geográfica de la administración;
consecuentemente vino la división del trabajo y aparecieron las responsabilidades de

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producción, finanzas, mercado, personal, ingeniería é investigación y desarrollo.
Específicamente se puede señalar que la I.O. surge durante la Segunda Guerra mundial,
con los intentos de asignar de manera óptima los recursos que contaban los frentes a las
operaciones militares. Posteriormente como resultado de la revolución industrial, ha ido
cobrando cada vez mayor importancia, dado el crecimiento y la complejidad de las
nuevas organizaciones.
Desde un principio los científicos y matemáticos se han interesado por desarrollar el
concepto de optimización, intentado encontrar la mejor solución a un determinado
problema; entonces podemos decir que la idea de optimizar proviene de la antigüedad,
donde la riqueza de las naciones ha estado determinada por su capacidad de crear y
utilizar bienes ú objetos que sean útiles al ser humano.
A partir del crecimiento industrial, la gestión y asignación óptima de los recursos a las
actividades se torna mas compleja y difícil; ésta necesidad hace que se encamine la
búsqueda de un instrumento científico más eficiente que apoye el manejo
organizacional y sobre todo que ayude a una eficiente y eficaz toma de decisiones. Es
en este contexto que la investigación de operaciones y el concepto de optimización
comienzan a jugar un rol muy importante en el mundo moderno.
Fue el doctor “George Dantzig” que el año 1947, resumiendo los trabajos de muchos
de sus antecesores, reconoce la estructura matemática de muchos problemas de logística
militar y desarrolla el “método simplex”, lo cuál dio inicio a la programación lineal.
Finalmente en los años 50, la optimización y la investigación de operaciones reciben
otro impulso con el advenimiento de la era espacial, donde los problemas de trayectoria
óptima de los proyectiles, son tratados a través de la programación dinámica y el
principio del máximo; extendiéndose rápidamente su utilización a la ingeniería y
economía.
1.3 Precursores y estudiosos de la Investigación de Operaciones
La investigación de operaciones ha ido evolucionando y desarrollándose a través del
tiempo gracias al aporte realizado por muchos estudiosos y científicos que se han

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constituido en los precursores é impulsores de ésta fundamental herramienta. Entre los
precursores más importantes se pueden destacar a:
PRECURSORES Y ESTUDIOSOS DE LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES
PRECURSORES FECHA APORTE
Lagrange 1736 – 1813 Teoría de los multiplicadores
Euler 1703 – 1783 Cálculo de variaciones
Gauss 1777 – 1855
Teoría de mínimos cuadrados y
La teoría del control
Taylor 1881 Estudio de tiempos
Gilbreth 1885 Estudio de movimientos
Erlang 1908 Teoría de colas
Brandeis 1910 Teoría de la administración científica
Lanchester 1915 Simulación
Kantarovich 1930 – 1950
Estudio sistemático del problema de
Asignación de recursos
Dantzig 1947 Programación lineal
Shannon 1948 Teoría de la información
Bellman 1955 Programación dinámica
Dantzig – Fulkerson – Jonson 1955 Redes de optimización
Gomory – Land – Doig – Everreth Programación entera
Von Neumann 1974 Teoría de juegos y dualidad
Kuhn – Tucker Programación no lineal
Rafia Análisis de decisiones
Arrow – Karlin – Scarf Whitin Inventarios
Fuente: Modelos Lineales de Optimización (Rafael Terrazas P.)
1.4 Naturaleza y alcance de la Investigación de Operaciones
Para poder definir la Investigación de Operaciones, es necesario analizar cinco
elementos importantes y esenciales que constituyen la esencia de la I.O., estos son:
Sistemas, Modelos, Optimización, Decisión y Método Científico.

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ELEMENTOS ESENCIALES DE LA I.O.
Si relacionamos estos cinco elementos desde un enfoque del Mundo Real y el Mundo
Ideal, donde se hace una abstracción del Sistema, para luego de un proceso de análisis
encontrar soluciones óptimas a los problemas del mundo real y apoyar con la toma de
decisiones; se tiene el siguiente esquema:
RELACION INTEGRAL ENTRE LOS ELEMENTOS
ESENCIALES DE LA I.O.
MUNDO REAL MUNDO
IDEAL
Por Abstracción
Intuición
Análisis
Por Interpretación
METODO
CIENTIFICO
DECISIÓN OPTIMIZACIÓN
SISTEMA MODELO
METODO
CIENTIFICO
DECISIÓN
(Acción a tomar)
OPTIMIZACIÓN
(Resultados)
SISTEMA
(Problema)
MODELO
(Matemático)

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1.5 Concepto de la Investigación de Operaciones
La investigación de operaciones (ó Investigación Operativa), es un procedimiento ó
enfoque que permite resolver problemas relacionados con la optimización y la toma de
decisiones en los diferentes campos de aplicación, tales como: la industria, la economía,
el comercio, la política, la educación, la salud, la defensa, etc.
En conclusión la Investigación de operaciones es la aplicación por grupos
interdisciplinarios del método científico en el análisis y solución de problemas
relacionados con el control de las organizaciones del mundo real (Industria, economía,
comercio, educación, defensa, etc); que deben ser concebidos como sistemas y
entidades complejas que manejas recursos (humanos, materiales, equipos, útiles,
información, etc). Estos sistemas son representados en el mundo ideal por modelos
matemáticos, cuyo análisis y solución busca la optimización de resultados que deben
ser interpretados y comprometidos para ofrecer apoyo a la toma de decisiones.
1.6 Modelos matemáticos de Decisión y su Clasificación
1.6.1 Concepto de Modelo
Se entiende por modelo a la representación simplificada é idealizada, de manera
cualitativa o cuantitativa de un sistema real; de acuerdo a los objetivos de estudio del
sistema.
En esencia un modelo es una imagen de un sistema, y en función a las interrogantes que
se plantean los sistemas pueden presentar diversos modelos.
La I.O. se centra en manejar Modelos Matemáticos que permitan interaccionar variables
(de entrada y salida) mediante relaciones funcionales y/o ecuaciones, de tal forma que la
solución del modelo permita encontrar la combinación óptima de resultados en cuanto a
las variables que intervienen.
1.6.2 Clasificación de los Modelos matemáticos de decisión
La I.O. al centrar su interés en los modelos matemáticos de decisión, considera la
siguiente clasificación de los mismos:

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a) Modelo Estático: Es aquel que representa a un sistema, de manera que las
variables y relaciones funcionales, no sufren alteraciones debido a cambios
en el tiempo.
b) Modelo Dinámico: Es aquel que representa a un sistema, de manera que el
tiempo juega un rol muy importante.
c) Modelos Determinísticos: Son aquellos que no incluyen propiedades
relacionadas con fenómenos aleatorios, como ser: La programación lineal, la
programación entera, el modelo de transporte, la teoría de localización o
redes, etc.
d) Modelos Probabilísticos: Son aquellos que incluyen variables o relaciones
funcionales que dependen de fenómenos aleatorios, como ser: Las cadenas
de Markov, la teoría de juegos, las líneas de espera, los modelos de
simulación, etc.
Las soluciones de los diferentes modelos pueden ser de tipo analítico o numérico.
CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS
MATEMÁTICOS DE DESICIÓN
MODELOS
MATEMÁTICOS
Dependencia con el
Tiempo
Naturaleza de las
Variables
Tipo de Solución
Estáticos
Dinámicos
Determinísticos
Probabilísticos
Analíticos
Numéricos

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La metodología que utiliza la I.O. como herramienta para resolver problemas
sistémicos, se basa en la metodología científica (propuesta por Sir Francis Bacon en
1620), que consta de cuatro pasos, los cuales son:
1° Observación de un sistema físico
2° Formulación de una Hipótesis (modelo matemático)
3° Predicción del comportamiento del sistema (obtención de soluciones)
4° Experimentación para probar la Validez de las hipótesis

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METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
DE OPERACIONES
OBSERVACIÓN
FORMULACIÓN
PREDICCIÓN
Definición y Formulación del Problema
Definición de los objetivos, alternativas y
escenarios
Construcción del Modelo ( INPUT )
( Modelo matemático )
Es la definición de una función económica
y sus restricciones
Deducción de la Solución ( OUTPUT )
Hallar la Solución Óptima del modelo
( Por medios analíticos y/o numéricos )
Controles sobre la Solución
Interpretación de los resultados
(Análisis de Sensibilidad o cambios en parámetros)
Implementación del Modelo
Toma de decisiones para la operación y
control del Modelo Retroalimentación
Validación (Prueba) del modelo
Utilizar datos pasados
Permitiendo operar al modelo

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1.8 Aplicaciones de algunos modelos de la I.O.
· Programación Lineal: Tiene sus aplicaciones en problemas relacionados con la
optimización de mezclas, manufacturación de productos, recursos humanos,
finanzas, mantenimiento de inventarios, marketing, etc.
· Modelos de Transporte: Se utiliza cuando un producto determinado se tiene
que distribuir desde puntos de oferta (orígenes) hacia punto de demanda
(destinos), donde se pretende encontrar un plan de distribución óptimo.
· Modelos de Asignación: Se utiliza para diseñar planes de asignación de
recursos y trabajos óptimos.
· Teoría de Redes: Es muy utilizado en la planificación y programación de
proyectos, programación de horarios, etc.
· Programación Entera: Es utilizado en el estudio para la localización de
proyectos.
· Programación Dinámica: Utilizado en la programación de etapas múltiples.
· Sistema de Inventarios: Se utiliza en el manejo y almacenamiento de
productos.
· Modelos de Simulación: Son utilizados cuando se tiene dificultad para
establecer relaciones analíticas aceptables desde el punto de vista computacional
o cuando el problema es netamente probabilístico.
1.9 Beneficios de la aplicación de un proyecto de I.O
· Incrementa la posibilidad de tomar mejores decisiones: Generalmente las
organizaciones que no aplican la I.O. en la toma de decisiones, éstas lo hacen de
forma intuitiva, ignorando la mayor parte de las veces las interrelaciones que
existen entre cada uno de los componentes del sistema.
· Mejora la coordinación entre los múltiples componentes de la organización:
La I.O. genera un nivel mayor de ordenamiento; es decir que logra integrar en su
estudio el mecanismo de coordinación, para evitar que los componentes del

26
sistema aisladamente unos de otros.
· Mejora el control del sistema: Al establecer procedimientos sistemáticos que
supervisan las operaciones que se llevan acabo en la organización.
· Permite obtener un sistema mejorado: Al lograr que éste opere con costos
mas bajos, interaccionando de manera mas fluida; a demás de minimizar los
cuellos de botella, logrando una mejor coordinación entre los elementos más
importantes del sistema.

27
UNIDAD 2
FORMULACIÓN DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
2.1 Introducción
Uno de los modelos más importantes y de mayor aplicación en la I.O. es la
PROGRAMACIÓN LINEAL; siendo ésta técnica del modelado matemático diseñada
para optimizar el empleo de recursos limitados, presentando como característica
principal el manejo de ecuaciones y relaciones funcionales de tipo lineal.
La Programación lineal tiene su aplicación práctica en cualquier tipo de actividad
comercial y/o de producción, desde la publicidad, planificación de la producción,
finanzas y otros; buscando optimizar los ingresos, utilidades, costos, ventas, etc.
La P.L. es un modelo de programación matemática que busca lograr la mejor asignación
de los recursos limitados (Restricciones) hacia actividades que se encuentran en
competencia (Variables de decisión), de tal forma que se pueda lograr la optimización
(Maximización o minimización) de una función económica (Función objetivo) y
cuyo resultado servirá para apoyar una futura toma de decisión.
Luego de leer el enunciado del problema las veces que sean necesarias hasta
comprender completamente; se recomienda seguir en general los siguientes pasos para
formular un Modelo de Programación Lineal.
2.3.1 Definición de Variables
Son la base fundamental del M.P.L., que por lo general son identificados una vez
conocido el objetivo (o el fin) para el cual está diseñado el problema. Es muy
importante tomar en cuenta las unidades correspondientes a cada variable identificada,

28
representándose por n
x
x
x
x ,...,
,
, 3
2
1
Nota: En muchos casos, identificar y definir las variables de decisión es la etapa más
difícil; pero una vez que se definen las mismas, el resto del proceso fluye de modo
natural.
2.3.2 Definición de la Función Objetivo
Se debe definir la ecuación económica que debe ser optimizada (maximizar o
minimizar); siendo ésta ecuación la que cuantifica el valor máximo o mínimo, debiendo
estar planteada en función a las variables de decisión identificadas en el sistema. Se
denota como:
n
n x
c
x
c
x
c
Z
Optimizar
O
F +
+
+
= ...
:
.
. 2
2
1
1
Donde: n
c = Coeficiente de costo o ganancia
2.3.3. Restricciones Estructurales (o funcionales)
Son ecuaciones o desigualdades (=, ≥ ó ≤), que se plantean en función a la
disponibilidad de cada uno de los recursos limitados con los que cuenta una empresa;
por ejemplo: mano de obra, materia prima, capital de operaciones, sistemas de
inventarios, etc. Las restricciones estructurales se representan de la siguiente manera:
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
¬
³
=
£
±
±
±
¬
³
=
£
±
±
±
¬
³
=
£
±
±
±
m
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
R
b
x
a
x
a
x
a
R
b
x
a
x
a
x
a
R
b
x
a
x
a
x
a
a
s
...
...
...
:
.)
.
(
a
Sujeto
2
2
1
1
2
2
2
2
22
1
21
1
1
1
2
12
1
11
M
M
M
M
M
Donde: mn
a = Cantidades que se consumen en cada actividad
m
b = Disponibilidad o requerimiento de los recursos (lados derechos)
m
R = Restricciones estructurales o funcionales

29
2.3.4 Restricciones de No Negatividad
Todas las variables de decisión identificadas en un sistema, no deben asumir valores
negativos en el resultado final; es decir:
0
,...,
,
: 2
1 ³
n
x
x
x
negativos
No
Ejemplo: Proceso de formulación del Modelo de Programación Lineal
El banco Ganadero dispone de 18 millones de dólares para ofrecer préstamos de riesgo
alto y riesgo medio, cuyos rendimientos son del 14% y 7% respectivamente; por otro
lado se conoce que se debe dedicar al menos 4 millones de dólares a préstamos de
riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a
razón de 4 a 5. Formular un M.P.L. que permita determinar ¿cuánto debe dedicarse a
cada uno de los tipos de préstamos para maximizar el beneficio?
Variables de decisión
=
1
x Cantidad de dinero dedicada a préstamos de riesgo alto [millones de $us]
=
2
x Cantidad de dinero dedicada a préstamos de riesgo medio [millones de $us]
Función Objetivo
2
1 07
.
0
14
.
0
.
:
.
. x
x
z
Max
O
F +
= [millones de $us.]
Restricciones Estructurales
( )
ï
î
ï
í
ì
£
-
³
£
+
0
4
5
4
18
:
.
.
2
1
2
2
1
x
x
x
x
x
a
s
a
Sujeto
.]
$
[
.]
$
[
.]
$
[
us
de
millones
us
de
millones
us
de
millones
Restricciones de No Negatividad
0
;
: 2
1 ³
x
x
negativos
No

30
Suponiendo que se tiene un número “m” de recursos limitados que se pueden asignar a
un número “n” de actividades. La estructura que muestra el siguiente cuadro,
proporciona los elementos necesarios (datos) para que un M.P.L. maneje la asignación
de recursos por unidad de actividad:
Recursos
Actividad Cantidad de recursos
disponibles
1 2 3…….. …n
m
M
2
1
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
M
M
M
n
b
b
b
M
2
1
Contribución a Z por
unidad de actividad
n
c
c
c ...
2
1
Donde: Recursos disponibles m
i ,...,
2
,
1
: = ; Actividades n
j ,...,
2
,
1
: =
Z : Función objetivo que debe maximizarse o minimizarse
j
x : Nivel de actividad j (Variable de decisión)
j
c : Coeficiente costo o ganancia para la actividad jésima (parámetro)
ij
a : Cantidad del recurso i que consume cada unidad de la actividad j
i
b : Cantidad disponible del recurso i para asignar a las actividades j
2.5.1 Formulación canónica
La formulación canónica tiene las siguientes características:
· La función objetivo es Maximizar
· Las restricciones estructurales son del tipo “menor o igual que” ( ≤ )
· Las variables de decisión son mayores o iguales a cero ( ≥ )
Ejemplo: 2
1 3
2
.
:
.
. x
x
z
Max
O
F +
=

31
î
í
ì
£
-
£
+
2
4
5
3
:
.
.
2
1
2
1
x
x
x
x
a
S
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
2.5.2 Formulación Mixta
La formulación mixta tiene las siguientes características:
· La función objetivo es Maximizar o Minimizar
· Las restricciones estructurales son “menor o igual” o “mayor o igual” ( ≤ o ≥
)
Ejemplo: 3
2
1 2
4
.
:
.
. x
x
x
z
Min
O
F +
+
=
î
í
ì
³
+
+
£
+
+
1
2
3
9
4
5
:
.
.
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
a
S
0
;
;
: 3
2
1 ³
x
x
x
negativos
No
2.5.3 Formulación Estandar
La formulación estandar tiene las siguientes características:
· La función objetivo es Maximizar o Minimizar
· Las restricciones estructurales son del tipo “igual que” ( = )
· Los elementos del lado derecho de cada ecuación son positivos
Ejemplo: 2
1
2
1 0
0
3
2
.
:
.
. s
h
x
x
z
Max
O
F -
+
+
=
ï
î
ï
í
ì
=
+
=
-
+
=
+
+
4
2
2
4
5
3
:
.
.
2
1
2
2
1
1
2
1
x
x
s
x
x
h
x
x
a
S
0
;
;
;
: 2
1
2
1 ³
s
h
x
x
negativos
No
2.6 EJERCICIOS DE FORMULACIÓN

32
1) PROBLEMA DE UN TALLER DE CARPINTERIA
Supongamos que un taller de carpintería dispone de determinadas piezas para la
elaboración de dos productos finales. El taller dispone de 8 “piezas pequeñas” y 6
“piezas grandes”, que son utilizadas para elaborar sillas (usando 2 piezas pequeñas y 1
pieza grande) y mesas (usando 2 piezas de cada tipo). Nos interesa decidir cuántas sillas
y mesas se debe fabricar de modo que se obtenga la máxima utilidad, dado que se tiene
un beneficio neto de $us. 15 por cada silla y de $us. 20 por cada mesa fabricada.
FORMULACIÓN: Primero identificamos cuales son los recursos con los que se
dispone y cuales son las actividades que deben realizar
RECURSOS ACTIVIDADES
Piezas pequeñas Fabricar sillas
Piezas grandes Fabricar mesas
Recursos
Piezas por unidad de Disponobilidad
de piezas
Sillas Mesas
Piezas pequeñas [ Pza. / u ]
Piezas grandes [ Pza. / u ]
2
1
2
2
8 [ Pzas. ]
6 [ Pzas. ]
Utilidad [ $us. / u ] 15 20
1º Variables de decisión
=
1
x Número de sillas a fabricar [ u. ]
=
2
x Número de mesas a fabricar [ u. ]
2º Función Objetivo
.]
[
20
15
.
:
.
. 2
1 $us
x
x
z
Max
O
F +
=
[ ]
$us.
u
u
$us.
u
u
$us.
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
û
ù
ê
ë
é
*
*
3º Restricciones Estructurales

33
6
2
:
.
8
2
2
:
.
2
1
2
1
£
+
£
+
x
x
grandes
Pzas
x
x
pequeñas
Pzas
[ ]
Pzas.
u
u
Pzas.
u
u
Pzas.
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
û
ù
ê
ë
é
*
*
4º Restricciones de No Negatividad
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
Resumen: .]
[
20
15
.
:
.
. 2
1 $us
x
x
z
Max
O
F +
=
î
í
ì
£
+
£
+
6
2
8
2
2
:
.
.
2
1
2
1
x
x
x
x
a
S
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
2) PROBLEMA DE MEZCLAS (EMPRESA MONOPOL)
La empresa de pinturas MONOPOL, produce pinturas tanto para interiores como para
exteriores, a partir de dos materias primas M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los
datos básicos del problema:
Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores
a 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a
la pintura para exteriores por más de 1 tonelada. La empresa MONOPOL quiere
determinar la mezcla de productos óptima de pintura para interiores y para exteriores
Materia Prima
Toneladas de Materia Prima
por tonelada de Pintura para
Disponibilidad
Máxima Diaria
(Toneladas)
Exteriores Interiores
M1 6 4 24
M2 1 2 6
Utilidad por Tonelada
(1000 $us.)
5 4

34
que maximice la utilidad total diaria.
FORMULACIÓN: En este caso no es necesario el cuadro de disponibilidad de
recursos y actividades, ya que en el planteamiento del problema se tiene como datos.
RECURSOS ACTIVIDADES
Materia prima M1 Producir pintura para exteriores
Materia prima M2 Producir pintura para interiores
Restricciones de Demanda
=
1
x Cantidad de pintura para exteriores a producir [ Tn. / día ]
=
2
x Cantidad de pintura para interiores a producir [ Tn. / día ]
2
1 4
5
.
:
.
. x
x
z
Max
O
F +
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
û
ù
ê
ë
é
día
$us.
Miles
día
Tn
Tn
$us.
Miles
día
Tn
Tn
$us.
Miles
*
.
*
.
Materia prima M1: 24
4
6 2
1 £
+ x
x
ú
û
ù
ê
ë
é
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
û
ù
ê
ë
é
día
M
Tn.
día
Tn
Tn
M
Tn.
día
Tn
Tn
M
Tn. 1
*
.
1
*
.
1
Materia prima M2: 6
2 2
1 £
+ x
x
ú
û
ù
ê
ë
é
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
û
ù
ê
ë
é
día
M
Tn.
día
Tn
Tn
M
Tn.
día
Tn
Tn
M
Tn. 2
*
.
2
*
.
2
Relación de Demanda: 1
1
2 +
£ x
x
ú
û
ù
ê
ë
é
día
Tn.
Demanda de pintura p/ext.: 2
2 £
x
ú
û
ù
ê
ë
é
día
Tn.
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No

35
Resumen: [ ]
día
$us
Miles
x
x
z
Max
O
F /
.
4
5
.
:
.
. 2
1 +
=
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
£
£
+
-
£
+
£
+
2
1
6
2
24
4
6
:
.
.
2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
a
S
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
3) PROBLEMA DE LA DIETA
Una persona debe cumplir una dieta que le exige consumir por semana al menos 1 Kg.
de carbohidratos y ½ Kg. de proteínas. Para ello cuenta con dos tipos de alimentos (A) y
(B) que están constituídos exclusivamente por carbohidratos y proteínas. El alimento
tipo (A) contiene 90% (en peso) de carbohidratos y el resto de proteínas, mientras que el
alimento tipo (B) contiene 60% de carbohidratos y el resto de proteínas; se sabe que el
alimento tipo (A) cuesta 20 $us. / Kg. y el alimento tipo (B) 40 $us. / Kg.
¿Qué cantidad de cada alimento deberá consumir la persona para que el costo de su
dieta sea mínimo?
NUTRIENTES ALIMENTOS
Carbohidratos Tipo (A)
Proteínas Tipo (B)
Nutrientes
Kg. de alimentos Requerimiento
Mínimo
Tipo (A) Tipo (B)
Carbohidratos [ Kg. carb. / Kg. ]
Proteínas [ Kg. prot. / Kg. ]
0.9
0.1
0.6
0.4
1 [ Kg. carb. / sem. ]
0.5 [ Kg. prot. / sem. ]
Costo [ $us. / Kg. ] 20 40
=
1
x Cantidad de alimento tipo (A) a consumir [ Kg. / sem. ]
=
2
x Cantidad de alimento tipo (B) a consumir [ Kg. / sem. ]
.]
/
.
[
40
20
.
:
.
. 2
1 sem
$us
x
x
z
Min
O
F +
=

36
ú
û
ù
ê
ë
é
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
û
ù
ê
ë
é
.
.
.
*
.
.
.
*
. sem
$us.
sem
Kg
Kg
$us.
sem
Kg
Kg
$us.
Carbohidratos : 1
6
.
0
9
.
0 2
1 ³
+ x
x
ú
û
ù
ê
ë
é
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
û
ù
ê
ë
é
.
.
.
.
*
.
.
.
.
*
.
.
sem
carb
Kg.
sem
Kg
Kg
carb
Kg.
sem
Kg
Kg
carb
Kg.
Proteínas : 5
.
0
4
.
0
1
.
0 2
1 ³
+ x
x
ú
û
ù
ê
ë
é
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
û
ù
ê
ë
é
.
.
.
.
*
.
.
.
.
*
.
.
sem
prot
Kg.
sem
Kg
Kg
prot
Kg.
sem
Kg
Kg
prot
Kg.
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
Resumen: .]
/
.
[
40
20
.
:
.
. 2
1 sem
$us
x
x
z
Min
O
F +
=
î
í
ì
³
+
³
+
5
.
0
4
.
0
1
.
0
1
6
.
0
9
.
0
:
.
.
2
1
2
1
x
x
x
x
a
S
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
4) PROBLEMA DE INVERSIONES FINANCIERAS (BANCO BISA)
El Banco BISA tiene un capital de 500000 $us. para invertir en dos tipos de acciones A
y B. El tipo A tiene bastante riesgo siendo el interés anual del 10% y el tipo B es
bastante seguro con un interés anual del 7%. La política de inversiones del banco
considera invertir como máximo 300000 $us. en las acciones con bastante riesgo (tipo
A) y como mínimo 100000 $us. en las acciones mas seguras (tipo B), además por
regulaciones del mercado el banco debe invertir en las acciones tipo A por lo menos
tanto como en las del tipo B. ¿Usted como gerente comercial de valores del banco
deberá proponer al directorio cómo invertir los 500000 $us. para maximizar sus
intereses anuales?

37
CONDICIONES DE INVERSION INVERSION EN ACCIONES
Inversión de Capital Tipo (A)
Políticas de inversión Tipo (B)
Condiciones de
Inversión en $us.
Inversión en acciones Límites de
Inversión en $us.
Tipo (A) Tipo (B)
Inversión de Capital
Inv. Acciones Tipo (A)
Inv. Acciones Tipo (B)
1
1
―
1
―
1
500000
300000
100000
Interés anual [ % ] 10 7
=
1
x Monto de dinero a invertir en acciones tipo (A) [ $us.]
=
2
x Monto de dinero a invertir en acciones tipo (B) [ $us.]
.]
[
07
.
0
1
.
0
.
:
.
. 2
1 $us
x
x
z
Max
O
F +
=
Inversión de capital : [ ]
.
500000
2
1 $us
x
x £
+
Inv. Acciones Tipo (A): [ ]
.
300000
1 $us
x £
Inv. Acciones Tipo (B): [ ]
.
100000
2 $us
x ³
Relacion de inversión : [ ]
.
2
1 $us
x
x ³
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
Resumen: .]
[
07
.
0
1
.
0
.
:
.
. 2
1 $us
x
x
z
Max
O
F +
=

38
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
³
-
³
£
£
+
0
100000
300000
500000
:
.
.
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
a
S
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
2.7 EJERCICIOS PROPUESTOS (PRACTICO Nº 1)
1. La empresa de confecciones “IMAGEN” produce camisas y trajes de vestir para
varones. Cada camisa requiere 2 hrs. Hombre y 1 hora de maquinado; cada traje
requiere 10 hrs. Hombre y 4 horas de maquinado. Para la confección de una camisa
se requiere 1 metro de tela y para un traje 3 metros de tela. Ambas telas son
diferentes. Se dispone semanalmente de 80 metros de tela para camisa y 90 metros
de tela para trajes. Se trabaja 5 días a la semana con 10 operarios y 4 maquinas de
costura. Las utilidades son: 20 Bs. / camisa y 80 Bs. / traje. Cual es el mejor plan de
producción para la empresa.
2. Un agropecuario tiene 20 hectáreas de tierra en el norte que piensa sembrar la
próxima temporada. No ha podido decidir que sembrar porque tiene limitaciones con
el dinero y el personal. Para sembrar arroz los gastos son 4500 Bs./ha. y se requiere
80 hrs.– hombre/ha.; para sembrar maíz se requiere 3800 Bs./ha. y 85 hrs. – hombre /
ha. el agropecuario cuenta con 85000 Bs. para cubrir los gastos de producción y 3
personas que trabajan durante 60 días hábiles, 10 hrs. diarias. Por cada hectárea de
maíz se gana 5000 Bs. y por cada ha. de arroz se gana 5800 Bs. Formular un modelo
para decidir el uso de la tierra y los recursos.
3. Un nutricionista desea controlar la cantidad de grasa de los alimentos que consumen
los enfermos en el “HOSPITAL JAPONES”. Todas las comidas deben tener 5 % o
menos de grasa. El plato del día consiste en arroz y pollo. El pollo tiene 12 % de
grasa y el arroz 1 %. Cada enfermo consume un total de 400 gramos de alimento en
el almuerzo. El kilo de pollo preparado cuesta 11 Bs. y el arroz preparado con
verduras cuesta 12 Bs. Determinar la cantidad optima de arroz y pollo que debe
servirse a cada enfermo a un costo mínimo.

39
4. Un agricultor posee 200 cerdos que consumen 90 libras de comida especial todo los
días. El alimento se prepara con las siguientes composiciones:
ALIMENTO CALCIO PROTEINA FIBRA COSTO ($US. / LB.)
Maíz 0.001 0.09 0.02 0.20
Harina de Soya (Lb.) 0.002 0.60 0.06 0.60
Determine la mezcla de alimento con el mínimo costo por día, si los requisitos
diarios de alimento para los cerdos son:
a) Cuando menos 0.1 % de calcio
b) Por lo menos 30 % de proteínas
c) Máximo 5 % de fibra
5. La empresa de confecciones “ROMY” fabrica ropa industrial: camisas y overoles
para las diferentes empresas. Cada camisa requiere 2 hrs.–hombre y cada overol
requieren 10 hrs.– hombre. Para la confección de una camisa se requiere 1 metro de
tela y para un overol 3 metros de tela. Ambas telas son diferentes. Se dispone
semanalmente de 120 metros de tela para camisas y 300 metros de tela para overoles.
Se trabaja 5 días a la semana con 10 operarios. Las utilidades son de 20 Bs. / camisa
y 80 Bs. / overol. ¿Cuál es el mejor plan de producción para la empresa?.
6. Muebles “HURTADO” fabrica 3 clases de sillones cada una requiere una técnica
diferente de fabricación. El sillón de lujo requiere 35 hrs. de mano de obra, 9 hrs. de
maquinado y produce una utilidad de 25 $us.; el sillón estándar requiere 30 hrs. de
mano de obra, 7 hrs. de maquinado y produce una utilidad de 20 $us.; el sillón
económico requiere 25 hrs. de mano de obra, 5 horas de maquinado y produce una
utilidad de 12 $us. Se dispone 1800 hrs. de mano de obra y 450 hrs. de maquinado
cada mes. La demanda mensual llega máximo 20 und. para los modelos de lujo y 25
para los modelos estándar. Formule un modelo para determinar el mejor plan de
producción.
7. La empresa “KRROS” fabrica dos modelos de carritos a motor para niños,
utilizando como materia prima el hierro y la madera, para lo cual se destina 28 hrs.
en fabricar una und. del modelo estándar y 16 hrs. para el modelo sencillo.

40
Actualmente se tiene disponible 7200 hrs. para la producción de estos modelos.
Existe un pedido de 16 und. del modelo sencillo. En el siguiente cuadro se detalla los
insumos e ingresos para cada modelo:
MODELO
HIERRO
(Lb.)
MADERA
(m2
)
REQUISITOS
DE MOTOR
COSTO
UNITARIO
(Bs.)
PRECIO
DE VENTA
(Bs.)
Sencillo 950 65 1 1010 1460
Estándar 4000 120 1 1205 2100
Disponibilidad 645300 22790 450
Elaborar un modelo de Programación Lineal para determinar el mejor plan de
producción.
8. La compañía de investigaciones “EL PAHUICHI” tiene un capital de 10 millones
de $us. para invertir. El objetivo principal consiste en maximizar el retorno de la
inversión para el próximo año. Existen 4 alternativas de inversión según el cuadro.
Se ha establecido que por lo menos el 30 % deberá ser colocado en las alternativas 1
y 2, no más del 40 % en las alternativas 3 y 4. Se debe invertir todo los 10 millones
disponibles. Formular un modelo de Programación Lineal que permita estimar la
cantidad de dinero a invertir en cada alternativa.
N°
ALTERNATIVA DE
INVERSION
RETORNO
ESPERADO (% )
INVERSION MAXIMA
(MILLONES $US.)
1 Vivienda tipo Chalet 6 7
2 Vivienda Semi Lujo 8 5
3 Vivienda Sencilla 9 4
4 Lotes 12 2
9. María requiere regular su alineación, actualmente dispone los siguientes alimentos
para consumo: torta de chocolate, helado de chocolate, soda cocacola, empanada de
queso. Cada porción de torta cuesta 3 Bs., el vaso de helado cuesta 4 Bs., cada
botella de soda personal cuesta 3 Bs. y cada empanada cuesta 1 Bs. Cada día debe
ingerir por lo menos 50 calorías, 6 onzas de chocolate, 12 onzas de azúcar y 8 onzas
de grasa. El contenido nutritivo por unidad de cada alimento se muestra en la
siguiente tabla:

41
ALIMENTO CALORIAS
CHOCOLATE
(ONZAS)
AZUCAR
(ONZAS)
GRASA
(ONZAS)
Torta 40 3 4 2
Helado 20 2 4 2
Soda 15 0 3 0
Empanada 50 0 2 3
Formular un modelo lineal que permita responder a los requerimientos
alimenticios diarios a un costo mínimo.
10. El gerente de personal de la empresa de seguridad “LIDER” debe elaborar un
programa de vigilancia de modo que se satisfagan los requerimientos que se
muestran en el Cuadro Nº 1. Los guardias trabajan turnos de 8 hrs., todos los días hay
6 turnos. En él Cuadro Nº 2, se dan los horarios de entrada y salida de cada turno. El
gerente de personal de dicha empresa quiere determinar cuantos guardias deberán
trabajar en cada turno con el objeto de minimizar él número total de guardias que
satisfaga los requerimientos de personal.
CUADRO Nº 1 CUADRO Nº 2
REQUERIMIENTO DE PERSONAL PROGRAMACION DE
TURNOS
TIEMPO
N°
MINIMO
DE
GUARDIAS
Media noche → 4 am. 5
4 am. → 8 am. 7
8 am. Medio día 15
Medio día → 4 pm. 7
4 pm. → 8 pm. 12
8 pm. Media noche 9

42
UNIDAD 3
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UN
M.P.L.
El objetivo de esta unidad es estudiar los métodos de solución y las propiedades que son
propias de la solución de un M.P.L.; que pueden determinarse de forma gráfica y/o
analítica. Existen varios métodos que permiten llegar a la solución de un problema de
programación lineal, entre los cuales tenemos a los métodos:
a) Método Gráfico
b) Método Simplex
c) Métodos de Penalización
a) ALGORITMO DEL MÉTODO GRÁFICO
Es uno de los métodos más simples, que tiene 2 características especiales:
i) Solo sirve para resolver problemas en dos dimensiones (a lo sumo tres).
ii) La aplicación y solución mediante este método, permite importantes
interpretaciones de tipo geométrico y conceptual en relación a la teoría de la
P.L.
PROCEDIMIENTO:
Paso 1: Graficar en un sistema de coordenadas cada una de las restricciones del
M.P.L.
Paso 2: Reemplazar un punto por encima y por debajo de la recta, para
determinar el sentido que indica la desigualdad.
Paso 3: La intersección de todas las rectas y el dominio de las restricciones con el
primer cuadrante del sistema de coordenadas, daran lugar a la formación de
TURNO
HORA
ENTRADA – SALIDA
1 Media noche → 8 am.
2 4 am. Medio día
3 8 am. → 4 pm.
4 Medio día → 8 pm.
5 4 pm. Media noche
6 8 pm. → 4 am.

43
un conjunto o espacio solución denominado REGIÓN FACTIBLE
Paso 4: Graficar la FUNCIÓN OBJETIVO, reemplazando con un valor arbitrario
la función objetivo Z
Paso 5: Para hallar la Solución Óptima, se desplazará paralelamente la recta Z
obtenida en el paso 4, hasta intersectar con un punto de intersección de las
restricciones; esto según:
a) Si se trata de Maximizar, se debe encontrar el punto más alejado del
origen.
b) Si se trata de Minimizar, se debe encontrar el punto más cercano al
origen.
Paso 6: Interpretar los resultados obtenidos
a.1) INTERPRETACION DE LA SOLUCIÓN GRÁFICA
Solución Óptima: Son los valores de las variables y el valor de la función
objetivo
Restricciones Activas: Son aquellas que pasan por el punto óptimo y hacen uso
total de los recursos
Restricciones Inactivas: Son aquellas que no pasan por el punto óptimo, pero sí
delimitan la región factible y hacen uso parcial de los recursos.
Restricciones Redundantes: Son aquellas que no delimitan la región factible, por
lo tanto no influyen en la solución óptima.
EJEMPLOS:
1) Aplicar el algoritmo del método gráfico para resolver el problema del taller de
carpintería, cuyo modelo de programación lineal formulado es:
.]
[
20
15
.
:
.
. 2
1 $us
x
x
z
Max
O
F +
=

44
î
í
ì
£
+
£
+
6
2
8
2
2
:
.
.
2
1
2
1
x
x
x
x
a
S
grandes
Pzas
R
pequeñas
Pzas
R
.
.
2
1
K
K
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
Donde: =
1
x Número de sillas a fabricar [ u. ]
=
2
x Número de mesas a fabricar [ u. ]
SOLUCIÓN GRÁFICA
· Primeramente las restricciones (desigualdades) las representamos como igualdades
solo para poder encontrar los puntos que nos permitan trazar las rectas que
representan a las restricciones en un sistema cartesiano.
8
2
2
: 2
1
1 =
+ x
x
R 6
2
: 2
1
2 =
+ x
x
R
)
0
,
4
(
4
0
)
4
,
0
(
4
0
2
1
2
1
2
1
P
x
x
P
x
x
®
=
Þ
=
®
=
Þ
=
)
0
,
6
(
6
0
)
3
,
0
(
3
0
2
1
2
1
2
1
P
x
x
P
x
x
®
=
Þ
=
®
=
Þ
=
· Luego verificamos la solución de cada una de las desigualdades para delimitar la
Región Factible.
8
2
2
: 2
1
1 £
+ x
x
R 6
2
: 2
1
2 £
+ x
x
R
NO
SI
8
10
0
)
5
,
0
(
8
0
0
)
0
,
0
(
£
+
Þ
£
+
Þ
NO
SI
6
8
0
)
4
,
0
(
6
0
0
)
0
,
0
(
£
+
Þ
£
+
Þ
· Una vez ubicada la región factible, asignamos un valor arbitrario a “z” en la función
objetivo para luego trazar la recta que representa a dicha función, con la cual
encontraremos el punto óptimo.

45
2
1 20
15
. x
x
z
Max
En +
=
30
20
15
30 2
1 =
+
Þ
= x
x
z
Si
)
0
,
2
(
2
0
)
5
.
1
,
0
(
5
.
1
0
2
1
2
1
2
1
P
x
x
P
x
x
®
=
Þ
=
®
=
Þ
=
Solución óptima:
mesas
u
x
sillas
u
x
.]
[
2
.]
[
2
2
1
=
=
]
[
70
)
2
(
20
)
2
(
15
20
15
/ 2
1
$us.
z
z
x
x
z
en
R
=
+
=
+
=
Tipos de restricciones:
· 2
1 R
y
R Son restricciones activas, ya que ambas pasan por el punto

46
óptimo.
· No tiene restricciones inactivas ni redundantes.
Interpretación: El taller de carpintería debe fabricar 2 sillas y 2 mesas,
obteniendo una utilidad máxima de 70 $us., haciendo uso total de sus recursos.
2) Resuelva el problema de Pinturas Monopol por el método gráfico y analice sus
resultados.
Siendo: =
1
=
2
[ ]
día
$us
Miles
x
x
z
Max
O
F /
.
4
5
.
:
.
. 2
1 +
=
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
£
£
+
-
£
+
£
+
2
1
6
2
24
4
6
:
.
.
2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
a
S
.
.
2
1
4
3
2
1
Ext
Demanda
R
Demanda
R
R
M
R
M
R
K
K
K
K
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
SOLUCIÓN GRÁFICA
24
4
6
: 2
1
1 =
+ x
x
R
6
2
: 2
1
2 =
+ x
x
R
)
0
,
4
(
4
0
)
6
,
0
(
6
0
2
1
2
1
2
1
P
x
x
P
x
x
®
=
Þ
=
®
=
Þ
=
)
0
,
6
(
6
0
)
3
,
0
(
3
0
2
1
2
1
2
1
P
x
x
P
x
x
®
=
Þ
=
®
=
Þ
=
1
: 2
1
3 =
+
- x
x
R 2
: 2
4 =
x
R
)
0
,
1
(
1
0
)
1
,
0
(
1
0
2
1
2
1
2
1
-
®
-
=
Þ
=
®
=
Þ
=
P
x
x
P
x
x

47
Verificando las soluciones individuales:
24
4
6
: 2
1
1 £
+ x
x
R 6
2
: 2
1
2 £
+ x
x
R
NO
SI
24
0
30
)
0
,
5
(
24
0
0
)
0
,
0
(
£
+
Þ
£
+
Þ
NO
SI
6
0
7
)
0
,
7
(
6
0
0
)
0
,
0
(
£
+
Þ
£
+
Þ
1
: 2
1
3 £
+
- x
x
R 2
: 2
4 £
x
R
NO
SI
1
2
0
)
2
,
0
(
1
0
0
)
0
,
0
(
£
+
-
Þ
£
+
-
Þ
NO
SI
2
4
)
4
,
0
(
2
0
)
0
,
0
(
£
Þ
£
Þ
Función Objetivo: 2
1 4
5
. x
x
z
Max
En +
=

48
20
4
5
20 2
1 =
+
Þ
= x
x
z
Si
)
0
,
4
(
4
0
)
5
,
0
(
5
0
2
1
2
1
2
1
P
x
x
P
x
x
®
=
Þ
=
®
=
Þ
=
Solución óptima:
interior
Pintura
]
/
.
[
5
.
1
exterior
Pintura
]
/
.
[
3
2
1
día
Tn
x
día
Tn
x
=
=
]
/
[
21
)
5
.
1
(
4
)
3
(
5
4
5
/ 2
1
día
$us.
Miles
z
z
x
x
z
en
R
=
+
=
+
=
· 2
1 R
y
óptimo.
· 4
3 R
y
R Son restricciones inactivas, ya que ambas delimitan la región
factible, pero no pasan por el punto óptimo.
· No tiene restricciones redundantes.
Interpretación: La empresa de Pinturas Monopol deberá producir 3
Tn./día de pintura para exteriores y 1.5 Tn./día de pintura para interiores,
obteniendo de esta manera una utilidad máxima de 21000 $us./día.; haciendo uso
total de sus materias primas M1 , M2 y no cubriendo totalmente con las
restricciones de demanda.
3) PROBLEMA DE LA DIETA
=
1
x Cantidad de alimento tipo (A) a consumir [ Kg. / sem. ]
=
2
x Cantidad de alimento tipo (B) a consumir [ Kg. / sem. ]
.]
/
.
[
40
20
.
:
.
. 2
1 sem
$us
x
x
z
Min
O
F +
=

49
î
í
ì
³
+
³
+
5
.
0
4
.
0
1
.
0
1
6
.
0
9
.
0
:
.
.
2
1
2
1
x
x
x
x
a
S
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
Solución óptima:
B
Tipo
Alimento
.]
/
.
[
17
.
1
A
Tipo
Alimento
.]
/
.
[
33
.
0
2
1
sem
Kg
x
sem
Kg
x
=
=
.]
/
[
4
.
53
)
17
.
1
(
40
)
33
.
0
(
20
40
20
/ 2
1
sem
$us.
z
z
x
x
z
en
R
»
+
=
+
=

50
· 2
1 R
y
óptimo.
· No tiene restricciones inactivas ni restricciones redundantes.
Interpretación: La persona para cumplir con su dieta deberá consumir
0.33 Kg. / sem. del alimento Tipo (A) y 1.17 Kg. / sem. del alimento Tipo (B),
con lo que alcanzará un costo mínimo de 53.4 $us. / sem. , logrando satisfacer sus
necesidades mínimas de carbohidratos y proteínas.
a.2) TIPOS DE SOLUCIÓN GRÁFICA DE UN MODELO DE P.L.
Los M.P.L. con dos variables suelen clasificarse según el tipo de solución gráfica
que presenta, en:
·FACTIBLES: Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las
restricciones. Estas a su vez pueden ser:
Solución única Solución múltiple Solución no
acotada
· NO FACTIBLES: Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen
las restricciones; es decir que algunas restricciones son inconsistentes
b) MÉTODO SIMPLEX
x2 x2 x2
x2
x1 x1 x1
x1
F.O. F.O. F.O.

51
Es un método analítico (o algebraico) que utiliza las operaciones con filas (desarrolladas
en matrices) para obtener la solución a los modelos de programación lineal.
Previamente a desarrollar el algoritmo del método simplex, debemos conocer algunas
reglas básicas de transformación.
b.1) REGLAS DE TRANSFORMACIÓN DE UN M.P.L.
Antes de desarrollar el algoritmo del método simplex, debemos considerar las siguientes
reglas de transformación para las restricciones que considera un M.P.L.:
1° Para convertir las inecuaciones (desigualdades) en igualdades, se deben añadir
variables de compensación, pudiendo ser éstas:
i) De Holgura ( hi ): Se utilizan cuando las restricciones son del tipo ( )
£
ii) Supérfluas o de exceso ( Si ): Se utilizan cuando las restricciones son del tipo
( )
³
Ejemplo:
Si 1
2
12
1
11 b
x
a
x
a £
+ , entonces se transforma como:
1
2
12
1
11 b
x
a
x
a =
+
+ 1
h
Si 1
2
12
1
11 b
x
a
x
a ³
1
2
12
1
11 b
x
a
x
a =
-
+ 1
S
2° Si las restricciones son del tipo ( = ), entonces ésta equivale a dos restricciones del
tipo ( )
£ y ( )
³
Ejemplo:
Si 1
2
12
1
11 b
x
a
x
a =
î
í
ì
³
+
£
+
1
2
12
1
11
1
2
12
1
11
b
x
a
x
a
b
x
a
x
a
O también como:

52
î
í
ì
-
£
-
-
£
+
1
2
12
1
11
1
2
12
1
11
b
x
a
x
a
b
x
a
x
a
3° La Función Objetivo, se transforma según las siguientes equivalencias:
( )
( ) Z
Min
Z
Max
Z
Min
Z
Max
º
-
-
º
Ejemplo: Exprese en sus formas Canónica y Estandar el M.P.L. siguiente:
3
2
1 3
2
6
.
:
.
. x
x
x
z
Min
O
F +
-
=
ï
î
ï
í
ì
=
³
-
£
+
+
2
12
2
15
:
.
.
2
3
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
a
S
0
;
0
;
0
: 3
2
1 ³
³
³ x
x
x
negativos
No
b.2) ALGORITMO DEL MÉTODO SIMPLEX
Es un algoritmo que aplica un procedimiento iterativo de solución, de forma sistemática
considerando tres fases fundamentales:
i) FASE INICIAL
Paso 1: Colocar el Modelo de Programación Lineal en su forma estandar.
Paso 2: Plantear la tabla inicial o solución inicial (iteración 0)
ii) FASE DE CONTROL
Paso 3: Verificar si los coeficientes de la F.O. son todos positivos.
· Si son positivos, entonces pare (es la solución)
· Si no, vaya al siguiente paso.
Paso 4: Realizar un cambio de base, aplicando la “regla de entrada y salida de la

53
base” (encontrar el pivote)
· Regla de entrada: Se elige como variable que entra a la base, aquella
variable nó básica que tenga el valor mas negativo en la fila de “Z”
(se obtiene la columna pivote)
· Regla de salida: Se elige la variable básica que tenga menor radio
( r ), llamándose ésta, fila pivote.
· Para el cálculo de ( r ), se tiene la siguiente expresión:
pivote
columna
la
de
valores
Derechos
Lados
_
_
_
_
_
=
r
Nota: Se debe ignorar aquellos valores de la columna pivote que son “negativos o
cero”
iii) FASE ITERATIVA
Paso 5: Aplicar operaciones elementales de fila y columna, para obtener ceros en
la columna pivote (aplicar GaussJordan)
Paso 6: Volver a la fase de control
Ejemplo: Aplicando el algoritmo simplex, determine la solución del M.P.L. siguiente:
2
1
5
.
:
.
. x
x
z
Max
O
F +
=
ï
î
ï
í
ì
£
+
£
£
+
12
3
3
5
:
.
.
2
1
1
2
1
x
x
x
x
x
a
S
3
2
1
R
R
R
K
K
K
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
SOLUCIÓN:
PASO 1: 3
2
1
2
1 0
0
0
5
.
:
.
. h
h
h
x
x
z
Max
O
F +
+
+
+
=

54
ï
î
ï
í
ì
=
+
+
=
+
=
+
+
12
3
3
5
:
.
.
3
2
1
2
1
1
2
1
h
x
x
h
x
h
x
x
a
S
0
;
;
;
;
: 3
2
1
2
1 ³
h
h
h
x
x
negativos
No
PASO 2: 0
0
0
0
5
.
:
.
. 3
2
1
2
1 =
-
-
-
-
- h
h
h
x
x
z
Max
O
F
Iteración 0:
x1 x2 h1 h2 h3 L.D. ρ
z 5 1 0 0 0 0 N.S.C.
h1 1 1 1 0 0 5 5/1=5
h2 1 0 0 1 0 3 3/1=3
h3 1 3 0 0 1 12 12/1=12
NOTA: Los pasos 3 y 4 son realizados en la misma tabla de iteración 0
PASO 5: Iteración 1:
x1 x2 h1 h2 h3 L.D. ρ
z 0 1 0 5 0 15 N.S.C.
h1 0 1 1 1 0 2 2/1=2
x1 1 0 0 1 0 3 N.S.C.
h3 0 3 0 1 1 9 9/3=3
NOTA: El paso 6 se realiza en la misma tabla de iteración 1
Iteración 2:
x1 x2 h1 h2 h3 L.D. ρ
z 0 0 1 4 0 17
x2 0 1 1 1 0 2
x1 1 0 0 1 0 3
h3 0 0 3 2 1 3
F.P.
C.P.

55
Como todos los valores de la fila z son positivos (caso maximizar), entonces se encontró la
solución é interpretamos dicha solución.
SOLUCIÓN BÁSICA SOLUCIÓN NO BÁSICA
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Abundante
u
h
u
x
u
x
]
[
3
]
[
2
]
[
3
3
2
1
=
=
=
Escasos
h
h
þ
ý
ü
=
=
0
0
2
1
.]
.
[
17 m
u
z =
Interpretación: Se deben producir 3 unidades de 1
x y 2 unidades de 2
x ,
obteniéndose un beneficio de 17 unidades monetarias.
c) MÉTODOS DE PENALIZACIÓN
Para resolver problemas que incluyen otros tipos de restricciones como ( ≥ y/o = ), se
emplean los llamados Métodos de Penalización, que consideran las características
siguientes:
i) Para las restricciones ( ≥ y/o = ) se añaden variables artificiales (que sirven
como artificio matemático) que facilitan la solución de problemas de este
tipo.
ii) Generalmente si el problema tiene solución factible, éstas se convierten en
variables no básicas con valor final igual a cero.
iii) La iteración cero o paso inicial debe ser corregida en función de las
modificaciones que se hagan en la función objetivo.
c.1) Método de la “ M ”: Este método introduce variables artificiales que son
penalizadas en la función objetivo, para obligarlas a un nivel cero durante el curso
de las iteraciones simplex. El valor que se considera como “M” es un valor positivo
suficientemente grande.
Procedimiento: El método de la “M” utiliza el siguiente procedimiento:

56
Paso 1: Colocar el M.P.L. en su forma estandar, añadiendo:
· Variables de holgura ( h i ) a las restricciones del tipo ≤
· Variables artificiales ( a i ) a las restricciones del tipo =
· Variables superfluas ( s i ) y artificiales ( a i ) a las restricciones del tipo ≥
Paso 2: En la F.O. las variables de holgura ( h i ) y superfluas ( s i ) tienen coeficiente
cero (0). Las variables artificiales ( a i ) se las penaliza con un valor grande, (
M) en el caso de maximizar y (+M) en el caso de minimizar.
Paso 3: Las variables básicas que corresponden a la tabla inicial (Iteración cero) deben
incluir a las variables artificiales, pero sus coeficientes en la F.O. no son cero
sino “M”, por lo que deberán volverse cero utilizando operaciones elementales
de filas, considerando aquellas filas que incluyen a estas variables.
Paso 4: Obtenida la tabla con la F.O. corregida, se continúa con los pasos del simplex
hasta obtener el resultado óptimo.
Ejemplo: Aplicando el método de la M, determine la solución del M.P.L. siguiente:
2
1
5
.
:
.
. x
x
z
Min
O
F +
=
ï
î
ï
í
ì
³
+
£
=
+
12
3
3
5
:
.
.
2
1
1
2
1
x
x
x
x
x
a
S
3
2
1
R
R
R
K
K
K
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
SOLUCIÓN:
Paso 1: 3
3
2
1
2
1 0
0
5
.
:
.
. Ma
S
h
Ma
x
x
z
Min
O
F +
-
+
+
+
=
ï
î
ï
í
ì
=
+
-
+
=
+
=
+
+
12
3
3
5
:
.
.
3
3
2
1
2
1
1
2
1
a
S
x
x
h
x
a
x
x
a
S
3
2
1
R
R
R
®
®
®

57
0
;
;
;
;
;
: 3
3
2
1
2
1 ³
a
S
h
a
x
x
negativos
No
Paso 2: Corregimos la función objetivo despejando las variables artificiales de las
restricciones que las contienen:
3
2
1
3
2
2
1
1
1
3
12
:
5
:
S
x
x
a
R
x
x
a
R
+
-
-
=
-
-
=
Reemplazamos 3
1 a
y
a en la F.O.:
)
3
12
(
0
0
)
5
(
5
. 3
2
1
3
2
2
1
2
1 S
x
x
M
S
h
x
x
M
x
x
z
Min +
-
-
+
-
+
-
-
+
+
=
M
MS
h
x
M
x
M
z
Min 17
0
)
4
1
(
)
2
5
(
. 3
2
2
1 +
+
+
-
+
-
=
M
MS
h
x
M
x
M
z
Min 17
0
)
1
4
(
)
5
2
(
. 3
2
2
1 =
-
-
-
+
-
+
Iteración 0:
x1 x2 a1 h2 S3 a3 L.D. ρ
z 2M5 4M1 0 0 M 0 17M N.S.C.
a1 1 1 1 0 0 0 5 5/1=5
h2 1 0 0 1 0 0 3 N.S.C.
a3 1 3 0 0 1 1 12 12/3=4
Iteración 1:
X1 x2 a1 h2 S3 a3 L.D. ρ
z (2M14)/3 0 0 0 (M1)/3 (14M)/3 M+4 N.S.C.
a1 2/3 0 1 0 1/3 1/3 1 1/(2/3)=1.5
h2 1 0 0 1 0 0 3 3/1=3
x2 1/3 1 0 0 1/3 1/3 4 4/(1/3)=12
C.P.
F.P.

58
Iteración 2:
x1 x2 a1 h2 S3 a3 L.D. ρ
z 0 0 7M 0 2 (M+20)/3 11 N.S.C.
x1 1 0 3/2 0 1/2 1/2 3/2 1.5/0.5=3
h2 0 0 3/2 1 1/2 1/2 3/2 N.S.C.
x2 0 1 1/2 0 1/2 1/2 7/2 N.S.C.
Iteración 3:
X1 x2 a1 h2 S3 a3 L.D. ρ
z 4 0 1M 0 0 (M+14)/3 5
S3 2 0 3 0 1 1 3
h2 1 0 0 1 0 0 3
x2 1 1 1 0 0 0 5
Como todos los valores de la fila z son negativos (caso minimizar), entonces se encontró la
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Abundantes
u
S
u
h
u
x
þ
ý
ü
=
=
=
]
[
3
]
[
3
]
[
5
3
2
2
es
artificial
V
a
a
producir
No
x
.
0
0
0
2
1
1
þ
ý
ü
=
=
=
.]
.
[
5 m
u
z =
x y ninguna unidad de 1
x ,
obteniéndose un beneficio de 5 unidades monetarias. Además se tienen los recursos
correspondientes a las restricciones 3
2 y R
R como abundantes, ya que
3
2 y S
h se encuentran en la base.
c.2) Método de las Dos Fases: Este método trabaja también con variables
artificiales, pero no considera la introducción de un valor grande “M”; ya que

59
computacionalmente, la consideración de éste valor “M” puede hacer que la
solución verdadera se distorsione; es por esto que el método de las dos fases
resulta mas eficiente.
Algoritmo: El método de las dos fases utiliza el siguiente procedimiento:
FASE 1: Considera cinco pasos
Paso 1: Se formula el M.P.L. en la forma estandar, añadiendo:
· Variables de holgura ( h i ) a las restricciones del tipo ≤
· Variables artificiales ( a i ) a las restricciones del tipo =
· Variables superfluas ( s i ) y artificiales ( a i ) a las restricciones del tipo ≥
Paso 2: En la F.O. las variables de holgura y superfluas tienen coeficiente cero (0) ,
pero las variables artificiales tienen como coeficiente uno (1)
Nota: Si el problema tiene solución factible, las variables artificiales deben
ser cero en la tabla final (variables no básicas).
Paso 3: Se construye una F.O. adicional ( z 0 ) que solo tome en cuenta a las
variables artificiales.
Paso 4: Las variables básicas en la tabla inicial ( o iteración cero ) deben incluir a
las variables artificiales ( ya que éstas forman la matriz identidad ), pero
sus coeficientes en la F.O. no son cero sino uno; por lo que estos coeficientes
deben transformarse a cero operando con filas que incluyen a éstas variables
y que luego deben sumarse a la fila de ( z 0 ).
Paso 5: Obtenida la tabla corregida en la F.O., se procede a iterar siguiendo los pasos
del simplex hasta llegar a que la F.O. sea cero, garantizando que las
variables artificiales desaparezcan de la base (es decir que sean cero).
FASE 2: Considera dos pasos:
Paso 1: Se toma en cuenta la última tabla de la fase 1, eliminando las columnas

60
correspondientes a las variables artificiales; y se introducen los valores
originales de la F.O. Se presentará el problema de que las variables básicas
finales no tienen coeficientes cero en la F.O., esto se corrige con operaciones
elementales de filas.
Paso 2: Se verifica la optimidad viendo si todos los coeficientes de la F.O. son
mayores o iguales a cero (caso Maximizar); si esto no ocurre, entonces se
procede a iterar con los pasos del simplex.
Ejemplo: Aplicando el método de las Dos Fases, determine la solución del M.P.L.
siguiente:
2
1 6
2
.
:
.
. x
x
z
Min
O
F +
=
î
í
ì
³
+
=
5
2
2
2
:
.
.
2
1
1
x
x
x
a
S
2
1
R
R
K
K
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
SOLUCIÓN: Si maximizamos en vez de minimizar, entonces debemos transformar la F.O.
según las reglas de transformación vistas anteriormente, obteniendo:
2
1
2
1
6
2
)
(
.
:
.
.
6
2
.
:
.
.
x
x
z
Max
O
F
x
x
z
Min
O
F
-
-
=
-
+
=
Ahora podemos aplicar el algoritmo de las dos fases:
FASE 1
Paso 1 y 2: Expresamos el M.P.L. en su forma estandar
2
3
1
2
1 1
0
1
6
2
)
(
.
:
.
. a
S
a
x
x
z
Max
O
F -
-
-
-
-
=
-
î
í
ì
=
+
-
+
=
+
5
2
2
2
:
.
.
2
2
2
1
1
1
a
S
x
x
a
x
a
S
2
1
R
R
®
®

61
0
;
;
;
;
: 2
2
1
2
1 ³
a
S
a
x
x
negativos
No
Paso 3: Construimos la F.O. adicional ( z 0 ) que considera solo a las variables
artificiales
0
1
1
)
(
.
:
.
.
1
1
)
(
.
:
.
.
2
1
0
2
1
0
=
+
+
-
-
-
=
-
a
a
z
Max
O
F
a
a
z
Max
O
F
Paso 4: Iteración 0
x1 x2 a1 S2 a2 L.D.
z0 0 0 1 0 1 0
a1 1 0 1 0 0 2
a2 2 2 0 1 1 5
Corregimos la fila ( z 0 ), mediante operaciones elementales de filas
(1) a1 : 1 0 1 0 0 2
(1) a2 : 2 2 0 1 1 5
z0 : 0 0 1 0 1 0
z0 Corregido : 3 2 0 1 0 7
Luego la tabla con los valores de la F.O. corregida (fila z 0), será:
x1 x2 a1 S2 a2 L.D. ρ
z0 3 2 0 1 0 7 N.S.C.
a1 1 0 1 0 0 2 2
a2 2 2 0 1 1 5 5/2

62
Paso 5: Iteración 1:
x1 x2 a1 S2 a2 L.D. ρ
z0 0 2 3 1 0 1 N.S.C.
x1 1 0 1 0 0 2 N.S.C.
a2 0 2 2 1 1 1 1/2
Iteración 2:
x1 x2 a1 S2 a2 L.D. ρ
z0 0 0 1 0 1 0
x1 1 0 1 0 0 2
x2 0 1 1 1/2 1/2 1/2
NOTA: La condición de parada es la misma que en el método simplex normal;
la diferencia estriba en que pueden ocurrir dos situaciones cuando se produce la
parada:
· Si la F.O. toma un valor cero )
0
( 0 =
z , significa que el problema original
tiene solución y se pasa a la fases 2.
· Si la F.O. toma un valor distinto de cero )
0
( 0 ¹
z , entonces significa que
el modelo no tiene solución.
Como todos los valores de la fila z 0 son positivos y el valor de la F.O. es cero,
entonces el modelo tiene solución y se pasa a la fase 2.
FASE 2
Paso 1: Introducimos los valores originales de la F.O. en la tabla final de la fase 1 (sin
tomar en cuenta las columnas que corresponden a las variables artificiales) y corregimos
mediante operaciones con filas dichos valores.

63
0
0
6
2
)
(
.
:
.
. 3
2
1 =
+
+
+
- S
x
x
z
Max
O
F
Iteración 3:
Corregimos la fila ( z ), mediante operaciones elementales de filas
(2) x1 : 2 0 0 4
(6) x2 : 0 6 3 3
(z) : 2 6 0 0
(z) Corregido : 0 0 3 7
Iteración 4:
Como todos los valores de la fila z son positivos (caso maximizar), entonces se encontró la
SOLUCIÓN ÓPTIMA
]
[
2
/
1
]
[
2
2
1
u
x
u
x
=
=
Escaso
S 0
2 =
.]
.
[
7 m
u
z =
x y 0.5 unidades de 2
x
obteniéndose un beneficio de 7 unidades monetarias. Teniendo como escaso el recurso
x1 x2 S2 L.D.
z 2 6 0 0
x1 1 0 0 2
x2 0 1 1/2 1/2
x1 x2 S2 L.D.
z 0 0 3 7
x1 1 0 0 2
x2 0 1 1/2 1/2

64
correspondiente a la restricción 2
R .
TIPOS DE SOLUCIONES QUE SE PRESENTAN EN LA SOLUCIÓN
ANALÍTICA DE UN M.P.L.
La interpretación de la solución analítica de un M.P.L. presenta los siguientes casos:
i) Solución No Factible: Se presenta cuando alguna de las variables artificiales
añadidas, nó desaparecen de la base; conociéndose esto como solución no factible.
Ejemplo: 2
1 6
2
.
:
.
. x
x
Z
Max
O
F +
=
î
í
ì
³
+
=
5
2
2
2
:
.
.
2
1
1
x
x
x
a
S
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
ii) Solución Óptima No Acotada: Se conoce también como solución infinita y se presenta cuando en una
Ejemplo: 2
1 6
2
.
:
.
. x
x
Z
Max
O
F +
=
î
í
ì
³
+
=
5
2
2
2
:
.
.
2
1
1
x
x
x
a
S
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
1
x 2
x 1
a 2
S 2
a .
.D
L
z M+4 0 2M+6 M 0 12M
2
x 1 1 1 0 0 2
2
a 1 0 2 1 1 1
1
x 2
x 1
a 2
S 2
a .
.D
L ρ
z 0 0 M4 3 M+3 7 N.S.C.
1
x 1 0 1 0 0 2 N.S.C.
2
x 0 1 1 1/2 1/2 1/2 N.S.C.

65
ii) Solución Óptima Múltiple: Se reconoce cuando una variable no básica tiene
coeficiente cero en la función objetivo.
Ejemplo: 2
1 5
5
.
:
.
. x
x
Z
Max
O
F +
=
î
í
ì
£
£
+
3
5
:
.
.
1
2
1
x
x
x
a
S
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
iv) Soluciones Cíclicas y Degeneradas: Estas soluciones se presentan cuando se
tiene un empate para elegir la variable de entrada, empate que se rompe
arbitrariamente; pero cuando se tiene empate en el radio ( r ) a veces elegir
arbitrariamente puede conducir a un Ciclaje. Es decir que luego de varias
iteraciones se repite la solución inicial, sin lograr obtener la solución óptima.
Este tipo de casos generalmente se presenta en problemas con soluciones factibles
básicas degeneradas; es decir en aquellas que tengan por lo menos un lado
derecho igual a cero.
1
x 2
x 1
h 2
h .
.D
L ρ
z 0 0 5 0 25 N.S.C.
2
x 0 1 1 1 2 N.S.C.
1
x 1 0 0 1 3 3/1=3
1
x 2
x 1
h 2
h .
.D
L
z 0 0 5 0 25
2
x 1 1 1 0 5
2
h 1 0 0 1 3

66
UNIDAD 4
TEORIA DE LA DUALIDAD
4.1 Introducción
Los problemas de P.L. pueden ser propuestos de una manera diferente; un
planteamiento en base ya no a la asignación de recursos, sino a la utilización de los
mismos. Este tipo de razonamiento tiene relación con lo que se llama Interpretación
Dual.
4.2 Definición
La dualidad es una técnica matemática alternativa y complementaria a la programación
lineal, ya que en algunos casos permite simplificar la resolución de un M.P.L.; siendo
útil cuando:
· Se tienen que resolver problemas lineales que tienen más restricciones que
variables.
· Se quiere profundizar en la interpretación económica del problema primal,
analizando conceptos como el de: variable dual, precio sombra o valor
marginal de los recursos consumidos, además propiedades como la de
holgura complementaria y consumo de recursos limitados.
Nota
Todos los modelos matemáticos de programación lineal conocidos hasta ahora se
conocen como programas primales.
Una aplicación importante de la teoría de la dualidad es, que puede resolverse el
problema dual directamente con el método simplex, con la finalidad de identificar una
solución óptima para el problema primal. A demás la teoría de la dualidad juega un
papel importante en el análisis de sensibilidad.
4.3 Formulación del Dual
Las características de transformación del Primal al Dual son las siguientes:
i) Si la F.O. del modelo primal es Maximizar, entonces la F.O. en el

67
modelo dual será de Minimizar y viceversa.
ii) Cada restricción del modelo primal genera una variable en el modelo
dual.
iii) Cada variable del modelo primal genera una restricción en el modelo
dual.
iv) La F.O. del modelo dual, se genera a partir de las variables de cada
restricción y tienen como coeficiente a los lados derechos de las
restricciones del modelo primal.
v) Si alguna restricción del modelo primal estuviese definido con la
igualdad, entonces ésta genera una variable sin restricción de signo en
el modelo dual.
4.4 Comparación del modelo PRIMAL con el DUAL
PRIMAL EQUIVALE DUAL
Función Objetivo
Max Z
Min Z
→
→
Función Objetivo
Min Z 0
Max Z 0
Restricciones
Si R i ≤ b i
Si R i = b i
Si R i ≥ b i
→
→
→
Variables
Y i ≥ 0
Y i S.R.S.
Y i ≤ 0
Variables
Si X j ≥ 0
Si X j S.R.S.
Si X j ≤ 0
→
→
→
Restricciones
R j ≥ c j
R j = c j
R j ≥ c j

68
4.5 Tabla resumen de transformación
4.6 Interpretación económica de las variables duales
i) Precios Sombra: Son también conocidos como precios duales y se
define como el valor por unidad de recurso adicional que se quiere
utilizar.
Otras interpretaciones son:
· Exactamente cuánto debe estar dispuesto a pagar una compañía por
hacer disponibles los recursos adicionales.
· ¿Es conveniente pagar a los trabajadores una cuota de tiempo extra
para incrementar la producción?
· Analizar si vale la pena incrementar mas tiempo de uso de máquina a
un costo de “x” o más $us. por unidad producida.
ii) Mientras que la utilidad total de todas las actividades sea menor que el
valor de los recursos, entonces la solución primal y dual correspondientes
no pueden ser óptimas.
iii) Solo se llega a la utilidad máxima, cuando los recursos se han explotado
completamente, lo cual sucede cuando el valor de los recursos (Z 0)
excede a la utilidad (Z ).
EJEMPLOS: En cada uno de los M.P.L. siguientes, realice la transformación del
Modelo Primal al Modelo Dual.
Problema Primal (x i ) Problema Dual (y i ) Signo de la
Variable
F.O. Primal F.O. Dual Tipo de Restricción
Max. Z
Min. Z
Min. Z 0
Max. Z 0
≥
≤
S.R.S.
S.R.S.

69
1) Modelo Primal:
3
2
1 4
12
5
.
:
.
. x
x
x
z
Max
O
F +
+
=
î
í
ì
=
+
-
£
+
+
8
3
2
10
2
:
.
.
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
a
S
2
1
R
R
K
K
0
;
;
: 3
2
1 ³
x
x
x
negativos
No
Primal Estándar:
0
;
;
;
;
:
8
3
2
10
2
:
.
.
0
4
12
5
.
:
.
.
2
1
3
2
1
2
3
2
1
1
3
2
1
2
1
3
2
1
³
î
í
ì
=
+
+
-
=
+
+
+
-
+
+
+
=
a
h
x
x
x
negativos
No
a
x
x
x
h
x
x
x
a
S
Ma
h
x
x
x
z
Max
O
F
2
1
y
y
¬
¬
4
3
2
1 R
R
R
R
-
-
-
-
Modelo Dual: Finalmente el Dual:
.
.
.
;
0
0
4
3
12
2
5
2
:
.
.
8
10
.
2
1
4
2
1
3
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
0
S
R
S
y
y
R
y
y
R
y
y
R
y
y
R
y
y
a
S
y
y
z
Min
K
K
K
K
³
+
ï
î
ï
í
ì
³
+
³
-
³
+
+
=
.
.
.
;
0
4
3
12
2
5
2
:
.
.
8
10
.
:
.
.
2
1
3
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
0
S
R
S
y
y
R
y
y
R
y
y
R
y
y
a
S
y
y
z
Min
O
F
³
ï
î
ï
í
ì
³
+
³
-
³
+
+
=
K
K
K

70
2) Convierta al Modelo Dual el Modelo Primal siguiente:
2
1 12
15
.
:
.
. x
x
z
Min
O
F +
=
î
í
ì
£
+
³
+
5
4
2
3
2
:
.
.
2
1
2
1
x
x
x
x
a
S
2
1
R
R
K
K
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
3) Realice la transformación del M.P.L. (de pinturas Monopol) al Dual, encuentre
la solución óptima del modelo Dual y realice un análisis comparativo de ésta
solución con la última tabla de la solución del primal.
Siendo: =
1
=
2
Modelo Primal: [ ]
día
$us
Miles
x
x
z
Max
O
F /
.
4
5
.
:
.
. 2
1 +
=
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
£
£
+
-
£
+
£
+
2
1
6
2
24
4
6
:
.
.
2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
a
S
.
.
2
1
4
3
2
1
Ext
Demanda
R
Demanda
R
R
M
R
M
R
K
K
K
K
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
Primal Estándar:
0
;
;
;
;
;
:
2
1
6
2
24
4
6
:
.
.
0
0
0
0
4
5
.
:
.
.
4
3
2
1
2
1
4
2
3
2
1
2
2
1
1
2
1
4
3
2
1
2
1
³
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
+
=
+
+
-
=
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
h
h
h
h
x
x
negativos
No
h
x
h
x
x
h
x
x
h
x
x
a
S
h
h
h
h
x
x
z
Max
O
F
4
3
2
1
y
y
y
y
¬
¬
¬
¬

71
6
5
4
3
2
1 R
R
R
R
R
R
-
-
-
-
-
-
Modelo Dual:
.
.
.
;
;
;
0
0
0
0
4
2
4
5
6
:
.
.
2
6
24
.
:
.
.
4
3
2
1
6
4
5
3
4
2
3
1
2
4
3
2
1
1
3
2
1
4
3
2
1
0
S
R
S
y
y
y
y
R
y
R
y
R
y
R
y
R
y
y
y
y
R
y
y
y
a
S
y
y
y
y
z
Min
O
F
K
K
K
K
K
K
³
³
³
³
î
í
ì
³
+
+
+
³
+
+
+
+
+
=
Finalmente el Dual:
4
3
2
1
0 2
6
24
.
:
.
. y
y
y
y
z
Min
O
F +
+
+
=
î
í
ì
³
+
+
+
³
+
+
4
2
4
5
6
:
.
.
4
3
2
1
3
2
1
y
y
y
y
y
y
y
a
S
0
;
;
;
: 4
3
2
1 ³
y
y
y
y
negativos
No
Aplicando el software TORA se obtienen los siguientes resultados:
Solución del modelo Dual
Tabla final: Aplicando el Método de la M, se obtiene en 4 iteraciones
Iteración 4:
y1 y2 y3 y4 S1 a1 S2 a2 L.D.
z 0 0 0 5/2 1/2 3 97 1/2 98.5 21
h1 1 0 0.38 0.13 0.25 0.25 0.13 0.13 3/4
h2 0 1 1.25 0.75 0.5 0.5 0.75 0.75 1/2

72
SOLUCIÓN BÁSICA SOLUCIÓN NO BÁSICA SOLUCIÓN
ÓPTIMA
]
2
.
/
$
[
5
.
0
]
1
.
/
$
[
75
.
0
2
1
M
Tn
us
Miles
y
M
Tn
us
Miles
y
=
=
2
0
1
0
0
0
2
1
4
3
M
Escasa
S
M
Escasa
S
demanda
Escasa
y
demanda
Escasa
y
=
=
=
=
]
/
.
$
[
21 día
us
Miles
z =
Interpretación: Los valores obtenidos de las variables duales
]
1
.
/
$
[
75
.
0
1 M
Tn
us
Miles
y = ;
]
2
.
/
$
[
5
.
0
2 M
Tn
us
Miles
y = nos indican el precio unidad adicional de materia prima
M1 y M2 que se deben pagar, obteniendo como en el caso del primal una utilidad de
]
/
.
[
21000 día
$us .
Solución del modelo Primal
Tabla final: Aplicando el Método de Simplex, se obtiene en 3 iteraciones
x1 x2 h1 h2 h3 h4 L.D.
z 0 0 3/4 1/2 0 0 21
x1 1 0 1/4 1/2 0 0 3
x2 0 1 1/8 3/4 0 0 3/2
h3 0 0 3/8 5/4 1 0 5/2
h4 0 0 1/8 3/4 0 1 1/2
SOLUCIÓN BÁSICA SOLUCIÓN NO BÁSICA SOLUCIÓN
ÓPTIMA
.
2
/
1
.
2
/
5
.
int
/
]
/
.
[
2
/
3
ext.
/
]
/
.
[
3
4
3
2
1
Dem
Abundante
h
Dem
Abundante
h
p
día
Tn
x
p
día
Tn
x
=
=
=
=
Escasos
h
h
þ
ý
ü
=
=
0
0
2
1
]
/
.
$
[
21 día
us
Miles
z =

73
Interpretación: La empresa de Pinturas Monopol deberá producir 3 Tn./día de pintura para
exteriores y 1.5 Tn./día de pintura para interiores, obteniendo de esta manera una utilidad
máxima de 21000 $us./día.; haciendo uso total de sus materias primas M1 , M2 y no
cubriendo totalmente con las restricciones de demanda.

74
UNIDAD 5
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
5.1 Introducción
En aplicaciones prácticas, no solamente interesa la solución del problema propuesto,
sino también se desea saber como cambia esta solución si las condiciones iniciales del
problema se modifican; es decir si cambian los coeficientes de la función objetivo, los
coeficientes de los recursos y la cantidad de recursos disponibles.
En este sentido el análisis de sensibilidad, convierte a la solución estática de la
programación lineal en un instrumento dinámico que evalúa las condiciones cambiantes
del problema.
Por lo tanto el Análisis de Sensibilidad adquiere mayor utilidad como instrumento
administrativo, ya que los negocios y las industrias están sometidos a cambios continuos
que dan lugar a una subsiguiente reevaluación del sistema actual, logrando de esta
manera la prueba de Factibilidad y Optimalidad.
5.2 Tipos de cambios en un M.P.L.
El análisis de sensibilidad considera dos tipos de cambios en un M.P.L. (Discretos y
Continuos); los cambios que consideraremos en los ejemplos a analizar en la materia se
tratan de cambios discretos, los cuales se pueden realizar en:
i) Cambios en el vector “ b ”: Los cambios en los parámetros de los
recursos disponibles ( b i ), se realizan a partir de la tabla final del
Simplex, desarrollando los cálculos en base a las siguientes expresiones:
( ) 0
1
³
D
+
*
-
b
B b
B
x B *
= -1
B
B x
C
z *
=
Donde:
1
-
B = Matriz inversa, formada por las columnas de los precios

75
duales
b = Matriz formada por la disponibilidad de los recursos
D = Incremento en la disponibilidad de un recurso
B
x = Matriz (corregida) formada por la columna de las variables
básicas
B
C = Matriz (corregida) formada por la fila de los coeficientes
que corresponden a las variables básicas.
ii) Cambios en el vector “ C ”: Los cambios en los coeficientes de las
variables básicas en la función objetivo, se realizan mediante las siguientes
expresiones:
( )
C
A
y
C
Z -
*
=
- *
*
A
B
A *
= -
* 1
Donde:
C = Matriz formada por los coeficientes de la función objetivo
A = Matriz formada por los coeficientes de las restricciones
y*
= Precios sombra (o precios duales)
EJEMPLOS: Realice el análisis de sensibilidad para siguientes problemas.
11. La empresa de confecciones “ROMY” fabrica ropa industrial: camisas y overoles
para las diferentes empresas. Cada camisa requiere 2 hrs.–hombre y cada overol
requieren 10 hrs.– hombre. Para la confección de una camisa se requiere 1 metro de
tela y para un overol 3 metros de tela. Ambas telas son diferentes. Se dispone
semanalmente de 120 metros de tela para camisas y 300 metros de tela para overoles.
Se trabaja 5 días a la semana con 10 operarios. Las utilidades son de 20 Bs. / camisa
y 80 Bs. / overol. ¿Cuál es el mejor plan de producción para la empresa?.
CONFECCIONES “ ROMY”
x1 = Cantidad de Camisas a producir [u / sem.]
x2 = Cantidad de Overoles a producir [u / sem.]

76
2
1 80
20
:
.
. x
x
Z
Max
O
F +
= [ Bs. / sem.]
ï
î
ï
í
ì
£
£
£
+
300
3
120
400
10
2
:
.
.
2
1
2
1
x
x
x
x
a
S
0
;
0
: 2
1 ³
³ x
x
negativos
No
Resolviendo el M.P.L. la solución óptima es:
x1 x2 h1 h2 h3 L.D.
z 0 0 8 4 0 3680
x2 0 1 0.1 0.2 0 16
x1 1 0 0 1 0 120
h3 0 0 0.3 0.6 1 252
SOLUCIÓN BÁSICA SOLUCIÓN NÓ BASICA
x1 = 120 [u / sem.] Camisas h1 = 0 [hh / sem.] Escasa M.O.
x2 = 16 [u / sem.] Overoles h2 = 0 [m / sem.] Escasa Tela
p/Camisas
h3 = 252 [m / sem.] Abundante Tela p/Overoles
SOLUCIÓN ÓPTIMA: z = 3680 [ Bs. / sem.] Utilidad máxima
Cambios en la disponibilidad de los recursos (vector “b”): Primeramente debemos
determinar los límites entre los cuales podemos variar el recurso que nos permita
mejorar la solución obtenida anteriormente, para luego modificar el recurso y calcular
los nuevos valores óptimos.
( ) 0
1
³
D
+
*
-
b
B
Mano de Obra
Tela para Camisas
Tela para Overoles

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