Itec c gy gf 2012

CONTROL DE GESTIÓN Y GESTIÓN FINANCIERA
Prof. Lic. Gustavo G. Sosa

GESTI Ó N FINANCIERA : INTERESES SIMPLES Y
COMPUESTOS . TASAS EQUIVALENTES

TEORÍA DEL INTERÉS – RÉGIMEN A INTERES SIMPLE

TEORÍA DEL INTERÉS
En un mundo globalizado, la rápida y compleja interrelación de los mercados
mundiales, y en especial de los "mercados financieros", sin duda alguna afecta
nuestras decisiones económicas por pequeñas que ellas sean en el contexto macro
financiero.
El parámetro fundamental que manifiesta la situación de los mercados de
capitales es sin duda la "tasa de interés", parámetro que nos permite visualizar el
comportamiento del sistema financiero, tener una perspectiva, analizar la viabilidad y
rentabilidad de una inversión y la conveniencia o no de acceder al mercado financiero
en busca de capitales.
El interés en economía, se considera, más específicamente, un pago realizado
por la obtención de capital. Los economistas también consideran el interés como la
recompensa del ahorro, es decir, el pago que se ofrece para animar a la gente a que
ahorre, permitiendo que otras personas accedan a este ahorro.
La tasa de interés corriente, o del mercado, se calcula fundamentalmente en
base a la relación entre la oferta de dinero y la demanda de los prestatarios. Cuando
la oferta de dinero disponible para la inversión aumenta más rápido que las
necesidades de las personas que requieren el préstamo, las tasas de interés tienden
a bajar. Asimismo, las tasas de interés suben cuando la demanda de capitales crece
más rápido que la oferta de los capitales o fondos disponibles para el préstamo. Es
evidente que una empresa u hombres de negocios no se endeudarán cuando las
tasas de interés sean superiores a la rentabilidad que esperan que ese dinero
produzca.

OBJETIVOS
En la actualidad los cálculos financieros han adquirido una mayor importancia
en las empresas, en las administraciones públicas y en las economías familiares.
Como rama de las Ciencias Matemáticas, la Matemática Financiera está
destinada a resolver problemas de naturaleza económica o financiera, y comprende el
estudio analítico y sistemático de las operaciones financieras.
En cuanto a la cuantía en la posesión del capital podemos distinguir dos tipos de
unidades económicas:

Superavitarias , son las que poseen capital en exceso, por lo que deciden prestarlo
a terceros percibiendo por ello un "beneficio" que se llama "interés".
Deficitarias son las que poseen una escasez de liquidez financiera o dinero, por lo
que deben recurrir a las primeras en busca de capital para poder funcionar o

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desenvolverse, pagando por ello un "costo financiero" que es el
"interés" que perciben quienes prestan esos capitales.

SUPERAVITARIAS DEFICITARIAS

interés

Si no se dispone de un capital y se desea realizar un consumo o simplemente
una inversión, se acude a quienes están dispuestos a ceder su uso por un período
en condiciones determinadas. Al cabo del periodo habrá que devolver el capital y,
seguramente, unos intereses que se calcularán mediante la aplicación de un tipo de
interés.
El criterio de cálculo de los intereses se fija mediante el uso de una ley
financiera , que no es más que la concreción del mismo.
Entonces, al uso del capital se le asocian factores que hacen que su valor
en términos monetarios varíe. Los factores que han de tenerse en cuenta son:

 el tiempo n
 la tasa de interés i ( o tipo de interés)
 el criterio de calculo del interés incluyendo la ley financiera aplicada al capital
inicial Co.
El valor de un capital, por tanto, dependerá del momento de su valoración y
del tipo aplicado según una determinada ley financiera.
Llamamos valor actual de un capital al valor que tiene en el presente y
como valor final al valor que tiene en el momento de su vencimiento final.
El primer capital recibe el nombre de capital inicial " Co " , y el último,
capital final " Cn ".

OPERACIONES FINANCIERAS
Una operación financiera consiste en un intercambio no simultáneo de
capitales .

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Son ejemplos de operaciones Financieras: los depósitos en
caja de ahorro, plazos fijos, préstamos, etc. De los ejemplos anteriores podemos
extraer algunas características de las operaciones financieras:
1. Se trata de una relación donde existen dos partes, una deudora y
una acreedora.
2. Hay un intercambio, es decir que una de las partes le ceda a la
otra el bien y la otra la reciba para generar nuevos bienes y servicios.
3. Se trata de ceder un capital que tiene la capacidad de generar
nuevos bienes y servicios.
4. El intercambio de capitales no se produce en un mismo momento,
sino que es necesario que el tiempo haya transcurrido.

CONCEPTOS DE CAPITALIZACI Ó N Y ACTUALIZACI Ó N
 CAPITALIZACI Ó N estudia y analiza los procesos de trasladar valores del
presente al futuro.
Ejemplos: depósitos a playo fijo, en caja de ahorros, imposiciones, etc.
 ACTUALIZACION: estudia y analiza los procesos inversos.
Ejemplos descuento de documentos, amortización de deudas, evaluación de proyectos
de inversión, etc.

POSTULADO FUNDAMENTAL DE LA MATEMÁTICA FINANCIERA

“ EL CAPITAL CRECE CON EL TRANCURSO DEL TIEMPO ''

Este postulado no necesita de ninguna demostración, surge de la realidad misma. Se
asemeja a un proceso biológico, se puede medir, no se produce todo en un momento,
sino que en forma continua viene creciendo
El capital es una variable que puede simbolizarse en función del tiempo, siendo
el tiempo una variable independiente.

Teniendo en cuenta lo expresado, llamaremos;
Co: valor del capital en el momento "o " (cero) '
Cn: valor del capital en el momento "n"
Co : es el valor del capital al momento en que se inicia la operación, y debe ser
mayor que 0. El crecimiento que experimenta Co se produce en forma continua, pero
por razones prácticas, ese crecimiento se mide en intervalos preestablecidos y
discretos de tiempo.

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Unidad de Tiempo “ u de t “ : periodo al final del cual se mide el crecimiento del
capital, es el período al final del cual se pagan y/o capitalizan los intereses.

TASA DE INTERÉS “ i “

Existen distintas formas de definir la tasa de interés, pero todas ellas resultan
equivalentes:
1- La tasa de interés es la cantidad que se abona en una unidad de tiempo por
cada unidad de capital invertido.
2- La tasa de interés es el incremento de una unidad de moneda en una unidad de
tiempo.
3- La tasa de interés es el rendimiento de una unidad de capital en una unidad de
tiempo.

Regímenes de Capitalización

Toda operación financiera, ya sea de capitalización o de descuento, esta sujeta
a una determinada ley financiera que se denomina régimen de capitalización .
Existen dos tipos de capitalización;

Simple: Este régimen de capitalización se caracteriza porque la variación que
sufre el capital como consecuencia de la aplicación de la ley no es acumulativa, es
decir, que los intereses que se van generando en cada período o unidad de tiempo
se cobran o se retiran al final de la misma. Los intereses no se agregan al capital
para el cálculo de intereses del período siguiente.

 Compuesto : aquí la variación que sufre el capital es acumulativa. Los intereses
generados en cada período se agregan al capital para el cálculo de los intereses de
la próxima unidad de tiempo o período.

Capital

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Co

1 2
3 Períodos ( n )

RÉGIMEN A INTERÉS SIMPLE
En este régimen, los intereses producidos en cada periodo de capitalización, no
se agregan al capital inicial con el fin de calcular los intereses del periodo siguiente,
siendo por lo tanto, los intereses constantes ó iguales en cada una de las unidades
de tiempo.

Fórmula del Interés Simple
I = Co . i para una unidad de tiempo
I = Co . i . n para “nÓ unidades de tiempo

MONTO : Es la suma del capital inicial más los intereses que dicho capital produce
C n = Co + I reemplazando I = Co . i. n
C n = Co + Co . i. n sacando factor común "Co", resulta
C n = Co . ( 1 + i . n ) Fórmula del Monto a Interés Simple

FACTORES DE CAPITALIZACI Ó N Y ACTUALIZACI Ó N
Como hemos visto en los puntos anteriores las dos operaciones financieras
fundamentales son:
 Actualización
 Capitalización
Estas dos operaciones, son las operaciones básicas financieras y son
operaciones inversas, es decir la "capitalización" es la operación que me permite
obtener el monto o capital final, mientras que la "actualización" me permite obtener el
capital actual de un capital futuro.
(1 + n . i ) ==> factor de capitalización simple, permite al multiplicar un capital original
Co por el mismo, trasladarlo al futuro, o sea o sea al final de las "n" unidades de
tiempo.
1/(1 + n . i ) ó (1 + n . i ) -1 ==> factor de actualización simple, permite al multiplicarlo
por un capital final "Cn", conocer el valor presente de dicho capital.

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GESTI Ó N FINANCIERA : INTERESES SIMPLES Y COMPUESTOS . TASAS
EQUIVALENTES

PRÁCTICAS

1) Marque las afirmaciones incorrectas y justifique
a- Una operación financiera consiste en un intercambio de capitales en forma simultánea
b- El tanto de interés representa el rendimiento de una unidad de capital en una unidad
de tiempo
c- El capital final o monto se obtiene por la diferencia entre el capital inicial y el interés
d- El cálculo de intereses por método simple implica que los intereses de cada período
son incorporados al capital para el cálculo de los intereses del siguiente período
e- Los intereses de un período se calculan como: I = C x i
f- Los interese de un período se calculan como: I = C x i x n
g- El interés de una operación puede definirse como la variación cuantitativa del capital
en el tiempo.
2) ¿Cuál es el interés que produce un capital de $ 39.000.- colocado al 0,02 mensual durante 7 meses?

3) ¿Qué interés producen $ 54.500 depositados durante 9 meses al 7 % anual?

4) Calcular el interés producido por $ 27.000 colocados al 3,5 % mensual durante 2 trimestres

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5) ¿Cuál es el interés producido por un capital de $ 42.500 colocado al 18 %
anual durante 36 meses?
6) Se tiene un capital de $ 30.000, las 3/5 partes del mismo se colocan durante 2,5 bimestres al 2 %
mensual, y el resto durante 7 meses a una tasa superior en un punto a la que se colocó el primer capital.
Se desea conocer el valor del interés producido en total.

7) Un capital de $ 68.000 se coloca por mitades en dos instituciones financieras durante 6 meses. En la
primera gana el 48 % anual y en la segunda el 24 % anual. Determinar el valor del interés total al final
del plazo estipulado.
8) Se tiene un capital de $ 9.000 y otro equivalente al doble del primero. El primero se coloca al 5 %
mensual durante 1 trimestre y el segundo al 7 % mensual durante 1 semestre. Calcular el interés total
producido
9) Determinar el valor del capital que en 6 meses al 24 % anual produce un interés de $ 6.700

10) ¿Cuál es el capital que en 15 meses al 2,5 % bimestral produce un interés de $ 900?

11) Si el 80% de un capital en 2 años colocado al 5% mensual produce un interés de $ 3.500, ¿cuál es
el valor de dicho capital?
12) ¿Cuál es el capital que en 5 meses y 20 días colocado al 0,2% para 15 días produce una ganancia de
$ 500?
13) ¿Durante cuántos trimestres debe colocarse un capital al 0,10 semestral para que al final del plazo
se duplique?

14) ¿A qué tasa de interés se deberá colocar un capital de $ 20.000 durante 7 meses para generar una
ganancia de $ 2.700?

15) Se tienen dos capitales de $ 20.000 y $ 27.000 respectivamente; el primero se coloca durante 6
meses al 18% anual, mientras que el segundo se coloca durante 9 meses a una tasa de interés tal que, al
finalizar el plazo, el interés ganado en conjunto asciende a $ 5.850. ¿Cuál es la tasa de interés anual a la
que se colocó el segundo capital?

16) ¿A que tasa de interés anual deberá colocarse un capital de $ 15.000 durante 10 meses para obtener
un interés equivalente al 40% del mismo?

17) ¿Durante cuánto tiempo se colocaron $ 9.500 al 0,025 mensual para producir un interés de $
1.025?
18) Se tienen dos capitales uno de $ 35.000 y otro de $ 17.000.si el primero se coloca al 5% mensual
durante 3 bimestres, y el segundo al 3,5% mensual durante un lapso de tiempo tal que, al finalizar el
mismo, permiten obtener una ganancia total de $ 12.880. ¿Durante cuánto tiempo permaneció colocado
el segundo capital?

19) Se ha efectuado una inversión durante 10 meses al 0,05 bimestral; 4 meses más tarde se hace otra
inversión con igual vencimiento, pero a una tasa del 7% bimestral. La ganancia producida por ambas al
momento en que finaliza el plazo es de $ 1.130. Se desea conocer el valor de cada una de las
inversiones, sabiendo que la segunda supera en un 50% a la primera

20) Se tienen dos capitales que producen una ganancia total de $ 1.278. El primero se coloca al 3%
mensual durante un trimestre y el segundo a una tasa mensual que supera en un punto y medio a la del
primero durante un semestre. Sabiendo que el segundo capital es inferior en un 15% al primero, ¿cuál
es el valor de ambos capitales?

21) ¿Cuál es el monto que producen $ 2.350 colocados al 6% semestral durante 18 meses?

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22) Determinar el valor final de un capital de $ 6.300 colocado al 0,24 anual
durante 15 meses

23) Calcular el valor del capital que en 9 meses y 20 días se convirtió en $ 12.500 a una tasa del 0,48
anual
24) ¿Qué capital se depositó hace 120 días, si hoy se retiran $ 33.050, al 24% anual?

25) ¿Cuál es la tasa mensual de interés que en un cuatrimestre con un capital de $ 8.000 permitió reunir
un monto de $ 9.120?
26) ¿Durante cuántos meses permaneció colocado un capital de $ 39.000 si produjo un monto de $
48.360 al 0,04 mensual?
27) Un capital e $ 50.000 se divide en dos partes equivalentes al 75% y 25% del mismo
respectivamente. El primero se coloca al 3,5% mensual durante un bimestre y el segundo durante un
trimestre a una tasa tal que en conjunto producen un monto de $ 54.125. Se desea determinar el valor
de la tasa mensual a la que se colocó el segundo capital

28) Dos capitales producen un monto total de $ 17.094. El primero se coloca al 12% anual durante 18
meses; el segundo capital a una tasa del 0,18 anual durante 21 meses. Sabiendo que el primer capital
supera en un 30% al segundo. Calcular el valor de ambos capitales.

29) Se tienen dos capitales. Uno de $ 25.000 que se coloca al 3% mensual durante 1 año. Y el otro
inferior en $ 5.000 al primero, que se coloca al 0,05 mensual durante un lapso de tiempo tal que en
conjunto permiten retirar $ 63.000. ¿Cuántos meses permaneció colocado el segundo
capital?
30) De las siguientes operaciones con dinero, indicar cuáles son y cuáles no son financieras. Analizar
la presencia de los tres elementos necesario para que una operación sea financiera (capital prestado,
retribución por uso del capital, transcurso del tiempo)

a) El pago del alquiler de un Departamento debe realizarse mensualmente el día 10 de cada
mes.

a.1) el pago en término del alquiler del departamento

a.2) el pago del alquiler mencionado el día 18 del mes

b) El depósito de $ 1000 en un plazo fijo, durante 28 días
c) El depósito de $ 3000 en una cuenta corriente bancaria
d) La venta de un artefacto cuyo precio de contado es de $ 95, pagando a los 30 días $ 100
e) La compra de un artículo, cuyo precio de venta al contado es de $ 130, utilizando para el
pago una tarjeta de crédito
e.1) la compra se concreta por los $ 130
e.2) la compra la facturan por $ 143, a consecuencia de haberla realizado con una
tarjeta de crédito

31) Se prestan $ 700 el día 10 de marzo, durante 14 días, debiendo devolver al vencimiento $ 719.
a) ¿Cuál es la tasa de interés aplicada?
b) ¿Cuál es el día que debe devolverse el capital final?

32) Se depositan $ 300 el día 6 de abril, en un plazo fijo. El día 27 de abril, se retira el capital inicial
más los intereses ganados, si la tasa aplicada a la operación es del 0,03. Se pide:
a) la unidad de tiempo
b) el capital retirado

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33) Calcular el interés que producen $ 13000 en 9,5 meses al 2% mensual.

34) ¿Cuál es el interés producido por $ 14 500 en 3 meses al 1,5% mensual?.

35) Calcular el interés que ha ganado una colocación de $ 17000 que permaneció invertida durante 15
meses al 12% semestral.

36) Determine cuál es el capital que en 120 días produce $ 1224 de interés al 18% anual.

37) Calcule el capital que en 5 meses y 20 días produce $ 1 020 de interés al 18% anual.

38) Si las 2/3 partes de un capital producen $ 3300 de interés en 7 meses y 10 días al 24% anual, ¿cuál
es el valor del mencionado capital?.

39) Calcule el capital inicial de un depósito sí el duplo del mismo produce, en 5 meses y 20 días, un
interés de $ 2720 al 18% anual.

40) El 15 de marzo se coloca la tercera parte de un capital al 20% anual de interés durante 9 meses. El
resto de ese capital se coloca en la misma fecha al 24% anual durante el mismo lapso. Si el interés
total al 15 de diciembre es $ 120 000, ¿cuál es el capital originario?

41) ¿A qué porcentaje anual se colocaron $ 23000 si en 14 meses ganaron $ 5903,33?

42) Un capital de $ 32560 permaneció colocado durante 8,5 meses ganando en concepto de intereses
la suma de $ 4151,40. ¿A qué tasa de interés se colocó?

43) ¿A qué tasa de interés anual se coloco un capital de $ 46 885 que en 7 meses y 15 días se
incremento en $ 7032,75?

44) Calcule la tasa de interés anual que en 8 meses hizo que un capital de $ 71325 produjera una
ganancia de $ 9034,50.

45) Las 2/3 partes de un capital de $ 10.500 se colocaron durante 6 meses al 10% anual, mientras que
el resto de ese capital se colocó durante el mismo lapso a una tasa de interés distinta. Si el interés
producido por ambas partes del capital inicial es $ 560, ¿cuál es la tasa a la que se colocó la tercera
parte restante?

46) Se tienen dos capitales de $ 10000 y $ 15000, respectivamente; el primero se coloca durante 9
meses al 18% anual, mientras que el segundo se coloca durante medio año a una tasa de interés tal
que, al final del plazo, el interés ganado asciende en total a $ 2850, ¿Cuál es la tasa de interés a la que
se colocó el segundo capital?.

47) ¿Cuánto tiempo debe permanecer depositado un capital de $ 30000 colocado al 24% anual para
ganar $ 8400 de interés?.

48) Calcule en cuánto tiempo $ 25000 ganan $ 3333,33 de interés si se colocan al 20% anual.

49) Calcule en cuánto tiempo $ 16000 ganan $ 16.000 de interés si se colocan al 24% anual.

50) ¿En cuánto tiempo $ 25000 se incrementan en $ 7.800 si permanecen colocados al 20% anual?

51) ¿En cuánto tiempo $ 47 000, colocados al 20% anual, ganan $ 5000 de interés?

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52) Una persona posee $ 27000. Las 2/3 partes de ese capital consigue
colocarlas al 24% anual durante 6 meses, mientras que el resto lo coloca al 20% anual durante un
período de tiempo tal que, finalizado el mismo, se obtiene una ganancia total de $ 3510. ¿Cuál es el
tiempo de colocación del tercio del capital inicial?

53) El 15 de abril se depositan $ 30000 al 72% anual. Determinar cuánto se retira el día 15 de
diciembre.

54) Se depositaron $ 25 000 durante 120 días en un Banco que paga el 84% anual de interés. Calcular
cuál es el total retirado, si: a) se toman 360 días en el año; b) se toman 365 días en el año.

55) El 15 de abril se depositaron $ 20000 al 80% anual de interés. Determinar cuánto se retira a los
200 días, considerando: a) año comercial = 360 días; b) año civil = 365 días.

56) El 15 de junio se colocaron $ 15000 al 70% anual durante 6 meses, fecha en la cual se retira el
total producido y se lo deposita en otro Banco al 78% anual durante 4 meses más. Calcular el saldo
total acumulado al cabo de los 10 meses.

57) ¿Cuál es el capital que en 7,5 meses produjo un monto de $ 72875 al 60% anual de interés?

58) Calcular el capital que, colocado al 66% anual durante 4 meses y 1 0 días, produjo un monto de $
43961

59) ¿Qué capital dio origen a $ 100.000 en 4 meses y 20 días, ganando el 80% anual de interés?

60) ¿Qué capital se depositó hace 72 días, si hoy se pudo retirar la suma de $ 22 052 calculados al
96% anual?

61) ¿A qué tasa anual se colocó un capital de $ 36000 que en 126 días se convirtió en $ 46710?

62) ¿Cuál es la tasa mensual de interés que en 3 meses convirtió la suma de $ 14 500 en $ 17 110?

63) ¿Cuál es la tasa mensual de interés que en 68 días permitió transformar un capital de $ 23500 en
un monto de $ 27655?

64) ¿A qué tasa mensual de interés se colocaron $ 13200, si en 100 días produjeron un monto de $ 16
500?

65) ¿En cuánto tiempo un capital de $ 15500 se convierte en $ 19220 si se lo ha colocado al 8%
mensual de interés?

66) ¿En cuánto tiempo un capital de $ 25000 se transforma en $ 32500 si está colocado al 6% mensual
de interés?

67) Calcular en cuánto tiempo se duplican $ 28000 al 20% trimestral.

68) Calcular en cuánto tiempo un capital de $ 70000 se transformó en $ 112000 si fue colocado al
24% de interés trimestral.

69) ¿En cuánto tiempo se transforma un capital de $ 30000 en $ 42000 si se colocó al 12% trimestral
de interés?

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70) Un capital colocado al 2O% anual produce en 9 meses $ 600 más de
monto que si se lo coloca al 24% anual durante 180 días. Determinar ese capital.

71) Un capital colocado al 24 % anual durante 1,5 año produce un determinado monto. Si el capital
fuese superior en $ 15200 y se colocase durante 1 año al 20% anual, se obtendría un monto
equivalente al duplo del monto anterior. Se pide el cálculo del capital y del monto de la primera
operación.

72) Se tiene un capital de $ 8000 y otro de $ 12000, que se colocan en distintas entidades. El primer
capital gana el 20% anual y permanece colocado durante 9 meses. El segundo capital se coloca al
24% anual durante un tiempo tal que, en conjunto, logra obtener un monto de $ 23840. Calcular
durante cuánto tiempo permanece depositado el segundo capital.

73) He depositado $ 20000, ganando un 6% mensual de interés. Luego de un cierto tiempo, retiré el
monto así formado y lo deposité en un banco que pagaba el 8% mensual de interés, dejándolo un
tiempo igual a tres meses más que el primer depósito. Se desea saber cuántos meses estuvo colocada
la primera suma, si, al finalizar el plazo total de la colocación, pude retirar un monto de $ 38688.

74) El señor Z depositó $ 20000 al 80% anual, y, luego de un cierto tiempo, ha retirado el total
producido, depositándolo nuevamente al 95% de interés anual. Se sabe que, en conjunto, las sumas de
dinero estuvieron depositadas exactamente 1 año, y se desea saber en qué fracción del año se pudo
haber efectuado el cambio de tasa de interés, si se retiraron $ 41 408.

75) La deuda que registra un comerciante FACTURA FECHA PRECIO CONTADO
con la firma XX figura en tabla.
1 01/06/X6 1030
2 15/05/X6 2700
Considerando una tasa mensual del
2,05%, determinar cuánto debe pagar para 3 15/04/X6 1830
cancelar sus deudas el 14/06/X6?

76) COMPLETAR EL CUADRO

Capital (C) Tiempo (n) Tasa anual (c ) interés simple (I)
529.500 5 años 15%
3 años 12% 216000
350.000 14% 17500
500.000 4 meses 210000
400.000 6 meses 30%
4a, 3m, 12d 18% 47802
270.000 128 d 17280
300.000 16% 10400

77) Depositó $ 52.000 al 40% anual y el 15 de septiembre, disponía de un total de $ 54.600. ¿En qué
fecha había hecho mi depósito?

78) Habiendo depositado una cierta suma de dinero por 45 días, al 36% de interés anual, retiré un total
de $ 992.750. ¿Cual fue mi depósito?

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79) La relación entre dos capitales es de 3 a 5. El menor de ellos se coloca por
cuatro años al 48% y el otro al 42% por seis años. Se desea saber cuáles son esos capitales si la
diferencia entre los montos obtenidos es de $ 88.400.

79) El 20 de diciembre cerré dos cuentas bancarias, retirando un total de $ 922.000 por dos depósitos a
plazo fijo de $ 300000 AL 23% y de $ 500.000 al 35% respectivamente. ¿En qué fecha había hecho
los depósitos?

80) La suma de dos capitales, colocados a interés simple, es igual a $ 112.480. Uno de ellos, al 6,50%
mensual, produce al cabo de 2 meses el mismo interés que el otro impuesto, al 5% mensual, durante 5
meses. Hallar los capitales.

81) Una persona efectuará, a interés simple, los siguientes depósitos: hoy, $ 500.000; al fin del
segundo mes, $ 600.000 y al fin del noveno mes, $ 750.000; al fin del quinto mes, $ 1.200.000; al fin
del sexto mes, $ 1.500.000 y al noveno mes, $ 1.300.000. Siendo la tasa de interés anual del 24%,
hallar el monto que se tendrá al cabo de un año.

82) En una operación comercial, a interés simple, al 12% anual se obtuvo en un año un monto de $
12.118.000, depositando un capital a comienzo de la operación y otro igual al doble de la anterior, dos
meses después. Hallar el valor del depósito inicial.

83) Una persona efectuará, a interés simple. Las siguientes inversiones: hoy, $120.000 y al cabo de un
año, $ 50.000. Al fin del segundo año retirará en concepto de monto $ 239.600.Hallar la tasa anual de
la operación.

84) Dos capitales, cuya suma es de $ 504.000, producen intereses iguales. Sabiendo que la razón de las
tasas mensuales es igual a cuatro tercios y la de los tiempos, en meses, es igual a tres medios, hallar
los capitales.

85) El costo al contado de un artículo es de $ 1.800.000. Un comprador conviene pagar $ 800.000 de
cuota inicial y el resto a 60 días con recargo del 5% sobre el precio de contado. ¿Qué tasa de interés
simple anual pagó?

86) Un comerciante adquiere un lote de mercancía con valor de $ 3.500.000 que acuerda liquidar
haciendo un pago de inmediato por $ 1.500.000 y un pago final 4 meses después. Acepta pagar 60%
de interés anual sobre su saldo. ¿Cuánto deberá pagar dentro de 4 meses?

87) El señor Pardo tiene las siguientes obligaciones al día de hoy:
a) Una primera deuda por $ 80.000 firmada a tres años, a una tasa de interés simple de 20% y vence el
día de hoy.
b) Una segunda deuda por $ 100.000, firmada a cinco años, a una tasa de interés simple de 24% y
vence dentro de 4 meses
c) Una tercera deuda por $ 50.000 firmada a 4 años, a una tasa de interés simple de 18%, y vence
dentro de 9 meses
d) Una cuarta deuda por $ 200.000 firmada a 1,5 años, a una tasa de interés simple de 12% y vence
dentro de 12 meses
Se pide:
a) Calcular el monto total de las obligaciones
b) ¿Cuánto pagará de intereses?

12


88) Siguiendo con el ejercicio anterior, si el señor Pardo y, de acuerdo con su
acreedor, se ponen de acuerdo y deciden que todos los pagos, los realice en uno solo dentro de 12
meses, pero a una tasa de interés simple de 24%. Determinar:
a) ¿Cuánto tendrá que pagar?
b) ¿Cuál fue el costo total de la deuda?
c) ¿En qué porcentaje aumentó el costo de la deuda?

89) Con respecto al ejercicio 87), si el señor Pardo desea liquidar todas sus obligaciones en el día de
hoy, conservando la misma tasa de interés de 24% (2% mensual), determinar:
a) la cantidad que tendrá que pagar
b) la cantidad que ahorrará de intereses
c) ¿en qué porcentaje disminuirá el costo de la deuda?
90) Con respecto al ejercicio 87), si el señor Pardo decide liquidar sus obligaciones mediante tres
pagos iguales, el primero dentro de tres meses, el segundo dentro de 7 y el último dentro de 12 meses,
con la misma tasa de interés, además los pagos también ganan intereses en la misma proporción.
Determinar:
a) el importe de cada pago, y
b) comprobar el resultado obtenido

91) El señor Díaz debe pagar $ 100000, $ 80000 y $ 125000, dentro de 2, 7 y 11 meses,
respectivamente, si la tasa de interés simple promedio bancaria es de 12% (1% mensual). ¿Cuál es el
valor de esas obligaciones al día de hoy?

92) ¿Cuál debe ser la tasa de interés simple, a la que se debe invertir un capital para que éste se
quintuplique en cuatro años?

93) El señor Pérez, pidió prestado $100.000, a una institución crediticia, para ser pagada dentro de 1
año, si el banco sólo le entregó $ 88.000. ¿Cuál fue la tasa de interés simple que cobró el banco?

94) Mónica le prestó $ 70.000 a José Luis, el 25 de febrero, cantidad que deberá pagar el 25 de agosto
del mismo año, a una tasa de interés simple de 24%. ¿Cuánto recibirá Mónica en la fecha convenida?

95) Una deuda por $ 150.000, fue firmada el 15 de marzo, para ser pagada el 20 de agosto del mismo
año, a una tasa de interés simple de 18%. ¿Cuánto se pagó de interés?

96) Si a Ud. le van a pagar $ 250.000, dentro de 2 años, ¿aceptaría que le pagaran el día de hoy $
200.000, si la tasa de interés simple es de 24%. Justifique su respuesta

97) Marco Antonio firmó un pagaré por $ 60.000 a 2 años, a una tasa de interés de 24%, dicho
documento fue vendido 8 meses antes de su vencimiento, a una tasa de interés simple de 3% mensual.
¿En cuánto se vendió el documento?

98) A la Señora Rosa Elena, le deben pagar $ 20.000, $ 10.000, $ 80.000 y $ 200.000, dentro de 4,3,2
y 5 años, respectivamente. ¿Cuál es el valor presente de estas deudas, si la tasa de interés simple es de
20%?

99) En el cuadro siguiente se describen las obligaciones contraídas por la empresa Girasol S.A.
Deuda Dinero pedido ($) Tasa de interés Tiempo que Tiempo que falta para su
fue pactado vencimiento (en meses)
A 1.500.000 20% 3 El día de hoy
B 800.000 18% 4 12
C 3.000.000 24% 2 4

13


2.500.000 30% 3 9
D
E 4.000.000 12% 5 7
La empresa se pone de acuerdo con el deudor y deciden reestructurar las deudas con un rendimiento
de 36%. En este punto deciden que los pagos también generen intereses. Resolver los siguientes
incisos:
a) Efectuar un solo pago dentro de 12 meses. ¿A cuánto asciende el pago?
b) Tres pagos iguales cada 4 meses, el primero dentro de cuatro meses ¿A cuánto asciende cada
pago?
c) Un pago de $ 7.000.000 dentro de 5 meses y el saldo dentro de 12 meses. ¿Cuánto se paga al
final?
d) Efectuar un solo pago el día de hoy. ¿Cuánto se paga?
e) Tres pagos iguales, el primero el día de hoy, el segundo dentro de 3 meses y el último dentro
de 6. ¿A cuánto asciende cada pago?

100) Una inversión produce flujos de efectivo trimestrales durante el próximo año de $ 500.000, $
800.000, $ 1.000.000 y $ 1.400.000. Si la tasa de interés del mercado es del 1,5% mensual. ¿Cuál es el
valor presente de los flujos de efectivo (flujo de efectivo es la diferencia entre entradas y salidas
reales)?

RÉGIMEN A INTERÉS COMPUESTO

CAPITALIZACI Ó N COMPUESTA .
Las operaciones en régimen compuesto se caracterizan porque los intereses, a
diferencia de lo que ocurre en régimen de capitalización simple, a medida que se van
generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y
producen a su vez intereses en períodos siguientes (son productivos). En definitiva, lo
que tiene lugar es una capitalización periódica de los intereses. De esta forma los
intereses generados en cada período se calculan sobre capitales distintos (cada vez
mayores ya que incorporan los intereses de períodos anteriores).

Generalicemos ahora el caso donde los intereses no se retiran al final de cada
unidad tiempo, es decir se capitalizan (Interés Compuesto) Para ello tomemos un
Co = $ 1 , para una tasa i, para n períodos o unidades de tiempo
Período Capital Inicial Interés Capital Final o Monto
n Co I = Co . i Cn = Co + I
1 + i
1 $ 1 $ 1 . i = i
(1+i) + ( 1+ i) . i =
2 1+ i ( 1 + i ) . i Sacando factor
(1+i) . (1 + i) = ( 1 + i)común (1+i)
2

3 ( 1 + i)2 ( 1 + i)2. i ( 1 + i)2 + ( 1 + i)2. i=

14


( 1 + i)2. ( 1 + i) = ( 1+ i)3
( 1+ i)3 + ( 1+ i)3. i =
4 ( 1+ i) 3
( 1+ i) . i
3
( 1+ i)3. ( 1 + i ) = ( 1+ i)4
………… …………………. ……………………. y así sucesivamente

( 1 + i ) n –1
+ ( 1 + i ) n –1 .i =
n ( 1 + i ) n -1 ( 1 + i ) n –1 .i
( 1 + i ) n –1
. ( 1 + i ) = ( 1 + i ) n

Del cuadro anterior podemos decir que:

C n = ( 1 + i ) n  Es el monto o valor final de un capital
de
$1 a la tasa " i ", durante " n "
períodos .
Si en vez de tener un capital inicial de $ 1, tuviésemos un capital Co, la
fórmula anterior quedaría:

C n = Co . ( 1 + i ) n  Es el monto o valor final de un capital
de $ Co a
la tasa " i
", durante " n " unidades de tiempo .

Fórmula del monto
a interés compuesto

Cuando los intereses se acumulan, gráficamente resultaría de la siguiente manera:

C Cn
C Cn
C2

C1
Co
Co

0 1 2 . . n t
0 . . . n t

O sea que, la formula Cn = Co . ( 1 + i ) n es la suma del capital inicial más
los intereses producidos y capitalizados durante las "n" unidades de tiempo.

n: me indica el numero de unidades de tiempo en el plazo de la operación
considerada

15


Conclusiones

 Cualquiera sea el régimen, interés Simple ó interés Compuesto, el capital crece
ganando intereses.
 Cuando los intereses se retiran, estamos frente a un Interés Simple
 Cuando los intereses no se retiran, estos se transforman en un nuevo capital para
generar intereses, es decir es un régimen a interés compuesto.
 El capital crece en forma continua desde el momento 0, y ese crecimiento no se
produce de golpe, sino en forma continua aún dentro de la unidad de tiempo y la
intensidad del crecimiento está dada por la misma ley por la que crece el capital
al
final de la unidad de tiempo.

FACTORES DE CAPITALIZACI Ó N Y ACTUALIZACI Ó N
Como hemos visto en los puntos anteriores las dos operaciones financieras
fundamentales son:
 Actualización
 Capitalización
Estas dos operaciones, son las operaciones básicas financieras y son
operaciones inversas, es decir la "capitalización" es la operación que me permite
obtener el monto o capital final, mientras que la "actualización" me permite obtener el
capital actual de un capital futuro.

C n = Co . ( 1 + i ) n u = ( 1 + i )

Cn = Co u n ( 1 )

u n ==> factor de capitalización, permite al multiplicar un capital original Co por el
mismo, trasladarlo al futuro, o sea o sea al final de las "n" unidades de tiempo

u n = ( 1 + i ) n

A partir de la expresión ( 1 ) podemos obtener el capital originario o capital al
momento cero "Co", despejando

Cn
Co = = C n . u – n v = u –1

un

16


Co = C n . v n
V n ==> factor de actualización ( 1 + i ) -n , permite al multiplicarlo por un capital
final "Cn", conocer el valor presente o al momento cero de dicho capital.

ECUACIONES DE VALOR
Según lo establecido en factores de capitalización y actualización, los mismos
se aplican a importes de dinero cuyo valor se necesita determinar en otro momento
del tiempo.
Así, si queremos determinar un valor futuro deberemos aplicar al valor presente
o valor actual el factor u n = ( 1 + i )n; por el contrario, si deseamos conocer el valor
presente o actual deberemos aplicar al valor futuro conocido el factor de actualización
v n = ( 1 + i )-n.
De esta forma, mediante la utilización de estos factores financieros, podremos
comparar en un determinado momento varias sumas de dinero colocadas a igual tasa
de interés y que, originalmente, están consideradas en distintos momentos del tiempo.
Para realizar dicha comparación, la cual permitirá calcular valore financieros
equivalentes, bastará con hacer el corrimiento de cifras a través del eje del tiempo,
utilizando los factores mencionados, obteniendo una ecuación financiera denominada
comúnmente ecuación de valor.
Por lo expuesto anteriormente, plantear una ecuación de valor, significa:
igualar en un momento determinado convenientemente , dos o más sumas
de dinero colocadas a igual tasa de interés .

EQUIVALENCIA DE CAPITALES
Equivalencia financiera de capitales
Cuando se dispone de varios capitales de diferentes cuantías y situados en
diferentes momentos de tiempo puede resultar conveniente saber cuál de ellos es más
interesante desde el punto de vista financiero (porque valga más o menos que los
demás). Para decidir habría que compararlos, pero no basta con fijarse solamente en
las cuantías, se tendría que considerar, a la vez, el momento de tiempo donde se
encuentran situados. Además, la comparación debería ser homogénea, es decir,
tendrían que llevarse todos los capitales a un mismo momento y ahí efectuar la
comparación.

Comprobar la equivalencia financiera entre capitales consiste en comparar dos
o más capitales situados en distintos momentos y, para un tipo dado, observando si
tienen el mismo valor en el momento en que se comparan. Para igualar los capitales
en un momento determinado se utilizará la capitalización o la actualización.

Dos o más capitales son equivalentes financieramente cuando
tienen el mismo valor actual , en un mismo momento del tiempo y para
una misma tasa de interés .

17


PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES :
CONCEPTO
Dos capitales, C1 y C2, que vencen en los momentos t1 y t2 respectivamente,
son equivalentes cuando, valorados en un mismo momento de tiempo t, tienen la
misma cuantía.

Esta definición se cumple cualquiera que sea el número de capitales que
intervengan en la operación.

Si dos o más capitales se dice que son equivalentes resultará indiferente
cualquiera de ellos, no habiendo preferencia por ninguno en particular. Por el contrario,
si no se cumple la equivalencia habrá uno sobre el que tendremos preferencia y, en
consecuencia, lo elegiremos.

Si el principio de equivalencia se cumple en un momento de tiempo concreto,
no tiene por qué cumplirse en otro momento cualquiera (siendo lo normal que no se
cumpla en

ningún otro momento). Consecuencia de esta circunstancia será que la elección de la
fecha donde se haga el estudio comparativo afectará y condicionará el resultado

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA : SUSTITUCI Ó N DE
CAPITALES
La sustitución de un(os) capital(es) por otro u otros de vencimientos y/o cuantías
diferentes a las anteriores, sólo se podrá llevar a cabo si financieramente resultan
ambas alternativas equivalentes.

Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrán que valorar
en un mismo momento de tiempo y obligar a que tengan las mismas cuantías. A este
momento de tiempo donde se realiza la valoración se le denomina época o fecha
focal o, simplemente, fecha de estudio.

Para plantear una sustitución de capitales el acreedor y el deudor han de estar de
acuerdo en las siguientes condiciones fundamentales:

• Momento de tiempo a partir del cual se computan los vencimientos.
• Momento en el cual se realiza la equivalencia, teniendo en cuenta que al variar
este dato varía el resultado del problema.
• Tanto de valoración de la operación.

18


EQUIVALENCIA FINANCIERA

TANTOS EQUIVALENTES

Dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son
tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo
período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final.

En interés simple, la variación en la frecuencia del cálculo (y abono) de los
intereses suponía cambiar el tipo de interés a aplicar para que la operación no se
viera afectada finalmente. Entonces se comprobó que los tantos de interés
equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresión:

i = im x m

Sin embargo, esta relación de proporcionalidad no va a ser válida en régimen
de compuesta, ya que al irse acumulando los intereses generados al capital de
partida, el cálculo de intereses se hace sobre una base cada vez más grande; por
tanto, cuanto mayor sea la frecuencia de capitalización antes se acumularán los
intereses y antes generarán nuevos intereses, por lo que existirán diferencias en
función de la frecuencia de acumulación de los mismos al capital para un tanto de
interés dado.

Este carácter acumulativo de los intereses se ha de compensar con la aplicación de
un tipo más pequeño que el proporcional en función de la frecuencia de cómputo de
intereses.

RELACI Ó N DE TANTOS EQUIVALENTES EN COMPUESTA
Los tantos en compuesta para que resulten equivalentes han de guardar la siguiente
relación:

1 + i = (1 + im)m donde m es la frecuencia de capitalización, que indica:

• El número de partes iguales en las que se divide el período de referencia que
se tome (habitualmente el año).

Esta relación se obtiene a partir de la definición de equivalencia vista
anteriormente, obligando a que un capital (C0) colocado un determinado período de

19


tiempo (n años) genere el mismo monto (Cn) con independencia
de la frecuencia de acumulación de intereses (i o im):

Utilizando el tanto anual i, el monto obtenido será:

Cn = C0 x (1 + i)n

Utilizando el tanto im, el monto obtenido será:

Cn = C0 x (1 + im)nm

Si queremos que el monto sea el mismo en los dos casos, se tiene que producir la
igualdad entre los resultados de ambas operaciones, esto es, dado que la operación
es la misma –ya que lo único que ha cambiado es la frecuencia de cálculo de los
intereses, se debe conseguir el mismo capital final en ambos casos, por tanto,
obligando a que se cumpla esa igualdad de montantes:

C0 x (1 + i)n = C0 x (1 + im)nm

Simplificando la igualdad, eliminando Co y la potencia n, queda finalmente:

(1 + i ) = (1 +
im)m

Expresión que indica la relación en la que han de estar los tantos, i e im, para que
produzcan el mismo efecto, es decir, para que sean equivalentes.

El valor de i en función de im será:

i = (1 + im)m –
1

El valor de im en función de i será:

im = (1 + i)1/m
– 1

TANTO NOMINAL ( J m )

Por una parte, nos encontramos con la necesidad de aplicar la relación anterior
de equivalencia de tantos si queremos que, aun trabajando en diferentes unidades de
tiempo, los resultados finales sigan siendo idénticos. Por otra, hay que ser concientes
de la dificultad que supone el conocer y aplicar dicha expresión de equivalencia. En
este punto surge la necesidad de emplear un tanto que permita pasar fácilmente de

20


su unidad habitual (en años) a cualquier otra diferente y que
financieramente resulte correcta: el tanto nominal.

El tanto nominal se define como un tanto teórico que se obtiene multiplicando
la frecuencia de capitalización m por el tanto subperiódico:

Jm = im x m

Expresión pensada para pasar fácilmente de un tanto referido al año (el tanto
nominal) a un tanto efectivo subperiódico, ya que el tanto nominal es proporcional.

Así pues, en compuesta, los tantos de interés pueden ser tantos efectivos (i o
im) o nominales (Jm), teniendo en cuenta que el tanto nominal (también conocido como
anualizado) no es un tanto que realmente se emplee para operar: a partir de él se
obtienen tantos efectivos con los que sí se harán los cálculos necesarios.

ESQUEMA DE RELACI Ó N DE TASAS NOMINALES Y EFECTIVAS

TNA ( J m ) TAE ( i )

i m = Jm (1 + i ) = (1 +
Tasas subperiódicas im)m
m (im)
Mensual
Bimestral
Proporcionales Trimestral Equivalentes
Semestral
Etc…

“m” representa las veces que la tasa capitaliza en el año

RÉGIMEN A INTERÉS COMPUESTO . EQUIVALENCIA FINANCIERA .

21


COMBINACI Ó N DE REGIMENES .

PRÁCTICAS

101) Indique el valor del capital final obtenido al final de 7 meses, si se colocaron $ 2.800 al 3 %
mensual.

102) ¿Qué capital se depositó a plazo fijo si se retiraron $ 12.800 al cabo de un año y medio y la
tasa de interés pactada es del 2,5 % mensual?

103) Indique el interés mensual que se pactó en una operación de préstamos si se recibieron $
5.300.- y se devolvieron $ 6.200 al cabo de 18 meses

104) ¿Cuál es el monto que producen $ 23.000 colocados al 2 % mensual durante 8 meses?

105) ¿Qué monto producen $ 12.000 colocados al 0,02 semestral durante 5 años?

106) ¿Cuál es el importe que se retira si se deposita un capital equivalente al 75 % de $ 80.000
durante 18 meses al 0,48 anual?

107) Determinar el valor del capital depositado, si después de 15 meses de colocación al 0,03
trimestral permitió retirar $ 9.000

108) ¿Cuál es el capital que produce un monto de $ 5.400 al cabo de 10 meses de colocación al
1,5 % bimestral?

109) Las 2/5 partes de un capital producen en 18 meses al 2,5 % trimestral un monto de $ 39.000,
¿Cuál es el valor de dicho capital?

110) Calcular el capital que, colocado al 11 % anual durante 8 semestres, produjo un capital final
de $ 12.300

111) ¿A qué tasa de interés anual se colocaron $ 18.000 si en 24 meses se convirtieron en $
51.000?

112) ¿A qué tipo de interés se colocó un capital de $ 1.350 si generó una ganancia de $ 360 al
cabo de 5 años?

113) Si un capital de $ 1.400 colocado al 10 % anual se ha convertido en $ 1.900 ¿Cuál es la
duración de la operación financiera?

114) ¿Durante cuánto tiempo se colocaron $ 5.000, si a una tasa del 0,045 mensual permitieron
retirar $ 6.700?

115) Un ahorrista deposita $ 32.585 al 0,04 trimestral tal que le permita ganar al cabo del plazo
la suma de $ 18.456. Calcular el tiempo que deberá permanecer depositado el dinero a fin de
lograr su objetivo.
116) ¿Qué tipo de interés anual transformó un capital de $ 4.000 en $ 5.500,15 al cabo de 36
meses?

117) Se tienen dos capitales, uno de ellos de $ 30.000, que se coloca al 7 % mensual durante 2,5
bimestres y el segundo al 0,06 mensual durante 3 trimestres. Sabiendo que en conjunto permiten
retirar $ 80.376,62, ¿Cuál es el valor del segundo capital?

22


118) Una persona efectúa un depósito en Caja de Ahorro de $ 2.650 por un
lapso de 25 meses. Durante los primeros 5 meses le pagan una tasa del 0,013 mensual. Al final
del 5to. mes retira $ 1.300, momento a partir del cual rige una tasa del 0,009 mensual. Tres
meses más tarde efectúa un depósito de $ 500, y en los últimos 5 meses la tasa retornó a su nivel
inicial.
Se pide averiguar cuánto retira esta persona al cabo de los 25 meses.

119) Durante 3 trimestres se depositan $ 53.000 al 7 % mensual. Al finalizar el quinto mes como
la tasa de interés disminuye un punto y medio se realiza un retiro. Si al finalizar el plazo se
retiran $ 67.311,83, ¿Cuál es el importe que se retiró en el mes quinto?

120) Se depositan $ 2.000 por 2 años a una tasa del 0,05 bimestral. A los 10 meses la tasa
disminuye medio punto, por lo que se decide realizar un retiro parcial. ¿Cuál es el valor del retiro
parcial, si al cabo de los 12 bimestres se retiraron $ 2.453,04?

121) Se depositan $ 7.000 durante 20 meses al 0,04 bimestral. Al mediar el plazo como la tasa
bimestral disminuye un punto se decide retirar el 70 % de lo reunido hasta el momento. Se desea
conocer el importe retirado al finalizar el décimo bimestre.

122) Se depositan por el lapso de 5 bimestres la suma de $ 15.000 a una tasa del 0,035 mensual.
Al finalizar el cuarto mes la tasa mensual disminuye medio punto, razón por la cual se decide
retirar el 40 % de lo producido hasta el momento. Tres meses más tarde, como la tasa disminuye
un punto más se decide realizar un nuevo retiro. ¿Cuál es el valor del retiro efectuado en el mes
7, si al finalizar el plazo se retiran $ 8.792,49?

123) ¿Qué opción es más conveniente para la adquisición de herramientas teniendo en cuenta que
la tasa vigente en el mercado es del 4 % bimestral?
a. Una entrega de $ 3.500 y 2 cuotas bimestrales de $ 4.000 c/u
b. 3 cuotas bimestrales de $ 3.750 c/u

124) Se adquiere un equipo de informática, se entrega el 30 % como anticipo y tres cuotas
bimestrales de $ 1.800 c/u. Si la tasa de la operación es del 3,5 % mensual ¿Cuál es el valor de
contado del equipo?

125) Se desean comprar bienes de capital por un valor de $ 48.000. La vendedora ofrece las
siguientes opciones:
a) Pago al contado con un descuento del 5 %
b) $ 2.600 de anticipo y 3 cuotas anuales y consecutivas de $ 18.600 c/u
c) $ 22,000 a la firma del contrato, una cuota de $ 20.000 a los 2 años y una última cuota de $
15.000 a los 5 años.
Determinar la opción más conveniente si la tasa de interés es del 18 % anual

126) ¿Cuánto tiempo demora en triplicarse una capital si se coloca al 3 % mensual?

127) ¿A que interés mensual debe colocarse un capital si se espera que se duplique al cabo de 20
años?

128) Tres documentos firmados por $ 4.000, $ 2.800 y $ 5.500, cuyos vencimientos operarán al
año, año y medio y dos años respectivamente, se los sustituye por uno con vencimiento al año y
medio, con una tasa del 0,03 cuatrimestral. Calcular el valor nominal del nuevo documento.

129) Una persona contrae una deuda que debe liquidar mediante un pago de $ 3.000 dentro de 3
bimestres y otro de $ 5.000 dentro de un año y medio. ¿Qué cantidad debería pagar si desea
cancelar la deuda en un solo pago dentro de un año si la tasa de la operación es del 0,03

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bimestral?

130) Se desea conocer la fecha en que corresponde renovar un documento de $ 18.000 que
reemplazará a dos pagarés de $ 7.500 y $ 9880, cuyo vencimiento opera a los 7 y 8 meses de la
operación respectivamente, considerando una tasa del 0,015 mensual

131) Se ha firmado 1 documento de $ 25.700.- cuyo vencimiento opera dentro de 5 meses.
Efectuado un análisis financiero, la empresa ha decido reemplazarlo por tres documentos iguales
con vencimiento dentro de 6; 8 y 10 meses. Si la tasa mensual cobrada por el proveedor es del
2,5 % mensual, ¿De qué importe serán los nuevos documentos?

132) Se ha decidido reemplazar dos documentos de $ 3.500.- cada uno, con vencimiento dentro
de 2 y 5 meses respectivamente, por un único documento de $ 7.450.- Teniendo conocimiento
que la tasa aplicada por el acreedor es del 0,028 mensual, se desea saber el momento en que
corresponde efectuar el reemplazo a fin de que la operación sea financieramente equivalente.

133)Para saldar un préstamo debo pagar $ 1000 dentro de 1 mes y $ 2000 dentro de 4 meses.
Deseo saber la cuota única que debería pagar dentro de 2 meses para cancelar el préstamo,
sabiendo que el interés mensual es del 2%.
134)El Sr. B debe saldar una deuda y tiene dos opciones de pago: a) pagar $ 1000 ahora y $ 4000
dentro de 5 meses, o b) pagar $ 4800 dentro de 3 meses. Determinar la opción más
conveniente para el Sr. B, sabiendo que el interés mensual es del 2,5%.
135)El Sr. Z debe cobrar $ 2000 dentro de 3 meses y $ 4000 dentro de 1 año. Si conviene con el
deudor en recibir un solo pago dentro de 5 meses, ¿cuál será la suma que recibirá el S r. Z sí
el interés mensual es el 2%?
136)El Sr. C tiene una deuda que puede saldar con dos opciones de pago. La primera consiste en
abonar $ 3000 dentro de 8 meses y $ 5000 dentro de 16 meses. La segunda opción consiste
en pagar $ 7800 dentro de 10 meses. Se desea conocer la opción más ventajosa para el Sr. C
al 1% mensual de interés.
137) M le debe a N $ 1500 pagaderos dentro de 3 meses y $ 2000 pagaderos en 6 meses.
De común acuerdo deciden reemplazar ambos pagos por uno solo por efectuarse
dentro de 10 meses. ¿Cuánto recibirá el Sr. N dentro de 10 meses, si el interés
mensual es del 2,5%?
138)El Sr. X deposito $ 5000 al 2% mensual. Luego de un cierto tiempo, la tasa mensual
de interés se incremento en medio punto, por lo cual el Sr. X decidió dejar
depositado su dinero por 10 meses más. Al final del mencionado lapso, retira el total
producido, que asciende a $ 8963. Se desea saber cuánto tiempo permaneció
colocado su dinero al 2% mensual.
139)Si coloco un capital durante 14 trimestres, obtengo $ 22609, mientras que si lo coloco
durante 19 trimestres el monto que obtengo asciende a $ 30 256. Determinar el
capital depositado y la tasa de interés utilizada.

140) Un capital colocado durante 5 meses produce un monto de $ 35195y colocado
durante 10 meses produce un monto de $ 47098. Calcular el valor de ese capital y la
tasa mensual de interés utilizada.

24


141)Calcular el valor de un capital que, colocado durante 17 meses
al 2% mensual, produce a interés compuesto un monto superior en $ 60 al que hubiera
producido colocado a interés simple en las mismas condiciones.
142)Determinar cuánto debo depositar hoy al 3,5% mensual de interés para poder retirar $
10 000 dentro de 3 meses, y la misma suma que hoy deposito dentro de 10 meses,
para quedar así la cuenta cancelada.
143)Luego de 6 meses de efectuado un depósito de $ 10000 al 5% mensual, efectúo un
retiro de $ 5400 y coloco nuevamente el saldo resultante al 6% mensual durante 5
meses, al cabo de los cuales efectúo un nuevo retiro. ¿Cuál es el importe de ese retiro
si, 5 meses más tarde, puedo obtener un monto total de $ 10808 y ganar el 7%
mensual durante este último lapso?.
144)La a empresa ZZ invierte $ 20000 durante 20 meses al 5% mensual. Luego de 15
meses, la tasa se incremento en un punto. Al final del 10° mes se hace un retiro
parcial de forma tal que, al finalizar el plazo de los 20 meses, el total retirado
asciende a $ 15000. Se desea saber el importe del retiro parcial.
145)Un capital de $ 10000 se divide en dos partes y se coloca al 5% mensual una de ellas
y al 7% mensual la otra. ¿Cuáles son ambas sumas si, al cabo de 20 meses,
permitieron retirar $ 30000?
146)Un capital de $ 30000 se divide en dos partes, colocándose una de ellas al 4%
mensual y la otra al 6% mensual. Determinar el valor de cada una de las partes
sabiendo que, en 18 meses, produjeron montos iguales.
147)Dos capitales, cuya suma es $ 20000, se colocaron uno a 12 y otro a 17 meses.
Sabiendo que el primero se colocó al 6% mensual y el segundo al 8% mensual, este
último produce un monto inferior en $ 259 con respecto al primero. Se desea
determinar el valor de ambos capitales.
148)El señor M tiene una deuda; para cancelarla puede optar por: a) pagar $ 24400 dentro
de 3 años o b) pagar $ 12000 ahora. Se desea saber cuál es la opción más conveniente
para el señor M si la tasa desinterés es del 2% mensual.
149)He depositado en una cuenta $ 10000 por 2 meses y $ 5 000 por un mes. Deseo saber
a qué tasa mensual de interés se efectuaron ambas colocaciones si el saldo de la
cuenta, con sus respectivos intereses, asciende a $ 16 275.
150) Dada un interés del 3% mensual, calcular las tasas de interés equivalentes para:
a) 1 año
b) 1 día
c) 1 bimestre
d) 1 semestre

151) Dada i = 0,18 anual, calcular:

25


a) la tasa equivalente mensual

b) la tasa equivalente bimestral
c) la tasa equivalente trimestral
d) la tasa equivalente cuatrimestral
e) la tasa equivalente semestral
f) la tasa equivalente para 45 días
g) la tasa equivalente para 15 días
h) la tasa equivalente para 7 días

152) Siendo i = 0,025 mensual, calcular:
a) la tasa equivalente anual
b) la tasa equivalente semestral
c) la tasa equivalente trimestral
d) la tasa equivalente bimestral

153) Sabiendo que i(m) = 0,36 nominal anual, hallar la tasa de interés para los siguientes períodos de
capitalización

a) mes
b) bimestre
c) semestre
d) cuatrimestre

154) Si se depositan $ 1.200 durante 3 años, calcular el valor del capital que se retira
a) al 18% anual
b) al 18% anual capitalizable semestralmente
c) al 18% anual capitalizable trimestralmente
d) al 18% anual capitalizable bimestralmente
e) al 18% anual capitalizable mensualmente
f) comparando los resultados, ¿qué conclusión se puede sacar?

155) Se realiza un depósito en plazo fijo durante 8 meses, de $ 5500 a una tasa de interés cuatrimestral
del 0,15. Se pide:
a) Determinar la unidad de tiempo de la operación
b) Calcular el importe de los intereses ganados por la operación financiera
c) Calcular el importe del capital que genera o produce intereses en el segundo
cuatrimestre

26


156) Dada la tasa de interés trimestral del 0,09, calcular:
a) La tasa de interés equivalente semestral
b) La tasa de interés equivalente para 5 meses
c) La tasa de interés equivalente para 37 días
157) Dada la tasa de interés del 0,07 para 180 días. Calcular:
a) La tasa de interés equivalente para 14 días
b) La tasa de interés equivalente mensual
c) La tasa de interés equivalente trimestral
158) Una inversión de $ 4300 realizada durante 60 días, a una tasa del 0,03 para 20 días. Al
vencimiento, se renueva la operación sin retiro de intereses, por 30 días más (al 0,02 para los 15
días). Se pide:
i. La tasa de interés para los 90 días
ii. La tasa de interés equivalente a los 30 días.
159) Para un depósito de $ 1500, determine la alternativa más conveniente, entre las siguientes:

Opciones T.N.A. (%) Plazo
a) 45 14 días
b) 47 21 días

Explique financieramente la razón de su respuesta.

160) Calcular la diferencia al cabo de 3 años entre los montos de dos capitales en Dólares
1.000.000 c/u colocados ambos a una tasa de interés del 10% anual, si el primer capital está
colocado a interés simple y el segundo a interés compuesto. Expresarlo en $, sabiendo que el dólar
vale $ 4,30 cada uno.

161) Calcular el valor de un capital que, colocado durante 17 meses al 2% mensual, produce a
interés compuesto un monto superior en $ 60 al que producirá colocado a interés simple durante
el mismo plazo y a la misma tasa.

162) Completar el cuadro (a interés compuesto).
Co I N C
1.000.000. 0,25 anual 5 años
1.700.000 0,25 anual 6 años
0,065 trim 4ay9m 20 000 000
26.000.000 14bim 48 150 568
57000.000 0,25annual 99 574 902

163) Una persona presta 3/5 de su capital a uno de sus hijos para la compra de una casa y 1/3 al
otro hijo para instalar un negocio. El resto lo coloca al 60% anual durante 14 meses, capitalizando
mensualmente, y por ello recibe en total $ 5939,80. Se pregunta: a) ¿Cuánto prestó a cada hijo? b)
¿Cuál era el capital primitivo?

164) Dos capitales colocados a interés compuesto. El primero que capitaliza trimestralmente fue
impuesto al 2 % mensual y el segundo que es los ¾ del primero y capitalizaría semestralmente, se
impuso al 8 % bimestral. Calcular ambos capitales, sabiendo que, luego de trascurridos 36 meses
el segundo produjo $ 38.568,59 más de interés que el primero.

165) Un primer capital ha sido colocado al 6 % trimestral durante 2 años y otro capital superior al
primero en $ 2400 ha sido impuesto al 18 % semestral durante 1 ½ año. Si el primero ha
producido $ 2580,80 menos de interés que el segundo, calcularlos sabiendo que el primero se
capitaliza cuatrimestralmente mientras que el segundo lo hace bimestralmente.

27


166)Hallar el monto que produce el capital de $ 1.000.000 colocado al 24 % anual durante 10
años: a) capitalizando anualmente; b) capitalizando trimestralmente y c) capitalizando
mensualmente.

167)Un individuo posee varias inversiones en diferentes productos financieros a interés
compuesto durante 3 años, desea saber cuál es la rentabilidad media de las mismas. Calcular
dicha rentabilidad sabiendo que las inversiones son:
Inversión ($) Tasa
7.700.000 7 % anual
12.000.000 10% anual
8.900.000 12% anual

168) Un capital de $ 500 000 se coloca, a interés compuesto al 24 % anual y durante 10 años.
Hallar: a) los intereses correspondientes al quinto año; b) los intereses correspondientes hasta el
quinto año y c) los intereses correspondientes a los dos últimos años.

169) Hace cuatro años se depositó en una Institución Financiera un capital de $ 76 000 al 48 %
anual con capitalización semestral de intereses y el día de hoy, otro capital de $ 180 000 en las
mismas condiciones. ¿Cuántos años deben transcurrir, a contar de hoy, para que el monto del
primer supere al del segundo en $ 889 909,78?

170) Una persona tiene 2 hijos, con una diferencia de edad de 3 años, le deposita al mayor cuando
cumple 18 $100 000 al 24% anual a interés compuesto. Cuando el menor cumple 18 años, en la
misma fecha deposita $ 100 000 al 30% anual. ¿En qué momento podrán retirar los dos el mismo
monto?

171) Una persona coloca en un Banco, el 1º de julio, a interés compuesto, una suma de $ 2.00.000.
El primero de julio siguiente retira $ 500.000. Un año después, el capital definitivo se eleva,
teniendo en cuenta sus intereses capitalizados semestralmente a la tasa proporcional
correspondiente, a $ 1.644.664. Calcular la tasa de interés anual.

172) Una persona deposita $ 10 000 en una institución que abona el 21 % anual de interés con
capitalización cuatrimestral. Luego de 3 años, el interés se eleva al 24% anual capitalizable
también por cuatrimestres, razón por la cual la persona deposita $ 5000 más. Se desea saber el
estado de la cuenta al final del 5º año.

173) Hace2 años se depositaron $ 10 000 en una institución que ofrecía el 3 % mensual de interés,
pero en la fecha se dispuso rebajar en un ½ % la tasa de interés, por lo que decide retirar $ 6 000.
A cuanto asciende la suma a retirar dentro de un año?

174) Un señor depositó $ 5 000 al 2 % mensual. Luego de un cierto tiempo la tasa de interés se
elevo al 2,5 % mensual, razón por la cual este señor dejó depositado su dinero 10 meses más. Al
cabo del mencionado lapso, retira el total producido que asciende a $ 8 963. Se desea saber cuánto
tiempo permaneció colocado su dinero al 2 % mensual.

175) Si coloco un capital a interés compuesto, durante 14 trimestres obtengo $ 22 609 mientras
que coloco durante 19 trimestres el monto asciende a $ 30 256. Determina el depositado y la tasa
trimestral de interés.

176) Un capitalista coloca $ 7.800 al 4,5 % mensual compuesto. A los dos meses coloca $
8.278,43 a otra tasa de interés. Transcurrido 2 meses más, los dos capitales con sus intereses

28


compuestos han adquirido el mismo valor. A que tasa de interés mensual
se ha colocado el segundo capital?

177) Se obtiene una utilidad de $ 4.247.452,37 luego de haber colocado un capital durante dos
años, al 6% mensual durante los primeros 17 meses y al 10% mensual durante los 7 meses
siguientes, en ambos casos con capitalización mensual de intereses. Hallar el valor del capital
depositado inicialmente.

178) Un capital ha estado colocado, a interés compuesto, 4,5 % mensual, por cierto número de
meses. Si hubiera estado dos meses menos, los intereses habrían sido de $ 4.234,98, si hubieran
estado dos meses más, ascenderían a $ 10.825,85. Calcular el capital y el tiempo de colocación.

179) Tres personas colocan, al mismo tiempo y a la misma tasa, a intereses compuestos, una
misma suma de $ 50.000 y retiran, respectivamente a la terminación de tres años consecutivos,
sumas definitivas tales que la segunda cobre $ 4.276 más que la primera y la tercera $ 4.490 más
que la segunda. ¿Cuales han sido los plazos respectivos?

180) Hallar el capital formado en una Institución Financiera, a interés compuesto, al cabo de 6
años por los siguientes depósitos: hoy $ 100 000; al fin del segundo año, $ 120 000 y al fin del
cuarto año, $ 150 000. Tasas anuales: 18 % durante los cuatro primeros años y 12 % durante los
dos últimos años.

181) Una Institución Financiera paga el 18 % anual con capitalización anual de intereses. Hoy se
deposita un capital de $ 250 000. ¿Qué capital debe depositarse al fin del tercer año para tener al
fin del sexto año un monto igual a $ 1 496 404,54?

182) Hallar el capital formado, a interés compuesto, al cabo de7 años por los siguientes depósitos:
hoy, $ 110 000; al fin del segundo año, $165 000. Tasas anuales: 24 % durante los cuatro primeros
años y 36 % durante los tres últimos años.

183) Una persona invierte $ 1 000 000.- el 1º de enero de 20X1 en la siguientes condiciones:
durante los primeros cinco meses se capitalizará al 1% mensual, los 5 siguientes al 2 % mensual y
los siguientes al 3 % mensual, todos con capitalización mensual de interés. El 30 de setiembre del
mismo año retiró $ 500 000.- Determinar cuánto tiempo transcurrirá para que el monto ascienda a
$ 752 172,18.

184) Un padre de familia efectuó 5 depósitos por $ 10.000 cada uno; el primero, el día de hoy y
los otros cada 3 meses, el banco paga una tasa de interés de 24% con capitalización trimestral. ¿
Qué cantidad logró reunir al final del año?

185) ¿Cuánto obtuvo de intereses una inversión de $ 75000, en cuatro años, si la tasa de interés
que se pagó fue de 24% con capitalización mensual?

186) El señor Romano depositó $ 120.000 en una cuenta de inversión que paga una tasa de interés
de 24%, con capitalización mensual. ¿Cuál fue la tasa real o efectiva que cobró?

187) ¿Qué tasa de interés se debe cobrar para que un capital se quintuplique en 10 años, si la
capitalización es bimestral?

29


188) ¿Qué capital debo invertir el día de hoy para que dentro de 4 años,
pueda recibir $ 50.304.91; si la tasa de interés es de 18% y la capitalización es cuatrimestral?

189) ¿Cuál fue la tasa de interés que pagó el banco, si se invirtieron $ 80.000 y a los 5 años se
recibieron $ 167052.16; y la capitalización fue trimestral?

190) Pepe invirtió en un banco $ 500.000, a una tasa de interés de 24%, a 3 años. ¿Cuánto recibirá
si la capitalización es…$
1. Anual
2. Semestral
3. Tetramestral
4. Trimestal
5. Bimestral
6. Mensual
7. Diaria

191) Alejandra depositó durante 2 años $ 10.000 al final de cada mes. Si el banco le pagó el
1.05% mensual, ¿Cuánto recibió Alejandra al final de ese tiempo si la capitalización es mensual?

192) Un proyecto de inversión generará utilidades netas durante los próximos 4 años, por $
5.000.000; $ 3.000.000, $ 2.500.000 y $ 7.000.000. Si éstas son invertidas al 8% y la
capitalización es mensual, ¿cuánto se tendrá en esa fecha?

193) Cuanto tiempo deberá colocarse un capital a la tasa del 8% trimestral para que produzca un
monto igual al duplo de si mismo con capitalización compuesta trimestralmente.

194) Una institución recibe tres donaciones; el 1/1/X0 1.000.000$; el 30/9/X1 4.000.000$ y el
30/3/X2 un tercer importe. Los mismos se invierten al 24% nominal anual con capitalización
mensual. El 30/6/X3 se adquiere una propiedad de 26.000.000$ y quedan aun disponibles
3.500.000$. Determinar el importe de la tercer donación

195) A que tasa semestral con capitalización trimestral hay que colocar un capital para que al cabo
de tres años el monto iguale al que se obtendría de invertir la cuarta parte de ese capital al 6 %
efectivo cuatrimestral con capitalización mensual durante 20 años.

196) Determinar el monto alcanzado por 1.000 $ colocados al 6 % anual con capitalización
bimestral durante 5 años.

197) A que tasa semestral es preciso colocar un capital para que se triplique sobre la base de una
capitalización semestral al cabo de 20 años?

198) El 1/1/X0 se depositan 500.000 $ en un banco que capitaliza trimestralmente. El 31/12/X4 se
retiran 100.000 $ y el 31/12/X9 se cancela la cuenta retirando 800.000 $. Averiguar la tasa de
interés i.

30


199) ¿Qué cantidad se requiere tener invertida en el banco para que, con
los intereses que generen, pueda vivir sin trabajar? Tomamos en consideración que los gastos
anuales ascienden a $ 480.000 y que la tasa de interés es de 12% con capitalización mensual?

200) Si un capital de $ 200.000 paga de intereses por 1 año $ 40.000; y por dos años $ 88.000;
¿Cuál es la tasa de interés que se paga?

199)

BIBLIOGRAFÍA:
- ESCUDERO, Nilda. “Cálculo y Gestión financiera”, 2011
- DI VINCENZO Osvaldo N. “Matemática Financiera”. Edit. Kapelusz
- HERNÁNDEZ HERNÁNDEZ Abraham. “Problemario de Matemáticas financieras”, Edic.
Thomson, 2006

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