El documento presenta los elementos fundamentales de la geometría como puntos, rectas y planos. Define conceptos como segmentos de recta, rayos, ángulos y tipos de ángulos. Explica las propiedades de ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal y provee ejemplos para calcular medidas de ángulos.
El documento define el término "canónico" en matemáticas como algo que es natural e independiente de elecciones arbitrarias. Proporciona ejemplos del uso correcto e incorrecto de "canónico", señalando que a veces se usa como sinónimo de simple cuando debería referirse a algo intrínseco. También explica brevemente la ecuación canónica de una recta y la circunferencia canónica.
El documento describe los elementos básicos de una elipse, incluyendo sus focos, ejes mayor y menor, excentricidad y ecuación canónica. Explica que las órbitas planetarias descubiertas por Kepler son elípticas, no circulares, y que el Sol se ubica en uno de los focos de cada elipse planetaria.
Este documento presenta conceptos básicos sobre rectas y planos en el espacio. Explica que un plano es una superficie plana que contiene una recta y sus puntos. Los planos pueden determinarse de diferentes formas y pueden cortarse o ser paralelos. También introduce ángulos diedros formados por la intersección de dos planos y cómo medirlos.
El documento describe las ecuaciones de la circunferencia y la parábola. Explica que la ecuación de la circunferencia depende de las coordenadas de su centro y radio, mientras que la ecuación de la parábola depende de las coordenadas de su vértice, foco y directriz. Proporciona ejemplos de cómo calcular las ecuaciones de ambas figuras geométricas.
Este documento presenta información sobre la hipérbola. Explica que una hipérbola tiene dos focos, dos vértices y un eje transverso que conecta los vértices. También tiene un eje conjugado perpendicular al eje transverso que conecta los extremos. Presenta las ecuaciones y coordenadas de los elementos de una hipérbola con el centro en el origen y los focos a lo largo de los ejes X e Y. Finalmente, muestra la ecuación general de una hipérbola.
El documento describe las características geométricas de una elipse. Explica que una elipse se origina al cortar un cono con un plano inclinado respecto al eje del cono. Luego enumera los elementos clave de una elipse como los focos, el eje mayor y menor, la excentricidad, y provee las ecuaciones para describir una elipse general y una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas.
El documento describe las operaciones básicas con polinomios, incluyendo suma, resta, multiplicación y división. Explica cómo sumar y restar polinomios agregando o restando coeficientes de términos semejantes. Detalla las reglas para multiplicar monomios, monomios por polinomios, y polinomios por polinomios usando la propiedad distributiva. También cubre productos especiales como la diferencia de cuadrados y expansión de binomios al cuadrar o cubrir. Finalmente, presenta el algoritmo y un
El documento define el término "canónico" en matemáticas como algo que es natural e independiente de elecciones arbitrarias. Proporciona ejemplos del uso correcto e incorrecto de "canónico", señalando que a veces se usa como sinónimo de simple cuando debería referirse a algo intrínseco. También explica brevemente la ecuación canónica de una recta y la circunferencia canónica.
El documento describe los elementos básicos de una elipse, incluyendo sus focos, ejes mayor y menor, excentricidad y ecuación canónica. Explica que las órbitas planetarias descubiertas por Kepler son elípticas, no circulares, y que el Sol se ubica en uno de los focos de cada elipse planetaria.
Este documento presenta conceptos básicos sobre rectas y planos en el espacio. Explica que un plano es una superficie plana que contiene una recta y sus puntos. Los planos pueden determinarse de diferentes formas y pueden cortarse o ser paralelos. También introduce ángulos diedros formados por la intersección de dos planos y cómo medirlos.
El documento describe las ecuaciones de la circunferencia y la parábola. Explica que la ecuación de la circunferencia depende de las coordenadas de su centro y radio, mientras que la ecuación de la parábola depende de las coordenadas de su vértice, foco y directriz. Proporciona ejemplos de cómo calcular las ecuaciones de ambas figuras geométricas.
Este documento presenta información sobre la hipérbola. Explica que una hipérbola tiene dos focos, dos vértices y un eje transverso que conecta los vértices. También tiene un eje conjugado perpendicular al eje transverso que conecta los extremos. Presenta las ecuaciones y coordenadas de los elementos de una hipérbola con el centro en el origen y los focos a lo largo de los ejes X e Y. Finalmente, muestra la ecuación general de una hipérbola.
El documento describe las características geométricas de una elipse. Explica que una elipse se origina al cortar un cono con un plano inclinado respecto al eje del cono. Luego enumera los elementos clave de una elipse como los focos, el eje mayor y menor, la excentricidad, y provee las ecuaciones para describir una elipse general y una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas.
El documento describe las operaciones básicas con polinomios, incluyendo suma, resta, multiplicación y división. Explica cómo sumar y restar polinomios agregando o restando coeficientes de términos semejantes. Detalla las reglas para multiplicar monomios, monomios por polinomios, y polinomios por polinomios usando la propiedad distributiva. También cubre productos especiales como la diferencia de cuadrados y expansión de binomios al cuadrar o cubrir. Finalmente, presenta el algoritmo y un
El documento presenta información sobre las cónicas. En la introducción, el autor dedica el trabajo a sus padres y agradece a su colegio y maestros. Luego, justifica el estudio de las cónicas debido a su importancia en diversos campos. A continuación, presenta la estructura del marco teórico, incluyendo capítulos sobre secciones cónicas, clasificación y campos de aplicación. Finalmente, incluye detalles sobre la hipérbola, como su relación fundamental, asíntotas y ecuación canón
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo (el centro) es constante (el radio). Para obtener la ecuación de una circunferencia se calcula la distancia desde cada punto al centro y se iguala al cuadrado del radio, dando lugar a la ecuación general o reducida de una circunferencia.
Este documento describe la parábola geométrica, incluyendo su definición, ecuación y propiedades. Luego discute varias aplicaciones de la parábola en la vida cotidiana y en arquitectura, como antenas parabólicas, fuentes de agua, deportes y puentes. Finalmente, explica cómo la geometría de la parábola según el número de oro influyó en el diseño arquitectónico de arcos.
Álgebra Vectorial
1. Vectores en el plano y en el espacio
1.1. Simetría de puntos en los sistemas coordenados de dos y tres dimensiones.
1.2. Vector dirigido
1.3. Componentes escalares de un vector dirigido sobre los ejes coordenados en el plano y en el espacio.
1.4. El vector como pareja y como terna ordenada de números reales.
1.5. Definición de vector de posición
1.6. Módulo de un vector como conjunto ordenado de números reales.
2 Operaciones con vectores
2.1. Igualdad de vectores
2.2. Adición de vectores en dos, tres y n dimensiones
2.3. Sustracción de vectores
2.4. Multiplicación por un escalar
2.5. Propiedades de las operaciones
2.6. Vector nulo y vector unitario
2.7. Distancia entre dos puntos como el módulo de la diferencia de dos vectores
3. Producto escalar de dos vectores
3.1. Vectores unitarios i, j, k
3.2. Forma trinómica de un vector
3.3. Definición de producto escalar
3.4 Ortogonal
3.5. Angulo entre dos vectores
3.6. Definición de componente vectorial y proyección de componente escalar de un vector sobre otro
3.7. Cosenos directores
4. Producto vectorial de dos vectores
4.1. Interpretación geométrica y propiedades
4.2. Definición de paralelismo geométrico y propiedades
4.3. Aplicación del producto vectorial al cálculo de áreas de un paralelogramo
4.4. Definición de producto mixto
4.5. Calculo de volúmenes mediante el producto mixto.
5. Uso de software matemático como instrumento verificador de resultados y herramienta de visualización en conceptos.
El documento explica el concepto matemático de pendiente, que se refiere a la inclinación de una recta. Define la pendiente como la diferencia entre las coordenadas y de dos puntos dividida por la diferencia entre sus coordenadas x. Explica que rectas paralelas tienen la misma pendiente, mientras que rectas perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es -1. Como ejemplo, demuestra que tres puntos dados están en la misma recta calculando que tienen la misma pendiente.
Este documento presenta información sobre las rectas en geometría. Define una recta como una línea que se extiende indefinidamente en una sola dirección y contiene infinitos puntos. Discuten las características, posiciones y tipos de rectas, incluyendo rectas paralelas, secantes y perpendiculares. También cubre la pendiente, ecuaciones y sistemas de coordenadas cartesianas para representar rectas.
Unidad III: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD Y GRÁFICOSthor de asgard
Conozcan los diferentes tipos de relación matemática que puede haber entre dos variables e identifique la forma característica de sus respectivos gráficos y ecuaciones. Desarrolle la capacidad de análisis e interpretación de datos obtenidos experimentalmente de un fenómeno.
Curiosidades de la circunferencia y el círculoAlexcz01
Tiene contenidos como: las definiciones, los elementos de la circunferencia, la longitud de la circunferencia, el área del circulo, las figuras circulares y actividades.
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Se origina al cortar un cono con un plano que no pase por el vértice. Tiene elementos como los focos, vértices, ejes transversal y conjugado, y distancia focal. Su ecuación canónica depende de si su eje transversal es horizontal o vertical.
El documento presenta conceptos fundamentales sobre álgebra y funciones lineales, incluyendo producto cartesiano, distancia entre puntos, coordenadas del punto medio de un segmento, pendiente de una recta, ecuación punto-pendiente, ecuación de dos puntos, ecuación general de una recta, rectas paralelas y perpendiculares. Se proveen ejemplos y ejercicios para reforzar los conceptos.
El documento define los elementos básicos de una elipse como su eje mayor, centro, focos, excentricidad y ecuaciones. Explica que para todos los puntos de una elipse, la suma de las distancias a los dos focos es constante. Proporciona las ecuaciones canónicas de una elipse horizontal y vertical con centro en el origen, así como con centro fuera del origen y explica cómo calcular la longitud del lado recto.
Una homotecia es una transformación geométrica que multiplica todas las distancias de una figura por el mismo factor desde un punto fijo, haciendo que la figura resulte más grande o más pequeña pero manteniendo los ángulos y proporciones relativas. Se denomina homotecia directa cuando las figuras quedan en el mismo lado del centro y homotecia inversa cuando quedan en lados opuestos.
Tales de Mileto vivió en el siglo VII a.C. y fue uno de los Siete Sabios de Grecia. Se le atribuye el descubrimiento del teorema que lleva su nombre, el Teorema de Tales, el cual establece que si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, los segmentos correspondientes tienen una razón igual. El teorema permite calcular la longitud de un segmento desconocido si se conocen las medidas de los segmentos correspondientes en otra recta paralela.
Elementos fundamentales-de-la-geometriaDiego Parra
El documento presenta los elementos fundamentales de la geometría como puntos, rectas y planos. Define conceptos como segmentos de recta, rayos, ángulos y tipos de ángulos. Explica los siete postulados de la geometría y teoremas sobre relaciones entre puntos, rectas y ángulos como ángulos adyacentes y opuestos por el vértice. Incluye ejemplos de cálculo de medidas de ángulos.
Este documento presenta la resolución de varios problemas y ejercicios relacionados con cónicas. En el primer problema, se hallan los elementos principales y se determina que la ecuación dado representa una elipse vertical. En el segundo problema, se resuelve otra ecuación y se determina que representa una elipse horizontal. En el tercer problema, se calculan varios elementos como los semiejes mayor y menor, coordenadas de vértices y focos, y excentricidad para una elipse dada.
El documento proporciona instrucciones para resolver 10 problemas relacionados con una parábola dada su ecuación general. Estos incluyen encontrar la ecuación canónica, el vértice, el parámetro y foco, la ecuación de la recta directriz, las coordenadas y longitud del lado recto, y cortes con los ejes y y. También incluye encontrar ecuaciones para rectas tangentes, secantes y exteriores a la parábola, y determinar si un punto dado pertenece a la parábola.
El documento presenta varias construcciones geométricas de triángulos a partir de datos conocidos como lados, ángulos o medidas relacionadas. Se explican métodos para construir triángulos rectángulos, isósceles o a partir de dos lados y un ángulo opuesto. También se describen elementos como bisectrices, medianas y alturas de triángulos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del dibujo técnico, incluyendo elementos geométricos como puntos, líneas, planos y sus diferentes tipos; conceptos de perpendicularidad, paralelismo y operaciones con segmentos; ángulos y sus propiedades; la circunferencia y sus elementos; y lugares geométricos. Explica cómo construir y representar estos elementos geométricos de manera precisa siguiendo las convenciones del dibujo técnico.
1) La elipse tiene un foco en (0, 3) y semieje mayor igual a 5. Su ecuación es x^2/25 + y^2/4 - 1 = 0.
2) Se determinan los elementos de la elipse como el centro (0, 0), vértices (0, ±5), focos (0, ±3) y ecuación x^2/25 + y^2/4 - 1 = 0.
3) Para encontrar la ecuación de una elipse dada sus vértices y excentricidad, se calculan primero los elementos a, b y c.
Este documento describe los diferentes tipos de ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta secante. Explica que estos ángulos se pueden clasificar como ángulos alternos internos, ángulos alternos externos, ángulos conjugados internos, ángulos conjugados externos y ángulos correspondientes. También menciona que estos ángulos se pueden clasificar como ángulos de lados paralelos y ángulos de lados perpendiculares.
Este documento presenta conceptos geométricos básicos como puntos coplanares, planos, ángulos agudos, ángulos circunscritos, pares de ángulos lineales, rectas intersecantes, triángulos agudángulos, paralelogramos, polígonos, cuerdas, arcos mayores, esferas y áreas. Incluye definiciones de cada uno de estos conceptos geométricos junto con ejemplos de ilustraciones.
El documento presenta información sobre las cónicas. En la introducción, el autor dedica el trabajo a sus padres y agradece a su colegio y maestros. Luego, justifica el estudio de las cónicas debido a su importancia en diversos campos. A continuación, presenta la estructura del marco teórico, incluyendo capítulos sobre secciones cónicas, clasificación y campos de aplicación. Finalmente, incluye detalles sobre la hipérbola, como su relación fundamental, asíntotas y ecuación canón
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo (el centro) es constante (el radio). Para obtener la ecuación de una circunferencia se calcula la distancia desde cada punto al centro y se iguala al cuadrado del radio, dando lugar a la ecuación general o reducida de una circunferencia.
Este documento describe la parábola geométrica, incluyendo su definición, ecuación y propiedades. Luego discute varias aplicaciones de la parábola en la vida cotidiana y en arquitectura, como antenas parabólicas, fuentes de agua, deportes y puentes. Finalmente, explica cómo la geometría de la parábola según el número de oro influyó en el diseño arquitectónico de arcos.
Álgebra Vectorial
1. Vectores en el plano y en el espacio
1.1. Simetría de puntos en los sistemas coordenados de dos y tres dimensiones.
1.2. Vector dirigido
1.3. Componentes escalares de un vector dirigido sobre los ejes coordenados en el plano y en el espacio.
1.4. El vector como pareja y como terna ordenada de números reales.
1.5. Definición de vector de posición
1.6. Módulo de un vector como conjunto ordenado de números reales.
2 Operaciones con vectores
2.1. Igualdad de vectores
2.2. Adición de vectores en dos, tres y n dimensiones
2.3. Sustracción de vectores
2.4. Multiplicación por un escalar
2.5. Propiedades de las operaciones
2.6. Vector nulo y vector unitario
2.7. Distancia entre dos puntos como el módulo de la diferencia de dos vectores
3. Producto escalar de dos vectores
3.1. Vectores unitarios i, j, k
3.2. Forma trinómica de un vector
3.3. Definición de producto escalar
3.4 Ortogonal
3.5. Angulo entre dos vectores
3.6. Definición de componente vectorial y proyección de componente escalar de un vector sobre otro
3.7. Cosenos directores
4. Producto vectorial de dos vectores
4.1. Interpretación geométrica y propiedades
4.2. Definición de paralelismo geométrico y propiedades
4.3. Aplicación del producto vectorial al cálculo de áreas de un paralelogramo
4.4. Definición de producto mixto
4.5. Calculo de volúmenes mediante el producto mixto.
5. Uso de software matemático como instrumento verificador de resultados y herramienta de visualización en conceptos.
El documento explica el concepto matemático de pendiente, que se refiere a la inclinación de una recta. Define la pendiente como la diferencia entre las coordenadas y de dos puntos dividida por la diferencia entre sus coordenadas x. Explica que rectas paralelas tienen la misma pendiente, mientras que rectas perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es -1. Como ejemplo, demuestra que tres puntos dados están en la misma recta calculando que tienen la misma pendiente.
Este documento presenta información sobre las rectas en geometría. Define una recta como una línea que se extiende indefinidamente en una sola dirección y contiene infinitos puntos. Discuten las características, posiciones y tipos de rectas, incluyendo rectas paralelas, secantes y perpendiculares. También cubre la pendiente, ecuaciones y sistemas de coordenadas cartesianas para representar rectas.
Unidad III: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD Y GRÁFICOSthor de asgard
Conozcan los diferentes tipos de relación matemática que puede haber entre dos variables e identifique la forma característica de sus respectivos gráficos y ecuaciones. Desarrolle la capacidad de análisis e interpretación de datos obtenidos experimentalmente de un fenómeno.
Curiosidades de la circunferencia y el círculoAlexcz01
Tiene contenidos como: las definiciones, los elementos de la circunferencia, la longitud de la circunferencia, el área del circulo, las figuras circulares y actividades.
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Se origina al cortar un cono con un plano que no pase por el vértice. Tiene elementos como los focos, vértices, ejes transversal y conjugado, y distancia focal. Su ecuación canónica depende de si su eje transversal es horizontal o vertical.
El documento presenta conceptos fundamentales sobre álgebra y funciones lineales, incluyendo producto cartesiano, distancia entre puntos, coordenadas del punto medio de un segmento, pendiente de una recta, ecuación punto-pendiente, ecuación de dos puntos, ecuación general de una recta, rectas paralelas y perpendiculares. Se proveen ejemplos y ejercicios para reforzar los conceptos.
El documento define los elementos básicos de una elipse como su eje mayor, centro, focos, excentricidad y ecuaciones. Explica que para todos los puntos de una elipse, la suma de las distancias a los dos focos es constante. Proporciona las ecuaciones canónicas de una elipse horizontal y vertical con centro en el origen, así como con centro fuera del origen y explica cómo calcular la longitud del lado recto.
Una homotecia es una transformación geométrica que multiplica todas las distancias de una figura por el mismo factor desde un punto fijo, haciendo que la figura resulte más grande o más pequeña pero manteniendo los ángulos y proporciones relativas. Se denomina homotecia directa cuando las figuras quedan en el mismo lado del centro y homotecia inversa cuando quedan en lados opuestos.
Tales de Mileto vivió en el siglo VII a.C. y fue uno de los Siete Sabios de Grecia. Se le atribuye el descubrimiento del teorema que lleva su nombre, el Teorema de Tales, el cual establece que si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, los segmentos correspondientes tienen una razón igual. El teorema permite calcular la longitud de un segmento desconocido si se conocen las medidas de los segmentos correspondientes en otra recta paralela.
Elementos fundamentales-de-la-geometriaDiego Parra
El documento presenta los elementos fundamentales de la geometría como puntos, rectas y planos. Define conceptos como segmentos de recta, rayos, ángulos y tipos de ángulos. Explica los siete postulados de la geometría y teoremas sobre relaciones entre puntos, rectas y ángulos como ángulos adyacentes y opuestos por el vértice. Incluye ejemplos de cálculo de medidas de ángulos.
Este documento presenta la resolución de varios problemas y ejercicios relacionados con cónicas. En el primer problema, se hallan los elementos principales y se determina que la ecuación dado representa una elipse vertical. En el segundo problema, se resuelve otra ecuación y se determina que representa una elipse horizontal. En el tercer problema, se calculan varios elementos como los semiejes mayor y menor, coordenadas de vértices y focos, y excentricidad para una elipse dada.
El documento proporciona instrucciones para resolver 10 problemas relacionados con una parábola dada su ecuación general. Estos incluyen encontrar la ecuación canónica, el vértice, el parámetro y foco, la ecuación de la recta directriz, las coordenadas y longitud del lado recto, y cortes con los ejes y y. También incluye encontrar ecuaciones para rectas tangentes, secantes y exteriores a la parábola, y determinar si un punto dado pertenece a la parábola.
El documento presenta varias construcciones geométricas de triángulos a partir de datos conocidos como lados, ángulos o medidas relacionadas. Se explican métodos para construir triángulos rectángulos, isósceles o a partir de dos lados y un ángulo opuesto. También se describen elementos como bisectrices, medianas y alturas de triángulos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del dibujo técnico, incluyendo elementos geométricos como puntos, líneas, planos y sus diferentes tipos; conceptos de perpendicularidad, paralelismo y operaciones con segmentos; ángulos y sus propiedades; la circunferencia y sus elementos; y lugares geométricos. Explica cómo construir y representar estos elementos geométricos de manera precisa siguiendo las convenciones del dibujo técnico.
1) La elipse tiene un foco en (0, 3) y semieje mayor igual a 5. Su ecuación es x^2/25 + y^2/4 - 1 = 0.
2) Se determinan los elementos de la elipse como el centro (0, 0), vértices (0, ±5), focos (0, ±3) y ecuación x^2/25 + y^2/4 - 1 = 0.
3) Para encontrar la ecuación de una elipse dada sus vértices y excentricidad, se calculan primero los elementos a, b y c.
Este documento describe los diferentes tipos de ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta secante. Explica que estos ángulos se pueden clasificar como ángulos alternos internos, ángulos alternos externos, ángulos conjugados internos, ángulos conjugados externos y ángulos correspondientes. También menciona que estos ángulos se pueden clasificar como ángulos de lados paralelos y ángulos de lados perpendiculares.
Este documento presenta conceptos geométricos básicos como puntos coplanares, planos, ángulos agudos, ángulos circunscritos, pares de ángulos lineales, rectas intersecantes, triángulos agudángulos, paralelogramos, polígonos, cuerdas, arcos mayores, esferas y áreas. Incluye definiciones de cada uno de estos conceptos geométricos junto con ejemplos de ilustraciones.
Este documento define conceptos geométricos relacionados con la circunferencia y las rectas. Explica que una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están a igual distancia del centro. Las rectas pueden ser tangentes, secantes o exteriores dependiendo de cómo intersectan la circunferencia. Los segmentos notables incluyen el radio, diámetro y cuerdas.
Este documento explica cómo calcular el perímetro y área de diferentes figuras geométricas. Define el perímetro y área, y proporciona las fórmulas para calcularlos en triángulos, cuadrados, círculos y otras figuras. Incluye ejemplos numéricos para practicar el cálculo del perímetro y área.
O documento discute os conceitos de ângulos e triângulos na geometria plana. Ele define ângulos, explica como medir ângulos em graus, minutos e segundos, e descreve tipos de ângulos como retos, agudos e obtusos. Também classifica triângulos de acordo com os lados, como isósceles, equiláteros e escalenos, e de acordo com os ângulos internos, como acutângulos, obtusângulos e retângulos.
Este documento define los conceptos básicos de los triángulos, incluyendo sus vértices, lados, ángulos, clasificaciones, líneas notables y teoremas fundamentales. También introduce la definición formal de congruencia de triángulos y el postulado y teoremas utilizados para determinar si dos triángulos son congruentes.
Las tres oraciones resumen lo siguiente:
1) Un ángulo se forma por dos semirrectas que comparten un vértice. 2) Existen diferentes sistemas para medir ángulos como grados, minutos, segundos y radianes. 3) Los ángulos se clasifican en adyacentes, rectos, llanos, complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice.
Una recta está compuesta de infinitos segmentos e infinitos puntos. Un segmento es la parte de una recta comprendida entre dos puntos. Por lo tanto, en una recta hay un número infinito de segmentos.
El documento define la congruencia como igualdad geométrica entre figuras. Explica que la congruencia se basa en los conceptos de igualdad y pureza de formas. Luego, enumera tres teoremas (LAL, ALA, LLL) que establecen las condiciones para que dos triángulos sean congruentes, basándose en la igualdad de lados y/o ángulos. Finalmente, presenta dos teoremas adicionales sobre la bisectriz y la mediatriz.
Pitágoras descubrió que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Este descubrimiento se conoce como el Teorema de Pitágoras.
El documento trata sobre conceptos básicos de geometría como ángulos alternos internos, punto medio de un segmento, espacio, ángulo recto, rectas concurrentes, triángulo rectángulo, altura, polígonos semejantes, rectángulo, polígono regular, arco menor y esfera. También incluye definiciones de volumen y algunos enlaces relacionados con la construcción de casas y edificios.
O documento apresenta conceitos geométricos como ângulos, triângulos, polígonos e quadriláteros. Inclui definições de ângulos opostos pelo vértice, soma dos ângulos internos de polígonos, elementos de triângulos e quadriláteros como paralelogramos e trapézios.
El documento introduce conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, ángulos y sus clasificaciones. Explica que la geometría surgió de necesidades prácticas pero que los griegos la desarrollaron como una ciencia racional. Describe definiciones y representaciones de puntos, rectas, segmentos, semirrectas y ángulos agudos, rectos y obtusos. También cubre ángulos complementarios, suplementarios, opuestos por el vértice y adyacentes. Finalmente, presenta un ejercicio sobre ángulos formados
1) Ângulo é a figura formada por duas semirretas de mesma origem, chamadas lados, com um ponto de origem chamado vértice.
2) Existem diferentes tipos de ângulos: agudo, reto, obtuso, nulo e raso. A medida de um ângulo é dada em graus, minutos e segundos.
3) Nas operações com medidas de ângulos, aplicam-se as mesmas regras de adição, subtração, multiplicação e divisão de números.
Tema 3 polgonos_triangulos_y_cuadrilateros_v7-1o_dtqvrrafa
El documento proporciona información sobre la clasificación y construcción de triángulos y cuadriláteros. Explica cómo los triángulos se pueden clasificar según sus lados o ángulos, y describe elementos notables como las alturas, medianas, bisectrices y circunferencias asociadas. También detalla métodos para construir triángulos dados diferentes combinaciones de lados, ángulos y elementos. Finalmente, presenta una breve clasificación de cuadriláteros.
(1) El documento habla sobre polígonos, incluyendo sus ángulos interiores y exteriores, clasificación, diagonales, perímetros y áreas. (2) Explica teoremas clave sobre la suma de ángulos interiores y exteriores de polígonos regulares. (3) Proporciona fórmulas para calcular el perímetro y área de triángulos y cuadrados.
Este documento presenta nociones básicas sobre triángulos, incluyendo su definición, elementos, clasificación según lados y ángulos, propiedades básicas como la suma de los ángulos interiores y exteriores, y líneas notables como alturas, medianas, bisectrices y mediatrices, así como propiedades de estas líneas y sus puntos de intersección.
El documento habla sobre la medición de ángulos. Explica que un ángulo se forma entre dos líneas que convergen en un punto llamado vértice. Los ángulos se miden en grados, gradientes o radianes usando un transportador, y cada unidad tiene su propia forma de división del círculo. También cubre la conversión entre grados y radianes.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría euclidiana, incluyendo puntos, rectas, segmentos de recta, ángulos y triángulos. Explica el método deductivo utilizado en geometría y define términos como bisectriz, mediatriz, altura y otros elementos geométricos. También incluye postulados sobre puntos, rectas, ángulos y medidas de segmentos, así como teoremas sobre ángulos opuestos por el vértice y complementos de ángulos congruentes.
Este documento presenta los contenidos de la unidad II de geometría plana. Introduce conceptos básicos como punto, recta, plano y figuras geométricas. Explica subconjuntos de la recta como semirrecta, rayo y segmento. Describe posiciones relativas de rectas como paralelas y secantes. Finalmente, define ángulos, bisectriz, clasificación de ángulos y rectas perpendiculares. Incluye actividades para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta los conceptos básicos de la geometría axiomática. Introduce los axiomas de existencia y enlace, que establecen la existencia de puntos, rectas y planos. También presenta los axiomas de ordenación, que definen la relación de orden en una recta. Finalmente, ofrece las primeras definiciones geométricas como segmento, semirrecta, ángulo y triángulo que se derivan de estos axiomas.
Este documento describe elementos geométricos fundamentales como puntos, líneas, planos, ángulos y sus propiedades. Explica cómo construir perpendiculares, paralelas, bisectrices de ángulos y segmentos. Ofrece ejemplos de aplicaciones como división de segmentos y trazado de figuras geométricas.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, segmentos, rayos, ángulos y figuras planas como triángulos y cuadrilateros. Explica cómo medir y clasificar ángulos, y define propiedades de figuras como la suma de los ángulos interiores de un polígono, el número de diagonales de una figura y los tipos de triángulos. Incluye ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, líneas, planos, segmentos de recta, ángulos y figuras geométricas. Explica que la geometría estudia las propiedades de las figuras geométricas y define conceptos primitivos como el punto, la línea y el plano. También describe tipos de ángulos como agudos, obtusos y rectos, y sus relaciones como ángulos adyacentes, complementarios y suplementarios. Finalmente, incluye algunos problemas resueltos como ejemplos.
El documento presenta información sobre ángulos y sus diferentes tipos y relaciones. Explica que un ángulo es la unión de dos rayos con el mismo origen, y define ángulos agudos, rectos y obtusos. Describe relaciones como ángulos complementarios y suplementarios, y conceptos como bisectriz de un ángulo y ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante. Incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.
El documento presenta información sobre ángulos y sus clasificaciones. Explica que un ángulo es la unión de dos rayos con el mismo origen, y define ángulos agudos, rectos y obtusos. Describe las relaciones entre ángulos como complementarios, suplementarios, adyacentes y opuestos. Incluye ejemplos para ilustrar conceptos como bisectriz de ángulos y ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante.
Este documento presenta conceptos básicos sobre triángulos, incluyendo definiciones, clasificaciones, propiedades y teoremas. Explica cómo calcular el área, perímetro y lados de triángulos utilizando relaciones entre ángulos, alturas y el teorema de Pitágoras. También cubre conceptos como triángulos semejantes y cómo resolver problemas geométricos usando estas herramientas.
El documento proporciona información sobre varios conceptos y trazados geométricos fundamentales como la perpendicularidad, paralelismo, proporcionalidad, sección áurea, ángulos y la circunferencia. Explica cómo construir lugares geométricos como la mediatriz de un segmento y el arco capaz de un ángulo, y cómo aplicar estos conceptos para construir triángulos dados un lado y el ángulo opuesto.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, planos, segmentos, rayos y ángulos. Explica términos como puntos colineales, puntos coplanarios, clasificación de ángulos y relaciones entre ángulos. También incluye ejemplos y ejercicios para practicar el reconocimiento y cálculo de ángulos.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría incluyendo definiciones de puntos, líneas, planos, ángulos y sus clasificaciones. También explica teoremas sobre rectas paralelas y transversales y cómo resolver problemas relacionados con segmentos, rayos, puntos colineales y coplanarios.
Este documento proporciona información sobre varios conceptos básicos de geometría como puntos, líneas, segmentos, polígonos y herramientas geométricas. Explica definiciones como líneas paralelas, perpendiculares, bisectriz y mediatriz. También describe el uso de instrumentos como transportador, regla y compás para medir y trazar figuras geométricas.
Este documento proporciona una introducción a la geometría plana, definiendo conceptos básicos como puntos, líneas, figuras geométricas y ángulos. Explica cómo medir ángulos, clasificar triángulos y proporciona teoremas sobre triángulos congruentes y semejantes. Cubre propiedades de paralelas cortadas por una secante y define puntos y líneas notables dentro de triángulos.
Este documento resume los conceptos fundamentales de la geometría plana, incluyendo definiciones de puntos, líneas, figuras geométricas y ángulos. Explica cómo medir ángulos, clasificar triángulos y proporciona teoremas clave sobre paralelas, perpendiculares, triángulos congruentes y semejantes.
Este documento presenta los conceptos básicos de la geometría plana, incluyendo definiciones de puntos, líneas, figuras geométricas y ángulos. Explica la clasificación de triángulos y teoremas relacionados con ángulos, paralelas y congruencia de triángulos. También cubre conceptos como perpendiculares, semejanza y propiedades de figuras geométricas comunes.
Este documento presenta un resumen de los principales temas de la geometría plana, incluyendo geometría métrica (trazados básicos, polígonos, proporcionalidad, circunferencia), geometría proyectiva (homología, afinidad, homotecia) y otros temas como simetría, giro, traslación e inversión. Explica conceptos geométricos fundamentales y ofrece ejemplos ilustrativos de cada tema.
El documento resume conceptos básicos de geometría del plano como ángulos complementarios y suplementarios, igualdad de ángulos, suma de los ángulos interiores de triángulos y polígonos, mediatrices, bisectrices, teorema de Tales, circuncentro, incentro, baricentro, ortocentro, figuras semejantes, criterios de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras.
El documento define los ángulos, sus elementos, clasificaciones y propiedades. Explica que un ángulo es la figura formada por dos rayos que se encuentran, con vértice en el punto de encuentro. Define los tipos de ángulos (agudo, recto, obtuso y llano) y postula que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 grados. También cubre conceptos como ángulos adyacentes, opuestos, bisectriz y formados por rectas paralelas.
El documento resume conceptos básicos de geometría como puntos, líneas, segmentos, ángulos y sus clasificaciones. Explica la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180° y de un polígono convexo es (n-2)180° donde n es el número de lados. También cubre paralelas, triángulos, cuadriláteros y polígonos.
Similar a 2.1 elementos-fundamentales-de-la-geometria (20)
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
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ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...
2.1 elementos-fundamentales-de-la-geometria
1. UNIDAD 2 Geometría 2.1 Elementos fundamentales de la Geometría 1
2.1 Elementos fundamentales de la Geometría
OBJETIVOS
Conocer los elementos fundamentales de la Geometría y su representación.
Aprender las definiciones fundamentales obtenidas a partir de los elementos
fundamentales.
Encontrar la medida de ángulos en figuras geométricas utilizando los postulados y
teoremas de ésta sección.
Términos básicos no definidos
La Geometría tiene tres entes o elementos fundamentales no definidos: punto, recta y plano.
Punto
El punto es el primer elemento que no está definido en Geometría. Se representa gráficamente por un
pequeño círculo y una letra mayúscula que lo identifica. La siguiente figura muestra tres puntos A, B y
C.
A
C
B
Recta
El segundo término no definido de la Geometría Euclideana es el de recta, aunque se entiende que una
recta es un conjunto infinito de puntos que se extienden indefinidamente en sentidos opuestos. Para
referirse a una recta, se seleccionan dos puntos sobre ella; la recta queda determinada por dichos puntos.
Una recta también se puede identificar por una letra minúscula. La figura siguiente muestra la recta
AB que pasa por los puntos A y B. La recta de la figura también está identificada como la recta l.
A B
l
Plano
El tercer término no definido de la Geometría Euclideana es el de plano. Se entiende que un plano es
una superficie totalmente plana que se extiende indefinidamente. Una mesa de vidrio o la cubierta de
un escritorio da la idea de un plano. Un plano se representa geométricamente por una figura de cuatro
lados y una letra mayúscula. La siguiente figura representa al plano P.
P
Definiciones fundamentales
A partir de los elementos fundamentales se pueden definir otros elementos de la Geometría, en ésta
sección se definen algunos de ellos.
2. UNIDAD 2 Geometría 2.1 Elementos fundamentales de la Geometría 2
Espacio
Está formado por todos los puntos posibles y contiene infinitos planos.
Puntos colineales
Son todos los puntos que están situados sobre una misma recta.
Puntos coplanares
Son todos los puntos que están situados en un mismo plano.
Segmento de recta
El segmento de recta AB está formado por todos los puntos entre A y B incluyendo los puntos A y B.
La longitud de un segmento es la distancia entre sus puntos extremos. Para indicar que la longitud del
segmento AB es 5 escribimos 5AB . La siguiente figura muestra el segmento de recta AB.
A B
Rayo o semirecta
El Rayo AB está formado por todos los puntos que se extienden en una sola dirección a partir del punto
A pasando por el punto B. El punto A se llama origen o punto extremo del rayo. La siguiente figura
muestra el Rayo AB.
A B
Rayo AB
Punto medio de un segmento
Es el punto que divide un segmento en dos segmentos iguales. Si C es el punto medio de AB, entonces
AC CB
A BC
Ángulos y su medida
Un ángulo está formado por dos rayos que tienen el mismo punto extremo. Al punto extremo común se
le llama vértice y a los dos rayos se las llama lados del ángulo. El ángulo de la figura siguiente está
formado por los rayos AB y AC, su vértice está en el punto A y sus lados son los rayos AB y AC.
A
B
C
1
Para referirse al ángulo de la figura anterior se puede hacer como 1 , CAB , BAC y si el
vértice no es compartido con otro ángulo puede identificarse como A .
En Geometría usualmente la medida de un ángulo se expresa en grados sexagesimales. Un círculo
tiene 360 grados, así un grado (1º) es el ángulo formado por 1
360
parte de un círculo. Un grado se divide
en 60 minutos y un minuto se divide en 60 segundos.
3. UNIDAD 2 Geometría 2.1 Elementos fundamentales de la Geometría 3
1º 60
1 60
Ángulo agudo
Es un ángulo cuya medida es mayor que cero y menor de 90º. Por ejemplo el ángulo A de la figura
siguiente tiene una medida de 50º, es decir 50ºA
A
50º
Ángulo recto
Es un ángulo cuya medida es 90º y usualmente se representa con una pequeña escuadra en el vértice del
ángulo.
A
90º
Ángulo obtuso
Es un ángulo cuya medida es mayor de 90º pero menor que 180º, en la figura se muestra un ángulo
obtuso de 150º
A
150º
Ángulo llano
Es un ángulo cuyos lados son rayos opuestos. La medida de un ángulo llano es 180º
A
180º
Postulados y Teoremas
El estudio formal de la Geometría requiere el uso de postulados, teoremas y demostraciones. Los
postulados son enunciados que se aceptan como verdaderos y ellos no pueden demostrarse mientras que
los teoremas son proposiciones derivadas de los postulados y se pueden demostrar, aunque en muchos
casos las demostraciones son muy complicadas. En este curso se presentan únicamente los postulados y
teoremas que se consideran necesarios para la solución de problemas geométricos.
4. UNIDAD 2 Geometría 2.1 Elementos fundamentales de la Geometría 4
2
43
1
S i e t e p o s t u l a d o s i m p o r t a n t e s
1. Una recta contiene cuando menos dos puntos; un plano contiene cuando menos
tres puntos, no todos en la misma recta; el espacio contiene cuando menos cuatro
puntos, no todos en el mismo plano.
2. Existe una recta y sólo una que pasa por dos puntos.
3. Existe un plano y sólo uno que pasa por tres puntos que no están en una sola
recta.
4. Si dos puntos están en un plano, entonces la recta que los contiene se encuentra
también en el mismo plano.
5. Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es una recta.
6. Entre dos puntos existe una distancia, y sólo una.
7. A cada ángulo le corresponde una medida en grados única, mayor o igual a 0º y
menor o igual a 180º.
Relaciones entre puntos rectas y ángulos
Cuando se combinan puntos, rectas, segmentos y ángulos, se obtienen figuras geométricas; las cuales
dan origen a definiciones y teoremas que relacionan los elementos geométricos. A continuación se
presentan algunas definiciones y teoremas importantes.
Puntos sobre una recta
Si tres puntos A, B y C se encuentran sobre una recta, y el punto B está entre los puntos A y C, entonces
las distancias entre ellos se relacionan de la siguiente forma
A B C
AB BC AC
Ángulos adyacentes
Son dos ángulos que están en el mismo plano, tienen el mismo vértice y un lado en común, pero no
tienen puntos interiores comunes. La suma de las medidas de los ángulos adyacentes da como resultado
la medida del ángulo mayor formado.
B
C
D
2
A
1
1 2ABC
Ángulos opuestos por el vértice
Si dos rectas se intersecan en un punto, los ángulos opuestos por el vértice son iguales
1 y 2 son opuestos por el vértice, entonces 1 2
3 y 4 son opuestos por el vértice, entonces 3 4
5. UNIDAD 2 Geometría 2.1 Elementos fundamentales de la Geometría 5
2
43
1
m
l
Ángulos complementarios
Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90º, los ángulos se llaman complementarios. En las dos
figuras que se muestran 1 y 2 son complementarios, entonces
1 2 90º
1
2
1
2
Ángulos suplementarios
Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180º, los ángulos son suplementarios, en las dos figuras
mostradas 1 y 2 son suplementarios, entonces
1 2 180º
1 2 1 2
Rectas perpendiculares
Si dos rectas se intersecan formando ángulos rectos, las rectas son perpendiculares y la medida de los
cuatro ángulos formados es 90º. En la figura las rectas l y m son perpendiculares.
1 2 3 4 90º
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas cuando están en un mismo plano y no tienen ningún punto en común. En la
figura las rectas l y m son paralelas
m
l
6. UNIDAD 2 Geometría 2.1 Elementos fundamentales de la Geometría 6
2
1
m
l
3 4
AB
C D
Ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal
Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una transversal, se forman 8 ángulos como se muestra
en la figura siguiente
2
43
1
m
l
t
65
7 8
Puede observarse que se forman cuatro pares de ángulos que son opuestos por el vértice así como
ocho pares de ángulos que comparten el mismo vértice y son suplementarios. Adicionalmente se definen
los ángulos siguientes
Ángulos correspondientes
Los ángulos situados del mismo lado de la transversal, uno externo y el otro interno pero con vértice
diferente se llaman ángulos correspondientes; hay cuatro pares de ángulos correspondientes.
Los ángulos correspondientes son iguales, es decir
1 5, 2 6, 3 7, 4 8
Ángulos alternos internos
Los ángulos situados dentro de las paralelas, en lados opuestos de la transversal y con vértice diferente
se llaman ángulos alternos internos; hay dos pares de ángulos alternos internos.
Los ángulos alternos internos son iguales, es decir
3 6, 4 5
Ángulos alternos externos
Los ángulos situados fuera de las paralelas, en lados opuestos de la transversal y con vértice diferente se
llaman ángulos alternos externos; hay dos pares de ángulos alternos externos.
Los ángulos alternos externos son iguales, es decir
1 8, 2 7
Ejemplo 1: Calculando ángulos entre paralelas
Si las rectas l y m son paralelas y 1 2 55º ,
Calcule la medida de 4
Solución
Para resolver éste problema se utilizarán las propiedades de ángulos establecidas en
ésta sección.
Calculando el ángulo ABC cuya medida es la suma de dos ángulos adyacentes
7. UNIDAD 2 Geometría 2.1 Elementos fundamentales de la Geometría 7
20º
A
B
C
D
3x
2x
y
1 2 55º 55º 110ºABC
Ahora se puede calcular el 3 ya que es igual al ABC pues son alternos internos
entre paralelas
3 110ºABC
Finalmente, el 3 y el 4 son ángulos suplementarios, es decir que suman 180º
3 4 180º
4 180º 3
180º 110º 70º
Entonces la medida del 4 es 70º
Ejemplo 2: Calculando ángulos expresados en términos de variables
Si los segmentos AD y CB son paralelos,
Encuentre los valores de x y y.
Solución
La medida del ángulo 3 20DAB x pues se obtiene sumando dos ángulos
adyacentes. Como el ángulo DAB y el ángulo cuya medida es y son alternos
internos, tienen la misma medida, es decir
3 20x y
Por otro lado, el ángulo 2x y el ángulo y son suplementarios, entonces sus
medidas suman 180º, es decir
2 180x y
Resolviendo el sistema de ecuaciones por sustitución se obtiene
2 180
2 (3 20) 180
5 150
32
x y
x x
x
x
Sustituyendo 32x para encontrar el valor de y
3 20
3(32) 20
116
y x
y
y
De donde los valores buscados son 32x y 116y
8. UNIDAD 2 Geometría 2.1 Elementos fundamentales de la Geometría 8
Ejemplo 3: Calculando ángulos expresados en términos de variables
La medida de un ángulo agudo es tal que su ángulo complementario y su suplementario están en razón
de 3 a 7. Encontrar la medida del ángulo.
Solución
Sea x la medida del ángulo buscado, entonces su complemento es 90 x y su
suplemento es 180 x . Como la razón entre su complemento y su suplemento es 3
7
,
se obtiene la ecuación
90 3
180 7
x
x
Resolviendo la ecuación anterior
7(90 ) 3(180 )x x
630 7 540 3
3 7 540 630
4 90
22.5
x x
x x
x
x
La medida del ángulo agudo es 22.5º o bien 22º 30´.
Ejercicios de la sección 2.1
Para resolver los ejercicios 1 a 10, utilice la figura
siguiente, donde l m.
21
3
8 4
5
6
7
9
10 11
12
14
1315
l
m
1. Indique que pares de ángulos son opuestos
por el vértice.
2. Indique que pares de ángulos son alternos
internos entre paralelas.
3. Indique que pares de ángulos son adyacentes
y suplementarios.
4. Indique que ángulos son agudos.
5. Indique que ángulos son obtusos.
6. Indique que pares ángulos son
correspondientes entre paralelas.
7. Indique que pares de ángulos son alternos
externos entre paralelas.
8. Indique que pares de ángulos son
suplementarios y no comparten el mismo
vértice.
9. Si 1 60º . Calcule la medida del 6
10. Si 3 80º . Calcule la medida del 11
11. Si l m, encuentre 1 y 2 .
77º
ml
1
2
9. UNIDAD 2 Geometría 2.1 Elementos fundamentales de la Geometría 9
12. Si l m, Encuentre 1 y 2 .
120º
ml
1
2
13. Si l m. Encuentre la medida de los otros
ángulos numerados.
35º
ml
1
2 3
80º
14. Si l m y r s , encuentre 1 y 2 .
m
l
1
r
s
2
155º
15. Si l m, 3 ºn y 1 2 ºn . Encuentre
la medida de los otros ángulos numerados en
términos de n.
6
7
m
l
1 2 3 4
5
16. En la figura del problema anterior, encuentre
x si 7 (3 5)ºx y 4 (5 15)ºx
17. Si l m. Encuentre la medida de los ángulos
x y y.
x
x
m
l
80º y
18. Si l m. Encuentre la medida del ángulo x.
45º m
lx
65º
19. Si l m. Encuentre los valores de x y de y.
x+ y
m
l
120º
2x y
20. Si l m. Encuentre los valores de x y de y.
ml
y
3 20x
2x
21. Un ángulo mide 2 3x y . ¿Cuál es la
diferencia entre las medidas de su
complemento y de su suplemento?
22. La diferencia entre las medidas de dos
ángulos complementarios es x. Exprese en
términos de x la medida del ángulo mayor.
23. La suma de las medidas del complemento y el
doble de la medida del suplemento de un
ángulo es igual a 354º. Encuentre la medida
del ángulo.
24. Dos ángulos son tales que las medidas de sus
complementos están en razón 3 a 2, mientras
que las medidas de sus suplementos están en
razón 9 a 8. Encuentre la medida de cada
ángulo.