Este documento presenta las propiedades métricas de los triángulos, incluyendo definiciones de ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice, así como teoremas sobre la suma de los ángulos interiores de triángulos y polígonos. También describe las propiedades de mediatrices, bisectrices, medianas y alturas, e introduce los conceptos de circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro. Por último, explica los criterios para determinar si dos triángulos son iguales o semejantes.

1. 1. Recuerda (I) MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 12. TRIÁNGULOS. PROPIEDADES MÉTRICAS Javier Fernández Dos ángulos son complementarios si suman un ángulo recto, es decir, 90º. Dos ángulos son suplementarios si suman dos ángulos rectos, es decir, 180º.

2. 2. Recuerda (II) MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 12. TRIÁNGULOS. PROPIEDADES MÉTRICAS Javier Fernández Dos ángulos son opuestos por el vértice si tienen el mismo vértice y los lados de uno de ellos son prolongación de los lados del otro. Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales. Mediatriz de un segmeno es la recta perpendicular al segmento en su punto medio. Todos los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento

3. 3. Recuerda (III) MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 12. TRIÁNGULOS. PROPIEDADES MÉTRICAS Javier Fernández Bisectriz de un ángulo es la semirecta que parte del vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos iguales. Todos los puntos de la bisectriz equidistan de cada lado del ángulo. Teorema de Tales. Toda paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos lados, forma un triángulo semejante al primero.

4. 4. Ángulos de lados paralelos MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 12. TRIÁNGULOS. PROPIEDADES MÉTRICAS Javier Fernández Ángulos de lados paralelos. Dos ángulos que tienen los lados paralelos son iguales si ambos son agudos u obtusos, y suplementarios si uno es agudo y el otro obtuso.

6. Como los ángulos C y C' son iguales

7. se deduce que los ángulos

9. Se deduce que los ángulos

10. A y B’ son suplementarios

12. a la base.

13. 7. Suma de los ángulos interiores de un polígono MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 12. TRIÁNGULOS. PROPIEDADES MÉTRICAS Javier Fernández La suma S de los ángulos interiores de un polígono vale S = 180º . (n – 2) Si n es el número de lados, el número de triángulos que se forman al trazar las diagonales es n – 2, por lo que tendremos: Triángulos 6 – 2 = 4 5 – 2 = 3 4 – 2 = 2 Dibujo Polígono Cuadrilátero Pentágono Exágono Suma de los ángulos 2 . 180º = 360 3 . 180º = 360º 4 . 180º = 720º Lados 6 5 4

15. que equidistan de A y B.

16. La mediatriz m 2 está formada por los puntos

17. que equidistan de B y C.

18. La mediatriz m 3 está formada por los puntos

19. que equidistan de A y C.

20. Luego el punto O pertenece a las tres

22. Es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices. m 1 m 2 m 3

24. que equidistan de los lados AB yAC.

25. La bisectriz b 2 está formada por los puntos

26. que equidistan de los lados AB y AC.

27. La bisectriz b 3 está formada por los puntos

28. que equidistan de los lados CB y CA.

29. Luego el punto I pertenece a las tres bisectrices

31. Es el centro de la circunferencia inscrita, tangente a los tres lados. b 1 b 2 b 3

33. Cada mediana divide al triángulo en dos de igual área.

34. El baricentro dista el doble del vértice que del punto medio del lado.

35. Para conseguir colocar un triángulo en equilibrio sobre la punta de un

36. lápiz habría que colocarlo en el punto B.

38. lados del triángulo A'B'C'.

39. Por tanto las alturas de ABC son

40. mediatrices de A'B'C’.

41. Por tanto se cortan en el punto O, que será

42. el circuncentro de A'B'C'.

43. 12. Triángulos iguales MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 12. TRIÁNGULOS. PROPIEDADES MÉTRICAS Javier Fernández Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales y los tres ángulos iguales. Estos triángulos son iguales y se pueden superponer mediante giros y traslaciones, sin levantarlos del papel. Estos triángulos son iguales pero no se pueden superponer mediante giros y traslaciones. Hay que levantar sobre el papel uno de ellos para superponerlo al otro

45. Con cento en B se traza un arco de radio c

46. Los arcos se cortan en el tercer vértice A,

47. determinando un triángulo único. Para dibujar el triángulo. Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados correspondientes iguales

49. sobre sus lados, segmentos de

50. longitudes a y b.

51. El triangulo obtenido es único. Para dibujar el triángulo:

53. los ángulos C y B respectivamente.

54. El triángulo ABC es único. Para dibujar el triángulo:

56. los lados proporcionales y

57. los ángulos iguales La semejanza de triángulos se simboliza: El cociente se llama razón de semejanza

59. Se toma A'B" = AB

60. Por B" se traza una paralela al lado B'C'

61. Se puede demostrar ahora que ABC = A'B"C" Partimos de dos triángulos ABC y A'B'C' que tienen dos ángulos iguales y por lo tanto los tres.

63. Se toma A'B" = AB

64. Por B" se traza una paralela a lado B'C'

65. Se puede demostrar ahora que ABC = A'B"C" Partimos de dos triángulos ABC y A'B'C' que tienen los lados proporcionales.

67. Se toma A'B" = AB

68. Por B" se traza una paralela a lado B'C'

69. Se puede demostrar ahora que ABC = A'B"C" Partimos de dos triángulos ABC y A'B'C' que tienen dos lados propocionales y los ángulos A y A' iguales