Este documento trata sobre la transformada de Laplace. Explica que la transformada de Laplace es una técnica desarrollada para resolver ecuaciones diferenciales que surgen en física y que tiene ventajas sobre otros métodos. También define formalmente la transformada de Laplace y establece condiciones para su existencia. Finalmente, resume algunas propiedades importantes de la transformada de Laplace y su inversa.
Teoria de fracciones parciales y t ransformada de laplaceOswaldoguanipa1
Este documento resume los conceptos clave de las fracciones parciales y su aplicación en la transformada inversa de Laplace. Explica cuatro casos comunes de fracciones parciales y provee ejemplos resueltos. También define la transformada de Laplace, su inversa, y proporciona una tabla con las transformadas comunes. Finalmente, presenta ejercicios sobre el cálculo de transformadas y su inversa.
La transformada de Laplace es una técnica matemática que convierte funciones de tiempo en funciones de una nueva variable llamada s. Se puede usar para resolver ecuaciones diferenciales y integrales lineales, especialmente aquellas con coeficientes constantes. La transformada de Laplace de una función f(t) se define como una integral impropia. Existen condiciones para que la transformada exista, como que la función sea continua por tramos y de orden exponencial.
Limite y continuidad de funciones de varias variableskactherinevg
Este documento trata sobre límites y continuidad de funciones de varias variables. Explica que se estudian las funciones componentes, y que la continuidad se da si cada función componente es continua. También introduce conceptos como campos escalares y funciones definidas a trozos, y explica cómo calcular límites y continuidad en estas funciones.
Este documento presenta diferentes métodos numéricos para aproximar derivadas mediante diferencias finitas. Explica cómo usar la serie de Taylor para derivar fórmulas de diferenciación numérica hacia adelante, hacia atrás y centrales de primer orden y orden superior. También cubre el método de la secante utilizando diferencias finitas y proporciona ejemplos y gráficas para ilustrar los conceptos.
(1) El documento describe las funciones complejas de variable real, sus derivadas e integrales. Las reglas del cálculo son análogas a las funciones reales.
(2) También define curvas y contornos en el plano complejo y establece la integral de contorno como la integral de una función a lo largo de una curva.
(3) Explica que las integrales de contorno son independientes del camino cuando la función tiene una primitiva en el dominio, es decir, cuando la integral a lo largo de cualquier contorno cerrado es cero.
Este documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) de forma analítica y numérica. Explica que las EDOs involucran variables dependientes y sus derivadas con respecto a una variable independiente. También describe los métodos de Euler y Heun para resolver EDOs numéricamente de forma aproximada mediante pequeños pasos iterativos.
1) La transformada de Laplace es una herramienta matemática que permite convertir una función del tiempo en otra función compleja, permitiendo resolver ecuaciones diferenciales.
2) Tiene propiedades como la linealidad y el desplazamiento en el tiempo y la frecuencia, lo que facilita su uso para resolver ecuaciones.
3) Se puede usar para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales al convertirlas en ecuaciones algebraicas mediante la transformada, y luego aplicar la transformada inversa.
Teoria de fracciones parciales y t ransformada de laplaceOswaldoguanipa1
Este documento resume los conceptos clave de las fracciones parciales y su aplicación en la transformada inversa de Laplace. Explica cuatro casos comunes de fracciones parciales y provee ejemplos resueltos. También define la transformada de Laplace, su inversa, y proporciona una tabla con las transformadas comunes. Finalmente, presenta ejercicios sobre el cálculo de transformadas y su inversa.
La transformada de Laplace es una técnica matemática que convierte funciones de tiempo en funciones de una nueva variable llamada s. Se puede usar para resolver ecuaciones diferenciales y integrales lineales, especialmente aquellas con coeficientes constantes. La transformada de Laplace de una función f(t) se define como una integral impropia. Existen condiciones para que la transformada exista, como que la función sea continua por tramos y de orden exponencial.
Limite y continuidad de funciones de varias variableskactherinevg
Este documento trata sobre límites y continuidad de funciones de varias variables. Explica que se estudian las funciones componentes, y que la continuidad se da si cada función componente es continua. También introduce conceptos como campos escalares y funciones definidas a trozos, y explica cómo calcular límites y continuidad en estas funciones.
Este documento presenta diferentes métodos numéricos para aproximar derivadas mediante diferencias finitas. Explica cómo usar la serie de Taylor para derivar fórmulas de diferenciación numérica hacia adelante, hacia atrás y centrales de primer orden y orden superior. También cubre el método de la secante utilizando diferencias finitas y proporciona ejemplos y gráficas para ilustrar los conceptos.
(1) El documento describe las funciones complejas de variable real, sus derivadas e integrales. Las reglas del cálculo son análogas a las funciones reales.
(2) También define curvas y contornos en el plano complejo y establece la integral de contorno como la integral de una función a lo largo de una curva.
(3) Explica que las integrales de contorno son independientes del camino cuando la función tiene una primitiva en el dominio, es decir, cuando la integral a lo largo de cualquier contorno cerrado es cero.
Este documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) de forma analítica y numérica. Explica que las EDOs involucran variables dependientes y sus derivadas con respecto a una variable independiente. También describe los métodos de Euler y Heun para resolver EDOs numéricamente de forma aproximada mediante pequeños pasos iterativos.
1) La transformada de Laplace es una herramienta matemática que permite convertir una función del tiempo en otra función compleja, permitiendo resolver ecuaciones diferenciales.
2) Tiene propiedades como la linealidad y el desplazamiento en el tiempo y la frecuencia, lo que facilita su uso para resolver ecuaciones.
3) Se puede usar para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales al convertirlas en ecuaciones algebraicas mediante la transformada, y luego aplicar la transformada inversa.
El wronskiano es un determinante utilizado para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado. Se construye colocando las funciones y sus derivadas sucesivas en las filas de una matriz. Si el wronskiano es distinto de cero en algún punto del intervalo, las funciones son linealmente independientes en ese intervalo, mientras que si es cero uniformemente, podrían ser dependientes o no. El wronskiano es útil para verificar la independencia de soluciones de ecuaciones diferenciales.
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminaciónoswaldoalvarado
Este documento presenta el método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El método implica reescribir el sistema en términos del operador diferencial, eliminar una variable mediante multiplicación de ecuaciones, obtener la solución de la ecuación característica y sustituir en el sistema original para encontrar la solución general. Se ilustra el método con un ejemplo de sistema de dos ecuaciones de primer orden.
Este documento trata sobre la aplicación de ecuaciones diferenciales a la mecánica y física. Explica que los modelos matemáticos a menudo producen ecuaciones diferenciales y que éstas se usan comúnmente para comprender fenómenos como la dinámica de poblaciones, la desintegración radiactiva, el enfriamiento de cuerpos y la propagación de enfermedades. También presenta algunos ejemplos de problemas resueltos usando ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con funciones vectoriales y curvas en el espacio. El primer ejercicio analiza si se intersectan dos curvas definidas por vectores posición y en qué puntos ocurre. El segundo ejercicio describe gráficamente una curva y prueba que su vector tangente es unitario cuando se usa la longitud de arco como parámetro. El tercer ejercicio calcula la velocidad de una partícula y determina el tiempo para recorrer una distancia dada.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
Este documento presenta tres ejemplos de resolución de series de Fourier. El primero encuentra la representación de la señal e-t mediante el cálculo de los coeficientes an y bn. El segundo halla la serie para la señal t2. El tercero determina la serie para la señal Acos(2t) en el intervalo -π a π, notando que bn es cero.
La derivada direccional de una función de varias variables representa la tasa de cambio de la función en una dirección dada. Se define como el límite de la variación de la función dividida por el cambio en la dirección. El gradiente de una función es un vector que apunta en la dirección de mayor aumento y su magnitud es igual a la derivada direccional máxima.
Este documento presenta un resumen de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Introduce conceptos como sistemas homogéneos y no homogéneos, la forma matricial de los sistemas lineales, y métodos para resolver sistemas como el método de los operadores y el uso de la transformada de Laplace. Finalmente, aplica estos conceptos al análisis de circuitos eléctricos con múltiples ramas que pueden modelarse como sistemas de ecuaciones diferenciales.
1. El documento presenta información sobre transformadas de Laplace e inversas, incluyendo definiciones, propiedades y ejemplos de su aplicación para resolver ecuaciones diferenciales.
2. Se desarrollan 14 ejercicios para calcular transformadas de Laplace directas e inversas de diferentes funciones y aplicarlas a la resolución de problemas.
3. El objetivo es que los estudiantes aprendan a usar transformadas de Laplace para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas que puedan resolverse de forma analítica.
This table summarizes the derivatives of common elementary and composite functions. For elementary functions, the derivative is given. For composite functions f(u) with u = u(x), the derivative is the derivative of the inner function u' multiplied by the derivative of the outer function evaluated at u.
Este documento describe el método para resolver ecuaciones diferenciales de variables separables. Estas ecuaciones pueden factorizarse en la forma y'=f(x)g(y). El método implica: 1) factorizar la ecuación, 2) separar las variables, 3) integrar ambos lados para obtener la solución general. También presenta ejemplos de aplicación del método a ecuaciones específicas.
Método numéricos para diferenciación e integración.Javier Maita
Este documento resume diferentes métodos numéricos para aproximar derivadas y integrales, incluyendo diferenciación numérica, integración numérica, y métodos como diferencias divididas finitas, regla del trapecio y regla de Simpson. Explica cómo estas técnicas usan valores discretos de una función para estimar su comportamiento continuo y derivadas.
Este documento explica conceptos clave relacionados con ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo dependencia e independencia lineal de funciones y soluciones, y cómo usar el wronskiano para determinar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente. Proporciona ejemplos ilustrativos de cómo aplicar estos conceptos.
Aplicaciones de la Transformada de Laplace. 3 ejercicios resueltos por Ing. R...roscoro
1) El documento describe cómo usar la transformada de Laplace para resolver circuitos eléctricos en serie descritos por ecuaciones diferenciales. 2) Explica los teoremas de traslación de Laplace y cómo aplicarlos. 3) Presenta ejemplos resueltos de problemas de circuitos eléctricos usando la transformada de Laplace.
Este documento presenta diferentes métodos para la derivación e integración numérica. Explica cómo calcular la primera y segunda derivada de una función utilizando aproximaciones de diferencias finitas con 2 y 3 puntos. También describe cómo aplicar la extrapolación de Richardson para mejorar la precisión de los cálculos de derivadas numéricas. Finalmente, introduce un método para calcular derivadas en puntos no equiespaciados usando interpolación polinómica.
El documento describe el crecimiento logístico de un virus de gripe en un campus de 1000 estudiantes. Resuelve una ecuación diferencial para modelar la propagación del virus cuando la tasa de infección depende del número de estudiantes infectados y no infectados. Calcula que después de 6 días habrá aproximadamente 276 estudiantes infectados.
Tema 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIORfederico paniagua
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Define ecuaciones diferenciales de orden n como aquellas que contienen un diferencial de orden n. Explica que los problemas de valor inicial involucran una ecuación diferencial y condiciones iniciales que ayudan a determinar una solución particular. También cubre teoremas sobre la existencia y unicidad de soluciones, ecuaciones diferenciales homogéneas y el principio de superposición.
El documento describe diferentes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en diversos campos como la dinámica de poblaciones, desintegración radiactiva, propagación de enfermedades y circuitos eléctricos. Se explica el proceso de modelado matemático mediante ecuaciones diferenciales y se presentan ejemplos de problemas resueltos relacionados con crecimiento poblacional, vida media radiactiva y préstamos con intereses.
Este documento describe el método de reducción de orden para encontrar la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden. El método involucra sustituir una segunda solución y2 en términos de una solución conocida y1, reduciendo así la ecuación a una de primer orden. Se presenta la fórmula para hallar y2 y se resuelven ejemplos para ilustrar el método.
El documento describe el método de Newton-Raphson para encontrar raíces de ecuaciones. Explica que este método usa una aproximación lineal basada en la tangente en un punto para iterativamente encontrar una aproximación mejorada de la raíz. También presenta un ejemplo numérico para encontrar la raíz negativa de una ecuación exponencial usando este método implementado en Excel.
Este documento introduce la transformada de Laplace como una herramienta útil para resolver ecuaciones diferenciales. Explica que la transformada de Laplace mapea funciones del tiempo a funciones complejas y reduce problemas de valor inicial en ecuaciones diferenciales a la solución de una ecuación algebraica. Además, proporciona ejemplos de cálculo de la transformada de Laplace para funciones comunes como 1, eat, cos(wt) y sen(wt).
Este documento presenta la transformada de Laplace como una herramienta útil para resolver ecuaciones diferenciales. Primero introduce la transformada de Laplace y sus condiciones de existencia. Luego, describe propiedades clave como la linealidad y cómo se aplican la transformada a funciones derivadas e integrales. Finalmente, introduce dos teoremas de traslación y cómo se puede usar la función escalón unitario con la transformada de Laplace. El documento proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para ilustrar el uso de la transformada de Laplace en la resolución de e
El wronskiano es un determinante utilizado para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado. Se construye colocando las funciones y sus derivadas sucesivas en las filas de una matriz. Si el wronskiano es distinto de cero en algún punto del intervalo, las funciones son linealmente independientes en ese intervalo, mientras que si es cero uniformemente, podrían ser dependientes o no. El wronskiano es útil para verificar la independencia de soluciones de ecuaciones diferenciales.
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminaciónoswaldoalvarado
Este documento presenta el método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El método implica reescribir el sistema en términos del operador diferencial, eliminar una variable mediante multiplicación de ecuaciones, obtener la solución de la ecuación característica y sustituir en el sistema original para encontrar la solución general. Se ilustra el método con un ejemplo de sistema de dos ecuaciones de primer orden.
Este documento trata sobre la aplicación de ecuaciones diferenciales a la mecánica y física. Explica que los modelos matemáticos a menudo producen ecuaciones diferenciales y que éstas se usan comúnmente para comprender fenómenos como la dinámica de poblaciones, la desintegración radiactiva, el enfriamiento de cuerpos y la propagación de enfermedades. También presenta algunos ejemplos de problemas resueltos usando ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con funciones vectoriales y curvas en el espacio. El primer ejercicio analiza si se intersectan dos curvas definidas por vectores posición y en qué puntos ocurre. El segundo ejercicio describe gráficamente una curva y prueba que su vector tangente es unitario cuando se usa la longitud de arco como parámetro. El tercer ejercicio calcula la velocidad de una partícula y determina el tiempo para recorrer una distancia dada.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
Este documento presenta tres ejemplos de resolución de series de Fourier. El primero encuentra la representación de la señal e-t mediante el cálculo de los coeficientes an y bn. El segundo halla la serie para la señal t2. El tercero determina la serie para la señal Acos(2t) en el intervalo -π a π, notando que bn es cero.
La derivada direccional de una función de varias variables representa la tasa de cambio de la función en una dirección dada. Se define como el límite de la variación de la función dividida por el cambio en la dirección. El gradiente de una función es un vector que apunta en la dirección de mayor aumento y su magnitud es igual a la derivada direccional máxima.
Este documento presenta un resumen de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Introduce conceptos como sistemas homogéneos y no homogéneos, la forma matricial de los sistemas lineales, y métodos para resolver sistemas como el método de los operadores y el uso de la transformada de Laplace. Finalmente, aplica estos conceptos al análisis de circuitos eléctricos con múltiples ramas que pueden modelarse como sistemas de ecuaciones diferenciales.
1. El documento presenta información sobre transformadas de Laplace e inversas, incluyendo definiciones, propiedades y ejemplos de su aplicación para resolver ecuaciones diferenciales.
2. Se desarrollan 14 ejercicios para calcular transformadas de Laplace directas e inversas de diferentes funciones y aplicarlas a la resolución de problemas.
3. El objetivo es que los estudiantes aprendan a usar transformadas de Laplace para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas que puedan resolverse de forma analítica.
This table summarizes the derivatives of common elementary and composite functions. For elementary functions, the derivative is given. For composite functions f(u) with u = u(x), the derivative is the derivative of the inner function u' multiplied by the derivative of the outer function evaluated at u.
Este documento describe el método para resolver ecuaciones diferenciales de variables separables. Estas ecuaciones pueden factorizarse en la forma y'=f(x)g(y). El método implica: 1) factorizar la ecuación, 2) separar las variables, 3) integrar ambos lados para obtener la solución general. También presenta ejemplos de aplicación del método a ecuaciones específicas.
Método numéricos para diferenciación e integración.Javier Maita
Este documento resume diferentes métodos numéricos para aproximar derivadas y integrales, incluyendo diferenciación numérica, integración numérica, y métodos como diferencias divididas finitas, regla del trapecio y regla de Simpson. Explica cómo estas técnicas usan valores discretos de una función para estimar su comportamiento continuo y derivadas.
Este documento explica conceptos clave relacionados con ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo dependencia e independencia lineal de funciones y soluciones, y cómo usar el wronskiano para determinar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente. Proporciona ejemplos ilustrativos de cómo aplicar estos conceptos.
Aplicaciones de la Transformada de Laplace. 3 ejercicios resueltos por Ing. R...roscoro
1) El documento describe cómo usar la transformada de Laplace para resolver circuitos eléctricos en serie descritos por ecuaciones diferenciales. 2) Explica los teoremas de traslación de Laplace y cómo aplicarlos. 3) Presenta ejemplos resueltos de problemas de circuitos eléctricos usando la transformada de Laplace.
Este documento presenta diferentes métodos para la derivación e integración numérica. Explica cómo calcular la primera y segunda derivada de una función utilizando aproximaciones de diferencias finitas con 2 y 3 puntos. También describe cómo aplicar la extrapolación de Richardson para mejorar la precisión de los cálculos de derivadas numéricas. Finalmente, introduce un método para calcular derivadas en puntos no equiespaciados usando interpolación polinómica.
El documento describe el crecimiento logístico de un virus de gripe en un campus de 1000 estudiantes. Resuelve una ecuación diferencial para modelar la propagación del virus cuando la tasa de infección depende del número de estudiantes infectados y no infectados. Calcula que después de 6 días habrá aproximadamente 276 estudiantes infectados.
Tema 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIORfederico paniagua
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Define ecuaciones diferenciales de orden n como aquellas que contienen un diferencial de orden n. Explica que los problemas de valor inicial involucran una ecuación diferencial y condiciones iniciales que ayudan a determinar una solución particular. También cubre teoremas sobre la existencia y unicidad de soluciones, ecuaciones diferenciales homogéneas y el principio de superposición.
El documento describe diferentes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en diversos campos como la dinámica de poblaciones, desintegración radiactiva, propagación de enfermedades y circuitos eléctricos. Se explica el proceso de modelado matemático mediante ecuaciones diferenciales y se presentan ejemplos de problemas resueltos relacionados con crecimiento poblacional, vida media radiactiva y préstamos con intereses.
Este documento describe el método de reducción de orden para encontrar la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden. El método involucra sustituir una segunda solución y2 en términos de una solución conocida y1, reduciendo así la ecuación a una de primer orden. Se presenta la fórmula para hallar y2 y se resuelven ejemplos para ilustrar el método.
El documento describe el método de Newton-Raphson para encontrar raíces de ecuaciones. Explica que este método usa una aproximación lineal basada en la tangente en un punto para iterativamente encontrar una aproximación mejorada de la raíz. También presenta un ejemplo numérico para encontrar la raíz negativa de una ecuación exponencial usando este método implementado en Excel.
Este documento introduce la transformada de Laplace como una herramienta útil para resolver ecuaciones diferenciales. Explica que la transformada de Laplace mapea funciones del tiempo a funciones complejas y reduce problemas de valor inicial en ecuaciones diferenciales a la solución de una ecuación algebraica. Además, proporciona ejemplos de cálculo de la transformada de Laplace para funciones comunes como 1, eat, cos(wt) y sen(wt).
Este documento presenta la transformada de Laplace como una herramienta útil para resolver ecuaciones diferenciales. Primero introduce la transformada de Laplace y sus condiciones de existencia. Luego, describe propiedades clave como la linealidad y cómo se aplican la transformada a funciones derivadas e integrales. Finalmente, introduce dos teoremas de traslación y cómo se puede usar la función escalón unitario con la transformada de Laplace. El documento proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para ilustrar el uso de la transformada de Laplace en la resolución de e
La transformada de Laplace es una transformada integral utilizada para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Transforma una función en el dominio del tiempo en otra función en el dominio complejo. Se define como la integral de la función original multiplicada por un exponencial negativa. Permite convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas más simples de resolver.
1. La transformada de Laplace es un operador matemático que mapea funciones del tiempo al dominio complejo. Se utiliza para resolver problemas de valor inicial y analizar sistemas dinámicos.
2. La transformada de Laplace de una función f(t) se define como una integral impropia desde 0 hasta infinito de f(t) multiplicada por e^-st.
3. La transformada de Laplace es un operador lineal y puede usarse para encontrar transformadas de funciones comunes como polinomios, exponenciales y funciones periódicas.
1) El documento trata sobre teorías de ecuaciones diferenciales y la transformada de Laplace. 2) La transformada de Laplace puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales al cambiar una ecuación diferencial a un problema algebraico. 3) Se explican las condiciones suficientes para que exista la transformada de Laplace, incluyendo que una función debe ser continua por tramos y de orden exponencial.
La serie de Fourier representa una función periódica como una suma infinita de funciones sinusoidales. Fue desarrollada por Joseph Fourier en 1807 para estudiar la ecuación del calor. Es una herramienta matemática ampliamente utilizada en ingeniería para descomponer señales periódicas en sus componentes de frecuencia a través del análisis de Fourier.
- Definición de Transformada de Laplace.
Propiedades de la transformada.
- Definición de la transformada inversa.
Propiedades de la transformada inversa.
- Ecuaciones diferenciales ordinarias por Transformación de Laplace.
- Condiciones de existencia.
Este documento presenta la transformada de Laplace y sus propiedades. Define la transformada de Laplace como la integral de una función f(t) multiplicada por e^-st de 0 a infinito. Presenta ejemplos del cálculo de la transformada de Laplace para diferentes funciones como t, senat y cosat. También cubre propiedades como la transformada de derivadas y su relación con la función Gamma. Por último, muestra cómo usar transformadas de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales.
1. La transformada de Laplace se define como una transformación integral que mapea funciones del tiempo a funciones complejas. Se describen varias propiedades como linealidad, cambio de escala y desplazamiento.
2. Se presentan dos ejemplos de aplicación. El primero resuelve una ecuación diferencial de vibraciones forzadas usando propiedades de la transformada. El segundo ejemplo resuelve una ecuación en derivadas parciales de primer orden.
3. En general, el documento introduce la transformada de Laplace defininiendola y describiendo sus propiedades fundament
1) La transformada de Laplace se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales y se define como la integral de una función multiplicada por e^-st desde 0 hasta infinito.
2) Se demuestra que la transformada de Laplace surge de expresar una serie de potencias en un dominio continuo en lugar de discreto.
3) Se presentan algunas propiedades importantes de la transformada de Laplace como la suma, constante por función, y linealidad.
Este documento explica los métodos para hallar la transformada inversa de Laplace, incluyendo el método de fracciones parciales. También presenta ejemplos de cómo aplicar este método para calcular transformadas inversas, como hallar la transformada inversa de una función con polos complejos. Además, introduce teoremas como los de traslación y convolución utilizados para calcular transformadas.
Este documento introduce la transformada de Laplace, una transformación integral utilizada para simplificar la resolución de ecuaciones diferenciales lineales, especialmente cuando incluyen funciones discontinuas. Define formalmente la transformada de Laplace y presenta ejemplos de transformadas de funciones elementales como 1, eat, ta, cos at y la función escalón. Además, establece condiciones para que exista la transformada y demuestra su propiedad de linealidad.
1. La transformada de Laplace es un operador lineal utilizado para resolver ecuaciones diferenciales transformándolas en ecuaciones algebraicas. 2. Se define como el área bajo la curva de f(t)e-st desde 0 a infinito. 3. Permite transformar derivadas en multiplicaciones y sumas en sumas, conservando la linealidad. Esto simplifica la resolución de problemas de valor inicial.
1. La transformada de Laplace es un operador lineal útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas transformándolas en ecuaciones algebraicas. 2. Se define como el área bajo la curva f(t)e-st de 0 a infinito. 3. Es lineal y puede usarse para resolver problemas de valor inicial transformando la ecuación diferencial en una ecuación algebraica cuya solución es la transformada de Laplace inversa.
Este documento presenta una introducción a la transformada de Laplace, incluyendo su definición, propiedades y aplicaciones para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Explica conceptos clave como la transformada, la transformada inversa, la linealidad, y cómo aplicar la transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. También cubre temas como la transformada de funciones derivadas, funciones escalón unitario, producto convolutivo y funciones periódicas.
Este documento define la transformada de Laplace y proporciona ejemplos de su cálculo para funciones como t, eat y ta. También incluye una tabla con las transformadas de Laplace comunes como 1, sin(at), cos(at) y ta. La transformada de Laplace mapea funciones del tiempo a funciones complejas y se usa comúnmente para resolver ecuaciones diferenciales.
Este documento explica la transformada de Laplace, que convierte una función del tiempo en una función de una variable compleja a través de una integral. La transformada de Laplace se usa comúnmente para resolver ecuaciones diferenciales lineales. También se aplica en ingeniería, por ejemplo, para analizar circuitos eléctricos y sistemas mecánicos.
1. Se define la transformada de Laplace como una integral de 0 a infinito de la función f multiplicada por e^-st. Esta transformada mapea funciones del tiempo al dominio complejo.
2. Para que exista la transformada de Laplace, la función f debe ser de orden exponencial y continua por tramos. Si se cumplen estas condiciones, la transformada existe para valores de s mayores que una constante C.
3. La transformada de Laplace es un operador lineal, por lo que la transformada de una suma es la suma de las transformadas.
Este documento introduce la transformada de Laplace como un método para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) lineales de segundo orden. Explica que la transformada de Laplace convierte una EDO en una ecuación algebraica más sencilla de resolver. Luego presenta algunos ejemplos numéricos para ilustrar cómo usar la transformada de Laplace para resolver EDOs homogéneas e inhomogéneas de segundo orden.
Este documento introduce la transformada de Laplace como un método para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) lineales de segundo orden. Explica que la transformada de Laplace convierte una EDO en una ecuación algebraica más sencilla de resolver. Luego presenta algunos ejemplos numéricos para ilustrar cómo usar la transformada de Laplace para resolver EDOs homogéneas e inhomogéneas de segundo orden.
LINEA DE TIEMPO Y PERIODO INTERTESTAMENTARIOAaronPleitez
linea de tiempo del antiguo testamento donde se detalla la cronología de todos los eventos, personas, sucesos, etc. Además se incluye una parte del periodo intertestamentario en orden cronológico donde se detalla todo lo que sucede en los 400 años del periodo del silencio. Basicamente es un resumen de todos los sucesos desde Abraham hasta Cristo
El Observatorio ciudadano Irapuato ¿Cómo vamos?, presenta el
Reporte hemerográfico al mes de mayo de 2024
Este reporte contiene información registrada por Irapuato ¿cómo vamos? analizando los medios de comunicación tanto impresos como digitales y algunas fuentes de información como la Secretaría de Seguridad ciudadana.
Yahoo! es una compañía tecnológica fundada en 1994 que comenzó como un directorio de sitios web y se convirtió en uno de los primeros motores de búsqueda y portales en Internet. Ofrecía servicios variados como correo electrónico, noticias, finanzas y entretenimiento, siendo una parte fundamental del crecimiento inicial de la web. A lo largo de su historia, Yahoo! ha evolucionado y enfrentado desafíos significativos, pero su legado incluye su contribución pionera a la accesibilidad y organización de la información en línea.
1. Tema 8
Transformada de Laplace
8.1 Introducci´on. Transformadas Integrales
Puede decirse que los m´etodos cl´asicos para la resoluci´on de problemas de valores en la
frontera en la F´ısica Matem´atica se derivan del trabajo precursor de Fourier. Una nueva
t´ecnica, la de las transformadas integrales, cuyo origen se encuentra en los trabajos de
Heaviside (electrot´ecnico ingl´es de fines del siglo pasado), ha sido desarrollada durante
los ´ultimos a˜nos, y tiene ciertas ventajas sobre el m´etodo cl´asico.
Heaviside (aproximadamente 1.890) se interes´o originalmente en la resoluci´on de E.D.O.
con coeficientes constantes que aparecen en la teor´ıa de circuitos el´ectricos. M´as tarde, ´el
mismo extendi´o su m´etodo a las E.D.P. que aparecen en electromagnetismo y conducci´on
de calor. Fue tal el poder de su m´etodo, que resolvi´o muchos problemas hasta entonces
irresolubles y obtuvo soluciones a problemas ya resueltos en una forma m´as adaptable al
C´alculo Num´erico. Posteriores investigaciones efectuadas por Bronwich, Carson y Van
der Pool, fundamentaron el c´alculo de Heaviside sobre una base m´as s´olida.
En un trabajo reciente, efectuado por Doetsch y otros, sobre la transformaci´on de
Laplace, se unifica la teor´ıa desarrollada por Heaviside, Bronwich y Carson. General-
mente, el empleo de una transformada integral reducir´a una E.D.P. en n variables
independientes a una con n − 1 variables, reduciendo por lo tanto, la dificultad del pro-
blema en estudio. En algunos casos, operaciones sucesivas de este tipo pueden reducir el
problema a la resoluci´on de una E.D.O. cuya teor´ıa ha sido ampliamente desarrollada. De
hecho, operaciones sucesivas pod´ıan reducir el problema a la resoluci´on de una ecuaci´on
algebraica, pero s´olo algunas veces merece la pena hacerlo.
A´un cuando la transformada de Laplace es de empleo m´as com´un y es particular
(conveniente para problemas regidos por E.D.O. y para problemas sobre la conducci´on de
calor), otras transformaciones integrales pueden ser de gran utilidad en la resoluci´on de
problemas de valores en la frontera en la F´ısica Matem´atica. En la resoluci´on de este tipo
de problemas se han empleado con ´exito diferentes transformaciones integrales y no existe
raz´on alguna para que el m´etodo no pueda extenderse mediante el uso de otros n´ucleos.
1
2. 2 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
En este tema no se har´a un estudio te´orico riguroso de la transformada de Laplace,
sino su utilizaci´on pr´actica en la resoluci´on de E.D.O. con condiciones iniciales dadas.
8.1.1 Transformadas Integrales
Definici´on 8.1 Gran n´umero de importantes funciones del An´alisis Matem´atico pueden
expresarse como integrales de la forma
g(y) =
∞
−∞
K(x, y) · f(x) · dx
Una funci´on g definida por una ecuaci´on de este tipo (en la que la variable y puede
ser real o compleja) se llama Transformada Integral de f .
La funci´on K se denomina N´ucleo de la Transformada.
Como se ha indicado anteriormente, las transformadas integrales se utilizan amplia-
mente en las matem´aticas puras y aplicadas y son especialmente ´utiles en la resoluci´on
de ciertos problemas de contorno y de ciertos tipos de ecuaciones integrables. Algunas de
las transformadas m´as convenientemente usadas son:
• Transformada exponencial de Fourier: ∞
−∞ e−ixy
f(x)dx
• Transformada coseno de Fourier: ∞
0 cos(xy)f(x)dx
• Transformada seno de Fourier: ∞
0 sen(xy)f(x)dx
• Transformada de Laplace: ∞
0 e−xy
f(x)dx
• Transformada de Mellin: ∞
0 xy−1
f(x)dx
Como e−ixy
= cos(xy) − i sen(xy) , las transformadas seno y coseno son meros casos
particulares de la transformada exponecial de Fourier en las que la funci´on f se anula
en el eje real negativo.
Asimismo, la transformada de Laplace est´a relacionada con la transformada de Fourier:
si consideramos un valor complejo de y, y = u + iv, u, v ∈ IR podemos escribir
∞
0
e−xy
f(x)dx =
∞
0
e−ixv
· e−xu
f(x)dx =
∞
0
e−ixv
φu(x)dx
donde φu(x) = e−xu
f(x) . Luego la transformada de Laplace puede considerarse como
un caso particular de la transformada exponencial de Fourier.
Nota Una ecuaci´on del tipo g(y) = ∞
−∞ K(x, y) · f(x) · dx puede escribirse en la
forma g = T(f) ´o g = Tf donde T representa el ”operador” que convierte f en g .
Ya que la integraci´on est´a involucrada en esa ecuaci´on, el operador T se designa con el
nombre de Operador Integral.
Es evidente que T es lineal, es decir T(af1 + bf2) = aT(f1) + bT(f2), a, b ∈ IR
De esta forma, el operador definido por la transformada de Fourier se representa por
F y el definido por la transformada de Laplace por L.
3. 8.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE 3
8.2 Transformada de Laplace
Definici´on 8.2 Sea f(t) una funci´on definida en [0, +∞) . Se define la transformada
de Laplace de f(t) a la funci´on F(s) o L{f(t)} definida por la integral
F(s) =
∞
0
e−st
f(t)dt
para aquellos valores de s ∈ IR ( o lC) para los que est´e definida la integral.
N´otese que la integral que aparece es una integral impropia, que est´a definida por
∞
0
e−st
f(t)dt = lim
A→∞
A
0
e−st
f(t)dt
siempre que el l´ımite exista.
Antes de discutir sobre la existencia o no de la transformada de Laplace, resulta
conveniente definir ciertos t´erminos.
Definici´on 8.3 Se dice que una funci´on f(t) es continua por segmentos o seccional-
mente continua en un intervalo cerrado [a,b] si f(t) es continua en todo punto de [a,b],
excepto en un n´umero finito de puntos en los que f(t) tiene una discontinuidad de salto.
Se dice que f(t) es seccionalmente continua en [0, ∞) si lo es en cada intervalo de la
forma [0,N] con N > 0.
Definici´on 8.4 Se dice que una funci´on f(t) es de orden exponencial α si existen cons-
tantes positivas T y M tales que | f(t) |≤ Meαt
∀t ≥ T.
8.2.1 Condiciones suficientes para la existencia de la transfor-
mada de Laplace
La forma m´as conveniente para probar la convergencia o divergencia de una integral
impropia es por medio del siguiente teorema de comparaci´on, que es an´alogo a un teorema
similar para series infinitas.
Teorema 8.1 (Criterio de comparaci´on para integrales impropias)
Si f es seccionalmente continua para t ≥ a, si | f(t) |≤ g(t) cuando t > M, para
alguna constante M > 0 y si ∞
M g(t)dt converge, entonces ∞
a f(t)dt tambi´en converge.
Por otra parte, si f(t) ≥ g(t) ≥ 0 para t ≥ M y si ∞
M g(t)dt diverge, entonces ∞
a f(t)dt
tambi´en diverge.
De acuerdo con este teorema, la funci´on f deber´a satisfacer ciertas condiciones para
que su transformada de Laplace F exista.
4. 4 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Teorema 8.2 Si f(t) es continua por segmentos en [0, ∞) y de orden exponencial α,
entonces L{f}(s) existe ∀s > α.
Teorema 8.3 Supongamos que f(t) no est´a acotada cuando t → 0. Adem´as: f(t) es
continua por segmentos en cualquier intervalo N1 ≤ t ≤ N con N1 > 0, limt→0 tn
f(t) = 0
para cualquier n con 0 < n < 1 y f(t) es una funci´on de orden exponencial α.
Entonces, existe L{f(t)} ∀s > α.
Nota:
Estas condiciones son suficientes, no necesarias.
8.3 Propiedades de la transformada de Laplace
Siempre que no se diga lo contrario, supondremos en esta secci´on que f es seccionalmente
continua y de orden exponencial.
I. Linealidad
Teorema 8.4 Si c1, c2 ∈ IR y f1(t), f2(t) son funciones cuyas transformadas respectivas
son F1(s), F2(s), entonces
L(c1f1(t) + c2f2(t)) = c1L(f1) + c2L(f2) = c1F1(s) + c2F2(s)
II. Traslaci´on
Teorema 8.5 Si L{f(t)} = F(s), entonces L{eat
f(t)} = F(s − a).
Teorema 8.6 Si L{f(t)} = F(s) y g(t) =
f(t − a) t > a
0 t < a
entonces L{g(t)} =
e−as
F(s).
III. Cambio de Escala
Teorema 8.7 Si L{f(t)} = F(s) =⇒ L{f(at)} =
1
a
F(
s
a
)
IV. Transformada de la derivada
Teorema 8.8 Supongamos que f y f’ son seccionalmente continuas en [0, ∞) y de orden
exponencial. Entonces existe L{f (t)} y
L{f (t)} = sL{f(t)} − f(0)
5. 8.4. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 5
Teorema 8.9 Si en el teorema anterior f(t) no es continua en x = 0, pero en lim
t→0+
f(t) =
f(0+
) entonces
L{f (t)} = sF(s) − f(0+
)
Teorema 8.10 Si en las condiciones anteriores (teorema 11.8), f(t) no es continua en
t=a, entonces
L{f (t)} = sF(s) − f(0) − e−as
[f(a+
) − f(a−
)]
Teorema 8.11 Si f, f’ y f” son seccionalmente continuas en [0, ∞) y de orden exponen-
cial, entonces existe L{f (t)} y
L{f (t)} = s2
L{f(t)} − sf(0) − f (0)
Corolario 8.12 Si f, f , . . . , fn−1
son continuas y f(n)
es seccionalmente continua en
[0, ∞) y de orden exponencial, entonces existe L{f(n)
(t)} y se verifica
L{f(n)
(t)} = sn
L{f(t)} − sn−1
f(0) − sn−2
f (0) − . . . − sf(n−2)
(0) − f(n−1)
(0)
V. Transformada de Laplace de una integral
Teorema 8.13 Si L{f(t)} = F(s) =⇒ L{ t
0 f(u)du} = F(s)
s
VI. Derivada de la transformada
Teorema 8.14 Supongamos que f(t) es continua por segmentos en [0, ∞) y de orden
exponencial α. Entonces ∀s > α
F (s) = L{−tf(t)}(s)
Corolario 8.15 Supongamos que f(t) es continua por segmentos y de orden exponencial
α. Entonces ∀s > α
(−1)n dn
F
dsn
= L{tn
f(t)}(s)
8.4 Transformada inversa de Laplace
Ahora nos planteamos el problema de encontrar una funci´on f(t) dado que conocemos su
transformada de Laplace F(s).
6. 6 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definici´on 8.5 La transformada inversa de Laplace de F(s) es aquella funci´on ´unica f(t)
que es continua en [0, ∞) y satisface
L{f(t)}(s) = F(s) (∗)
La funci´on se denota L−1
{F}(t).
Si todas las funciones que satisfagan (*) son discontinuas en [0, ∞), se elige a L−1
{F}
como una funci´on continua por segmentos que satisfaga(*).
Aclaremos la definici´on.
Dos funciones distintas f(t) y g(t) pueden tener la misma transformada de Laplace
Ejemplo:
f(t) =
0 si t = kπ
1 si t = kπ
L{f} = 0
g(t) =
0 si t = kπ
2
1 si t = kπ
2
L{g} = 0 g = f
Luego L−1
{0} , para estar bien definida, tendr´ıa que tener un valor, es decir, una ´unica
funci´on soluci´on. Dicha soluci´on ser´ıa h(t) = 0 ∀t, la ´unica funci´on continua que verifica
que L{h} = 0.
8.5 Propiedades de la transformada inversa de Laplace
I. Linealidad
Teorema 8.16 Sean c1, c2 constantes arbitrarias y f1(t), f2(t) tales que L{f1(t)} = F1(s), L{f2(t)} =
F2(s) entonces
L−1
{c1F1(s) + c2F2(s)} = c1f1(t) + c2f2(t)
II. Teoremas de Traslaci´on
(a) Si L−1
{F(s)} = f(t) =⇒ L−1
{F(s − a)} = eat
f(t)
(b) Si L−1
{F(s)} = f(t) =⇒ L−1
{e−as
F(s)} =
f(t − a) t > a
0 t ≤ a
III. Cambio de escala
Teorema 8.17 Si L−1
{F(s)} = f(t) =⇒ L{F(ks)} = 1
k
f( t
k
)
IV. Transformada inversa de Laplace de una derivada
Teorema 8.18 Si L−1
{F(s)} = f(t) =⇒ L−1
{F(n)
(s)} = L−1
{
dn
dsn
F(s)} = (−1)n
tn
f(t)
V. Transformada inversa de Laplace de una integral
Teorema 8.19 Si L−1
{F(s)} = f(t) =⇒ L−1
{ s
0 F(u)du} = −
f(t)
t
7. 8.5. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 7
8.5.1 Transformadas inversas de Laplace de ciertas funciones
racionales algebraicas
En la pr´actica, al aplicar transformada de Laplace, dado que sea posible, nos conduce a
tener que aplicar transformadas inversas a funciones racionales algebraicas de la forma
F(s) =
p(s)
q(s)
con grado(q(s)) >grado(p(s)).
Para calcular L−1
{F(s)}, descomponemos
p(s)
q(s)
en fracciones simples. Los tipos de
fracciones que pueden presentarse en la descomposici´on son:
• (a) Raices reales simples:
A
s − a
• (b) Raices reales m´ultiples:
A
(s − a)m , m ∈ N, m > 1
• (c) Raices complejas simples:
Ms + N
(s − a)2
+ b2
• (d) Raices complejas m´ultiples:
Ms + N
((s − a)2
+ b2)
m m ∈ N, m > 1
Calculemos la transformada de cada una de ellas.
(a)
A
s − a
L−1
{
A
s − a
} = AL−1
{
1
s − a
} = Aeat
(b)
A
(s − a)n
Sabemos que L{tn
} =
n!
sn+1
, n ∈ N. Por la propiedad de traslaci´on
L{eat
f(t)} = F(s − a) =⇒ L{eat
tn
} =
n!
(s − a)n+1 =⇒ L{eat
tm−1
} =
(m − 1)!
(s − a)m =⇒
L−1
{
A
(s − a)m } =
A
(m − 1)!
eat
tm−1
(c)
Ms + N
(s − a)2
+ b2
Ms + N
(s − a)2
+ b2
=
Ms
(s − a)2
+ b2
+
N
(s − a)2
+ b2
=
M(s − a)
(s − a)2
+ b2
+
aM + N
(s − a)2
+ b2
8. 8 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Recordemos que L{cos bt} =
s
s2 + b2
y L{eat
cos bt} =
s − a
(s − a)2
+ b2
An´alogamente L{eat
sen bt} =
b
(s − a)2
+ b2
Luego:
L−1
{
Ms + N
(s − a)2
+ b2
} = ML−1
{
s − a
(s − a)2
+ b2
} +
aM + N
b
L−1
{
b
(s − a)2
+ b2
}
= Meat
cos bt +
aM + N
b
eat
sen bt
(d)
Ms + N
((s − a)2 + b2)m
S´olo vamos a considerar los tipos que aparecen con mucha frecuencia, que son:
d.1)
s
(s2 + a2)2
d.2)
s2
(s2 + a2)2
d.3)
1
(s2 + a2)2
Estos tres casos lo dejaremos para m´as adelante cuando veamos en qu´e consiste la
Convoluci´on.
8.6 Resoluci´on de problemas de valor inicial
Vamos a aplicar la transformada de Laplace para resolver problemas de valor incial sin
tener que calcular previamente la integral general de sistema o ecuaci´on diferencial.
8.6.1 M´etodo de la transformada de Laplace
Para resolver un problema de valor inicial:
• Tomar transformadas de Laplace en ambos miembros de la ecuaci´on.
• Aplicar las propiedades de la transformada de Laplace y las condiciones iniciales
para obtener una ecuaci´on de la transformada de Laplace de la soluci´on, y despejar
la transformada en esta ecuaci´on.
• Calcular la transformada inversa de Laplace de la soluci´on.
Ejemplo:
Resolver el problema de valor inicial
ay + by + cy = f y(0) = y0 y (0) = y0
9. 8.7. TRANSFORMADA DE LAPLACE Y FUNCIONES ESPECIALES 9
Sean Y (s) y F(s) las transformadas de laplace de y(t) y f(t) respectivamente.
L{ay + by + cy} = L{f} = F(s)
aL{y } + bL{y } + cL{y} = F(s)
as2
Y (s) − asy0 − ay0 + bsY (s) − by0 + cY (s) = F(s)
Despejando Y (s):
Y (s) =
(as + b)y0
as2 + bs + c
+
ay0
as2 + bs + c
+
F(s)
as2 + bs + c
y aplicar ahora la transformada inversa.
El m´etodo se puede aplicar tambi´en a sistemas.
Ejemplo:
Resolver el problema de valor inicial
˙x = Ax + f(t) x(0) = ¯x0
Sea X(s) =
x1(s)
...
xn(s)
= L{x(t)} =
L{x1(t)}
...
L{xn(t)}
F(s) =
F1(s)
...
Fn(s)
= L{f(t)} =
L{f1(t)}
...
L{fn(t)}
Tomando transformadas
L{ ˙x} = L{Ax + f} =⇒ sX(s) − X(0) = AX(s) − F(s) =⇒ (sI − A)X(s) = X(0) −
F(s) =⇒ X(s) = (sI − A)−1
(X(0) − F(s))
8.7 Transformada de Laplace y funciones especiales
En la pr´actica, ocurre frecuentemente, aparecen ecuaciones diferenciales con t´ermino no
homog´eneo con discontinuidades de salto. Estas discontinuidades aparecen de forma nat-
ural en circuitos el´ectricos (apagar/encender el interruptor, etc). Para tratar este tipo de
comportamientos, Heaviside introdujo la siguiente funci´on escal´on:
Definici´on 8.6 La funci´on escal´on unitario u(t)(´o funci´on de Heaviside) se define me-
diante
u(t) =
0 si t < 0
1 si t > 0
Desplazando el argumento, se puede trasladar el salto a una posici´on diferente
u(t − a) =
0 si t < a
1 si t > a
10. 10 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Muchas funciones discontinuas se pueden expresar en t´erminos de funciones escal´on
unitario
Teorema 8.20
L{u(t − a)} =
e−as
s
a > 0
Propiedad de desplazamiento
Teorema 8.21 Supongamos que para s > α ≥ 0, existe la transformada de Laplace de
f(t) , F(s). Si ”a” es una constante positiva, entonces
L{f(t − a)u(t − a)}(s) = e−as
F(s)
y si f(t) es continua en [0, ∞), entonces L−1
{e−as
F(s)}(t) = f(t − a)u(t − a)
En la pr´actica, aparece m´as el tener que calcular transformadas de funciones del tipo
g(t)u(t − a). Dichas transformadas vienen dadas por la expresi´on
L{g(t)u(t − a)} = e−as
L{g(t + a)}(s)
Funci´on Gamma
La funci´on gamma Γ(t) se define mediante
Γ(t) =
∞
0
e−u
ut−1
du t > 0
que converge ∀t > 0.
La funci´on gamma goza de la propiedad Γ(t + 1) = tΓ(t) (basta integrar por partes
en la expresi´on anterior)
Es pues, una generalizaci´on del factorial de un n´umero. Si n ∈ IN, Γ(n) = (n − 1)!
La funci´on gamma aparece al hallar la transformada de Laplace de la potencial tn
,
pues
L{tn
} = ∞
0 e−st
tn
dt = (st = u) = 1
sn+1
∞
0 e−u
un
du
L{tn−1
} = 1
sn
∞
0 e−u
un−1
du
La integral ∞
0 e−u
un−1
du es una integral euleriana de segunda especie.
Integrales del tipo ∞
0
f(x)
x
dx
Mediante transformadas de Laplace se pueden resolver integrales del tipo ∞
0
f(t)
t
dt
Supuesto que exista la transformada de Laplace de f(x), L{f(t)} = ∞
0 e−st
f(t)dt =
F(s)
11. 8.8. LA FUNCI ´ON DELTA DE DIRAC 11
Integrando en el intervalo [0, ∞) se tiene
∞
0 ( ∞
0 e−st
f(t)dt)ds = ∞
0 F(s)ds =⇒ ∞
0 ( ∞
0 e−st
ds)f(t)dt) = ∞
0 F(s)ds
Como ∞
0 e−st
ds = 1
t
se tiene que ∞
0
f(t)
t
dt = ∞
0 F(s)ds que tiene sentido siempre que
existan ambas integrales impropias.
8.8 La funci´on Delta de Dirac
En muchas aplicaciones f´ısicas y biol´ogicas aparece a menudo el problema de valor inicial
ay + by + cy = f(t) y(0) = y0 y (0) = y0
donde f(t) no se conoce expl´ıcitamente( aparece cuando se trabaja con fen´omenos de
naturaleza impulsiva). La ´unica informaci´on que poseemos de f es que es nula excepto en
un intervalo muy peque˜no de tiempo [t0, t1] y que su integral sobre dicho intervalo es no
nula.
Si el intervalo I0 es peque˜no, al ser la integral no nula, ha de ser f(t) muy grande.
Estas funciones se conocen con el nombre de funciones impulso.
Definici´on 8.7 La funci´on Delta de Dirac δ(t) se caracteriza por las dos propiedades
siguientes:
1) δ(t) =
0 si t = 0
1 si t = 0
2) ∞
−∞ f(t)δ(t)dt = f(0) para cualquier f(t)continua en alg´un abierto que contenga al
cero.
An´alogamente a la funci´on de Heaviside se puede hacer una traslaci´on
1) δ(t − a) =
0 si t = a
1 si t = a
2) ∞
−∞ f(t)δ(t − a)dt = f(a)
Nuestro objetivo es resolver ay + by + cy = f(t) por el m´etodo de la transformada
de Laplace.
Para ello hay que conocer L{δ(t − t0)}:
L{δ(t − t0)} = ∞
0 e−st
δ(t − t0)dt = e−st0
t0 ≥ 0
12. 12 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
8.9 La integral de convoluci´on
Ya ve´ıamos anteriormente, que al resolver problemas de valor inicial, pod´ıamos encon-
trarnos el tener que hallar transformadas inversas de funciones de la forma
s
(s2 + a2)2 ;
1
(s2 + a2)2 ;
1
s2 + a2
G(s) , etc.
Ejemplo:
Y (s) =
1
s2 + 1
G(s) con L−1
{
1
s2 + 1
} = sen t , L−1
{G(s)} = g(t)
Nos preguntamos, ¿qu´e relaci´on existe entre L{Y (s)}, sen t y g(t)? Esta relaci´on nos
la a resolver la siguiente
Definici´on 8.8 Sean f(t) y g(t) continuas por segmentos en [0, ∞). El producto de con-
voluci´on de f(t) y g(t) denotado por f ∗ g se define mediante
(f ∗ g)(t) =
t
0
f(t − τ)g(τ)dτ
8.9.1 Propiedades de la convoluci´on
Teorema 8.22 Sean f(t), g(t) y h(t) seccionalmente continuas en [0, ∞). Entonces
f ∗ g=g ∗ f
f ∗ (g + h)=f ∗ g + f ∗ h
(f ∗ g) ∗ h=f ∗ (g ∗ h)
f ∗ 0=0
Nota: El operador convoluci´on difiere del operador producto en que f ∗ 1 = f y
f ∗f = f2
. De hecho, la convoluci´on de una funci´on con ella misma puede no ser positiva.
Teorema 8.23 (Teorema de convoluci´on)
Supongamos que f(t) y g(t) son continuas por segmentos en [0, ∞) y de orden expo-
nencial α. Sean F(s) y G(s) las transformadas de Laplace de f(t) y g(t) respectivamente.
Entonces
L{f ∗ g} = F(s)G(s)
o, de forma equivalente,
L−1
{F(s)G(s)}(t) = (f ∗ g)(t)