Este documento contiene varios ejercicios relacionados con cálculo. El primer ejercicio pide resolver tres límites. El segundo ejercicio calcula dos límites de funciones. El tercer ejercicio analiza la convergencia de cuatro series. El cuarto ejercicio calcula cinco límites de funciones. El quinto ejercicio grafica tres cónicas y una cuadrática, identificando sus elementos notables. El sexto ejercicio grafica una función exponencial y analiza su asintota oblicua. El séptimo ejercicio ob

1. Escribir los siguientes textos en PcTex
Ejercicio 1.Resolver los siguientes l´ımites
1. l´ım
n→∞
(1 + 1
n )n
2. l´ım
n→∞
(2 + 2
n )n2
3. l´ım
n→∞
2n+3n2
+4n3
n4−2n
Ejercicio 2. Calcular los siguientes l´ımites:
i) l´ım
n→1
f(x), si f(x) =



x2
+ 5 si x > 1
1 si x = 1√
x2 − 4x + 4 si x = 1
ii) l´ım
n→1
g(x), si g(x) =



x2
+ 5 si x > 1
1 si x = 1√
x2 − 4x + 4 si x = 1
1. Continuidad de funciones
Definicion 1 Sea la funci´on f : A → R, A ⊆ R y sea x0 ∈ A, se dice que f es continua en x0, si para
cada E(f(x0), ε) dado, existe un entono E(x0, δ) tal que si x ∈ E(x0, δ) entonces f(x) ∈ E(f(x0), ε)
Teorema 1 sea f : A → R, A ⊆ R una funci´on entonces las dos condiciones siguientes son
equivalentes:
1) f es continua en a
2) f verifica:
(a) f(a) ∈ A,es decir, existe f(a)
(b) Existe l´ım
x→a
f(x) = L
(c) f(a) = L
Ejercicio 2: Escribir los enunciados de los siguientes ejercicios y resuelvalos:
1. Sea P(x) = x3
− 3x5
+ 2x y Q(x) = x4
− 5x3
− 2x + 3 efectuar las siguientes operaciones entre
polinomios.
(a) P(x) + Q(x) = x3
− 3x5
+ 2x + x4
− 5x3
− 2x + 3 = −4x3
− 3x5
+ x4
+ 3
(b) P(x) − Q(x) = x3
− 3x5
+ 2x − x4
− 5x3
− 2x + 3 = −4x3
− 3x5
− x4
+ 3
(c) P(x)Q(x)
= x3
− 3x5
+ 2xx4
−5x3
−2x+3
: x3
− 3x5
+ 2xx4
−5x3
−2x+3
1

2. 2. Calcular los siguientes l´ımites:
(a) l´ım
x→∞
n
√
n3 + 3n : (n3
+ 3n)
1
n
(b) l´ım
n→∞
n√
n3+3n
2n−3n observe la diferencia l´ım
n→∞
n√
n3+3n
2n−3n3 = 0
(c) l´ım
n→∞
(n3
+ 3n)n
= ∞
] 3. Analizar la convergencia de las siguientes series:
(a)
∞
n=1
n 3n−54
2n2 − 5n3 =
∞
n=1
1
2
3n−625
n2 − 5n3
1
n
(b)
∞
n=1
n
(3n−54
2n2 )2 − 5n3
n
=
∞
n=1
(1
4
(3n−625)2
n4 − 5n3
)
1
n
n
(c)
∞
n=1
en
+e−n
2 = ∞
(d)
∞
n=1
1√
sin2 x−cos2 x
:
∞
n=1
1√
( sin2 x−cos2 x)
Ejercicio 3: Calcular los siguientes limites de funciones:
1. (a) l´ımx→0
sen ax
x = a
(b) l´ımx→0
sen 7x
3x : 7
3
(c) l´ımx→0
2x
−3x
x = ln 2 − ln 3
(d) l´ımx→0
x−1
cotg x = 1
(e) l´ımx→0+ (1
x )tan x
= 1
Ejercicio 4: Graficar las siguientes c´onicas, teniendo en cuenta el tipo de coordenadas
mas adecuado.
(a) x2
+ y2
= 9
(b) x2
9 + y2
4 = 1
(c) x2
5 − y2
5 = 1
(d) −2x2
+ 3x − 1 = 0
Observando las gr´aficas obtenidas indicar los elementos notables de cada una de ellas.
Ejercicio 5: Graficar las siguientes cuadricas, teniendo en cuenta el tipo de coor-
denadas mas adecuado.
1. (a) x2
+ y2
+ z2
= 9
(b) x2
5 − y2
3 = 2z
2

3. (c) −2x2
+ 3x − z(cilindricas)
Ejercicio 6: Graficar la funci´on f(x) = ex
x2+1 indicar la posible ecuaci´on de una as´ıntota
oblicua observando el gr´afico.
Ejercicio 7: Obtenerlas ra´ıces de las siguientes ecuaciones:
1. (a) 3x2
− 2x + 1 = 0, verificar el valor obtenido observando la gr´afica correspondiente.
(b) x3
− 3x2
+ 2x − 6 = 0
(c) x4
− x3
− 7x2
+ x + 6 = 0
Ejercicio 8: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones anal´ıtica y gr´aficamente
1. (a)
x − 3y = 2
2x − 6y = 4
(b)
−2x + 3y = −1
x − 2y = 0
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