Este documento presenta varios ejercicios y teoremas relacionados con los límites y la continuidad de funciones de una variable. En la primera sección, se piden determinar límites y demostrar que cumplen con valores especificados. La segunda sección cubre teoremas de límites que se usan para evaluar varios límites. La tercera sección analiza límites laterales. La cuarta sección calcula límites al infinito y límites infinitos. Las secciones restantes cubren continuidad, propiedades de funciones continuas, tip

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE CIENCIAS Y SISTEMAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
TAREA DE MATEMATICA I
UNIDAD: LIMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
I. DEFINICION DE LIMITE.
1. En los siguientes ejercicios se da f(x), L, a y Lxf
ax
)(lim . Determinar un número
para la dada tal que Lxf )( siempre que ax0 .
a) 001.0,10)42(lim
3
x
x
b) 02.0,7)43(lim
1
x
x
c) 005.0,9lim
3
2
x
x
2. Demostrar que el límite es el valor especificado:
a) .2)35(lim
1
x
x
b)
3
lim
6 t
t
t
c) 4lim 2
2
r
r
II. TEOREMAS SOBRE LIMITES.
Hacer uso de los teoremas para evaluar los siguientes límites:
1.
4
1
lim
3 x
x
x
2.
x
xx
x
2
lim
2
1
3.
1
2
lim 2
2
1 x
xx
x
4.
h
xhx
h
33
0
)(
lim
5.
86
2
lim 2
2
2 xx
xx
x
6.
34
23
lim 4
3
1 xx
xx
x
7.
2
2
lim
2 x
x
x
8.
1
1
lim
3
1 x
x
x
9.
49
32
lim 27 x
x
x
10.
x
xx
x
11
lim
0
11.
h
xhx
h 0
lim
12.
a
xax
a
33
0
lim 13.
11
11
lim
30 x
x
x
14.
3
21
lim
3 x
x
x
15.
x
x
x
2
1
2
1
lim
0
16.
2
32
lim
5
2 x
x
x
17.
152
35
lim 2
23
3 xx
xxx
x
18.
xx
xxx
x 2
23
0
86
lim

2. RESPUESTAS.
1) -2 2) -3 3) 3/2 4) 3x2
5) -1 6) ½ 7)
4
2
8)
3
1
9)
56
1
10) 1 11)
x2
1
12)
3 2
3
1
x
13)
2
3
14)
4
1
15)
4
1
16) 80 17) – 2 18) 8
III. LIMITES LATERALES
Evaluar los siguientes límites:
1.
25
5
lim 25 x
x
x
2.
4
2
lim 22 x
x
x
3.
4
2
lim
4 x
x
x
4.
3
3
lim
3 x
x
x
RESPUESTAS: 1)
10
1
2)
4
1
3)
4
1
4) 1
En los ejercicios siguientes, trazar la gráfica y encontrar si el límite indicado existe, si no
existe, explicar la razón por lo cual no existe.
1.
1;3
)(lim1;1
1;2
)(
1
x
xfx
x
xf
x
2.
2
)(lim2;3
2;3
)(
s
sgss
ss
sg
3.
1;27
)/lim1;2
1;32
)(
1
rr
rhr
rr
rh
r
4.
2;11
)(lim2;0
2;3
)(
2
2
2
tt
tgt
tt
tg
t
5. )(lim;3)(
3
xfxxf
x
6. )(lim;)(
0
xf
x
x
xf
x
RESPUESTAS.
1) No existe 2) No existe 3) 5 4) 7 5) 0 6) No existe
Pregunta al estudiante: ¿Es igual la función del ejercicio 6 a la función signo? Explique su
respuesta.

3. IV. LIMITES AL INFINITO
Calcular los siguientes límites:
1)
92
43
lim
x
x
x
2)
xx
xxx
x 42
4875
lim 3
23
3)
4
4
lim
3 2
y
y
y
4)
4
4
lim
2
x
x
x
5)
9
9
lim 2
2
x
x
x
6)
5
)23()32(
lim 5
23
x
xx
x
7) 3
32
lim
xx
x
x
8)
1
lim
x
xxx
x
9)
rrr
r
r
lim 10) )1(lim 2
xx
x
11) )11(lim 22
xx
x
12) )1(lim 3 33 3
xxx
x
13) )1(lim 2
xxx
x
14) )3(lim 2
xx
x
RESPUESTAS.
1)
2
3
2)
2
5
3) 0 4) -1 5) 1 6) 72 7) 2 8) 1 9) 1 10) 0 11) 0 12) 0 13) 1 14) 0
V. LIMITES INFINITOS.
Calcular los siguientes límites:
1)
3
lim
3 x
x
x
2)
81
4
lim 2
2
9 s
s
s
3)
x
x
x
2
0
3
lim 4)
14
7125
lim 2
3
x
xx
x
5) xxx
x
1lim 2
6) 20
11
lim
xxx
7)
16
lim 2
2
4 x
x
x
8)
x
x
x
1
lim 2
0
9)
1
lim 23
2
1 xxx
xx
x
10) Sean xxxg
x
xf 5)(,
)4(
1
)( 2
2
, calcular el límite que se indica:
a) )(lim
4
xf
x
b) )(lim
4
xg
x
c) )()(lim
4
xgxf
x
d) )(.)(lim
4
xgxf
x
e)
)(
)(
lim
4 xg
xf
x
f)
)(
)(
lim
4 xf
xg
x
11) Hallar funciones f y g tales que )(lim xf
cx
, )(lim xg
cx
pero
0)()(lim xgxf
cx
.

4. RESPUESTAS.
1) 2) 3) 4) - 5) + 6) - 7) + 8) 9) 10 a) +
10b) -4 10c) + 10d) - 10e) - 10f) 0
VI. INFINITESIMOS E INFINITOS.
1) Determinar el orden infinitesimal respecto a “x” cuando x 0 de las funciones
siguientes:
a)
x
x
1
2
b) xx c) 33 2
xx d) 1 - cos x e) tan x - sen x
2) Pruebe que cuando x 1 los infinitesimales 1 – x y 31 x son del mismo orden.
¿Son equivalentes?
3) Demuestre que cuando x 0 los infinitesimales
2
x
y 11 x son equivalentes.
Empleando este resultado, muestre que cuando x es pequeño, se verifica que:
2
11
x
x .
4) Usando la fórmula anterior, calcule aproximadamente 1097.0,06.1 y
5) Demostrar que cuando x 0 se verifican las igualdades aproximadas siguientes:
a) x
x
1
1
1
b)
a
x
axa
2
2
c) nxx n
1)1( , donde n es un
número natural.
6) Partiendo de las fórmulas anteriores, calcular aproximadamente:
4
93.0,15,
05.1
1
,
02.1
1
VII. CONTINUIDAD EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO.
1. Dadas las funciones siguientes, trazar la gráfica, determinar los valores de la
variable independiente en los cuales la función es discontinua y demostrar por qué
no se satisface la continuidad.
a)
3
6
)(
2
x
xx
xf b)
16
4
)( 4
2
x
x
xg c)
0;
0;0
0;1
)(
xx
x
x
xf

5. d)
3;0
3;
3
3
)(
x
x
x
x
xh e)
2;12
22;2
2;1
)(
xx
xx
xx
xg
2. Analizar la continuidad de cada función en el intervalo que se indica:
a) 5,5,25)( 2
xxg b) 3,3,93)( 2
ttf
c)
4,1;0;
2
3
0;3
)(
x
x
xx
xf d) 2,;2)( xxg
e) 30
1;3
1;
1
1
)(
3
x
x
x
x
xH f) .3;16)( 2
xxG
3. En los ejercicios siguientes, encontrar el valor de la constante “a” o las constantes
“a” y “b” para que la función sea continua en toda la recta real.
a)
2;
2;
)( 2
3
xax
xx
xf b)
3;2
31;
1;2
)(
x
xbax
x
xg c)
ax
ax
ax
ax
xh
;8
;
)(
22
4. Analizar la continuidad de la función compuesta ))(()( xgfxh
a) f(x) = x2
, g(x) = x – 1 b) 1)(,
1
)( xxg
x
xf
c) 5)(,
6
1
)( 2
xxg
x
xf
VIII. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS.
1. Explicar por qué las funciones siguientes tienen un cero en el intervalo dado:
a) 2,1;3
16
)( 3
4
x
x
xf b) 1,0;23)( 3
xxxf
2. Verificar que el teorema del valor intermedio es aplicable en cada una de las siguientes
funciones en el intervalo indicado y encontrar el valor de “c” garantizado por el teorema.
a) 11)(5,0;1)( 2
cfxxxf b) 0)(;3,0;86)( 2
cgxxxg

6. c) 4)(;3,0;2)( 23
chxxxxh d) 6)(;4,
2
5
;
1
)(
2
cF
x
xx
xF
3. Utilizar el teorema del valor intermedio para demostrar que entre todas las esferas
cuyos radios pertenecen al intervalo 5,1 hay una con volumen de 275
centímetros cúbicos.
IX. TIPOS DE DISCONTINUIDAD.
En los ejercicios que siguen demostrar que la función es discontinua en el número “a”,
luego clasificar el tipo de discontinuidad que posee. Si la discontinuad es removible,
redefinir f(a) de manera que la función se vuelva continua en “a”.
1.
3
2
;
23
49
)(
2
a
x
x
xf 2.
3,3;2
3;3
)(
ax
xx
xg
3. 8;
8
22
)(
3
a
x
x
xf 4. 2
2;
2;4
)(
2
a
tt
tt
tf
5. 0;
55
)( a
y
y
yf 6. 0;
11
)(
3
a
x
x
xf
7. 1;
1
2
)( a
x
x
xf 8. 3;
311
7
)( 23
a
xxx
x
xg
¿Qué valor debe asignarse a la función
4
35
)(
x
x
xf para que la discontinuidad
que posee en x = 4 sea evitable? Respuesta.
6
1
.
X. ASINTOTAS DE UNA FUNCION.
Encontrar las asíntotas horizontales, verticales u oblicuas si las hay y trazar la gráfica de
cada función.
a)
3
2
)(
x
xf b) 2
)2(
3
)(
x
xg c)
10116
2
)( 2
xx
x
xh
d)
65
1
)( 2
xx
xf e) 2
2
4
)(
x
x
xh f)
4
2
)( 2
x
xf

7. g)
9
)( 2
x
x
xg h)
2
4
)( 2
2
x
x
xh i) 3
32
3 6
x
xx
y
j)
x
x
xf
1
)(
2
k) 2y (x + 1)2
= x3
l) y3
= a3
- x3
XI. LIMITES DE FUNCIONES TRASCENDENTALES.
Calcular los siguientes límites:
1)
xsen
xsen
x 2
5
lim
0
2)
2
tan
lim
2 x
x
x
3) 20
cos1
lim
x
x
x
4)
h
xsenhxsen
h
)(
lim
0
5)
x
x
x 3
cos21
lim
3
6) 30
tan
lim
x
xsenx
x
7)
xsenx
xsenx
x 3
2
lim
0
8)
x
x
x 1
2
cos
lim
1
9) 20
cos1
lim
x
x
x
10)
x
xsenxsen
x
11
lim
0
11) x
x x
)
2
1(lim
12) 2
3
1
lim x
x x
x
13) x
x
xsen
1
0
)1(lim 14)
2
12
2
lim 2
2
x
x x
x
15)
x
x
xx 1
1
ln
1
lim
0
16) 20
)cos(ln
lim
x
x
x
17)
x
ee bxax
x 0
lim
18)
xsen
e x
x
1
lim
0
19)
xx
e
10
1
1
lim 20)
x
hxsen
x 0
lim 21) hx
x
tanlim
22) hx
x
tanlim 23)
ax
asenxsen
ax
lim 24)
ax
ax
ax
coscos
lim
RESPUESTAS
1)
2
1
2) 3)
2
1
4) cos x 5)
3
1
6)
2
1
7)
4
1
8) 9)
4
1
10) 1 11) e2
12) e-4
13) e 14) 0 15) 1 16)
2
1
17) a – b 18) 1 19) 0 20) 1 21) 1 22)- 1
23) cos a 24) - sen a

8. Utilizando infinitesimales o infinitos, evaluar los siguientes límites:
1) 3
2
0 )3(
tan3
lim
xsen
xx
x
2)
)3(tan
)2(tan
lim
0 xsen
xsen
x
3)
xx
xxxsen
x cos12
tan
lim 2
2
0
4) 230 )(
)5()3(
lim
xx
xsenxsen
x
5)
x
x
x 1
ln
lim
0
6)
x
xx
x cos1
2coscos
lim
0
RESPUESTAS. 1)
9
1
2)
3
2
3)
2
1
4) 15 5) -1 6) 3
Determine los puntos de discontinuidad de las funciones siguientes:
a)
x
xf
1
tan)( b) x
xg
1
21)(
Determine si las funciones siguientes poseen al menos una raíz en el intervalo indicado:
a) xsenxxf )( en
2
,
2
b) xexg x
)( en 1,0
c) xxxh cos)( en
2
,0 d) 3,1ln)( 2
enxxxf
ELABORADO POR: MSC. ROGER GARCIA GUEVARA
24 de mayo de 2013