Este documento presenta 8 ejercicios de cálculo y álgebra. Los ejercicios incluyen calcular límites, operaciones con polinomios, convergencia de series, límites de funciones, gráficas de cónicas y cuádricas, funciones exponenciales, raíces de ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

1. Escribir los siguientes textos en PcTeX
Ejercicio 1. Calcular los siguientes límites:
1. l m
n!1
1 + 1
n
n
2. l m
n!1
2 + 2
n
n2
3. l m
n!1
2n+3n2+4n3
n4 2n
Ejercicio 2.Calcular los siguientes límites:
(i) l m
x!1
(f(x)); sif(x) =
8
>>>><
>>>>:
x2
+ 5 si x > 1
1 si x = 1
2
p
x2 4x + 4 si x > 1
(ii) l m
x!1
(g(x)); sig(x) =
8
>>>><
>>>>:
x2
+ 5 si x > 1
1 si x = 1
2
p
x2 4x + 4 si x > 1
1. Continuidad de funciones
De…nición 1 Sea la función f : A ! R; A R y sea x0 2 A, se dice que f es
continua en x0,si para cada E(f(x0); ) dado, existe un entorno E(x0; ) tal que si
x 2 E(x0; ) entonces f(x) 2 E(f(x0); ")
Teorema 1 Sea f : A ! R; a R una funcion, entonces las dos condiciones sigu-
ientes son equivalentes:
1. f es continua en a.
2. f veri…ca:
(a) f(a) 2 A, es decir,existe f(a)
(b) Existe l m
x!A
f(x) = L
(c) f(a) = L
1

2. Ejercicio 2:Escribir los enunciados de los siguiente ejercicios y resuel-
valos:
1. Sea P(x) = x3
3x5
+ 2x y Q(x) = x4
5x3
2x + 3efectuar las siguientes
operaciones entre polinomios.
(a) P(x) + Q(x) = x3
3x5
+ 2x + x4
5x3
2x + 3 = 4x3
3x5
+ x4
+ 3
(b) P(x) Q(x) = x3
3x5
+ 2x x4
5x3
2x + 3 = 4x3
3x5
x4
+ 3
(c) P(x)Q(x)
= x3
3x5
+ 2xx4 5x3 2x+3
: x3
3x5
+ 2xx4 5x3 2x+3
2. Calcular los siguientes límites:
(a) l m
x!1
n
p
n3 + 3n : (n3
+ 3n)
1
n
(b) l m
n!1
n
p
n3 + 3n
2n 3n
observe la diferencia l m
n!1
n
p
n3 + 3n
2n 3n3
= 0
(c) l m
n!1
(n3
+ 3n)n
= 1
3. analizar la convergencia de las siguientes series:
(a)
1X
n=1
n
r
3n 54
2n2
5n3 =
1X
n=1
1
2
3n + 625
n2
5n3
1
n
(b)
1X
n=1
0
@ n
s
3n 54
2n2
2
5n3
1
A
n
=
1X
n=1
1
4
(3n + 625)2
n4
5n3
1
n
!n
(c)
1X
n=1
en
+ e n
2
= 1
(d)
1X
n=1
1
2
p
sen2x cos2x
:
1X
n=1
1
2
p
sen2x cos2x
Ejercicio 3:Calcular los siguientes límites de funciones:
1. (a) l m
x!0
sinax
x
= a
(b) l m
x!0
sin7x
3x
:
7
3
(c) l m
x!0
2x
3x
x
= ln2 ln3
2

3. (d) l m
x!0
x 1
cotx
= 1
(e) l m
x!0+
1
x
tanx
= 1
Ejercicio 4:Grá…car las siguientes cónicas,teniendo en cuenta el tipo de
coordenadas más adecuado.
(a) x2
+ y2
= 9
(b) x2
9
+ y2
4
= 1
(c) x2
5
y2
3
= 1
(d) 2x2
+ 3x 1 = 0
Observando las grá…cas obtenidas indicar los elementos notables de cada una de
ellas.
Ejercicio 5:Grá…car las siguientes cuádricas,teniendo en cuenta el tipo
de coordenadas más adecuado.
1.
(a) x2
+ y2
+ z2
= 9
(b) x2
5
y2
3
= 2z
(c) 2x2
+ 3x z(cilindricas)
Ejercicio 6:Grá…car la funcionf(x) = ex
x2+1
, indicar la posible ecuación de una
asíntota oblicua observando el grá…co.
Ejercicio 7:Obtener las raíces de las siguientes ecuaciones:
1.
(a) 3x2
2x + 1 = 0, veri…car el valor obtenido observando la grá…ca corre-
spondiente
(b) x3
3x2
+ 2x 6 = 0
(c) x4
x3
7x2
+ x + 6 = 0
Ejercicio 8:resolver los siguientes sistemas de ecuaciones analiticamente
y gra…camente
1.
3

4. (a)
8
<
:
x 3y = 2
2x 6y = 4
(b)
8
<
:
2x + 3y = 1
x 2y = 0
4