Demostración de la Ley de Coulomb de forma Vectorial

1. Hasta ahora sólohemosconsideradolamagnitudde lafuerzaentre doscargas
obtenidaconforme alaLey de Coulomb.Lafuerza,por serun vector,tiene también
propiedadesdireccionales.Enel casode la Ley de Coulomb,ladirecciónde lafuerzaqueda
determinadadependiendodel signorelativode lasdoscargas eléctricas.
Comose ilustraenlafigura5, supongamosque tenemosdoscargaspuntuales q 1 yq 2
separadaspor unadistanciar1-2.Por el momento,supongamosque lasdoscargastienenel
mismosigno,de modoque se repelenentre sí.Consideremoslafuerzasobre lapartícula1
ejercidaporlapartícula 2, loque escribimosennuestraformausual como F1-2.El vectorde
posiciónque ubicaa lapartícula 1 enrelaciónconla partícula 2, entonces r1-2 sería el vectorde
posiciónde lapartícula 1.
Si las doscargas tienenel mismosigno,entonceslafuerzaesde repulsióny,comose
muestraenla figura5a,F1-2 debe serparaleloar1-2.Si las cargas tienensignosopuestos,como
enla figura5b,entonceslafuerzaF1-2 esde atraccióny anti-paralelaar1-2.En cualquiercaso,
podemosrepresentarala fuerzacomo:
𝐹1−2 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺 𝟎
𝒒 𝟏 𝒒 𝟐
𝒓 𝟏−𝟐
𝟐 𝒓̂ 𝟏−𝟐
Figura 5 (a) Doscargas puntuales q 1 yq 2 del mismosignoejercenfuerzasde
repulsión igualesyopuestasentre sí.El vector r1-2 ubicaa q 1 en relacióncon q 2, yel vector
unitario 𝒓̂ 𝟏−𝟐 apuntaenla dirección r1-2.Nótese que F1-2 esparalelo ar1-2.
(b) Lasdos cargas tienenahorasignosopuestos,ylafuerzaes de atracción.Obsérvese
que F1-2 es anti-paraleloar1-2.
Aquí r1-2 representalamagnituddel vector r1-2,y 𝒓̂ 𝟏−𝟐 indicaal vectorunitarioenla
direcciónde r1-2.Es decir:

2. 𝑟̂1−2 =
𝑟1−2
𝑟1−2
Hemosempleadounaformasemejantealaecuación5 para expresarlafuerza
gravitatoria.
De lafigura5 se desprende otracaracterística.De acuerdocon latercera Leyde
Newton,lafuerzaejercidasobre lapartícula2 por la partícula1, F2-1,esopuestaa F1-2.Esta
fuerzapuede entoncesexpresarse de lamismaformaexactamente:
𝐹2−1 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺 𝟎
𝒒 𝟏 𝒒 𝟐
𝒓 𝟐−𝟏
𝟐 𝒓̂ 𝟐−𝟏
Aquí 𝒓̂ 𝟐−𝟏esun vectorunitarioque apuntade la partícula 1 a lapartícula 2; esdecir,
sería el vectorunitarioenladirecciónde lapartícula 2 si el origende las coordenadas
estuvieseenlaubicaciónde lapartícula 1.
La formavectorial de laLeyde Coulombesútil porque conllevalainformación
direccional acercade F y de si lafuerzaes de atracción o de repulsión.El usode laforma
vectorial esde importanciacríticacuando consideramosque lafuerzaesde atraccióno de
repulsión.El usode laforma vectorial esde importanciacríticacuandoconsideramosque las
fuerzasactúansobre un conjuntode más de dos cargas. En este caso,la ecuación5 se
cumpliríapara cada par de cargas, y la fuerzatotal de cada carga se determinaríaal sumar
vectorialmente lasfuerzasdebidasacadauna de las otras cargas.