2. 2
Introducción
En este tema repasaremos técnicas con el
objetivo de desarrollar nuestra destreza en los
cálculos.
Multiplicación por 5
Para multiplicar por 5, se le agrega un cero a la
derecha y el resultado se divide entre 2.
Multiplicación por 25
Para multiplicar por 25, al número se le agrega
dos ceros a su derecha y el resultado se divide
entre 4.
División entre 5
Para dividir entre 5, al número se le multiplica
por 2 y el resultado se divide entre 10.
Multiplicación por 11
Se multiplica la cifra de las unidades por 1,
luego se suma de dos en dos las cifras restantes,
considerando siempre si es que llevamos algo.
Finalmente, se multiplica la última cifra por 1,
adicionando lo anteriormente mencionado, si es
que existe.
Multiplicación por 9; 99; 999; 9 999; ...
Para multiplicar un número natural N por otro
que está formado íntegramente por cifras 9, hay
que agregar tantos ceros como nueves existan y
restamos el mismo número N.
Multiplicación de dos números de dos cifras
cada uno
Deducimos el procedimiento del ejemplo
siguiente:
Complemento aritmético
A partir del menor orden se observa la primera
cifra significativa, la cual se resta de 10 y las
demás cifras se restan de nueve.
Multiplicación de factores cercanos a una
potencia 10
Calculamos los CA y los multiplicamos. Al
resultado le completamos ceros hasta que
tengan la misma cifra de los factores. Como
segundo paso restamos de uno de los factores el
CA del otro factor y lo agregamos en el sector
izquierdo del número previamente obtenido:
Cuadrado de un número de dos cifras
Utilizamos el criterio de binomio al cuadrado,
aplicándolo de derecha a izquierda:
CIFRAS TERMINALES
Para números que terminan en 0; 1; 5 y 6
Para números que terminan en 4 y 9
Para números que terminan en 2; 3; 7 y 8
HABILIDAD OPERATIVA
3. 3
INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Tenemos que observar los casos en las cuales
una ley de formación se cumple.
CASO I
Cuando elevamos al cuadrado un numeral
formado únicamente por cifras 3,6 ó 9.
2 cifras (33)² = 1089
Suma de cifras = 18 = 9 (2)
3 cifras (333)² = 110889
Suma de cifras = 27 = 9 (3)
n cifras (3...33)² =
(n 1)cifras (n 1)cifras
11..11088...889
2 cifras (66)² = 4356
Suma de cifras = 18 = 9 (2)
3 cifras (666)² = 443556
Suma de cifras = 27 = 9 (3)
n cifras (66..66)² =
(n 1)cifras (n 1)cifras
44...44355...556
2 cifras (99)² = 9801
Suma de cifras = 18 = 9 (2)
3 cifras (999)² = 998001
Suma de cifras = 27 = 9 (3)
n cifras (99..99)² =
(n-1)cifras (n-1)cifras
99...99800...001
En general observamos que al elevar al
cuadrado un número formado por cifras 3,6 ó
9, siempre en el resultado se observará que:
Suma de cifras = 9n
Número de cifras = 2n
Donde “n” es igual al número de cifras al
número de cifras del número que vamos a
elevar al cuadrado.
CASO II
Cuando tengamos un numeral formado
únicamente por cifras 1:
2 cifras (11)² = 121
Suma de cifras = 4 = 2²
3 cifras (111)² = 12321
Suma de cifras = 9 = 3²
4 cifras (1111)² = 1234321
Suma de cifras = 16 = 4²
n cifras (111...11)² = 12...n...21
Suma de cifras = 9 n
Suma de cifras = 9 n
Suma de cifras = 9 n
Suma de cifras = n² ; n < 10
4. 4
CASO III.
Veamos que sucede con un número que termina
en cifra 5 cuando se eleva al cuadrado:
(15)² = 225=
1x2
2 25
(25)² = 625 =
2x3
6 25
CASO IV
Ahora veamos que sucede cuando
multiplicamos 4 números consecutivos y le
agregamos la unidad.
2
cifras consecutivas
(1x4+1)
1 x 2 x 3 x 4 + 1 = 25
(1 x 4 + 1)² = 5² = 25
2
4cifras
consecutivas
(2x5+1)
2 x 3 x 4 x 5 + 1 = 121
(2 x 5 + 1)² = 11² = 121
En general diremos que si operamos:
CASO V
También tenemos el caso del producto de dos
números formados por la misma cantidad de
cifras 9 y las cifras de las unidades suman 10.
(n-1) (n-1)
"n" cifras "n" cifras 2 cifrascifras cifras
(99...99a) (99...99b)=(99...900...0axb)
1. Calcular la última cifra par del resultado de:
E= (1×3×5×7 ...)1357
+(2×4×6×8×...)2468
a) 5 b) 4 c) 0
d) 3 e) 2
2. Hallar la suma de cifras del resultado de:
M = 1 334 5662
– 1 234 5672
a) 50 b) 54 c) 51
d) 52 e) N.a
3. Si: a2
+ a + 1 = 0
Calcular: a2001
a) 2 b) 3 c) -1
d) 1 e) -2
4. Si: abcd × 9 999 = ... 3 185
Hallar: ab cd
a) 51 b) 50 c)54
d) 53 e) 52
5. El número N=248
-1, es exactamente divisible
por dos números que están comprendidos entre
60 y 70. ¿Cuál es la suma de estos números?
a) 63 b) 65 c) 128
d) 124 e) 182
n(n+1)(n+2)(n+3)+1= n(n+3)+1²
Además a + b = 10
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=
PRÁCTICA DE AULA
5. 5
6. Hallar el valor de x2
:
X = 3+2 2 - 3-2 2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. Hallar la suma de cifras de “W” si:
79cifras 77cif s
2
ra
W= 1077...777 – 77...778
a) 702 b) 701 c) 700
d) 703 e) 704
8. Hallar el valor de “W” si:
W= 10305050301+2040604020
a) 222222 b) 333333 c) 111111
d) 123456 e) 654321
9. Hallar “m+n” si:
(1 x 3 x 5 x 7 x...)² = ......mn
a) 7 b) 11 c) 12
d) 3 e) 6
10. Hallar la suma del resultado de “P” si:
P = (999997) (999993)
a) 80 b) 51 c) 42
d) 45 e) 48
1. Hallar la suma de las dos últimas cifras del
resultado de:
M = 252 + 1252 + 2252 + 3252 + ... + 9252
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 2
2. ¿En qué cifra termina el resultado de la
siguiente expresión?
S = (4344
+ 4243
) × 67542
– 4641
– 5140
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 2
3. ¿En qué cifra termina el resultado de la
siguiente operación?
m = (999 999)666666
× (666 666)999999
a) 0 b) 6 c) 9
d) 4 e) 3
4. ¿En qué cifra termina el resultado de la
siguiente expresión?
La de Lima
44444
A = 22 2( 22)
a) 3 b) 5 c) 6
d) 1 e) 4
5. ¿Cuál es la última cifra del producto?
S= (13 + 1)(23 + 1)(33 + 1)(43 + 1) ... (203 + 1)
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 6
6. Hallar:
p + q + r sumandos
p + p + p + p + ... + p. Si:
1 2 3 ... 9 1p p p p qr
a) 315 b) 153 c) 96
d) 536 e) 110
7. Hallar la cifra terminal de:
A = (21474)1217
+ (32879)3146
a) 3 b) 5 c) 6
d) 1 e) 4
EJERCICIOS PROPUESTOS
6. 6
8. ¿Cuál es el resultado de:
S = (x – a)(x – b)(x – c) … (x – z)?
a) x b) xx
c) 1
d) 0 e) x2
9. Si: ... 3 518 ÷ 9 999 = abcd
Calcule:
5 abcd
E =
a + b + c + d
a) 89 b) 86 c) 96
d) 26 e) 16
10. Halle la suma de cifras del resultado de:
A = 7 777 777 × 999 999 999
a) 67 b) 68 c) 81
d) 90 e) 100
11. ¿En cuántos ceros termina el desarrollo de:
520
× 377
× 218
× 79
?
a) 12 b) 16 c) 18
d) 22 e) 26
12. Hallar las tres últimas cifras de:
1 + 17 + 171 + 1 717 + ...
20cifras
1717...17
a) 090 b) 080 c) 010
d) 095 e) 015
13. Calcular: x (x+y). Si se sabe que:
4
20 factores
7x9x11x13x.....= .....xy
a) 35 b) 28 c) 18
d) 14 e) 30
14. Calcular "R":
40 41 42 43 1R
a)1 745 b) 1 748 c) 1 723
d) 1 722 e) 1 721
15. Si: 51
+ 52
+ 53
+ 54
+ ... + 515
= ...abcCalcular:
"a + b + c"
a) 15 b) 14 c)13
d) 18 e) 16
16. Calcular el valor de "E":
1995
2
E = 3x5x17x257x...(1995factores)+1
a) 2 b) 3 c) 1
d) 4 e) 8
17. Calcular:
a) 2 b) 1 c) 4
d) 5 e) 3
18. Calcular el valor de "M" en cada caso y dar
como respuesta la suma de sus cifras.
M = 111 110 888 889 ;
M = 123 454 321
a) 20 b) 18 c) 16
d) 15 e) 19
19. Hallar la cifra terminal al desarrollar:
H = (2+1)(22
+1)(23
+1)...(2700
+1)
a) 5 b) 0 c) 1
d) 4 e) 3
7. 7
20. Si:
abc factores
1x3x5x7x...... = ...............ab
Hallar: “a x b”
a) 45 b) 25 c) 10
d) 15 e) 20
21. Si: (a+b+c)2
= 441
Hallar: abc + bca + cab
a) 2321 b) 441 c) 2331
d) 3131 e) 2121
22. Hallar la suma de las cifras de “R”
R = (1030
+1)(1030
-1)
a) 350 b) 450 c) 540
d) 999 e) N.a
23. Siendo a,b y c cifras; hallar “b+c” si:
(a+b+c)² = a25
a) 13 b) 11 c) 23
d) 14 e) 15
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PROVERBIOS 23:23
