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![CONTENIDO
~9.17. Isomorfismo de una parte de Q en Z
9.18. Relación de orden eri Q
9.19. Numerabilidad de Q
, Trabajo Práctico IX
~
Capítulo 10. NUMEROS REALES
)110. 2. El número real
10. 3. Operaciones en R
10. 4. lsomoñ~o de una parte de R en Q
10. 5. Cuerpo ordenado y completo de los reales
10. 6. Cortaduras en Q
10. 7. Completitud de R
10. 8. Potenciación en R
10. 9. Logaritmación en R+
lO. lO. Potencia del COrUUnto R
Trabajo Práctico X
Capítulo 11. EL CUERPO DE LOS
tf NUMEROS COMPLEJOS
1l. 2. El número complejo
11. 3. Isomorfismo de los complejos reales en los reales
11. 4. Forma bínómica de un complejo
ll. 5. la conjugación en C
1t. 6. Módulo de un complejo
1l. 7. Raíz cuadrada en C
ll. 8. Forma polar o trigonométrica
1L 9. Operaciones en forma polar
ll.lO. Radicación en C
11.11. Forma exponencial en C
11.12. Logaritmación en C
ll.I3. Exponencial compleja general
11.14. Raíces primitivas de la unidad
Trabajo Práctico XI
Capítulo 12 .POLINOMIOS
' 12. 2. Anillo de polinomios formales de un anillo
12. 3. Anillo de polinomios de un cuerpo
12. 4. Divisibilidad en el dominio K [X]
12. 5. Ideales de K [X] ·
11. 6. Factorización en K [X}
t 2. 7. Especialización de X y raíces de polinomios
298
301
301
303
308
308
315
321
321
321
326
329
333
335
338
341
341
347
347
349
351
354
356
358
362
366
367
369
370
373
378
378
383
384
388
389
396
CONTENIDO
12. 8. Raíces múltiples
12. 9. Polinomio derivado y raíces múltiples
12.10. Número de raíces de polinomios
12.11. Raíces de polinomios reales
12.12. Relaciones entre raíces y cOeficientes
12.13'. Fónnula de Taylor y Método de Homer
Trabajo Práctico XII
BmLIOGRAFIA
RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PRACTICOS
INDICE
3~
400
40l
403
407
400
414
417
419
473](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-5-320.jpg)
![12 NOOONES DE LOGlCA
condicional y su recíproco o contrario, entonces son verdaderos los cuatro, y las
proposiciones antecedente y consecuente son equivalentes.
Se presenta continuamente la necesidad de demostrar la verdad de p =:- q, y de
acuerdo con lo expuesto se presentan dos métodos:
i) directo. Si p es F, nada hay que probar, pues en este caso p => q es V. Si p
es V J¡ay que establecer que el valor de verdad de q es V.
ii) indirecto. Si q es V queda establecida la verdad de p =:- q. Pero si q es F
hay que examinar p y llegar a establecer que su valor de verdad es F.
t .8. NEGACION DE UNA lMPLICACION
Las proposlcíones p "'"" q y ·~( p ,._ -~q) son equivalentes. cumo lo muesna la
siguiente tabla
(p = q) ~
- (p ¡ --q)
V ' V • V V ' V ' V F Fi 1 1
'1
V
1
F 1
F V 1
F • V V V1 1 1 1
F • V 1 V V ' V ' F F F• 1 1 11
F • V 1
F V 1
V 1
F F V1 1 1 1
En consecuencia, la negación de la primera equivale a la negación de la segunda,
es decir
-(p = q) <:> -[ -(p f -q)J
y por 1.6.1, se tiene
-(p = q) <:> (p " -q)
Es decir. la negación de una implicación no es una implicación. sino la
..:onjundón del antecedente con la negación del consecu?nte.
E¡empln ! ·11,
Sean las implkaciones
i ) Si hoy es 'lunes, entonces mañana es miércoles.
ii) 1=-1=12
=(-1)2
Sus negaciones son, respectivamente,
"Hoy es lunes y mañana no es miércoles"
•• 1 = - l !1 12
*(- 1)2
,
RAZONAMIENTO DEDUCJIVO l3
1.9; RAZONAMIENTO DEDUCTIVO VALIDO
En matemática interesa el tipo de razonamiento llamado deductivo. Llamamos
razonamiento a un par ordenado ( {fJ¡} ; q), siendo { p¡ ) un conjunto finito de
proposiciones, llamadas premisas, y q una proposición, llamada conclusión, respecto
de la cual se ~:.firma que deriva de las premisas.
Un razonamiento es deductivo si y sólo si las premisas son evidencias de la
verdad de la conclusión. es decir, si p1 , pz. . . . Pn son verdaderas, entonces q
verdadera. Un razonamiento deductivo es válido si no es posible que las premisas
sean verdadera!> y la conclusión falsa. De un r;.tzonamiento no se dke que es V o r.
smu qu.: es válidn ~' no.
Llamamos regla de inferencia. a todo esquema válido de razonamiento. indepen-
dientemente de la V o F de las proposiciones componentes. De este modo. toda
regla de inferencia es tautológica.
Un razonamiento deductivo es válido cuando el condicional cuyo antecedente es
la conjunción ue las premisas. y el consecuente' es la conclusión, es tautológico.
Son ejemplos de reglas de inferen..:ia:
a) Ley del modus pvnens:
SI p y p => q, ENTONCES q
La notación clásica es
b) Ley del modus tolrms:
p
p =q
q
p =q
-q
-p
Este esquema es la ñotación clásica del condicional
[1 (J ~ ll}
21 Ley del sdog1smo iupotérico:
-q! =-o
p ;;;;;¡¡.q
q =?f
p =r
Es decir, la proposición [(]7 = q) 11 (q =r)] = (p = r) es una·tautología.
En cambio, el condicional .[ ( p => q ) A q ] => p no es una forma válida de](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-12-320.jpg)
![18 NOCIONES DE LOGICA
La expresión simbólica es entonces
'l:/x3y/x+y=O
Su negación es
3 X/ -(3y /X+Y= 0)
Es decir
3x/Vy:x+y:~O
La traducción al lenguaje común es
i<. T"' ~ 1 ~ .]• .. • ~ ' "'" ,..,...
t:X!Si.e un t:iHt:lv ~.;uya suma 1..011 ~.;uaH.¡t.iíe1 utru. e:. Ul~LiÍ!la úc 1..t:iu • ,,. í
Ejemplo 1-15.
Sea la proposición
Hay alumnos que estudian y trabajan.
Su enunciado sugiere un cuantificador existencial y dos funciones proposicionales
P (x) : x estudia
Q(x) : x trabaja
En forma simbólica se tiene
3 X j p (X) A Q (X)
Su negación es
'1:/ x: -[P(x) " Q (x)J
Y por ley de De Morgan
'1:/X: -P{x) V -Q(x)
Traduciendo al leng:mje ordinario
''Cualquiera que sea el alumno, no estudia o no trabaja".
1.11 CIRCUITOS LOGICOS
La verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de corriente en un circuito
electrice con un interruptor.
Para representar a p, si es V, se tiene
o ·~
{
..it-
¡¡
'.~_..¡.!?
~~
~ ~
CIRCUITOS LOGICOS 19
Y para p, si es F
~ - Q
Es decir, el interruptor se cierra si pes V y se abre si pes F.
Las operaciones proposicionales pueden representarse mediante circuitos con tantos
interruptores como proposiciones componentes, combinados en serie o paralelamente.
i ) Conjunción
~
p
Este circuito admite el pasaje de comente, es decir.la verdad de p ' q, sólo si las
dos son V.
ii ) Disyunción. Está representada por un tircuito en paralelo
o 1 ~~~q
La falsedad de p v q, es decir, el hecho de que no pase corriente, sólo se verifica
en el caso de la falsedad simultánea de p y q.
iii) ~mplicación. Como
( p => q) ~ -(p 1 -q)
de acuerdo ~on 1.8, aplicando una ley de De Morgan y la doble negación, se tiene
(p => q) ~ (-p V q)
En consecuencia. el ~ircuito asociado es
-p
1
1 o
_ _ _1
q
iv) Diferencia simétrica.
Utilizando sucesivament~ 1.4.6., 1.4.5.. una ley de De Morgan, la negación de](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-15-320.jpg)
![(!i-:.;;:,t! 't~":::4"~...
?O NOCIONES DE LOGICA
implicaciones y la distributividad de la disyunción respecto de la conjunción, se tienen
las equivalencias
(p:,: q)""' -(p <* q) <*
<* -[(p ~ q) !1 ( q ==? p)] <*
<o> -(p => q) V -(q => p) <*
~ (p 1 -q) V (q /1 ""])) <*
.,. ( p
~ (p
q) • (p V -p) 1 ( -q i q) / ( -q V -p}
</) ' ( -p V -q)
y r;;-~ult:-t el drcuito
q -q
Ejemplo 1-16.
i ) El circuito correspondiente a la proposición
(p ,A q) V (-q) es
~ /. J o
Obtcn. iuegü de sn11plifiLar
.......__
-q
/} ..._[/e
p
____.l o
-q
Para que pase corriente es suficiente o..:e Jl o -q sean V.
·-
r
'
rt
¡
r·l
j
es
ClRCUlTOS LOG!COS 21
ii) La operación proposicional que caracteriza al siguiente circuito
o----Y--e::=r-~r
¡q " r'l
'-](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-16-320.jpg)
![~
TRABAJO PRACTICO 1
1-17. En el libro Hijos en libertad. de A. S. Neíll. están escritas las siguientes
proposiciones
p : Mis maestros hacen que todas las lecciones sean aburridas.
q : No aceptan las respuestas que no figuran en los libros.
r : Imponen un cúmulo de normas estúpidas
Construir las pro~:!Osiciones
p .' q .....,q v r (p ., q) => r
J-18. Escribir en forma simbólica la siguiente proposición compuesta que figura en el
mismo texto:
"La chatura y el tedio de ciertas disciplinas escolares se trasmiten a los maestros.
y las escuelas se llenan de hombres y mujeres de mentalidad estrecha, vanidosos.
cuyo horizonte está limitado por el pizarrón y el libro de texto"'.
J-1 9. Confeccionar las tablas de valores de verdad de las proposiciones
i ) (p r., q) => r
Ü ) -(p V q) <:> -p , -q
1-10. Negar las proposiciones construidas en el ejercicio 1-17.
1·11. Proponer las siguientes proposiciones en forma simbólica, negarlas, y retraducir·
las al lenguaje común:
i ) No es justa, pero mantiene el orden.
ií) Los alumnos conocen a los simuladores y los desprecian.
iii) Si los 'álumnos conocen a los simuladores, entonces los desprecian.
1·12. Detenninar si l~s siguientes proposiciones son leyes lógicas:
i)p!lq=*q
ii) [(p => q) / (q => r)J => (p => r)
ili) p => p A q
. iv) p => p V q
!
,¡
iJ1
TRABAJO PRACTICO l
1-23. Simplificar las siguientes proposiciones:
i) -(~p V "'q)
Ü) -(p V q) V (-p 1 q)
1-24. Sabiendo que p v q es V y que ·~q es V, determinar el valor·de verdad de
((p V q) A "'q)=*q
23
1-25. Determinar, en cada caso, si la información que se da es suficiente para conocer
el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso
afirmativo. justificarlo.
i 1 p => q => r Yl'~ V
¡¡) (p q) .... (-p ' -q) q es V
iii} ( p , q) => (p v r) ; pes V y res F
iv) p (q => r) ; p => res V
1-26. Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y s son, respectivamente, V, F,
F, V. Obtener los valores de verdad de
i ) [( p v q) v r] ~. s
íi) r => s '• p
iií) p v r <-> r , -s
1-27. Negar las proposiciones
Í ) 3 X/ p (X) V -Q (X)
ii) V x : P (x) => Q (x)
iii) V X 3 Y/ x . Y = 0
1-28. Verificar que para probar la equivalencia de las proposiciones p. q, r y s es
suficiente demostrar las siguientes implicaciones:
p =!- q q=>r r=>s y s=>p
1-19. Dadas las proposiciones
i ) El cuadrado de todo número real es mayor que 2.
ii) Existen enteros cuyo cubo aumentado en l es igual al cubo del siguiente,
iii) Todo el que estudia triunfa,
expresarlas simbólicamente, negar las expresiones obtenidas y retraducirlas al
lenguaje ordinario.
1-30. Construir un circuito correspondiente a la proposición
( p 11 ""Q) V (-p /1 q) V (-p /1 -q)](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-17-320.jpg)
![36 CONJUNTOS
¡p CP(A) V
{2,3) eP(A) V
2 € P (A) F
{2) éP(A) V
A€P(A) V
A€A F
AC A V
!:]emplo ;.¡:!.
Si A time .'1 elementos. ent.m.;e" P !Al tiene :2" elementos. Se trata de computar ei
número de sub..:onjuntos de .4.. Uno de ellos es el vado. Conjuntos unitarios hay
rn ·¡· d · b· · d 1 d dexactameme 11 = ¡
1
. es ec1r. tantos como com mac10nes en e ementos, e or en
'
l.
El número de suhwnjuntos de dos elementos es el de combmaciones de ¡¡
•f/.
elementos de orden 2. es decir 1 , 1
w.
SubconJuntos ternarios hay (
3
! :
/
Y así sucesivamente, hasta obtener el único subconjunto de n elementos.
El número total está dado por la suma
11!' rn• / n . .·n· 'll ·'n·
+i 2} + t 3} + ... + t.n _ 1.1 + l = l_o} + '· t' + 1, 2} +
n
::: :E
i=O
•fl) n {f/1 .
( i . = 1; ' i) 1' • 1n - i = ( 1 + l )" :;;;; ~n
i=O
. :11
+ ¡ 1 =
n;
En este desarrollo hemos aplicado la fórmula del binomio de Newton. que se
justificará en el Capítulo íÍ.
!.5 COWlDIE~ r ~.CION DE CONJUNTOS
Sean A y B subconjuntos de C.
2.5.l. Definición
Complemento de A es el conjunto formado por los elementos de U c1ue no
pertenecen a A. '
El complemento de A se denotará por Ae; suelen usarse también A' y A.
ir.t:- -~-' ··-·~·-·-
COMPLEMLNTACION DE CONJUNTOS
37
En símbolos
N= {xeU/x~
o bien
Ae= {X/ Xt
Se tiene
XfAc ""*XíÉA
El J¡;.~.;r;¡· rla ,].; "cm1 <;.j.
La complementación es una operación unitaria. en el sentido de que a partir de un
conjunto se obtiene otro.
Es usual también obtener el complemento de un conjunto A. respecto de otro B, en
cuyo caso la definición es
r A=[xeBixfA>'-'S ' '
En particular se tiene
i ) El complementario del vacío es el universal.
)
xeU =>xtr/> =>X€(/
() ~¡f·J l" :: ti!!¡.'
~UIWJ 1¡{ resul!a
1i l fl ,.,,mpl.:m.:n1arw del uníversJi es el
pe = ( .~ X E U X f L
2.5.2. Propiedades de la complementación
· l) INVOLUCION. (Ae)'"= A
Demostración)
=I/>
xe(Ac{ ~xttAc ~-(xeAc) ~-(xtfA) c>x€A](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-24-320.jpg)
![~
44 CONJUNTOS
m ASOCIATIVIDAD. eualesquicraque sean A, By C
(A U B) U e= A U (B U e)
La demostwción es análoga a la propuesta en el caso de la asociatividad de la
intersección, utilizando ahora b definición de unión y propiedades de la
disyunción.
IH) CONMU'TATIVIDAD. Para todo par de subconjuntos de U, se verifica
AUB=BUA
rue<; x f A B """ x e . v x e B «> x e B X E A ~ X E B :,,l A
IVt ELEME?'íTO :-ECTRO PAR> LA t:NION ES El CONJUNTO YACIO.
Es decir, cualquiera que sea A C U, se tiene
AU¡p=tj¡UA=A
Tratamm sólo el caso A U (ÍJ =A, ya que la conmutatividad nos exime de la otra
situación.
Sabemos.por .::.7.1. que A CA u <fJ (1)
Sea ahonx e A u 1/> ~ x e A v x etp ~ x e A
por definici~n de unión, ypor ser falso x e ifJ .
Luego AU ¡pe A (2)
Por ( 1) y (2) resulta la igualdad propuesta.
Ejemplo 2-20.
Demostrar A .: B ""> A U B = B.
Seguimo; el mismo esquema empleado en el ejemplo 2-16.
) Hipóesis} A e B
Tesis] A U B = B
Demtlstración) Como cada conjunto está contenido en su unión con
cualquier otro. según :2.7.1 se tiene
B- B
( >.Jnsid~renlos Jb~)r3
t€..,.,S =>xéA v xEB :;oxi:B v xeB =>xEB
por definición de unión. por hipótesis y por la ley p v p => p.
Entonces:
De (1) y (2) resulta A U B = B
ii) Hipótesis) A u B = B
Tesis) A e B
AUBCB
Demostración) x E A ~ x e A U B => x € B
!1}
(21
"
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l·
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l
f•
.1
i'
t
ii
l'IWPIEDADES DE L: UNION 45
porque si un elemento. pertenece a un conjunto, entoncés pertenece a su unión con
cualquiera y además por hipótesis, ya que AU B = B.
Es decir: A e B.
Ejemplo 2-21.
¡ ) Demostrar X e A 1 X C B = X e A u B.
t.n efecto. sea
xEX =xe: v xEB =:>;reAUB
le' ~¡u<.: e~ d<:rtú por y ddinlcion ·le ·.míón
ií l L3 implka.:ión anterior no admite re~:¡·proca verdader:.L ~ J que pucd.:> darse
que X:::: A'.J B. y sm emb;rgo . : .o } X'.::. B. corno puede ':erse en e!
diagrama siguiente
A~B
e
iii)Demostrar P(A)UP(B)C PlAUB).
L•Jnsidaemos
XeP(A)UP(B) =* XeP(A) v XéP(B) =>
=>XCA v XeB =>XeAUB =X€P(AUB)
por definición de. unión. de conjunto de panes. propiedad i ). y definición de
.:onJmWJ Je panes
.:;.s. LEYES DlSTRIBt:TIVAS
La umón e intersección de c01_1junto:. pueden conectarse a través de dos propiedades
fundamentales. llamadas leyes distributivas, que se expresan mediante las fórmulas
(AUB)f'lC=(Af'l(_')U(BiiC
(A n B) u e =(A u C) n <Bu ·e¡
Vamos a verificar, mediante diagramas de Venn. la primera de estas leyes. Los
dibujos corresponden al primero y al segundo miembro de la igualdad.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-28-320.jpg)
![)
lfL·r
l.'
50 CONJUNTOS
aplicando 2.1O.2, ley de De Morga n, distributividad de la intersección respecto de la
unión
(A n B) -· (A n e)= (A n B) n (A n e)• =
= (A n B) n (Ae U Ce)=
= (A n B n Ae) U {A n B n Ce)=
= q, U (A n B n Ce) = A n B n ce
De (1) y (2) resulta
A n (B- C) =(A ílB)-(A ílC)
2.11. DIFERENOA SIMETRICA
Sean A y B dos subconjuntos de U.
2.11.1. Defmición
(2)
Diferencia simétrica de los conjuntos A } B es la unión de los conjuntos A - B y
B-A.
I.a notación es
A 1:!. B =(A- B) U (B- A)
y el diagrama conespondiente
Otra identificación de la diferencia simétrica es
A 1:!. B =(A n Be) U (B nAe) (2)
(1)
que se deduce como consecuencia inmediata de la definición, teniendo en cuenta que
la diferencia entre dos conjuntos es igual a la intersección del prim~ro con el
complemento del segundo, según 2.10.2.
Resulta también
A 1:!. B =(A U B)- (A n B) . (3)
'.;{·
i:;:-
1i
1
DlHRENCIA SlMFTRICA
En efecto
A b. B = (A -- B) U (B - A) = (A n Be) U (B n Ae) =-"'
=[(A n Be) u B] n [(A n Be) u AC] =
=(A U B)ll(Bc U B) n (A U Ac)n (Be U Ae)=
=_(A U B) n Un Un (Ae U Be)=
= (A u B) n (AeU Be)= (A U B) n (A n B)c = (A U B)- (A n B)
~.'
De acuerdo con (2), por ley distributiva de la unión respecto de la intersección, por
ser Be U B =A U Ac =U, por ser U neutro para la intersección, por conmutatividad
de la unión, por ley de De Morgan y por 2.10.2.
Las expresiones alternativas para ía diferencia sunétrica son
A 6. B=(A-B)U(B-A)=(AnBc)U(BnAc)=
=(A U B)- (A n B) =(A U B) n (A n B)c
,
2.11.2. Propiedades de la diferencia simétrica '
I) CONMUTATIVIDAD
A A B =(A- B) u (B- A) = (B- A) u (A- B) = B b. A
II) EXISTENCIA DE NEUTRO. En P (U), el vacío es neutro para la diferencia
simétrica. En efecto
Ab.cjJ=(A -cjJ)U(cjJ- A)= A Ulj)= A= cjJ~A
III) EXISTENCIA DE INVERSOS. En una operación entre elementos de un
conjunto (en este caso el conjunto es P (U). los elementos son los subconjuntos
de U y la operación es la diferencia simétrica), interesa determinar si, dado un
conjunto, existe otro cuya diferencia simétrica con él es el neutro. Afirmamos
que todo. conjunto A e U admite ái mismo A como inverso respecto de la
diferencia simétrica.
En efecto
A 1:!. A =(A- A) U (A....: A)= cjJ U cjJ = cjJ
IV) ASOCIATIVIDAD. Cualesquiera que sean A, B y C pertenecientes a P (U) se
verifica
(A AB) A C = A A(B 6 e)
Demostración)
(A 1:!. B)t. C = [(Aó B) n e:} U l(AA By: n C]""
= { [(AnBe)u(AcnB)]ncc} u {(AUB)Il(AnBncnc}
=(Anscnce)u(Aensncet.• !f•A.uBtu(AnB)]nc}
"·""·..,.,..,~~-'~:m..li~"""'""' ~-](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-31-320.jpg)
![52 CONJUNTOS
=(A n Be n ce) U (Ae n Bn ce) U (Ae n Be n'C) U(A n Bn C') =
=(A n B n C) U (A nBe n Ce) U (Ae n Bn ce) U (Ae n Be n C) (1)
En este desarrollo se han utilizado las consecuencias de la definición de diferencia
simétrica, leyes de De Morgan, distributividad de la intersección respecto de la unión y
la conmutatividad.
Desarrollamos ahora el segundo miembro aplicando la conmutatividad de la
diferencia simétrica y utilizando el resultado anterior
Aó.(B LlC) = (B LlC)l!.A =
=(B n C n'A) U(Bncc nA') U(Bc n C nAe} U(Bc n cenA)=.
=(A n B n(')U(Ac n Bn c.::)U(Ac n s<=n C) U(An Be n C')
De (1) y (2) resulta
(A ó. B) ó. C = A ó. (B ó. C)
Ejemplo 2·16.
i ) La diferencia simétrica entre los intervalos reales
{1 ,oo)6(-oo,3]=(3 ,"")U(-oo,l)
ii) En cambio
(1 , C<J) 6 (- oo, 3) =[3 , oo) U(- oo, 1]
Ejemplo 2-17.
Demostrar la ley cancelativa de la diferencia simétrica, es decir
En efecto
Ejemplo 2·28.
A6B=Aó.C ~B=C
Aó. B =A ó. C ~ A ó. (AL B) =AL (A 6 C) =>
=> (A Ll A) Ll B =(A Ll A) Ll C ""'
=>9t.B=i;'>t>C => B=C
(.:)
Demostrar la distributividad de la intersección respecto de la diferencia simétrica.
Tesis) (A Ll B) n C = (A nC) 6 (B ri C) .
Demostración) Desarrollamos los dos miembros por separado
(A Ll B) n C =[(A n Be) U (Aen B)] n C =
= (A n Be n C) u (Ae n B n C) (I)
.~
'~;
i~
•¡:¿
1"";;
·~
t11
PRODUCTO CARTESI/NO DE CONJUNTOS
(A n C) b. (B n C) =[(A n C) n (B n qe] u [(A n Cf' n (B n C)] =_
=[(A fi C) n (Be U ce)] U [(Ae U Ce) n (B n C)] =
::;;; (A n C n Be) U(A n C n ce) U (Ae n B n C) u (Ce n B n C) =
=(A n Be n C)U(/)U(Ac n Bn C) U(/)=
=(A n Be n C) U(Aen B n C) (2)
<'...-· ~>-
Hemos utilizado las alternativas de la definición de diferencia simétrica, la
distributivídad de la intersección respecto de la unión, una ley de De Morgan, la
conmutatividad de la intersección, la definición de conjuntos disjuntos y la neutralidad
del iJ> para la unión.
2.12. PRODUCTO CARTESIANO
2.12.1 Par ordenado
Dados dos elementos a y b interesa formar un con¡unto que dependa de dichos
elementos y del orden en que se consideran.
Definición
Par ordenado (a ,b) es el conjunto cuyos elementos son {a } y {a ,b}
(a , b) = { { a} , { a , b } }
a y b son la primera y la segunda componentes del par ordenado.
En particular se tiene
(a , a)= { { a} , {a,a } } =
)
a} J
Si a :F b, entonces (a, b) :F (b ,a)
romo ejercicio la siguiente propiedad: dos pares ordenados son iguales si y
5Ólo si tienen ws componentes respectivamente iguale!;,
2.12.2. Defmición Y-.
Proqucto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos son
todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y la segunda
a B.
En símbolos
A X B = {(a, b) Ja€ A A bE B}](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-32-320.jpg)
![L"
54 COlJUNTOS
En particular
A X A = A2
= { (a , b) /a E A 1 b E A}
Ejemplo 2·29.
) Producto cartesiano de A = { 1 , 2 , 3 } y B = { 1 , 2 }
A X B= { (I , 1), (1 , 2), (2 , 1), (2. 2) , (3 , 1) , (3 , 2)}
ii ) Por ser pares ordenados, los elementos del producto cartesiano de dos
conjuntos pueden representarse mediante puntos del plano cuya abscisa y
ordc&ada se~, respecli·arnentc~ !a prh-ncra y· Li ~gunda ;.;Oinpuncntc.
Q} )>
21 / ffi ffi ' AX B
B
2 3
A
t
11¡~
Los vértices de la cuadrícula obtenida son los elementos del producto cartesiano. 1
iii) El producto cartesiano no es conmutativo, pues
Ejemplo 2-30.
(3 , 1) € A X B y (3 , 1) f B X A =
=AXB:;é:BXA
Sean los intervalos cerrados de números reales
Entonces
[a , b] = { x € R la <.x <. b}
fc:dr:::{ j€ R 1f:<.y <.d}
[a,b]X [c,dJ={ (x,y}eR2
/a<.x<.b " c<.y<.d}
es el rectángulo cuyos lados son dichos intervalos.
i
l'RODUCTü CART""SlANO DF CONJUNTOS :;;-.
di~
el~
a b
Ejemplo 2·31.
Sean A= { x € R / ixi < l } y B=R
Entonces
AXB={(x,y}€R2
/-l<x<l "yt:R}
es la faja abierta de la figura
•
-l
/](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-33-320.jpg)
![f:O RELACIONES
Podemos avanzar un poco más y preguntamos por el conjunto cuyos elementos· son
las clases de :quivalencía: K 1 y K3.
Para demtarlo, podemos elegir un único elemento en cada clase de equivalencia,
digamos 1 y 3, con lo que queda caracterizado un conjunto de índices I ={1 , 3) ,
de modo tal que a cada elemento de éste le está asociada una clase de equivalencia. El
conjunto fornado por las clases de equivalencia se llama conjunto cociente de A por la
relación de e~uivalencia, y la notación es
~ = {K¡ ,K3 }
o bien, medi.mte el conjllnto de índices
A ' ·1
- = i K lue;-1'...... t, u ~ . f
Las clases de equivalencia constituyen una partición de A, en el sentido siguiente:
son no vacías, disjuntas de a pares, y su unión es A. Este concepto será precisado en los
párrafos siguEntes, y es un hecho común a toda relación de equivalencia definida en
un conjunto r:o vacío.
Ejemplo 1-l.A.
En el conJmto Z de los enteros introducímos la relacíón de congruencia módulo n.
mediante la s~uiente
Definición
Dos enüros son congruentes módulo n, si y sólo sin es divisor de su diferencia.
En símbolcs
a y b son congruentes módulo n ~ n 1a- b
Adelantánd•mos al hecho de que la congruencia es una relación de equivalencia
podemos escritir
a -b <:> n 1a - b (1)
Por defmición, el número natural n es diVisor del entero x si y sólo si éste es igual :JI
primero por unentero, es decir
n!x «-3 kelix=n.k
Especificam•>s ias siguientes propiedades de ía relación de dívJsor., que utilizaremos:
) S1 un número divide a un entero, divide al producto de éste por cualquier
entere.
nlx =:>njx.y
En efecto, por definición de divisor
n,x =~>-x= n.k =:>x.y=(n.k).y =~>x.y=n.(k.y) =:>
=~>n x.y
1
1l
CONJUNTO COCIENTE
ii) Si un número divide a otros dos, entonces divide a su suma o diferencia.
nlx A nty=~>-nlx±y
81
Demostración)
Aplicando la definición de diviwr a las dos proposiciones de la hipótesis, sumando
y restando en Z aplicando la distributividad del producto respecto de la suma y resta,
y la definición de divisor, tenemos ·
n 1x " n t y =~> x =n k A y= n k' =>-
=>x:ty=nk:!:nk' ~x±y"·'n(k:tk')"""
=> 11 X ±y
iíi) Si un número divide a un entero, entonces divide a su opuesto.
Es una consecuencia de la propiedad i ), ya que
1l 1X =:> n 1(-l). X ~ n 1-X
Retomamos ahora nuestro propósito de probar que (1) es una relación de
equivalencia.
a) Reflexividad.
Como n 1 O, se tiene
fa: a € Z =:> n 1a -a =>a -a
b) Simetría. Sean los enteros a y b tales que
a-b => n 1a- b = n 1-(a- b) = n 1b- a =~> b -a
por (l ), propíedad üij, por opuesto de a-by por(!)
e) Transitividad. Sean los enteros a, by e, tales que
a-b " b-e =nla-b A nlb-e =>nl(a-b)+(b-e) =
=nla-e =>a-e
de acuerdo con ( i ),'la propiedad íí ), reducción de términos, y i!),
Vamos a determinar las dases de equiValencia de los enteros. Sea a F Z: entono'"
~={· xeZ x-a·>)
Ahora traducimos la propiedad que define al conjunto K,.:
x-a => n 1x-a =~>x-a= n. k con k e Z ~
=> X ":a +Í1 • k con k € Z
Es decir, a Ka pertenecen todos los enteros del tipo a +n. k, donde a y n están
dados, y k recorre Z. En otras palabras, a Ka pertenecen las sumas de a con todos ]os](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-46-320.jpg)
![84
La nlación es
RELACIONES
k= O=>y=x
k=-1 =>y =x +3
k = 1 ::::> y = X -~ 3
k = 2 => y = x - 6 , etc.
R =- U { (x , y) e Z2
1y = x - 3 k }
I<EZ
3.8.3. ~artición de un conjunto no vacío
Sea11 dos ..:onjuntos A * q, e I * q; tales que, cualquiera que sea el elemento u e I,
existe m subconjunto Ku C A.
Definidón
El conjunto { Ku 1u el } es una partición de A si y sólo si
i ) V u : u e l => Ku =r: 4>
i. ) u ::f.•• = K., n Kv = t/>
i.i) Va € A , 3 u e l / a EK..
Los elementos Ku de la partición son subconjuntos no vacíos de A, y están
asociaws al conjunto de índices 1; además, elementos distintos del conjunto de índices
deteminan subconjuntos disjuntos de A; fmalmente, la condición üi) significa que la
unión ie los subconjuntos de A que son elementos de la participación, es A.
Ejemp'o J,J].
)Sea r una recta contenida en el plano a. El plano queda particionado en tres
subconjuntos K1 , K2 , K3 , siendo 1= { l, 2, 3} un conjunto de índices.
K¡
-,---·--·- ~
í 1
I
~'
~
.·./ •: '
•.:!
•3K.>
K•
,¡)las relaciones de equivalencia de los ejemplos 3-10 y 3-11 conducen a las
particiones indicadas en éstos.
ii::
f-
1
{
l
j
PART!CION Y EQUIVALH<U.
iií) Investigamos la partición asociada a la relación de equivalencia del ejemplo
3-8. En este caso, la relación está definida en R mediante
a~b ~ a-beZ
Sea aeR; entonces, por definición de clase de equivalencia
Ka'"'{xeR{x-a}
Ahora bien
x -a ~ x ·-·a € Z =* x ·-a =k con k € Z
Emonces a K,, pertenecen todos los reales del tipo
x "' a ..¡. k siendo k e Z
g5
Es decir, todos los elementos equivalentes a a, se obtienen sumando a a todos los
enteros. En consecuencia, si elegimos como conjunto de índices al intervalo semiabieno
1=[O , 1), la partición Res '
R - f K 1 rol'- , t• U€,,•¡
~ '
~K,:Z
~l=[O,l) K¡
l
3.8.4. Teorema fundamental de las n:blciones de equivalencia defmidas en un
conjunto no vacío.
Vamos a demostrar lo que ya hemos verificado a tra·:~s de ejemplos anteriore<;, a
saber. que toda relacion de equivalen!.ia definida ~n :m .:~>~iJUnto nc vad0 determim1
una particíón de éste en clases de equiValencia.
TEOREMA
Si .... es una relación de equivalencia definida en el coi!Junto A *rf>, entonces existe
un subconjunto 1 C A, tal que cualquiera que sea u en 1, existe K.. e A, de modo que
se verifican las siguientes proposiciones:
i ) U € l :o> Ku =1= 1/J
ii) a -a' ~a y a' pertenecen al mism~ Ku](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-48-320.jpg)
![lOO RELACIONES
3-36. En A = (- 1 , 1] se considera la relación
. R={(x,y)eA2
/x2
=y2
}
i ) Representar R.
ii ) Probar que es de equivalencia.
iü) Obtener la partición de A.
3-37, Sea R una relación definida en A.
Demostrar:
i ) R es simétrica => R -t es simétrica.
ü)R es transitiva :::o R -l es transitiva.
3·38. Sean R y R' dos relaciones transitivas en A.
Demostrar que R n R ·es transitiva.
3-39. Si R y R' son dos relaciones antisimétricas en A, entonces R n R' es antisi-
métrica.
3-40. Sean ..,...., una relación de equivalencia definida en A *ip y X e A. Por
definición, se llama saturado de X por Ja relación de equivalencia al conjunto de
los elementos de A que son equivalentes a los elementos de X.
la notaciáa es:
Demostrar:
i) XCX*
X* = { x e A1x ""Y , Yy e X}
ii ) (X UY)* = X* u Y*
3-41. Clasificar las siguientes relaciones det1nidas en ei conjunto de las rectas del
plano
i ) (a , b) eR ~ an b =1= 1/J
ii) (a , b) e R ~ a 1 b
342. Clasificar todas las relaciones del ejemplo 3·3.
J-/3, Clasificar la relación R defmida en R mediante
, (x , y le R * ix +y i :::. ~
.,3-44. En A :::::: { l , Z , 3 , 4 , 5 } se considera la relación de menor o ígual.
Determinar los elementos maximales y minimales.
_3:45. Definir por extensión la relación de divisor en el conjunto del ejercicio 3-44, X
obtener los elementos maximales y minimales.
j-46. Con relación al ejercicio 3-45, determinar una cota superior y una inferior del
subconjunto { 2 , 3 }
'.
1
¡
'
TRABAJO PRACTICO Ill
.' 3-47. En R, ordenado por la relación de menor o igual, se considera
A={x€R/x=¿ 1 neN}
101
Investigar si A tiene primero o último elemento, si está bien ordenado, y si
admite cotas, ínfnno o supremo.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-56-320.jpg)
![118
Resulta
FUNCIONES
!={CI ,a),(2,b),(3,d)}
g={(a, 5), (b, S), (e, S), (d, 6)}
g o { = { (1 , 5) , (2 , S) , (3 , 6)}
El diagrama correspondiente es
A B e
Debe notarse que no coexisten g o f y f o g, ya que en este caso el codominio deg
es C y el dominio de .fes A. Ambas composiciones existen si C C A.
Eiemplo 4-17.
Sean ahora las funciones
Entonces
{: R~R talque f(x)= 2x
g: R~R talque g(x)=x2
i ) g o f : R -+ R está deftnida por
(gof)(x)=g[f(x)]=g(2x)= (2x)2 =4x2
ii ) f o g . R .-.R está definí~a por
(/ og) (x) = f(g(x)] = f(x2 ) =2 x2
Ambas funciones compuestas, a pesar de tener el mismo dominio y codominio, son
distintas, por diferir en la ley de asignación.
· Definición X
Dos funciones f: A ~ B y g : A -+ B son iguales si y sólo si para todo x de A se
verificaf(x) = g(x).
Con relación al ejemplo se tiene: g o {=f=f o g.
r. ¡
¡
J
COMPOSICION DE FUNCIONES
4.6.2. Asociatividad de, la composición
Sean/: A-+B ,g: B-+Cyh: C-+D.
Entonces se verifica
(h o g) o f = h o (g o f)
119
Las dos composiciones son funciones de A en D, y se trata de probar la igualdad.
Interpretamos la situación en el siguiente diagrama
A
f ) 1 ~- i 1 .....~. ~ ,, .... 1 ..:..... ·- 1 i 1 .......
h {g [l(x)l)
hog
Con relación al primer miembro se tiene
/:A~B} => (h o g) o f: A -+ D
hog:B~D
Para el segundo miembro es
gof: A-+C}
=>ho(gof):A-+D
h: e -+D
Siendo (h o g) o f y h o (g o f) dos aplicaciones con el mismo dominio y codominio,
para probar la igualdad, de acuerdo con la defmición expuesta en 4.6.1., hay que
v~rificar la igualdad de..unágenes para todo elemento de A, dadas por dichas funciones.
Sea x e A; aplicando reiteradamente la definición de composición
(eho g) o f }x)= (h o g>(f(x))=h {g [f(x>l} (1)
Pqr otra parte
( h o (go n}x>= h((g o f) (x))= h {g [f(x)l} (2)
De (l) y (2) se deduce
( (h o g) o f)x)=(h o (g o f))<x) v x eA](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-65-320.jpg)
![12C FUNCIONES
Y por definición de igualdad de funciones resulta
(h og) of= h o (g of)
4.6.3. Composición de funciones inyectivas
Si f: A ~ Byg : B ~e son inyectivas, entonces g o f: A -+e es inyectiva.
De acuerdo con la definición de inyectividad 4.4. i ) debemos probar que si x' y x"
son elementos de A que tienen ia misma imagen por g "f. entoneesx •= x ·:
Sea pues (g ~ =ig .f)C¡:".I
Por definición de composición
g [f{x' )] =g [/(x" )j
Por ser g inyectiva resulta
f(x') =f(x")
ya que estos elementos de Btienen la misma imagen por g. Y por ser f inyectiva:
x'=.x''
Queda probado, así, que la composición de funciones inyectivas es inyectiva.
4.6.4. Composición de funciones sobreyectivas
Sif: A -+ B y g · B .-..C son sobreyectivas, entonces g o f: A -+ Ces sobreyectiva.
Según 4.4. ii ) hay que probar que para todo z e e existe X E A tal que
(g o j) (x) = :.
Por ser g: B~e sobreyectiva,
V'zee ,3yeB/g(y)=z
Ahora bien. dado y € B, por ser[: A~ B sobreyectiva,
3X€A/f(x)""Y
De :.quise dedu,;;e que
g rj tx)1""' g , y,= ::
Entonces. dado cualquier z € C', 3 x e A tal que (g o f) (x) =z. de acuerdo con la
definición de composición.
En consecuencia, la composición de funciones sobreyectivas es sobreyectiva.
4.6.5. Composición de funciones biyectivas
Si f : A -+ B y· g : B -. eson biyectivas, entonces la composición g o f: A ~ e
es biyectiva
Este enunciado es una consecuencia de 4.6.3. y 4.6.4.
t
FUNCIONES INVERSAS 121
Ejemplo 4-18.
En 4.6.3. se ha demostraqo que la composición de dos aplicaciones inyectivas es
ínyectiva. La inyectividad de la composición no implica la de cada función, pero sí la
de la primera. Es decir, si f: A -? B y g : B ~e son tales que g o f: A -?e es 1-1,
entonces/es inyectiva.
Sean x' y x" en A tales que f (x ') = f (x "). Hallando la imagen de este elemento de
B por g, se tiene
gff(x')] =g [f(x")J
ya que cada elemento del dominio B tiene imagen única en C, por definición de
función. Por definición de composición
(g o 1) (x ') = lK " f) (X •• }
y. por ser g o 1inyectiva, resulta x' =x ".
En consecuencia, fes inyectiva.
De modo análogo el lector puede demoatrar que si la composición de dos
aplicaciones es sobreyectiva, entonces la segunda es sobreyectiva.
4.7. FUNCIONES INVERSAS
Toda función f : A -4 B es una relación; cabe preguntarse si la relación inversa es
una función. En general, la respuesta es negativa, como se ve a través del ejemplo 4-2,
donde A = {- 1 , O , 1 , 2} , B = {O , 1 , 2 , 3 , 4} y f: A - B es tal que f(x) = x2
,
es decir
f -ít_1 !lO m 'I l) ("' 41}-,. ~,_¡¡", .... ,-,~., ... ~"-~
La inversa de esta relación es el subconjunto de B X A:
{o ,-I) ,(o ,o),(I, 1),(4. 2)}
Se ve claramente que esta relación no es una función de B en A, pues los elementos
- y 3 del eventual d~minio carecen de imágenes en A, y además no se cumple la
wndicíón de unicidad.. ya que 1 tiene dos correspondientes en A.
'Sea en cambio el síguiente caso A = ! . 2 . 3/ • B J . b , y
f == { (l . a) , (2 , e) , (3 , b)} una función de Aen B. La relación inversa es
g = {(a ,l) , (b , 3), (e , 2)}
es claramente una función de B en A, llamada función inversa de f. La composición
gof={(l, l),(2,2),(3,3)}=iA](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-66-320.jpg)
!['., FUNCIONES
f o g ={<a, a), (b, b), (e, e)}= iB
Definición ,
La función f: A ~ B admite inversa si y sólo si existe g : B ~A tal que g o f = iA
y f og = i8
Ejemplo 4-19.
La función f: R ~ R definida por f (x) = x + 2 admite inversa g : R ~ R tal que
g(x)=x-2,pues •
(g o!) (x) =g [f(x)J= g (x +2) = x + 2 - 2 = x = iR (x)
(f~g)(v)= ffg(x)] = f(x -2)= X- 2 i 2 '""":-: =;R (.i.)
según las definiciones de composición. de[, de g y de identidad. Por igualdad de
funciones resulta
• g o f = iR Y f o g = iR
La representación cartesiana de dos funciones inversas conduce a gráficos simétricos
re'>?ecto de la primera bisectriz:
la función f es biyectiva, como puede probarse fácilmente, y este hecho es
n.:.:esario y suficiente para que admita inversa.
4.7.l. Propiedad
Una función admite inversa si y sólo si es biyectiva.
f) Si una función admite inversa, entonces es biyectiva.
FUNCIONES INVERSAS
Hipótesis)/: A~ Bes tal que existe g: B ~A siendog o 'f = iA y f o g = iB
Tesis) fes biyectiva.
Demostración)
a) Vemos primero la inyectividad de[.
123
Sean x' y x" en A tales que f (x') =f (x" ). La imagen de este elemento de B por g es
g [f{x')] =g [f(x")l
Por defmición de composición, esto se traduce en
(g of) (x ') = (g o!) (x")
y s¡enüo por hipúrt:si~ g o f = i A, st: tierit:
(.,_ (x')= iA (x")
Es decir: x' = x '', lo que demuestra que fes 1 - 1
b) Demostramos ahora que fes sobreyectivá.
De acuerdo con la definición, debemos probar la verdad de la proposición sigu1ente
'<1 y € B , 3 x e A/ /(x) =y
Sea entonces cualquier elemento y e B; por definición de identidad en B se tiene
y = is (y) , y como por hipótesis is = f o g
se tiene
y=({og)(y)
Por definición de composición
y =flg(y)]
Es decir, a expensas de y e B, hemos determinado x =g (y) en A, tal quef (x) =y
Siendo /inyectiva y sobreyectiva resulta biyectiva.
ll) Si una función esC,iyectiva, entonces admite inversa.
Hipótesis) f: A ~Bes biyectiva.
Tesis) 3g:B~Atalquegof""íA y fog=iB.
Demostración) Necesitamos proceder en tres etapas.
a) Primero se trata de definir úna función g : B ~A, de modo que se verifiquen las
restantes proposiciones de la tesis.
En este sentido, defmimos
g: B ~A mediante g (y)= x si f{x) =y (l)
Tenemos que ver que (1) satisface la defmición de función. En efecto:
i ) Todo elemento y del dominio B tiene un correspondiente x en A, ya que, por
ser f sobreyectiva, todo y e B proviene de algún x e A.
.J](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-67-320.jpg)
![..,
,::iSJ--,'
124 FUNCIONES
ii) El correspondiente x asociado ay es único, por ser finyectiva;
En efecto, si x y x' fueran antecedentes distintos de y por f se tendría
x :f=x' f, f(x)=f(x')=y, lo que es absurdo por la inyectividad def
b) Hay que probar queg o[= iA,
Cualquiera que sea x en A se tiene, por definición de composición, por ( l), y por
definición de identidad en A
(g o [) (x) = g lf(X)j =g (Y) = X =ÍA (.:)
Entonces, por detlnidón de funciones iguales
gof=iA
e) Finalmente, demostramos que f o g"" is.
Como f o g : B -+B. para todo y e B, tenemos, por definición de composición, por
( 1) y por identidad en B
u~ g) (y)= j[g(y)] =f(x): y"' is (y)
Es decir
f og = is
4.7.3. Consecuencia
Si f : A -+ B es biyectiva, entonces la función g : B-+ A a que se refiere el teorema
anterior es única y, además, biyectiva.
Si existieran dos funciones g y g' que cumplieran las condiciones de 4.7.2. Ii) se
tendría
g' =g' o is =g' a ({og)= (g' o/)og= iA o g=g
por ser is neutro a derecha e igual a/o g, por asociatividad de la composición, por ser
g', l = iA. y porque íA es neutro a izquierda. En consecuencia. g es única.
l'vr otr:1 parte,. de acuerdo con 4.7.2. 1) se tiene esta situación: g : B......A es tal que
<?JS<e . A ..... B. ., g.,.,. ia yg : En consecuencia,g es biyectíva,
LJ func1ón g se il3m:.a !u !!1-r..·ersa óe
Ejemplo 4-20.
Se trata de probar que
f; R -+(- l , l) definida por
f (x) = 1 : lxl admite inversa.
De acuerd0 .: Jr el teorema anterior es suficiente probar que fes biyectiva.
·Previamentl', .tecesitamos precisar algunos conceptos relativos a la función valor
absoluto, y su nmexión cQn la función signo.
r-
..:
~~
FUNCIONES INVERSAS 125
i ) Función valor absoluto es la aplicación
1 1:R-+R; ( siendoR~==R+u{o})
defmida por
{
x si x~O
-x si x <O
lxl=
Su representación cartesiana consiste en el par de bisectrices del primero y segundo
.::uadrante. la función valor absoluto es sobreyectiva. pero no inyectiva
R~
~ 1/
ii ) Función "signo de x'' es la aplicación
sg : R-Z definida por
f lsix>O
sg (x) == < O si x = O
-1 si x <O
t.,
Esta fund.Jn ya fue graneada en el e¡empln _¡..:;
iii) Cualquiera que sea el número real x:, se cumple
XI =X. sg(x)
R
lo que es fácil de verificar teniendo en cuenta las definiciones de valor
absoluto y de signo dex. ·
Retomamos nuestro propósito inicial:
a) fes inyectiva.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-68-320.jpg)
![126 FUNCIONES
Sean x' y x" en A, tales que
{(x') = f(x")
x' J¡ x"
l+lx1 = t+lx'1 con sg (x') =sg (x")
•x'+x'lx"! =x"+x"lx'l y sg(x')=sg(x")
'x · ;- x ·. x •· sg (x ') = x .. -i- x ... x' sg x ') Por rii)
1J.
x'=.:t"
Osea: fes l- l.
b) fes sobreyectiva.
S¿a y € (- l , 1). Si 3 x e R 1f(x) =y, entonces debe ser
Operando
Es decir
X
1 + lxl = Y con sg(x) =sg(y)
x =y +y lxl Por (1)
'x=y +yxsg(x) Poriü)
~
x=y+xysg(y) Por(l)
~
x - x y sg (y) =y Por trasposición
~ ·-
X (l - lYI)=y Por distributividad y iü)
J'
. y .
X = 1_ IYI Pues 1 -¡y¡ >O ya que IYI < 1
y
f y € (- l ' 1)' 3 X= I=IYI
(l}
FUNCIONES INVERSAS
tal que
f(x)=f (-1-~yl)
y
- 1-lyl
- 1 + __Qj_
1-lyl
Esto prueba que f es sobreyectiva.
y
·1-IYI
1+ 1 1~lyl ¡·
y
1-lyl +l.vl
l2i
y
Por a) y b) resulta que fes biyectiva y en consecuencia admtte mversa. Lií invcísa
es
e) Verificamos que g o f =iu.
En efecto
r•: (-1 ,1)-+R talque
rl (x) = 1-xlxl'
f x € R: (g of)(x) =g [f(x)} =
_x_
- (- X ) l + lxl
- g l + lxl = l x l = x = ia (x)
1- - -
1l + lxll
d) Además,' f o g = Í(-1 ,1}
Pues
X€Í(-t,l)=> {{og){x)=f(g(:c)]=
X
=fel-xlxl) =
1-lxl
l.; 11 ~lxll
= i(-1,1) <-7>
=X=
Ejemplo 4-11.
La función{: A --. Bes inyectiva si y sólo si existe g: B --. A talque g a 1= iA
I) Hipótesis) f: A-+ Bes 1-1.
Tesis) 3 g: B-+A tal queg o/= iA.
Demostración) la función f no es necesariamente sobreyectiva. de modo que
eventualmente existen elementos del codominio sin preimagen en el dominio. Nos
ayudamos con el siguiente diagrama](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-69-320.jpg)
![·y·:::~~~ '~.:.."-, ....,.,___.......,
132 FUNCIONES
Definición
Imagen iwersa o preimagen del subconjunto A e Y, es el conjunto de los
elemento~ del dominio cuyas imágenes pertenecen a A.
La notación para indicar la preimagen de A por[, es r 1
(A) y no debe entenderse
que se indica la función inversa, la cual puede no existir, ya que nada se prefija acerca
def
En símbolos
¡-1
(A)={xeX!f(x)eAJ
Es claro qut
X e¡-1
(A) ~ f (x) € A
Es decir, un elemento del dominio pertenece a la preimagen de A si y sóio sí su
imagen pertene¡e a A.
Ejemplo 4-22.
Sea f: R -~oR definida por f(x) = x 2
•
Determirlamos las preimágenes de los siguientes subconjuntos del codominio
¡,. t!. L!l,!-1 1i ~..¡. 91
Se tien~-
i) ¡-1
(-oo,·-lJ={xeR /(X}€{-oo,-1)}
Ahora bien
•
/(x)e(-oc,-:1} ~x2
~-1 *>X€</J
Resulta
rl <-00 • - 11 =<~>
ü ) En el segundo caso
xer 1
(-1' 1]
~
f (x) € (- 1 ' 1}
~
x2 e(- 1, 1}
$
-1 <x2
~ 1
$
x2
~ l
~
lxl2
~ 1
$
-l~x~l
*X €{- 1, l}
PREIMAGENES
Por definición de preimagen
Por definición de f
Por definición de intervalo
Pues x2
> -· t , v x
Porque x2
= lx!2
Por ser lxl ~ 1
Por definición de intervalo cerrado
Entonces r• (- 1 , 1] = (- 1, 1)
üi) Se tiene
X €r1
(-1, 1)
$
/(x) e(- 1 , l)
*xze(-1,1)
t
<1
*Xi < Í
IJ
-l<x<l
~
X € (- 1 , 1)
Luego ¡-t (- 1 , 1) = (- 1 , 1)
133](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-72-320.jpg)
![l ;.!
;·")Finalmente
Entonces
FUN('IONES
xerl (4,9]
~
f(x)€[4,9]
~
x2
€[4, 9]
t
4<x2
<9
~
x2
;;;;. 4 1 x 2 ,¡¡;; 9
~
:.'tf ;;;¡. 2 , lxl ,¡¡;; 3
$
X € [-3,- 2) V X E [2, 3]
$
X € [- 3 , - 2] U {1, 3]
¡-t [4,9]=[-3,-2JU[2,3]
4.9.2 Propiedades de la preimagen
Sean f: X-. Y y los subconjuntos A e Y, Be Y
a) !..a preimagen de la llnión es igtJal a la unión de las preimágenes. ·
Se !rata de probar quef·c.-¡ (A U Bf;¡::.c('.A.)Jj:.t (B)
ttllizamos sucesivamente las definiciones de preimagen, de unión y de preimagen:
. ::.. xe¡-1
(AUB) ~t(x)eAUB ~-· . / . '
~ f (x) e A v f (x) eB ~
...,.xer' (,}V xer-l (B)'~
...,. x €.r1
<A) u r' m'
}
PROPIEDADES DE LAS PREIMAGENL S 135
b) La preimagen de la intersección es igual a la intersección de las preirnágenes, es
decir ..
¡-t (A n B) =r1
(A)n¡-t (B)
Razonando análogamente, se tiene
xe¡-1(ArlB) ~[(x)l.~.nB ~
' .*"f(x)eA A [(x)eB <=>
*" X e¡-1
(A) 1 x e¡-t (B) *"
*"X er1 (A) n¡-t (B)
e) La imagen inversa del complemento de un subconjunto del cüdominio é, igu..l.,l
complemento de su preimagen
En efecto
Ejemplo 4·23.
¡-1 (Ac)=if-t (A)r
x e¡-1
(Ae) ~ [(x) e Ae ~ f(x)tl A ~
~ -[f(x)eA] ~ -[xer1
(A)]~.
~ Xf¡-t (A) <=> X e(¡-1 (A)]c
l( 1
El conjunto n consiste en los posibles resultados que se obtienen al lanzar una
moneda, es decir
Se define f: n-+R mediante
En un diagrama. ta situación es
n
fl=tc,s}
[(e)= 1
f(s)= O
R](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-73-320.jpg)
![136 FUNCIONES
Determinar ¡-1
(-oo ,x] 'V X € R
Por definición de preímagen
Entonces
Ejemplo 4·24.
Sea una aplicaCión
Demostrar
rl (--ex>,XJ={wd1/f(w)~X}
~ cp síx<O
¡-1
(-=·.x]= ~ {s} si O~x< l
~ {e , ~} si l ~ x
f· A-+R
""'''i X €R: U F 1
(-·""·X- :::;-n] =r1 (-oo, x)
n = t
Para cada x E R, el primer miembro denota la unión de una sucesión de conjuntos
del dominio A. cuya identificación con la preirnagen de (-oo , x) debemos probar.
....
i) Sea 1Vf u rl (-oo, X- in]
n = 1
Por definición de unión, 3 m E N tal que
werl (-oo,x-2-m]
Por defmición de preimagen
f{w)o;;;x-rm (1)
Y como
O< 2-m (:!)
Sum:mdc ( 1: y _::¡
{;wl<x
es decir: f(w)e (-oc, x).
y por definición de preimagen resulta
we¡-1
(-oo,x)
Luego
lJ ¡-1
(-oo,x....:rn¡c¡-1 (-oo,x)
n = l
(3)
RESTRICCION Y EXTENSION 137
ii) Sea ahora
wer1
(-oo,x)
Por definición de preimagen
f(w)<x
Esdecir: x-[(w)>O
Y siendo x-f (w) un número real positivo ex~te m e N tal que
x-ftw):.;;. 2-m
Por trasposición de términos
f(w)o;;;x-2'"'
O sea
3m E N/ f{w) € (-oo, x-2-m]
Y por definición de preimagen
3meNJwe¡-1
(-"",x-· z-ml
Por definición de unión resulta
00
WE U ¡-t (-oo,x-2-n)
n = 1
Es decir
00
¡-1
(-oo,x)C U ¡-1 (-oo,x-2-"] (4)
n = 1
Las inclusiones (3) y (4) demuestran la igualdad propuesta.
4.10. RESTRICCION Y EXTENSION DE UNA FUNOON
.~ean f: X ~Y y A un subconjunto de X. Definimos la funcióng :A..,.Y mediante
la asignación g lx) = J{x) cualquio:!ra que sea x € A. Decimos que g es la restricción de la
¡¡ plicaciém f &1 subconjunte A. y la denotamos g ¡A.
Si g es la restncción d<; f al subc0njunto A, entoncesf: X-+ Y es una extensión de
la función g sobre el conjunto X. Es claro que la restricción de f: X-+ Y al
subconjunto A es única; mientras que, dada una función g: A-+Y, ésta admite más de
una extensión sobre el conjunto X que contiene a A. En efecto, sig : A-+ Y y A C X,
entonces podemos definir una extensión de g al conjunto X, de la siguiente manera, sea
Yo un elemento cualquiera de Y; defmimos:
{
g (x) si i: e A
f: X-+Y mediante f (x) =
y 0 si x eX-A](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-74-320.jpg)
![:Jf/IIIJI!Ii' .,._ ' "'·-----
TRABAJO PRACTICO IV
4·15. Dados A = { 1 , ::; . 3} y B = { O • l , :! , 3 , 8} definir por extensión la
función f: A -+ B, que asigna a cada elemento del dominio su cuadrado
disminuido en l. Representar y clasificar¡:
4-26. Siendo A = { - 2 , - l , 1 , 3} representar y clasificar la aplicación/ . A-+ Z.
tal que la imagen de cada elemento de A es el resto de su división por 3.
4-17. Por definición, parte entera de un número real x es el mayor entero que no
supera a x. Si e es la parte entera de x se verifica
e.;;;;x<e+l
Para denotar la pane entera del número real x. se usan las notaciones ent (x) o
[xl
Estudiar. representar y clasificar la función f: R- Z, definida por
f(x) = ent (x)
4-18. Representar y clasificar la función mantisa, que se denota por
mant: R-+R
y se define mediante mant (x) = x- ent (x)
4-19. Representar y clasificar las siguientes funciones:
i) /: R-+R talque {(x)=~-l
ii) f: R--+[1. oo) tal que {(x) =x2
+ 1
iii) f: Z --+Q definida por f(x) = x;
1
.4-JO. Sean A= { 1 •2 , 3) y B= { 2. , 3}
Repre>entar y clasificar f: AX B -+ Z definida por
1(a . b) =3 a- b
4-.JJ. Dados A= { 1 , 2, 3} y B= { 1 , 2, 3, 4} defmir por una tabla y clasificar
f: P(A) ~ P(B) tal que /(X)= 8- X
r
TRABAJO PRACTICO IV 13()
4·31. Definir aplicaciones no constantes, con los dominios y codorninios que se
indican:
i) t: Q~z
ii ) g : Z-+N (que sea biyectiva)
iii) h : R ~{O , 1}
4-33. Sean f : Z -+ N definida por f (x) = x2
, y los subconjuntos del dominio
A= { -l.-2,-3,4}y B= { 1,2,3,4}.
Verificar las propiedades de la imagen.
4-34. Se considera la función{: R1
-+R tal que f(x, y)= y.
Dar dos subconjuntos A y B del dominio. tales que B C A y f (A - B) :#=
=1= {(A)-f(B)
4-35. Proponer dos éonjuntos X e Y, una parte A C X y una función f: X~ Y tales
que
i) f(X-A)CY-/(A)
ii.) Y-{(A)C{{X-A)
iii) f(X- A) n [Y- {(A)]= tP
4·36. Sea f: R -+ R definida por f (x) = x2
+ l. Determinar las preimágenes de los
siguientes subconjuntos del codominio:
[- l , 1 ), (-o:>'~], [o' 3], [o, 3), [ l • lO]
4-37. Sea f: X -+Y. Demostrar la equivalencia de las siguientes proposiciones:
a) fes inyectiva.
b) V A, A C X .,.,_ ¡-t [!(A)]= A
4-38. Las funciones f :Z -+Q y g : Q -+ Z son tales que
x2
f(x)= 2 + 1 y g(x)=ent(x)
l
Definir g o f, f o g, y determinar (g o f) (- 2}, if" g) ( -2· ).
4-19. Las funciones f : A -+ B yg : B ~e son tales que g o fes sobreyectiva. Demostrar
que g es sobreyectiva. ·
4-40. Las fu_nciones f: A~ B. g : B ~e y h : C-+ D son tales que g o [y h o g son
biyectivas. Demostrar que t; g y h son biyectivas.
4-41. Lás funciones f : A -+ B, g : B -+ C y h : C -+A son tales que h o g o f y lo h o g
son sobreyectivas, mientras que g o f o h es inyectiva. Demostrar que f, g y h son
biyectivas. ·](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-75-320.jpg)
![140 FUC'lONES
4-42. Sean f: X--.. Y una función, y los subconjuntos A e X y B C Y. Demostrar las
siguientes relaciones:
a) A c¡-t [{(A)] e) {(X)- [(A) C{(X- A)
b)f[¡-1
(B)]CB d)¡-1
(Y-B)=X-¡-1 (B)
e) /(A n¡-1
(B)) =/(A) n B
443. Dado el subconjunto A e X definimos la aplicación
XA : X -4 R mediante
1 si X€A
XA (xl "·
si. xeX-A
XA se llama función característica del subconjunto A C X.
Verificar que para todo elemento x de un conjunto X se cumplen las siguientes
relaciones entre las funciones características de los subconjuntos de X:
i) X.t.na(x) = XA (x) Xa (x)
ü) X..~.uu(x) = XA (x) + XB (x)- XA (x). Xs (x)
4-44. Se considera la función 1 ; X2
- X2
definida por {(a' b) = (b. a)
DemostrM que f (; d =d, siendo d : X - X2
la función diagonal.
4-45.l..a función/: R ~R2
está definida por f(x) = (x, -x). Delllostrar:
i) /(x +y)=f(x)+f(y)
ü) f(k.x)=k.f(x), dondek€R
Nota: las condiciones i ) y ü ) confieren a f el carácter de función lineal.
4-46. Sea 1 um función arbitraria de un conjunto A en K Demostrar que para ·todo
número real x se verifica
00
n· ¡-1 (-oo,x+2-")=r1
(-oo,x)
n" 1
4-47. Sea A es un álgebra de Boole de subconjuntos de íZ, y P es una función de A en
R que satisface:
; 1 p ~ O cualquiera que sea A
ii ) p {rl) = ¡
iii) pc~t A;) = i~t p(A¡)
La aplicación P, que verifica las condiciones anteriores, se llama función de
probabilidad; los elementos del dominio son sucesos, y ~a imagen de cada uno de
ellos es su probabilidad.
Demostrar:
a) La probabilidad del vacío es igual a O.
1
i
t
TRABAJO l'RACTICO IV 141
b) La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a 1a suma de sus
probabilidades menos la probabilidad de su intersección.
e) La probabilidad del complemento de un suceso es igual a 1 menos la
probabilidad de dicho suceso.
148. Sean un álgebra de sucesos de Qy X una función de nen R. Demostrar que para
todox €R
x-1 (-oo,x)€A <*- x-1
(-oo,x}eA
4-49. En las mismas condiciones del ejercicio anterior demostrar
x-1 (~=.x]eA«> X-1
[x oo)€.4
4·5(1. fn el mtsmo caso. demostrar
x-• (-oo,x]eA «> X-1
(x,oo)e...t
4-51. Sea f: X-+Y. Demostrar la equivalencia de las siguientes proposiciones cuales·
quiera que sean A e X y B e X
i ) ¡-1
[/(A))= A
ii) f{AnB)=/(A)n[(B)
iii) A n B = q) ~/(A) nt(B} =q)
iv) Be A ~/(A- B) =/(A)-f'(B)
1;
!
h](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-76-320.jpg)
!['"',M·
yc::~--~~
}il
Jjemp/o 5-3.
-~:~~~~~~: . ~~?: );.~~~:;:_ -~~.:~11
LEYES DE COMPOSICION
Dado A = { t, 2, 3} se considera el conjunto T(A) cuyos elementos son todas las
::unciones biyectivas de A en A, es decir
T (A)={[¡: A ~ A 1/¡es biyectiva}
llo<os interesa ~finir en T(A) la composición de aplicaciones. que es obviamente una
J~y de composid6n interna: puesto que la composición de aplicaciones biyectivas de A
t'1 .- conduce a ;~pli.:aciones b1yectívas de A en A.
El conjunto 1{A) tiene 6 eiementos, que caracterizamos a trave:; de los ..:orr~spt>n·
;:..:ntes conjuntos imágenes de las aplicaciones
[¡ ={(1,1),(2,2),(3,3)}=iA
~~ :::1HJ.l),(2,3),(3,2)}
/3 ={(l '2),(2' 1) ,(3, 3)}
f4 ={(1.2},(2.3),(3, I)}
ls ={o ,3).(2, ]),(3, 2>}
16 ={o .3) .<2. 2),(3, n}
Para componer!2 con / 3 determinamos/ 3 o ! 2 mediante:
(f3 of.)(l)=f3 [fz {1})=[3 (1)=2
(/3 o !2)(2) = !3 [12 (2)] = ¡3 í3) =3
(/3 efz)(3)= l
Resulta así/3 o fz =[,;,.
El lector puede completar la tabla de la composición de las funciones biyectivas de
A en A. com<J en el caso del ejemplo 5-1.
5.3. PROPIEDADES Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS
DE LAS LEYES DE COMPOSICION lNIER..'iA
Se.a * una ley de composición interna en A, es decir. * : At -- A
5.3.1. Asociatividad
* : A
2
-~A es asoc.iativa ~(a* b) *e= a * (b *e) cualesquiera que sean a. li y e
en A.
5.3.2. Corunutatividad
* : A
2
-+A es conmutativa * a * b =b *a para todo par de elementos ay b de A..
PROPIEDADES Y LLEMlcNTOS l>ISliNGUIDOS 145
5.3.3. Existencia de elemento neutro
Cabe preguntarse si existe en el conjunto A un elemento e, que compuesto a
izquierda y a derecha con cualquiera otro no lo altere. Si un elemento tal existe se lo
llama neutro o identidad respecto de la ley * de acuerdo con la siguiente definición
e € A es neutro respecto de * * V a € A : a * e = e *a = a
5.3.4. Existencia de inversos en una ley con neutro
Sea * una ley mtema en A, con elemento neutro e. Dado ae A interesa investigar sJ
e:mre a'.- A, tal que compuesto a izquierda y a derecha con a de por resultado e. El
nemro es un elemento del conjunto relativo a todos. El inverso. si existe. es relativo a
cada elemento. Proponemos la siguiente ..iefiníción
a' e A es inverso de a EA respecto de* <*a* a'""' a'* a= e
Los elementos de A que admiten inversos respecto de * se llaman inversibles.
Ejemplo 5-4.
i ) La adición es una ley interna en N, conmutativa y asociativa.
ü ) La adición es ley interna en Z, asociativa, conmutativa, con neutro O, y con
inverso aditivo para cada entero.
iii) En R la multiplicación es ley interna, asociativa, conmutativa, con neutro l,
y con inverso multiplicativo para cada elemento no nulo.
iv} En el conjunto T{A) del eJemplo 5-3, la composición de aplicaciones es ley
interna, asociativa (la composición de funciones es asociativa), con neutro
[ 1 =iA, y con inverso para cada elemento. Estas propiedades son verificables
sencillamente mediante la tabla de la composición.
5.3.5. Unicidad del neutro
Si exis.te neutro en A respecto de*· entonces es ünico,
:;upvngamcs qu~ ;> y e· son neutros respecto de e~<; entonces. por ser e neutro y por
serlo e·. se tiene
e'=e'•e=e*e':;:;;;e
5.3.6. Unicidad del inverso respecto de una ley asociativa
Si un elemento a e A admite inverso respecto de la ley asociativa*, entonces dicho
inverso es único.
Supongamos que a' y a" son inversos de a. Aplicando consecutivamente la defini·](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-78-320.jpg)
!["•::·";;:·~o·'.!Z!l9'5Hc_c_-_,___
148 LEYES DE COMPOSICfON
i ) El prodUcto es ley interna en A, o equivalentemente, A es cerrado para el
produc1o. En efecto, sean
a=af-b..j2eA r (1=c+d...(2EA =*
=*a. 3=(a+ b..;2). (e +d...{2) = (ac +2bd) +(ad +be) ..JI
y comea, b, e, de Q, resulta a. {J t: A.
ii) El producto en A es asociativo, por ser A un subconjunto de R, donde se sabe
que la ~mltiplicación es ley asociativa. Debe quedar claro que las igualdades
que se verifican para todos los elementos de un conjunto se siguen
cumpli~ndo en cualquier subconjunto de el. Sólo <!s preciso probar las
propiedades relativas a ia existencia.
iii) Por lasrazones expuestas en ii ), el producto en A es conmutativo
'Vrx'VJ)eA:a.J3=1La
iv) Neutrc es e= 1 +O, ..;2, pues
(a+ bv'2H1 +0...(2) =a+ b V2
O tien, si existe neutro en A debe ser del tipo e= x +y ,/2, tal que para todo
a "" a+ b Yldebe cumplirse
(a +b ..J2). (x +y v'z) =a+ b y'2 (1)
con .x ey a determinar. Efectuando operaciones:
(ax + 2 by) +<r+ay).../2 =a+ b v2
(") { ax +2by =a
- bx+ ay=b
Sia = b = O(1)se cumple obviamente. Supongamos entonces que a y b no son
simultáneamente nulos y utilicemos el método de Crámer para resolver (2)
11 2b ~ _., b'l =fo o~-~~ '""'d -u- ¡, u
son ~nteros no simultáneamente nulos por lo supuesto.
a
b.x =
b
b.y =1:·
1b:
/ ""'a2 - 2 b2
ill
a 1
1 =ab-ab=O
b 1
puesa b
PROPIEDADES Y FUéMENTOS DISTINGUIDOS t49
Entonces b.x ·· óy
x:::;:--=l,v=--=0
11 - 6.
Es decir, existe e = l + O ..,!2.-
v)1 odo real no nulo admite inverso multiplicativo. Se trata de ver aquí que si
a= a +b .J2i= O.+ O... ..,fí,entonces su recíproco pertenece a A. Si existe será
del tipo x +y ..J2 tal que
(x +y .J2). (a+ b .Ji>= l + o.J}.
lJ
(ax +2bt·l+(bx+u~·¡ -""" l +O
ax +:::
<
1).
=1
( bx 'T'OV =0
• lJ.
1 2 b 1 1a
l:ó.:-.:= ll:a b.v=
' o a! '- lbot.= a2
- 2 b1
#O
Es decir
a -b
x = a1 - 2b2 • Y= a2 - 2 b2
y resulta ál _ a _ __b_._ .J~
- a2 - 2 b2 a2 - 2 b2 ~ -
=-b
vi) En cuanto a la ley de simplificación, todo elemento no nulo de A es regular,
pues si a 'i= O y a ~ = a 'Y , entonces
o:/3-a"f=Ü
=* a (¡3- "/)=O
=P-'Y""'o =*13=-r
Ejemplo 5-8.
Sea R"xm el conjunto de las matrices reales den filas y m columnas.
Definimos la adición d~ matrices en Rnxm mediante
A + B ""'[aii j + [b¡¡l ~ C tal que('¡¡ = a,1 +-bu >ti 'ii
Es Je~;¡r, dos m:Hr~<..:..:s n X m Se ~um;m demenw .1 t:k:menh:. R~uita daro qu10 es-
ta definición caracterizá" una ley de composidón interna en R" "m. qu! v,;rifica las
siguientes propiedades:
i ) Asociatividad. Basándonos en la asocíatividad de la adición en R
(A+ B) + C: ({a¡¡)+ [b¡¡]) +[c1¡] =
=[au +b¡¡] +[e¡¡]= [(aii .+bu)+ e¡¡}=
=(a¡¡+ (b¡j +c¡j)J = [aiiJ + [b¡¡ +C¡¡J =
=fa¡¡]+ ([ó;¡} + [c;¡l) =A+ (B + C)](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-80-320.jpg)
![l5U LEYES DE COMI'OSICION
ii ).Conmutatividad. Con el mismo criterio anterior.
A+ B = [aiiJ + [bii]= [ai¡ + b;¡] =
= [b¡¡ +a¡¡)::;; [b¡¡] +[a¡¡]= B +A
Hemos utilizado, sucesivamente, la definición de adición de matrices, la conmutati-
vidad de la suma en R, y nuevamente la defmición de adición de matrices.
iii) Elemento neutro es la matriz nula N € Rn xm definida por nu = O, Vi Vj,
pues cualquiera que sea A en dicho conjunto
A+N=N+A=A
iv} !nversa adithr: de toda matriz A eRnxm es la matr.z Be Rnxm defi.n!d!l por
bu=- a¡¡ "i (i ;j), pues
A+B=B+A=N
La matriz B, inversa aditiva de A, se llama opuesta de A, y se denota por- A
v) Toda matriz n X m es regular respecto de la adición. En efecto
A + B = A + C , y sumando -A
-A +(A + Bi =-A +(A+ C)
asociando (-A+ A)+ B =(-A+ A}+ C
por iv) N+B=N+C
y por iii) B=C
5.3.8. Distributividad de una ley de composición
interna respecto de otra
Consideremos el caso de dos leyes de composición interna "•" y "o", definidas en
un mismo conjunto A. Interesa caracterizar el comportamiento relativo de dichas leyes
internas en el sentido de obtener elementos del tipo (a * b) o e, o bien (a o b) *c.
Definición
..o" es distributiva a derecha ~especto de"*" si y sólo si
(a * b) o e= (a o e)* (b o e}
para toda terna de elementos a, by e en A.
La distríbutividad a izquierda de "o" respecto de--~" queda definida por
a, b, e é A => e o (a* b) =(e o a)* (e o b)
Se dice que "o"' es distributiva respecto de * si y sólo si lo es a izquierda y a
d.:recha.
Análogamente se define la distributividad de "*" respecto de
!lotio .. ~
o
HOMOMORFISMOS 151
Ejemplo 5·9.
) La adición y multiplicaciÓn son leyes de composición interna en R, y la
segunda es distributiva respecto de la primera. Pero la adición no lo es
respecto de la multiplicación.
ii) En el conjunto N la potenciación no es distributiva respecto de la adición.
Aquí se define
a * b = an y se tiene (a + bt =1= an + bn.
Tampoco existe distributivídad a izquierda, pues
,l•"'':>)=izrza +ni>
íii) Pero la potenctación en N es distributiva a derecha, respecto de la
multiplicación, ya que
(a. bt =an'. bn
Sin embargo, no lo es a izquierda, pues
rzla. bi =1= rza . nb
iv) En P (U) la unión e intersección son leyes de composición interna, y cada una
es distributiva respecto de la otra.
v ) En P (U) se consideran la diferencia simétrica y la intersección. En el ejemplo
2-28 se ha probado la distríbutivídad de la intersección respecto de aquélla.
5.4. HOMOMORFISMOS ENTRE CONJUNTOS
Sean (R, +) y (R+, . ), donde R es el conjunto de los reales, R +el conjunto de los
reales positivos y las operaciones indicadas son la suma y el producto usuales.
Consideremos ahora•ta función
f: R ~ R+
defmida por /(x) = 2"' (l).
Se tiene entonces
f(x +y).= 2x+:v = 2"'.. 2Y =f(x) .f(y)
Basándonos en la definición ( 1), el producto de potencias de igual base, y utilizando
de nuevo la definición ( 1), hemos probado que la imagen de la suma !!n R es igual al
producto de las imágenes en R".
Una aplicación/. que satisface esta propiedad, se dice un homomorfismo de R en R +
respecto de las correspondientes leyes de composición interna.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-81-320.jpg)
![J:>6 LFYES DE COMPOS!CION
Ahera bien, por definición de aplicación canónica, r.p (x * y) € ~ , es· decir,
r.p(x *y)= Kw (2).
De este modo, a partir de dos clases Ku y Kv hemos obtenido una clase resultante
Kw. Para que esta asignación sea una ley de composición intema en ~ hay que
demostrar que Kw depende exclusivamente de Ku y Kv, y no de la elección de sus
preimágenes en A. En efecto, seanx' ey' en A, tales que <¡O(x')= K... y!p(y')=Kv (3).
Entonces, por (1) y (3) se tiene
r.p(x)~p(x) y ;,p (y')= =:ox'-x ._..,J" X;* y' "'X* y
por la hipótesis de !a compatibilidad; y por la defmición de aplicación canónica resulta
r.p lx' *y')= r.p (x *y)= Kw. con lo que nuestro propósíto queda satisfecho.
Defmimos ahora
A A A di t*' : - X - - - me an e
....... ........... ·-
Ku *'K,= r.p(x) *' r.p(y) = r.p(x *y)= Kw
Esta defmición es la traducción de lo anterior, y además queda establecido el hecho
de que la aplicación canónica es un homomorfismo de A en ~ respecto de *y •'.
·ü) Veamos ahora que esta ley de composición interna •' es única, con la
condición de que la aplicación canónica sea un homomorfismo. Para ello,
supongamos que además existe *" en ~ , con dicha condición. Entonces
Ku *" Kc =.p(x) *" .p(y) =.p(x *y)= .p(x) *'.,o{y)= Ku *' Ku
Es decir:*''= •' por defmiciónde igualdad de funciones.
ili) Además de la existencia y unicidad de la ley *', inducida en A por la relación
de equivalencia compatible con *, veamos que las propiedades de * en A se
verifican para*' en~.
Jí ;~S>.l..:!;HiviJad. Supong:1mos qu~~ == se3 as0~iatlva eh A~ En~once~
(Ku *' Kt,) *' Kw = [!.o(x} *' r.p( y)]*' r.p(::) = .p(x *y)*' ¡p(::) =
== .p[(x *y)* z) = ¡p[x *(y* z)] = y:J{;<) *' 1/'(Y * :) =
= .p(x) *' [r.p(y) *' r.p(z)] =Ku *'(Kv *' Kw)
b) Corunutatividad. Si* e~corunutativa, •' también lo es. En efecto
Ku *'K•. = ~(x) *' ¡p(y) ='{)(X *y)= <.p(y *x) =<.p (y)*' '{)(x) =
=Kv*' Ku
j
Cü:li.'ATUliLIDAD 157
e) Existencia de neutro. Si e € A es neutro, entonces .p(e) == Ke es neutro en
A
Sea Ku *' Ke = tp(x) *' ..p(e) = r.p(x *e)= ¡p(x) = Ku
Y análogamente se verifica Ke *' Ku = Ku.
d) Existencia de inversos. Supongamos que x' sea inverso de x respecto de *·
Entonces las correspondientes clases K.. · y K., son inversas respecto de *',
pues K,.. *'K,..·= ..p(x) *' .p(x') = ..p (x * x') = ¡p (e)= Ke
se tiene K" *' K. :::: K,..
Ejemplo 5-15.
Consideremos en l la adición y la multiplicación. Sabemos qJe la congruencia
módulo n es compatible con estas leyes internas, de acuerdo con les ejemplos 5-l: y
5-13. Fijemos en particular n = 3; el conjunto cociente es ahora el de las clases de
restos módulo 3, es decir, Z3 = {O, [ 2} '
De acuerdo con el teorema fundamental de compatibilidad, existen en z, sendas
leyes de composición interna, únicas, tales que la aplicación canónica ..p: Z -+Z3 es un
homomorfismo. Las leyes inducidas se llaman, respectivamente, Sl.lma y producto de
clases, que simbolizamos con Ell y 0. Las tablas de estas leyes internas en el conjunto de
las clases son ·
:·,~~~ ;¡:~~
~ }~~ ~ ¡g~f
La construcción de éstas se basa en el teorema fundamental; por ejemplo
J·l'=~.p(l)Ell.p(2)=
~c;2""'-"t2lO::..pc~¡=
+:!)=.p(3)-= ""o
. 2¡ "" ;p(-í i ;pi! ) ;o; !
En la practica, dadas dos clases, se suman SU$ preimigenes <!n l (u bten se
multiplican, según sea el caso); la suma obtenida se divide por 3, y se propone como
resultado en Z3 la clase correspondiente al resto de la división. El esquema que
proporciona la validez de este mecanismo consiste en la aplicación del teorema
anterior.
Ejemplo 5-16.
Con análogo criterio construimos las tablas de adición y multiplicación de las cla&es
de restos módulo 4, y obtenemos](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-84-320.jpg)
![l>i I.EH.S DE COMPOSlClON
+ o 1 2 3 o 1 2 3
o o 1 2 3 o oo o o
T T 2 3 o T o 1 2 3-
2 23oT 2 o2 o2
3 3 o T 2 3 o 3 2 r
Nos decidimos por denotar con los símbolos + y . la suma y el producto de clases, y
nos interesa caracterizar las propiedades de estas operaciones en z3 y en z4. De
acuerdo con el teorema fundamental, toda propiedad de la suma en Z se trasfiere a la
~uma en Z3 y Z4 y lo mismo ocurre con el producto. Sabiendo entonces que la adición
"'li,. ~'lnnHit•lfÍ'*1 1 "l!('t"'tf"';'ltlu<" on 7 tnrnh;tin ln 3~ ln rnr-n,. .ln ,,}"C'-"'" u !"'!._,..~ ... ¡.,.,,, 1111.n
-~ ... ~c""•'"'"-'-"'-Wa.o.•o,.¡ J w.~;..,r;...¡;..,,._¡.,w. wa¡ -..~ :;;,.i..¡¡;ua-i¡ """' ..,...:;, ~.,;¡, ~U.i.ii..O.. ,...;.;, ;,.¡.,¡,:¡;,...;¡.'1 )" i&ú'lo.i~ i•u.j '1""~
demostrar. Además, corr.o O es neutro para la adición en Z. resulta Oneutro para la
suma en Z3 y Z4 . Por otra parte, como todo entero tiene inverso aditivo, la misma
situación se presenta con toda clase de Z3 y de Z4 • La multiplicación en Z es
conmutativa, asociativa y con neutro igual a l; en consecuencia, lo mismo ocurre para
la multiplicación en Z3 y Z4 , siendo el neutro T. Avanzando un poco más en la
interpretaci<Sn del teorema fundamental, se dice que toda propiedad de * en A, se
tr.:~sfiere a *' en A; pero el teorema no establece que si una propiedad no se cumple en
A entonces no se cumple en~. Veamos esto a la luz de los dos ejemplos 5-15 y 5-16.
Se sabe que, en Z, eler.tentos no nulos dan producto no nulo, o lo que es lo mismo: si
el producto de dos factores es cero, entonces alguno de los dos es cero. Esto se traduce
diciendo que en Z no existen divisores de cero. Pero, por lo anterior, si en Z no existen
divisores de cero no se deduce que no existan en el cociente. En efecto, basta analizar
la tabla de la multiplicación de clases para ver 1a existencia de divisores de cero en Z4 ,
ya que 2.2 =O. Es decir, existen elementos no nulos que dan producto nulo. En
cambio es fácil constatar que en Z3 no existen divisores de cero. Más adelante
demostraremos que para la no existencia de divisores de cero es condición necesaria y
suficiente que el módulo de la congruencia sea primo.
S.ó. LEY DE COMPOSICION EXTERNA
Se presenta a menudo la necesidad de operar con elementos de dc{; conjuntos, de
mudo que ·la composición sea un elemento de uno de ellos. Esta situación es una de
las características de la estructura de espacio vectorial.
Sean dos conjuntos A y U este último llamado de operadores.
DYfinición
Una ley de composición externa definida en A, con operadores de Q, es toda
función de .Q X A en A.
LFY DE COMPOS!CION EXT!R'A !59
Usualmente, una ley de composición externa en A con operadores en Q se denota
mediante ".", y suele llamarse producto de operadores de U por elementos de A.
En símbolos se tiene
"." es ley externa en A con operadores en ,Q .,. . : U X A-+A
Mediante esta función, la imagen del par (a:; a) se escribe a:. a.
Ejemplo 5-17.
Si A es el conjunto de los segmentos contenidos en un plano y N es el conjunto de
los números naturales, una ley de composición externa en A con operadores o escalares
en N es el producto de números naturales por segmentos del plano.
Ejemplo 5·18.
Sean R2 y Q. Definimos producto de números racionales por pares ordenados de
números reales, mediante
a . (a , b) =(a: ..fl , a: . b)
La igualdad anterior determina una ley de composición externa en R
1
con
operadores en Q. Notamos aquí que el mismo signo "." aparece en la defmición
anterior con dos significados distintos: en el primer miembro se trata del producto de
racionales por pares ordenados de reales, y en el segundo miembro consiste en el
producto de racionales pór reales.
En particular, si el conjunto A se identifica con U, la ley externa se vuelve interna.
Ejemplo 5·19.
Consideremos ahora Rnxm y R. Vamos a definir una ley de composición externa en
Rnxm con escalares u operadores reales, mediante
cx. A= ex. [a¡¡ l =[ex. aíi] cualesquiera que sean ex e R y A e Rnxm
Se tiene así el producto de números reales por matrices n X m, y se realiza
multiplicando cada elemento de la matriz por el número real.
Ejemplo 5·20.
Si R [X) denota el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales. y el
conjunto de operadores es R. entonces el producto usual de números reales por
polinomios es una ley de composición externa en R [X] con escalares en R.
Pero si el conjunto de operadores es el de los números complejos, el producto usual
de complejos por polinomios de R [X] no es una ley de composición externa, pues .
dicho producto no es siempre un polinomio real.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-85-320.jpg)
!['~~~~~~~~~~~~~~-~-~··f'Jj~~f''W!ftrn;"i(Jíi't*dfM§:'', :~""~N#>'~.,.~·~··---
TRABAJO PRACTICO V
5·21. En Z se define * por medio de a * b"" :{a f.
existencia de eiementos distinguidos.
Estudi:~r las propiedades y la
....
5·22. Demostrar que si existe elemento neutro respecto de una ley de composición
interna. entonces es único.
5-23. Formar la tabla de la composición de aplicaciones biyectivas de A = { l , 2 , 3}
en sí mismo.
5·24. Demostrar que el inverso dei inverso de un elemento, si existe. se identifica con
dicho elemento.
5-25. Demostrar que si a y b admiten inversos respecto de una ley asociativa, entonces
se verifica
(a * b)' = b ' * a'
5·26. Estudiar las propiedades de * : Z2
"4 Z tal que a* b =a + b +.+.
5-27. Determinar si la congruencia módulo 2 es compatible con *• en el caso del
ejercicio anterior.
5-18. Analizar las propiedades y elementos distinguidos de * : R1
~ R definida por
a* b ==0.
5·!9. Re:t!izar¡ol mismoanalisiscun reladón a l. Q* X Q*....,..Q*.tal que:.: l -=
~iendo Q* = Q - j-
•.
5-30. En R se considera la ley de composición interna * que asigna a cada par
ordenado de reales el mínimo de íos dos. Estu~~r sus propiedades.
5·3J. El conjunto R1
, donde f es el intervalo cerrado [O • 1], consiste en todas las
funciones de I en R, es decir
R1
={!/ f : 1 -- R }
En R1 se define la suma de funciones mediante (!+g) (x) = f (x) +g (x)
para todo x eI. Estudi¡lC las propiedades de esta ley interna.
E
TRABAJO PRACTKü V 161
5-32. Confeccionar la tabla de la composición de funciones del conjunto s•, donde
S ={a, b}.
5-33. La función[: R2
-;.Res una ley interna en R definida porf(a. b) =a+ b2.
Verificar que no es asociativa ni conmutativa, ni admite neutro.
5·34. Se sabe que * es una ley de composición interna en A, que satisface
V a, V b, V e, Vd: {a* b) *(e* d)"" {a* e)* (b * d)
Demostrar que * es asociativa y conmutativa, si existe neutro.
5-:J5. En Q* se define * tal que a " b "" 3 a!:-. Verificar que* es asociativa, con neutro,
¡;onmutativa. y además todos ios elementos son inversibles.
5-ló. En R1
se detine el producto de funciones por medio de (f. g) IX)= f (x 1. g IX 1
cualquiera que sea x € l. Demonrar a asociatividad, conmutativídad, exístenci:1
de neutro, y la distributividad respecto de la suma de funciones definida en el
ejercicio 5-31.
5-li. * es· una ley de composición externa en C con escalares reales. es decir:
* : R X e ..,. e tal que a * : ""a . Z, Verit1car las siguientes proph:dades:
i ) a * (b * z) ={a . b) *:
ii) (a+ b) *::=(a* z) +(b *z)
iii) a•(z .¡...w)=(a*z)+(anu)
5·38. Se consideran R + con el producto y R con la suma. Probar que la función
f: R.,. ,.. R, tal que f (x) = log2 x, es un morfismo biyectivo.
5-39. Demostrar que la aplicación { · Z...,. {- 1 , O , 1} es un morfismo respecto del
·- j
producto en ambos conjuntos, siendo f(x) = sg (x).
5-40. En N se definen las leyes de composición interna * y o mediante
x •y=x
X>)-'=x+y
lmresugar las distributividades de *respecto de~.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-86-320.jpg)
![Capítulo 6
COORDINABILIDAD. INDUCCION COMPLETA.
COMBINATORIA
6.1. INTRODUCCION
En esta sección se propone al lector el estudio de la relación de coordinabilidad o
~qUipotencia entre conjuntos, sobre la base de un tratamiento funcional, y se
introduce como derivación natural el concepto de número cardinal de un conjunto.
PJr es¡a via se define el número natural, pero el estudio de las operaciones y
t'rJpiedades se desarrollará sobre la base del sistema axiomático de Peana, en el
~~pitulo siguiente. En conexión con N, se da el principio de inducción completa con
v¡stas a la demostración de propiedades en las que todo estudiante de un curso básico
Jebe ejerdtarse. Asimismo, se trata un tema de vastas aplicaciones en matemática
~>emental y en Probabilidades: tal es el caso de la combinatoria simple y con
repetición. lo que se reduce, en última instancia. a la no fácil tarea de saber contar los
<-'Íementos de un conjunto.
6.2. CONJUNTOS COORDINARLES O EQUIPOTENTES
6.2.1. Concepto
Sea U un conjunto. En P (lJ) definimos la siguiente relación: "dos elementos de
PtU), es decir, dos subconjuntos de U, son coordinables si y sólo si existe una
biyección del primero en el segundo".
Simbólicamente ,_
A - B "7' 3 f : A ~ B 1f es biyectiva
Esta relación satisface
) R('j]exividad. Todo conjunto es coordinable a sí mismo.
Sea A EP (ü). Como existe
; A : A --""A , y es biyectiva~ por (I) resulta ·A-A.
(1)
1·11, íiWl'- ISILlll D
'""
ií) Simetría. Si un conjunto es co01dinabk a otro, entonces éste es coordinablc
al primero.
Sea A -B. Entonces :1 f: A --"" B /fes biyectiva.
Por 4.7.2. II), sabemos que f admite inversa, es decir
3[-1 :_B-A//-1
esbiyectiva,
lo que significa, por ( 1), que B-A.
iii) Transitividad. Si un conjunto es coordinable a otro, y éste es coordinable
con un tercero, entonces el primero es coordinable con el tercero.
Se trata de probar
Demostración)
A -B y B -C = A -C
A -B "' B -C
lt
3 {: A- B ,,, g : B ~ C !f y g son bíyectivas.
Ji
Por hipótesis
Por (1)
3 g ~ f: A .....e! g o f es biyecúva. Porque la composición de funciones
biyectivas es biyectiva. según 4.6.5.
tic
A-C Por ( 1)
Ahora bien, de acuerdo con el teorema fundamental de las relaciones de
equivalencia, existe una partición de P (U) en clases de equivalencia, las cuales reciben
e~ nombre de números cardinales de los subconjuntos de U.
Definición
Número cardinal del subconjunto A C U, es la totalidad de los subconjuntos de
U que son coottlinables aA.
En símbolos
e(A)= {X E P(ü)! X -A}
Se tiene
e(A)=c(B) <* A-B
En particular e (1/J) =O. es decir, denotamos con Oel número cardinal del conjunto
vacío.
Si a€' U, entonces e({a} ) =l. .
Si a y b E U. entonces e( {a . b }) = 2.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-87-320.jpg)
![í ; ;~ COORDINAB!UDAIJ. INDUCCION COMPLI:I A. COM3INATORIA
6.7.2. Propiedades de los números combinatorios
Si dos números c0mbinatorios de igual numerador son tales que la suma de sus
denominadores coincide con aquél, se llaman números combinatorios de órdenes
. . í7) (Tcomplementanos. Por ejemplol
3
-" y ,
4
).
) Dos números combir.atorios de órdenes complementarios son iguales
,;-n") n!
(~ k , = )e! (n - k)!
n! ·' n
::-: ..... =l k'n- _.
ii ) La suma de dos números combinatorios no es, en general, un número
combinatorio: pero si tien+?r. ig~la! numerador y den0miP.adores On~ecu!ivo~
vale la fórmula
En efecto
·n- 1
l,k-1) +
- l
k
~·· n ~,
1_ k)
(~- I') + (n~ l),k-L. , k_,
(n -- 1)! + (n - 1)!
. k! (n - 1 -k)!(k- l)! [(n- 1)- 0: - l )]!
(n- l)!
!k-l)! (n-k)!
. (n - l)!
'"!- k!{n-k~l)!
k(n-1)! + (n-k) {n-lt
k (k-1)! (n-íc)! k! (n-k) (n-k-l)!
= .!.__0___-::__11!_ + ~~~---=Jl.. =
k! (n-k)! k! (n-k)!
k(n-1)! +(n-k)(n-l)! _ (n-1)! (/(+n-1/)
---~F(n-=--ly---~-- - ---~c-!--{ñ-= k)! __ _
n (n - l )!
k! (n-k)!
Ejemplo 6-13.
n! . rn··,
IC'(n- k)! =tk_)
) Formarnos el ..triángulo" de Pascal
(o¡
O.J
(~] (!)
(~, '~) (~)- J 1- ..,_o_.. ,_J./ ,.:!
(3) ~"3' - (3 ' (3
o_~ 1
:, 1) 2) .3)
NUME!,OS COMBINAl'ORiüS ¡7')
Los elementos extremos de cada fíla valen 1, y cada número combinatorio restante
de acuerdo con la propiedad ii ), es la suma de los dos que figuran sobre éL
Ü) Probar
(_m ·) = (m -- 1)·+ (m -- 2 ) + ... ( 11 l + Í n- l )
._n_, n-1 ,n-J_- n--·1./ ll-1/
Es decir
r-m) _m-~""l(m-i··
1t. n .J - ;;"I ·. n - 1_}
. nli··~nri" rPitPr:Jclaml'nte la nrnniedad ii se tiene. ~r -·-""'·''""""'- .· . - , -- -------- .. -- ·- ... ..
-~m ·-m - l' '"m- 1 ·m- l -m~.:
1 1=1 l-t--1 1--=l
' ~
;¡¡-_ ¡,
n ~· ,, n - 1 n __. n - 1 , _n - L fl
·'m - 1 ' i-m - 2· /m - 3 ·.~-.-m - 3
=t 1+1 1+1 ,,, , 1=
n - l j , n - L ·.. n - l_; 11 _
• a • • • • • ~ ~ • • ' • • ~ • • o • • • • • • o • • • • • • • • • • • • •
==en-l'l+(m-2¡+'m-3l+· .. +'- n )+In l=
, n- L . n- l.' t_ 11- L' t n- L ·. n,·
l
·m-1'
1
.tm-2' 1
,
1
'm""'-3·
1
. . ·· n '-
1
.
1
/'n-1·
1== -r! ,..,. -!- •• ' + . -!-
' n - L ._ n - L , n - L n - L ~ n - L
iii) Demostrar
( n "'l= n (n- l) (n- 2) .. , (n_- k;_:__!_L
,.k./ k~
Aplicando la defmición y la nota que figura en 6.6. l, tenemos
/n'l=-~- n! . =·'l(n-l)(n-2), .. (n-k+l)(n-k)!
t kj k! (n -k)! k~ (n- kr
Después de simplificar queda
•(n'l- n{ll-l)(n-2) ... ül-k+l)
'-k_ - -------k-.--~-~---
6.8. POTENCIA DE UN BINOMIO
6.8.1. Binomio de Newton
Cna aplicación inmediata de los números combinatorios se presenta en el desarrollo
de la potencia de un binomio, con exponente natural. conocido como fórmula del
binomio de Newton, y está dada por
j](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-95-320.jpg)
![C(l( 'iU>INABlLIDAD. INDUCCION COMl'LETA. CO.liHNATORI·
,pli-:amos la fórmula demostrada
¡·-x + ~y)s = (~) (-xl (2y)o + (~) (- xt (2 y)t + (~) (-x)3 (2y)z +
+- (~) (--<)
2
(2y)
3
+ (~) (-xi (2yt + (~) (-xt (2Y)
5
=
- - X
5
+ 1Ox4
y- 40 x3
y2
+ 80 x2
y
3
- 80 x y 4
+ 32 y 5
6.1. ..:!. Observaciones
S;:a
(a+ ht = f (n)an-k bkk=Ok
i } El desarrollo de la potenda n-sima de un binomio tienen + l términos, S'!gún
lo indica la variación de k. desde Ohasta n.
ii} Cada término del desarrollo tiene como coeficiente un número combinatorio
de numerador igual al exponente del binomio, y el denominador es variable
desde O hasta n.
iiH El exponente de a es la diferencia entre el numerador y denominador. y el de
b es igual al denominador. Es decir, la suma de ambos exponentes es igual a
n. para todos los términos.
i) El término de lugar h en el desarrollo, es
Th ll ')
0
n-h+i bh-l
h -l./
v ) Los rérmínos equidistantes de los extremos tienen igual coeficiente. por ser
números combinatorios de órdenes complementarios.
Ejemplo 6-15.
IRrenninar la suma de!49 y 69 términos de! desarrollo de
(2a -a2
l
C.m10
r~·=:·{~)(.:!a)s (~2)3 =-(~).3~all
T6 =(~}2a)3
(-a
2
)
5
=-(~). 8a"
~:-{ '·
=- TA +T6 = -S .1. ·, f(4a 11
• 11
13
1
J
l.
Ejem¡Jio 6-16.
a) Demostrar
1'01TNCIA DE UN BINOMIO
k _,n (n) n
i="O i -"""
Trasformamos la surnatoria en el desarrollo de la potencia de un binomio
~.=:k .1 .I=(l+l)=2n (nJ n (nJ n·i i n n
i=O _l i=O 1
b)
n . i(n)~ 1 ~1) . =O
i=O lj
Prot:~dlcnd0 análcgarriCnte
~... i r...n""- r1 l'n' n"t t n n
:- ( ·- 1J ! . 1= :E f . ) l - l ) = { l l ) = o = oJ~O .. l_.: ¡::.:(1..l_...
Ejemplo 6·17.
Determinar el término central del desarrollo de
(xz + J_ 2n
' X)
conx *O
El número de términos es
?.n+l=n+n+I=n+l+n
183
El término central está precedido por n ténninos, y en consecuencia ocupa el lugar
(n + 1). Se tiene
T =(2 n l (x2 >" (_!_l"n+l .n.l X..l
(
2n 2n l
T = tx -
n+l n ..1 n
X
Es decir
T =Í2n'¡ n
n+l '- n / X
En cuanto al coeficiente
·~'2 nj' (2 n)! (2 n)!
l n = n! (2 n - n)! ="(ñTT =
2n(2n-1)(2n-2) ... [2n-·(n-l)].n!
(n! )M - - - -
2n(2n- l)(2n-2) ... (n+ l)
n!](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-97-320.jpg)
![W4 COORDlNABlLIDAD. INDUCC!O"l COMPLETA. COMBINAIORIA
Ejemplo 6-18.
Obtener el término de grado 14 del desarrollo de'
(x3 _ 3 x)1o
El desarrollo admite 11 términos y se trata de ubicar aquel en el cual el exponente
de x sea 14. Este término ocupa un lugar h, a determinar basándose en la condición
anterior
,, 10 ' lQ-h+l h·l
T = ¡h l 1(.:3) ( - 3 x) """'
lt ' - '
=¡ 10 -,, _33-3h _h-1 _11-1-
lh-l/x (-3¡ x -
- h·l( 10 ) 32-2h
-(-3) ..h-L'x
Debe ser: 32- 2 h =14 =? 2 h = 18 ~ h = 9
Es decir, el99 término tiene grado 14.
Lo calculamos
(
lO
Tg = 8 ) x3
{-3 x)9
= -39
• 10 x14
Ejemplo 6·19
r 1) "Desarrollar ! 1 + --
n
Llegaremos a una expresión que se utiliza en la determinación del número e, en los
cursos básicos de análisis.
r n 2 3
lt+ !) =t+(~)! +(~)t!) +(~)(~) +
+
n
n
" f' ~, n- 1
)1 - ¡ •jo
... n .·
n
1 -,
-~ ¡1
J1j
Después de haber omitido las potencias de l. Operando y utilizando la fórmula del
ejemplo 6-13 íü), tenemos
el+_!_) n = 1 +.Jr'• ..!. + n (n- .!..L -h- .+
n .- .K 2! 11
+ 11 (n- l)(n -:-2) 1 + + n (n- l)(n- 2) ... [n- (n- 2)] _1___ +
3! 7 ··· (n - 1)! n-1
+ n(n-l)(n-2) ... [n-(n-1)}
n! n
n
n
1
POTENCIA !J!: UN BINOMIO 185
A partir del tercer término dividimos cada factor del numerador por el factor n que
figura en cada denominador
Resulta
l 1 n-1 1
e
-,n
1 + ---) =l + 1 + -- . - - + -11 2! n 3!
1
+----,+ > • ' (11 -- l ).
+
n - l
11 r¡
11- 1
fl
f!_:: 2
n --2
n
n (n - l)
11
el + _!_'J , = 2 + J_
n ~ 2!
(¡ __!_)+-, n , 3.
1 •' l ' .- ") '
+ .. + , 11- -Ht--=-J...(n - l ). ~ n _, · n -
11 l
11
_!!-2 +
11
..!~(11 _-:-.1:1. +
1!
(
¡)r ,.,1-- lt--=-)+n '- n
ll-·2)+
---n - ..1
1
+lí! 1 1 .. - ) . 1¡ -- ..::_ . . . 1 ~
r 1 ~ , ., ) ( n --::! .!_1_::_.!_ )
.. fl/ '- ll . n n -"
Ejemplo 6·20.
Determinar x e R de modo que la suma de los términos 32 y 8Q del des<~.rrollo de
( l '9
12x3
- - 1 sea igual a O.
x.-
Debe verificarse
O sea
'>( • i'f 1
[) Í 2X 3 j
T3+T8 =0
. q' -
+ ~ ! {2x 3
(,.,
¡ · .
_:_. 1
x.
Los uumeros .:ombmatorios ~on y pueden cancelarse
X
Multiplicando por 22
"17 .,H ....!_ ·- .,2 ..,6 _1_ :: 0
- • ·' • :l - -~ 7
X X
27 • x'9 - 22 •_1_ = O
X
2s. xlo -1 =O
=O](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-98-320.jpg)
![,_¡(. COORDINABILID~D. INDllCCJON COMPLETA. COMBINATORI·
h~sulta
E~ decir
1
x2o = -25
20 !1
x= ±'/25 enR
Por distributividad y simplificación
RJ.donalizando
1- + ----¡=-
X-- ;;2
4¡-
x= ± v_._8
1
Ambos valotes de x satisfacen la condición dada.
6.9. FUNCIONES ENTRE INTERVALOS NATURALES INICIALES
A fm de tratar el tema de la Combinatoria simple y con repetición desde un punto
le vista funcional, proponemos algunos conceptos y propiedades relativos a funciones
::.~yos domiruo y codominio son conjuntos fmítos, no vacíos y por consiguiente
dentificables, en cuanto a su cardinalidad, con intervalos naturales iniciales In e 1m.
6.9.1. Apücaciones inyectivas de In en Im (n ~m)
S~:a el conjunto cuyos elementos son todas las aplicaciones ínyectivas de I,. en Im, y
que denotamos con
In(In ,Im)={f· In-+ I,. /fesinyectiva}
Se necesita la restricción n ~m ya que en caso contrario habría dos elementos del
iominio con la misma imagen en el codominio, y ninguna aplicación sería 1-1.
El elemento 1 de I,. puede aplicarse sobre cualquiera de los m elementas del
.:odominio Im, es decir, existen m posibilidades para el 1 e In. Una vez asignada la
;magen, para construir una función- inyectiVa, efT€ In admite (m - 1) imáge.nes
posibles en Im. Seleccionadas sendas imágenes para el 1 y el 2, se presentan (m - 2)
posibilidades para la imagen de 3 e In. Suponiendo hecha la selección de imágenes p:na
1, : .... , n - l, el elemento n e In puede proyectarse sobre cualquiera de los
'11 - 111 - l) elementos restantes del codominio, y en consecuencia el número total de
•?lk.id<'nes inyectivas de In en Im es
m.(m-l).(m-2) ... [m-(n-1)]
j
..
'l
~
FUNCIONES ENTRE INTERVALOS NATURAUS l !; ~
Es decir, el cardinal de In On ,1m) es igual al producto de n factores decrecientes e11
una unidad, a partir de m.
Denotando tal número cardinal con el símbolo Vm. n, se tiene
Vm,n=m.(m--l).(m-2) ... (m·-n+l) (1)
Multiplicamos y dividimos el segundo miembro de esta expresión por
(m-n)(m-n -1)...... 2.1 =(m-n)!
m.(m-l).(m-2) ... (m-n+l).(m-n)!
· (m·- n)!Vm,n
y re•mlta
m!
Vm.n = {m-:11}! (2)
Demostraremos ahora esta fórmula por inducción sobre n.
) Si n = l, entonces el número de fu~ciones inyectivas de 11 en lm es
exactamente m. y se tiene
V =m = m· (!!!...=...!2!__ = ~-.-
m,l (m- 1)! (m- l)!
ii ) Probaremos que si la fórmula (2) vale para h, también es válida para h + l.
Hipótesis} V _ ~
m,h- (m-h)!
Tesis)
m!
Vm,ñ+l = [m- (h + l)J!
Demostración) Supongamos definida una función inyectiva de 1h en lm. Si
extendemos el dominio a Ih+ 1, el elemento agregado, h + 1, puede hacerse
corresponder con cualquiera de los (m- h) elementos restantes del codorninio. Es
decir, cada función inyectiva de Ih en lm origina (m - h) funciones inyectivas de Ih+l
en Jm, y en consecuencia se tiene
•
Vm.ñ+l =Vm,h. (m- h)
Usando la hipótesis inductiva llegamos a
V h + 1 = __m_!_ (m - h) = -:--m---;--;!~(l_n_-_·-,h,:...)_,··
m, (m-h)! · (m-h}.(m-h -1)!
m!
[m-(h+l)j!
Ejemplo 6-21.
¿~uántos números de tres cifras distintas pueden fonnarse con 1, 2, 3, 4?
Cada número pedido corresponde al conjunto imagen de una aplicación inyectira
(ya que no pueden rcp.:tirse) de 13 en 14 . Es decir, existen taJltos números de tres](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-99-320.jpg)
![188 ~'OORDINABILIDAD. INDUCCION COMPLETA. COMBINATORL
cifras distintas elegidas entre 1, 2, 3 y 4 como funciones inyectivas de [3
en 1
4
, y
resulta
v4,3 = 4. 3. 2 = 24 según la fórmula (1)
6.9.2. Relac6n de equivalencia en In On. I,..) (n ~ m)
Definición
Dos ftnciones inyectivas de 1,1 en 1111 son equivalentes si y sólo si admiten e!
mismoconjunto imagen.
]-g <o!> li/)=Jíg
Esta defirición caracteriza una relación de equivalencia ..:-n In (In. Im ). a:omo puede
verificarse ccn facilidad.
De acuerco con el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia existe una
partición del conjunto de las aplicaciones inyectivas de In en Im, en clases de
equivalencia
En el case del ejemplo 6·21, las funciones
t={il '1),(:! ,3),(3 ,4)} y g = { (l , 3) '(2 , l) • (3 . 4)}
son equivalentes, ya que ambos conjuntos imágenes se identifican. A manera de ejem-
plo nos prqJOnemos exhibir la partición de In (In, Im) con la siguiente simplificación:
Como tedas las funciones inyectivas admiten el mismo dominio 13
es suficiente,
para caracterizarlas, dar el conjunto ordenado de sus imágenes. Así
134 corresponde af
314 corresponde ag
Si consid~ramos como imagen a 213, se trata de la función inyectiva
((!, 2),(2, 1).(3 '3)}
., '
Con este rnteno. la oaniciól! de ln . !.des
1 -~ ·~
·-" 124 B4 234
132 142 {43 243
213 114 314 324
231 241 341 341
31:! 412 413 423
321 421 431 432
En cada clase de equivalencia llay tantas funciones como aplicaciones inyectivas de
l3 en 13, es decir, 3 . 2. 1 = 3! elementos.
El númfro de clases de equivalencia es naturalmente igual al número total de
'
FUNCIONES EST!Ul 1,;.1LN 11 ( RLOENTtS 189
funciones inyectivas de 13 en ! 4 , diyidido por el número de elementos de cada clase, es
decir
4!
(4-.::3)! 4! / 4)·-3!---== 3! (4- 3)! = l3
Si denotamos con C4 , 3 el número de clases de equivalencia se tiene
/4 ·,
c4,3 = (
3_1 = 4
E.n gener;,¡L el numcr" J~ clases d~ .:quívalencia detenninado por la re!Jdón 1 ll~.·n
el.:oniumo J<.'las fundones my~crívas de 1, <'ll 1,.,, está dado por
=!min · n,
En efecto, sea Vm.n el número de funciones inyectivas de 1,. en 1.,. donde está
definida la relación de equivalencia ( 1). En' cada clase de equivalencia hay tantas
funciones como aplicaciones inyectivas Je In en 111 .las que son. además. sobreyectivas.
es decir. b1yectivas. Estt:! numero es. precisamente
'V == --~-- = 11:
n,n {lf - n)!
El númeiO de clases es, entonces
V m'e =~= __.__
m.n n! n!(m-n)!
(m'¡
·.. n _,
6.9.3. Funciones estrictamente crecientes de 111 en in..;m¡
Definición
f: In --!-(m es cstrictament~ creciente si y sólo si
x<y => f(x)<ftv)
•
!..:.! fm•dl'm J del parratu arlt<::rior t::i> •:strktamcnte crectczne. pero .1( no l.J 6
Vohqendn :1! e1emplo propuestü en 6.Cl.:: .. si deg;mu::. un llllh·<:• ·~lemento en ;;a!h
dase de et¡uivalenda, se lo pued;; imnar como ¡epresenunte de d1~~11a clase, La ck..:.:Jú~:
natural está dada por la función estrictamente crectente que figura en cada dase. y se
tiene
l ..,"'_.; 124 134 234
El número de clases de equivalen~ia está dado por el número de funciones
estrictamente crecientes de 13 en 14 • Realizando esta identificación de clases de
equivalencia con funciones estrictamente crecientes, podemos decir que existen tantas
clases como suhconjuntus Jc 3 dementas pueden extraerse de 14 .](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-100-320.jpg)
![i ~ COORDI~; •B!LIIJ<l>. t:-.;DnliU:-i COMPLETA. COMBINATORIA
000
i...·1 11 2 3 4
Al no haber distinción, estas distribuciones de cuatro alumnos en tres aulas son la
ml ma. De ellas elegimos natvralmente la que define a una función creciente de 14 en
1, .:~..-!f ll2J.
-i• ..1 Jí~trib.;~..:1Ün t.lblinw. é~, pví ejemplo, 1113, que significa: trez llumnos
ramfl ~n eJ aula 1 y d .::u:rrto en el aula 3.
De m<)do que existen tantas distribuciones posibles de 4 personas en 3 aulas, sin
E · .nd)n de las personas, cerno funciones crecientes de 14 en 13 , es decir
. -('61_ 6.5.3.4 =15
c3·~ = c3+4-t,4 = c6,4- ,
4)- 4. 3. 2. 1
6.9.6. cplicaciones estrictamente crecientes por ttazos de lm en 1m
Sean los números naturales m, m1• m1 , .••• mn, tales que
m=m1 +m2 + ... +m..,= f m;
i=l
(l)
Asociada a la descomposición {1), queda especificada la siguiente partición de Im en
ínrervalos naturales cerrados
lm = [1 , m1 J+ [m1 + 1, m1 + m2 ] + [m1 +m2 + l , m1 + m2 + m 3
} + ... +
ík-1 l
+ ; ~ m; + 1 , m • (1)
Li= 1 j
dnnde el signo+ denota una unión disjunta.
.. i ) Definición
La función!-: Im ...¡, lm es estrictamente creciente por trazos, respecto de la
· partición (2), si y sólo si es estrictamente creciente su restricción a cada
sabconjunto de la partición.
l: i!mplo 6-2 7.
En l!orrespondencia con la descomposición 9 = 2 + 4 + :i 'l' tiene la siguiente
md;m estrictamente creciente por trazos de 19 en 19 •
·i
HiNCIO:-.iLS LSTR!t 1AMLNTE CRECIENTI S POR TRAZOS 195
9+ •1
1
:t '
1
1
1
11
1
1
'1
1
1
1
'
1 1 1
1 1 1 1
:1
1 1 1
1
• 1 1 1
1
1 1 1
1 1
1 • 1
'
1 1 1
'
' 1
1 1 1 ¡
•1¡ 1
' 1 1 ' 1
' 1
'
•.',
i i 1 '
•1
1 1
'' !
•• • • •... 3 4 5 6 7 8 9...
S:: tiene aquíla partición I9 = [ l , Zl + [3 , 6] + [7 , 9], es decir
19 ={1'2) +{3 ,4 , 5,6} + {7 '8 '9}
Y la restricción de fa cada elemento de la partición es estrictamente creciente.
Ejemplo 6·28.
Determinamos el número de aplicaciones estrictamente crecientes por trazos de 17
en 17 • respecto de la partición de 17 asociada a la descomposición 7 = 3 + 4. De
acuerdo con la definición. la restricción de cada una de las funciones a los
subconjuntos 13 e 14 debe ser estrictamente creciente.
Se sabe que el número ~e aplicaciones estrictamente crecientes de 13 en 17 es
(
7'
C1,3 = 3)
Además, es claro q1.1e cada función estrictamente creciente de h eñ 17 define
unívocamente una función estrictamente creciente de 4, 5. 6, 7 en 17 . Por ejemplo, si
g: 13 -+17 está definida por
g(l) = 2 g(2)-=5 g(3) = 7
queda detenninada h :{ 4 , 5 . 6 • 7} -+ 17 estrictamente creciente y única. a saber
h(4)=1 h(5)=3 h(6)=4 h(7)=6
¡¡
¡
[
!~
t
1
!
i
1
u!1
1¡¡
~
~
-~
rfl
Íl](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-103-320.jpg)
![196 COORDlNABlLIDAD. INPUCC!ON COMPU:TA. COMH!NA10!~l
fn consecuencia, el número de aplicaciones estrictamente crecientes por trazos de
17 en 17 es el de funciones estrictamente crecientes de 13 en 17 , que denotamos
mediante
p3,4 ==(7)= _]'_7 ,3 3! 4!
En el caso del ejemplo 6-27, tal número es
p2.3.4
9 =
9'
ii ) Propiedad. El número de aplkacíones estrictamente ..:rec:entes por trazos
de lm en 1m. respecto de la partícíón C). está dado por
m1,m2,uo,mn m!
p =------
m m 1
1 m¡! ... m,!
Para cada m fijo hacemos inducción sobre el número n de elementos de la partición
de 1m.
a) Si n = l. entonces la partición tiene como único elemento Im. y la úmca función
estrictamente creciente de 1m en Im lo es estnctamente creciente por traLO!>. es decir
ml f
p"' 1 = 1 = -· = ..!!!.:.._
m m! m1 ! ya que m= m1
b) Suponemos que la fórmula es válida para n = h, y demostramos su validez para
n=./¡7-1.
Cada función estrictamente creciente por trazos de lm-mh•l en sí mismo
determina Cm,mh+I funciones estrictamente ..:recientes por trazos de lm en Im.
respecto de la partición asociada a la descomposición
m=m1 +m1 + ... +mh+t
Entonces
.rn =··· .nl 11 ..,.., .m~,.· ,ffl!¡¡ e
--m 11 * r.tt liih,r~
1plü:ando la hipóteSIS inductiva. se nene
Es decir
pm• .m , .....m,,., = (m- m,+¡)! ~----.!!!:__ _____
m mh+l! (m-mh.,.¡)!
Pm' ,m 1 , •••• m h+,
m
m!
m1!m2! ... mh+t!
COMBINATORIA SIMPLE Y CON REPETICION 197
Ejemplo 6·29.
¿Cuántos números distintos pueden formarse ·permutando las cifras del número
112223333?
Cada número que resulte de intercambiar las cifras de 112223333 define una
aplicación estrictamente creciente por trazos de 19 en 19 , y recíprocamente. Así, por
ejemplo. el número 133221323 determina la aplicación de 19 en 19 , asociada a la
partición correspondiente a la descomposición 9 = 2 + 3 +4:
f(l) = 1 /(:1) = 6 f(3)=4 [(4) =5 [(5)::8
f!6i = ~ f{7)=3 f!8):.::: 7 =9
la 111Jnera de determinarla es la siguíeme; a cada elemento del dominw le
asignamos como imagen. respecto de la partición dada. el lugar que o~:upa en el
número propuesto.
Recíprocamente. a toda función estrictamente creciente por trnzos respecto de la
partición. le corresponde un número que se deduce del dado, intercambiando las cifras.
Así. sil: 19 -+ [ 9 es tal que '
f(l)=2 [('2)=9 {(3)=5 {(4)=6 [(5)=7
{(6)=1 f(7)=3 !'(8)=4 {(9)=8
y el número resultante es 313322231.
Entonces el número total de números pedidos es igual al de funciones estrictamen-
te crecientes por trazos de 19 en 19 , respecto de la partición dada, es decir
p2,3,4=~-- 9.8.7.6.5. 4!
9 2! 3! 4! - 1 , 2 . 1 . z.3 . 4! = 9 . 4 • 7 . S = 1260
6.1O. COMBINATORIA SIMPLE Y CON REPETICION
6.1O.l. Concepto
ldent¡tlcando un cvnjunto finito y no vado con un inter;alo natural inicial.
respecto tle la. .:oordinabílidad, la respuesta a la detemlinación del número cardinal de
':;t>nos subcon¡untos dei mismo puede lograrse 3 la !Ul de derto tipo de funciones
entre intervalos naturales iniciales. ya estudíadas. en u.<<. tos problemas que se
presentan dependen del tipo de función que pueda diagnosticarse en relación .::on el
problema. y son los seis que se tratan a continuación.
6.10.2. Variaciones simples de m elementos de orden n. (n..:; m)
Definición "-
Variaciones simples de m elementos de orden n, o variaciones n-arias de m
elementos, son todas las funciones inyectivas de In en lm.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-104-320.jpg)
![1(1:? COORDII'ABIII!>AD. INDUCCION COMPLU i. COMBINATORIA
juniJ:,. y en primera instancia pueden considerarse como un solo objeto, con lo que el
número total se reduce a 8, y se tienen P8 arreglos distintos. Ahora bien, en cada uno
de é~tos, las tres personas que están juntas pueden permutarse entre sí, originando P3
alineaciones diferentes. Entonces el número total es
Ps. P3 = 8! 3!
Ejemplo 6-JJ.
En una urna hay 5 l:olillas blancas y 6 bolillas negras numeradas. Se extraen
m:u~s:ras de tamaño 7. ¿(Jiántas de tales muestras pueden extraerse'' ¡,En cuántas de
el:.;: :'imr:-m ex~ct:.lmente 3 bo!illas blancas·~
1El experimento consiste en extraer al azar 7 bolillas de la urna. sin reposición.
b decir. se extraen una por una y no se reintegran hasta completar las s1ete.
Dos muestras como
b1 b: n2 n1 n4 n 5 nb b3 n3 b3 n6 n4 ns b2 b1
son la misma. y existen tantas como subconjuntos de 7 elementos pueden
-fom1arse con ll dados. es decir
V u ,4 JI . lO . 9 8
330Cu.7 =('1!.4 = --4'- = - 43 ·~1- =
. . .·- ~
ü i Consideremos ahora !as 330 muestras aleatorias de tamaño 7 que pueden
obtenerse. Estamos interesados en saber cuántas de tales muestras contienen
exactamente 3 bolillas blancas.
H..1y C5 •3 maneras de elegir 3 bolillas blancas entre la~ 5 que existen. Por cada una
de esias posibilidades se presentan C6 ,4 maneras de selec;;ionar 4 bolillas negras entre
l:.is ñ que hay. En consecuencia. el número total de muestrns que tienen t:xactamente 3
boli [i;,;:, bl:m..:as es
5 . 4 . 3 6 . 5 . 4 :_¿__ = ISO
C ..~. c...-l ~ -
3 . 2 . ¡~ · 4.3. 2. 1
,.,.
COMBI~ATORIA 21>]
Ejemplo 6-34.
Hay tres tipos de medallas: 3 de oro, 2 de plata y 4 de cobre. ¿De cuántas maneras
pueden distribuirse entre 9 personas, si a cada persona le corresponde una y sólo una?
Cada distribución de las 9 medallas entre las 9 personas define una aplicacion
estrictamente creciente por trazos de 19 en 19 • respecto de la partición asociada a la
descomposición 9 = 3 + 2 + 4. Se trata, entonces, de las pem1Utaciones con repetición
de 9 el~mentos. entre los cuales hay 3 dd tipo O. 2 del tipo P y 4 del tipo C. y su
número es
3 ' 4 9~ - 1,60p· .-. ::::: --.~- -
~ 3 -· .....
Ejemplo 6·35.
;,Cuántos ténmnos tiene un polinomio ..:ompleto y homogéneo de grado 2 cor 3
variables'
Sean éstas x 1
• x z y x 3
• Como el polinomio .es homogéneo, todos los témünos sun
de grado 2. Ahora bien. cada función creciente de lz en 13 detem1ina uno de os
tem11nos del polinomio. ya que las imágenes x 1x 3 y x 3x 1 corresponden al misa1U
término. y se considera la que es creciente.
El numero total es d de combinaciones con repetición de 3 elementos de orde~:
es d~cir
C =C _r 4.3
3.2 3~:. ·-1 ~:! - -+.2 = --,-- = 6
El polinomio puede escribirse
p tX
1
• X:. t .l ) "" <l ll X~ + a¡z X~ + a,, '~ + a¡ 2 X 1 X: + a l3 X¡ X 3 + d : 3 X l X 3](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-107-320.jpg)
![TRABAJO PRACTICO VI
6·16. Demostra1 por inducción completa
l.
2.
~-l · l -x"
k..:'::::--~
i=o l- x
" iI;-='J-n+::!
1= 1 2¡ - ---y¡-
si X :;é 1
3. f t ~ n (n + 1)(2 n + l)
i=l 6 ·~--
4. f i(n-i)=!!(n2
-I)
i=l- 6
5. :f 31
= ]_ (3" - 1)
i=t 2
6.
n (2Y 2n+i
I;- =2---
~· 3 3"
7. trt-1 'n(a-l) si a>l
8. (! +-x)" ~ l +nx si x>O
Q 1
-~~-- =....
'"-
10. 3 !10"7-1
+ lO" + I
11. 2 ¡n
2
+n
12. 3. 8"- S"
13. a"- b" ==a (a- b)
11
14. .I: i. i! = (n + 1)! - 1
i=t
TRABAJO PRACTICO VI
15. :f i3
= (f i)2
1=1 i-1
6·37. Sean X¡, x2, ••• , Xn números reales.
Demostrar que la suma de sus desvíos respecto del promedio es O, es decir
f (x1 - i)= O
i=l
6-38. Demostrar que
" n,~ .¡¿,
t.~! X¡
=I:
i=t
+ k X¡X¡
'""1
6-39. Sabiendo que x 1• x 1 • • , x 10 son tales que
~ x~ =lOO
i=1 1
x=- 20. calculary
f (X¡-· 2)~
i=l
6-40. Demostrar
i ) 2n!- (n- l)(n- !)! = nl +(n -1)!
.. ) n l 111
(n+l)! =nr- (n+l)!
641. Hallar x sabiendo que
C~21_x)=(zx7
- 2)
6-42. Desarrollar las siguientes potencias
l
r } 6
i) -2a2 +-)
a ;
ii ) 6/i+.JYt
6-13. i ) Sabiendo que ll + q = 1. calcular
1:
ii ) Calcular f lt·n·J _I e· 2)n···'<
k=O '-k-' 3k 3 ./
6-44. Hallar la suma de los términos 5!? y 72 del desarrollo de (- 2 x +x1
)
10
205
6-45. Determinar x sabiendo que el término central del desarrollo de(x + +) 8
vale
(!).](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-108-320.jpg)
![:;apítulo 7
SISTEMAS AXIOMATJCOS
7.l. INTRODUCCION
E! desarrollo le la matemática actual es principalmente abstracto y se realiza. en
sran parte, por ll vía de los sistemas axiomáticos. cuyo concepto se expondrá en el
;:>~esente capítuh. Este punto de vista representa el avance natural del desarrollo
die~tífico, entro~ca los casos particulares y concretos en situaciones generales de las
cuales aquéllos se derivan, y esencialmente permite conocer mejor lo que antes se sabia
de un modo fngmentario. Como ejemplo de sistema axiomático se desarrollan el
álgebra de Booh y una introducción al sistema axiomático de Peana que conduce al
estudio del núnero natural. Finalmente se presentan las estructuras algebraicas de
monoide y semi~po.
7.2. SISTEMAS AXIOMATICOS
7.2.1. Concept(J
t:n sistema a:tiomátko, en matemática, consiste en los siguientes objetos:
ltérrmms primitivos constituidos por elementos, conjuntos o telaciones.
e;uya nuuraleza no queda espt>cifkada de antemano,
li ) a:ciomlls, que son fuüciones propostcionales cuannficadas, relaüva$ ¡¡ !as
variables que representan a los términos primitivos: es decir, son propiedades
a las ~ue deben satisfacer dichos términos primitivos. Los axiomas definen
implícitamente a éstos.
üi) de[inüiones de todos los términos no primitivos.
iv) teoren:as, es decir, propiedades que se deducen de los axiomas.
Anexada al sistema axiomático se admite la lógica bivalente, con cuyas leyes es
posible demost1ar los teoremas·de la teoría.
Cuando se sastituyen las variables o términos primitivos por significados concretos,
se tiene una interpretación del sistema axiomático: si esta interpretación es tal que los
SISTEMAS AXIOMATlCOS 2l'.i
axiomas se convierten en proposiciones verdaderas, entonces se tiene un modelo dd
sistema axiomático. En este caso, todo lo demostrado en abstracto en el sistema es
válido para el modelo, y nada hay que probar en particular.
l:.]emp/o 7-1.
Consideramos el siguiente sistema axiomático.
i ) términos primiTivos. Un conjunto A, y una relación R detlnida en A, es. decir,
RCAXA
No se especifica aquí cuál e) el conjunto ni se define la relación.
):ttion~as:
A, . R <>S retlexiv:l :;:n :
A: · R es antisirnétnca en A
A3 : R es transitiva en A
Los tres axiomas pueden resumirse en el siguiente: R e!> una relación de orden
amplio en A.
iü) definición: en A ~e .,;onsidera la relación S. tal que
ta. b)€S ~ (b,a)eR
iv) teorema5. Demostramos ia siguiente propiedad relativa a S:
S es ret1exiva en A.
V a: a e A ~(a. a) e R por A1
(a, a) e R ~ (a, a) e S por üi)
Entonces, por la ley del silogismo hipotético, resulta
'1:/ a ;ae A ==> (a , a) eS y en consecuencia, S es reflexiva en A.
("on procedimiento análogo, se demuestra que S es amisímétrica y transitiva en A.
Esto significa que la relación S. inversa de R, determina un orden amplio en A.
Damos las siguientes interpretaciones para este sistema axiomático:
a) Si A es el conjunto de los números reales, y R es la relación de "menor o
. se vuifk:m A 1 .. A;• y A3 la relación Ses. en este caso, la de "mayor o igual...
S.: tiene un modelo del sistem;¡ axí(lfi'¡atico,
b¡ s, A .;;s <:1 dt- las partes de 1.m conjunto t'. y R es la relad.Jn d,;
mdus1ón. .:monees vaien los :~xiomas se tiene otw modelo úel '>lstema,
7.2.2. Propiedades de los sistemas axiomáticos
No toda colección arbitraria de ténninos primitivos y de propiedades relativas a·
éstos caracteriza un sistema axiomático. Es necesario que de los axiomas no se derive
ninguna contradicción, es decir, debe cumplirse la propiedad de compatibilidad o no
contradicción. Si esto no ocurre, o sea, si en el desarrollo del sistema aparecen dos
axiomas o teoremas contradictorios, entonces el sistema es incompatible o inconsisten-](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-110-320.jpg)
![21~
SISTEMAS AXI01
.lATICOS
aplicando sucesivamente B5 , B6 • 8 2 , 84 , B2 , 86 , B6 , B4 , B6 y B5 resulta
(a')'= (a')' +O== (a')' +(a. a')==
=(a')'+ (a'. a)= [(a')'+ a']. [(a')'+ a)==
=(a'+ (a'fJ.(a +(a')']= 1 . [a+ (a')'}=
=(a +a') .fa +(a'fl =a +[a'. (a')'}=
:::a+ O=a
1'1 L::. 1~ D.: hng.an
Consideremos
O sea
ia+bf=a'.b'
(a+ b). (a'. b') =(a'. b'). (a+ b) =
=((a'. b').a]+[(a'. b').bl=
=[(b' a').a}+[(a'.b').b]=
= [b'. (.z'. a)]+ [a'. (b'. b)]:::
= (b'. O)+ (a'. O)= O+ O= O
(a+ b). (a'. b') =O (l)
-nálog;;mente. se llega a
(a+ b) +(a'. b') = 1 (~)
De ( 1) r 12) resulta
(a+b)'=a'.b'
L;¡, fGrn:.t Jual es
i~""~ hJ bf::: a·+ b
7.4. SISTEMA AXIOMATICO DE PEANO
7A.l. TeoríadePeano
El sistema axiomático de Peano es esenciahnente ordinal, y define al conjunto de
los números naturale~ algebrizado con las operaciones de adición y multiplicación,
salvo isomorfismos. Consiste en
AXIO~l,S DL l'LM-:0
)términos primitiPos:
un objeto, que se denota con 1
un conjunto N'=/= !f>
una función, llamada "siguiente" o "sucesor", que se simboliza con "s".
íi ) a:>:iomas
A1 : el objeto l es un elemento de N, es decir
leN
A~ :la función "siguiente'" es una aplicadón inyectiva de N en N- sl
s ~-N- 1 es 1-1
Este axioma establece
a) todo elemento de N tiene un sucesor y sólo uno.
b) el 1 no es sucesor de ningún elemento de N.
e) si dos elementos de N tienen el mism~ sucesor. entonces son iguales.
213
A3 : Principio de inducción completa. Si S es un subconjunto de N que
contiene al l. y al siguiente de h siempre que contenga a ll, entoncc; S= N.
Es decir. si S C N es tal que satisface
leS
he S => s(h) e S , entonces S= N
Coincide con 6.4.2., y puede expresarse, de acuerdo con 6.4.3. de la siguiente
manera: si Pes una propiedad relativa a los elementos de N que satisface
i ) P (1) es V
ü) P th) es V=- P {S (h)) es V, emonces P (n) es V para todo n € N.
iii) definiciones
1) de adición
a) a + 1 =s (a) cualquiera que sea a € N.
b) a + s (b) =~(a + b) cualesquiera que sean a y b en N.
11 l.te multiplicacu}n
al ..¡ ! = a !)ara toJo a € N.
bl d . S un "" u b .;- J .;¡ue sean i.1 y b en N.
El sistema :..xiomático se completa ..:un otrJS defínidones y teoremas. d.: lus ..:uale:-.
demostraremos algunos a manera de ejemplos.
Interesa ver que las definíciones propuestas en 1) y ll) caracterizan leyes de
composición interna en N. Lo verificamos en el caso de la adición, para lo cual hay que
prooar, de acuerdo con la definición de ley interna, que la suma de dos elementos
cualesquieta de N es un único elemento de N, es decir
a E N A. n E N => a + n está unívocamente](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-112-320.jpg)
![214 SISTEMAS AXfm,!ATlCOS
determinado en N, para todo n € N.
En efecto, si S es el subconjunto de N formado por los elementos n para los cuales
existe y es unico a + n, se tiene
i) n "' 1 =>a + 1 =s (a) por I a) y por A2 , está unívocamente determinado, es
decir, lE S.
ii) Hipótesis) he S.
Tesis) s (h) e S.
Demostración)
h eS ~ a + h está unívocamente detenuinado por la definición de S.
Por A1 y por la definición 1 b). s (a + h) = a + s lhí está nnívoc;¡mentP
determinado. y en consecuencia s (h) € S.
Luego. S = N. y por consiguiente, la adición definida en 1) es una ley de
composición interna en N.
Con criterio análogo puede probarse que Il) satisface la definición de ley de
composición interna.
De acuerdo con lo demostrado, si denotamos
~ = s (1) 3 = s (2), etc., para efectuar 3 + 2, procedemos así:
3 + 2 = 3 +S (l) =S (3 + l) =S (s (3)) =S {4) = 5
teniendo en cuenta la definición de 2, 1 b), la), la defiilición de 4, y la definición de 5.
Ejemplo 7-1.
Si ..:onsidernmos las sucesiones
10' 11 . l2' 13 , .... .
l • l /3 , 1/9 , l/27 , .. .
vemos que satisfacen los axiomas de Peano. pero si los algebrizamos de acuerdo con su
teoría, se tiene
11+10=12
1/3 + l == 1/9
siendo estos resultados distintos de los de la aritmética ordinaria. Se tienen, así, dos
modelos del sistema axiomático, los cuales son isomorfos a N ={l ,'2 , 3 , ...} . En
última instancia son dos representaciones distintas de N.
7.4.2. Propiedades
Demostramos los siguientes teoremas de la teoría de Peano.
l. La función sucesor es sobreyectira. En otra~ palabras. todo número natural
distinto de l es el siguiente de otro.
OPL:RACIONES l:.N N
Hay q'Je probar que la imagen de la función sucesor es el conjunto N- {.1}
Sea S el conjunto de las imágenes de los elementos de N.
i ) 2 = s (l) pertenece a S.
ü) Si h € S, entonces s (ll) € S. En efecto:
heS~ /zf:N ~ s(h)eS
2. La adición es asociatil·a en N
{a+ b) +11 =a+ (b + lt).
Demostración)
i) n=l ~la+b)+l=s(a+bl=
=a+slb)=a+(b+l)
Porl b) y 1a)
ii) (a+ b) + h =a+ (b + h) ~(a+ b)+ s(h) =a+ [b + s(h)]
En efecto
(a+ b) + s (h) = s [(a+ b) + h) =
= s fa+ (b + h)} =a+ s (b + h) =
=a +lb +s(h)]
Por l b). hipótesis y 1 b).
3. La adición es conmutatil•a en N.
Lo demostramos en dos situaciones:
l)n+l=l+n
II)
i) n=l => l+l=l +1
ÍÍ) h + 1 = J +lz => S (h) + 1 =l +S (/z)
En efecto
1 +s(ll)= 1 +(h + l)=(l +h)+ 1=
=S (h) + l
Aplicando la definición I a). la asociatividad y 1 a).
a+n=n+a
) n = l =>a+ l = l +a por 1)
ii) a+h=h+a ~a+s(h)=s(h)'+a
Demostración)
a+ s (1!) =a+ (h + 1) =(a+ h) + 1 =
= (li +a)+ l =h +(a+ l) =
= h + (1 +a)= (h + 1) +a= s(h) +a
21.S](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-113-320.jpg)
![21? SISTEMAS AXIOMATICOS
En virtud ~e la), asociatividad, hipótesis, asociatividad, i ), asociatividad y 1a).
4. El 1 es neutro para la multiplicación, es decir, n . 1 == 1 . n = n
En efecto.
i) 11=1 =l.l=l.l=l
ii ) h . l = l . /¡ => S (h) . 1 =l . S (lz)
Sea
S (lz) . l =S (Jz) = lz + 1 =
=h.l+l=l.h+l=
"" l. S íl!)
Se han utilízado ll a). la hipótesis y l! b ).
S. La muliplicación es distributn·a respecto de la adición.
Se tratad¡ probar que cualquiera que sean € N
ta + b) . n =a. n + b. n
i) n:l =>ta+b).l=a+b=a.l+b.l
porll a)
ii ) (a t b) . h =a. h + b . h => (a + b} s (h) =a . s (h) + b . s (h)
En efecto
(a +b) . s(h) = (a + b) . h +(a + b) =
=(a. h + b. h) +(a+ b) =(a. h +a)+ (b. h + b) =
=a. s(h)+b. s¡h)
donde hemos aplicado 11 b), la hipótesis, conmutatividad y asociatividad de
la Edición, y 11 b).
6. l,a multiplicackón es asocio.tira.
111. b1 . n =a . {b. n1
¡n=-""' .bi 1'-"a.b-"a ¡b l)
de ¡cuerdo.con U a).
ii) (a b).h=a (b.h) ~la.b).s(h)=a.[b.s(hll
Sea
(a. b). s(h) =(a. b). h +(a. b) =
=a.(b.h)+a.b=a.(b h+b)=
=a. [b. s(h)]
por aplicación de II b), la hipótesis, distributividad y li b ).
AXIOMAS DE PEANO 217
7.4.3. Otra forma equivalente de la teoría de Peano
En el conjunto N no figura como elem'ento el O. Peano mismo Jo introdujo en otra
versión de su sistema axiomático, y muchos autores prefieren incluirlo. En esle caso no
se modifican los axiomas esencialmente, salvo que el l se sustituye por el símbolo O.
Sin embargo, hay que cambiar las definiciones de adición y multiplicación. las cuales
adoptan las siguientes expresiones:
I) Adición
a) a+O=a
b) a ..... s (b! = (a + /H
ll) .tultiplicac¡ón
a) a.O=O
b) a. s(b)=a. b +a
En este caso se define l = s (0).
Ejemplo 7-4.
Demostrar
a.n=a+a+ ... +a= fa
~ i=l
n
Hacemos inducción sobre n.
1
i} n=l =»a.l=a= k a
¡: l
h
ii) Hipótesis) a. h = k a
i•l
Tesis)
Demostración)
Pr)r -:!eflnidón 11 b!
Por hipótesis
!!...+ 1
a.(h+l)= 2,;, a
i= l
a . (h + ! i = a h ·+- !.1
h
a. (h + l) = l; a +a
i=l
Por propiedad de la sumatoria
h+l
a. (h + I) = k a
i= 1](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-114-320.jpg)
![232 ESTRUCTURA DE GRUPO
11?orema
Si H es ur subconjunto no vacío del grupo (G , *), que verifica
aéH 11 beH "*O*b'eH
entonces (H, *)es un subgrupo de (G , *).
Hipótesis) ((, •) es grupo
1/l~HCG
aeH " beH =>a•b'eH
Tesis) (H, *1 es subgrupo de (G , *)
Demostracirnl
Debemosprobar que se cumplen los axiomas de grupo paraR
1) La asodatividad de • en H se verifica por ser H C G.
11) El neutro pertenece a H. En efecto
H=FI/> => 3aeH
Por hipótesis y definición de inverso
aeH ,. aeH =>a•a'eH => eeH
111) Tudeelemento de H admite su inverso en H.
Sea a eH.
Por 11 y ¡::or hipótesis
eeH A aeH =>e•a'eH •a'eH
IV) Hes :errado para la ley *·
Sean a=H ¡, b eH.
Por fU, por hipótesis y por inverso del inverso, se tiene
aeH " beH ~aeH A b'eH =>a•(b')'e H=~>
~a•beH
Lo demaitrado en 1, JI, III, IV prueba que (H , •) es un subgrupo de (G, •). Esta
condición suficiente es obviamente necesaria, Se la utiliza en la práctica de la siguiente
nmnera: de acuerdo con la hipótesis del teorema, para que H sea un subgrupo de
(G , "')dehenos probar
í ) H i: 41
ii)H·:G
iii) Si dos elementos cualesquiera pertenecen a H, entonces el primero,
compuesto con el inverso del segundo, debe pertenecer a H.
Ejemplo 8-5.
En R2
definimos la suma de pares ordenados de números reales
(a. b) +(e. d) =(a+ e, b +d) (I)
~--
SUBGRUPOS 233
Comprobamos que (R2
, +)tiene estructura de grupo abeliano, ya que se verifican:
G1 • La suma de pares definida en (1) es ley de composición interna en R2
•
G2 • Asociatividad.
[(a. b) +(e, d)] +(e, f) =(a+ e, b +d) +(e. f) =
=((a+ e)+ e, (b +d) + 1)=(a+ (e+ e), b + (d +f)) =
=(a. b) +(e+ e, d +{)=(a, b) +[(e. d) +(e. f)
Por (1), asociatividad de la suma en R y (l ).
G3 ~cut ro es el par (O , 0), ya que
(J. b) + (0. 0) =t O. O) +(a. =(a b)
G~ Inverso aditivo u opuesto del par (a. bt. es el par(- a.- b), pues
(a. b) +(-a.- b) =(-a.- b) +(a. b) =(O, O)
G5 . Conmutatividad.
(a. b) +(e. d) =(a+ e , b + d) =(e+ a. d +b) =
=(e, d) +(a, b)
Por ( l ), conmutatívidad de la suma en R, y (1).
(R2 , +) es el grupo abeliano de los pares ordenados de números reales con la suma
ordinaria de pares.
Ejemplo 8·6.
Se;n el grupo (R2
, +).y
r. , ,
H = t(X , y) e R- y : 2x j
Es claro que un elemento de R~ pertenece a H si y sólo sí la segunda componente es
el duplo de la primera.
Comprobaremos que (H, +)es un subgrupo de (R2
, +).
Verificarnos las hi~ótesis de !a condición suficiente demostrad~
; H:.t: <lJ ya que i l . 21 eH
¡¡ l H e por la detifiÍ(I0!1 de tt
iii) Sean (a . b) eH y (e. d) eH; debemos probar que
(a. b) +(-e, - d) e H.
En efecto:
(a.b)€H A k.d)EH ::::~~>b=2a '' d==2t.· =:.b--d=2(a-·c) "*
=o-(a-c,b-d)eH •(a,b)+(-c,-d)EH
Hemos utilizado la definición de H, la sustracción en R, la definición de H, y la de
suma de pares.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-122-320.jpg)
![236 ESTRUCTURA DE GRUPO
Demostración)
) Vi :eeG¡,pues(G¡,*)esgrupo
entoaces, por definición de intersección
eenG; => nG¡:;6Q>
1€1 fE!
ü ) n G¡ e G por definición de inclusión
fd
iii) Sean
a y be(lG;=>aeG; A beG,.Vi=• lfl
""" a* b' eG1 • ':/ i "* a * b' en G,
id
Por las definiciones de intersección y de subgrupos.
8.5.2. Unión de subgrupos
La propiedad anterior no se verifica en el caso de la unión. Para ello basta un
contraejemplo: sean H1 y H2 dos subgrupos distintos de (R2
, +),y no triviales, como
!o muestra la figura
H1
Sí x e H1 A y eH1 , entonces
xeH 1 UH2 f yeH 1 UH2
y sin embaqo
X +yt.Hl UH:z
MORFISMOS DI GRl POS
Es decir, la unión no es cerrada·para la suma de pares, y porto tanto no<.!::. "l'<t 'li .
de(R2
, +).
Ejemplo 8-9.
Sean (G' . *)y (G.. , *')grupos. En el producto cartesiano
G =G'X G''
se define la ley de composición ···" mediante
(a • b) • (e • d) = (a * e • b *·d )
b1tm11:es (G . •l e~ un grupo. llama<.lo prmlu;;:ro de los dadüs.
Vcrilk:~mo~ los ax.1omas:
G 1
• • es ley interna en G = G' X G"' por( l 1
G2 • es asociativa, pues
{l)
[(a . b) • (e . d)] • {e . /) = (a,* e . b *·d ) • (e . f) =
=((a* e)* e. (b *' d) *' f) =(a* (e* e) . b *' td >~' f)) =
=(a. b) • (e* e. d ...f) =(a. b) • (te. d) • h•. J)l
Hemos utilizado sucesivamente: la definición ( l ). G: en G' y G". y la definición
( l ).
G3
. Neutro es (e', e"), es decir. el par ordenado de los neutros de G' y de G".
En efecto, por (l) y G3 en G" y G'"
(a. b)• (e' ,e")= (e', e") • (a. b )=(a. b)
G. o lnwrso de (a. b) es (a_, . b -l ), donde a-1
y b -t son los inversos de a y b en
~,.;- y G" respectivamente. pues
(a.b)•(a-1 .b-1 )=(a-1
.b-1
)•la,b)=te',e"}
8.6. HO!lOMORFISMOS DE GRUPOS
~t6 l- (O!H:ep~o
R~tomamo~. en el caso partu.:mar üe ias <:slw..<ur;» J<: ¡;;upc. !e expuestl' ~n 54 ó'rl
reiadón con los morfismoso
Sean ahora los grupos (G . *)y (G' o *'}
Definición
La función f : G -+ G' es un. homomorfismo si y sólo si la imagen de ia
composición en G es igual ;r la composición de las imágenes en G'.
En símbolos
f: G -+G' es homomorfismo ~ f(a * b) -l<a) *'f(b)](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-124-320.jpg)
![240 ESTRUCTURA DE GRUl'O
.8.7. NUCLEO E IMAGEN DE UN HOMOMORFISMO DE GRUPOS
K7.l. Núcleo de un hmnmnorfbmo de grupos
Sea f : G .... G' un morfismo de grupos. La determinación de los elementos del
primer grupo, cuyas imágenes por f son el neutro del segundo grupo, conduce a un
subconjunto de G, llamado núcleo del homomorfismo.
Definición
Núdeu dd humon1ort1smo J G -. C~ es la totalidad de los dementos de G.
cuyas ima;;<.'ne~ nor (se ¡denuf,..:;w ..:on e! neutro de G'.
'Es decir
N(f) ={x € G if (x) = e·J
Es daro que d núcleo de fes la preimagen de {e·}
De acuerdo .:on la definición. se tiene
x€Nif) ~f(x)=e'
Esto significa que para verificar que un elemento pertenece al núcleo es sufic.iente
probar que su imagen es e'.
Ejemplo 8-/1.
El núcleo del homomorfismo del ejemplo 8-10 consiste en las matrices :!X:! tales
que
f 1i " b
1
j' '¡ = a + d = O, es decir d = -a
··,Le d /
En consecuencia. al núcleo de f pertenecen todas las matrices del tipo
Ía bl
Le -a~
lf1 ::~tt: ...,"a:.d. ::h:nlcntus. J~ iJ snn ;~]pu~:s.tn~ '.~de ~UnlJ ~ero .. u J~ trata
titila. s1enúu por JI" !1niutm !a rr:u:~ de una mamz la suma U<: ioli .:i.;m.:mu:-. Jo;;
la diagonal. En generaL la notación para la traza de una matnz A € R'"'" es
tr A=
8.7.2. Propiedad
n
! O¡¡
1=1
El núcleo de todo homomorfismo de grupos es un subgrupo del primero.
Hipótesis) (G, *)y (G', *')son grupos.
f: G_,.G' es un homomorfismo.
l';UCLEO E IMAGEN
Tesis)(N ( f ), *)es subgrupo de (G , *).
Demostración)
i ) Por 8.6.2.f(e) =e'=> e eN ( f) =>N (!)-::/: tP
ii ) N ( f) e G por definición de núcleo.
iíi) Sean
a y bEN(J) =>f(a):::e' 11 f(b)=e' =>
"'*' f(a) =e' ;. [f(b)r1
= e'-
1
=>
={(a):= e' )=e' =-f(a'!*'ftb"'1
)=e· =
=-f{a*b-1 )-=e· =a-~b- 1
eNtfl
241
Por definición de núcleo, imagen del inverso (8.td, ), inverso del ne·JtíO, com-
posición en G', homomorfismo y definición de núcleo.
En virtud de la condición suficiente 8.4.2., resulta (N (f) , *) un subgrupo de
(G' *).
8.7.3. Propiedad
El homomorfismo f G -+ G' es inyectivo, es decir. un monomorfismo si y sólo si el
núcleo es unitario.
Sea N ({)el núcleo del homomorfismo f: G -+ G'
i ) f es 1 - 1 ~ N (/) =( e)La demostración es inmediata, porque si en el núcleo hubiera otro elemento
distinto de e, entonces dos elementos distintos de G tendrían la misma
imagen por[. y no sería una función inyectiva.
ii ) N (j) = {e} ""'f es 1-L
En efecto, sean x, y € G tales que f (x) =f (y).
Componiendo con el inverso de/(_ y), en G'
f(x) *' lf< YW1
= f( y)*' {f( Y)]-
1
Por 8,6.3.. y por .en (G' , ~')
f~. :::.:. e
Por det1níción de homomorfismo
f(x *y- 1
) =e'
Por definición de núcleo
x * y-1
eN{[)
Por ser N([)= {e} resulta
X"'Y-1 =e](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-126-320.jpg)
![248 ESTRUCTURA DE GRUPO
Drfinii.:iJ;¡
El grupo ~ a que se refiere et teorema se llama grupo cociente de G por la
relación de equivalencia compatible con*·
Ejemplo 8-16.
Consideremcs el grupo aditivo de las clases de restos módulo n. En este caso
Zn = { O,L . . . , t! -=! }
De acuerdo -:on d ..:J<:mplo 5-1::'. se sabe que la congruencia módulo n es compatible
con la :1dición m Z: entonces, por el teorema fundamental de compatibilidad. se tiene
en el conjunto cociente Z3 una única ley de composición interna inducida, llamada
suma de clases, tal que la aplicación canónica f: Z -+ Zn es un homomorfismo, siendo
<Zn ,'i'i) el grupo aditivo de las clases de restos módulo n.
Para sumar dos clases en Z., procedemos así
Ü'i'i; = f(u)~f(¡:)=f(u +1•)
Dividiendo ¡¡ + v y n se obtienen q y r, tales que
u+v=nq+r A O~r<n
De (2) y (11
ya que
8.9.1. Concepto
u-f!ií::f (n q + r) = f (r) == r
(u+v)--r=nq =>nl(u+v)-r =>
=>u+ v -r
89. SL'BGRUPOS DISTINGUIDOS
( l )
(2)
Sean (Z , +)el grupo aditivo de los enteros y el subconjunto H de los múltiplos de
3. es decir
H={xeZ! 31x}
Si consideramos la congruencia módulo 3 en Z, entonces la aplicación canónica
t :z _,. z3
es un homomorfismo de (Z , +)en (Z3 , +) cuyo núcleo es, precisamente, H. En este
caso, decimos que Hes un subgrupo distinguido de G.
SUBGRUPOS DISTINGUIDOS 249
Definición
Fl ~uhgrupo (H . *) de (G , *)es distinguido si y sólo si existe un grupo (G' , *')
y un homomorfismo f : G -+ G', cuyo núcleo es H.
En símbolos
He G es distinguido '* 3 G' grupo, y f : G _,. G' hornomofismo 1 N (f) = H
Subgrupos distinguidos de todo grupo (G , *) son el mismo G y {e}. En efecto, en e)
primer caso. la aplicación
f: G --+ G definida por = e para todo x e G ,
~s un h<:•rnomorfismo. ya que
{tu* b J "-'e"' e"' e= j(aj "/( b)
Además. se verifica que N u·) = G.
En el segundo caso. basta definir [: G - G mediante f (X}= x, cualquiera que sea .t
en G. y se tiene un homomorfismo, pues
f (a * b} = a * b = f (a ) *f( b )
Ycomo N (f) =le.? .resulta {e un subgrupo distinguido de G.
:.. .... .. J
Sean ahora un grupo (G , *)y -una relación de equivalencia compatible con *·Por
el teorema fundamental de compatibilidad sabernos que(~ , *')es el grupo cociente
de G por la equivalencia. y que la aplicación canónica
f:G-+ ~
es un homomorí1smo respecto de *y ..•. Por lo que antecede es obvio que el subgrupo
IN (j ) . *) es distinguido, y queda caracterizado en términos de la relación de
equivalencia compatible con la ley del grupo G. Existe una estrecha conexión entre las
relaciones de equivalencia compatibles con la ley de composición interna de un grupo
y los subgrupos distinguidos de éste. El teorema que sigue aclara la situación.
8,9.:. Teorema. Ei:onjumo lE de tudas las relaciones de equivalencia definidas en
G. ..:mnpatibles con la ley interna de! grupo !C: ,.,·te" ;.:oordinablc al colli!Jll!O {;de
h.-.dos los subgrupos d!stmgu¡dos de íG . • 1.
Hipótesis) (G , *)es grupo
E = {E; ! t ¡es de equivalencia en G. compatible con *}
c:J = { Hí 1H, es subgrupo distinguido de G}
Tesis) lE es coordinable a (J
D!=mostración)
Definimos .P: E..¡.(] mediante la asignación
<P(E;) =N (Ji) (l)
1it](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-130-320.jpg)
![260 ESTRUCTURA DE GRUPO
Sea H un ~ubgrupo .del grupo finito G. El grupo cociente ~ ·, de las codases a
izquierda de 1-, es finito y su cardinal se llama índice del subgrupo H en G.
8.14.2. Teorema Si H es un subgrupo de orden k del grupo finito G, entonces toda
codase a izquerda de H tiene k elementos.
Hipótesis)(G. •) es grupo finito.
fH . *)es s1bgrupo de (G . *), de orden k.
T-.;s;s) e (ut' )= k par:J todo 11. eG.
Demostración¡
Oebemos frobar que H y uH son coordinables, y para ello definimos
f: H -i-ttH mediante f(a) =u* a
) fes la restricción de la traslación a izquierda fu : G -i-G al subconjunto H. y
en cmsecuencia es inyectiva.
íi) fessobreyectiva. pues para todo y t:uH existe x =u'* y. tal que
f lx)=f(u'•y)=u •u'•x=x
En conse.:~encia,f es biyectiva y e (uH) =e (H) = k.
8.14.3. Teonma de Lagrange. El orden de todo subgrupo de un grupo finito es
divisor del orden del grupo.
En efecto. si Hes un subgrupo de G y o (H) =k. por 8.14.2. el cardinal de toda
codase a izquierda de Hes k. y como éstas son disjuntas resulta
o(Gl=m k=m. o(H)
Es decir
o(H)¡o(G).
TRABAJO PRACTICO VIII
8-22. Determinar ..m ..:ada caso si el par {G . *}es grupo
a)
' l
G = tX/ X ""' 2k + 1 A k e Z f
* es el producto ordinario
b) G= { xfx=3k, 11 kez}
* es la adición en Z
e)
( r":"' '
G=ta+bv2 / aeQ ,~, béQ}
• es el producto habitual
d) G ~ {X/ X= 2
11
1 k EZ}
* es el producto
8-23. Verificar que los siguientes conjuntos son grupos cícUcos multiplicativos, y
determinar sus generadores
i) G={ 1,-1 ,i,-i}
ii ) G = { 1 , z ,z2
} siendo z = __1_ + . ..j32 l --2--
8-24. En R.. se define * mediante
a•b=2ab
Verificar que (R+, •) es grupo abeliano.
.lJ,:J5. En e! conjunto C d.;> lo<> ntímeros complejos se considera • definida por
ll*Ó=<?+b-
Probar que (C, *)es grupo abeliano
8-16. En R
1
={!1f: [O, l] ~R} se define la suma de funciones por medio de
(f +g)(x) =f(:') + g(x)
Demostrar que (R1
, +) es grupo abeliano.
8-27. Demostrar que (Rn , +) es grupo abeliano, siendo Rn el conjunto de todas las
n-uplas de números reales, yla suma definida por
(xt .x-:, • • · ,x,.)+(Yt ,y:z, • •• ,yn)=(x¡ +yt ,x2 +y2, · · · ,xn +yn)
8-28. For~ar el conjunto de todas las simetrías y rotaciones del triángulo equilátero](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-136-320.jpg)
![Capítulo 9
ESTRUCTURAS DE ANILLO Y DE CUERPO.
ENTEROS Y RACIONALES
9.1. INTRODUCCION
Con el agregado de una ley de composición interna sujeta a ciertas condiciones, se
enriquece la estructura de grupo abeliano y la terna a5Í obtenida constituye otro
sistema axiomátíco. Se definen aquí la estructura de anillo y el caso particular de
cuerpo. Lo mismo que en el caso de la estructura de grupo, se estudian sus propiedades
básicas y se introduce el concepto de ideal. Después de tratar la factorización en los
dominios de integridad principales, se introducen el anillo de los enteros y el cuerpo de
los racionales.
9.2. ESTRUCTURA DE ANILLO
Sean un conjunto no vacío A, y dos funciones: * y •.
Definición
La terna (A , * , •) es un anillo si y sólo si
l Ei conjunto con la primera ley es un grupo abeliano.
2. E~ conjunto con la ~gunda ley es un semigrupo.
3. b segunda ley e:; doblemente dtstributiva re~pt:ctü de la primer:;.
Reformulamos la definición teniendo en cuenta que las dos leyes de composíc¡on se
llaman aditivay multiplicativa, y que se las suele denotar con +y , respectivamente.
Definlción
La terna (A , + ,.) es un anillo si y sólo SI
l. (A , +)es un grupo abeliano.
2. (A, .) es un semigrup'o. ·
3. El producto es distributivo a izquierda y derecha respecto de la suma.
Estas condiciones se traducen en los siguientes axiomas:
ESTRUCTURA DE ANILLO
A1 : La adición es ley de composición interna en A.
Va Vb : a € -""'- " hE A => a +b e A
A2 : La adición es asociativa en A.
Va Vb Ve e A: (a+ b) +e= a+ (b +e)
A3 : Existe neutro en A. que denotamos con O, respecto de la adición
30€ A/Vae A :a +O=O+a =a
A4 . I1.1do elemento ue A admite inverso aditivo u opuesto.
va e A, 3 -a e A 1a-+ (-a)= (-a} +a= O
As : La adición es conmutativa
VaVbeA:a+b=b+a
1
A6 : El producto es ley de composición interna en A.
Va Vb :a e A ,, bE A :;> a. b € A
A7 : El producto es asociativo ~n A_
Va Vb 'Ve e A: (a. b). e= a. (b. e)
A8 : El producto es doblemente distributivo respecto de la sun:a.
fa. (b +c)=a. b +a. e
"'a Vb Ve e A:
1(b+c).a=b.a+c.a
265
Si, además, ocurre que la segunda ley de composición es conmutativa diremos que
el anillo (A , + , .) es conmutativo. Si existe elemento neutro o identidad respecto del
producto, que denotamos con 1, entonces se llamará anillo con identidad o con
unidad. Un anillo con identidad cuyos elementos no nulos son inversibles se llama
anillo de división.
Ejemplo 9·1.
Clasificamos las siguientes temas
i ) (N,+ •.) no es anillo, pues no existe neutro para la adición.
ii) (No , + , .) no es arullo, porque los elementos no nulos de N0 carecen de
inverso aditivo.
iii) (Z , + , .) es anillo conmutativo y con unidad.
iv) (R1 , + , .) es el anillo conmutativo y con unidad de las funciones reales
definidas en 1 =[O, 1] con la suma y el producto de funciones, llamadas
leyes de composición punto a punto, definidaS en los ejercicios 5-3 i y 5-36.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-138-320.jpg)
![/66 FSTRUCTURA DE ANILLO Y DE CUUU'O. ENTEROS Y RACIONALES
9.3. PROPIEDADES DE LOS ANILLOS
'i3.1. El producto de cualquier elemento de un anillo por el neutro para la primera ley
e:: igual a éste.
Hipótesis) (A , + ,.) es anillo.
Te,is) a. O= O. a= O
Demostración)
Cualquiera que sea x e.A. por A3 se verifica
x+O=x
í':¿multiplicando por a
a. (x +O)= a. x
f-·3r la distnbutívidad
a. x +a. O=a. x~
En virtud de A3
a.x+a.O=a.x+O
hr ley ..:ancelativa en el grupo (A , +)
a. 0= O
,·n.ilogamente se prueba que O. a =O.
E:;ta propiedad suele enuncíarse así; en todo anillo, el producto por Oes O.
9.3.2. En todo anillo, el producto del opuesto de un elemento, por otro, es igual al
.;puesto de su producto.
Por dístributividad, A4 y producto por O, se tiene
(-a). b +a. b = (-a +a). b =O . b =O
Es decir
(-a).b+a.b=O
Entonces
(-a). b =.={a. 1!)_
De manera similar se prueba que a . (- b) ==- (a . b).
9.3 .3. En todo anillo, el producto de los opuestos de dos elementos es igual. al
;_1rodm:to de los mismos.
. plicando reiteradamente la propiedad 9.3 .2., y por opuesto uel opuesto, resulta
(-a).(- b) =-la.(- b)J =-[-(a. b)] =a. b
DIVISORFS DE CERO 267
9.3.4. En todo anillo vale la distributividad del producto respecto de la diferencia.
Se trata de probar que (a - b) . e =a . e - b . e
Por definición, se sabe que a- b ~a+(- b). Entonces, aplicando A8 y 9.3.2.
(a- b). e= [a +(-b)]. e =a. e+(~ b). e =a. e+ {-·(b. e)] =a. e -·h. e
9.4. ANILLO SIN DIVISORES DE CERO
9.4.1. Concepto
Fn el ejempln 5-15 hemos analizado las leves de composición interna, llamadas
suma y producto de clases, inducidas en el conjunto cociente de Z por la relación de
congruencia módulo n = 3. De acuerdo con 9.2 resulta (Z3 , + ,.) el anillo
conmutativo y con unidad de las clases de restos módulo 3. En los ejemplos 5-15 y
5-16 hemos confeccionado las tablas de la adición y multipUcación en Z 3 y Z4 . En el
primer caso hemos observado que elementos nó nulos dan producto no nulo; pero en
el segundo caso ocurre que hay' elementos no nulos cuyo producto es nulo. En
(Z3 , + , .) elementos no nulos dan producto no nulo, y se díce que no existen
divisores 'de cero. En (Z4 , +, .), en cambio, hay divisores de cero.
Definición
El anillo (A , + , .) no tiene divisores de cero si y sólo si elementos no nulos dan
producto no nulo.
En símbolos
(A , + , . ) carece de divisores de cero <:> V x Vy : x =F O 1 y ::fo O = x . y =!= O
Equivalentemente, por medio de la implicación contrarreciproca se tiene
(A,+, . ) carece de divisores de cero <:> V x V y : x. y= O = x =O v y= O
Esto significa que, para demostrar que en un anillo no existen divisores de cero, es
suficiente probar que si el producto de dos elementos cualesquiera es cero. entonces
alguno de los factores és cero.
Negando el antecedente y el consecuente del bicondicional que expresa simbólica:
mente la definición, resulta
(A , + , . ) tiene divisores de cero <:> 3 x 3 y / x *O 1 y *O 1 x. y ==O
Definición
El anillo (A , + , .) tiene divisores de cero si y sólo si existen elementos no nulos
que dan producto nulo.
9.4.2. Propiedad. El anillo (Zn , + , .) no tiene divisores de cero si y sólo sin es primo.
Por definición, el número natural 11 '- l ..:s primo si y sólo sí los únicos divisores](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-139-320.jpg)
![270 ESTRUCTURA DI:. ANILLO DI. (l;l·.RPO. ENTI.ROS Y RAUO,'.ALES
Tesis) x "'' O v y == O
Demostración)
Suponemos que y if= O. Debe ser necesariamente x =O.
Por A3 , cualquiera que sea z € A, se verifica
z.y=z.y+O
Como por hipótesis x . y =O, se tiene
z.y=z.y +x.y"
Por distributividad
z. y= (z +x) .y
?ur ley cancelativa, ya que y*O, resulta
z=z+x
Es decir
x=O
Ejemplo 9-2.
En el conjunto Rn x ", de todas las matrices reales de n filas y n columnas. se define
la :nultiplicadón por medio de la siguiente regla: si A y B son dos matrices 11 x 11, en-
tcn..:es la matriz producto e =A . B es tal que el elemento genérico eii es igual a la
suma de productos de los elementos de la flla i de A. por los correspondientes elemen-
tos de la columnaj de B, es decir
C¡¡ o=a¡ 1 . bli +a¡2. b2¡ + ... +atn. b.,¡= f an~. bki
k=l
Í- 1 2 o] [ 2 1 - 1"'j·
Por ejemplo, si A=
1
3 O l y B = O 4 3 , entonces la matriz
L O -1 l -1 -2 -3
producto e= A. B pertenece a R3
x
3
' y es tal que
c 11 = (- 1). 2 + 2. O+ O. (-1) =- 2
c12 = (- 1). 1 + 2. 4 + Ó. (- 2) = 7 , etcétera. Entonces
r-1 2ol ¡2 1- 1] [-2 7 7]e=A.B=.i 3 O 1 1
• O 4 3 = 5 1 -6
~ o -1 lJ -1 -2 -3 -1 -6 -6
l desarrollar el trabajo práctico que se propone al término del capítulo, el lector
pcérá comprobar que el producto de matrices es asociativo, no conmutativo, con
ne:.Hro. y distributivo a izquierda y d<!re.:ha respecto de la .suma.
ANILLOS ESPH'!ALES
El elemento neutro es la matriz identidad I € Rnxn, tal que
a¡¡= 1 si i = j
a¡¡= O si i=f:j
Es decir, está formada por unos en la diagonal y por ceros fuera de ésta.
271
De acuerdo con lo expuesto, y teniendo en cuenta el ejemplo S-8, la terna
(Rnxn, +,.)satisface
A1 :A€Rnxn 11 B€Rnxn =>A+BeRnxn
Az : (A + B) +C = A +{B + C)
A~ : 3 N € R" xn ! V A e Rn xn : A +N =N + A = A
A4 :VAeR""n,3-AeR"x" A+(-A)=(-A)+A=N
As: A+ B= B +A
-~ :AeR""" BeR""n =>AtB€Rnxn
A7 : (A. B) . e= A . (B . e)
A8 : 3 I € Rn xn '</A é Rnxn :A. 1= I. A= A
A9 : A . (B +e) =A . B +A . e (B + C) . A =B . A + e.A
Se trata del anillo no conmutativo, con identidad, de las matrices cuadradas n x n.
Podemos verificar la existencia de divisores de cero en el caso particular
(R
2
xl , +, .}, mostrando que matrices no nulas pueden dar producto nulo. En efecto
A=[~
Ejemplo 9-3.
-11 r-1 o, .
oJ *N y B = L 1 oJ *N, ysm embargo
[o o¡= N
A.B= 0 OJ
• La terna (P. (U) , 6. , n) es un anillo conmutativo, con identidad y con divisores de
cero. En efecto
l. (P (U) , 6.) es grupo abeliano, como está jústificado en 2.11.2.
2. (P (U) , 11) es un semigrupo conmutativo, con identidad.
3. La intersección es distributiva respecto de la diferencia simétrica.
A n (B 6. C) =(B ~ C) nA =(B n A) ! (e n A)
La demostración figura en el ejemplo 2-28.
4. Existen divisores de cero, pues si A y B son disjuntos y no vacíos se cumple
A=l=tf> 11 B#q, 11 AnB=tf>](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-141-320.jpg)
![] ](¡
I:STHUCTURA DI ANILLO Y DE CUFRPO. ENTEROS '1 ILUONALl S
por lo tanto es divisor de 1, de acuerdo con 9.7.2. Esto prueba que 1 es un M.C.D. de a
y b, y por 9.7.3., existen s y ten A, tales que
1=s.a+t.b
9.7.6. Elemen~os primos o irreducibles
En Z, el entero 3 es no inversible y admite únicamente las descomposiciones
3 = 3 . I y 3 = (- 3) ~ (- 1)
donde l y - l son irw?r<ihl...~ Se dice que 3 es primo o irreduci:,le ..
Definición
El elemento no inversible a € A es primo o irreducible si y sólo si toda
descomposición a =x . y es tal que alguno de los factores es inversible.
9.7.7. Propiecbd. Si un elemento primo es divisor de un producto, entonces es divisor
de alguno de Jo¡ factores.
Hipotesis) a es primo y a i b . e
Tesis) a!b v 1!c
Demostración)
Si a 1 b, nad:; hay que probar, porque la disyunción de la tesis es verdadera.
Consideremos el caso en que a 1 b es F. Como a es primo, se tiene que a y b son
coprimos, y por 9.7.5. es
l=s.a+t.b
Multiplicando por e
I.c=s.a.c+t.b.c
Es decir
e = s . a . e + t . a . x ya que a 1 b ~ e ~ b . e =a . x
Por di~tributividad
('s, :: ·+' t ~ &'":.~ a
Luego
ale
9.8. ANILLO ORDENADO
9.8.1. Concepto
El anillo (A,+ , .) está ordenado por la relación de orden total que indicamos con
(·
1
'
1
1
,¡
1
1
J..~:
""'
1
ANILLO ORDENADO 2?
el símbolo < si y sólo si dicha relación es compatible con la adición y multiplicación
en A, en el sentido siguiente:
i ) X <y =:>X +Z <y +Z
ii) O<x A O<y =:>O< xy
Que el orden es total o lineal significa
xe.A =:>x<O V O<x V x=O
Si el anillo no es trivial, es decir, si no se reduce al único elemento O, entonces los
elementos x que satisfacen la condición O < x se llaman positivos y pertenecen al
subconjunto
A~= xe.A O<
Los opuestos de los elementos positivos se llaman negativos y definen al
subconjunto
~ ) ( 1
A-=<xeAt-xeA•>=.xeAIO<-xrl ) ... j
Queda caracterizada así una partición de A en los subconjuntos A+, A- y
consecuencia
xeA =:>xeA+ v xeA- v x=O
9.8.2. Propiedades. Sea (A , + , .)un anillo ordenado por la relación<.
I) El producto de dos elementos positívos es positivo.
xeA"' A y eA• =:> O<x " O<y =
= O<xy =xyeA+
Por defmición de A+ y ü ).
En consecuencia, A+ es cerrado para el producto.
U)El producto de dl>s elementos, uno positivo y el otro negativ•:~. es negativo.
X € A. eA-=ú<,~ 0<-v =o
~ 0 <:t (-y) => 0 <- (x y) - X y € A-
Por las defmiciones de A+ y de A-, ii ). 9.3.2.• y por definición de A-.
III) El.producto de dos elementos negativos es positivo. ,,
xeA- A yeA-=--xeA+ A -yeA+=-
= (-x)(-y)e A+= xye A+
Por defmición de A-. III) y 9.3.3.
IV) x<y * y-xeA+
,.y en](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-144-320.jpg)
![2;;2 ESTRUC! Ld{t DL ANILLO Y DE Cll!RPO. EN llli.US lCCIO:-<ALLS
INfinicián
Número entero Oes la clase K0 ,1 >·
Entero positivo es toda clase del tipo K(n,l) con n >l.
Entero negativo es toda clase K(l,n) con n > l.
Para denotar los enteros utilizaremos los símbolos
K{I,l) =O
K(n,l) = +(n- 1)
K(l,n) = -(n- l)
Así. K11.2 ¡ '" - l • K(a.u = +::! • etcéter:~..
9.10.2. Operaciones en N2
y compatibilidad
sin>l
sin>I
En N2
definimos la adición y multiplicación mediante
l.(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')
:! . (a, b). (a', b') = {aa' + bb' ,ab' +ba')
La relación de equivalencia definida en 9.10.1. es compatible con estas leyes de
composición interna en Nl. En efecto
í ) Por definición de la relación de equivalencia, conmutatividad y asociatividad
de la adición en N, y por ia definición l .. se tiene
ii) Sean
(a • b) - (a' . b') / (e • d) - (e' • d') =-
=a+b'=b+a' i c+d'=d+c'=
=>(a+c)+(b'+d')=(b+d)+(a'+c') =>
=>(a +e. b + d)- (a'+ e', b' + d') =>
=>(a • b) +(e. d)- (a'. b') + (e', d')
(a. b)- (a'. b') /(e, d)- (e'. J') =>
=>a+b'=bfa' 11 c+d'=d+c'
Multiplicamos la primera igualdad por e y luego pord
ae +'b'c ==be +a'e
bd +a'd=ad +b'd
Sumando
ac + bd +a'd + b'c =be +ad -'-a'c + b'd (1)
ANILLO I>F LOS ENTEROS 283
Multiplicando la segunda igualdad por a'y por b'
a'c +a'd' = a'd +a'c'
b'd + b'c'= b'c + b'd'
Sumando
a'c + b'd + a'd' + b'c' =a'd + b'c +a'c' + b'd' {2)
Sumando (1) y (2), después de cancelar resulta
(ac +bd) + (a'd' + b'c') = (ad +be)+ (a'c' +b'd')
Pcr ~efinh:ió~ d= la rcl:1cién de equivalencia
(ac + bd. ad +be)- (a'c' + b'd'. a'd' + b'c')
Por definición de producto resulta
(a, b). (e, d)- (á'. b'). (e', d')
9.10.3. Adición y multiplicación en Z
De acuerdo con el teorema fundamental de compatibilidad existen en el conjunto
cociente ~
2
= Z dos leyes de composición interna inducidas, llamadas suma y
producto de enteros. únicas, tales que la aplicación canónica f: Nl -+Z es un
homomorfismo.
Veamos cómo se realizan la adición y multiplicación en Z
( -3 ) + (+~) = f {l ' 4) +f(3 • 1) = l [(1 ' 4) + (3 ' l )] = {{4 ' 5) =f (l • 2) = -1
(--3). (+~) =f(l .4) .{(3' l)=f[(l ,4). (3 'l)J=f(7' l3)=f(l '7)= -6
Hemos utilizado la defmición de aplicación canónica, el hecho de que es un
homomorfismo y las definiciones de adición y multiplicación en N2
•
Es fácil verificar qu~ la adición es conmutativa y asociativa en N2 • y en virtud del
teorema fundamental de compatibilidad lo es en Z.
Además, neutro para la adición en Z es O= K(l,l)• pues
K(a,b) +O =f (a, b) +f(l, 1) =![(a, b) + (l , l)] =
= f (a+ l , b + t) = f (a .b) = K(a,b)
El entero opuesto de K(a,b >es K(b,a) pues
K(a,b) + K(b,a) = f(a, b) + f(b, a) =f(a + b, b +a) =f(l, l)=
= K(t,tl =O
Resulta entonces que el par (Z, +)es un grupo abeliano. .
El lectnr puúk c~>mprnhar que la multiplicación es conmutativa y asociativa en N2
,](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-147-320.jpg)
![2:c::l ESTRUCTURA DE ANILLO Y DE CUERPO. FNTEJWS Y RACIONALES
y por el homon10rfismo canónico estas propiedades se trasfieren a la multiplicación en
Z.
Neutro para el producto en Z es+ 1 = K(2,l) pues
K[a,l>). K(l,l) =f(a ,b) .f(2, l)=f[(a ,b) .(2, l)} =
=f (la+ b , a + 2b) == f (a, b) = K(4 ,bJ
De manera análoga se comprueba la distributividad de la multiplicación respecto de
la adición en Z.
Pm lo tant~. la terna tZ + ..) es un aníllo conmutativo y cnn unidad.
Este anillo ::m:.;e de divisores de cero. En efecto
Sean los enteros K1x.:v 1 y Krx·,y•¡ tales que
K(xs). K(x ',y'): K(l,l) donde K(x',y') =F O
Por aplicaciór, canónica
f(x ,y).f(x',y')=f(l, 1)
Por ser J un homomorfismo
fl{x ,y). (x' ,y')l =lO .1)
Por producto en N2
f(xx' +yy' ,xy' +yx') =f (1, 1)
Por definícióa de aplicación canónica
(xx' + yy', xy' + yx')- (1 , 1)
1eniendo en cuenta la definición de la relación de equivalencia resulta
xx'+yy'=xy'+ yx'
six'> y'
X..'l·- xy'=yx'·- yy'
es dedr
l'"' vp Y
En consecaencia, x =y, y resulta Kcx,y l =O.
Se tiene a1í el dommio de integridad de los números entuos.
9.11. ISOMORFISMO DE LOS ENTEROS POSITIVOS CON N
Sea.,.~~ el conjunto de los enteros positivos. Definimos
F:z+-+N
mediante la asignación F (+a) =a
.'
VALOR ABSOLUTO FN Z
Se verifica
) F es inyectiva, pues
+a;fo+b =>a;fob =*F(+a)*F(+b)
ii ) F es sobreyectiva, ya que
VaEN,3+aeZ+/F(+a)=a
iii) F es un morfismo respecto de la adición en Z + y en N.
F [1 +a)+ (+ b )] = F [+ (a+
a-1-b"'F +a).Fi+b)
iv) F es un morfismo respecto de la multiplicación en Z • y en N.
F [1 +a}.(+ b)] =F [+(a. b )] ::::;
=a. b=F(+a).F(+b)
,
285
En consecuencia. F es un isomorfismo de z+ en N, es decir, ambos conjuntos son
indistinguibles algebraicamente y ?Ueden identificarse.
9.12. PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
9.12.1. Función valor absoluto
Es la aplicación
f : Z -+ Z - Z" definida por
{
xsix;oo
ix 1 =f(x) =
eX si x <O
Su representación está dada por los puntos de coordenadas enteras de las bisectrices
del primero y segundo cuadrantes
¡z-1.
¡
¡_
~- -·-- - ~ - - - _1'- - - - - - - - - -..,
i
., t
,-------- :: ______.,
1
1
1
1
¡
1
1
-3 -2
1
1
1
·----r---·' 1
1 1
1 . 1
1
-1 o z2 3](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-148-320.jpg)
!['],,;!, ESTRUCTURA DE ANILLO Y IJL CLLRPO. 1-.NTEROS Y RiCIONALI.:S
~.12.2. Propied~¡des del valor absoluto
1) Todo entero está comprendido entre su valor absoluto y el opuesto de éste.
-lxl.;;;;x.;;;;txl
Se presentan tres casos
a)x=O =*-lxl=x=lxl
b)x>O =*_-txl<x=lxl
· e) x<O ~ -lxl=x< lxl
U)lxl<a ~ -a<x<a
En efecto
Por 1)
x~ lx i
Por hipótesis
x 1 <;a
Por transitividad resulta
x<;a (1)
Multiplicando los dos miembros de la hipótesis por - l
-!xl;;;;.-a
Por I)
-lx! <;x
Entonces, por transitividad
-a<,x (21
De (1) y (2) resulta
-a<,x<;a
III) -a ~x <;a =* ¡x 1<;a
Si x # O, entonces por definición de valor absoluto y por hipótesis
lx!=x<a (l)
Si x < O, por defmición de valor absoluto, y multiplicando por - 1 los dos
primeros miembros de la hipótesis
lx 1=-x<;a {2)
En ambos casos, (1) y (2), se tiene
lxi <;a
IV) El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores
absolutos.
1··sis) lx +y 1<; lx 1+!y 1
01'ISION ENTERA 287
Demostración) Por 1)
-lxl.;;;;x.;;;;l.xl
-Lvi<y<lyl
Sumando se tiene
-(lx 1+ iyi)<x +y< lxl + lyl
Por III) resulta
lx+yi<!xi+lyl
i) Eí vaior aosoiuto de un proüuctu e:. igual al proJu..iv Jt lu5 va!o1cs absolutc.s ,:k
los factores.
ix.)-'i=lxl IYl
la demostración queda como ejerciCIO. y basta aplicar la definición de valor
·absoluto a los casos que se presentan.
9.13. ALGORITMO DE LA DIVISION ENTERA
Teorema. Dados dos enteros a y b, siendo b >O. existen dos enteros q y r. llamados
cociente y resto, que verifican
i) a=bq-rr
ii) o,;;;r<b
Demostración)
Como bes un entero positivo, se tiene b;;;;.. l ( I).
Multiplicando ( l) por- 1a i
-ja¡b<,-¡ai
Por 9.12.2.1)
-lal<a
De estas dos relaciones se deduce
-jajb,;;;a
En consecuencia
a-[-lal.b];;;;.o (2) .
Sea C el conjunto de todos los enteros no negativos del tipo a- xb. con x e Z. De
acuerdo con (2), para x = - 1 a 1, se tiene
a-xb=a-[-ial b];..O
y en consecuencia Ces no vacío.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-149-320.jpg)
![29é l·STRUCTURA DI. ANILLO DI Cl FRPO. 1 :11 RU~) .R.CIO::-;AUS
Para deno1ar los números racionales, e~ dedr. las dases K(p,q > de acuerdo con la
definición del conjunto de índices, se escribe .!!_
q
9.16.2. Openciones en Z X Z* y compatibilidad.
En Z X Z*definimos la adición y multiplicación mediante
~. (a , b) +(a'. b) = (ab' + ha', bb)
:. ía, b) la'. = (aa·. bb')
Es simple la verificación de que estas leyes de composición interna en Z X Z* son
asoc1atívas. cmmutauvas. y la segunda distributiva respecto de la primera.
Por otra pme. la relación de equivalencia definida en 9.16.1. es compatible con la
adición y mul1iplicación en Z X Z*. En efecto
) Por la definición de la relación de equivalencia en Z X Z*
(a b)-(c,d) ,., (a',b')-(c',d') =>ad=bc 'a'd'=bi:'
Multiplicando estas igualdades por b'd' y bd, respectivamente, tenemos
adb'd' =bcb'd' 1 a'd'bd =b'c'bd
Sumando
adb'd' +a'd'bd = bcb'd' + b'c'bd
Por distributivídad en (Z , +, .)
(ab' + ba') dd':::: (cd' + de') bb'
Por definición de la relación de equivalencia en ZXZ*
i.ab · + ba'. bb } ~· +de·. dd')
Por detinic¡ón l " de: ddición en Z X Z*
(a. b) +(a·, b·}-(e, d) +(,e', d')
Lo que prueba la compatibilidad de l.a relación de equivalencia respecto de la
adición en Z XZ*
ii) Aplicando la definición (1) de 9.16.1., la conmutatividady asociatividad del
producto en Z. nuevamente (1) y la definición de· producto en Z X Z*.
resulta
OPERACim;¡ S 1;.; Q
(a,b)~(a',b') 1 (c,d)~(c',d')
JJ
ab' =ba' A cd' = de'
JJ
ab'cd' == ba'dc'
JJ.
(ac) (b'd') = (bd) (a'c')
lJ
(ac, bd)- (á'c', b'd')
{¡
!a. b) . le . d}- (a· b') . (e·. d'l
Es dedr. val<! la compatibilidad de" respecto 'del producto enZ X Z*
9.16.3. Leyes inducidas en Q
1
297
Dado que la relación de equivalencia 9.16.1 es compatible con las leyes de
composición interna definidas en Z X Z*, de acuerdo con el teorema fundamental de
t:ompatibilidad. existen en el conjunto cociente Q dos leyes de composición interna
inducidas. llamadas suma y producto de racionales. únicas, tales que la aplicación
canónica[: Z X Z* -+Q es un morfismo que preserva las propiedades.
La realización de la adición y multiplicación en Q es la siguiente:
e 2 5
- 3) + 6 =K<-2.a>+K<5.s>=/(-2,3)+/(5,6)=
=f[(-2 ,3) +(5 .6)]=[(3 .18)=[(1 ,6)=K0 ,6 ¡= !·
f
r 2'., 5 . .., .. .. _, _
·~- 3) '.6 =J(-w,5)./(5 ,6)=/[(-.:;,J),{:> ,6)]=
5
=f(-10' 18)={(-5 ,9)=- 9
•
ac acuerdo •:on la deí1nición de aplkanón c:mónica. e! h·Jmomorfisrr:o las
det!mdones de adJdon y mu!ttpli~J.:ion en l Xt."' ..
l'vr e1 m1smo teorema iundJmemai !a'l oper:tc1ones mauc10as en Q ;;nn
mutaüvas y asociativas. Además. ia muittplí..:acH.ín es distributiva respt!cto de la
adición.
Investigamos la existencia de elemento neutro para la adición en Q. Se trata de
determinar, si existe, K1.x,yj tal que cualquiera que sea K1a.bJ se verifique
~(a,!>)+ K(.x,y) = K(a,b)
Por definición de aplicación canónica
f(a, b)+f(x,y)=f(a, b)](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-154-320.jpg)
![2':H·~ ESTRUCTURA DE ANILLO Y DE CUERPO ENTEROS Y RACIONALES
Por ser fun homomorfismo
![(a. b) +(x, y)]= f(a, b)
Por adición en Z X Z*
f(ay +bx, by)= l(a. b)
Por definición de aplicación canónica
+bx,by)-(a.b)
Por 9.16.1
ah.v + h2
Y = l!by
Cm..:elando en (Z , +) se tiene b2
x = O. y como b * O resulta x =O. y en
,;;onsecuencia neutro pan la adición en Q. es
o
K{O,l) = -1-
Inverso aditivo u opuesto de K<a.b> es K(-<>,1>) ya que
Ka,b) + K(-a,b) = f~a. b) +/(-a, b) =
=
![Capítulo 10
NUMEROS REP.LES
10.1. INTRODUCCION
De acuerdo con el método genérico empleado hasta ahora, se estudia en este capí·
tulo el número real siguiendo dos vías alternativas: los encajes de intervalos cerrados
racionales, y las cortaduras de Dedekind; se mencionan, además, los pares de
sucesiones monótonas contiguas de racionales. Se llega a establecer que {R , + , .) es un
cuerpo ordenado y completo. Asimismo, se encaran con cierto detalle la potenciación
y la logaritmación en R. Se demuestra, finalmente, que R es no numerable.
10.2. EL NUMERO REAL
10.2.1. Ecuaci¡mes sin soluciones en Q
La medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 es.Ji
número que satisface la ecuación
x2
-2=0 (1)
Demostraremos que si un racional es raíz de (1), enton~es dicha raíz es entera.
En efecto. ~a ~- eQraíz de í 1), y p y q coptimos.
'1
Entonces
z
:2 -2 =O => p2 . ~ tl =O => p2 = :; qz => q2 1p~
Ahora bien
q lq2
A q2
lp2
:~;q lp2
':!;q lp. p
y siendo p ) q coprimos, por 9-8 ü) resulta q 1p y en consecuencia q =± l, es
decir _!!_ e Z .
q
;_
_......
ENCAJES DE INTERVAL05 309
Por consiguiente es válida la implicación contrarrecíproca: si la ecuación (l) no
admite raíces enteras, entonces dichas raíces no son racionales.
Precisamente ( 1) no tiene raíces enteras, pues
VaeZ:lal..;;l ~a2
-2<0
V a e Z: al;;;;. 2 ~ a2
- 2 >O
y en consecuencia carece de raíces racionales, es decir, .J2.; Q.
Situaciones de este tipo plantean la necesidad de ampliar el conjunto Q, de modo
que una parte del nuevo conjunto, que llamaremos R, sea isomorfa a Q. La vía que
elegimos para este íin es el método de ios intervalos encajados de racionales, a través de
los cuales se tiene una representación geométrica de interés intuitivo, y, como
alternativa, el de las cortaduras de Dedekind.
10.2.2. Encaje de intervalos cerrados racionales
Definición
Intervalo cerrado racional de extremos a y b (siendo a~ b), es el conjunto
[a,hJ={xEQ 1 as;;x,;;;
De acuerdo con 9.18.2, el conjunto [a , b] e Q es infinito, porque entre dos
racionales distintos existe otro, salvo el caso a= b en que el intervalo se llama
degenerado y se reduce a un único elemento.
Amplitud del intervalo cerrado [a , b} es el número racional b -a.
Sucesión de intervalos cerrados racionales es toda función/. con dominio N, y cuyo
codominio es el conjunto de todos los intervalos cerrados racionales.
Una tal sucesión queda determinada por el conjunto de las imágenes
[a1 ,ai],[al ,a~], ... ,[an ,a~],
donde f(n) = [an 'a~ le Q
E¡empto i 1;.¡.
Los cuatro primeros términos de la sucesión cuyo elemento genérico es
rl 2- -J., ' 2 + ..J-l son los intervalos cerrados racionales
l l J
[3 S] [S 71 r7 91
[l,J], Z"'T '3•3J•L4•4J
y su representación en un sistema de abscisas es](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-160-320.jpg)
![3'0 NUMEROS REALES
9 7 5
-- -
4 3 2 3- ..._ ..._ _____ _____j__~ _______ ____t"____ _ó __ ó_ .......
...-~--- -_____________..---.. -- 1 ---·---..;r--....,-------....-----,¡;;r-----~
3 S 7
2 3 4
Esta sucesión es tal que cada intervalo está contenido en el anterior, es decir
[3 S] [5 7][l '~] :::> 2 ' 2 ::> 3 ' 3 :::> •••
:n.:tivo por el cual se dice que es decreciente.
Además. 1a correspcndiente sucesión de amplitudes ai- a¡ es convergente a O, yii
qLc
3 - 1 = 2
5 3
2 - 2
7 5 2
3-3=3
9 7 1
-¡---¡-=2
Es decir, a partir de cierto índice, todos los intervalos de la sucesión tienen
ar::¡:>Utud menor que cualquier número positivo, prefijado arbitrariamente.
La familia ~ 2 - _.!._, 2 + _;.l con i eN es un encaje de intervalos cerrados de
- ¡ l J
racionales, concepto que precisamos a continuación.
Definición
Encaje de intervalos cerrados racionales es toda sucesión de intervalos cerrados
racionales [a¡, a'¡] e Q, con i e N, que satisface las siguientes condiciones:
) Es decreciente, en el sentido de que cada intervalo contiene al siguiente
ieN = [a¡,a;]::J[a;+x ,ai+d
O bien
i eN = l¡+t el¡ siendo I, =[a¡ ,a;]
ii ) La sucesión de amplitudes es convergente a O.
'ti E> O, 3 n0 ( 8) / n >no =a~ - an < 8
Es decir, prefijado cualquier número positivo E:, es posible ~eterrninar un número
110 que depende de t:, tal que piua todo índice de la sucesión que supere a n0 ocurre
que la amplitud del intervalo correspondiente es menor que E: .
'
~.
ENCAJES DE INTERVALOS
Ejemplo 10-2.
La sucesión [ 2 - +,2 + ~-] define un encaje de intervalos, pues
i ) Es decreciente. Debemos probar i € N =~> 11+ 1 e l¡.
En efecto
X € l¡+ 1 =>X € [ 2- i!.1 '2 + i!.l] =>
=2-¡! 1 ,¡¡;;x,¡¡;;z+ 1
I+T = l + i
~x-2=
1 +i
:=;.
'!' 1 1 1
1 l .i .1
-<---~Y-"1~--<-
1 l
=----~<x-2<~ ==>= , . + l ""·~ -""' . 1 '¡ l l + l
=2-)-<x<2+1
=x el;
r
=-xe 2-
'-
,2 +
ii) La sucesión de amplitudes es convergente a O.
Sea E >O. Hay que determinar n0 tal que
n > n0 =>a~ - an <f.
Ahora bien
/ ¡
=>
( 1 ' ( 1 "'
a~ - an < E: => 2 + - 1 - 2 - - 1< E =>
~ n, · , n ,·
., '")
:=;.::..<E:=~> n>-=
n E:
Afirmamos que "</ t. > O, 3 n0 = ~ tal que
n>no :=;. a~ - an < t:
En efecto
2 1 E:
n>-=>-<-=V S n 2
1 · E 1 t=>2+-<2+-A 2-->2-- :=;.
·n 2 n 2
=> (z+_!_)_(z _ _!_) <(2+~ )_(z_g_) =~>
n/ '- · n • 2.; '- 2
=a~- an <S
)Jl
Analizamos algunas cuestiones de nomenclatura en conexión con los encajes de
intervalos cerrados racionales.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-161-320.jpg)
![312 NUMEROS RbLFS
.Sea [a; , o¡] con i E N un encaje de intervalos cerrados racionales. Entonces se
verifican las condiciones
i ) 11 :::: 12 :::> 13 :::> ••• :::> I,. :>
ii) lím ampl l,. == O
n_,.""
Los extremos inferiores a; de los intervalos del encaje se llaman aprox:madones
por defecto, } los extremos superiores a;, aproximaciones por exceso.
Se verifica que las p~imeras constituven una sucesión creciente de racionales. En
efecto, sea j) i.
Por definidón de '" rien~ I, :: l,
y como a¡ € 1¡. resulta ai € l¡. es dec1r. a; .;;; a¡ .;;; u'; por la dcfinidón de l,.
Luego
1> i =? a¡ .;;; ai
En consec~encia
a1
~a: ~a 3 ~ ••• ~a... ~ ...
lo que nos di(e que la sucesión de aproxímaciones por defecto es crecíente.
Análogamente se prueba el decrecímiento de la sucesión de las aproxímaciones por
exceso
ai ;;;. a2 ;;;. aj ;;;. ....;;;. a~ ;;;. ...
De modo que un encaje de intervalos cerrados racionales es equivalente a un par de
sucesiones {a¡} y {a;}de racionales, que verifican
) Condición de monotonía.
(a¡) es creciente
" /
{a;}es decreciente
ii) i E N => a;~ a;
inl (o,Idición de contigüidad.
~"" -~ "'"- ='! ' • ?" ~
V c. ,.r J .. -~ fi¡;¡ ~ ~. ff
t!v ~ 'lr¡ --= 1';¡ <"'E'
Se dice que ta¡ }y {ai }constituyen un par de su~esiones monótonas contiguas de
racionales.
Si los intervalos son no degenerados, de la condición i ) se deduce que toda
aproximación por defecto del encaje es menor que cualquier aproximación por exceso.
Distinguimos tres casos
1. i = j ~ a; <ai => a¡ <aj
2. i<j ~a¡~a¡ 11 a¡<aj =?a;<a¡
3. i>i ~a¡<a'; 11 a';~aj =>a;<aj
~
1-.NCAJES Y !i.ELACION DE EQUIVALENCIA 313
Se tiene la siguiente representación geométrica de un encaje de intervalos cerrados
racionales
a1
a2 a3
___________ a~
13
+----- 12
- l:
ta intersección de todos los intervalos del encaje puede ser vacía o no en Q. En el
caso del ejemplo 10-2. se tiene
oo_ l ll
n l' ., - - ., + - = {"}
i= 1 - i • - i J -
En ..:ambio, el encaje asociado a las aproximaciones racionales de ..j2 tiene
intersección vacía en Q
(a1 • a; J= [l . 2J
[a2 • ai] = [ 1 . 4 , l . S]
(a3 , a;1=[l .41 , 1 . 42]
[a4 .a~]=[1.414, 1 .415]
00
n [a¡. a¡]= 1/J
j: 1
10.2.3. Relación de equivalencia en el conjunto de los encajes
de intervalos cerrados racionales. El número real.
Sea A e! conjunto ie todos los encajes de intervalos cerrados racionales. Cada
elemento de A es una sucesión decreciente de intervalos encajados, que denotamos con
ía.. a' 1
En o se det1ne la relación - mediante
[a;, a;]- [bi ,b;] ~a¡..; b; bi ~a; "ii v¡ (!)
Es decir, dos encajes de intervalos cerrados racionales están relacionados si y sólo si
las aproximaciones por defecto de cada uno no superan a las aproximaciones por
exceso del otro.
La relación definida en {1) es de equivalencia, pues satisface
l. Reflexividad.
[a;, a;] e A => a¡..; a; 11 a¡<; a; => [a¡. a;] -(a¡, a;]](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-162-320.jpg)
![?d..f
II. Simetría.
NUMU.{OS REALES
[a¡, a;} ~[b¡. b;] => a¡.,;;; bj t b¡.,;;; a; =>
=> bi.,;;; a; ~> a¡.;; bj => (bj, b1~] ~·[a¡. a;}
Ill. Transitividad.
[a¡. a;] -[b¡, b;] A [b¡ . b;] ~[ck . e~ l =>
= [g;. a;}-[ch, e~]
r'•!'n1n,tración)
Debemo~ probar
'v'i. '</k : a¡ ..;; e,. .,;;; a';
Suponemos que extsten do~ índices m y n. tales que am >c.~
Por hipótesis
-[b¡. bi'1 =? 'v'i. v j: a;..;; b; =>
=> 'v'j: dm ..;;bJ~ {3)
-[ek , e~] => vj . "i k : b¡ .,;;; e~ =
=> "ij: b¡..;; e~ (41
Gráficamente la situación es
e,.
bj ----s
De (3) y (4)
'v'j: b;;. am ,, b¡..;;c:
Restando miembro a miembro
Vj:b;-bi>am -e~
y tomando 8 <a"' -e~, resulta
Vj: b; -b¡ > 8
dm
(2)
b;
En consecuencia [b¡ . b'¡) no es un encaje. contra la hipótesis.
De a.;uerdo con el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia, existe una
partición de A en clases de equivakncia. cad;¡ una de las cuales se llama número reaL
OPERACJONES EN R 3 iS
Definición
Número real es toda clase de equivalencia determinada por la relación (1) en el
conjunto de todos los encajes de intervalos cerrados racionales.
Conjunto de los números reales es el cociente de A por la relación de
equivalencia.
La notación a = K¡a¡,aiJ denota el número real asociado a la clase de equivalencia
del encaje [a1, a,l
Un real se llama racional si y sólo si el encaje representativo de su clase tierre
intersección no vacía. Si tal intersección es vacía, el real se llama irracional.
Definición
Número real O es la clase de equivalencia de todo encaJe .:uyas aproximaciones
por defecto no son positivas, y cuyas aproximaciones por exceso no son
negativas.
El encaje
es decir
Definición
f} ,y todos los equivalentes a él, definen el número real O
O=K,.. t 11
l-i·iJ
Un número real es positivo si y sólo si todos los encajes de su clase admiten
alguna aproximación por defecto positiva.
Cn número real es negativo si y sólo si alguna aproximación por exceso de todos
los encajes de su clase es negativa.
En símbolos
a < O ~ a = K¡a. a:¡ ,' 3 a;< O,. '
a> O ~ a= Kta;,ail! 3 a¡> O
10.3. OPERACIONES EN R
10.3.1. Operaciones en A
En el conjunto A, cuyos elementos son todos los encajes de intervalos cerrados
racionales. definimos las operaciones habituales.
l. ADICION.
[a;, a;]+ [b¡, b;] =[a·;+ b;, a;+ b;]
La suma de dos encajes se realiza sumando las correspondientes aproximaciones por
defecto y por exceso.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-163-320.jpg)
![316 NUMEROS REALES
Esta defirición satisface las condiciones que caracterizan un encaje de intervalos. En
efecto
i ) Mo~otonía. Por ser [a¡, a;l y (b¡, biJ encajes, se verifica
Luego
Análogamente
Sea ahora
a¡"' a;+ 1 " b; "'b;+ 1
a1 +b¡~a1 + 1 +b¡, 1 (l)
a;- 1 ~ b;~ 1 ~ c~; + b; ¡:;¡
x e[a¡.,.¡ ~ b1... 1 , ai+ 1 + b;+ 1]
l.
a~ 1 +b~ 1 ~x<a~ 1 +b~ 1 0)
De 0), (21 y (3) resulta
a¡ +b;~x<ai+bi
O sea
x € [a¡ + b¡ , a;+ bi]
En consec~encia
[ai+l +b¡""¡ ,a¡·-t +b[+¡]C[a¡+b;,ai+bi]
ii) Contigúidad. Sea E > O. Por ser [a; , b¡] y [ai , b;l encajes, existen nó y n~·
talesque
, , , E
n >no =an·-an·<-:;
n <~ > n4;· -=- ho.; E:..Vw¡;•~
Paran> nri =ma,x ·~ nr1 •1i:; se t1CT1<'
a~ --a"<~., y b~- bn < ~~
Sumando
(a~ +b~)-(an +bn)<2. ~ =·E
11. MULTIPLICACION. El producto de dos encajes queda definido por
a)
b)
e)
OJ.>ERACIONES H< R 3l7
[a¡ , a¡] . [b¡ , bi] = [a¡ b¡, aí b¡] si a¡>O y b¡>O, V¡
[a¡,ai].[b;,biJ=[aib¡,a¡bi] si a¡>O y bj<O,V¡
la¡ ,aiJ. [b¡ ,b¡]= [b¡ ,bi] si [b¡ 'bí]- r-- ~ '-+]l l
Procediendo como en el caso !, se prueba que las defmiciones II definen encajes de
intervalos.
Ejemplo 10-3.
Detem1in:n la ~uma y el pmrlw:to de !os siguientes pares de
. ·~ ;~ i ~ . 1 l
1 i [a¡ .a¡¡= l2 ~ ¡ . ..: + ¡ J
[b¡ .b;J= [ 3 ~ wr l l
3 + l{iTj
Resulta
i 1 l l _1_,1
[a;.a¡j+[b;,bi]=LS-¡- 10¡ '5+ i + IO;j
Por otra parte, como
a¡ b¡ = 6 - ~ - ~~¡ + iw
•b• 6 +
3
+ l + ·
1
oia¡ i = T 10' l 1
se tiene
. 3
+ 'r":]= Ó·-"
3
a;l i 10'
ii)
f
•¡_;·, 1, Ila¡ .a¡¡,-,"'·-~ ,2 + -:-j
L l 1
[b b .
1... r .. 1 ... . n¡,; _L, _,_ -o-,-:~-r- -:·¡
l l.J
Se tiene
[a¡,aiJ+[b¡.biJ=f-I- ~ ,-t + ~]
. L l l
+ :¡ lfV](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-164-320.jpg)
![J!X NUMI ROS RL1 LS
Y de acuerdo con 11 b) el producto es
[a¡ ,a¡]. [b¡, bl]= [ajb¡ ,a¡b:J =
='-6--~L 1
1 1 3 2 ll-- :2 , - 6 + -:- + -:- - -:1"
l . l 1 l .J
;;;;; [- 6 - ~ - -1- '-6 + ~ - +]1 1 l 1
pues a;>O ' b;<o
íii) Si las aproximaciones por defecto de ambos encajes son negativas. la
multiplicación se reduce al caso 11 a) de la siguiente manera
Así
[a¡.
L
= 2
L
= 6-
1..
.b;J=[-ai.-·a,}.[ bi.-b¡]
Ilí 1 1~
. -2+ -:-¡.; 3- .-3-1---:-¡
l l.JL [J
+.~ + +J.[3- +.3 + +J
l
+¡:
5 I -:
,6 + ¡.+ ¡2 _;
Sí a partir de cieno índice las aproximaciones por defecto son positivas. el
problema se reduce a los casos anteriores considerando
.a;]. [b¡ .bi] = [ai .ajJ.[bi .bj]
siendo.parai<j,a;<O "a¡>O '' bi>O
Si los encajes son, por ejemplo
[-3,2].[-3+ ~ 3 + ; + 45 . 2l J- 3 + ; + 45 + 85 . 1l .- J L - _.
y
~ · I l l .
l3 - -:- . 3 + -:- ¡ ,es dectr
¡ l -
[ - 3 • 1], [- ~ ' 2J.[+'2J., [ ~ '2J'· ...
'' [5 7] [8 10] [11 131Yl-- 4 1· 2·2.' 3•'3 '4•4
d producto se realita .1 partir de i = 3 aplicando II a).
·~
OPERACIONES l:N R 319
10.3.2. Compatibilidad
La relación de equivalencia definida en 10.2.3. es compatible con la suma y el
producto definidos en 10.3.1. Lo demostrarnos para la adición
[a;,ai]-[b¡,bjJ =>a¡~bj A b¡~ai} =>
[c;,c¡]-[d¡,dj] =>c;~dJ 1 d¡~c¡
=>a;+c;~bj+dj A b¡+d¡~a[+ ci=>
=> [a; + e¡ , a; + ci] - [b¡ + d¡ , bf + dj] =>
~ ru¡ ui}"i [t.'¡.,<-i] ---[b¡,bj]+ldi,ujl
10.3.3. Operaciones en R
Por ser la relacíón de equivalencia 10.2.3. compatible con la adición y la
multiplicación en A, de acuerdo con el teÓrema fundamental de compatibilidad,
existen en el .conjunto cociente R sendas leyes de composición interna, llamadas suma
y producto de reales, únicas, tales que la aplicación canónica f: A-+ R, es un
homomorfismo. Esto nos dice que para operar con dos reales se considera un encaje en
cada clase de equivalencia, y se opera con éstos en A. Luego se detennina la clase
correspondiente al encaje obtenido.
La adición en A es asociativa y conmutativa. Estas propiedades se trasfieren a los
reales con la suma.
Neutro para la adición es O= K r 1 ll pues 'V a= K¡a ·,o'l se verifica
L-T·TJ ''
a:+O==O+a:;:;;Kia·a:¡+K¡ 1 ¡1=
,. l L- r . i:l
. (r 1 1 ,)
=f([a¡,a¡])+f L- T. T J =
= t6a¡.a;J +[- f .f]) = t([a;- f .a;+ +])
=f ([a;. ~;]) =K¡a;,a;¡ =a:
r 1 • 1 1 .
pues La¡- T ,a¡+ T J -[a;, a¡]
Inverso aditivo u opuesto de a:= K¡a¡,aiJ es -a= K¡-a¡,-a;l
En efecto
a:+ (-a:)=(- a:)+ a= K¡a¡,aj] + K¡-aj, -a¡]=
=f ([a;,ai)) +f ([- ai, a¡]) =f ([a;- a¡, a;- a¡])=
([
1 IT"
=! :-¡·TJ)=o
En consecuen_cia (R, +)es grupo abeliano.
1'](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-165-320.jpg)
![310 NUMEROS lü.ALES
Por otra parte, el producto en A es asociativo y conmutativo. Estas propiedades son
válidas en R. Neutro para el producto es
1 = K¡a,,a[l tal que a¡ ::1> 1 A aí <t: 1
Así 1=K~_ f•t+f] y se tiene
(L 1 = i . p= K¡b¡,bil. K~_ J. 1+ ;_
1
1= Klb¡,biJ = f3
l.' ¡ '
Todo real no nulo admite inverso multiplicativo. En efecto. dado
a:-.=: Ktai~ail >O 'on ai )'""O
entmh:es cr -t
""K i_L Lj.
Lai , a¡
es el recíproco de a. pues
o:.o:-1 =o:-1 .o:=Kra; ail= 1
l(i? • ¡¡:-JI
,~ "": 1 1
Luego (R- ~ Oi • . ) es un grupo abelíano.
'· )
Análogamente se prueba la distributividad de la multiplicación respecto de la
adición en R, lo que confiere a la terna (R , + , .) estructura de cuerpo.
Ejemplo 104,
Si
entonces
Sea
o:= K[a¡,ail <O
-1 K
a = [_!_. _ _!,..l
L a¡' a¡ J
{a¡,aJ=[-2-~ ,-2+~] = [-:z~·-¡ -2i+l]
¡ 1 l • i
Se tiene
0:"' =K >O
y =K¡
1 ' j
~ a:-1
=Kr -i -i 1
L2t=1 · 2i+ 1]
El encaje asociado a esta clase es
¡_ . 1 ] r -2 - 2 1 [ - 3
L 1 - 3 'L-3 '-s-J ' --s
En este caso o:=-2 y
1
Q(-1=-z..·
-3 l
7 j
CORTADURAS EN Q 311
10.4. ISOMORFISMO DE UNA PARTE DE R EN Q
Sea RQ el conjunto de los números reales definidos por clases de equivalencia
asociadas a encajes de intervalos con intersección no vacía en Q. La función
f:RQ-Q
que asigna a cada elemento de RQ el número racional correspondiente es un morfísmo
biyectivo respecto de la adición y multiplicación, y en consecuencia es un isomorfismo
que permite identificar algebraicamente a los conjuntos RQ y Q.
10.5. CUERPO ORDENADO Y COMPLETO DE LOS NUMEROS REALES
En R se define la relación .,;;; mediante
a.;;;;¡3 ~ 3-y;;;;.,Of/3=o:+'Y
Esta deiinición caracteriza un orden amplio y total en R. coopatible con la adición
y multiplicación, es decir
i) o:.;;;;¡3 = a+-y.;;;;f3+1
ii) o:.,;;;{J ! 1;;;;.o =o:-y~í37
La relación< se define de la siguiente manera
a<ti <o> o: .,;;;{3 " o: i=/3
En R se verifica la propiedad de Arquímedes
O<o:<¡j=3neN {3~na
Por otra parte, R es completo en el sentido de que todo encaje de intervalos reales
define un único número real, y en consecuencia, todo subconjunto no vacío de
números reales, acotado superiormente, tiene extremo superior.
Las condiciones anteriores conducen a la siguiente proposición: el cuerpo (R.+ ..)
es ordenado. arquimsdiano y completo,
10.6. CORTADC!US E~ Q
10.6.1. Concepto
Introducimos ahora un método alternativo para definir el número real a partir de Q,
basado en las cortaduras de Dedekind.
Definición
El subconjunto A C Q es una cortadura en Qsi y sólo si verifica
i) A-::J:cp " A:;éQ](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-166-320.jpg)
![334 NCMUU(.; RLALES
Sean
log¡, m = x 11 log¡, n =;;
~
bx::::: Jn A bY:::: fl
~
bx+y =m n
~
log11 (m n) = x +y
JJ,
lAn ( •-n n - lnn J<'U .J.. i.f"n n
~·-..-C:fJ ••• •• 1 -~· a..._,éb ••6 ' i.-vif:b ·~
tL Logaritmo del .:odente.
log11 1m · n} = Iogb m - Iogb 11
lH. Logaritmo de una potencia.
log11 mcx = o: Iogb m
lV. Invarianza
log m =x a* O = iog . m" = xb iJCX
10.9.3. Cambio de base
Si b = lO. los logaritmos se llaman decimales y la notación es
!og10 m =log m
Sí la base es b =e= 2.718281 .... los logaritmos se llaman naturales y se denotan
por
loge m = In m = lg m
Dado el In a. nos interesa obtener Iogb a.
Sea
1ogb a = x ~ b·"" =:. a =:.
. l
~ x In b = In a =x = blb .In a =
1
=Iogb a = 1ñ7J .In a
En el caso b = 1O. se tiene
1
~ =o. 434294...
rt'Scdta
log a = 0.434294... ln a
NO NCMFRABILIDAD DE R 335
10.10. POTENCIA DEL CONJUNTO R
Nos proponemos demostrar lo que hemos anticipado en 9.19: el conjunto de los
números reales es no numerable. El número cardinal correspondiente a R se llama
potencia del continuo y se denota por c.
10.10.1. Teorema. El intervalo cerrado [O, 1] es no numerable.
Suponemos que [O , 1] es numerable. Esto significa que N - [O , 1}, y en
consecuencia. por definición de coordinabilidad, existe
f · N __. [O 1] tal aue f es biyectiva.
Por ser J sobreyectiva,la imagen de N se identifica con [O. l J. es decir
[0, l]=J!J),/C).fl3). ...
Sea [O . 1} = F ~1ediante los puntos de abscisas !¡3 y .::!/3 subdividimos a U en tres
subintervalos de igual amplitud
4r---U1 f(l) ¡
o Il3 2i3
Ahora b1en: 1 { l) pertenP.ce a lo sumo a dos de los tres subintervalos. En este .::aso.
sele..:cionamos aquel subintervalo al cual no pertenece l (1 ). Pero si pertenece a uno
><Jlo. elegimos. entre los dos a los que no pertenece. al de la izquierda. Queda así
caracterilado U1 tal que ·"
f(l)f U¡
Subdividimos a éste en tres partes iguales, y con el mismo procedimiento
seleccionamos U1 tal qv.e
f(2) tt u.
Análogamente, paraf(3) queda definido U3 de modo que
f(3) tul
~u2-
o 1
f ("2) 1/3 2/3
Se tiene así una sucesión de intervalos U1 , U2 , U3 , ..• que verifica
i ) U1 :> U2 ::> U3 ::> . . . tales que V n :f (n) (/. Un](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-173-320.jpg)
![.16 NUMEROS REALES
ii) Como la amplitud de Un es ;n ,se tiene que la sucesión de las amplitudes
es convergente a O.
En consecuencia, se trata de un encaje de intervalos cerrados en R, que como
abemos define aun único número real x 0 eU, siendo
[x~=nu.
' o 1 ieN 1
' -
Como jes biyectiva, dad.o x 0 e U, existe n0 eN tal que
f {llo} =X0 € para todo n e N
Pew por la elección de los L'n.l (110) = x0 t. L'n •. proposic1ón qu~ <:~ ~;ontra..ih:toriJ
con la anterior. Luego. lO . lj es no numerable.
10.10.2. Teorema.
Si a < b. emonces [a . b] <!S coordinable a [O , l J.
Basta definír
f: [O, l] ~ [a, b]
f(x)=a+x(b-a)
mediante
Es inmediato que fresulta biyectiva, y en consecuencia [a , b]- [O, l ].
10.10.3. Potencia de R
Por definición, el conjunto A tiene potencia e si y sólo si A es coordinable a [O , 1].
Se proponen como ejercicios. las demostraciones de las siguientes propiedades:
i) Si a <b. entonces (a. b)- [O, 1]
ii ) La unión disjunta de un número finito de conjuntos de potencia e tiene
potencia e
t-' Lo, l =-t., =>- ~- A~,_ iO ij
•-1
iii) Toda 11nión numerable de .;onjuntos disjuntos de potencia e tiene potencia e,
c(A¡)=c~!: A;-[0,1}
ieN
En el ejemplo 4-20 hemos demostrado que la función f: R-+(- 1 , 1) definida por
X
f(x); l+ixl
es biyectiva.
(
1;
¡,
•
' ~
1 ¡
1¡}
1
l!
¡ ¡
!
~J
·~
POTENCIA DE R 3:.7
Luego
R- (- 1 , 1)
Por i )
(-1 ,1)---[0,1]
Por transitividad resulta R -[O , 1Jy en consecuencia
e (R) = e ([O , l j) ...: e](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-174-320.jpg)
![344 EL CUERPO DE LOS NU.MEROS COMPLEJOS
Se trata de los complejos :: = (x , y), tales que x +}' = l. Queda definida así la
recta del plano que pasa por los puntos (1 , O) y (O , 1).
• y
11.2.3. Opemciones en C
En C= R2
se definen la adición y multiplicación mediante
L (a , b) + (e , d) = (a +e , b +d)
2. (a.b). (c,d)=(ac-bd, ad+bc)
Estas leyes de composición interna en C verifican las siguientes propiedades:
I) (C, +)es un grupo abeliano. La justificación está dada en los ejemplos 5-2 y 5-5.
Complejo nulo es el par (O , 0), y el inverso aditivo de todo complejo z =(a. b) es
-z=(-a,-b)
H) (e-- {o} ,.) es un grupo abeliano. El símbolo Odenota el complejo nulo (O, 0).
Verificamos los axiomas
G1 :El producto es ley de composición interna en e, por la definición 2.
z e e 1 z' e e => z. z' ee
G2 : Asociatividad.
:.;- :::'l.::"=ha,b).ja',b'l] .b'')= (ua'-bb' ab'+ba'Ha".b''¡=
~aa';¡~$ T~- hb ~¡;~:f ~-- ;;b ?:iH --- bt(!::~$ '.la"fy't- bb 'b ~,+aba u~ ba'a ~')
::. (.:'. z") =(a, b) [(a', b ') .(a", b ")J=(a, b) (a'a"- b 'b" ,a'b + b 'a··)""
= faa'a"- ab'b"- ba'b"- bb'a" ,aa'b" +ab'a" +ba'a"- bb'b")
De (1) y (2) resulta
(zz') z" = z (z' z")
íll
(2)
Gj : Elemento neutro es el complejo (1 , 0). En efecto, si z = (x, y) es neutro para
el producto, debe satisface.r
(a, b). (x ,y)= (x ,y). (a, b) =(a, b) V (a, b) e C
1
'l
i'
• 1
1
;;¡¡
OPERACIONES EN C
Por definición de multiplicación
(ax --by, ay+ bx) ==(a, b)
Por igualdad de complejos
"ax-bv=a
{bx+;y=b
Resolviendo el sistema
ia -b! -a2 +bl =tx~=t. '~
,D
A • ~ a
_, .> ='b b = ab ,,_ ab = O
Si (a . b) *(0 , O) entonces
6.x
X;;::: --¡;;: = 1 t:,y =O/ y=¡;. --¡;:
345
Resulta (x. v) = (1 . O) que satisface G3 para todo (a, b) e C. pue5 en el ..:aso
(a, b) =(O, O) se tiene
(O, O) . (l . O) ::(O. 1 -O . O, O . O +O. l) = (0 , O)
G4 : Todo complejo no nulo admíte inverso multiplicativo.
Sea z == (a , b) =1= (O , O). Si existe z-l = (x ,y), debe satisfacer
z. z-1
= z-1
• z = (l , O)
Es decir
{a. b). (x. y)= (x, y). (a, b) = (1 • 0)
Efectuando el producto
(ax -by, ay+ bx) = (l, O)
Por igualdad de núm6ros complejos resulta el sistema
Resolviendo el sistema
·ax-by=!
-r;~y ""o
10 - b! 2 ,
1::. = 1• 1=a + b· *O
: D a .
1
1 -b =a
b.'x = 1O • a 1
la 11=-b!::.y= b o](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-178-320.jpg)
=
= (- 3 .1) (- 3.- 1) = (Q + l , 3- 3) = (10, O)
{'
¡
!'OlOIA ll!NOIICA 347
11.3. ISOMORFISMO DE LOS COMPLEJOS REALES EN LOS REALES
Sea CR = {(a ,b) .; C / b = OJ el conjunto de los complejos de parte imagimria
nula. 'ta función f: CR ~ R, definida por f (a , O) =a. asigna a cada complejo real su
primera componente.
La aplicación f es obviamente biyectiva. y además un morthrm.l de Ca en R
respecto de la adición y multiplicación. En efecto, sean ::=(a ,0) y z' = (a',O);
entonces
f(:: +::')=![(a, O)+ (a', O)]= [fa+ a' O)=
=a+a'=f(a,O)+f(a',O)=f(z) +{(::')
Por otra parte
f(: z') =
2 =
= (- 3 +i) (9 + i2
- 6 i) = (-- 3 + i) (9 - } - 6 i) =
=(-3+_i)(8-6i)=-24+ 18i+8i-6i2
=
= - 24 +26 i + 6 :::; - 18 + 26 i
11.5. LA C:ONJUGACION EN C
1L5.1. Complejos conjugados
Sea z =a+ bí.
Definición
Conjugado de z =a + bies el número complejo z=a- bi.
El símbolo zse lee "conjugado de z" o "z cm¡jugado".
Si z =- l + 3 i, entonces z= - 1 - 3i.
,' 3 - ( 3
El conJ·ugado de;;= 1 - ·-l 1esz = - 1).2' .1 .2'.
349
Dado z=a+ bi se tiene z=a- bí y ~=a+ bi = z, es decir, que el conjugado del
conjugado de un número complejo es igual a éste. Los complejos z y zse llaman
conjugados.
Definición
Dos complejos son conjugados si y sólo si tienen la misma parte real, y sus partes
imaginarias son números opuestos.
Dos complejos conjugados caracterizan puntos sim~tricos respecto del eje real.
11.5.2. Propiedad. La suma de dos complejos conjugados es igual al duplo de la parte
real. El producto'de dos complejos conjugados es un número real no negativo.
En efecto, sea z =a +bi. Entonces.
z + z=_(a +bi) +(a- br) = 2 ~ =2 Re (z)](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-180-320.jpg)
![352 J·:L CUERPO DF LOS NUME.ROS COMPLI·JOS
Como a e R ~ a .;;;; lal, de esta relación y de lal < l:d rcsufra lzl ;;;;;. a, es decir,
Re(z).;;;;lzi.
Análogamente lm (z).;;;; 1z 1
!I) El producto de cualquier complejo por su conjugado es igual al cuadrado del
módulo.
Tesis) z. z= 1z 1
2
Demostración)
Efectuando el productp y aplicando la definición de módulo, resulta
::. z"" (a+ b!l . ca- b1) =a;; - cbl )2 = a1
-r b~ =
III) El móc:!ulo del producto de dos complejos es igual al producto de los módulos
Tests) !z z' 1= i z i 1z' 1
Demostración)
A partir del cuadrado del primer miembro aplicamos U, conjugado del producto.
conmutatividad y asociatividad del producto en e yla propiedad 11
lz:' 12
= z:'z: ~ = zz Z? =:'"i: J¡;=
=!z!z !z'!z
Resulta
lzz'!2
=(lzllz'li
Y como las bases son no negativas, se tiene
izz'i =lz! iz'l
lt) El módulo de la suma de dos complejos es menor o íguai que la suma de los
módulos.
Tesis) ¡z+z'l..:;;; Jzl+;z'l
.., Demostración)
Por cuadrado del módulo. conjugado de la suma, distributividad del producto
respecto de la suma en C y poi la propiedad 11 se tiene
¡; t:•¡2 =(.: +.z :.:(z+:~} ~t-
4 ! ~--
~ ~: +=?+ + = 1.:11 + .:i"+<:.:. + 1.: ~¡:~
zz· =Z? = zz~
Como los términos centrales son complejos conjugados, su suma es el duplo de la
parte real, es decir
zz' + zz' = 2 Re (z?)
Sustituyendo en la igualdad irÍicial tenemos
lz + z'l2
=lzl2
+ 2 Re(z'?) + lz 'f (l)
PROPIEDADES DEL MODULO 353
Ahora bien, teniendo en cuenta que la parte real es menor o igual que el módulo·
2 Re(z?).;;;21zZ'1
Por módulo del producto
2 Re (z?).;;:; 21z11Zl
y como !z' 1== 1z'1, es
1 Re (z'?J ~ 2 ¡z¡¡z'!
Sumando (1) y {2}
!: -+ +2Rd::?¡.:.; + 2Re
Despues de cancelar y factorear el segundo miembro
lz + z'l2
.¡;; (lzl + lz'l)2
y como las bases son no negativas. resulta
lz +z'i,.:;;; IZI +iz'i
(2)
+t;~j 2
+:; izi ]z~~
V) El módulo de una potencía de exponente natural es igual a la potencia del
módulo
lz" 1= lz . z . .. zl = lzllzl ... lzl = lz!n
~ -------v-----'
n n
Ejemplo 11·5.
Al dividir dos complejos, siendo el segundo distinto de cero, puede evitarse la
determinación del inverso multiplicativo del divisor multiplicando por el conjugado de
este, y se obtiene
z zw zw
W = WW = !WI2
En particular
• (~¡ + 21) í 2- 3 i) -2 + 3 i + 4 i- 6 i2
--~·-'· -~~-·------~ ~~~---~~·~-----·---
2+7il- 4+7
13
+ --- l
l3 -
Ejemplo ll-6.
Determinar los complejos z que satisfacen
i)iz=l+i
1 +i (1 + l) (-i) . ·'-z-r
z=-.-
' i (- i)
=-i+l=l-i](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-182-320.jpg)
![1 L CUERPO DI. LUS NUMEROS Cm!PLIJOS
ii ) lz -- 1 + 2 i! ""' 2
Si z = x +yi. entonces
IX +yi - 1 + 2 il = 2 "*
==> l(x- l) +(Y + 2) il = 2 =>
=lo ../(x- 1)2 +-{.Y'+ 2)2 = 2 =lo
==> (x - 1)2
+(y+ 2Y~ = 4
Es la ecuación de la circunferencia de radio 2, con centro ( 1 , - 2).
iii)
!z- Re (z)1 = [/m (z)]2
z = x +yi => lx +yí- xl =i:! =>
==- iyil =y' "*' (#{· = Y 2
=:>
==- IYI = Y2
==> y 2
:: J' con y ;;.o =
:o> y2
-y =o =lo y (J' - 1) = o =>
::oy=O v y=l =:oz=x v z=x+i
Se obtienen los complejos correspondientes a los puntos de las rectas de ecuaciones
y=Ü/J'=l.
==-= +2
z=x +yi =-> z +z=2 =
=>2x=2=:ox=l =z=l
Es la recta de ecuación x = l
v )(a+ bi)z = (az + b2
)i con (a. b)*(O, O)
Se tiene
z=
(a2
+ b2
)i
a +bi
(a2
+ b2
) i (a- bí)
(a + bi) (a -be)
(az + b
2
) i (a- b1) =¡(a_ bi) = aí- biz =
= a2 + b2
= b +ai
11.7. RAIZ CUADRADA EN C
Sea z = a + bi. Por definición, la ·raíz cuadradá de z es un complejo x +yi que
satisface
(x +yi)2
= a+bi (1)
Aplicando módulos
i(x +yz)2
1=la+ bzi
RADlCACION CliADRATICA
Por 11 ,6.2. v) y por definición de módulo
lx +yilz == .,¡;;i +b•
Por cuadrado del módulo
x2 +)'2 :::: ..Ji2+b"
Es decir
x 2
+y2
=lzl
Desarrollando ( l)
x2
- y 2
+ 2 xyi =a + bi
Por igualdad de complejos
Sumando y restando (2) y (3)
Resulta
x:! --y2 =a
2xy =b
( x 2
+ v2
= lzl
< ~ . ,
l x· -y" =a
2x2
= izl +a
2y2
= izl-a
X=+ /IZI +a
-¡-:¡-
V=+ 1!z1-a
- -"-1---r-
35:
(2)
(3)
(4)
Ambos raclicandos son no negativos, pues ¡ z ; ;;;;;; a, y se obtienen cuatro pares de
valores reales, de los cuales se seleccionan dos de acuerdo con la condición (4): si
b >O, entonces x e y .se eligen con el mismo signo, y si b <O, se eligen con dis1into
signo.
Ejemplo 11-7.
Calcular las raíces cuadradas de los siguientes complejos
i )z=-4-3i
a =- 4 , b = - 3 , izl =S
~=±N=± } =± v;
y=+ ...... /5+4 =+~3- =+ JVf_
-" 2 -..¡::¡:- 2](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-183-320.jpg)
!['8 EL ('ll!RPO DE LOS NUMEROS COMPLIJOS
'ara el argumento principal..consideramos
a -2 ../2cos¡.p=- = - - =-~-
p 2...ff 2
b 2 Vi"sen¡.p=- = - - = --
p 2-./f 2
'~ J
~~1 -
R~su!ta ;pdel se_g~mdo cuadrante e igual a !35°.
Llego== 2 v 2 (cos 135° + i sen 135°)
ii) z=-3i
P = v,.-,o2:;-+-(-----:-:-3)"2 = 3
..p=11
Luego z = 3 (cos 1r + i sen 11')
z=-3i
11.9 OPERACIONES EN FORMA POLAR
11.9.1. Multiplicación
' .
El producto de dos complejos en forma polar tiene por módulo ..:1 producto de
lo,; módulos, y por argumento la suma de los argumentos. ·
Sean z = p (cos '{) +i sen•..p) y z'= p' (cos <(J+ i sen <(J)
)
j
OP.ERACIONES EN FORMA POLAR
Entonces
zz' =pp' (cos '{J + i senp),(cos 1{3 + i sen t¡J) =
= pp' [(cos ¡p cos <(J - sen ¡p sen <(J) +i (sen 1¡? cos <(J +eos ¡p sen 1,0')]
=pp' [cos (..p+ 1{1) + i sen (l{J + ¡p')]
11.9.2. Cociente
359
El cociente de dos complejos en forma polar, siendo el segundo distinto de cero,
tiene por módulo el cociente de los módulos, y por argumento la diferencia de los
argumentos.
z = tv => z = z'w :::::>
=> p (cos ..p+ i sen ¡p) =p' (cos .¡! + i sen.¡!) R(Cos tP + i sen ¡f}) =>
=> p (cos ..p+ i sen .,o)= R p' [cos (1/J +.p') +i sen (1/J +-()]
Por igualdad de complejos
Luego
R p' = p " ¡p + .¡! = .p+ 2 k rr
R = ; t ¡p =.,o- '{i si k= O
=<>.!, =.J!. [cos (.,o- '{i) +i sen (.p- .p')}
z p ~ .
11.9.3. Potenciación de exponente natural
La potencia r.-sima de un complejo en forma polar tiene por módulo la potencia
n-sima de su módulo, y por argumento el producto de su argumento por n.
z =p (cos 1{) + i sen r.p) ~ z" =p" (cos n ..p+i sen n r.p)
.Lo demostramos por inducción completa
1°) n= 1 =<>z1
=z=p(cos~¡?+tsen;p)=
= p1
(cos 1 . .p+ i sen 1 . .,o)
m;:·t... -. (Y' ~ ~: , í :._
2°) ih = ph (cos h .p+ i sen h IJ?) =>~zh+I ~ ph+ 1 [cos (h + 1) ..p+ i sen (h + 1) 11'1
E~ l?''oT{.d
1
ffi · .. d '....."'/h' ' · · d · 1191 . ·
n etecto, por e tmc1on e potencia, 1potes1s m uctiVa y ..., se tiene
(i?=iz'=ph (cos h ..p+ i sen h ..p) p (cos .p+ i sen IJ?) =
= ¡/'+1 [eos (lz + 1) ¡p + i sen (h + 1) cp)
La fórmula z" = p" (cos 11 .,o+ i sen n .p) se llama de De Moivre.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-185-320.jpg)
![37tl
Calculamos
Entonces
11 ( l'l !{!'0 DI· LOS NL'l!ROS (Q;'li'LFJOS
l- i
f+i
(1 - f/ l -U- 1 .
---··---·-· = =--¡
(1 +i)(l ~ i)
z=(-il =>lnz=iln(-·i)
Al complejo - i le corresponden
p =ff+T-=-tr= l .
1T
1{)=3 ~-
Entonces
k.: 1) :=' !f! ! + i 'll"__ .¡.. -, L· ""·¡ ,.,
..
~ 1T . ~ l=11-'--"-;-_krr
'Sustituyendo en ( 1) tenemos
1r
In :: = - 3 --:;--- -- :; k íT
Pnr definición de logaritmo resulta
Siendo d valor principal
1T
~3--;:--~hrr
==e •
"-32
V.p.:: ==e
(1)
11.14. RAICES PRIMITIVAS DE LA UNIDAD
ll.l4.1. Concepto
En el ejemplo 11-ll-ii) hemos determinado las raíces de orden 3 de la unídad. es
decir. las tres !'aíce> cúbicas de 1. Tales raíces son
Wo = 1 W¡ =- l + . ...;T~ _ ¡ - -
- .,
-· i _.../3-.,-
).
W2 =- 2
Las dos últimas no son raíces de la unidad de un orden menor que 3, pero la
primera sí lo es. puesto que
Vf = l y VT=± 1
Por este motívo se dice que w1 y ~2 son raíces primitivas de orden 3 de la unidad:
en cambio, w0 = l no es raíz primitiva de orden 3 ni de orden 2, sino de orden l.
RAICTS PRI:-1111 .'> 37l
Sea G,. el conjunto de las n raíces n-simas de la unidad. Un elemento genérico d·:?
Gn es
2krr +. ?.J.:rr
wk = cos --- 1 sen ----
11 11
=e
2hrr
i~--~
n
donde k = O, l, 2, ... , n - l. Por definición de raíz n-sima, los complejos w,.
satisfacen la condición w; = 1, y son tales que (G, , .) es un grupo multiplicativo
abeliano. Esta situación ha sido tmtada en el ejemplo 8-12. en el caso panicular en que
/! = 3.
Definición
El elemento wh € C.n es una ra1z pnmlliva áe oru~n 11 rie ia uniuau ~~ :;. ,¿,¡u s1 nu
es r:1íz de 1 de un orden menor que 11.
El conjunto de las rafees cuartas de la unidad es G~ = , 1 . i . - l . - 1 De acuerd.,
con la definición y con el conocimiento de G1 • Gz ~: G3 • podemos decir qtte i y - i ''"¡
raíces primitivas de orden 4 de la tmidad. Los resultados l. i. - l y - i se obtienen de
la fórmula general al tomar k los valores O. l. 2 y 3, respectivamente. Observamos aquí
que si k es coprimo con n. entonces la raíz,,.,. es primitiva. Tal es el caso de ••· 1 y w,¡
paran= 4. La demostración de esta propiedad es e! objeto de lo que sigue.
11.14.2. Propiedad. El complejo wk e G, es raízm-sima de la unidad si y sóio ~J
11 km.
Demostración) ., k
2
k . :k e
- ~ ~ I-n-- -
Sea wk = cos --
1
-
1
- ;- 1 sen --
11
- = e E Gn" Entonces
uk = zy'l <=> w~' = l <=> cos
<=> cos 2 k m rr--n··- = l ·' sen
.J:J 11]_~-
11
:!.kmrr
1l
2kmrr .., z<=> ---,¡--.o= _11 q " q € <=>
km
<=> - - . =q <=> km=nq <=> n 1 km
1l
1km71__=!<=>-'- ¡ sen ---=-~¡¡-·
=O<=>
11.14.3. Propiedad. Sea O.:;;;; k< n. Entonces w~ € G,. es una raíz primitiva de orden 11
de la unidad si y sólo sin y k son coprimos.
I) n y k son coprimos => wk es raíz n-sima primitiva de l.
Sea wh una raíz m-sima de la unidad. Entonces. por 11.14.2.. se tiene que n 1 km Y
como n y k son coprimos,resulta n 1 m. de acuerdo con lo demostrado en el ejemplo
9-8-ii). Ahora bien, siendo n y m números naturales y n 1 nz. es n ,¡;;; m, y en
consecuencia W~e no es raíz de la unidad de un orden menor que 11. o lo que es lo
mismo, w,. es raíz primitiva de orden n de l.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-191-320.jpg)
![Capítulo 12
POLINOMIOS
12.1. INTRODUCCION
A partir de la Jetinicíón de polinomio formal de un anillo con identidad. se llega al
,ncepto de anillo de polinomios formales de un anillo con una indetenninada. y al
; !~O partíc"J!ar de dominio de integridad de polinomios de un cuerpo. En esta
.,rru.::tura se estudian la divisibilidad, los ideales y la factorización. El capítulo se
_·.<mpleta con el trat::muento de los polinomios reales y complejos.
12.1. ANILLO DE POLINOMIOS FORfALES DE UN A."'liLLO
1~.2.1. Concepto
Sea (A , + , .) un anillo con identidad.
Definición
Polinomio fonnal del anillo A es toda función P : ~o --¡,.A que verifica P (n) =O.
salvo para un nú:nero finito de elementos de N0 .
El dominio de la función es N0 = {O . 1 , 2 , ...} , ;.. la imagen de todo i e N0 se
e>eribe P (i) =a¡. La definición dada caracteriza a todo polwomio fonnal como·una
sucesión de elementos de A cuyos términos son nulos a partir de ~ierto índi~e.Es usual
idc.:ntificar a un polinomio formal en términos del conjunto ordenado de las imágenes,
lo que conduce a la siguiente notación
P = (a0 , a1 ••••• a,, O, O, ...)
El hecho de que P (n) = an sea distinto de cero no significa que deba ser P (i) =::a¡
distinto de cero para i <n.
En particular, la función nula, definida por P (i) =O cualquiera que sea i € N0 se
lhma polinomio núlo, y lo indicaremos así:
O= (O. O.... )
¡
~·
~e:%
:J'
·j:,
fl1
f~
...!
¡
t
t
i
1
ANILLO DI·. POLINOMIOS 379
Definición
·Grado de un polinomio no nulo es el mayor entero n que satisface P (n) =1= O.
El grado de todo polinomio no nulo se identifica con el índice del último término
distinto de ce10 de la sucesión que lo defíne. Convenimos, además, que el polinomio
nulo carece de grado. Algunos autores le atribuyen grado - l. En otros casos se le
asigna grado infinito.
Ejemplo 12-1.
Determinamos los grados de los siguientes polinomios de los anillos que se indican
) El polinomio P : N0 --¡,. Zs definido por
P(O)=l,P(i)=PU-ll..._T si i= 1.2.3.P!l)=O- si i>3
es P=!T ,2,3.4.0.0. . 1
siendo grado de P = g P = 3
ii ) El polinomio Q : N0 -+ Z tal que
·' _., si n=4
Q(n): i O si n=>=4
es la sucesión
Q =(O ,O .O ,O .-2 ,O ,O ....)
y tiene grado 4. Todo polinomio con a lo sumo un término no nulo se llama
monomio.
iii) Si el anillo es(R2
"" , + ..)y definimos
R: N0 --¡,. R: xz mediante
R (O)= p O]LO 1 = I [ 1 2]-AR(l)= 1 ...([:-
y R (n) = [~ ~]=N para todo n > 1, entonces
R = (I . A , N , N •...)
tiene grado 1.
12.2.2. Anillo de polinomios formales del anillo A
Sea P el conjunto de todos los polinOinios formales del anillo A. Es decir
P ={P 1 P: No -l> A}
En P definimos la adiciÓn y multiplicación mediante](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-195-320.jpg)
 = í: (P + Q)(i) R(n- i) ==
i=O
:;=i +Q R(n ·- z;~ iP R~n-i)+Q Rln-
i=(),
n . n
= ¿ p-(i) R (n-i)+ l: Q (r) R (n-i)= (PR)
i=O .i=O
+(QR)(n) =
= (PR + QR) (n)
Las consideraciones anteriores nos permiten afinnar que la tema (P, +, .) es un
anillo con identidad, llamado anillo de los polinomios formales del anillo A.
El polinomio X = ¡,o , 1 , O , O , . . .) recibe el nómbre de indeterminada. Nos
proponemos expresar a todo polinomio formal del anillo A, en función de la
indeterminada X y de los elementos de A.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-196-320.jpg)
![3¡;! POLI:omos
lkfmímos primero la fun..:ión
f: Á.-'~-P mediante f(a)=(a ,O ,O, ...)
Esta definición caracteriza un morfismo inyectivo de A en P, es decir, un
monomorfismo. En consecuencia, fes un isomorfismo de A en [(A) e P, lo cual
permite identificar a cada elemento a € A con su imagen f (a) E P. Desde este punto de
vista. podemos decir que A es un subanillo de P.
DefinimosX
0
=(1.0,0, ...) y X11
'"
1
=X11
X
Resulta
X~ =XX= <O. O. l , O. O ....)
'Hmil!ca que '•:! •11 eS 0 se tiene
Í 1 si n =m
X"' : . ..-p tal que X"' ¡n)"" <
1 O si n:#:m
...
Emonces. teniendo en cuenta las definiciones de adición y de multiplicación, las
-;u,;c:,ívas potencias de la indeterminada X y d isomorfismo indicado. todo polinomio
P t P puede expresarse
P=(ú0 .a1 .•..• a.,.O.J.... 1=
=ía0 • O. O....)+ (0.a 1 • O. O•...)+ ... + (O•... , a,, O, O•...)=
= (a0 • O. O.... )11, O. O. . .) + (a 1 • O, O....)0, 1, O, O, ...)..._
+(a;. O. O... 1{0. O. LO. O•... )+ ... + (an, O. O, ...)(0..... O, 1, O. O...)=
X,, x~ . x~ X" f x·i·"'.lo "T'J¡ "T'a;. + ... +an =-a¡
t=O
En lo sucesivo. en lugar de X0
=(t , O , O, ...) = l escribiremos 1, omitiremos los
términos del tipo OX" y lXn será sustituido por X"
Se tiene
~ ·i n n-1 ·
-.a, X =a" X +a,_ 1 X + ... +a1 X+a0
í=O
Siendo a, el coeficiente principal y a0 el término independiente.
El aníllo de polinomios de A en la indeterminada X suele indicarse mediante el
símbolo P =A [X]. Los elementos de A [X] se llaman polinomios en X con
t:oeficientes en el anillo A. En particular, los elementos de A CA [X] se llama:n
.;onstantes. Sí gP = n. entonces a, se llama coeficiente principal. Un polinomio con el
..:oeficiente principal igual a l se dice que es mónico. ·
De acuerdo con las definiciones de las operaciones en A[X], se verifican las
siguientes proposiciones:
1
"
e
ANILLO DE POLINOMIOS
383
) El grado de todo polinonúo no nulo es igual al grado de su opuesto.
g(-P)=gP
ii ) El grado de la suma de dos polinonúos no nulos es menor o igual que el
mayor de los grados.
g(P + Q),;;;; máx (cP ,gQ}
iii) El grado del producto de dos polinomios, si es no nulo, es menor o igual que
la suma de los grados.
g (PQ) ,;;;;gp + gQ
Ahora bien. si A <!S un dominio de integridad, emonces A(X] también [o es. y si!
verifica que d grado del producto de dos polinomios no nulos es igual a la suma de los
grados, o sea
g (PQ) = gP +'gQ
Ejemplo 12-4.
En Z5 [X] se consideran los polinomios
A=J~+TX+~ B=~X+T y C=T~+~X+!
Obtener el polinomio AB - C. La mecánica de las operaciones entre polinomios en
la indeterminada X con coeficientes en el anillo se realiza en la forma habitual
aprendida en la escuela secundana.
A: 3X2
+Tx +2
B: 2 X + 1
tX3
+2x2
+4x
3x2
+Tx+2
AT:l: Tx3
+OX2
+ ox + 2
El inverso aditivo de e es- e = 4X 3 +TX + 3
Y resulta AB - C = OX3
+ OX2
+ TX +O
Es decir, AB - C ;, X.
12.3. ANILLO DE POLINOMIOS DE UN CUERPO
Como todo ..:uerpo K es un dominio de integridad, el anillo de polinomios de K, que
denotamos con K [XJ. es un dominio de integridad, pero no es un cuerpo. En ef':!cto.
no todo polinonúo no nulo admite inverso multiplicativo. Demostramos a continua·
ción que únicamente los polinomios de grado cero son inversibles.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-197-320.jpg)
![3R4 I'OLINO~!IOS
Teorema. Un polinomio de K (X] admite inverso multiplicativo si y sólo si es de grado
cero.
Demostración)
Sea P E K [X] un polinomio con inverso multiplicativo. Entonces, existe Q eK [X]
tal que
PQ =QP= 1
Por ser K [X] un dominio dz integridad, se tiene
gP,.. gQ ""gl =u
Y como los grados >on enteros no negativos. resulta
gP=gQ=O
Recíprocamente, si gP =O entonces P = a0 -4= O.
Y. como a~ es un elemento no nulo de K, admite inverso multiplicativo a~
1
• Es
decir. existe
-1 -1
p . =ao
12.4. DIVISffiiLIDAD EN EL DOMINIO K [X)
12.4.1. División de polinomios
Teorema. Dacos dos polinorrJos /. y B en K [XL siendo B no nulo, existen y son
únicos dos polinomios Q y R, que ven:·ican
i) A=BQ +R
ii ) R = 0 v gR <gB
Demostración)
Sea gB =m. Se pn::sen L 11 los siguientes casos:
L A ;:o;c. O gA < m = O = Q R :-:e A satisfacen las -:on..lh:iones de !a
u;;;ii~.
H. gA "'r¡ ;;¡,m =gB
Sean
Entonces
n
A= .I: a·X¡
i=O
1
an-4=0
y
m .
B -=! b¡ X'
i=O
y bm -4= O
A expensas de A y de B podemos generar un polinomio de grado menor que A o
bien el polinomio nulo, restando de A el producto de B por un polinomio
conveniente del tipo eP XP. ·
,,
•
DIVISION DL POLINOMIOS
En efecto, sean
aQ¡ =o _n_ xn-m
bm
Y A1 =A-Q 1 B
Resulta A1 "" O v gA1 < gA, pues el polinomio Q1 B es de grado n y su
coeficiente principal es a.,.
Si A1 =fo O y gA 1 :;;¡, gB, e1procedimiento puede reiterarse obteniéndose A2 tal
que
A:: O gA;;_ <gA,
si A, -f:: O ::;_, gB. íhmandt'
- ~ • ~t .. - • j_
Aj - - Lí X ...un (,""-O
i=O
se definen
y
Q¡+ 1 = .::... xt-m
bm
Ai+l = Ai- Qi+J B
Los enteros no negat;vos gA, gA1 , gA2 , ••• forman una sucesión decreciente y
en consecuencia se llega a la existencia de Ah tal que
A11 = 0 V gAh <m
Resuita
Ah =Ah-t- Qh B = Ah-2- (Qh + Oh- t) B = ... =-
=A- (Q¡ + 02 + ... + Qh) B
h
Enton,.:cs. liamando R ;t ;, y Oa ~
!
,, ""'B() T K
;e vcrifk:J
¡!{;.() •
La demostración de las uniddades de Q y R se proponen como ejercicio.
385
Los polinomios Q y R. que verifican el teorema. se llaman el cociente y el resto
de la división de A por B.
Ejemplo 12-5.
Obtener el cociente y el resto de las divisiones de los siguientes polinomios de
R[X]
i ) A = X4
+ X2
+ t B= X2
+X+ 1](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-198-320.jpg)
![388
Demostración)
Por hipótesis
POLINOMIOS
A=BQ+R y R=O v gR<gB
Multiplicandc la primera igualdad por C, utilizando la distributividad, asociatividad
Y' conmutativida4 en K [X], se tiene
AC = BQC +RC = (BC) Q + (RC) (1)
Por ntra part<
g!RCl""gR +gC<gB "-gC""g BCi RC 70
las proposi..:imes ( 1) y C) verifican la tesis.
Ejemplo 12-7.
Dados A = 4 X
3
+ 2 X + 1 y B = 2 X- 4. obtener el cociente y el resto
;;¡ílizando la reg:a de Ruffini. Temendo en cuenta la propiedad III. podemos aplicar la
regla dividiendo A y B por 2, es decir. multiplicando a ambos por el polinomio L 2. a
fin de que el diviwr sea mónico.
Entonces -~-A= 2 X3
+X+ ~
2
2 1
,,_
1
Resulta
Q = 2X2
+4 X+ 9 y
y
o 1
4 8
4 9
l
-rB=X-2
1
2
18
1 37
1 -2~
~R=I!_
2 2
es decir
L!.::i. tDEALE~ Di'. K
R::;: 37
De acuerdo con 9.6.2., el subanillo 1de K [Xj es un ideal si y sólo si
A e1 11 Pe K [XJ =:. AP el
Ideales triviales del anillo K [X] son el mismo K[X] y el conjunto cuyo único
elemento se reduce al polinomio nulo. Este se llama ideal nulo de K [X].·
Teorema. Todo ideal de K [X] es principal.
~mostración)
IDEALES DE POLINOMIOS 389
Se trata de probar que todo ideal de K [X] está generado por un único polinomio.
Distinguimos dos casos '
i ) Si I es el ideal nulo, entonces está generado por el polinomio nulo, y en
consecuencia es principal.
ii ) Sea 1 =1-{O} un ideal no nulo de K [X]. Entonces existe en l un polinomio no
nulo. Como los grados son enteros no negativos, de acuerdo con el principio de
buena ordenación, I contiene a un polinomio de grado mínimo. Sea éste B. Ahor:o~
bien, si A e I, por el algoritmo de la división. existen en K [XJ dos polinomios Q y
Ro ú;;L::os [a!e: que
= BQ + R y R =O gR <: gB
O sea
R=A-BQ
Por definición de ideal
A e l -· B el ~ Ael BQ E I = A - BQ € I ~ R E I
Como B es de grado mínimo en I, no puede ser gR <gB, y en consecuencia R =O.
Es decir
A=BQ
Esto significa que 1 está generado por el polinomio B, de grado mínimo, o. lo que es
lo mismo, I es un ideal principal.
12.6. FACTORIZACION EN K[X]
12.6.1. Máximo común divisor
Sean A y B dos polinomios no simultáneamente nulos del domimo de Jntegnrlad
nr'n..:in:J K
Definición
El polinomio D es un máximo común divisor de A y B si y sólo si es iivisor d.o
ambos y. además. múltiplo de todo divisor común.
(DíA A D !B
D es un m.c.d. de A y B ~ <
l D'IA A D'!B ~ D'ID
Teorema. Todo miximo común divisor de dos polinomios A y Bes una combinación
fineal de los mismos con coeficientes en K [X].
-~-](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-200-320.jpg)
![J"-)i..J POLINO!Vl!OS
í:-mostración)
Sea I el ideal de K [X] generado por los polinomios A y B.
Es decir
I={PA+QB/PeK[X] 11 QeK[Xl}
Como '.odo ideal de K [X] es principal, l está generado por un polinomio D de
grado mínimo, es decir, ex.isten S y Ten K [X] tales que
D = SA +TB (1)
Fuí ulra pa1 i>;
A=l.A+O.b ,•. B=O.A+l.B=>A€1 ,, Be!
] sea. A y B son múltiplos de D. o lo que es lo mismo, Des un divisor común de A
;. 3.
Sea ahora
D''A " D'!B => A=MD' A B=ND'
'it:shtuyendo en ( 1)
D = SMD' + TND' = (SM + TN) D'
L:.Jego
D'!D
En consecuencia, D = SA + TB es un máximo común divisor de A y B.
Propiedad. Si D y D' son máximos comunes divisores de A y B, entonces existe
a E K tal que D = aD'.
Demostración)
Por ser D' un m.c.d. de A y B, se verifica
D'!A 1 D'IB
Y como D también lo es, se tiene
D'ID
Por definición de divisor existe R en K [X] tal que
D= D'R •
Por grado del producto
gD =gD'+gR
Y como los grados son enteros no negativos, resulta
gD;;;.gD' (1)
.MAXIMO COMUN DIVISOR
Análogamente
gD';;;.gD (2)
De (1) y (2), por la antisimetría de la relación de mayor o igual, es
gD=gD"
391
O sea, gR = O. Esto nos permite identificar al polinomio R de grado O. con una
constante no nula a, de K.
Luego
D=aD'
Siendo todos los m.c.d. de A y B del mismo grado, convenimos en llamar máximo
común divisor de A y B al único m..::.d. mónico. y escribiremos m.c.d. {A. Bl.
Ejemplo 12-8. ,
Determinamos el m.c.d. de A y B en los siguientes casos
i ) A= 3· X~ B = 4X2
en Z5 [X].
Resulta m.c.d. (A y B) = X2
•
ii) A=-:! X2
+ 2 X B = ..J3 X- vJ en R [X]
Se tiene m.<:.d. !A y B) =X- l.
12.6.2. Determinación del m.c.d. por divisiones sucesivas
La propiedad demostrada en 9.14.2. es válida en K [X] y nos permite afirmar que el
m.e.d. de los polinomios A y B es igual al m.c.d. entre B y el resto de la divisíón de A
por B, siendo B * O.
El esquema de las divisiones sucesivas propuesto para los enteros en 9.14.3. adopta
aquí la forma análoga siguiente
Q¡ • Q2 *. 4 • • •
On-1 Q, Q,+¡
A B R¡ ........ . . . . . . R,_¡ R,
Rt R2 ... . ~ . . . . . R, o
En consecuencia
m.c.d. (A, B) = m..::.d. (B, R¡) = m.c.d. (R1 , R2 ) = ... = m.c.d. (R,_ 1 , R..)=
= m.~.d. (R,. O)= R,
siendo R11 el último r.esto no nulo de las divisiones sucesivas.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-201-320.jpg)
![392 POLINOMIOS
Ejemplo 12-9.
Detenninar el m.c.d. de A= X5
+ X3
- 2 X2
+X- 1 y B = X4
- 2 X+ 1
por divisiones sucesivas.
X IX X2
+X+ 1
xs +X3
·- 2x2
+ x- 1 1 X4
- 2x + 1 1 X3
-IIX-1
X5
- 2X2
+X f x4-=: -x- 1x3 -- xz
"3 ~-- X+í ¡--x: -1
l X- í 1 -~~~X
X--I
X-l
o
Resulta m..::.d. íA. Bl =X- l
12.6.3. Polinomios coprimos
Sean Ay Bdos polinomios no simultáneamente nulos de K [X].
Definición
Los polinomios A y B de K [X ] son coprimos si y sólo si todo divisor común de
A y Bes inversible"
Equivalentemente, podemos decir que A y B son coprimos si y sólo si todo m.c.d.
de A y Bes de grado cero. Como el polinomio mónico de grado cero es 1, se tiene
A y B coprimos - m.c.d. (A y B) = 1
En consecuencia. de acuerdo con el teorema 1:;.6. L resulta
.~ y D(:oprimn~ ~ .::L~
.• ..·.JI T K S:·+- TB =
Ejemplo 11·10.
En R [X] se consideran los polinomios
A= X3
+ X2
y B =X - 1
Por el algoritmo de ia división existen
Q =X2
+ 2 X + 2 y R = 2
tales que
X3
+X= (X2
+ 2 X+ 2) (X- l) + 2
POLH--:0HOS IRREDUCIHl.l S 3~3
Entonces
(X3
+X)- (X2
+ 2 X+ 2)(X- 1) = 2
O sea
1 3 ) í 1 2 '¡ }·-.:¡ (X + X +t- ? X - X- 1 ,(X- 1 = l
- ' - .1
b d..:c:ir, h'"mos expresado al polinomio l .:omo combinación lin•!al úe A y B -::ull
~ . ~ l ·r 1 x';!}e!h.:lc:nte! ~ - --=,- y r. ~ ~ .. ,"' '< ~- 1.. de l0 que ded u~::-r qur: A y B ~(f:
...:;Jpnn:o~.
12.6.4. Polinomio primo o irredudbie
Sabemos que los únicos polinomios inversibles de K [XI son las constantes no nulas
de K. Dado A =X + 1, ocurre que las únicas desc6mposiciones de A en el producto de
dos polinomios P y Q son tales que P es inversible o Q es inversibk Es dedr. no es
posible descomponer a A en el producto de dos polinomios de grados positivos. Se dk;;
entonces que A es primo o irreducible en R [Xl-
Definición
El polinomio no inversible A e K [X] es primo o irreducible si y sólo si toda
descomposición A= PQ es tal que alguno de los factores es inversible.
O bien
A es irreducible si y sólo si no existen P y Q tales que
.4 = PQ con gP >O 11 gQ >O
Ejemplo 12-11.
) Todos los polinomios de grado 1 son irreducibles en K [Xl, pues ningún
polinomio del tipo A =a1X +a0 con a1 *O puede descomponerse en el
producto de do! polinomios de grado mayor que cero.
í :-.Jn tc;df; de 2 es !rredudble ~n R
En. tf..:..:t.:.-_;~ ~"- .:X,2
bX con b,: 4 J['
b~ ···~;¡¡;;;;::.O, enton..:es A es, reducible, es decir.
produ.:to de dos polinomios reales de grado l.
expresarse c;:;mG
12.6:5. Propiedades. En el dominio principal K [X] se verifican las stgutentes
proposiciones, cuyas demostraciones son análogas a las desarrolladas en el Capítulo 9:
I. Si un polinomio primo es divisor de un producto, entonces es divisor de alguno·de
los factores.
Pes primo 11. PIAB ~ PIA v PIB](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-202-320.jpg)
![.•'-.;.+ l'UUNmliOS
II. Si un polinomio es divisor de un producto y es coprimo con uno d¡e los factores,
entonces es divisor del otro.
P!AB ·" m.c.d. (P y A)= l => PIB
i :!.6.6. Teorema fundamental de la descomposición factorial. Todo polinomio no nulo
en K [X] puede expresarse como el producto de una constante por polinomios
mónicos irreducibles. Tal descomposición es única, excepto el orden de los factores. ·
Demostración)
Distinguimos dos caw~:
l. Si A es una constante no nula o un polinomio irreducible en K [X]. el teorema se
,..¡.., .; ;¡,._•""""' t ·"" ,... ! "'"~
~~--~ ...~ ...~. t'""J
O bien
A=a==a.l
n . n
A = ~ a1 X' =a, ~
i=O i=O
a¡
x~
an
!L Sea A de grado m. reducible en K [X]. Entonces existen en K [X] dos polinomios
P1 y P~ de grados positivos. tales que
A =P1P2 (l)
Supongamos que la descomposición es válida para todo k <rn, es decir
t P'P1 =a1 Tr 1
. Y
i=l l
Pz =a2 1T P:.j= 1 •l
d''nde a¡ y a2 son constantes y los polinomios Pi; y P21 son mónicos irreducibles.
-1ultiplicando las dos últimas relaciones se tiene
P1P2 =(a¡a2>C~1 P;¡)(j~l P;¡)
Teniendo en cuenta ( l) resulta
A= a ir P;;/¡ _, 1
siendo a una con~tante lz= t +u y los Ph polinomios mónicos irreducibles. O sea. la
descomposición es válida para m, y en consecuencia lo es para todo n e N, de acuerdo
..:en el segundo principio de inducción completa.
Para probar la unicidad de la descomposición factorial, suponemos que A admite
dos descomposiciones · ·
A=aP¡ P2 ... Pr y A=bQ, 02 ... Q.,
j
. DI SCOMPOSICION F iCTOR!Al 395
Como a y b son el coeficiente principal de A, se tiene a = b. Enton ce~
P1 P2 ... P, = Q¡ 02 ... Os (2)
Ahora bien
P1 1A y P1 primo ~ P1 IQ; para algún i por 12.6.5. l.
Entonces, Q¡ = RP 1 , pero como Q¡ es irreducible debe ser R una constante, y
además igual a 1, ya que ambos son polinomios mónicos. En consecuencia, P1 = Q¡.
Luego de dividir (:!} por esta igualdad resulta
PcP3 ... P, = _Tr Q1
J=•
Re1terando el pro.:eso. de acuerdo con el segundo prindpio de induc..:íón ..:omp!t>ta.
los P~o son iguales dos a dos a los Q¡. y la descomposición <'S únka.
Ejemplo 12·12.
Descomposición factorial de los siguientes polinomios en R [Xj yen e [X].
í ) P = X6
- X5
+ x'- X3
== X3
<X3
- X2
+ x- 1> =
= X3
[X2
IX- l) +(X- ll] = X3
(X2
+ l H X-- l l
Esta es la descomposición de P en cinco factores rnónicos irreducibles en R [X]. El
exponente 3 del factor irreducible X es el mayor entero que satisface X3
iP. Además.
X2
+ l es irreducible en R [X], pues b2
-4 ac =O- 4 <O,
En cambio. en e [X]la descomposición factorial es
P = X3
(X+ i) (X- i) (X- 1}
¡¡ ) Q = X4
+ X2
+ 1 = X4
+ 2X2
+ 1 - X2
= (X2
+ 1)2
- X2
=
= (X2
+ X + 1) (X2
- X + 1)
que son irredudbles en R [X], pero no en e [X], pues
X
2
+ X + 1 = X
2
+ X + ~ + ! =
/ (r 1 2 viJ 2
=lX+ 2) - (1 i) =,x + !__ + i ..[3 )'· ( X + ...!_. - i
0.
3
)
2 2 1 2 '
Análogamente
xz -x+ 1 =(x-- ++i ~3
) ( x- _!__ -t 0). - -./ .. 2 2
,,',<><:$;~>i;t<,;i:" it;jj
,.,..._...;;.J>.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-203-320.jpg)
![39rl POLINOMIOS
12.7. ESPECIALIZACION DE X Y RAICES DE POLINOMIOS
12.7.l. Especialización de la indeterminada X
SeanPeK[X] y aeK
Definición
Espedaliz:¡ción de X por a es el elemento de K
Ejemplo 12-1J.
p !ft} """- ;,1
j-=:f) l
p (a)"' p Sl
P(a)=O SI
gP= o
P=O
g.P
Detenninar las especializaciones de X en los siguíentes casos
) a = V': ! P =:! X4
- X2
+ l en R [XJ
Se tien~
r <0) = 2 <v'2r~- <v':)2
+ 1 =1
ii ) o:= 1 +i y P = zX + i en C [X]
Resulta
p ( ¡ + i) :::= i (1 + i) + i = 2 i- 1
iij) o:"'" 2 y P ""3 en Z5 [XJ
Entonces
p (2) = 3
iv) De modo más general, si P f K [X], la especialización de X por a define una
función de K (XJ en sí mismo. Si P,., X2
•• L y o:"'- X -· 1, entonces
P(oJ=(",~ [i;; ~ x~- .~
1:!.7.2. Raíces de polinomios
Sean P eK [X] y o: e: K
Definición
o: e K es raíz de P si y sólo si la especialización de X por o: es O.
O sea
o: es raíz de P ~ P (o:)= O
j
i
1
t
'1
4
RAICES DE l'OLINOMIOS
Propiedad. o: es raíz de P s(y sólo si X -a: es divisor de P.
l. o: es raíz de P => X - o:tp
Dividiendo P por X- a:, se tiene
P =(X- o:) Q +r
Especializando X por a se tiene
P (u)"' (.::.- u:) Q («) +r = r
~l corno Ct es :-Jf"'~ de P. por definición resu!ta P (a:)~ O~~ r
~u,timvendn en 1 l l
:~· ..!n ..::'Jnsecuen(l:.l
il. X-- et;P = o: es raíz de P
Por hipótesis
p ={X O:l iJ
X-a!P
x-aiP
Por definición de divisor. 3 Q tal que
P= (X -c.) O
Especializando X por
p (Ce.') <~(e:~ ti) Q (Di)= o
Es decir, a es raíz de P.
(l)
12.7.3. Teorema del resto. El resto de la división de P por X~ et es P (a).
D~n1ostra..;iOn)
Dn.·hih:ntl•) P p·.:~ , ~~ :) ·~e ~ kn<:
P= X fJ-~r
bpecia!iL:mdo X po1 ti: resulta
P (c.)= (a- a) Q to:) + r
O sea
r = p (o:)
Una consecuencia inmediata del teorema del resto es la siguiente
X- oqP ~ P (a)= O](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-204-320.jpg)
![~'18 POLINOMIOS
/.j!:'mplo 12-14.
i ) Determinar si P = X" - an es divisible por X -a.
Corno r = P (a)= a" -a"= O, resulta X- aiP.
ii ) Obtener el resto de la división de P = 3 X2
- 6 X + 1 por (3 X + 6).
Dividiendo ambos polinomios por 3, se tienen
X
2
-2X+ +
El resto de su división es
r'= (--2)2
-:! (- 2) +
De lCUerdo con 1.:!.4.3. m.
Y X+2
-:;-· =8 +J..) 3
r
-3 =r'
O sea
r = "'"
1:2.7.4. Raíces distintali de Pe K [X]
Si a:1 • O:z ..... a,. son raíces distintas de Pe K [X], entonces
"rr (X-a;)¡P
i'-' 1
I. La propiedad es válida para n "' l. pues
15
3
Jr (X- a¡)= X- a 1 1P ya que a:1 es raiz de P.
i= l
JI. Demostramos ahora
~ íX- a;)IP =>
i=l
1
fX--n:;)IP
1
Por hipót€sis y definición de divisor 3 Qtal que
P = Q ~ (X -a;) 111
i= l
U resto de la división de Q por (X - ah+· des r = Q (ah+ 1).
Especializando en ( 1) X por ah 7
1 •
P<ah+d=Q(a1,+¡) ~ (ah+t -a;)= O
i=l
RAICLS MULTIPLES
por ser a11 t 1 raíz de P. Como las raíces son distintas
resulta Q(a11 + 1 ) =O
O sea,r= O
ah+ 1 -a¡-:/= O Vi= 1 , ... , h
Entonces, X- a,.+ ¡IQ => Q =S (X- ah+¡) (2)
De(l)y(2)
11
P =S (X- all+¡) 7r (X -a:¡)
¡~¡
y por lo tanto
h;t (X
i=J
a;)¡P
399
Consecuencia. Todo polinomio de grado n en K [X) tiene a lo sumo n raíces distintas.
Demostración)
Sean a 1 , CY2 , ••• , am todas las raíces distintas de P Por el teorema anterior se
verifica
11 (X- a:¡)¡P
i=l
Entonces
P = Q 11 (X- a:;)
i= l
Luego
n=gP=gQ+m:;;;.m
Es decir
m:;;;:;,n
12.8. RAICES MULTIPLES
Sea a: raíz de Pe K [X].
Definición
o: tiene multiplicidad p eÑ sí y sólo si P es múltiplo de (X -a:Y' pero no lo es de
(X- o:)P+1_
En este caso se dice que a: es raíz múltiple de orden p.
O sea
·o: es raíz múltiple de orden pe N ~(X- a)P¡p r, (X- af+ 1 { P
"!"'"~~~:..](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-205-320.jpg)
![.;~0 POLINOMIOS
La definición dada puede traducirse de la siguiente manera
ex es raíz múltiple de orden p ~ P =(X- ex'f Q 1 Q(ex) "4= O
Las rakes de rnultiplkidad 1 se llaman simples.
Por ejemplo, Oes raíz doble de P = X2
; 1 es raíz triple de Q =X (X - 1)3
y Oes
liz simple.
12.9. POLINOMIO DERIVADO Y RAICES MULTIPLES
r;9.l. Opt:rador derkado
La fmdón D. K !XJ ~K [XI
.ldiníd1 por
r n ·) , . 1
D 1P) = Dj I a; X' .= .L ia¡ x•- = P' si gP >O
"¡=0 - ·=1
D 1P) =O si P =O v gP ==O
rcibe d nombre de operador derivado en K [Xj, y la imagen por D de wdo polinomio
!Se llama polinomio derivado de P.
El operador derivado satisface las reglas usuales de la derivación
i ) (P +Q)' =P' + Q'
ii } (aP)' = aP'
íiil WQ)' = P'Q + PQ'
iv) (P"f =nPn·l P'
12.9.2. Propiedad. ex e K es raíz múltiple de orden m > 1 del polinomio Psi y sólo si ex
'S raí? de P v de!''.
í S•':J u raíl de 1' ...:.m aw]llplkidad m 1. E.:ronces, por ddinid(•n 1.: t'. es
~ "- X -"' ~~m tl !cr' *O
o~üvando
P' =m (X - a)m -~ 1 Q +(X--- ó:)m Q'
Especializando X por a resulta
P'(ex)=O yaque m>I
O sea, ex es raíz de P'.
II. Sea a raíz de P y de P'. Hay que probar que a es raíz de P con multiplicidad
mayor que l.
~
1~
!~
'1
1
Por hipótesis
Derivando (l)
Susrituy.:mlu m C)
~
Dei 1) y (3) resulta
RA!CLS Dl POLlNOillOS
P(o:).:"O =? X-o:IP =? P=(X·-a)Q
P' (o:) = O =o> X- ex!P' =? P' =(X- a) S
P' = O+ {X ·-a) Q'
O+- CX -a) Q' = Cl( -·o) S
Q "'!X~- aH S~ 0')"' ¡X -u:¡ T
P =<X -aY T,
O 5e:1. a: es raíz de P con multiplicidad m :;;:::- 2.
131
12.10. NUMERO DE RAICES DE POLINOMIOS
. (1)
(2)
4Ul
Sea P e K [X] un polinomio de grado n, y sean ex1 • ex2 , ••• , ah todas.sus raíces
distintas con multiplicidades m 1, m2 •..• , mh, respectivamente.
Teorema. La suma de las multiplicidades de las raíces distintas de todo polinomio de
!! es m~nor o igual que 11.
~~
~m¡~gP=n
¡;¡
Lo demostramos por inducción sobre k.
1Sea k = Les de¡,:ir. que la única raíz es a:1 con multiplicidad m,. Entonces.
por 12.8 ~ se tiene
LU!:!!;!O
P~tx (1 ±
~ m1
=m 1 = g (X- O:¡) m' .;;;; m 1 +gQ = gP = 11
¡= l .
ii ) Debemos probar que si la propiedad se cumple para k =h, entonces se
veritlca para k = h + 1, o sea
~ h+l
...- m¡ .;;:; n ::;. 2:. m;~ rz
i= l i=l](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-206-320.jpg)
![.!!1] I'OUKOMIOS
En cf.::cto, siendo a 1 , 0'2,
m2 •• • , m¡,,se tiene
, ex¡, raíces distintas de P con multiplic-idades m 1 ,
h m·
p = 1r (X ·-o:¡) ' . Q y Q (o:¡)~ Opara i = l, 2, ... , h
i= 1
Debe ser Q divisible por (X - o:h+J ('h+l. Sean H y R el cociente y'el resto de la
división, es decir
Q==(X-a:h+t)mh+t H+R
S1 R "" O. enton..:es
,,¡.] ,.,.,,
P = 1r (X- O:¡) '• H
l"'l
~ <!!l .:ünse.:uen..:ia
h-rl h+ 1
n = gP = ~ m; + gH ;;. ::!: m¡
i= 1 í= 1
s, R ~O. enton..:es
P= !X-a;t'. H 1- (X-o:1
)m; R
Como
iX- O:h.,.J ÍnT! 1p
Resulta
IX-a;,+ 1 )h~ 1
!R *(X-o:¡}"
1
i
i=l
y en .:onsecuenda
(X- ah+dh+ 11R
O ~.::a
R=(X-o:h+¡)h+l S
Luego
p = h:¡¡.I (X_ o:-)m¡ (H +S): h1rt (X_ o:-)m¡ T
i=l
1
i= 1 1
Entonces
h+l h+l
n =gP = r m¡+ gT;;. ~ m¡
i= l i= 1
Consecuencia. Todo polinomio de grado 11 en K [X] tíene, a lo sumo, n raíces.
RAICES DE POLINOMIOS
403
En efecto, si o:1 , o:2 , ; .• , O:¡, son todas las raíces distintas de P con multiplicidades
m 1, m2 , ••• , mh. respectivamente, entonces el número total de raíces es
k
:rm,...;;n
i= 1
Ejemplo 12-15.
El polinonúo P = X
4
- 4 X
3
+ 5 X
2
- 4 X + 4 en R [X] admite la raíz 1. pues
p (::!)=O.
El polinomio derivado P' =4 X3
- 12 X2
+ 10 X-- 4 es tal que p· (2)::::: O, y en
..:onsecuencia ::! es. al menos, raíz doble de P.
-"~pli(:aiidv rc~tt:=íaJa.utt:ilic ~a regla de Ruffini
-4 S -4 4
2 1 2 -4 '., -4
-2 l -- 2 1 o
:; 1 :; o 2
o l 1 o
Resulta
P ;::: (X - 2f (X2
+ 1)
Es decir P admite en R [X] la única raíz doble 2. y la forma propuesta es la
descomposición fa..:toría! de P en R
12.11. RAICES DE POLINOMIOS REALES
Sea P € R fX}, de grado•n.
12.11.1. Teorema de Gauss. Si el polinomio real P. de grado n, con coeficientes
enteros, admite una raíz racional .!!_ (siendo p y q coprimos), entonces p es divisor
q
del término independiente y q lo es del coeficiente principal.
n i
Hipótesis) P = :r a¡ X es tal que a¡ € Z y an ~O
i=O
.!!_ eQ es raíz de P
q
Tesis) pla0 , qla,
y m.c.d. (p, q) = 1
J](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-207-320.jpg)
![POi E<' l!liJS
lkmostración)
Como ]!_ eQes raíz de P, se verifica
q
O sea
Entonces
:¡
"...,¡ "'
i"Ü
P(-~-)=o
~ 1 1' 1' - {'-1 a€ í~--' ~w-
i=O
"~:-;:o -=:) !: C!¡ p·
•=O
->=o ~>
=> ao q" + p 1 i; a¡ p''-1 e:¡"- i J= O =
.i= l ./
/' " • 1 • ',
=a0 q" :::=pí- i: a1 p'-' q"-' 1=
' ¡ooq ,'
=> a0 qn =p. s con se Z ( 1)
Distinguimos dos casos
i ) ao =O y el teorema se cumple con p :: O y q =1
ii) a0 :;0: O
Entonces p :;0: O, pues si fuera p = O, como q * O, por ( 1) sería a0 = O, contra lo
supuesto.
En este caso. de (1). resulta
plao q"
y como p y q son coprimos, se tiene p la0 por 9-8 ii)
Por otra parte
Ejemplo 1~-16.
<I¡fJ¡
=a, =q
~a,. pn =q.
.~n-1 .
- ' .,., 1
,=!J =! - a, P
1'"0
i, a,p'
í"'Ü
~; .. ¡
con teZ =?
= q¡an pn => qlan
Dete~inar, sí existen, las raíces racionales de
"
-1 1+a,
P = 8X3
+ 10 X2
- 11 x+2
=O=
¡
~~
l
RAICLS m. POLINOMIOS ;os
Si existen raíces racionales _E_ , debe ser pj2 11 ql8.. q
Losdivisoresde2son: 1, -1,2 y -2.
Los divisores de 8 son: 1, 2, -,2, 4, -4, 8 y -8.
De los lO números racionales, - ! , ; y +son las ra{ces de P, y en
consecuencia la descomposición factorial es
l ' . l
P=8(X+2)1 X-·~' 1'- X- -¡_.1
LU 1.2.. Raices complejas de polinomios reales
~ea P E R lX! un polinomio de grado n
Teorema. Si un poiinomío real admíte una raíz compiep. entonces admite a su
conjugada.
Hipótesis) p = f a¡ xi es tal que a, E R y :; E e es raíz
i=O
Tesis} :es raíz de P
Demostración)
Debemos probar que
Por lúpótesis
p (:')=o
1'1:) =o
!J
n -
E aí::' =O
i=O
•f a¡Zi =0
i=O
l.l
n ,
! a,:;' =O
i=O
~
~ a-··.-'= u·Mttl ~-
i=O
JI.
n -
E a¡(z)' =O
1=0
jJ
P(:Z)::;:; O
JJ
z es raíz de P
por conjugado de la
:,tHna y di! t)
por conjugado del
producto.
por conjugado de una
potencia y por ser a¡ e R](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-208-320.jpg)
![<o6 l'OLINO!IOS
Vota:
Una consecuencia inmediata de este teorema es que todo polinomio real de grado
irr;par admite una raíz real.
12.11.3. Teorema fundamental del álgebra. Todo polinomio real de grado positivo
admite una raíz en C.
La demostración de esté teorema exige recursos no algebraicos y la omitimos.
1.!.11.4. ~scomposición factorial de polinomios reales
Sea P € R tXl. de grado n >O.
Teorema. Si Pes un polinomio real de grado n;:;;. l, entonces existen n complejos <r;,
o: .... , a:,. tales que
P=a.., n (X-a¡)
i=l
) SigP = n = l, entonces
Luego
·· So '
P = a1 X + a0 =a1 1 X + -- J pues a 1 =1= O
"' O¡,;/
P =a1 Jr (X- 01;) donde
i= l
ao
a¡=- S¡
ii ) Suponemos que la propiedad se verifica para gP = h < >2.
Sea P de grado h + l y ah+ 1 raíz de P, la cual existe por el teorema
fundamental.
Entonces
.P =(X -ah+l)Q
siendo gQ =h.
Por la hipótesis inductiva se tiene
Y sustituyendo en (1)
h
O=ah+t 1T (X-a¡}
i=l
p '=:'Oh+l htT 1 (X- a¡)
i=l
(!)
COLFICII-'.NTES Y RAICtS
Ejemplo 12-17.
Efectuar la descomposición factorial del polinomio
p = ~ ~ x3
- ; X2
+ 2 x- 1
en C [X].
P= +(X3
-3X2
+4X-2)
(' nmo n! = 1 t>~ r<J Í7 de
Q :;;; X
3
-· 3 X2
+ 4 X - .:;
entonces (X·- 1) es divisor de Q.
Efectuando la división por la regla de Ruffil!Í,
el cociente es
y sus ralees son
Luego
-3 4
_.,
_., 2
-2 2 1 o
S= X2
- 2 X+ 2
0:2 ,3 ;:; l ;t i
P = _!_ (X - l) (X - l - i}(X - 1 +i)
2
12.12. RELACIONES ENTRE RAICES Y COEFICIENTES
407
Sea P ::;:; f a;Xi (J.) un polinomio de grado n en C [X]. Su descomposición facto·i=O
rial es, en consecuencia
P=an .11- {X-a¡)
•=!
Es decir
P= On (X- 01¡ )(X- a2 ) ••• (X- O:n)
donde a:¡ con í = 1, 2, ... , n son todas sus raíces complejas, simples o múltiples.
Efectuando el producto de los polinomios'mónicos irreducibles, se tiene](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-209-320.jpg)
![408 POLINOMIOS
P ":' ll11
[X" -- (a1 + a:2 + ... + an) X"-
1
+
+(a¡ 0!2 + 0:¡ "3 + ... +"n-1 O:n) xn-2
-
--(o:¡ 0:2 0:3 +C<¡ 0:2 0:4 1 ... +O:n-2 O:n-1 O:n) xn-J + ... +
+(-1)" 0:¡ IX2 .• ·IX¡¡) (2)
De ( l) y (2) resulta
Entonces
Osea
-a" (a¡ + O:z + · ·· + O:n) = On- 1
ür:(ú 1 o:~+aict3 +. +a:-,-i:x,a·)=an~2
-an(U; Ct1 UJ +a:! ü:z Ct3 + (!n -- 2 )!n - i aH ) :;:;:, ¡]•r - ~
(- 1)" On 0! 1 O:z ... an = ao
an-1
a¡ + !l2 + ... +a,= --a--
n
a.,_,
0:¡ 0:2 + 0::¡ 0:3 + · · · + Ü:n-1 O:n =a;;-
an-3
0:¡ O:z a:3 + ... +a:n-2 an-1 O:n =----
. an
.. . . ~ . . . ., . .. ~ . . " ... . .. . " . . . . . . .
O!¡ 0!: 0:3 .. a,._¡ 4'" = (- l)"
a,..,.¡
f 0:¡=- a,:-i= l
an-2
" --~ a1 tx¡- a.,
i<j
.:::;' ú¡ ií, uk"'
•<i<k
n
1f 0:· = (- 1)"
•= l 1
t.l~¡. J
lin
ao
an
ao
wn
Expresando
P= an xn_ +an-1 xn-t +... +a1 X +izo
las relaciones anteriores se traducen en
,.t
1·
1
~
l·ORMVLA DE TAYLOR 409
i ) La suma de las raíces es igual al segundo coeficiente cambiado de signo,
dividido por el coeficiente principal.
ii ) La suma de los productos binarios de las raíces es igual al tercer coeficiente
dividido por el coeficiente principal.
Las mismas reglas valen para las sumas de productos ternarios, cuaternarios,
etcétera, con signos- o +,alternativamente.
El producto di! las n raíces es igual al término independiente dividido por el
coeficiente principaL con signo + o-, según que n sea par o impar, respectivamente.
Eiemplo !2-18.
Determinar d mónko de .;uya:; raico:~ son
ll!¡ "'1 llz ""'-- l a3 "'"-
Hay que obtener a2 • a 1 y a0 tales que
Como
Se tiene
Luego
p = X3
+a2 X2
+a¡, X +ao
ill
a 1 + a1 .,. a3 ;;; 2 = - -a; ""-a!
O:¡ a2 + O:¡ 0:3 + 0:2 a3 = - l
ao
O:¡ a:2 a:3 =- 2 =- -- =- ao
a3
a¡
a3
Gz =- 2 G¡ =-] ao = 2
P = X3
·- 2 X2
- x+ 2
t:U3, FORMULA DE TAYLOR '
METODO DE HOR.IJER
Sea P = f a; X¡ en K IX] un polínonúo de grado positivo.
i=O
=a¡
Pensando P como una. función de K en K respecto de la especialización de X, si
efectuamos una traslación definida por a € K, al referir a P respecto del nuevo origen,
la indeterminada Y está vinculada con X mediante X =Y +a](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-210-320.jpg)
![,,,,, POLINOMIOS
'<('------X---~
------~-+--------4--------4----~---k
Osea Y =X-a
Entonces se tiene
O a
<E--Y~
P= f b¡ fX -a);
:"-0
dc>nde P queda expresado en potencias de X- a== Y. y cuyos wet1cientes b, serán
l"'t~m1inados a continuación.
1~.13.1. Fórmula de Taylor
.~ partir del polinorrio P = f b¡ (X- ai (í) de grado n >O. determinamos las n
i=O
ie:::vadas sucesivas:
P' i i b¡ fX -a)i-l
i=l
n ·~
p·· = .l: i U- l)(X -- a)•·~
i=2
P'" = f i!i- l)(i- ::)<X -a)
1
•
3
i=3
p(n-1)= ~ i(i -1) (i- 2) ... [i- (n- 2)) (X -ai·(n·l)
i=n-1
p(n) = I i-(i- l)(i- 2) ... [i- (n -· l)] IX- a)i-n
i=n
Especializando X por ae,o P y en las n derivadas, se tiene
P (a)= bo
P' (a)= i .b 1 = 1! b 1
P" (a}= 2 . 1 . b2 = 2! bz
P"'(a} = 3 . 2 . 1 . b3 = 3! b 3
p(n)(a) == n! bn
~:
i
f¡
~,,
1
•
METODO DE HORNER 411
Entonces
b0 = P (a)
b 1 = !! P'(a)
b 1 P" , )2 = 2! ~a
~ - • p(n) 1~
un- f .L "1
n.
Y sustituyendo en (1) resulta la fórmula de Taylor
n •p(i) (a)
P= P(a) + I: .1
(X -a)'
i= 1 l.
Si convenimos en llamar a P (a), la derivada de orden o de Pena, podemos escribir
P(a)= p(o}(a)
o!
Y la fórmula anterior se expresa así
n p(i)( )
P= I ~ (X-ai
i=O l •
12.13.2. Método de Homer
Para obtener los coeficientes b; de la fórmula (1) efectuamos las n + 1 divisiones
sucesivas siguientes, hasta obtener un cociente nulo
p
bo
X-a
Qn.3
donde gQ¡ = i, Vi= O, 1, ... , n - 1
1
1
1
L----
Qz
bn-2
bn
X-a
o
'](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-211-320.jpg)
![412 POLINm.HOS
Por el algoritmo de la división se tiene
P = bo +(X-a)Qn-l =bo +(X a)[b¡ +(X-a)Qn-2]=
= b0 +b ¡ (X -a) +(X- a)
2
Qn-2 =
= bo + b 1 (X - a) +b2 (X - a)" + (X -- a)
3
On.3 =
'""' ... ::::;; b0 + b1 (X- a)+ b2 (X-- a)2
+ ... +b, (X- a)"
~uyos t.:ü~t¡.,:¡¡;;¡;¡c:,
mdt~::tJJs.
;:on lüs sucesívos restos que resultan d.: ias dívisiones ;m.:es¡;;.;~
Ejt'tli[JÍU i:!-i9.
Expresar el Jolinorrúo P = X 3
- 3 X2
+ 2 X + 1 en potencias de X + 1 utilizando
los métodos anteriores.
) Fórmula de Taylor. Obtenemos los polinomios derivado&
P' = 3 X2
- 6 X +:!
P" = 6 X-· 6
P"'=6
Especializamos X por - 1
Luego
3
p -- 1) =- 1 ,_ 3 ~ 2 + l = -5
P' (- 1) = 3 + 6 + 2 = 11
P" (- 1) = - 6 - 6 = - 12
P"' (- 1) = 6
p::;:: :E (X+ ll¡ =
i=O
=--S + 11 (X+ 1)- ;~ (X+ l)
2
+ ~! (X+ 1)
3
=
· 5 + 11 (X + l) -- 6 (X + 1)2
+ (X + 1i
ii) Método de Horner. Efectuamos las divisiones indicadas en 12.13.2. mediante
la regla de Ruffini
(t
METOD(i DE IIORNER
-3 2 l
-- 1 1 1 -1 4 -6
-4 6 1~ 5
-- 1 1 1 -I S
-S 1 11
-- 1 1 -1
-6
y íos coeficientes son b0 =-- 5 , b1 = I l , b: =- 6 y b3 = i.
Se tiene
P=-5 + 11 (X+ 1)-6(X + 1)2 +(X+ !}3
4!3](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-212-320.jpg)
![TRABAJO .PRACTICO XII
,·=..:n. Dcte;-rrJnar a.. by r: ~n R. de modo que
í ) 9 X2 -- 16 X+ 4 =a (X- l )(X-- 2) + bX !X-- 2) +eX tX- 1)
ü) X+2=a(X2
+X+ l)+tbX+c)(X-1)
! ::-::J. Dados en Z6 [X}los polinomios
P =~X4
+X3
+4X+3
o= 3x2
+ sx +1
Determinar
i )2P-Q
ií) PQ
üi)P" +Q
iv) el grado de XP + 2 Q
12·21. Obtener el núme;o de polinomios en Z [XJ de grado menor que 4 con
coeficientes a1 tales que :a,- 1 ! .;;;; 3
12-23. Determinar si existen polinomios A e R {X} de grado positivo, tales que
A2
-A=O.
12-!4. Obtener el cociente y el resto de la división de A por B, pertenecientes a Q [X],
en los siguientes casos:
i )A=-X
ü ) A = X4
- X2
+ 2
üi) A = 2 X2
- 1
B=J_ X-I
2
B: -X4
+ 1 X-1
B =X3
-X
12-15. Dados A=X3
+2mX+m y B=X2
+mX-1 en R[X], determinar m
para que A sea divisible por B.
12-16. Mediante la regla de Ruffini, determinar el cociente y el resto de la división de-
A por B en_cada uno de los siguientes casos
¡ )A=-aX3
+a3
X-I B=X-a
ii)A=JX4
+X2
+4X+2 B=X+l enZs[X]
í,,1
.¡
·¡
TRABAJO PRACTICO XII
üi) A = ;X4
-- 2 X2
+ ;
iv)' A= 3 X3
- 6 x + 1
B=X:+i enC[XJ
B=3X~9
12-27. Determinar el m.c.d. de los pares de polinomios que se indican
i ) A = X4
+ X3
- X2
+x- 2 y B = x~ + X3
- 3 X2
- x +2
ü) A =:=X 4
-16 y B = X2
+ 4
iii) A = X11
- 1
iv) A= X 3
+ 2 X2
-X- 2
y
y
B = X33
-1
B = x~ + 2 X2
-3
415
12-28. Sean P y Oen K [X] y a e K. Demostrar que P . Q(a)- P (a) . O es múltiplo de
X-u.
12-29. Realizar la descomposición factorial de P =X3
+ 4 X2
-4 X- 16 en Q [X].
R [X] y C [X].
/2-30. Verificar que P = X4
- 5 X2
+ 6 carece de'raíces racionales.
12-31. Obtener todas las raíces de P = X4
- lO X + 1
12-32. El polinomio P = X3
+ 2 X2
- 4 X- 8 admite una raíz doble. Obtener la
descomposición factorial en Q[X].
12-33. Expresar en la forma X4
+ f O¡ X¡ el polinomio p = ~ (X- a¡) tal que
i=J i=l
a¡ e R para i = 1, 2, 3, 4
12-34. Determinar el polinomio mónico de grado 4, cuyas raíces son- 2,- 1, l y 2.
12-35. Investigar si los siguientes polinomios son irreducibles en Q [X] y en R !XI
¡)A= X3
-3
ii)B=5X2
+4
iü)C =X6
-1
12-36. Demostrar que :P = f. O¡ X' es irreducible en R[X} si y sólo si
z i=O ·
!::.=a1
-4a0 a2 <O.
12-37. Proponer un polinomio irreducible en Q [X] del tipo a ).{? + b X + e, tal que
b2
-4ac;a.o.
12-38. Detenninar en Zs [X] un polinomio P de grado. 2, tal que
P(l)=3 , P(3)=0 y P(2)=T.
12-39. Sea B*O en K[X]. En [X] se define la relación de congruencia módulo B
mediante
A- A' <=> BiA- A'
Demostrar que tal relación es de equivalencia y determinar las clases de
equivalencia.
·'"eii'-P~f,](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-213-320.jpg)
![416 POLINOMIOS
12~10. Demostrar que la congruencia módulo B =F O en K [X] es compatible con la
suma y el producto.
12-41. Sean Ay B en K [X]. Demostrar que
I ={SA + TB /S y Te K [X] )
es un ideal de K [X].
12-42. Demostrar que la intersección de toda familia de ideales de KlX] es un ideal.
12-43. Demostrar que el i'deal generado por A1 y A2 en K [X] es igual a la intersección
de todos los ldealt!s que contienen a A, y A<
12-U. Determinar todas las raíces de la~ s¡guientes ~cuacJ•,¡!Jes
¡ ) X
4
+ 16 =o
u) x.l + X2
+ x + 1 =o
iii) i X3
+ l = O
12-15. Dado P= 8 m X1 + 7 (m- 1) X+ l con m =#o O, determinar m en !os siguientes
casos
i ) Las raíces son opuestas.
ii ) Las raíces son recíprocas.
iii) Las raíces son reales e íguales.
12-46. Resolver las siguientes ecuaciones
¡ ) X3
+ 2 X2
+3 x + 2 =o
¡¡ 12 X3
- X2
- sx - 2 =o
12-17. Resolver las siguientes ecuaciones
r ; , :,J_:
'C - __.......
siendo
siendo
Ct¡ + cx2 - <~:3 =O
a, cx2 + l =O
i ) ab X- b X(a +b + X) :;;; a X (a + b + X) + ab (a + b +X)
ü ) X8
+ 2 X
4
+ 1 = o
12-48. Dada la ecuación X3 - 7 X+ m = O. determinar m para que a:1 -- 2 a:; ""O.
1J-.19 Di'lem~:n:J.r ~uma j~ ~n~~ :~~tadradcr;; de las raí(.eS de la :ecuación
v-l ~
,'. - , j + -=,- X" ·-:;- X + --:, = O
12·50. Dado P = X3 - 3 X2 + 2 X en R [X}, determinar el polinomio cuyas raú;es
exceden en 3 a las anteriores.
J
't
BIBLIOGRAFIA
Alexandroff P. S.. Introducción a la Tecna de Gntpos. Edttoria! Universitaria de
Buenos Aires, 1965,
Apóstol T. M.: Análisis Matemático. Editorial Reverté S.A., Barcelona, 1960.
Balanzat M.: El Número Natural y sus Generalizaciones. Universidad Nacional de
Cuyo, 1953.
Birkhoff-Mac Lane: Algebra Moderna. Editorial Teide, Barcelona, 1964.
Bosch. J.: l>!troducción al Simbolismo Lógico. Editoríai Universitaria de Buenos Aire5.
1965.
Cop~ 1.: Introducción a la Lógica. Editorial Universitaria de Buenos Aires, 1962.
Cotlar-Sadosky: Introducción al Algebra. Editorial Universitaria de Buenos Aires,
1962.
Chevalley C.: Fundamental Concepts o{Algebra. Academic Press Jnc., Publishers, New
York, 1956.
Dieudonné J.: Fundamentos de Análisis J1oderno. Editorial Reverté S.A., Barcelona,
1966.
Faure-Kaufmann-Denis: Matemática Moderna. Editorial Paraninfo, Barcelona, 1966.
Gentile E. R.: Estructuras Algebmicas. The Pan American Unían, Washington, D.C.,
1967. •
Cremil~ E R.. Jiutas de Algebra. CEFM'{X. Buenos Aires. 1964.
Hernández, Rojo: Rabuffetti: ConceptOs Basicos de J4atemdtica :lfoderna. Editorí:li
Códex, Buenos Aires, 1966.
Hu S. T.: Elements ofMorlem Algebra.. Holden-Day, California, 1965.
Lentin-Rivaud: Lecons d'Algebra Modeme. Libraire Vuibert, París, 1961.
Lipschutz S.: Theory and Problems o{ Finite Mathematics. Schaum Publishing CO.,
New York, 1966.
Lipschutz S.: Theory and Problems o{Set Theory Schaum Publisihing CO., New York,
1964.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-214-320.jpg)
![-~.. ~;NW.~;¿n,~;~~ ·;.._·::::¡.~~~~·~;:t:~mir~~·~.<;.>.::;;~~~'~; ';:.]'~~.:·:~ ·.~'~;..~J<~.~~<~· ··~-·~,._,- 10 .,...,._,_,
TRABAJO PRACTICO 11
::-34. S = { (1 ,1 ,1) , (l ,1 ,O) , (1,0,1) , (0,1 ,1) . (l ,0,0,, (0,1 ,0) , (u,úi) , (0,0,0) f
2-35. S 1 = {<1.1,1) , (1,1 ,0) , (1,0,1). (0,1,l)}
S2 = S1
r }s3 =t(1,1,1), (o,o,o)
?·16. S~ =t(0, l,O), (l,O,Q), (0,01), (0,0,0)J
~ -{ ' .52 -83 - (1,1,0) ,(1,0,1) , (0,1,1)j
~ ~
5 1 n 53 = {0,1,1)1
(S¡ u S3) n St =S1
2-37. A={- 3, - 2.- 1, O, 1, 2, 3} y B = {- 2, -1, O, 1, 2}
An B=B, AUB=A ,A-B = {-3 ,3} ,B -A=I/J ,Al'lB = A-B
- 3 S] r 1 5""
2-38. A= l- 2 , 2 y B = l- 2 , 2 J son dos intervalos cerrados reales.
A n B = B ; A U B =A ; Be = R- B = (-,.. , - +) U ( i ,"")
1·39. A={-1 , 1} y B = {- 1, l].
A n B =A, (A UB)c =Be= R-B ={x eR/!xl > 1} = (-oo,-l)U(I,oo)
1-10. AUB={-6,-3,-2,-1,0, 1,2,3,
AnB={-3,·-2,-1, 1,2,3} ,A-B={o},B-A={-6,6},
AAB={-6,0,6}
2~1. 4>, {(O ,'ñJ},{(t~, O)}, A
2-12. A2
= { (a,a), (a,b), (b,a), (b.b)} ,los elementos de P (A2
) son: 4>, { (a,a)}
· {<a.b)} .{(b,a)} ,{(b,b)}.{(a,a),(a,b)}.{(a,a),(b,a)}, ·
r . b' ~ (, • ' " )) ( 1 ( l
l(a.a), (b, >) , ~.a.o}, ~o,a ) , 1_(a,b), (b.b)¡ , (li,a), (b,b)¡ ,
TRABAJO l'RACTICO U
{ (a,a), (a,b}, (b,a)} , {<a.a), (a,b), (b,b)}, {<a,b), (b,a), (b,b)},
{<a.a) , (b,a) , (b,b)} , A2
•
243. i ) x € A n B => x € A A x € B => x € A. Luego, A n B e A.
Usar el mismo procedimiento para demostrar A e A U B.
2-44. Considerar x e A, utilizar la hipótesis y la definición de intersección.
2-45.Seax€AUB =>xeA V xeB =*XEC V xeC =*xeC.
423
2-46. En el texto está demostrado: 4> e A, y como por hipótesis A e 1/J, resulta A= 1/J,
por definición de igualdad.
2-47. Considerar A- (A n B). tener en cuenta que la diferencia entre dos conjuntos es
igual a la intersección del primero con el complementario del segundo, utilizar
una ley de De Margan y la distributi-.idad de la intersección respecto de la unión,
para obtener A- B. El mismo procedimiento se sigue para probar (A u B)-
-B=A-.B.
2-48. Se aplica el mismo método que en el ejercicio anterior.
2-19. A n B)-C =(A n B) n ce= AnBnccncc = (Anc") n(BII C") =
=(A - C) n (B - C).
2·50. (A- B)-C =(A nBc)nC" =A n(B" nC")= A n (Bu C)" =A -(BUC).
2-51. A- (B- C) =A n {B n C")c =A n (Be U C) = (AnB") U (A n C) =
=(A-B)U{A nC).
2-52. Expresando en términos de intersecciones ambos miembros de la inclusión, hay
que demostrar
A n Be i'l C" e A n (Be U C)
Seax eAnBenc" =*X eA " xeB" ,.x eA " x eBeuc ,.x e AntB"UC)
2·53. A U (B - C) = A U 'B n C") =(A U B) n (A U C") =
=(AUB)n(C í1A")" =(AUB)-(C-A:P.
2·54. (A n B) U (A n B") =A n (BU B") =A n U =A
2-55. Como (A- B) U B =(A n B") U B =(A U B) n (B" U B) =(A U B)llU =
= A U B, hay que probar Be A * A U B = A, lo que está realizado en el
texto.
2·56. Está demostrado en el ejercicio anterior.
2-57. A l'l B::: <!> * (A- B) U (B- A)= </1 ~ A- B=if> 1 B _:.A= <,b *
*>AeB 11. BeA<:>A=B
, 2-58. A =1= 1/) / B # <1> * 3 x e A 11. 3 y e .B *> 3 (x,y) € A X B * A X B=F tf;.
Luego A X 8 :;: ¡f¡ ~ A = '}! v B =¡p.
·-~.. ':·..... ~
~
'~](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-217-320.jpg)
![4:?.4 RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PRACTICOS
2-59. í )(x,y)e A X e ~ x € A A y eC ==> x e B A y e D => (x,y) e B X D
ii) Sean x e A A y e C ==>- (x,y) e A X e => (x,y) e B X D ==>-
=> x e B 11 y e D.
2·60.(x,y)e(A.nB)XC==>-xeA "xeB" yeC=>(xeA "yeC) l..,
/1 (x e R A y e C) => (x,y) e A X e A (x,y) e BX e =>
==>- (x,y)e(A XC) n (B XC).
2-61. (x,y) e(.- B) X e ~ x e A A x / B /1 y e e <» (x e A A y e C) 1
A (x0 v ytC) <=>(x,y)eAXC A (x,y)tBXC ~
~ (x,y)i:{A XC)_,_ (B X C).
1-61. ¡ ) X E A L. e = X € A V X e e =;> X e B
íi) Seguir el mismo procedimiento.
1·63. i ) X € A <=> x € B A X ee => X € B n e
ü) xeA =>xeBnC =>xeB A xeC
1-64. Se sigue el esquema del ejercicio anterior.
xeD =;.x<:B'..JD
l-65. x e A ~ x e A 11 x t B ~ ;~ e e " x t B <» x e e - B.
1-66. i ) x e l" ~ x e U" A x e u ~ x e U" n u <::> x e rp
Ü ) U = (Ue{ = rpe
iü) AnA"= A- A= ¡p
iv) A U A"= (Aen At =¡pe= U
2-67. X e B ~ X t A <::> X eAe
2-68. i ) A- (A- B) =A n (A n B")" =A n (A" U B) =
""(A '1 N) U (A n B) =4J U (A n B} =A n B.
ii) A U (B- A)= AU (B nA')= (A U B) n (A U A")= (A U B) n U= A U B.
2-6 9. i ) x e A" => x t A => x e B
ii) Se sabe que A U Be U. Además
x e U => x e A v x e Ae => x e A v x E B => x E A u B.
:F-:0. ¡ € An B = ' E A t, X € B => X E B" ,, X ¡; B = X € rjJ
Luegc : :-; Be ;ji y ;;:omo ¡p e A n B, resuita .: n B=,¡,
11 l X E-" =:;X t 13 "'*X € B",
2-7l. e (A U BU C) =e (A) +e (BU C)- e [A n (BU C)] =
=e (A) +e (B) +e (C)- c{B n C)- e [(A n B) u (A n e)]=
=e (A)+ e (B) +c(C) -e (Bne) -e (A n B) -c(A n C) +e (AnBnC).
2-72. a) 1/J e A ==>- q,c e A =>U e A
b) A; eA => A1 eA => :UA1 eA <=> U A1 eA => ~ • A1 eA.e e ( ")" ,-..
. 1el iei •el
TRABAJO PRACTICO Il 425
2-73. i ) A eA n B => A e.A f A eB => A" eA 1 Ae eB => Ae eA n JJ.
ii ) A¡ E A n B => A¡ eA 1 A¡ eB => U A¡ E A A U A¡ eB =>
=>U A¡ eA nB. id iei
iEI
iii) ifJ e.4 '" q¡ eB => q; eA n B.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-218-320.jpg)
![4JfJ
1 ' l]
1: r 1 1 1
'R = L¡- --::;- , --::;-J~ ..
RESPUESTAS A LO~ TR.>BAJOS PRACTICOS
y
72
< 1 =-::. lo X
-1 1
-~
3·34. (a.b)eR uR-1
=:. la,b)eR v (a,b)eR-1
=(b,a)eR-1
v (b,a)eR =
=(b.a)eR- 1
UR =(b,a)eR UR-1
•
.?-35. i ) R. es a-reflexiva, a-simétrica, transitiva y antisimétrica.
ii) (x,y) e R <» x-y e R.,. ~ x-y> O
J.36. i ) (x,y) eR ~ i" = Y
2
* x2
- y2
=O ~ (x +y) (x-y)= O ~
~ X +y =0 V X -Y =0 con lxl <:; 1 A 1Yl .¡;;;; 1
TRABAJO PRACTICO lll
y
R=AUB
B
-1 : 1 X
'
¡ / j' ·"Z;
V _______ --------~-1 '
ü ) R es de equivalencia, pues:
a) x e A = x2
= x2
=;. x - x
b) X...., Y => Xl =y2 => yl = x1 =y_, X
e) x -y ,., y - z = x2
=y 1
A y 2
=z2
= x2
= z2
= x - z
ili)Ku={xeA/x2
=a2
}={-a,a}
~ ={Ku/ue[o,l]}
3-37. i )(a,b) e R-1
= (b,a) eR = (a,b}e R = (b,a) eR-1
ii )(a,b) e R-1
,., (b,c)e R-1
=(b,a) e R A (c,b) eR => (c,b) eR =
= (b,c)eR-1
3-38. (a.b)eR nR' •A (b,c)eR nR',...
=(a,b)eR 1 (b,c)eR" (a,b)eR' 11 (b.c)eR' =
=(a,c) e R 11 (a,e) e R' =(a,c}'e R n R'
3-39. (a,b) e R n R' " (b,a) eR n R' =>
=>(a,b)eR "(b,a)eR" (a,b)eR'" (b,a)eR' =a=b
3-40. i ) a e X =a eA =a ""'a =a e X*
ii) ae(X u Y)* ~a- b, Vb e X u Y =
~ (a - b , Vb e X) V (a - b , 'rlb e Y) *
~ a e X* v a eY* ~ a eX* UY*
3-41. i ) Res reflexiva, simétrica, no transitiva y no antisjmétrica.
ii ) R es a-reflexiva, simétrica, a-transitiva y no antisimétrica.
431](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-221-320.jpg)
![436 HI'SPUFSTAS A l PS -¡ RABAJOS PRAC'TICOS
4-JJ.
T0}---.-0} {3}' {1,2} 1-{~~} {2,;}
--r-{2.3,4} {1,3,4} {1,2,4}l{3,4} -{2,4} {I.s}e:)r~·
A--l
1
I1Jfes inyEctiva, no sobreyectivn. no bíyectiva_
4-32. Se presentan infini~as posibilidades.
..f-.13./IA!=il.-l.o.!. {¡ Bl 1 . ,¡ <l. l
fíAn Bl = fi.A U B)"" l , 4 , q .
Resulta f(A U B) =/lA) U/(B) y [(A n Bl C./(A) nf!B)
4-14. Verificar tomando A= {o,2), ¡2,2), (3,3.~ y B = { (1.2)}
-1-JS. i ) Considerar X = ( 1 . 2 . 3} , Y = { I , 2 • 3 , 4) J: X -.Y definida por
{lx)=x y A=(! ,2}CX.
ii )Tomar. por ejemplo, X= {l, 2, 3), Y= (1, 2). {:X _..y tal que
f(lJ=l,l(2)=2,f(3)=2,y A={l,
üi) Proponer una situación del tipo anterior.
4-36-f-1
(-l,l)=cp ¡-1
(-=. i-J =tfJ ¡-l [0,3]=[-v'2,v'2J
rl [0,3)=[- ...ti. 0> r-l p ,IOJ=[-3,3J
4-37. i ) X¡; A- [IX) e{IA) => x er1
[/(Al!
O sea A c¡-1
[f(A)] (l)
Suponemos c.ue existe y e f -l [ f (A)) A y f A pero como existe
x eAíf(x) = f(y), resulta{no inyectiva, lo que es absurdo. Luego
rt [f(A)] CA (:2)
De (l) y (2l resulta la igualdad.
U_3 Si existen 't ~ y t31e~ ~sue t" (:r~ ~ ( ~ {~n {on;_;~;; consid~ rand~ ,}
~!e!!~
. = x, = x..t· [!lA']
4·38.i )gof:Z~Zf(gof)(;.:}=ent(-x; +1)
. [ent (x)]2
ii} Jag: Q-Q / tfo g)(x)= - -
2
-·· + 1
iii)(g o f) (- 2) =3 y • u o g) e- ~) 3
2
4-39. Como por hipótesis: V z € C, 3 x € A/ (g o f) (x)= g [/(x)] = z =>
=>V z €C, y =f(x) € B 1g(y) = z resultag sobreyectiva.
f
TRABAJO l'HACTICO IV
4-40. g o fes biyectiva =>fes inyectiva A g es sobreyectiva.
h o g es biyectiva = g es inyectiva A h es sobreycctiva.
437
Luego, g es biyectiva 'y en consecuencia g- 1
es biyectiva. Entonces
g-1 o (g e/)= (g-1
og) of = ia o f= f es biyectiva y (h o g) og-
1
= h "ic = h
es biyectiva. ·
4-41. Como h o g o!= (h o g)" f= h o (g o f) es sobreyectiva resultan h "g y iz. so-
breyectivas por 4-39. Análogamente
.f" h "g sobreyectiva =f o h y f sobreyedivas.
g o f o h inyectiva =» h y f o h inyectivas.
Resulta Jo 1! :; h b¡y.:;ctiva.
Luego ( f 1; hJ~ íl =f ~:; iJtyectiva~
( omo Jz ~ g y h •1
son sobreycctivas. es h -l o (li o g) = g sobreyectiva. Por
otra parte. como g o 1f o h 1y (f <> h)·J SL'n myectívas., su composición g tam-
bien lo es.
Luego g es también biyectiva.
.J•..J2. a) XEA =>{x)ef(A) =>xe/-1
ffiAJj
Osea ACf-' [{tAJI
b) y ef[f -t (Bll => 3 X € r• (B): y= f(xl ef[f -¡ (B)] =>
=>y= flxl e B.
e) f(X)- {(A)= f(X) n [f(A)f cj(X) í'I/(Ac )C{IX n Ac) = f(X --A) -
d) f -t (Y- B) =r 1 (Y n Be)= f -¡ ('() n{ -¡ (Be)=
=X n [! -1 (B)r =X-f -1
(B)
e) f(Anf- 1 (B))Cf(A)nf[f-1
(B)]Cf(A)nB porb)
Además
y E{(A) -, B => y € {A) ~. y é B =>
=>3xeAír=f(x)eA A f(x)eB=
=>xeA A xef-1 (B) =>xeAnf-1
(B)=»
=>{(xjE{(An[-1
(B))
4-43. i ) Sea x e A n B => x e A • x e B. Luego
XA-•B{x)=l.'- x,.(x)=l ,, XB(x)=l osea
... lliX} = iXJ XI
.n:llftg~pne-flt~ ~~ .<~n:ilíl:~ c;¡s(~ ~'( tt .-.
n ) Para la función cara.:teristica de !a ~míón ~e
4-44. ( f o d) (a)= f[d (a)]- f(a,a) == (a.a) =d (a)
Luego ¡, d =d
..:n f0nua :;,inular.
4·45. i ) f(x +y)= (x +y,- x-y)= (x.- x) +(Y,-y)= /(.x) +[(y)
ii) l(kx) = (kx,- kx)= k (x,- x) = kf(x)
4-46. i )we {) /-1
(-c.o,x+l-")=>w€/-1
(-oo,x+ z-n), Vn =>
n= 1 ·](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-224-320.jpg)
![438 RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PRACTICOS.
=> V11: f(w) € (- ""• X+ rn) => Vn: f(w) <x + 2 -n (1)
Resulta f (w) <x ya que si fuera f (w) >x =>
=:>f(w)-x>O => 3n0 eN/f(w)-x~2-n• =>
=> ::¡ n0 / f(w) ~x + 2-no , contradictorio con(l).
Entonces f(w)e(-=,x} => wef-1
(- "",x]
ii)we/-1 (-oo,x] =>f(w)<x ycomo VneN:0<2-", setiene
f(w)<x+ z-n, Vn. Luego
f(w) € (- 00, X+ z-n) => W€/ -l (- oo, X+ z-n), Vn =>
=> W e f f -¡ (- oo, X+ 2-n}
n=l
4-17. a) !L+q¡ =U =>P (U) +P(ti>)= P (U)=> P (</>) =D
b) AUB=A+AcB =>P{AUB)=P(A)+P(AcB) (l)
B = AB + Ae B => P (AB) +P (Ae B) = P (B) (2)
Sumando (1) } (2)
P (A u B) + P (AB) +~ = P (A)+..P-~+ P (B) => P (A U B) =
= P (A) + P (B)- P (AB)
e) A+Ac =0 => P(A)+P(Ac)=P(Q) => P(Ac)= 1-P(A}
4-48. a) VxeR: x-¡ (- 00, x)eA => x-l (-oo, X+ 2-")eA =>
=> ñ x-¡ (- 00, X+ r") = x-t (-oo, x] € A • por 4-46
n=l
b) 'lfxeR: X-1 (-oo,x}eA => X-1
(-co,x-2-"]eA =>
:=;.f x-1 (-oo,x-::!-nJ=X-1 (-oo,x)eA,por4-24.
n=t
4-49.X-1 (-oo,x]eA oX- 1
(-co,x)eA (por4-48) o
o(X-1 (- oo, x)]c e A (por 2-72) o x-t (- 00, x)e eA por 4.9.2 e) *
o X-1
[x , 00) eA
4·50. X-1 (-""', xJ eA * (X-1
(- oo, x]f eA o X-1
(-oo, x]c eA *
* x-1
(x, ""')e A
4-51. i ) => ii) La condición í ) equivale a la ínyectividad de /,por 4-37. Entonces
/(x)e/(Aí'lB} *X€/-1
[f(AnB)] *xeAí'lB *
*XEA / xeB of(J:)ef(A) A. f(x)ef(B) *f(x)eAnB.
ü) * ili) /(A) nf(B) =/(A n B) =/($)=</>
ili)::? iv) (A-B)í'lB=$ =>/(A-B)n/(8)=4> (1)
(A- B) U B =A =>-/(A -B) Uf(B) =/(A) (2)
De (1) y (2), por 2-65, resulta /(A- B) =/(A- B) = f(A)- /(B)
iv) =>- i )Suponemos ¡-t [/(A)]=#:A =>- 3x~A / f(x)e[(A)
Sea M = A Ufx} => A C M =>
=:. f(M- A)= /(M)-f(A) =>- f( { x} )=!/> =>-
~
)
l
,
5-21. i ) Conmutatividad.
a • b:; 2 (a+ b) ~ 2. (b +u)- L *u
ii ) * no es asociativa, pues
(3 * 2) * (- 2) = 10 * (- 2) = 16
3*[2*(-2)J= 3*0=8
TRABAJO PRACTICO V
iii) No existe neutro e ya que
a *e ==a =2 (a + e) =a =>- 2 a +2 e = a => e=- ~
iv) Los elementos de Z no admiten inverso porque no existe neutro;
v ) Regularidad.
a * b =a * e => 2 (a + h) = 2 (a +e) => a + b =a + e => b = e
O sea, todos los enteros son regulares respecto de *·
5·22. Está demostrado en 5.3.5.
5-23. Siendo / 1 ={0,1), (2,2), (3,3)} ,[2 ={(1,1), (2,3), (3,2)},
13 ={(l,2) , (2,1), (3,3>} , 14 ={0.2), (2,3) '(3,1)}'
/ 5 ={(1,3), (2,1), (3,2)}, i6 = {(1,3), (2,2), (3,1)}, resulta
o ft fz 13 14 fs 16
[¡ f¡ /2 /3 14 fs f6
/2 /2 ft 14 13 16 fs
!3 /3 fs ft /6 /2 14
14 /4 /6 fz fs /¡ /3
/s fs /3 /6 f¡ /4 /2
16 16 14 /s fz /3 f¡
5-24. a* a'= a'* a= e =>a es inverso de a' =>a= (a')'
5-25. (b' *a')* (a* b)= h'* (a'*a) * h = b'* e* b= b'* b =e= (a* b) *(h'*a')
=(a* b) * (b' *a') =>(a* b)' =b' *a'](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-225-320.jpg)
![40 RFSPUESTAS A LOS TRABAJOS l'RACTICOS
~;26. * es conmutativa, asociativa, con neutro e= --4, con inverso a'=-- a- 8 para
todo a e Z. Además, todos los elementos son regulares. Seguir el procedimiento
del ejemplo 5-6.
'i;27. a- b t, e- d => ¿,¡a- b 1 :!le- d => 2l(a -- b) +(e- d) ~*
=> 2l(a+c)-(b+d) => 2l(a+c+4}·-(b+d+4) =>
=> 2l(a * e)-- (b * d) => a * e - b *d.
'.•28. * es asociativa. conmutativa, no existen neutro ni inversos. y ningún real es
regular.
5:..;tJ~ no i:!S as<~~iath·a no ~onrrturativJ: nc existen neutra ni irn.:ersos< :sjn emh_..-rr.,o
todos los elementos de Q"' son regular<!s.
5·30. Por definición a * b ""' mín [ a.b ~ . Esta lev interna es conmutativa v asoci:tt!va.
No existen neutro ni inversos', y ningún ele~ento es regular. •
7!-31. La suma de funciones en R1
es conmutativa, asociativa, con neutro e : I-+ R
definida por e (x) =O , Vx el, y el inverso aditivo de todo elemento fe R1
es
.,_f: I-+ R tal que (- f) (x) =- f(x). Además, todos los elementos son
regulares. Demostramos la conmutatividad
U+ g)íx)=/(x) +g(x) =g(x) + j'(x) =(g +[) tx) = f+ g=g + f
5·32. ft ={ca,a), (b,b)}, / 2 ={(a,a), (b.a)}, 13 ={la,b), (b.b)} •
{4 = {(a,b), (b,a)}
5..]3.
J: f2 !3 ¡4
ft ft fz /3 /4
f2 !1 fz /3 /4
fJ f3 fz !3 fz
f4 [4 fz 13 ft
~S ~'Jl1!11~1~t.:l!~i~L pUt'~S f í L~; ~ = lO* {t3J) :=:: 4~
.f"nf i?' J_~r:._.~~;gjv:J ;':! 'z11Je' _1 fU ', cJ :=;; t'ta,b.}--t~ {.'~ ::;;: /1 T b:!_ ; ¿•
f[a, =-t~a~b+ = ,;.·(b-.k
No exi::;te neutro, pues f(a, el;: a "" a+ e·= 11 =e= U y
f(e,a)=a =e+a2 =u =>e=a--a2
Sólo existe neutro a derecha, y es O. Todos los elementos son regulares a
derecha, pero no a izquierda.
5-34. i ) Asociat!vidad.
(a* b) *e;;;:: (a* b) *(e* e)= (a* e)* (b *e)= a* (b *e).
ü) Conmutatividad.
a* b:;;; (e* a)* (b ~e)= (e* b) *(a* e)= b *a.
TRABAJO PRACTICO V 44!
5-35. Seguir el procedimiento indicado en. 5-26. El neutro es e= +y el inverso de
todo elemento a, es a'=
9
1a
5-36. Demostramos la asociatividad
[f(glz)J (x) =[(x)(gh)(x) =[(x) [g(x)h (x)] = [f(x)g(x)] h (x) =
= (fg) (.x) h (x) = {([g) IJ] (x) = f(g h) = (fg) h.
5-37. i ) a * (b * z) =a *(b z) =a (b :::) =(a b);: =(a b) *z.
Análogam~nte se ii l íii)
.i...__18" ¡ 1 fe~ un mt:rHsrnt)~ put~S
f tab) "" log: (ab) =log: a+ b =f(a) +
ii ) fes 1 - l, pues si x' y x" son reales positivos que verifican f (x' ) = f (x" ),
entonces log2 x'= log2 x"=y = x'=x"= 2Y
iii) fes sobreyectiva, pues
'i y ER, 3 x = 2:v l l(x) = log~ x = log2
2Y ""y
5-39. f (xy) = sg (xy) = sg x . sg y = f (x)f ty) .:onsiderando todas las alternativas.
5-/0. (X ,, y) * X = (X +Y1* ;; = X +y = (X_* ;;) + (y * Z) = (X * Z) o (y * Z)
z * (x o Y)=;* (x +y)= z =F(z * x) o (z *y)= z e z = z +z = 2 z.
Entonces* es distributiva a derecha respecto de o , pero no lo es a izquierda.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-226-320.jpg)
![TRABAJO PRACTICO VI
rr.;fl Demostramos lvs siguientes c3sos
-, i ) n= l ~ ± J._ = .l = ., - 1.. = ., - 1 + 1
"" ~ ' • t= 1 2¡ ~ - 2 - "")i
11 . h +., 11+ 1 .
ii) ¿; -'-. = 2- ---- ~ ~ _e_. = 2- ~
i=l 2' 211 í=l 2' -.h~l
h:t.J i lltJ i_ h + l h + 2 h + 1
D) L-.= L - + - - = 2 - - - + - - =
- i=l 2' i=l 2' 2h+l ::_h 2h+l
- ., - 2 (h + 2)- (h + 1) ., - Ir + 3
-- 2h+l .:. _,11-Tl
8. Í ) n = l ~ ( l +X)1
= 1 +X= 1 + l . X# l + l . X
ii )(1 +x)h;;;.: +h.':=> (1 +x)"+l #1 +(h + l)x
D)(l +xl+ 1 =(1 +xtn+x);;;.(l +hx)(l +x)=
= l +X+ hx + hx2
= 1 +(h + l) X+ hx2
> J + (h + l JX
11. i ) n = 1 => 2112
+ l
ii ) h2
+ h =2 k => (h + 1/ + (h + 1) =2 k'
D) (h + lY" + (h + 1) = h2
+ 2 h + l + h + 1 = (h
2
+ h) + 2 (h + l) =
= 2 k+ 2 (h + 1) = 2 (k+ h + 1) =2 k'
15. i ) n= 1 => ,ti ¡3. = l 3 = 12 =.Ctli)z
h eh ~ 2 11+ l (h..1 , 2
ií ) :2: i 3
= :2: i) => :E i
3
= ¿; i)i= 1 i= 1 í= 1 i= 1
11+1 h e,. )2D)i~l i3=i"f-l ¡3+(h+l)3= iFl i +(h+l)3=
= h2 (h + It + (h + 1)3 = (lz + 1)2 [ h; + (h +o]=
2 h2 + 4 h + 4 (h + 1)2
(h + 2)" r(h + l)(h + 2):
2
= (h + 1) --4-- = 4 = L- 2 j
(h+l )2
= i'Et i . Se ha tenido en cuenta el resultado del ejemplo 6-3.
t)"
f
'
TRABAJO PRACTICO VI
11 - tl 11 - - ~-
6-37. 2: (x¡-·x)= ::2: x¡-- ::2: x=nx-nx=O
¡~ 1 i= 1 i= 1
6-38. i )n=2 '*(t x¡·r =(x1 +x2 )
2
=x
2
1
+x~ +2x1 x2 ==
~1 / -
2 2 .1
:;;; LX¡+ .!;X¡Xj
i= 1 i'*-í
h 2 h 2 h ch+l )2 h+l 2 h+l
ii )( 7 X¡) = -~ X¡ +.~.X¡ X¡ ~ .L X¡ = .L X¡ + _L_ X¡ X¡
¡é"¡ / •=1 •*1 •"1 / •=1 FFJ
( h+l 2 (h )2 (h 2 h 2
DL !' "~'·' ==. ~ -r-+Y.... = L x, 1 +2x,+, ~ x,+x, . =
/ i= 1 .•) . Í" 1 • " .•/ 1.. i= 1 . } - - i= 1 . "; i
h 2 11 ;, h 2
= I x. + LX¡x¡+_~ x1 xh_,. 1 +_Ixh~lxi+xh+t
i= 1
1
i'*-i ·-= 1 •= 1
h+l 2 h+l
= ~ X. + I X¡X¡
i= 1 1 j#j
6-39. -~{x,-2)2 = ~(x2
-4x1 +4)= ~x~-4 fx 1 + ~4=,_ 1 1= 1 . • i= 1 ' i= 1 i= 1
=lOO- 4. 10 x+ 40 = 14-0-40 (- 20) = 140 + 800 = 940
6-40. Utilizar la definición de la función factorial.
6-41. eonsiderar las dos posibilidades
X
2
-X = 2 X - 2 V X
2
-X + 2 X - 2 = 7
Resulta x = 2 v x = 1
6-42. i ) 64a12
- 192 a9
+ 240a2
-160 + 80a-2
- l2 a-4
+ a-6
ti ) x 2
+y 2
+ 6 xy + 4 (x +Y) .¡;¡y
6-43.i) L (n)pn-kqk=(p+q)n=ln=l
k=O k
.. (2+t) n•
U) - -
._ 3
6-44. Ts +T7 ~ 210 (64x
14
+ 16x16
)
6-45. X =± 2 V X =± 2 i
6-46. Soluciones reales son x =O V x = !
(
10'
6-47. T6 =- S)x 5
6-48. Los términos de grado natural son los 5 primeros: T 1 , T2 , ••• , T5 •
6-49. 10! 3!
40](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-227-320.jpg)
![.,,,.,,, -~'~'· """"'''"~~- ·=-
TRABAJO PRACTICO VIl
7-liJ. Se niega cada axioma del sistema dado. Como A1 : 'Va: a e A => ta.a} t R. su
negación es - A1 · 3 a¡a E A . (a.a) t R. El sistema -A 1 • A2 , A3 debe ser
;;ompatible, para lo cual es suficiente exhibir un modelo. La interpretación
A= { 1, :!. 3} , R ={(U}, (:!,2)} es un modelo. Esto prueba la independencia
de ..1 • An:ilogameme se procede respecto de la independencia de A2 y A3 •
-.¡¡, L (a,b) e R =>a =b => (a.b) e R v (b.a) e R en virtud de A2 y de A1 •
Resulta (b,a) t R, porque en caso contrario, por A3 y A1
(a.b)eR " (b.a)eR =>(a.a)eR =>a=t=a
lo que es absurdo.
7-12. L a) 1' = O. En efecto 1' = 1' . 1 = 1 . J' ==O
por B5 , B;z y B6 .
b)O' = l por el principio de dualidad.
U. Suponemos que a admite dos complementarios a' y a". Entonces.
a·= a·+ O= a'+ (a.a") =(a '+a). (a'+a"} =
= (a+a'). (a'+a") = 1. (a'+a") =(a'+a"). l =a' +a':
Análogamente a"= a"+ a' y en consecuencia a'= a':
III. a+ (a.b) = (a.!)+ (a.b) =a. (l+b) =a . (b+ 1) = a. 1 =a
Por dualidad resulta a. (a+b) =a.
7-1J. Probarnos que n +b :fr. n
í )n= 1 = 1 +b=b+ 1 =s(b)'i= 1
ii)h+b:;f;h =>s(h)+b=fos(hj
D) S (Jz)+ b = b +S (Jz) =S (b+h) 'i: S (h)
7-14. i )n=l =>a+1=s(a)'i=a:Pb'i=s(b)=b+l
ü)a+h:Pb+h =·a+s(h)'i=b+s(h)
D)a =s(h) =s (a+h)=fos(b+h) = b +s(h)
7-15. i ) l] 1l = 1 => 1 . 1 = 1 . 1
2] l.h=h. 1 => l.s(h)=s(h).l
En efecto: 1 .s(h)= l. h +1 =h .l + 1 =h +1 =s(h)= s(h). 1
ü)l]n==l =>s(b}.I=l.s(b)=l.b+l=b.l+l
2] S(b). h = b. h +h =>S (b). S(h) = b. S (h) +S (lz)
'
(
TRABAJO PRACTICO VII 447
D) S (b). S (h) = S (b) . h + S (b) =(bh +h) + S (b) =
= bh +(h +S (b)) = bh +(s (b) +h) = bh +S (b +Jz) = bh + b +S (h) =
=b.s(h)+s(h)
3] Es consecuencia inmediata de i ) y ii ).
7-16. i ) a<b => b = a + x => be = (a + x) e =>
=> be =ac +xc => ac <be
ii ) a < b 11 e < d => ae < be 11 be <bd => ac <bd
iii) Si a if:: 1 entonces 1 <a. Luego
1 <.1 '* .1 ..,.. 1 + X .,.,_ ab = (! + X) b = f.!h =h + 11:1) =>
=> 1 = b +xb => b < l, absurdo.
7-17. i )(N,*) no es monoide.
ü) (Z,*) es monoide.
ili) (R2
x2
,*)es monoíde.
7-18. i )(a*b)*C*d=((a*b)*e)*d=
=(a* (b*e)) *d =a* (b*c) * d
ii)a)n= l =>am *a1
=am *a=am+l
b)am * ah = am +h = am *ah+ 1 =am * ah *a =
=am+h *a=am+h+l
7-19. Sea S =(S¡ji E I} una familia de sub-semigrupos de A y sea X =0 S¡ la
ír.tersección de dicha familia. •ei
Consideramos a eX ·" b eX => a eS1 A b e S1 , V i e I =>
=>a*bES¡,'tliel =>a*bEX
Luego X es un subsemigrupo de A.
7·20. i ) Probar que Ses el conjunto de los múltiplos naturales de 1, o sea
S={l.a/aeN}
ii ) Demostrar que S = ( 1 . a + (-1) . b / a e N} , def'miendo 1 • a = 1 si a = 1
yl.a=l+l~ ... +l
a](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-229-320.jpg)
![TRABAJO PRACTICO VIII
~~J..:::~ J j ,o. b¡S;. ~J u. J¡ s,.
8-23. t ) ln ;:enerador es í.
ii) Cn ~enerador es ;;; (obsene~c que ;;;: = :).
8-:Z.J. El neut:o es e= .J.- .y el im·crso de a es a'=
1
• • <1
t'k!5. El neut~o es e= 1. y el inverso de ,;; .::.> a'= 2 i- a.
8-26. Esti tr.::tado en S-3 l.
8-27. Neutro es (0,0, ... , O) y (_-x 1 , - x 2 , •..• -xn) es el inverso aditivo de
(X¡,X2,• .. ,Xn)·
8·28. Sean f 0, f 120 , f240 las rotaciones de oo, 120° y 240° respectivamente;fA, fB y
fe las Siffietrías respecto de BC, AC.y AB. Proceder como en el caso 5-23.
8-29. Tener e~ ..:uenta 8.14.3. para obtener lo:; subgrupos
H¡ ={;~}. H~ ={J~ .fA}, H3 ={J~ JB}, H4 ={Jo .fe},
Hs ={io .t12o .f24o}, H6 =G.
.1?-30. Como (0 O, ... , O) € H, es H*¡f); y por definición de H se verifica H C G.
~:;r;~~n (."(, . ~Y;, . Xn) € H ~ ~v; eH=
=x¡ , =x1 (·Y,'!"'' O'~
=*' {X + (~'"~V l ~- J :;o ' {::
L.1ego, tli ,+) es subgrupo de (R" , -t ).
8·31. HF<i> y HCR2 x2 .Sean· AeH A Bt:H =>
=>'A=- At A B =- Bt ~ A+(- B_) =- At +gt =>
'-'*A +(-B)=-(At- B1)=- [A+(- B))t =>
=> (H , +)es el subgrupo de las matrices antisimétricas de (R2 xz , +). Pruebe el
lector que A=- At -a¡¡·= O, Vi._ ·
8·32. i) f(ab)=(ab) 2
=a2
b2
=f(a)f(b)
H'l Al N(!) pertenecen los elementos de A que satisfacen x2
= 1 =>
. TRABAJO l'l~ACTFO Ylll
=?X=l V x=-1 =>N{f)={-1,1}.
I(f)=R+ pues VyER+ ,3x= Vyjf(x)=y.
8-33. Es un morfismo biyectivo, con N(!)= { 1), I (!)=A.
8-34. Está tratado en 5-38.
8-35. i ).f(e)=e'eH = eef-1
(H) "'*f-1 (H);:;i:!P
ii) .f-
1
(H)C G po1 ddlnidún de preimagen.
iii) xe[-1
(H) '·yt'.f-1 (H;""""
=Jíx!t:H ' !fiY)feH.,.,.
=l (x * y· E H ·""" • ;.· ·e !J-Ii.
EH (!ylr:H,.
f(r'leH =
8·J6.xeG '*X*X=X =>X*X*X-
1
=X*X-
1
"'"'X*t!=e =x=e.
Luego G ={e).
8-37. Sean a y b en G. Se tiene:
(a*b) *(a*b) =e== e* e= {a*aJ * tb*b) =>
-=> '! * (b*a) * ltJ = ri * (a*b) * !j; = b *a =a * b
8-38. i ) fa es mortismo, pues: fa (X*}') = a-1
* (X*Y) *a=
=a-
1
*X*(a*-a
1
)*Y*a=(a-
1
*X*a)*(a" 1
*Y*a)=fa(X)*fa(,v)
ii ) fes 1 - l. Sean x e y tales que fa (x} =fa (y)
Entoncesl(
1
*X*~=r( 1
*Y*I ~x=y
iií) fes sobreyectiva, pues V y € G, 3 x =a* y* a·1
-~al que f(x) =y.
~149
8-39. Sean f : G -+ G' y g : G'-+ G" homomorfismos respecto de *, *' y *". Entonces
g uf: G--?G" verifica
(g0
f) (a*b) = g [f(a*b)] = g [f(a) *'f(b)]""
= g [f(a)] *" g [f(b)J =(go n(a)*" (go f)(b).
8-40. F(a*b)=fa..b =fb 0 [ 0 =F(b)oF(a)
En efecto: fa.b (x'i = (a*bf
1
* x * (a*bf=
= h ¡ *i-! * x *;;" b =b_, ., f., td * b = r)
8-ll. t Venficar ios a.x1omas de [UUP<J
ü Sea * c:onmutativa. Entonc~s a
conmutativa, y recíprocamente.
b = b .. a =a:*b=b·>a =---es
8-42. í )fes un morfismo, ya quef(a*b) =(a>~<b)' =b' *a' -=a' o b'=f(a) o f(b)
ii)/es 1 -l,puessif(x)=/(y)entoncesx'=y' ~x=y. ·
tii)f es sobreyectiva porque V y € G. 3 x =y' € G tal quef(x) =y
El grupo (G,o) se llama recíproco de (G, *).
843. Neutro es e = (1 , O), pero los pares del tipo (O , b) carecen de inverso. No es
grupo.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-230-320.jpg)
![-.;;;.;;o••-;,-;_:;;;f.-;¡;;,¡,";.,._.,.,~_.-(~,~:{,~~;;::;..,~.•
'""•w"qL~~-~"·-~ ~· .....,,_,..,.,., .~ •
TRABAJO PRACTICO IX
,..,¡'J. Analizar las a.x10mas siguiendo el método habitual. (Z1 , + , ·) es anilio conmuta
tivo, sin identidad, con divisvres de aro.
9-11. i ) Asociatividad: (ab) e =O e =O::;;; a O== a (be)
ii ) Distributividades: ta+b) e =O = O+O =ae + be. Análogamente e (a+b) =
=ca +cb.
(}~J1. St!guir el procedimiento indicado en ejemplos anteriores. Neutro es ( 1,0).
9~11. Considerard ejemplo 5-7. No tiene divisores de cero.
·IJl4. i ) fes un morfismo, pues:
l. f [(a+b -J2) + (c+d v'2)} = f{(a+c) +(b+d) v'2] ==
== (a+c)- (b+d) v'2 = (a-b .Ji)+ (c-d ..;2) =f(a+b v'2) +
+f(c+d..j].)
2.f[(a+b Vil (c+dy"f 1=f[(ae+::! bd) + (ad+bc)vtzJ =
= (ac+2 bd l ~ Cad+beJ ..¡-s
f(a+b v'2) .f(c+d v0') = (a-b V'.2) (c-d V2) =
= (ac+2 bd) - (ad+bc) -./2.
ii ) fes biyectiva.
IJ~15. Verificar los axiomas.
'JH6.i )0EA1 '• Ot:A; =Ot:A 1 r~,A-z =A¡IlA,'Ftp
ti) .1~~- CA /..,e~ A ~.A~ r·. A1 .,4.
¡;¡) d ¿ --~A:! ~ .~ $ f'"'> ..
:t.! t ~'"".2 j '""; iJ b" € .J. :: !:~:::j
=a.f-b'eA1 Az
Esto prueba que (A1 n A1 , +}es subgrupo de (A,+ )
iv) El producto es ley interna en A, pues a e A 1 n A 2
/ be A1
n A
2
=>
=abeA1 • , abeA2 =abeA1 nA2 •
v) La asociatividad y distributividades se verifican por ser A1
n A2
e A.
9·17. Si en A existiera x -4= O tal que x" =·O o. sea x . x . .. x = O. entonces habría
divisores de cero. lo que es absurdo.
9-18. i ) Sea a- b módulo n = n!a- b =a- b = nk (1)
,_ -.,:;,f.j!fl~P·--
TRABAJO PRACTICO IX 453
Además b = nq + r Á O,;¡:;; r < n. Sustituyendo en (1): a- nq - r = nk =>
= a = (k +q) n + r Á O,;;; r < n. Osea, res el resto de la división de a por 11.
ii ) Sean a y b tales que a =nq +r A b = nq' + r => a - b ::: n (q ~- q') =>
=> na- b =a~ b.
9-19. i )a~b => o,;;;b- a= -b +0~(-b+b) -a=>- b,;¡:;;-a
ii ) a = O => a2
= O => O~ .::1
ae A'" =t? e A" =O<a~ =- O,;;;, a2
a~EA~=>a~ ;:;>.:'" ~o~a:
Tener en ~uenr1 9_8
9-20. i ) Se sabe que ¡ a + b l <1a 1.f. b l
Sea x - y = z => ."C =z +y ::::> ¡x 1"" 1::: ..l.. y i = ! x 1~ !:: 1+ l y í ==>
=>lxl-lyl~lzl =lx!-!yl~lx-yl =lx-y'>lxl-lyl
ii )Por un error tipográfico, el enum:iatlo se corrige a-;í il,l-ly1 ~ ix-yl.
Utilizar i ) y 9.12.2.
iii) X !y 1 y =1= 0 =>y =xk ·~ k :#= 0 ==> 1}' 1= Í X 1 k l · i k ! ';Ji' l ;;.
=!yllk!;;o/xl!kl.,;.!_vl~lx!
9-21. i )OEI =d=F<P ii)xei ¡ yei => nx=O A ny=O =>
=> nx - ~Y =O =~ (x-y) =O = x - y e l
iii) x € I 1 y e I => nx =O A ny =O => (nx) (ny) ==O =n [n (xy)] =O =
=> n (xy) =O => xy e A
iv) x €I ·" a € A = nx =O a € A = n (xa) =O /', n (ax) =O =>
=xael /. axei
9-12. Sean A un anillo de división e i .:ualquier ideal propio no trivial. La tarea se
reduce a probar que A e l pues por definición. se sabe que 1C A. Como I es no
trivial, existe un elemento no nulo a € 1 y por ser A un anillo de división, a es
inversible; en consecuencia, aa-1
= 1 es un elemento de l.
Sea x E A; como.1 el, se tiene x 1 € l, y por lo tanto x EL Luego A C l.
'I·'!J T:eniendo 0rl ,·ue.nta 8-27. resulta t R" , _..}un grupo Jbdüno.
n ¡ ti ~''' l"'i J.: in!ema en R·' pnr b delitl!~·~~'m ctada.
Falta probar- que es asociativo. que el neutro es tl . O . O Oí. qu<: tod:.i
cuaterna no nula tiene inverso multiplicativo (emplear los métodos habítu;;-
les). La no con!Dutativídad se verifica con un contraejemplo.
iii) Se completa demostrando las dos distributividades del producto respecto de
la suma.
Referencia: Vectores y Tensores. por. Luis A. Santaló, pág. 87. Editorial
Eudeba, 1961.
9-24. Sumando las ecuaciones Ox +Oy = Oy el conjunto de soluciones es Z5 •
9-25. Sean ale i' bic 1 mcd(a •.b)= 1 ;ale=> c=ax (1)](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-232-320.jpg)
![4:í4
··~;,;< '~~-~J:~~tfi."','~•::~-:..:%~~~~-:L.~~.::.:~W.:.•¿~~ :fJ.;'ti.t_¿;e»- ~:,L~f_,.~~-'~"'- .;;.¡;¿~ ~~·~j;&d-lf•f~~
RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PRACTICOS
Por hipótesis y (1) es bla.x:. Por 9-8 ü) se deduce blx, o seax =by. Sustituyendo
en ( 1) queda e= (ab) y => ablc.
9-26. Sean mcd (a,b) = d 1 ale 1 blc. Entonces d = sa +tb A e = a.Y. =by.
Luego de= saby + tbax = (sy + tx) ab => abldc
9-27. i ) 211 O => 211Od Como 21u, resulta 211Od +u, o sea 2ln.
ii) 319 => 319 d Como 3ld + u, se tiene 319 d + d +u, es decir 311Od +u.
Luego 31n.
•ii)liillJ ., llld-u ""* IW1d-(d-u) => 11110d+,A => llln.
Porejempto,sín= l32como l1113-2resulta llll32.
9-::8. i ) ~ ii)S ili) 21 iv) 5
1
'-..?9. alb => b = a.x => ibl = !allxl =a lxl pues a >O ya que lbl <a. o sea a >lbl ;;..o.
De lb! = a lxl ,, a> lbl resulta a> a lxl => lxl < 1 => x =O. Luego
b =ax =0.
9-JO. Supongamos que a = bq + r A O "' r < b y a = bq' +r' A O~ r' <b.
Entonces bq + r = bq' + r' y b (q - q') = r'- r => blr'- r (l)
Por otra parte r'< b A ,;;..o => r'- r < b (2)
AdemásT<b " ,·;;..o=> r-r'<b (3)
De (2) y (3) resulta Ir'- rl < b. (4)
De acuerdo con 9-29, de {l) y (4) se deduce r'- r = O, sea r' = r. Entonces
b(q-·q')=r'-r=O ~q-q'=O ~q'=q.
9-JJ. El algoritmo de Euclides se reduce a
Q¡ Qz qJ
a b 7¡
'=
7¡ Fz o
mcd (a, b) = r2 • Por el algoritmo de la división entera, se tiene
a='=bq 1 +r1 y b=r1 q2 +r2 =>Tz=b-r¡q2 =b-q2 (a'-bq 1)=
=b- q2 a+q¡ Q1 h=(-qz}a +{1 +qt q2 )b
9-32. Mediante 9-26, cerno mcd (a, b) =d, ajm y blm, resulta abldm. Probar que
dmjab.
TRABAJO PRACfiCO IX
9-33. a~ b ~ n 1a- b '*·a - b == nh => a :;;;;: b + nh => ah = (b+nh)"' ;,
= bk + -~ (~j~t-i nt h¡ =>ah _ bh = n ~ (~n-i nl·l h' = nq =>
Fl l ~l ¡}
=* n 1ak - bk => tf - bh
455
9-34. En 5-8 está comprobado que (R"x" , +)es grupo abeliano. Verificamos entonces
A6 : El producto es ley de composición interna en Rn xn, de acuerdo con 9·2.
A7 : Asociatividad. Sean A , B y C en Rnx ", y los productos A (BC) y A (BC).
La flla ideA es: au , a,2 •••• , a1.,. La columna j de BC es
n n n
I blk Ckj, I b2k C¡¡¡ ••.• , I Dnk Ckj
k=l h=l h~l
n n
Entonces el elemento (í, j) de A (BC) es I a;h I bhk c~e¡
h=l k:l
= l: l: a;h bhk c12¡ = I I a1h bhh c,.i que es el elemento (i. jlnn " ( " ' )
h=t.k=l k=l h=l
de(AB) C.
A8 : El elemento genérico de l es 6¡¡ (delta de Kronecker) definido por O¡¡ = Osi
¡ ::/= ¡ y B¡¡ =1 si i =j. El elemento (i, j) de A I es k~la;~e fi,.¡ =ail O¡;+
+a¡2 62¡ + ... +a¡¡ Ó¡¡ +... + a;n fin¡ = a¡¡ 1 =a¡¡ => A l = A, análoga-
mente I A= A.
A9: Sea e (A+ B). La fila j de e es: C¡¡, C¡z, .•.• C¡n.
La columnaj de A+ Bes: ati+ b¡¡. a2¡ + b2j •... , an; + bni·
Entonces, el elemento V . j) de e {A + B) es f C¡R (a~¡¡+ b~t¡) =
k=l
n n
= I c¡11 a~e¡ + I c¡11 b~e¡, que corresponde al elemento (i, j) de CA +CB.
k=l k=l
O sea C (A+ B) =CA+ CB. Análogamente se prueba (A+ B) C = AC + ll.C.
9-35. Hipótesis) Para cada m ,se verifica
Vh<m:P(h)es·v =>P(m)esV
Tesis) P (m) es V, 1 n e N
Demostración)
Suponemos que H ={x e N 1P (x) es F] ::/= cfJ· Por el_ principio de .buena
ordenación, existe en H el elemento mínimo m, tal que P (m) es F (1), y
h <m => P (Jz) es V. Ahora bien, por hipótesis resulta P (m) es V, lo que es
contradictorio con ( 1), o sea H = cp.
9-36. ac- be => nlac- BC => nl(a - b) e => nla - b (porque si un entero es divisor
de un producto y es primo con uno de los factores. entonces es divisor del otro).
Luego a-h](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-233-320.jpg)
![456 RESPVLSJ AS A LOS TRABAJOS PRACTICOS
9-37. i ) Sean {a1, tb ... , an} una clase completa de residuos'módulo n y a¡ =F ai. Si
a¡ ~a;, entonces a¡ y ai pertenecen a la misma clase de equivalencia, lo que es
contr<dictorio con la hipótesis.
Recíprocamente, si a; '?" a¡ , Vi =F j, entonces dos elementos cualesquiera y
distimos no pertenecen a la misma clase de equivalencia. y en consecuencia
{al· al..... an} es una clase completa de residuos módulo 11.
ii '!En ef<do. supongamos que aa; -aa¡ para algüní=Fj. Entoncesniaa¡ ·-aaj. o
sea n!J ¡a,--": l. y ;:omo a y 11 son copnmos, se deduce que ·· a1• es dec:r
a, -.a.. E~w e~ c:vntrudi.::to¡,o .;;o¡¡ l;.¡ hipótesis.
9-38. Sea la cl:.i¡e de restos módulo p : O, l, ... , p- l. Como a =FO ya que u no es
múltiplo de p, aO, al, a2, ... , a (p- 1) constituyen una clase completa de
restos m<idulo p, por 9-38 ii ). Entonces cada elemento de la primera clase es
equivalente a uno de la segunda, y recíprocamente. Como Opertenece a las dos,
por la COi1patíbilidad de la relación respecto del producto, se tiene
l . .: ... (p ·-1)- (a l) (a 2) ... (a (p ·- 1))
O sea (p- 1)!. -an-t ( p- 1)!. o lo que es lo mismo. pl(tt'- 1 - 1J(p- l)!.
Como p y( p- 1)! son coprimos, resulta pl(.t'- 1
- 1) ~ aP- i - ].
9-39. ·¡ ) a y n son coprimos => med (a,n) =1 => l =s a +t n => b =s a b + t n b =>
=> b- {sb)a = (tb) n => n t b- (sb)a =>a (sb)- b => s b es solución de la
ecuación.
ii) Sean 51 y s2 soluciones de a.x: =b (mód. n). Entonces as1 - b as2 ....., b ~
=> a.s1 ~as2 , por la simetría y transitividad de la relación. SI: tiene
n!a (s1 - s2 ) y a coprimo con n => n{s1 - s2 = s1 ..... s2
iii) Siendo a y n coprimos, y n primo, por 9-38 se tiene an- 1
- 1 ~
=> a'- 1 b-b =>aan- 2 b-b =x=a"- 2 bes solución deax -b (mód. n).
9-40. i ) Como 3 y 4 son coprimos, es mcd (3 .4) = 1 = (- l i 3 + 1 . 4 =
""" sb"' 1- i ; "' =-7 es solución Todos los congruent<:s <~ ..7 módulo 4.
son S)(t:(;It)nej t ~/er 9.-39t
ü) 12L'C- b ~X= + L.: k k E l son soitK~iones.
ilij De amerdo con 9-36, - 2x - l::; = x - - ó luego de cancelar - 2, que es
copri'l'lo con 11. Por 9-39 üi) es x =111
-
2
.('C.- 6) =- 6 Úna solución.
Resulta K5 el conjunto de las soluciones
9-41. i) t-% =ab-! +cr1
=ab-! d-1
d+cd- 1
b-1 b=(ad-rbc)(bdf1
=
ad +be
bd
] RAllAJO Pi{/·., ¡:" 457
.. ) a e _ b·l a-i _ ( ) (bd)-1 _ a e
11
7) · d -a e - ac -- bd
a e
iii) b = d => .!!... + !l_ = !_ + !L => a + b = _e + d
b b d d b d
9-42. Sean K1 y K2 subcuerpos de K. Como l e K1 /1 l e K2 , es l e K1 n K2 , o sea
K1 n K2 =f:. 1/J. Además K1 e K A K2 e K => K1 n K2 e K. Mediante la con-
dición suficiente 8.4.2., el lector puede demostrar que (K 1 n K2 , +) y
((K 1 n K;;)- {O} ..) son subgrupos de (K,+) y de (K- {O) , .), respectiva-
mente. La distributividad es consecuencia de que K1 0 K~ C K.
9-l3.!~!n~· -=>x~~y
1
=x-+-
(x+vl . ~ 1
íi} xh + rh ~ __._ => xh•l + v".,.t ~ ..:.;::....::....'----
. .,h-t • • -,h
Enefecto,(xh-J,h)(x-y)~O =>x1
",.
1
+yh+t -yxh-xyh~0 =
=>xyh+xhy,;;xh+l +yh•l =xh·l +x}·h-rxhy+yh~t,;;::xh+t +
+2yh•l -xtl:h +yh)+y(xh ..;.. J"2lxl1"1 +~·h-1¡ "*
=(x+y) (xh +yh J,.:; 2 (xh"'l 1 1
Por la hipótesis inductiva
xh+l+yh+I;..(xh+yh) x~y;;.. (x+y)h
~ .,h-1
x +y _ (x+y)h+l
-.,--.. 2h
9-44. (Q ( vf3¡ . + , .) es un subcuerpo de (R.+ ..). Basta probar que (Q ( -/3). +)y
(Q (/3)- (O} , .) son subgrupos de (R +)y de (R- {O} ..i, respectivamente.
(Ver 5-7).
9-45. i )(nx}(my)=(x+x+ ... +x)(y+y+ ... +y)= xy +xy + ... +xy =
~ ~~~--~
n m nm
=(nm)(xy)
ii) (ne) (me)= (n~) (ee) = (nm} e
9-M. ¡px=!piilex!"'-'ípeli.ÍXl=íJx=O
De~.¿ no~Jrse ·qat: e:it:fn.;onto:.. J¿ ~ ;. •K· ,-
"
ii) Si p no fuera pr~.:t•J. ia dcs~on1fhJSH.:i~)r: f-./ =
Y 1 <pz <p.
Entonces pe =( p 1 p2 ) e = (Pt p~) ('-'el= ( p 1 el ( P: e)= O. Y como no
existen divisores de cero, resulta p 1 e= O v pz e =O: o sea. la ..:aracterísti·
ca es p 1 o p2 , lo que es contradictorio con la hipótesis.
9-47. (x + yf = xP + ! (~) x~-i Yi +y~'. Todo término del desarrollo de b
Í"' 1 ../
. . f" . (p) - p1 p. 1) 1 /) - i + l)
sumatona t1cnc c:oe tCiente i - i.! . d;.:mde la](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-234-320.jpg)
![460 RESPUESTAS A LúS TRABAJOS PRACI!COS
Resulta:
-/2+-/3:{ ~ 3,1 3,14
3,3 3,16
..¡y_-_,/3 ={-: -0,4 --0,33
-0,3. -0,31
v2.V3 :{ ~ 2,38 2,4393
2,70 2,4708
P:1ra . ~z i:1di;.:.1 en !:).3 ,
v
10-15. i ) A =Q- '-' <
ii)A=Q-u
u{xeQ' x2
<3?
U {x E Q"' / X~ < ~J·
l0-/6.i )[-4,0} ü}(-oo,-J)U{-·l,+oo)
iii) (-vs,.,J5) iv) ( -""', -vfs) u (VS, +oo)
v ) De x 3
<x resulta
X {.'!:+ 1) (X·· 1) <0 ~ X € ( -"" , -!) U (0, l )
HH?5S5; HSHH o . ...(1 ;('ow s·:.: .J~ )o R
vi )(x+2) (x-l)(x-2) x <O ""'x e(-2 , O) U (i ,:!)
- C;fí)H!Hill!S!SHIS)JlHSHlllllll)JIIO J;I!Hií-!!WHfH!lJ~
-2 o l 2
Extremo¡ inferiores o ínfimos: ·~4. no tiene. -•./5. no tiene. nq tiene... ~
Extremo. superi:.;¡-~s o supremas: O. no tiene9 v1~~ au ticn¿_ 1, ....
J(J.J 7 ,¡~ <
í fJ./8. Lnas infmores son ios racionales menores o iguales que O: cotas ;u perion!s. son
los mayores o iguales que l. El supremo es I y el íntimo es O.
10-19. i ) Cota superior es todo real mayor oigual que v'2
Cota inferior es todo real menor o igual que O.
Supremo es V!; ínfuno es O.
ii) B = (-
00
, - v'21 U [vz,+00
). No está acotado y carece de extre~os.
iü) C = [ ../2 , + 00
). No tiene cotas ni extremo superiores; está acotado
inferi<Jrmente por todo real menor o igual que ..,ff, y el ínfimo es -./2.
TRABAJO PRACTiCO X 461
10-20. Sea e e C ~ e = x +y con x.:;;; a t. y< b ::=? e< a + b ~ a + b es cota su-
perior de C. .
Y 2 >O, 3 x € A t. 3 y e B j a <x +8, A b <y+ S, y si e' es otra cota
superior de C, entonces a+ b- 2 S <x +y,;;;; e', osea a+ b .,¡;;e'+ 2
Luego a+ b .,¡;;e'.
2 r l } 'I)J0-21. 3 x - 2x- 1<o ~ 3 (x-nt_x+ 3
)< o '* x e(- 3 , 1,..
1 - 1nhmo es - -,- , y supremo es 1_,
jij~];!. St h;dt• _,-e~ ~-:{:rifi..:a ~t ~a ~ i!.~ ~! ,,!prern,_) no seria a~ 1;; que es abst~tdú.
J0-23. lll. v'a=X • ~;;:-"" }' ~ (k= X" X =ym "'* a "" (
=Y= m.:yc;
IV. zy¡;:n =X ~ am = xn =* a.mp = x"P =*X= n~
,
10-:J.J. i )la,b)=[a.bJ-{a.b} ~[a.bj-{O.lj
)'
1
=vmn ~
Porque la diferencia entre un conjunto no numerable y un conjunto a lo
~umo numerable, es coordinable al primero.
ii) Dividimos el intervalo [0,1) en n partes:
o 1
a0 a¡ a2 a;.1 a; a,
Se tiene (0.1) = f [a;. 1 , a¡) = i:. B¡
Í" 1 '" 1
Y;= l. 2, ... , n es A¡- B¡ => 3 f¡ :A¡ -+ B¡ biyectíva. Definimos
f: i A; ....., f B¡ mediante f (x) = [¡ (x) si x € A;, la que es biyectiva.
i=l n i=l
Lut:gu :!: At -~[OJ ;,
'"'1
¡,;:-§ C~H'l~id~ra!lHJS -tn ~ ~th.~..,:·;ª~-;n a(_; ~ <:a~ .... ¡<, que
ilr: = -.,-,-,-
o~---------------------:1~.2~--------3~.~4~--~7~(8~-----
_, 1
Se tiene A; - [a¡_ 1 • a¡) V i e N y con el mismo procedimiento utilizado en
ii ) resulta ~ A; ~ [0,1).
i=l
..#](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-236-320.jpg)
![464 RES!'L:ESTAS A LOS TRAHAJOS I'RACI'ICOS
e) I:: 1Í == lz 1 -- Z2 +z2! ~ lz 1 - z2 1+lz2!
Luego lzd ··· !z2i ~ lz1- z2l
- Zl- (,;. Z¡)- ZJ (Zl)d) z1 =--:;- z2 = - z2 => . = --
~2 Z2 Z2 Z2
Z¡ '
1
• ¡z1 1 -lztl
e) z1 =-:- z2 = zd = --
1
• lz2l = --~2 22 lz2l = ¡-;~ 1
1/·12. lz-l- 1 =!J.. - _!_ 1
1 z z'
1 z'- z 1 1::' zl= i =----.-=
! z • 1:1 L: 1
l 1' - _., l.
'"' ""'¡
!: - z.-11: 1
1-1
n-JJ. 1.:: +=T" + 1= -. .z'i.. = (.::+::') ,::~= +(::-=·, ~=-="J =
::=~::+""71-.:,_,z:; +zj)z~·+::Z- ~?- z;z+z'?= ~ 1z12 -t-.;¡:'!;
11-34. i )n= 1 => (cosx +ísenx)1
=cosx + isenx =cos 1 x +isen 1 x
ii )(eos x +i sen x )h = eos hx +i sen hx => (eos x + i sen x }h·d =
= cos(h+l)x + i sen (h+l)x
Aplicar al primer miembro de la tesis la definición de potenciación, y luego
la hipótesis inductiva. Ver 11.9.3.
11-35. i ) Está resuelto en ll-10.
ii) Aplicar 11-34. y cubo de un binomio. Igualar después las partes real e
imaginaria.
11·36. i ) Siendo 1, w y w2
las raíces de x 3
- 1 =~0, es w= w2
y además
1 +w+w2
=O. Entonces 1 +w2
=- w => (l +wl)4
=(-wt =
= w
3
w= 1 w=w
ii )( 1 - w + w¡) (! + w- w") = [1 + (w- w) j[ l - (w- w)J=
= 1 - (w- wY = 1 - w• +2 wW- w2
= l - w1
+ 2 Wlv' - w4
=
= 1 - w2
- w + 2 w3
= 1 + 1 + 2 = 4
Jl-37. i )w=±(l-4i) ii )w=±(3- 2i) iii)w=±(v'TO+ 0n
fl·ld. i i .Y. 1 .... ~.
' _¡ ii )X~"'
3 -- 2i ± 0.:-:F+ + 4t
...
~-¡ a]Q, ! j ~ ~ ( , "<l:<" '~ • 1 ·~
+ 2 :t .; !::':..,¡._::k :r"
,~ 4 ~~h
.f
con k = O, l, ~ 3.
.. ) p _ ¡ _ ._..,
0
__ . 270° + 2 k 1T , • 270° + 2 k 11'
u - ,.p- _, o. wk- co~ ,----
3
- - ..,... 1 sen - - -
3
con k = O. 1, 2.
.. ') 8 . o ( 2 k "'r . 2 k Tr )
111 P=. ,¡p = , W¡¡ = 2 cos -
3
- +1 sen -
3
- , k =O, 1, 2.
¡v)p=2,¡p=30°,wk={f2 cos ----- +isen l k=
. 3 (30° +-,k 11' 30° + 2 k 1T'
3 3 J'
=O, 1, 2.
TRABAJO PRACTICO XI
l/-40.i )p= ~6, ~f!-=315°=: 1T, lnz=lnv'6+i( ~
¡¡ ) p = e ' i{J = ~ 7T , In z = 1 + i e; TI + 2 k 1l)
iii) p = 4 , 1fJ =O , ln z =In 4 + 2 k 11 i
n+2k:rrl
./
En todos los casos k E Z. y el valor principal se obtiene para k= O.
465
11-41. i ) ln w :-..: (! - i) ln ( .J'i- (L Para el logaritmo e5 p =.f3. <;= aF
-..Ji-tg 1 ---- en d ~:narto cuadrante.
Lucg~_; !.V=
!n ~ ·.._ .z
1f1
2+l"2J=ii ) In w =2 i In 3 í = 3 1
3 -lrr+3iln:
=- -:;- rr + 3 i ln 2 =* w = e 2
,
... 1 . -
nl) ln w "" In 11- 1 v'J.l
¡' 1T 1T
=-· i Í !n .:; + t ! l -f-; l = l t ¡:;· - i l.n :: ~
11 .2!..-iln 2
=>w=e
6
11-42. i )z =O
.. (' .0 . 3
n ) z ln ,
2
+1 2 1 = In l =:> : = 2
11-43. i ) Resolviendo la ecuación cuadrática en x;, se obtiene xi == 1 + i
= 1- i. de donde. después de aphcar logaritmos, resulta
..!!,_ iln,/2 7 .J!.__i,/2
X= e4
V X= e 4
.. '3 1± ...FJ 1-ti../3. 13 l . -./3
11 ) x" ~:;;:; -·--·-- = ---~-~ =:> x" = - + z -- v~ .., "" ~ ., ")
- t - .... -
11-·14. i ) Es la recta. x =- .:;
ii ) fx. v ) 1- 2 ~ v < 3~l .. . . '
'/ X¡=
iii) !z + ll > 2 => (x + lt +y2
>:.4. Es el exterior de b circunterencia de
centro (- 1 , O) y radio 2, ..
iv){(x,y)/- ; <x< ~ , x• +y
2
=4}](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-238-320.jpg)
!["=~~s RESPlTST1S A LOS TRABAJOS I ::A( UCOS
Ahora Jicn, como Re (z 1 z:Z) = lz1 llz21 =9 Re (az2
i;) = la:z
2
llz
2
1 '*
=> a:¡z¡l
2
=la:IJz2l 2
=> la:l =a:=> a:€R+iu{o}.
Jl-54. j )z= -YJli .~--ti =>p= +A cp=21QO
=> l =(+.r(cos 840° +i sen 840°) = /6 (cos 120° + í sen 120°) =
1 < 6oo + . 6ou 1 r' 1 + . VJ ) - +. VT-·eos 1 sen l = - - ·- , -- ..,.. · ·· ·
l(:¡ ::: ' ' 2 / 32 ' 3~
l (! 1 .¡_ ia . a
~ -·-- :;::;:;; --~.~ii •= =~
~en u ~- sen a: s.:n a: sen et
P:H~ l -r ,~s p =V :; o ,¡; =45°.
4 4
:::
4
= -~~- l.;os 180°- isen 180°) ==_=.ti__
ili) z
sen a: sen4 a
1 + i
..;3-¡
Para l ,¡. i es p =...;T y ..p = 45° ; para v'3- i es p = 2 y ..p = 330<:
~(cos 45° + 1sen ·+5°) 4 4 (cos 90° + i sen 90°)
z = 2 lCOS }JQO +fsen 330°) => z = 16 (COS 1320° +ÍSen 1320°) =:
i 1 i
= 4 cos 240° + i sen 240° = 4 -cos 60° - i sen 60°
1 i i ,.[3 I .
= 4 1 . V3 -2 -2i13 - ~ - 2 l
-2-l---y-
11·"5. i )::: w+z w=zw+: w.:.; :.Re t= w) ..:. Ret=w +z wJ =z w+ zw.
ü )z w-zw=z w-z w= 2i!m (z w) =>!m (z w-zw) = -J:. (z w-z w)
1
/l-56. Si w es raíz cúbica primitiva de 1, entonces w2 también lo es pues
·mcd (2 , 3) = l. Teniendo en cuenta que 1 + w +w2 =O (ver 11-57), resulta
(!- w)!!-
=1 - w
2
- w .J. w
3
= 1 ·- Wl + i = 2- ~-·· l l = 3
ll-57 P:1m 11 >1, ~i w ,1s miz n-~i1na primitiva •.!e 1o ' :f; G, y ""'¡¡'"'
11 + w + w= + ... + w"- 1)(1 - w) = i ·- w" =O
resulta l + w + w2
+... + ~o·n- 1 == O
r' l . ..Jf" /' l y'3"n
l J-58. 1 - - +l - ) +l - - -- ¡ - ) =
2 2/ " 2 2/
r( , V3) 3 1k r 1 0 3-
1
k
= - ....!. +i - J + i (- - - i - ) =¡k+ ¡k= 2.
L. 2 2 L' 2 2 J
it·
1
ll
!2-20. i ) a = :.::
ii)a =1
b='3
b = --l
c=.t
e =···1
12-21. i ) 1P- Q = 4X4
+ 2 X 3
+ Tx + 5
TRABAJO PRACTICO XII
ii ) P . Q =1 X5
+TX4
+3 X3
+3'X2
+1 x +3
ili) pZ - Q = 4 xs +4 X7
+ X6
+ 4 xs +2 X4
+ 5 x +4
iv) g (XP + 2 Q) = 5 '
1-2-22. 6 + 6 . 7 + 6 o 72
+ 6 . 73
11-23. No existen ya que en R [X] si A es de grado positivo, entonces de A2
= A se
deduce gA + gA' = gA ~ gA = O, lo que es imposible.
12-24.i )e=-2 ; R=-2
ü)e=-1 ; R=-X2
-2X+3
lli) e= o ; R = 2 X2
- 1
12-25. Imponiendo al resto (m2
+ 2 m + l) X la condición de ser el polinomio nulo,
resulta m "" - l
12-26. i )e=-aX2
-ál X ; R=-l
ii) Tener en cuenta que el opuesto de2 es 3. Se obtienen
e= 3 X3
+4 X2
+ 3 X+ 3 ; R =T
ili) e=¡ X3
+ X2
+ (-2 -t) x+ (-1 + 2i) ; R =2 + zt
iv) Después de tiividir el dividendo y divisor por tres se obtienen
[ = XJ ~~" 3 X -t 7 y ~ = ·~ . o sea R ={)4"
11-27. Aplicandv í 2.6.2 se obtienen:
i ) x + 1 ii >xz + 4 no X
11
- 1
11-28. Especializando X por a, se obtiene
R = P (a) Q(a)- P (a) Q (a)= O, es decir X- a 1P _Q (a)-· P (a) , Q
12-29. En los tres anillos de polinomios se obtiene P = (X+2) (X-2) (X+4).
12-30. Puede aplicarse 12.11.1, o bien por ¡:ómputo directo las raíces son ± V2,,
± ..;3.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-240-320.jpg)
![...... -~~W.lm!:B.v~-:'~~,-~;;~~·,e:o;~;F"'~~!o
·--:~,;t:r~:~¡;;;:,, l--.i;."'!:>r~~~ -~-. ,~,;;::·.~-"'""""' ···---- --· ~
RESI'UFSTAS A LOS 1 RAllAJOS PRACTICOS
! l J. Las raíces de P = X
4
-lO X
2
+1 son
1 •../5--;::. .../6- = ± --../(.J2 ±-73)2 = ±CV2 ± ..{3)
12-.1'2. De acueido con 12.9.2., si o: es raíz doble de P, es raíz de P' = 3 x 2
+ 4 x - 4.
i)e P' son raíces - 2 y ·; _La primera es raíz doble de P y resulta P = (x +
+ 2)2
(x- 2).
, .. _::;. B:.~>t:l ~tectuar P = (X-o:1 ) CX -o:2 ) (X--o:3 ) X~o:.,) =
=X"' ..¡ 3 X? +.:1¡ '{2
+,-;¡: X+an .donde
:lé =·-lO:: +üz i-a.3 +a~)
.;~ = •:>:; •:1:2 + Ü¡ (:~ + . -. +0:3 ~
.1 1 = -IU: 1 0:;. o:{+ ... +~Xz 0:3 ~)
un= U:¡ o." a 3 <4- Ver 12.12.
••.- .J. P = ;-;:' - S X: + 4
..>5. i ) A es irredudble en Q [X] pero no en R [X] pues A= (X -tl3) (X~ +
+ X _._{/'l)
ti l B ~s meducible en ambos anillos pues b1
-4 ac <O.
tiil C =<X + 1) i X- l )(X2
+ X + 1) (X2
-X + 1) es reducible en Q{X jy en
R[Xj.
2
a "
l ::-36. Si a"! =O. es trivial. Considerando a2 *O, se tiene P = a2 l(X+ --::!--), -al
:::,. '
- 2 :. Si 6? O, entonces P es reducible. Luego P irreducible implica 6 <O.
4-:z ~
Ret:íprocamente si 6 <O, entonces Pes irreducible en R [X].
J:.-37. P = X2 + 2 X -4 E Q [X] con D.= 4 + 16 = 20 >O, y es irreducible.
¡::.JS. P =3 X2
+ 4X+ I
;:; 39. i ) R<:f1exividad: B!O ~ BIA- A ~A- A
Simetría: A- X = B!A- A'~ B!A'- A= A'- A
TransitiVidad: A....:-A' i A' -A" => BIA- A' A BIA'- A" =
. => BIA'- A" => A'- A".
ü ) KA =(-PE K [X] 1p·- A } y como P- A = BIP- A -"'> P- A= CB =>
=P=A+CB.Luego KA={A+CB/CeK[Xl} _
¡ :--111. Prvbar. como en 5-12 y 5-13
i ) A - A' C - C' ~ A + C - A' + C'
ii) .--A' ·' C- C' -=> AC- A'C'
¡;:..¡l. Demostrarlo en las siguientes etapas
..~,_
TRABAJ() l'RAC'T!CO Xll
i ) I es un subanillo de K [X]
ii) Qel " Pe K [X] ~ QPE l
l se llama ideal generado por A y B.
.:-;¡
12-42. Sea { I¡} con i e U una familia de ideales de K [X]. Con el criterio utilizado e-n
9-16 se prueba que .n I¡ es un subaníllo de K [X]. Falta demostrar, de acuerdo
l€U
con 125
A en l¡ " PeK[XJ ~A Pe nI,
~u ~u
lo que es inmt!di;1to.
11-13. Sean 1 ={S A; + T Az 1S " Te K [X} , y nl¡ la intersección..:~ :cdos
ideales que contienen a A1 y A2 . f.-1 = 1 A 1 + OA2 ,, Az = O A1 +
+ 1A2 = A1 el A A2 El, o sea 1 es un ideal que contiene a A2 y a A2 . En
consecuencia nl; e l. Falta probar que len I, y para dlo es suficimte
demostrar: P e l => P € nI;.
12-44. i ) x = - 2 Vf. Las cuatro raíces cuartas de i se obtienen mediante
4 r;: ¡..p+1krr . .p+?.k1r
w,. =Vp COSe--¡-- + l sen --¡--)
donde p =1 , ¡,p= ~ y k= O, 1, 2. 3.
ii l X 3
+ X2
+X+ l ="'X2
(X+ 1) + tX + 1) =~X+ ll X2
+ 1l:::;;: O
Resulta· x 1 c:::-1 ,x2 ==i ,x3 =-i
ili) i X3
+ 1 = o => X3
=- ~ =- i =>X= tcT. En este caso p= ¡ 1 ;=1 •
= 3}- . Se aplh.:a la fórmula de la parte i ) para k= O, 1, 2.
• 7 (m- l) .
12--/5. i ) X ¡ +X 2 "" 0 -"'> - -------g,;;-- = Ü -"'> m = 1
.. 1 l 1 lu )x 1 x 2 = => -g;¡ = =m= 8
üi) t:. = bz - 4 ac = O = 49 (m - 1)2
- 32m = O
se resuelve esta ecuación en nL
12-46. i ) Como o:3 = o:1 + a2 y o:1 + o:2 + o:3 =- 2 se tiene 0::3 =- l. Por otra parte.
de o:1 + o:2 =- l y o:2 o:2 =2, se deduce que a 1 y o:2 son las raíces de la
ecuación t 2
+ t + 2 = Oy resulta
1 1 . ¡;¡-7
0:¡ =- 2 + 2 l V '
l 1
0:2 = - 2 - 2 i ../f.](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-241-320.jpg)
![H!SPUESTAS A LOS TRABAJOS PRACTICOS
ii) De ~~ a2 . a 3 '""~ 1 y a:1 a:2 == - 1 se outiene a:3 "' - l. Entonces P es
diiisible por X + l. La aplicación de la regla de Ruffini determina el
CO(iente e= 2 X2
-3 X- 2, cuyas raíces son al = 2 y Cl:z =- +.
12-47. i ) Operando convenientemente se obtiene
-bx(b+x)=a(a+b+x)(x+b) =>
=> (f2
+ab +ax)(x + b) +bx (b +x) =O=>
~(:e +b) (a2
+ab +a:x +bx) =O=>
=>:<+b=O 1 (a·+biJ:+a(a+b)=O=>x=·-b v x=-·a
si ,;; {;,;::::O.
ii) Ha,iendo x4
=y, se resuelve + 2 y+ l = Oy se obtiene y 1 ""y 2
Luego x = f=l, siendo p = 1 y ;p =r::.
L
l.:-48. Consid~rando la condición a:1 = 2 a:2 y las relaciones entre coeficientes y raíces,
se obtiene m = ± 6.
' 4 : 4 2 ~'1
l.:-19. Corno (t'1 + a:~ + C:h + o:4 )• = ~ a:, 4- 2 :E a:¡ a¡. se tiene (- 3) = .... o:, -r
. :~1 .. i<i ¡:::¡ f
+ 1. 5
- T
4 ~
=> 2: a~ = 4.
i=l '
12-50. Elcamliiodevariablex=y -3 conduce a(y- 3)3
-3 (y- 3)2
+ 2 (y- 3) =
= y 3
-12 y 2
+ 45 y- 60.
AdKfon m C, 34.¡
en N. ~13
en Q, 297
en R, 319
en Z. ~83
Algebra de Boole, 63, 210
Algoritmo de Euclides. 288
Amplitud de intervalos, 309
Anillo. 264
con identidad, 265
conmutativo, 265
de clases residuales, 267
de división, 265
de polinomios, 378, 383
ordenado. 276
propiedadt!s, 266
sin divisores de cero, 267
Antisirnetría, 75
Aplicación o función, 103
canónica, 116
A-reflexividad, 72 •
Argumento prin.::ipa.i. 35-
C-mnetna. 14
-'>·iranSH!V(]JCL '4
Automorfisrno, 153
En C. 350
Axiomas, 208.
de Peano, 212
Bicondicional, 6
Binomio de Newton, 179
Buena ordenación, 97, 167
C;:;mbia de base. 334
Circuitos lógicos. 18
Clases de equivalencia. 79
residuales. 82. 157
• Coclases, 255
Codominio. l02
INDICE
Coeficiente principal, 382
Combinaciones con repetición, 199
simples, 198
Combinación lineal, 273
Combinatoria con repetición, 199, 200
simple, 197, 198
Compatibilidad, 154, 247,319
Complejos conjugados, 349
Complejo imaginario, 343
real, 343, 350
Complementación, 36
Completitud de R, 326
Composición de funciones, 117
de relaciones, 68
Condición necesaria y suficiente. 7
( onectivn;; ló!tiem. 2
>l(l
Conjunto, 25
acotado, 94, 3~8
bien ordenado, 97
cociente, 79, 80
coordinables, 162
complementario, 36
de índices, 57
de partes, 34
·~""··](https://image.slidesharecdn.com/librodealgebrai-armandorojopp244-160401173617/85/Algebra-Lineal-Armando-Rojo-242-320.jpg)
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Álgebra Lineal-Armando Rojo
- 1. Del mismo lflitor ALGEBRA11 Espacios ~ec.tcn ia~e:i. Matiices. Trasformaciones lineales. Oiagonatización. álgebra 1 --- 11111111 Armando O. Rojo Ex Profesor Titular del Departamento de Matemática, Facultad de Ingeniería, Universidad de Buenos Aires Decimoctava edición LIBRERIA~EDITORIAL EL ATENEO
- 2. r 512 (075) 1ROJ ·----- Rojo, Armando ----- -------- ---~ Algebra 1 - 18a489 p., 23 x 16 ~:-.Buenos Aires: El Ateneo, 1996. 1 1 1 9150··:•2,.5204-X );¡~ai¡;unat~·:-Et ~ E~stiñ.:Jr;z.J S¿t".~-l'rdana Advertencia importante: El derecho de propiedad de esta obra comprende para su autor la facullad de disponer de ella, publicarla, traducirla, adaptarla o autorizar su traducción y reproducirla en cualquier forma, total o parcialmente, por medios electrénícos o mecánicos, incluyendo fotocopias, grabación magnetofóntca y cualquier sistema de almacenamiento de información. Por consiguiente, nadie tiene tacultad a ejercitar los derechos precitados sin permiso del autor y del editor. por escrito. Los infractores serán reprimidos con las penas del artículo 172 y ccncordantes del Código Penal (arts. 2, 9, 10, 71, 721ey 11.723). Queda hecho el óepóSI!o que es!ablece la !el N• 11.723. •·::l 1972. >974, 1975 i;l' 4' ed.). 1976, 1978 IS• y 7• ed ed.). ~~83, ,984. 1~ti:, iS5-6. ~:39; 1992. ~994~ 1996. P:?d;o <'Jarc;·a 5 L ·.~rtS!'!8, F:rNorre! ~ inmoOd¡ana, ;:¡onda 34G. Buenos Atre:-t FIJnda~ en 1S~ 2 por don Pea;o G,HC!i! Se terminó de •mprim•r el 21 de¡on•o oe •996 en Impresiones Avellaneaa. Manuel Ocantos253, Allellaneda, provincia cte Buenos Aires. Tirada; 2.000 e¡emplares. IMPRESO EN LA ARGENTINA l PROLOGO La enseñanza de los contenidos fundam'entales del álgebra actual y el uso de su peculiar terminologla son una realidad en todos Jos cursos básicos a nivel universitario v profesoffJI. Creo que hay dos razones principales que dan crédito a esa determi- nación: una asociada al progreso de las ciencias, a la unidad conceptual y, en última ínstancía, al mundo de la inteligencia; la otra vinculada estrechamente a sus aplica- ciones en casi todas las disciplinas de interés práctico y de vigencia cotidiana. No escapan a estas consideraciones las dificultades que se presentan inicialmente ante. lo que es, de alguna manera, nuevo. Precisamente esa constancia me ha movido a redactar este texto elemental de álgebra, en el que he procurado desarrollarsus conte- nidos con una metodología que estimo apropiada. Se han intercalado ejemplos que, además de ilustrar la teoría, hacen posible la adquisición de métodos adecuados de trabajo. Un detalle que juzgo de interés para los lectores es la respuesta que se da a íos problemas propuestos, o al menos la sugerencia de pautas para las demostraciones que figuran en Jos trabajos prácticos. Doy testimonio de mi agradedmiento a los amigos que me han ayudado y estimulado en esta tarea, y a la Editorial EL ATENEO, cuyo personal no ha escati- mado esfwrzos para resolver las dificultades inherentes a la publicación del texto. ARMANDO O. ROJO
- 3. ~·f'~pín,ln ! .NOCIONES DE LOG!CA l. 2. Proposiciones l. 3. Notaciones y conectivos 1 4. Operaciones proposicionales l. 5. Condiciones necesarias y suficientes l. 6. Leyes lógicas l. 7. Implicaciones asociadas l. 8. Negación de una implicación l. 9. Razonamiento deductivo válido 1.1O. Funciones proposicionales 1.11. Circuitos lógicos Trabajo Práctico I (Capítulo 2. CONJUNTOS 2. 2. Determinación de conjuntos 2. 3. Inclusión 2. 4. Conjunto de partes 2. 5. Complementación 2. 6. Intersección 2. 7. Unión 2. 8. Le~es distributivas 2. 9. Leyes de De Morgan 2.1O. Diferencia 2.1 l. Diferencia simétrica 2.12. Producto cartesiano 2.13. Operaciones generalizadas 2.14. Uniones di~untas Trabajo Práctico II {Capítulo 3. RELACIONES 3. 2. Relaciones binarias 3. 3. Representación de relaciones CONTENIDO 2 1 7 8 ll 12 13 14 l8 .22 25 25 30 34 36 38 42 45 46 48 50 53 56 58 60 64 64 65
- 4. CONTENIDO 3. 4. Dominio,imagen, relación inversa 3. 5. Composición de relaciones 3. 6. Relaciones en un conjunto 3. 7. Propiedades de las relaciones 3. 8. Relaciones de equivalencia 3. 9. Relaciones de orden Trabajo Práctico III ~ Capitulo 4. FL'NCIONES 4. ~ .. Rdaciones funcionales 4. 3. Representación de f!Jndones 4. 4. Clasificación de .funciones 4. S. Funciones especiales 4. 6. Composición de funciones 4. 7. Funciones inversas 4. 8. Imágenes de subconjuntos del dominio 4. 9. Preimágenes de partes del codominio 4.10. Restricción y extensión de una función Trabajo Práctico IV Capítulo 5. LEYES DE COMPOSICION 5. 2. Leyes de composición interna 5. 3. Propiedades y elementos distinguidos 5. 4. Homomorftsmos 5. S. Compatibilidad de una relación de equivalencia con una interna 5. 6. ley de composición externa Trabajo Práctico V Capftu.lo 6. COORDii'lABIUDAD. INDUCCION COMPLETA. COMElNATORl 6. ::. Con¡umos coordinables o equipotentes 6. 3. Conjuntos finitos y numerables 6. 4. Inducción completa 6. 5. El símbolo de sumatoria 6. 6. La función factoría! ,¡.6. 7. Números combinatorios ~6. 8. Potencia de un binomio "6. 9. Funciones entra intervalos naturales ~6.10. Combinatoria simple y con repetició11 Trabajo Práctico VI 66. 68 69 71 77 90 98 l02 w::: 105 !lO 114 ll7 121 128 i3l 137 138 142 142 144 151 154 158 160 lti:: ry:: 164 167 170 176 f77 179 186 -..J97 204 CO~!JENIDO .Capítulo 7. SISTEMAS AXIOMATICOS 7. 2. Sistemas axiomáticos · -- 7. 3. Algebra de Boole 7. 4. Sistema axiomático de Peana 7. 5. Estructura de monoide 7. 6. Estructura de semigrupo Trabajo Práctico VII Capítulo 8. ~STRU~RA DE GRUPO 8. 2. El concepto de grupo 8. 3. Propiedades de los grupos 8. 4. Subgrupos 8. 5. Operaciones con subgrupos 8. 6. Homomorfismos de grupos 8. 7. Núcleo e imagen de un lllOrfismo de grupos 8. 8. Relación de equivalencia compatible 8. 9. Subgrupos distinguidos 8.1 O. Subgrupos normales o invariantes 8.1 l. Grupo cociente asociado a un subgrupo 8.12. Grupos cíclicos 8.13. Traslaciones de un grupo 8.14. Grupos ftnitos Trabajo Práctico VIII Capítulo 9. ESTRUCTURAS DE ANILLO Y DE CUERPO. ENTEROS Y RAOONALES 9. 2. Estructura de anillo 9. 3. Propiedades de los anillos 9. 4. Anillo sin divisores de cero 9. S.•Dominio de integridad 9, 6. Subanillos e ideales '.Jl. 7 Factorización en un anillo 9. 8..~nillo ordenado 9. 9. Estructura de cuerpo 9 ..1O. Dominio de integridad de los enteros 9.11. Isomorfismo de los enteros positivos con N 9.12. Propiedades del valor absoluto )9.13. Algoritmo de la división entera 9.14. Algoritmo de Euclides 9.15. Números primos ~.16. El cuerpo de los racionales 208 208 210 212 219 220 223 :!~5 :.:5 218 231 235 ;~.., _;)! 240 247 248 :;s:; 254 257 258 259 261 264 264 266 267 272 272 174 :76 278 280 284 285 287 288 290 293
- 5. CONTENIDO ~9.17. Isomorfismo deuna parte de Q en Z 9.18. Relación de orden eri Q 9.19. Numerabilidad de Q , Trabajo Práctico IX ~ Capítulo 10. NUMEROS REALES )110. 2. El número real 10. 3. Operaciones en R 10. 4. lsomoñ~o de una parte de R en Q 10. 5. Cuerpo ordenado y completo de los reales 10. 6. Cortaduras en Q 10. 7. Completitud de R 10. 8. Potenciación en R 10. 9. Logaritmación en R+ lO. lO. Potencia del COrUUnto R Trabajo Práctico X Capítulo 11. EL CUERPO DE LOS tf NUMEROS COMPLEJOS 1l. 2. El número complejo 11. 3. Isomorfismo de los complejos reales en los reales 11. 4. Forma bínómica de un complejo ll. 5. la conjugación en C 1t. 6. Módulo de un complejo 1l. 7. Raíz cuadrada en C ll. 8. Forma polar o trigonométrica 1L 9. Operaciones en forma polar ll.lO. Radicación en C 11.11. Forma exponencial en C 11.12. Logaritmación en C ll.I3. Exponencial compleja general 11.14. Raíces primitivas de la unidad Trabajo Práctico XI Capítulo 12 .POLINOMIOS ' 12. 2. Anillo de polinomios formales de un anillo 12. 3. Anillo de polinomios de un cuerpo 12. 4. Divisibilidad en el dominio K [X] 12. 5. Ideales de K [X] · 11. 6. Factorización en K [X} t 2. 7. Especialización de X y raíces de polinomios 298 301 301 303 308 308 315 321 321 321 326 329 333 335 338 341 341 347 347 349 351 354 356 358 362 366 367 369 370 373 378 378 383 384 388 389 396 CONTENIDO 12. 8. Raíces múltiples 12. 9. Polinomio derivado y raíces múltiples 12.10. Número de raíces de polinomios 12.11. Raíces de polinomios reales 12.12. Relaciones entre raíces y cOeficientes 12.13'. Fónnula de Taylor y Método de Homer Trabajo Práctico XII BmLIOGRAFIA RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PRACTICOS INDICE 3~ 400 40l 403 407 400 414 417 419 473
- 6. Capítulo 1 NOCIONES DELOGJCA LL INTRODUCCION Todo desarrollo matemático exige razonar en forma válida acerca de cosas trascendentes y particularmente abstracta~. Hay que comenzar por eliminar las ambigüedades del lenguaje ordinario, introduciendo símbolos y conectivos cuyo uso adecuado descarte las contingencias. aporte claridad y economía de pensamiento. En este capítulo introducimos el concepto de proposición, las operaciones proposiciona- les y sus leyes, reglas de inferencia, y la cuantif"lCación de funciones proposicionales, cuyo uso estará presente en todo el texto. J.2. PROPOSICIONES Consideramos ias siguientes oraciones: I. ¿Quién viene? 2. Deténgase 3. El calor dilata los cuerpos 4. 4 es un nfunero impar 5_ Juan ama la música 6. La música es amada por Juan Se üata de seis oracione> diferentE::~, nna interrc~tiva.. ~~~1 orden v ~uatn)_ declarativas. be las dos primeras no podemo,; decir que sean verdaderas ni falsa;;: una pregunta puede formularse o no, y una orden puede ser cumplida o no. En cambio, de las cuatro últimas, que wn declarativas, tiene sentido decir si son verdaderas o falsas. A éstas las llamamos proposiciones. Defin~ciim Proposición es toda oración respecto de la cual puede decirse si es verdadera o falsa.
- 7. 2 NOCIONES DELOGICA Es decir, proposición es toda oración declarativa. Toda proposición está asociada a un valor de verdad, el cual puede ser verdadero (V) o bien falso (F). Las oraciones (5) y (6) son diferentes desde el punto de vista gramatical; el objeto directo de la (5) es el sujeto de la (6), pero ambas tienen el mismo significado, y las considerarnos como la misma proposición. Podemos decir entonces proposición es el significado de roda oración declarativa. 1.3. NOTACIONES Y CONECTIVOS las proposiciones genéricas son denotadas con las letras p. q, r, etc. A partir de rmro~if'iOOt'S :;imp!e~ e$ posible generar otras, simplt>5 (l rnmptl!"Stl!S. Es decir. se pude operar con proposiciones, y según sean tales operaciones se utilizan ciertos simoolos, llamados conectivos lógicos. Conectivo /'· V => «> 1! Operación asociada Negación Conjunción o producto lógico Disyunción o suma lógica Implicación Doble implicación Diferencia. simétrica Signif'tcado no p o no es cierto que p p y g p o q (en sentido incluyente) p implica q o si p. entonces q p si y sólo si q p o q (en sentido excluyente) 1.4. OPERACIONES PROPOSICIONALES Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas una o dos proposiciones, cuyos valores de verdad se conoceQ, se trata de caracterizar ia proposición resultante a través de su valor de verdad: Se supone que en la elección de estos valores se tiene en cuenta el buen sentido. 1.4.1. Negación ·< Definición Negación de la proposición p es la proposición -p (n<;~ p), cuya tabla de valores de verdad es tmJF V Se trata de una operación unitaria, pues .a partir de una proposición se obtiene . tra. que es su negación. Ejemplo J-1. La negación de es o bien: OPERACIONES PROPOSICIONALES p : todo hombre es honesto -p : no todo hombre es honesto -p : no es cierto que todo hombre es honesto -p : hay hombres que no son honestos -p : existen hombres deshonestos la cual es V, ya que la primera es F. 1.4.2. Conjunción Definición Conjunción de las proposiciones p y q es la proposición p ·' q {p y q ). cuya tabla de valores de verdad es p q p ; q ' V V V V F F F V F F F F La tabla que define la operación establece que la conjunción sólo es verdadera si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso es falsa. Ejemplo 1·1. Si declaramos i ) 3 es un número impar y 2 es un número primo se trata de la conjunción de las proposiciones • p : 3 es un número impar q : 2 es un número primo y por ser ambas verdaderas, ,la proposición compuesta es V. ii) hoy es lunes y mañana es jueves esta conjunción e~ F, ya que flO coexisten las verdades de p y q. 1.4.3. Disyunción Definición Disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p v q (p o q) cuya tabla de valores de verdad es
- 8. NOCIONES DI: LOG!CA pq p V q V V V V F V J F V V F F F La conjunción o es utilizada en sentido incluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea V. En el lenguaje ordinario l:l pal~bra o es utiiizada en sentido exduyent<.> o induyente. La amb¡güedad ~e eiimina ..:cm la ele.:.:ión del s(rnholo adecu.:~du. En matemática se utíliza la disyunción definida por la tabia precedente la cu:¡J agota toda posibilidad. La disyunción sólo es F en el .aso en que las dos proposiciones componentes sean falsas. Ejemplo J.J. i ) hoy es lunes o martes represema la disyunción de las proposiciones p: hoy es lunes y q: hoy es martes. El sentido de la'~onjunciórÍ'o es exlcuyente, ya que p y q no pueden ser simultánea- mente verdaderas. No obstante, la proposición compuesta puede analizarse a la luz de la tabla propuesta, a través de los tres últimos renglones, y será falsa sólo si las dos lo son. ii ) regalo los libros viejos o que no me sirven es !a disyunción de !as proposiciones p : regalo los libros viejos q : regalo los libros que no me sirven El sentido del o es incluyente, pues si en efecto regalo un iibro que ~s viejo v .)'l~ Jd,;ma~ no :nc sine. emon,·es p '" q es V ¡¡¡ i 3 es <m número o 4 es un número prirno <: una propoposi<.·ión 'V, pues la primera es V. 1.4A. Implicación o Condicional Definición Implicación de las pr~posicionés p y q es la proposición p ==> q (p implica q, si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad es O!'l: RACIONI·.S PROPOSICIONALES p q p ==> q V V V V F F F V V lF F V Las proposiciones p y q se llaman antecedente y consecuente de la implica..:íón :> .::cmJki•maL Ll impli..::.t~.:ión usual en matemática es formal en e! sentido de I.JU~ no es necesario que el consecuente se derive lógicamente de! antecedente: cuando esto ocurre. la impiicación se llama material y queda incluida en la primera. Las tablas de valores de verdad se definen arbitrariamente, pero respetando el sentido común. Enunciamos la siguiente proposición: "SI apruebo el examen. ENTONCES te presto el apunte" (1) Se trat:r de la implicación de las proposiciones p : apruebo el examen q : te presto el apunte Interesa inducir la verdad o falsedad de la implicación (l), en términos de la V o F de las proposiciones p y q. El enunciado (1) puede pensarse· como un compromiso, condicionado por p. y podemos asociar ~u verdad al cumplimiento del compromisó. Es obvio que si p ts F, es decir, si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso, y preste o no preste el, apunte la proposición (1) es V. Es decir, si el antecedente es F, la implicación es V. Si p es V, en cuyo caso apruebo el examen, y no presto el apunte, el compromiso no se cumple, y la proposición (l) es entonces F. Si p y q son V, entonces la implicación es V porque el compromiso se cumple. De este modo, la implicación sólo es falsa cuando el antecedente ·es V y el consecuente es F • f.¡emplo ¡....;, 1 l s1 hoy es lunes" entonces mañana e:-, marte~ es la implicación de las proposiciones p : hoy es lunes q : mañana es martes Como no puede darse antecedente V y consecuente F, la implicación es V. m 1 = -1 ==> t 2 = ~~f es V por ser el antecedente F.
- 9. 6 NOCIONES DELOGICA 1.4.5. Doble implicación o bicondicional Definición Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p ~ q (p si y sólo si q), cuya tabla de valores de verdad es p q p ~ q V V V V F f F V F F F V La doble implicación o bicondicionai sólo es verdadera si ambas proposiciones tJcnen el mismo valor de verdad. La doble implicación puede definiise como la conjunción de una implicación y su ~e,~íprllca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p - q , puede obtenerse ;;diante la tabla de (p = q) " tq = p), como sigue p q p => q q =;> p (p = q) V V V V V F F V F V V F F F V .y .'¡ernpio 1-5. i) T es equilátero si y sólo si Tes equiángJlo ~Js :a dob:e lmpli~.:ación de las proposictones p : T es equilátero q : T es equiángulo " (q =1> p) V F F V Toda vez que p sea V, también lo es q. y análogamente, si p es F, q es F. De mudo que la doble implicación es V. ~- - · ii} a = b si y sólo si a2 = b 2 las ¡:-roposiciones son p: a= b q: a2 = b2 la ~.h;ble nnplicación propuesta es falsa si p es F y q es V. En los demás casos es V. CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES 7 1.4.6. Diferencia simétrica Definición Diferencia simétrica o disyunción excluyente de las proposiciones p y q es la proposiciónp .l! q {p o q,en sentido excluyente) cuya tabla de valores de verdad es p q pyq V V F V F V l:' V V lFiil F 1 La verdad de p Y q está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las proposiciones componentes. , Es claro que p Y q equivale a la negación de p 4* q. 1.5. CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES Consideramos la tabla de valores de verdad de la implicación p • q p => q V V V V F F F V V F F V Hay tres casos en que p = q es V, y entre ellos hay uno en que p es V. en el cual resulta q verdadera. Es obvio que nos referimos al primer renglón de la tabla, y se tiene que si p => q es V y p es V, entonces q es V. Se dice entonces que el an.tf!cedente p es condición suficiente para el consecuente q. En cambio, si ¡J"e'$-F, nada podemos decir de q, puesto que puede ser V ó F. Pot otra parte, cuando p => q es V, si q es V, entonces p puede ser V o f; mas para que p sea V se necesita que q lo sea. Se dice entonces que q es condición ~eJ;I..da._ para p. ---Res-umiendo, si p => q es V, entonces p es condición suficiente para q Y q es condición necesaria para p. Estas condiciones suelen expresarse' así: q si p (condición suficiente) p sólo si q (condición ne.cesaria)
- 10. NOCIOl':IS lJE LOGICA Ejemplo1-6. La siguiente implicación es V: "SI Tes equilátero, ENTONCES T es isósceles" En este caso p : T es equilátero q : T es isósceles y p es cmdición suficiente para q, es decir, que un triángulo sea equilátero es suficiente para asegurar que sea isósceles. Por otra parte. T es equilátero sólo si es isósceles: es dec!L que un triángulo sea isósceles es necesario para que sea equilátero. Sea ahora la doble implicación p ~> q, es decir {p = q) ' (q-=> p) Si p ~ q es V. entonces p ~ q es V y q => p es V. Se tiene. atendiendo a la primera, que p es condición suficiente para q; y, teniendo en cuenta la segunda implicación. ocurre que p es condición necesaria para q. Es decir, si p ~ q es V, entonces el antecedente p es condición necesaria y suficiente para el consecuente q. Análogamente. en el caso de doble implicación verdadera, el consecuente q es también condición necesaria y suficiente para el ante..:edente p. Ejemplo l·i. La proposición "T es equilátero SI Y SOLO SI T es equiángulo" es la doble implicación de las proposiciones p : T es equilátero q . T es equiánguio Aquélla es V, y cualquiera de las dos proposiciones es condición necesaria y suficiente para la otra. 1.6. LEYES LOGICAS Consideremos la proposición HP ;;,::;¡. q) cuyá tabla de valores de verdad es: p q p~q (p -=> q) A p V V V V V F 1 F E F V V F F F V F - - - ~ -~' ··t " { '} [(p ""' q) , p 1""' q V V V V LEYES LOGICAS 9 La proposición compuesta (1) es V, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones componentes. Se dice entonces que tal proposición es una tautología o ley lógica. La proposición p => p es V cualquiera que sea el valor de verdad de p. Es otro ejemplo de una ley lógica. En cambio p A ""'P es F, cualquiera que sea p. Se dice que es una contra- dicción.En el cáiculo proposicional se utilizan las siguientes leyes o tautologías cuya demostración se reduce a a confección de la correspondiente tabla de valores de verdad: l.6.L Involución - ( -p) <* p el modo de leerla es: "no, no p. equivale a p"., L6.2. ldempotencia 1.6.3. Conmutatividad a) de 1a disyunción b) de la .:onjundón Cp 1 p) ~ p (pvp)~P p vq<*ll v p pl•q~qllp 1.6.4. Asociatividad a) de la disyunción ( p V q) V r *> p V ( q V r) b ¡ De la ..:onjun.:¡on l.ó.S. Distríbutividad ~ ~·~ .,- .! 1 r~¡; ''l rl a) de la conjunción respecto de la disyunción (p v q) " r ~ (p " r) v (q f r) b) de ia disyunción respecto de la conjunción (p 11 q) v r *> (p v r) /1 (q · v r)
- 11. IMPLIC'ACIONI:S ASOCIADAS lO NOCIONESDE LOGICA 1.6.6. Leyes de De Morgan Ejemplo 1-10. La proposición a) La negación de una disyuncíón es equivalente a la conjunción de las negaciones -. (p V q) -$? -p /1. -q b) La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones - (p A q) -$? -p V -q Ejemplo /-8. Tabla de valores de verdad de la distributividad de la coniunción respertn dt> 1~ J' o - " ••u;)...... <.-JlH.•.:IUIL ( p v q) ' r -$? ( p , r) v (q ' rl Cada valor de verdad de p puede asociarse a dos valores de verdad de q, y por ..:aJa uno de estos pares de valores se tienen dos posibilidades para r; en :onsecuencia. resultan 23 = 8 renglones en la tabla. Si se dan n proposiciones, en la tabla hay que analizar 2n renglones. Por otra parte, es posible simplificar la confección de la tabla, como se indica a ;om1nuación ! (p V q) / r -$? (p " r) v (q '"~ V V V 1 V 1 V V V : V V1 1 V V V 1 F 1 F V F ¡ F F1 1 V V F 1 V 1 V V V 1 V F 1 1 F .V V F 1 F 1 F V 1 F F1 F V V 1 V 1 V V V . V V1 1 1 1 F V V 1 F ' F V F 1 F F ' 1 1 F F F 1 F l V V F . F F1 1 F F F 1 F 1 F V F 1 F F'1 1 1 E¡emplo 1-'J. Confeccionamos la tabla de valores de verdad de la siguiente ley de De Morgan: -(p ·" q) -$? -p V -q -~ (p 1 q) ~ -p V -q 1 F V vv V F : F : F ' 1 1 1 1 1 1 V 1 V F F V F 1 V 1 V 1 1 1 1 1 V 1 F F V V V 1 V • F 1 V 1 F F F V V 1 V 1 V1 1 1 1 (p A q) ~ p es una ley lógica, pues la tabla (p A q) => p V V V V V V F F V V F F V V F ~ lFFFj"lr l nos muestra que es una tautología. 1.7. IMPLICACIONES ASOCIADAS Sea ¡;! condicional p => q , que llamamos directo: en conexión con él, se presentan otros tres. obtenidos por permutaciones o negaciones del antecedente y consecuente: q => p -p => -q -q => -p recíproco contrario contrarrecíproco Las cuatro m1plicacíones propuestas se llaman conjugadas, y cualquiera de ellas puede tomarse como directa. El siguiente esquema nos proporciona la relación que las vincul:l: p => q recíprocos 4 =>p Col}, .o"> "' ·~'(jo- ..-.. e ~"él 'ec" e :::. = ~ 5" ...."(~ ~"ec:. ..., ~· 'J:;r, ;:;· co~ Ocas "' -p => -q recíprocos -e¡ => -p Es fácil verificar que las implicaciones contrarrecípro(."JS son equivalentes, es decir. los siguientes b icondicionales son tautologías: (p => q) ~ (-q => -p) (q => p) ~ (-p => -q) Si la implicación directa es V, también l9 es la contrarrecíproca, y no podemos afirmar la verdad de la recíproca ó de la contraria. Pero si son verdaderos un
- 12. 12 NOOONES DELOGlCA condicional y su recíproco o contrario, entonces son verdaderos los cuatro, y las proposiciones antecedente y consecuente son equivalentes. Se presenta continuamente la necesidad de demostrar la verdad de p =:- q, y de acuerdo con lo expuesto se presentan dos métodos: i) directo. Si p es F, nada hay que probar, pues en este caso p => q es V. Si p es V J¡ay que establecer que el valor de verdad de q es V. ii) indirecto. Si q es V queda establecida la verdad de p =:- q. Pero si q es F hay que examinar p y llegar a establecer que su valor de verdad es F. t .8. NEGACION DE UNA lMPLICACION Las proposlcíones p "'"" q y ·~( p ,._ -~q) son equivalentes. cumo lo muesna la siguiente tabla (p = q) ~ - (p ¡ --q) V ' V • V V ' V ' V F Fi 1 1 '1 V 1 F 1 F V 1 F • V V V1 1 1 1 F • V 1 V V ' V ' F F F• 1 1 11 F • V 1 F V 1 V 1 F F V1 1 1 1 En consecuencia, la negación de la primera equivale a la negación de la segunda, es decir -(p = q) <:> -[ -(p f -q)J y por 1.6.1, se tiene -(p = q) <:> (p " -q) Es decir. la negación de una implicación no es una implicación. sino la ..:onjundón del antecedente con la negación del consecu?nte. E¡empln ! ·11, Sean las implkaciones i ) Si hoy es 'lunes, entonces mañana es miércoles. ii) 1=-1=12 =(-1)2 Sus negaciones son, respectivamente, "Hoy es lunes y mañana no es miércoles" •• 1 = - l !1 12 *(- 1)2 , RAZONAMIENTO DEDUCJIVO l3 1.9; RAZONAMIENTO DEDUCTIVO VALIDO En matemática interesa el tipo de razonamiento llamado deductivo. Llamamos razonamiento a un par ordenado ( {fJ¡} ; q), siendo { p¡ ) un conjunto finito de proposiciones, llamadas premisas, y q una proposición, llamada conclusión, respecto de la cual se ~:.firma que deriva de las premisas. Un razonamiento es deductivo si y sólo si las premisas son evidencias de la verdad de la conclusión. es decir, si p1 , pz. . . . Pn son verdaderas, entonces q verdadera. Un razonamiento deductivo es válido si no es posible que las premisas sean verdadera!> y la conclusión falsa. De un r;.tzonamiento no se dke que es V o r. smu qu.: es válidn ~' no. Llamamos regla de inferencia. a todo esquema válido de razonamiento. indepen- dientemente de la V o F de las proposiciones componentes. De este modo. toda regla de inferencia es tautológica. Un razonamiento deductivo es válido cuando el condicional cuyo antecedente es la conjunción ue las premisas. y el consecuente' es la conclusión, es tautológico. Son ejemplos de reglas de inferen..:ia: a) Ley del modus pvnens: SI p y p => q, ENTONCES q La notación clásica es b) Ley del modus tolrms: p p =q q p =q -q -p Este esquema es la ñotación clásica del condicional [1 (J ~ ll} 21 Ley del sdog1smo iupotérico: -q! =-o p ;;;;;¡¡.q q =?f p =r Es decir, la proposición [(]7 = q) 11 (q =r)] = (p = r) es una·tautología. En cambio, el condicional .[ ( p => q ) A q ] => p no es una forma válida de
- 13. 14 NOClONES DEl.OGICA razonamiento, ya que la correspondiente tabla de valores de verdad nos muestra que no es tautológico. E?emplo 1·12. a) Justificar la validez del razonamiento p =*Q ,...,. ~-q -( -p ,, -t) t ~S -r S En lugar de confeccionar la tabla del condicional entre la conjunción de las premisas y !a conclusión. haremos uso de las leyes dei cálculo proposicional, a fm de simplificar la situación. La segunda premisa es equivalente a la contrarrecíproca q => r; por la ley del silogismo hipotético. de la primera y de ésta, resulta p => r. La última premisa es V, y en consecuencia r es F, y como p => res V resulta necesaría:.-nente que p es F. La tercera premisa equívale a p v t. de acuerdo con una ley de De Morgan, y por ser p falsa resulta la verdad de t. Ahora bien. siendo t y t => s verdaderos. resulta la verdad des. por 1.9 a). bj Justificar la validez del razonamiento cuyas premisas son: y la conclusión: Hoy Hueve. Hoy llueve o hace frío. Hoy llueve o no hace frío, En lenguaje simbólico se tiene p V q p V .....q p q, o bien -q es F; cualquiera que sea el caso, por ser las disyunciones verdaderas. resulta que p es V. De otro modo, la conjunción de ambas disyunciones, por la .iisuíbutividad, es equivalente a p v {q 1, ""Q). La verdad de aquéllas asegura la ·.rerdad de ésta, y como q " -q es F, resulta la verdad de p. l.lO. FUNCIONES PROPOSIOONALES. SU CUANTIFICAOON El símbolo P (x) es la ~epresentación de un predicado o propíedad relativos al ,)bjeto indeterminado x, perteneciente a cierto nriiverso o conjunto. Si nos referimos a FUNCIONE-S PROPOSICIONALES 15 los números enteros y estamos interesados en la propiedad de ser impar, entonces la traducción de P. (x) consiste en: x es impar, y se escnbe P (x): x es impar Es claro que el enunciado: "x es impar" no es una proposición, ya que a menos que se especifique a x no podemos decir nada acerca de su verdad o falsedad. Ócurre, sin embargo, que para cada asignación dada al sujeto x dicho enunciado es una proposición. A expresiones de este tipo se las llama funciones o esquemas proposicionales. Definición Función proposicional en una variable o indeterminada x es toda oración en 1a que figura x como sujeto u objeto directo, la cual se convierte en proposición para cada especificación de x. En nuestro ejemplo resultan proposicioneS como P (- 4) . - 4 es impar P( 5): 5 es impar (F) (V), etc. Se presentan también funciones proposicionales con dos variables o indeterminadas. Sea, por ejemplo · P(X ,y) :xesdivisordey Lo mismo que en el caso anterior, si x e y son enteros, P (x •}')no es proposición, ya que no podemos afirmar la verdad o falsedad del enunciado. Mas para cada particularización de valores se tiene una proposición P (- 2, 6) : - 2 es divisor de 6 (V) P( 12,6): 12 es divisor de 6 (F) A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proces~ llaml!do de cuantificación. Asociados a la indetenninada x. introducimos los símbolos V x y 3 x. llamados cuantificadores universal y existencial en x, respectivamente. Las expresiones Par; todo x, se verifica P (x) Existe x. tal que se verifica P (x) se denotan mediante V x : P (x) ( 1) 3x/ P(x) (2) y corresponden a una función proposicional p (x) cuantificada universalmente en el primer caso. y existencialmente en el segundo. lln:¡ función proposicional cuantificada
- 14. • 16 : NOCIONESDE LOGICA adquiere el carácter de proposición. En efecto, retomando el primer ejemplo, si decimos "Todos los números enteros son impares". (1 ') es claro que hemos enunciado una proposición general y relativa a todos los números enteros, cuyo valor de verdad es F. Una traducción más detallada de esta proposición consiste en Es decir "Cualquiera que sea x, x es impar". '1 x : x es impar Si .::uamificamos e:xistencíalmente la misma fundón proposicional. se tíene Osea O bien O más brevemente 3 x í x es impar "Existe x. tal que x es impar''. "Existen enteros que son impares". "Hay enteros impares''. (2') El valor de verdad es V, y en consecuencia se trata de una proposición. El cuantificador existencial se refiere a, por lo menos, un x. Es obvio que una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si son V todas las proposiciones particulares asociadas a aquélla. P~ra asegurar la verdad de una función proposicional, cuantificada existencialmente, es suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional. Un problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. La negación (1') es es decir y en símbolos "No todos los enteros son impares" "Existen enteros que no son impares" 3 X/ -p (x) Entonces, para negar una función proposicional cuantittcada universalmente se ,;a,nbul el cuantifi..:ador en existencia!, y re niega la fundó~ proposicionat La n~~a~iónde i:!"'J ·.~~ "No t!Xis~en enteros impares". Es decir "Cualquiera que sea el entero, no es impar'' o lo que es lo mismo "Todo entero es par''. En símbolos "J' x : -P (x) 11rt • ' l:¡ t; ,,, H~ li!.¡ ., Í' L.. CUANTII' lCA('ION 17 Vale entonces la siguiente regla: para negar una función proposicional cuantificadc- existencialmente se cambia el cuantificar en universal, y se niega la f11ncion proposicional. Se tienen las siguientes equivalencias -[vx:P(x)J9 3xj~P(x) -[3x / P(x)l 9 Vx: -P(x) Ejemplo J.J3. Sea la proposki.:m. Todo el que la conoc.:. ia admu:::t. }ios interesa escribirla en lenguaje símbólico. negar!J.. y retraducir ia uegadón al lenguaje ordinario. La proposición dada puede enunciarse: , Cualquiera que sea la persona. si la conoce. entonces la 1dmira. Aparece clara la cuantificación de una implicación de las funciones proposicionales ? (x) · x la conoce Q (x): x !a admira Se tiene I;Jx:P(x) =<>Q(x) Teniendo en cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada universalmente y una implicación resulta 3x / P (x) , -o 1x) Y pasando allenguaje ordinario: Hay personas que la conocen y no la admiran. Ejemplo H.J Consideretnos ia nu~ii·ta ~ue~nón ;!!i ~1 si}!~.tientc -:a5o: ·Todo entero admite un inverso aditivo. Es decir "Cualquiera que sea el entero, existe otro que sumado a él da cero" Intervienen dos variables y la fi.Inción proposicional P(x,y):x+y=O --
- 15. 18 NOCIONES DELOGICA La expresión simbólica es entonces 'l:/x3y/x+y=O Su negación es 3 X/ -(3y /X+Y= 0) Es decir 3x/Vy:x+y:~O La traducción al lenguaje común es i<. T"' ~ 1 ~ .]• .. • ~ ' "'" ,..,... t:X!Si.e un t:iHt:lv ~.;uya suma 1..011 ~.;uaH.¡t.iíe1 utru. e:. Ul~LiÍ!la úc 1..t:iu • ,,. í Ejemplo 1-15. Sea la proposición Hay alumnos que estudian y trabajan. Su enunciado sugiere un cuantificador existencial y dos funciones proposicionales P (x) : x estudia Q(x) : x trabaja En forma simbólica se tiene 3 X j p (X) A Q (X) Su negación es '1:/ x: -[P(x) " Q (x)J Y por ley de De Morgan '1:/X: -P{x) V -Q(x) Traduciendo al leng:mje ordinario ''Cualquiera que sea el alumno, no estudia o no trabaja". 1.11 CIRCUITOS LOGICOS La verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de corriente en un circuito electrice con un interruptor. Para representar a p, si es V, se tiene o ·~ { ..it- ¡¡ '.~_..¡.!? ~~ ~ ~ CIRCUITOS LOGICOS 19 Y para p, si es F ~ - Q Es decir, el interruptor se cierra si pes V y se abre si pes F. Las operaciones proposicionales pueden representarse mediante circuitos con tantos interruptores como proposiciones componentes, combinados en serie o paralelamente. i ) Conjunción ~ p Este circuito admite el pasaje de comente, es decir.la verdad de p ' q, sólo si las dos son V. ii ) Disyunción. Está representada por un tircuito en paralelo o 1 ~~~q La falsedad de p v q, es decir, el hecho de que no pase corriente, sólo se verifica en el caso de la falsedad simultánea de p y q. iii) ~mplicación. Como ( p => q) ~ -(p 1 -q) de acuerdo ~on 1.8, aplicando una ley de De Morgan y la doble negación, se tiene (p => q) ~ (-p V q) En consecuencia. el ~ircuito asociado es -p 1 1 o _ _ _1 q iv) Diferencia simétrica. Utilizando sucesivament~ 1.4.6., 1.4.5.. una ley de De Morgan, la negación de
- 16. (!i-:.;;:,t! 't~":::4"~... ?O NOCIONESDE LOGICA implicaciones y la distributividad de la disyunción respecto de la conjunción, se tienen las equivalencias (p:,: q)""' -(p <* q) <* <* -[(p ~ q) !1 ( q ==? p)] <* <o> -(p => q) V -(q => p) <* ~ (p 1 -q) V (q /1 ""])) <* .,. ( p ~ (p q) • (p V -p) 1 ( -q i q) / ( -q V -p} </) ' ( -p V -q) y r;;-~ult:-t el drcuito q -q Ejemplo 1-16. i ) El circuito correspondiente a la proposición (p ,A q) V (-q) es ~ /. J o Obtcn. iuegü de sn11plifiLar .......__ -q /} ..._[/e p ____.l o -q Para que pase corriente es suficiente o..:e Jl o -q sean V. ·- r ' rt ¡ r·l j es ClRCUlTOS LOG!COS 21 ii) La operación proposicional que caracteriza al siguiente circuito o----Y--e::=r-~r ¡q " r'l '-
- 17. ~ TRABAJO PRACTICO 1 1-17.En el libro Hijos en libertad. de A. S. Neíll. están escritas las siguientes proposiciones p : Mis maestros hacen que todas las lecciones sean aburridas. q : No aceptan las respuestas que no figuran en los libros. r : Imponen un cúmulo de normas estúpidas Construir las pro~:!Osiciones p .' q .....,q v r (p ., q) => r J-18. Escribir en forma simbólica la siguiente proposición compuesta que figura en el mismo texto: "La chatura y el tedio de ciertas disciplinas escolares se trasmiten a los maestros. y las escuelas se llenan de hombres y mujeres de mentalidad estrecha, vanidosos. cuyo horizonte está limitado por el pizarrón y el libro de texto"'. J-1 9. Confeccionar las tablas de valores de verdad de las proposiciones i ) (p r., q) => r Ü ) -(p V q) <:> -p , -q 1-10. Negar las proposiciones construidas en el ejercicio 1-17. 1·11. Proponer las siguientes proposiciones en forma simbólica, negarlas, y retraducir· las al lenguaje común: i ) No es justa, pero mantiene el orden. ií) Los alumnos conocen a los simuladores y los desprecian. iii) Si los 'álumnos conocen a los simuladores, entonces los desprecian. 1·12. Detenninar si l~s siguientes proposiciones son leyes lógicas: i)p!lq=*q ii) [(p => q) / (q => r)J => (p => r) ili) p => p A q . iv) p => p V q ! ,¡ iJ1 TRABAJO PRACTICO l 1-23. Simplificar las siguientes proposiciones: i) -(~p V "'q) Ü) -(p V q) V (-p 1 q) 1-24. Sabiendo que p v q es V y que ·~q es V, determinar el valor·de verdad de ((p V q) A "'q)=*q 23 1-25. Determinar, en cada caso, si la información que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo. justificarlo. i 1 p => q => r Yl'~ V ¡¡) (p q) .... (-p ' -q) q es V iii} ( p , q) => (p v r) ; pes V y res F iv) p (q => r) ; p => res V 1-26. Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y s son, respectivamente, V, F, F, V. Obtener los valores de verdad de i ) [( p v q) v r] ~. s íi) r => s '• p iií) p v r <-> r , -s 1-27. Negar las proposiciones Í ) 3 X/ p (X) V -Q (X) ii) V x : P (x) => Q (x) iii) V X 3 Y/ x . Y = 0 1-28. Verificar que para probar la equivalencia de las proposiciones p. q, r y s es suficiente demostrar las siguientes implicaciones: p =!- q q=>r r=>s y s=>p 1-19. Dadas las proposiciones i ) El cuadrado de todo número real es mayor que 2. ii) Existen enteros cuyo cubo aumentado en l es igual al cubo del siguiente, iii) Todo el que estudia triunfa, expresarlas simbólicamente, negar las expresiones obtenidas y retraducirlas al lenguaje ordinario. 1-30. Construir un circuito correspondiente a la proposición ( p 11 ""Q) V (-p /1 q) V (-p /1 -q)
- 18. L 24 NOCIONES DELOGlCA 1·31. Se tieae el siguiente circuito: ~- q 1 1 1 r --l -p '-q 1 / _ _ 1 ., ___ / / 11 ! : ~ ¡ ! ! ¡ ! L~--d-.-J L--__i¡ q ' ¡ / 1 1 i ) determinar la proposición correspondiente ',ü ) simplificar ésta, y construir el circuito asociado. 1-32. Exp:esar simbólicamente el siguiente teorema: "si un número es unpar, entonces su cJadrado es impar''. Enunciar el contrarrecíproco, el contrario y el recíproco, Demostrar el primero. 1-33. Siendo Demostrar p = q l-34. Justificar e! rn2ooamiento p : a . b es impar q :a y b son impares p V -q -q «> T p V -r p J-35. Lo TiíMno ~n .;l sígmente caso: {p ,.,,. q qi = r =- s S 1-36. Investigar la validez del razonamiento siguiente: Si el interés no es egoísta, entonces es. la fuerza vital de las personas y es espontáneo. El interés no es la fuerza vital de las personas y es espontáneo El interés es egoísta t'·i f ,, E- ..o. Capítulo 2 CONJUNTOS 2.1. INTRODUCCION El propósito de esta sección es el estudio de'la teoría intuitiva de conjuntos. En este sentido. los térmmos "conjunto'', '"pertenencia" y "elemento" son considerados como primitivo$, Sobre esta base se definen la inclusión y la igualdad, y se estudian sus propiedades. El mismo tratamiento se hace corresponder a las operaciones entre conjuntos. El capítulo se completa con el desarrol1o de ejemplos en lo> que se pretende mostrar un método adecuado de trabajo. :!.2. DETERMINAOON DE CONJtJNTOS 2.2.1. Notaciones Para denotar conjuntos utilizaremos generalmente letras mayúsculas, y para especificar elementos se usarán letras minúsculas, a menos que dichos elementos sean, a su vez, conjuntos. Para indicar la pertenencia de un elemento a un conjunto será utilizado el símbolo €. la proposición "a e J" se lee: "a pertenece a A·•. o bien "el elemento a pertenece al conjunto A", Su negació,¡ e::. ..,¡ fA'", que se íee: ''a no pertenece a A" Si el ~ü11iunru ~ ;,.;~¡& furrnadu por los ~lementos a~ b ~"· f ~ cscJlb¡müs A -fa b c 1 - .. J en este caso se nombran todos los elementos ·del conjunto, y se dice que está determinado por extensión. Las notaciones usuales para caracterizar conjuntos numéricos son las siguientes: N conjunto de los números naturales Z conjunto de los números enteros
- 19. 26 CONJUNTOS Q conjuntode los números racionales R cortiunto de los números reales e conjunto de los números complejos La representación por extensión del conjunto cuyos elementos son - 1, O y 1, es A={-1,0,1} Es fácil ver que se trata del conjunto de los números enteros cuyo valor absoluto es menor que 2; en este enunciado hacemos referencia a elementos del conjunto Z. de los núm<!ros enteros, el ~ual se llama referencial o universal; además, estamos interesados ,;-n aquellos que satisfacen la propiedad de ser. en valor absoluto. menores que 2. La notación cm;espondiente es A = í_ x e Z i iXI <2 j y se dice que el conjunto ha sido determinado por comprensión. El conjunto universal depende de la disciplina en estudio, se fija de antemano, y está formado por todos los elementos que intervienen en el tema de interés. En general se denotará con U. Definición ,. Un conjunto se determina por extensión si y sólo si se enumeran todos los elementos que lo constituyen. Un conjunto se define por comprensión si y sólo si se da la propiedad que caracteriza a sus elementos. El conjunto cuyos elementos verifican la propiedad P se indica A = ( X € ll p (X) ~•.. ; u más brevemente. si U está sobrentendido A= { x / P(x)} y se lee: ..A es el conjunto formado por los elementos x, tales que P (x)". P(x) es una función proposicional, y un objeto del universal pertenece al conjunto si y sólo si verifica la prop1edad. es decir a€A ~P~a) es V En consecuencia a tl A «> P(a) es F 2.2.2. Conjuntos especiales Extendemos la noción intuitiva de cnnJUiltn :.1 ll•S caso~ u.:: -.:arencía de elementos y de unicidad de elementos. mediante la intwducciÓ!l ,¡, los conjuntos vacío y unitario. ,'·1'.. ¡·.·.1 :; ! 1 l ·11 l 1 i j¡ :¡ ~ ~ DETERMINACION DE CONJUNTOS 27 " Un conjunto vacío es liquel que carece de elementos. Un conjunto unitario está f~rrnado por un único elemento. Una propiedad o función proposicional, que se convierte en proposición falsa para todos tos elementos del universal. caracteriza por comprensión un conjunto vacío. Designaremos con t/> al~.:onjunto vacío, y puede definirse simbólicamente así tf>=[x!x-=Fx~ " ) En este caso la propiedad relativa ax es P (x): x =J= x. la cual resulta falsa cualquiera que sea x. Si A es el conjunto cuyo único elemento esa. escribiremos A=i~a =,.x:x=a Ejemplo 2·1. Determinar simbólicamente y por extensión IÓs siguientes conjuntos definidos por comprensión: i ) A.es el conjunto de los números enteros cuyo cuadrado es igual a l. En este caso la propiedad que caracteriza a los elementos de A es la conjunción de P (~) : x E Z y Q (x) : x2 = 1 Entonces ~ 1 l A = t X j X € Z A. x• = 1 J y como universal puede sobrentenderse el conjunto de los números reales o racionales. Si proponemos a Z como universal, puede escribirse A ={x € Z 1x2 = l } Obviamente, la determinación por extensión es ·A={-I,l} ii) B es el conjunto de los números naturales mayores que 2, y que no superan a 6. Considerando a N como universal. la propiedad característica de los elementos de B es la conjunción de que podemos expresar y se tiene P(x) : x >2 y Q (x) : x.;;;; 6 R(x): 2<x..;;6 B= {xeN/2<x.;;;;6}
- 20. - 28 CONJUNTOS Por extensiónnos queda B={3,4,5,6} iii) Ces el conjunto de los números reales cuyo cuadrado es igual a - l. Se tiene: C :::: ( X E R / x2 == - 1 ~ '- " C•JITIO ei t.:uaJradd de número rea! es negativo P (x) : x 2 - - l es ¡::: para rodo reaL y rcst:!ta C= <!;. Ejemplo 2-1. la determinación de conjuntos por extensión no es posible en el caso de infinitos elementos, y hay que limitarse a la definición por comprensión. La matemática trabaja casi con exclusividad en este sentido, a través de propiedades. C:lmcteriz:.~mos simbólicamente los siguientes conjuntos: Í ) pt!S el ..:onjunto de los numeros enteros pares. Por definición, un entero es par si y sólo si se identifica con el duplo de algún entero. Es decir aespar <.»3keZ/a='2k Entonces P={xeZ/x=2k 11 kez) Es claro que P consiste en el conjunto de los múltiplos de 2. A ve~es, acudiendo a un abuso de notación, suele proponerse una aparente determimción por extensión de un conjunto infinito, con la adjunción de puntos suspensivos. Así P - r -4 _.., o .., 4 6 ~-~~·~···' ' _, ,_,' , ••.••• J ii ) :es el conjunto de los mimeros naturales que son múltiplos de 3. ¡ xeN k '· .:"'1"''-· ¡" En Nn0 w,:luim;.;s al cert), 'f se nene - r..., .. qA-,,,tl,,, ~ ... ~) Si O se considera natural, escribiremos N0 y en este caso A = { x € N0 1x = 3 k " k € N0 ~. . ) Es decir A={0,3,6,9, ...... } r i·1 ~ ¡ f ¡: l' !¡, IlFTER!>ílNAC'!ON D! COtUl.lNTOS 29 iü) Bes el conjunto de los números naturales cuyo cuadrado es par. B = { x € N/x 2 es par} O bien B= { xe_NJx 2 =2k A k~N} ¿Cómo se determina la pertenencia de un elemento a B'? De acuerdo con la definición de B, dado un número natural. se analiza su cuadrado; si dicho cuadrado es par. el número pertenece a B; si su cuadrado es impar. no pertenece a B. Es decir a ¿ i5 =;J- e~ il"' iv) C es el conjunto de los puntos del plano cuyas distancias a un punto O son iguales a l. Entendemos que el conjunto universal es el d~ los puntos del plano a. Si bien O es un elemento, como es usual en geometría, lo denotamos con mayúscula. Indicsmos la distancia emre y Omediante d (A . 0). Entonces C = { X ea j d (X , O) =- l J es la definición simbólica de la circunferencia de centro O y radio 1. v) D es el conjunto de los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos A y B. D = ( X ea ! d (X , A) = d (X , B)};, ) D consiste en la mediatriz del segmento AB. Ejemplo 2·3. El conjunto S está fQrmado por los posibles resultados que se obtienen al lanzar dos monedas. Los resultados para la primera moneda son e (cara) y s (sello) y por cad:1 uno de ellos. "e tienen las mismas posibilidades para la segunda., es decir .-e c~s .....~ e <--s~s Entonces S == { ce , es , se . ss }
- 21. ~¡$~_.,x.·. 30 CONJUNTOS 2.3. INCLUSION 2.3.1.Concepto Sean A y B dos conjuntos. Si ocurre que todo elemento de A pertenece a B, diremos que A está incluido en B, o que A es parte de B, o que Aes un subconjunto de B, y eScribimos A e B. Definición x AeB ~'ltx:xeA =->xeB Esta definición tiene el siguiente significado: si sabemos que A C B. entonces la prooosidón V x : x € A = x € B es V; recíprocamente. si esta !Jroposición es V. entonces se verifica que A C R En repetidas ocasiones se necesitará demostrar que un conjunto es parte de otro; ~ntonces. de acuerdo con la definición, será suficiente demostrar que cualquier elemento del primero pertenece al segundo. Teniendo en cuenta Ia equivalencia entre una implicación y Ia contrarrecíproca,la definición anterior puede expresarse así ACB ~'ltx:xtB =xt/A Además, considerando la equivalencia entre p => q y - (p ,, -q), podemos traducir la misma definición de la siguiente manera A e B ~ 3 x / x e A ~> x i B es F Es decir, en la inclusión no puede darse que haya un elemento de A que no t'ertenezca a B. Sobrentendiendo el cuantificador universal, para descargar la notación, escribi- remos ACB ~x€A =xEB 2.3.2. Diagramas de Venn Ex!ste una representación visual de los conjuntos dad& por diagramas llamados de Venn.· En este sentido, el conjur.to universal s.uele representarse por un rectángulo, y los conJuntos por recintos cerrados. Es claro que todo elemento de A pertenece a U, es decir, A e U. Sean A, By e subconjuntos de U, como indica el diagrama .~ u e ~'1 ·".·..·1t ;. ~:· j ~ .>,, i 1 ' . l,i INCLUSION DE CONJU!TOS En este caso se verifica A e B. Ejemplo 2-4. Sean U= N y los conjuntos A={ x/xl6} B ={ xíx!8} e ={xix~2} 31 ~e pide !a :-eprese!1tación de !3!e~ conjuntes mediant~ d.iagr:L"'!'l!l~ de 'enr:. Definimos la relación de divisor en N mediante a 1b si y sólo si 3 n E N í b = a . n Teniendo en cuenta esta definición, y la relación de menor o igual, la representación por extensión de tales conjuntos es r ~ r ~ A=ti,2,3,6) B=~I.2,4.8) ( '¡ e=1_1.2J y en términos de diagramas de Venn N Ejemplo 2-5. Consideremos el conjunto U de todos los triángulos; si I denota el conjunto de los triángulos isósceles, E de los equiláteros y R de los triángulos rectángulos, se tiene u R
- 22. 32 CONJUNTOS Ya quetodo triángulo equilátero tiene los tres lados iguale!':, en consecuencia tiene dos iguales, es decir, es isósceles. Además existen triángulos isósceles que son rectángulos, p~ro ningún triángulo'equilátero es rectángulo. ··· 2.3.3. Igualdad de conjuntos Es claro que dos conjuntos son iguales si son idénticos, es decir, si tienen los mismos elementos. Entonces, todo elemento del primero pertenece al segundo, y todo elemento de éste pertenece al primero. Definidóu A~B=A--B B ':A. Ejemplo 2-6. Los conjuntos de números reales son iguales ya que A= (X/ x2 =X} B ( ¡ . X i (X - 1) . X =0 ( X € A ~ x 2 = X <=> X 2 -X = 0 ~ X . tx - l) = 0 ~ X € B El bicondicional se desdobla en las dos implicaciones que prueban la doble inclusión, y en consecuencia la igualdad. Ejemplo 1·7 Sean los conjumos de números enteros ( ~ A = t x ix2 =1 f B = { X / !xl = 1 J Teniendo en cuenta que el cuadrado de un número entero es igual al cuadrado de su vai<H absolu~o. resulta X E Á ~ :;:: = => "'*' ÍXi xe3 En consecuencia, A= B. Ejemplo 2·8. Demostrar que el conjunto de los números naturales impares es igual al conjunto de . los númerm naturales cuyo cuadrado es impar. Hipótesis) A= { x e N 1x es impar} Tesis) A= B B= { x e N1x 2 es impar } Demostración) )} t IGUALDAD DE CONJUNTOS 33 Nota preria: Por definición, un número natural x es impar si y sólo si existe k E N tal que x=2k-l. Por otra parte, es fácil ver que el producto de dos naturales consecutivos es impar, y que la diferencia entre un número par y uno impar es impar. Vamos ahora a nuestra demostración, la cual consiste en probar las dos inclusiones que definen la igualdad 1°) A e B. En efecto: sea x E A. Se tl.:ne x € i ""' x es = x = 2 k - l con k E N =:. =x2 = 4 k"' - 4 k ·+- 1 con k € N = x2 = "' C~ k2 - 2 kl + 2- l """" ::=> X~ ~~ : 4, 2 ft" ~- ~ k ·- 1 ~· - l ·;ienLln k e :'i = - x: es l'!lpar = x e B Hemos utilizado sucesivamente, la definición de A. la def!nil:ión de número impar. cuadrado de un binomio. la distributividad de la multiplicación, a sustítución de 1 por (.::! ~ !). nuevamente la disuibutividad. la definición de número unpar. y finalmente la defímción de B. 2°) Be A, Es claro que X =X {X + 1)-X¡ " Ahora bien x € B =? x2 es impar =} x. (X + 1) - x2 es impar => => x es impar =} x €A En consecuencia A = B. 1.3 A. Propiedades de la inclusión ,' i ) REFLEXIVIDAD. Todo conjunto es parte de sí mismo. En efecto, si A es un conjunto, la implicación Vx :xeA =>xeA es V En ,;o¡¡;;ecacnci!L por det1nid0n, se tien.:- e ,,_ 1i í TRANSlTIVIDAD S1 l.ln ..:onjuntu ;os pan;; ter(ero" ~niurl..:;;s ~~ pr!m~ro csti ~.n~luido en 2'1 H1potes:s1 A e B BC C Demostradón) Sea x E A. Por hipótesis se tíene X€ A,-= X €B y xeB =>xeC es J.~ un
- 23. :H CONJUNTOS btonccs, porley del silogismo hipotético .. XEA =>xEC Y, en consewencia, por definición de inclusión AC C. iii) ANT!SIMETRIA. Si un conjunto es parte de otro y éste es parte del primero, entc·nces son iguales. ACB A BCA =A=B <!S una consecuencia de la definición de igualdad. ~.3 5. Caracterización del conjunto vacío l ) Propiedad. El conjunto vacío está incluido en cualquier otro. f.:s¡s) A-=~ un ..:onjunw. i-:::;1sl rp e A. Dernosrractón) Consideramos la siguiente proposición: '<ix:x€(/> =xeA 'a .:'.l;:tl es V por ser el antecedente F. En consecuencia. de acuerdo con la definición Je md..:sión. se tiene <f> e A. 'uu.· f:¡ teorema es válido cualquiera que sea A; en particular, A puede ser vacio. ii ) Propiedad. El conjunto vacío es único. En efe..:to. suponemos que. además de 1;, existe q;· también vado. Emonces. de 1-:u.ca!o con i ). es verdadera la proposición 1/J' e 1/J -~ <f>C q¡· y por Jefinición de igualdad. resulta 1>' = 1> Ejemplo 2·9. Demostrar A e fb =A= </J. Como se trata de una igualdad se requieren dos inclusiones. 1") ¡peA por2.3.5.i ). 2°) A e q;. Se verifica pornipótesis. luego A= <f>. @2.4. CONJUNTO DE PARTES f¡Jo un C<ll1iunto A. podemos formlll' un nuevo conjunto constituido por todos los ,;ub.;;Jnjuntos J.: A. el cual r..:<.:ibe el nombre de conjunto de partes de A. '·· :¡ 1 • CONJUNTO DE I'ARH:S 35 Definición '1 Conjunto de partes de A es el conjunto cuyos elementos son todos subconjuntos de A. P(A)= {X/XC A} Los elementos de este conjunto son a su vez conjuntos, y, en consecuencia, P (A) es un conjunto de conjuntos. De acuerdo con la definición. se tiene X eP(A) ~XC A Fl nrnhl~ma de decidir ,¡ un obieto es un elemento de P (A) se reduce a determinari .. ' .. .. si dicho objeto es un subconjunto de A. De acuerdo con la propiedad reflexiva de la inclusión, cualquiera que sea A. se tiene A C A. y en consecuencta A € P (A) por definición de conjunto de partes. Además. por 2.3.5. i) se sabe que 1> C A, y por la misma definición 1> e P 1A). Es decir. cualquiera que sea A. el mismo A y el vacío son elementos de P lA). Ejemplo 2-1O. Detenninar el conjunto de partes de A =( 2 , 3 , 4} Los elementos de P1A) son todos los subconjuntos de A, es decir rp ' " r ' r 1. ~2J·PJ·4J .r.... '1. (" r 1,,_,3¡. -,4r,'3,4,1, .... ) l., ..1 A Y la notación por extensión es ( (' {''l {' { 'l ' } { ) lp (A)= 11>' 2 j ' 3) ' 4 ) ' 2 '3j , F '4 • 3 '4 'A f Ejemplo 2·11. ) El conjunto de partes del vacío es el conjunto cuyo único elemento es el vacío. P((jl)={<P} ii ) La pertenencia relaciona elemento a conjunto. mientras que la inclusión relaciona conjuntos entre sí. Desde este punto de vista, damos los valores de verdad de las siguientes proposiciones relativas al ejemplo 2-10. 1;CA cf;EA cf; EP(A) V F V
- 24. 36 CONJUNTOS ¡p CP(A)V {2,3) eP(A) V 2 € P (A) F {2) éP(A) V A€P(A) V A€A F AC A V !:]emplo ;.¡:!. Si A time .'1 elementos. ent.m.;e" P !Al tiene :2" elementos. Se trata de computar ei número de sub..:onjuntos de .4.. Uno de ellos es el vado. Conjuntos unitarios hay rn ·¡· d · b· · d 1 d dexactameme 11 = ¡ 1 . es ec1r. tantos como com mac10nes en e ementos, e or en ' l. El número de suhwnjuntos de dos elementos es el de combmaciones de ¡¡ •f/. elementos de orden 2. es decir 1 , 1 w. SubconJuntos ternarios hay ( 3 ! : / Y así sucesivamente, hasta obtener el único subconjunto de n elementos. El número total está dado por la suma 11!' rn• / n . .·n· 'll ·'n· +i 2} + t 3} + ... + t.n _ 1.1 + l = l_o} + '· t' + 1, 2} + n ::: :E i=O •fl) n {f/1 . ( i . = 1; ' i) 1' • 1n - i = ( 1 + l )" :;;;; ~n i=O . :11 + ¡ 1 = n; En este desarrollo hemos aplicado la fórmula del binomio de Newton. que se justificará en el Capítulo íÍ. !.5 COWlDIE~ r ~.CION DE CONJUNTOS Sean A y B subconjuntos de C. 2.5.l. Definición Complemento de A es el conjunto formado por los elementos de U c1ue no pertenecen a A. ' El complemento de A se denotará por Ae; suelen usarse también A' y A. ir.t:- -~-' ··-·~·-·- COMPLEMLNTACION DE CONJUNTOS 37 En símbolos N= {xeU/x~ o bien Ae= {X/ Xt Se tiene XfAc ""*XíÉA El J¡;.~.;r;¡· rla ,].; "cm1 <;.j. La complementación es una operación unitaria. en el sentido de que a partir de un conjunto se obtiene otro. Es usual también obtener el complemento de un conjunto A. respecto de otro B, en cuyo caso la definición es r A=[xeBixfA>'-'S ' ' En particular se tiene i ) El complementario del vacío es el universal. ) xeU =>xtr/> =>X€(/ () ~¡f·J l" :: ti!!¡.' ~UIWJ 1¡{ resul!a 1i l fl ,.,,mpl.:m.:n1arw del uníversJi es el pe = ( .~ X E U X f L 2.5.2. Propiedades de la complementación · l) INVOLUCION. (Ae)'"= A Demostración) =I/> xe(Ac{ ~xttAc ~-(xeAc) ~-(xtfA) c>x€A
- 25. 38 CONJUNTOS En estademostración hemos utilizado la definición de complemento y la ley involutiva del cálculo proposicional. U) A e B =-?Be e AC Demostración) Utilizando sucesivamente las defi~iciones de complemento, de inclusión y de complemento, se tiene Luego Ejemplo 2-13. X E se ""'X f B ""'X f. A=> X € AC Be C Ac Demostrar A = B => Ae == B" X € A{' ~ X ti A ~ X fi B ~ X € B" tn virtud de las definícionés de complemento, igualdad y complemento. Ejemplo 2-14. i ) Si r es una recta incluida en e! plano a:, entonces su complemento es el par de semiplanos opuestos abiertos, de borde r. ii ) El complementario del conjunto de los números naturales pares es el conjunto de los naturales impares. iii) El complementario de Q en Res el conjunto de los números irracionales. ..-2.6. INTERSECCION DE CONJUNTOS Sean A y Bsubconjuntos de U. 2.6.1. Definición Intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B. El diagrama de Venn correspc.ndiente es u A B ~ ~ t 1 ~ < J t t 1< 1 ~ ·' 1 Á INTERSFCCION DE CONJUNTOS En símbolos se tiene AriB={xeU{xEA / xeB} O bien, sobrentendido U • AriB::;{x/xEA 11. xe-B} 39 La intersección entre conjuntos es una operación binaria, porque a partir de dos conjuntos se obtiene un tercero. La propiedad que caracteriza a los elementos de la intersección es la de pertenecer s!mnlt~nl"ll!111"nte a In~ tio~ conjtmtm y ..e e~t:1hleee en términos de una ennjundón La defínición de intersección establece xeAnB <;>xeA / xeB Si !a intersección de dos conjuntos es vacía ,dichos conjuntos re llaman disjuntos. A y Bson disjuntos ~ A n B = iJ> Ejemplo 1-15. ) Si r y r' son· dos rectas distintas incluidas en un plano, entonces su intersección puede ser vacía, o bien reducirse a un punto. En el primer caso son paralelas. y en el segundo caso se llaman incidentes. ii ) Sean dos rectas Ae y AB, donde A. B y e son tres puntos no alineados pertenecientes al plano a. Quedan definidos los conjuntos S (AB , e) : sem1plano de borde AB que pasa por e S (AC , B) : semiplano de borde Aeque pasa por B Entonces el conjunto S tAB , C) n S (Ae , B) es el ángulo convexo BAC a iü) Consideremos tres puntos distintos A, B y C pertenecientes a la rectar: A 8 e r 1 • • - -
- 26. 40 CONJUNTOS la;; semirrectasS (A , B) (de origen A que pasa por B), S (A , C) y S (C , B) son subconjuntos de r, taÍes que S (A, C) n S (C, B) = AC S (A, C) n S (A , B) == S (A, C) = S (A , B) iv) La intersección entre el conjunto de los números enteros pares y el conjunto de los números impares es vacía, ya que no existe ningún entero que sea simultáneamente par e impar. v) En Z,la interse<;ción entre el conjunto de los números pares y el conjunto de ·. los números pnmos es el conjunto "" "'!¡" ~'.;:;. 2.ó.2. Propied2des de la intersección 1) IDEMPOTENCIA: AnA= A. En efecto x<:AnA ~xeA 1 xeA <"'.ceA II) ASOCIATIVIDAD: (A n B) n C = A n (B n C). Utilizando la definición de intersección, y la asociatividad de la conjunción, se tiene xe(AnB)nC ~xeAnB /1 xeC '*l> ~ (x € ¡ •'. X € B) ,, X € e ~ X € A 1 (x € B ·" X E C) ~ <=> x e A 1 x e B n e ..., x e A n (B n C) III)CONMUTATIVIDAD: A n B = B nA. La demostración es obvia aplicando la definición de intersección y la conmutatividad de la conjunción. l l ELEMENTO NEUTRO PARA LA lNTERSECCION ES EL LNIVERSAL La !nterse;:cion opera sobre eiementos d.~ P (t:l~ ~~ Jc~~if ~ iübre :;ut~nnjun:G:; ::!Z' J:. Interesa determir.ar sí existe un subconjunto de l: cuya intersección .;nr: cualquier otro no lo altere. Tal elemento de P (U) se llama neutro para la intersección, y en nuestro caso es el mismo U. En efecto cualquiera que sea A e U, se verifica A n C =Un A= A Ejemplo 2-ló. La propiedad IV es un corolario del siguiente teorema Ae B ~ AnB=A 1l INTERSECCION DL CONJUNTOS 41 Por tratarse de una condición necesaria y suficiente realizamos las demostraciones de las dos implicaciones: )AeB =*AiiB=A Con la información proporcionada por la hipóte;;is A e B, tenemos que demostrar la igualdad A n B = A. Por defmición de igualdad hemos de probar dos inclusiones: a) Sea X € u tal que X € A n B. Ahora bien x e A n B = x e A :. x e B =>- x e A por defmición de intersecdói!. y !ey !Og1ca p q =p. En consecuencia -~ n Be A i l i La relación (1) nos dice que la intersección entre dos conJuntos está incluida en cualquiera de ellos. b) Sea ahora xeA=>xeA "'xeB =:>xeAnB por la hipótesis y por definición de intersección. Entonces se verifica A e A;, B (2). De (1) y (2) resulta A n B =A. ii ) A n B = A ~ A e B Para demostrar que A e B, consideramos xEA =>xEAnB ~xEA " xeB =>xEB pues por hipótesis A = A n B; hemos utilizado además la definición de intersección y ia iey lógica p ,, q => q. Queca probado así que A e B. Nótese que en i ) a) no hemos hecho uso de la hipótesis, pero sí en b). Esto nos dice que la proposición A n B e A es independiente de toda condición, es decir. es una propiedad intrínseca de la intersección. Ejemplo 2-17. • Demostraremos que :>í dos conjuntos están incluidos en un tercero, entonces ia intersección de los do; primero!; .:s parte del tercero. Esto se ··n~· ;!n d diagrarna @ u A e X ". Be X => A n B C X
- 27. CO:-IJUNTO:-. Lo demostramos así xEAf1B"*XEA A xeB "*XEX 1 XEX "*XEX Hemos aplicado sucesiamente la definición de intersección, la hipótesis y la ley '. ·gíca p " p ~ p. .... ;;Jemplo 2-18. Demostrar que el conjunto de partes de la intersección es igual a la intersección de l1'S conjuntos de partes. . P(A n B) =P(A) f1P(B) En efecto: teniendo f'n f"Henra oue lo~ Plt>mi'ntn~ iiP h~ n<JrtP< rlP "" """;""'" "'"' .b.::OiiJ'-lntos, consídemmo; - • - --- - L · - - -- - •• ---",~---- ---- XePtA0B) .:<>XCAnB ~x·.:A 'XCB ~XEP(A) ~X e P(A) llP(B) XeP(B) ,r Jefínición rie conjunto de partes; teniendo en cuenta i ) a) del ejemplo 2-16, la :ms;tlVidad de la relación de inclusión. la definición de conjunto de partes y la ,;, ¡'imdón de intersección. 2.7. UNION DE CONJUNTOS : i .l. Definición l nión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B. Simbólicamente se indica (' ~ AUB=txeU;xEA v xEBJ Pre5cindiendo del universal AUB={x!xeA v xeB} La unión de conjuntos, lo mismo que la intersección, es una operación binaria definida en el conjunto de partes de U. De acuerdo con la definición, podemos escribir aeAUB~aeA v aeB El --o" utilizado es incluyente. y pertenecen a la unión aquellos elementos de U ~a los .:uales es verdadera la disyunción; entonces un elemento pertenece ; la unión , scb si pertenece a alguno de los dos conjuntos. 1 ' 1 1 r ' 1t j ·ll t ¡ l j ~ í l. UNION 1>!. CONJUNTOS 43 El diagrama correspondiente es A la unión pertenecen todos los elementos de los conjuntos dados. En e1 caso disjunto se Tiene donde la pan.: ~umbreada es Au B. Es claro cr--· todo conjunto está contenido en su unión con cualquier otio. En efecto X € .~ = X € A V X € B => X € A u B en virtud de la ley lógica p => p v q, y de la definición de unión. Entonces A e A u B como queríamos. Ejemplo 2-19. i ) La unión de un par de rectas r y r' contenidas en un plano es el par de rectas. ii ) La unión de dos semiplanos opuestos y cerrados es el plano. üi) Sean los P';ntos A. By C', como en el ejemplo 2-15. iii). Se tiene S (B. A) U S (B, C) = r S(A, B) U S (B. C) =S (A. B) 2.7.2. Propiedades de la unión I) IDEMPOTHiCJA. éualquiera que sea A. se verifica AUA=A Pues xeAUA *'>xeA v xeA~xeA por definición de unión, y la ley lógica p v p <*p.
- 28. ~ 44 CONJUNTOS m ASOCIATIVIDAD.eualesquicraque sean A, By C (A U B) U e= A U (B U e) La demostwción es análoga a la propuesta en el caso de la asociatividad de la intersección, utilizando ahora b definición de unión y propiedades de la disyunción. IH) CONMU'TATIVIDAD. Para todo par de subconjuntos de U, se verifica AUB=BUA rue<; x f A B """ x e . v x e B «> x e B X E A ~ X E B :,,l A IVt ELEME?'íTO :-ECTRO PAR> LA t:NION ES El CONJUNTO YACIO. Es decir, cualquiera que sea A C U, se tiene AU¡p=tj¡UA=A Tratamm sólo el caso A U (ÍJ =A, ya que la conmutatividad nos exime de la otra situación. Sabemos.por .::.7.1. que A CA u <fJ (1) Sea ahonx e A u 1/> ~ x e A v x etp ~ x e A por definici~n de unión, ypor ser falso x e ifJ . Luego AU ¡pe A (2) Por ( 1) y (2) resulta la igualdad propuesta. Ejemplo 2-20. Demostrar A .: B ""> A U B = B. Seguimo; el mismo esquema empleado en el ejemplo 2-16. ) Hipóesis} A e B Tesis] A U B = B Demtlstración) Como cada conjunto está contenido en su unión con cualquier otro. según :2.7.1 se tiene B- B ( >.Jnsid~renlos Jb~)r3 t€..,.,S =>xéA v xEB :;oxi:B v xeB =>xEB por definición de unión. por hipótesis y por la ley p v p => p. Entonces: De (1) y (2) resulta A U B = B ii) Hipótesis) A u B = B Tesis) A e B AUBCB Demostración) x E A ~ x e A U B => x € B !1} (21 " ir l· ! l f• .1 i' t ii l'IWPIEDADES DE L: UNION 45 porque si un elemento. pertenece a un conjunto, entoncés pertenece a su unión con cualquiera y además por hipótesis, ya que AU B = B. Es decir: A e B. Ejemplo 2-21. ¡ ) Demostrar X e A 1 X C B = X e A u B. t.n efecto. sea xEX =xe: v xEB =:>;reAUB le' ~¡u<.: e~ d<:rtú por y ddinlcion ·le ·.míón ií l L3 implka.:ión anterior no admite re~:¡·proca verdader:.L ~ J que pucd.:> darse que X:::: A'.J B. y sm emb;rgo . : .o } X'.::. B. corno puede ':erse en e! diagrama siguiente A~B e iii)Demostrar P(A)UP(B)C PlAUB). L•Jnsidaemos XeP(A)UP(B) =* XeP(A) v XéP(B) => =>XCA v XeB =>XeAUB =X€P(AUB) por definición de. unión. de conjunto de panes. propiedad i ). y definición de .:onJmWJ Je panes .:;.s. LEYES DlSTRIBt:TIVAS La umón e intersección de c01_1junto:. pueden conectarse a través de dos propiedades fundamentales. llamadas leyes distributivas, que se expresan mediante las fórmulas (AUB)f'lC=(Af'l(_')U(BiiC (A n B) u e =(A u C) n <Bu ·e¡ Vamos a verificar, mediante diagramas de Venn. la primera de estas leyes. Los dibujos corresponden al primero y al segundo miembro de la igualdad.
- 29. 16 CONJUNTOS B B (AUB)i-.C (An C) U {B n C) Las demostraciones formales s:m las siguientes: :.~.l. Distributividad de la intersección respecto de la unión x e (A u B) n e ~ x e A u B , x e e ~ (x e A v x e B) " x e e *" ~ (X e A ¡ X E e) V (x E B 1 X € C) ~ X E A n e V X e B n e «> ~ x e1A il C) U (B il C) ?Cr definiciones de intersección y de unión. y distríbutividad de la conjunción respecto de la disyunción. 1.'L!. Distributividad de la unión respecto de la intersección xe(AnB)UC «>xeA:lB v xeC <.:> ~ (X e A " X e B) V X € e «> ~ (x e A v x eC) " (x e B v x eC) ~ ~ x E A u e " x e Bu e ~ «-.H(AUC) n (BUC) Se han utilizado las defilliciones de unión, de ~nterseccíón, y la ley distributiva de la Jisy unción respecto de la conjunción. 2.9. LEYES DE DE MORGAN Estas leyes, de gran aplicación. permiten relacionar la complememación con la unión e intersección. :.9.1. Teorema. El complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersec- .:ión de sus complementos. ' lr}" 1 LEYES DE DE MORCAN Tesis) (A u BY= Aen Be Demostración) x e(A U BY ~ x I/ A U B ~ *> ~(x € A U B) <? ,._ (x € A V x E B) <? ~X r¡ A A X t/. B ~ X € Ae / X e Be <o> ~xeAC n Be 47 Por definición de complemento, de unión, negación de una disyunción, y defmición de intersección. 2.9.2. Teorema. El complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la u;-J.ón de sus CUiiiplcn-.ciitOSa Tesis) (A n Bt::;:: Ae U Be Demostración) X € (A n B)c «> X tAn B <o> <.:> ~ (x E A n B) <.:> -(.ve A x € B) "* $> X tt A V X f B <o> X e Ae V X € se <;> ..,_X € Ae U Be De acuerdo con las definiciones de complemento, de intersección, negación de ·una conjunción y definición de unión. Ejemplo 2-22. Demostrar la equivalencia de las siguientes proposiciones: ACB Be CAe AUB=B AnB =A De acuerdo con lo establecído en el Capítulo l, para demostrar la equivalencia de una cadena de n proposiciones, es suficiente probar n implicaciones. En nuestro caso p~q~r~s~p 1°) ACB~secAc En efecto X ese ~ X t B ~ X f. A ~ X € Ae por defmición de complemento, por hipótesis y defmición de complemento. 2°) BeCAe ~A U B = B Sea x e A u B ~ x e A v :x e B ~ ~ x ; Ae v x e B ~ x ti Be v x e B ~ ~xeB v xeB ~xeB . por definiciones de unión y de complemento, por hipótesis, definición de complemento y ley lógica p v p ~ p. · Así AUBCB (1)
- 30. ........._ 43 CONJUNTOS Por Jtraparte BC Au B (1) ya que túdo conjunto es parte de su unión con cualquier otro. De Cl) y (2) resulta A U B == B 3°) A U l:l = B ~ A n B = A a) Cono la interse~:ción está incluida en cualquiera de los dos conjuntos. se tiene AnBC A b¡Sea xt.:A =>'xeAUB =*"xGB puc> : A·-' B y por hinM.';;i' Entonc~s (l) xeA =xt:A A xeB =xeAfiB Es ·iecir ACAnB ( 2) Por ( 1) y (2) resulta AfiB=A 4°) A n B=A = A C B Es1á demostrado en el ejemplo 2-16 ii ) 2.10. DIFERENCIA DE CONJUNTOS 2.10.1. Dtfinición Diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. A-B= fx xeA t. xtB) ' / E! diagmm:. wrrespondiente e!' B Es dan que A- B i= B- A; es decir, la diferencia de conJuntosno es conmutativa. -·~ "'1{i '( 1 '$e ~ -~ !; 1 l1 1 , .;r DIFERENCIA DE CONJUNTOS 49 Ejemplo 2-23. i ) Considerando como universal al conjunto de los puntos del plano, la diferencia entre la recta r y el segmento AB es la unión de las semirrectas abiertas AM y BN A 13 r 1 - 1 t 1.----~---- --,~ ~-- -- --r- -----. ~i N ¡¡ ) La diferencia entre el .:onjunto de los números pares y el conjunto de 1os números primo:; es el conjunto di' Í•)5 números enteros del tipo :( -~ 2 . k siendo k -=F :t 1 . 2.10.2. Propiedad. La diferenda entre dos conjuntos es igual a la intersección del primero con el complemento del segundo. ' Se trata de probar que A- B =A n B". En efecto. aplicando sucesivamente las definiciones de dtferencia. complementación e intersección. se tiene A-B={xtxeA 11 x~B} 1X € A 11 X € gc } = A n se Ejemplo 2-24. Demostrar BCA <* (A-B)UB=A (A- B) u B =(A n B~) u B ={A U B) n (Be U B)= =(A U B) n U= A U B =A Por 2.10.2, distributividad de la unión respecto de la intersección, por ser Be U B =U. por neutro para la intersección y lo demostrado en el ejemplo 2-20. Ejemplo :!-25. Der:-1ostr:u· 1a distríbutiv~dad de la interse,;ci6n respecto de la difenmd<L .;:·¡;decir A n (B ·~ C) =V B)- (A () En lugar de seguir el método general de probar las dos inclusiones, vamos a · trasformar cada miembro de la igualdad utilizando las propiedades demostradas. Así A n (B..:_ C) = A n (B n ce) = A n B n C'' (l) por 2.10.2 y asociatividad de la intersección. Considerando el segundo miembro y '
- 31. ) lfL·r l.' 50 CONJUNTOS aplicando 2.1O.2,ley de De Morga n, distributividad de la intersección respecto de la unión (A n B) -· (A n e)= (A n B) n (A n e)• = = (A n B) n (Ae U Ce)= = (A n B n Ae) U {A n B n Ce)= = q, U (A n B n Ce) = A n B n ce De (1) y (2) resulta A n (B- C) =(A ílB)-(A ílC) 2.11. DIFERENOA SIMETRICA Sean A y B dos subconjuntos de U. 2.11.1. Defmición (2) Diferencia simétrica de los conjuntos A } B es la unión de los conjuntos A - B y B-A. I.a notación es A 1:!. B =(A- B) U (B- A) y el diagrama conespondiente Otra identificación de la diferencia simétrica es A 1:!. B =(A n Be) U (B nAe) (2) (1) que se deduce como consecuencia inmediata de la definición, teniendo en cuenta que la diferencia entre dos conjuntos es igual a la intersección del prim~ro con el complemento del segundo, según 2.10.2. Resulta también A 1:!. B =(A U B)- (A n B) . (3) '.;{· i:;:- 1i 1 DlHRENCIA SlMFTRICA En efecto A b. B = (A -- B) U (B - A) = (A n Be) U (B n Ae) =-"' =[(A n Be) u B] n [(A n Be) u AC] = =(A U B)ll(Bc U B) n (A U Ac)n (Be U Ae)= =_(A U B) n Un Un (Ae U Be)= = (A u B) n (AeU Be)= (A U B) n (A n B)c = (A U B)- (A n B) ~.' De acuerdo con (2), por ley distributiva de la unión respecto de la intersección, por ser Be U B =A U Ac =U, por ser U neutro para la intersección, por conmutatividad de la unión, por ley de De Morgan y por 2.10.2. Las expresiones alternativas para ía diferencia sunétrica son A 6. B=(A-B)U(B-A)=(AnBc)U(BnAc)= =(A U B)- (A n B) =(A U B) n (A n B)c , 2.11.2. Propiedades de la diferencia simétrica ' I) CONMUTATIVIDAD A A B =(A- B) u (B- A) = (B- A) u (A- B) = B b. A II) EXISTENCIA DE NEUTRO. En P (U), el vacío es neutro para la diferencia simétrica. En efecto Ab.cjJ=(A -cjJ)U(cjJ- A)= A Ulj)= A= cjJ~A III) EXISTENCIA DE INVERSOS. En una operación entre elementos de un conjunto (en este caso el conjunto es P (U). los elementos son los subconjuntos de U y la operación es la diferencia simétrica), interesa determinar si, dado un conjunto, existe otro cuya diferencia simétrica con él es el neutro. Afirmamos que todo. conjunto A e U admite ái mismo A como inverso respecto de la diferencia simétrica. En efecto A 1:!. A =(A- A) U (A....: A)= cjJ U cjJ = cjJ IV) ASOCIATIVIDAD. Cualesquiera que sean A, B y C pertenecientes a P (U) se verifica (A AB) A C = A A(B 6 e) Demostración) (A 1:!. B)t. C = [(Aó B) n e:} U l(AA By: n C]"" = { [(AnBe)u(AcnB)]ncc} u {(AUB)Il(AnBncnc} =(Anscnce)u(Aensncet.• !f•A.uBtu(AnB)]nc} "·""·..,.,..,~~-'~:m..li~"""'""' ~-
- 32. 52 CONJUNTOS =(A nBe n ce) U (Ae n Bn ce) U (Ae n Be n'C) U(A n Bn C') = =(A n B n C) U (A nBe n Ce) U (Ae n Bn ce) U (Ae n Be n C) (1) En este desarrollo se han utilizado las consecuencias de la definición de diferencia simétrica, leyes de De Morgan, distributividad de la intersección respecto de la unión y la conmutatividad. Desarrollamos ahora el segundo miembro aplicando la conmutatividad de la diferencia simétrica y utilizando el resultado anterior Aó.(B LlC) = (B LlC)l!.A = =(B n C n'A) U(Bncc nA') U(Bc n C nAe} U(Bc n cenA)=. =(A n B n(')U(Ac n Bn c.::)U(Ac n s<=n C) U(An Be n C') De (1) y (2) resulta (A ó. B) ó. C = A ó. (B ó. C) Ejemplo 2·16. i ) La diferencia simétrica entre los intervalos reales {1 ,oo)6(-oo,3]=(3 ,"")U(-oo,l) ii) En cambio (1 , C<J) 6 (- oo, 3) =[3 , oo) U(- oo, 1] Ejemplo 2-17. Demostrar la ley cancelativa de la diferencia simétrica, es decir En efecto Ejemplo 2·28. A6B=Aó.C ~B=C Aó. B =A ó. C ~ A ó. (AL B) =AL (A 6 C) => => (A Ll A) Ll B =(A Ll A) Ll C ""' =>9t.B=i;'>t>C => B=C (.:) Demostrar la distributividad de la intersección respecto de la diferencia simétrica. Tesis) (A Ll B) n C = (A nC) 6 (B ri C) . Demostración) Desarrollamos los dos miembros por separado (A Ll B) n C =[(A n Be) U (Aen B)] n C = = (A n Be n C) u (Ae n B n C) (I) .~ '~; i~ •¡:¿ 1"";; ·~ t11 PRODUCTO CARTESI/NO DE CONJUNTOS (A n C) b. (B n C) =[(A n C) n (B n qe] u [(A n Cf' n (B n C)] =_ =[(A fi C) n (Be U ce)] U [(Ae U Ce) n (B n C)] = ::;;; (A n C n Be) U(A n C n ce) U (Ae n B n C) u (Ce n B n C) = =(A n Be n C)U(/)U(Ac n Bn C) U(/)= =(A n Be n C) U(Aen B n C) (2) <'...-· ~>- Hemos utilizado las alternativas de la definición de diferencia simétrica, la distributivídad de la intersección respecto de la unión, una ley de De Morgan, la conmutatividad de la intersección, la definición de conjuntos disjuntos y la neutralidad del iJ> para la unión. 2.12. PRODUCTO CARTESIANO 2.12.1 Par ordenado Dados dos elementos a y b interesa formar un con¡unto que dependa de dichos elementos y del orden en que se consideran. Definición Par ordenado (a ,b) es el conjunto cuyos elementos son {a } y {a ,b} (a , b) = { { a} , { a , b } } a y b son la primera y la segunda componentes del par ordenado. En particular se tiene (a , a)= { { a} , {a,a } } = ) a} J Si a :F b, entonces (a, b) :F (b ,a) romo ejercicio la siguiente propiedad: dos pares ordenados son iguales si y 5Ólo si tienen ws componentes respectivamente iguale!;, 2.12.2. Defmición Y-. Proqucto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y la segunda a B. En símbolos A X B = {(a, b) Ja€ A A bE B}
- 33. L" 54 COlJUNTOS En particular AX A = A2 = { (a , b) /a E A 1 b E A} Ejemplo 2·29. ) Producto cartesiano de A = { 1 , 2 , 3 } y B = { 1 , 2 } A X B= { (I , 1), (1 , 2), (2 , 1), (2. 2) , (3 , 1) , (3 , 2)} ii ) Por ser pares ordenados, los elementos del producto cartesiano de dos conjuntos pueden representarse mediante puntos del plano cuya abscisa y ordc&ada se~, respecli·arnentc~ !a prh-ncra y· Li ~gunda ;.;Oinpuncntc. Q} )> 21 / ffi ffi ' AX B B 2 3 A t 11¡~ Los vértices de la cuadrícula obtenida son los elementos del producto cartesiano. 1 iii) El producto cartesiano no es conmutativo, pues Ejemplo 2-30. (3 , 1) € A X B y (3 , 1) f B X A = =AXB:;é:BXA Sean los intervalos cerrados de números reales Entonces [a , b] = { x € R la <.x <. b} fc:dr:::{ j€ R 1f:<.y <.d} [a,b]X [c,dJ={ (x,y}eR2 /a<.x<.b " c<.y<.d} es el rectángulo cuyos lados son dichos intervalos. i l'RODUCTü CART""SlANO DF CONJUNTOS :;;-. di~ el~ a b Ejemplo 2·31. Sean A= { x € R / ixi < l } y B=R Entonces AXB={(x,y}€R2 /-l<x<l "yt:R} es la faja abierta de la figura • -l /
- 34. 56 CONJUNTOS Ejemplo 2·32. Elproducto cartes'iano es distributivO respecto de la unión En efecto (A U B) X e= (A X C) U (B X e) (x , y) € (A U B) X e <;:? x € A U B A y € e ?? ~ (x e A v x e B) 11 y e e <* .::;. (;¡; é A y f C) V íx E B '' y E C} ~ ~ ÍX, y) E A XC i (x .y) € B X ( ~ ~{X. VH (X C) lB:< () Hemos Otplicado. sucesivamente: definiciones de producto cartesiano. de unión. distributi'<idad de !a conjunción respecto de la unión, definiciones de producto cartesiano y de unión. El producto cartesiano de tres conjuntos se define mediante A X B X ( =tA X B) XC Sus elementos son ternas ordenadas. Como caso particuiar, se tiene A3 =A X A X A= { (x ,y, z) ix E A " y E A f. z E A} En este caso, la representación es espaciaL 2.13. OPERACIONES GENERALIZADAS Sea { A1 , A2 , ••• , An} un conjunto finito de conjuntos; en este caso podemos formar la unión e intersección de dicha familia, es.decir 11 Á: U A~ U ... u A" ::::: U A, i= 1 11 A¡ A;: t, "' n11 i"'! donde los segundos miembros denotan abreviadamente tales operaciones. Si consideramos 1, = {1 , 2 •.... , 11 } , entonces escribimos UA¡::: i FIn nA¡ ¡e In 11 UA¡ i =1 ll nA¡ i= 1 Jr ~: ~ ~ ll. OPERACIONES GENERALIZADAS 57 I, es un intervalo natural inicial (conjunto de los n primeros números naturales) y se llama un conjunto de índices. Si el conjunto de índices 1 se identifica con N, es decir, 1= { 1 , 2, 3, ... , 11, .•• }, entonces la familia de conjuntos{A1 , A2 , .•• , A,, .. } se llama sucesión de conjuntos y la notación es UA;= i E i nA,= ~ ('; ! UA;i = 1 "' nA, '= 1 También puede abreviarse la notación de la familia de conjuntos { A1 , A2 , ... , An } = {A¡ } i El "' ', 2.13.1. Sea A; ~ . ' ,.,.' : 1 una familia de conjuntos. /)efinición Unión de la familia {" "'¡ ' ~A; J ¡" 1 es el conJunto .uA¡ = { X / 3 i E l ( X € A¡ } 1 E I Es decir, un elemento pertenece a la unión de la familia si y sólo si pertenece a alguno de los conjuntos de dicha familia. 2.13.2. Definición Intersección de la familia {A;} í" 1 es el conjunto nA,={ xlxEA¡,Vi} i E l '• 1 n elemento pertcne¡;e a la mtersección si y sólo si pertene1:e a todos !os conJ~mtc!l d~ dk:h.::t fJmili:.L P:ua las umones .: intersecciones generalizadas suhsísten la:. propiedades del .:a:n bínarío. En particular las leyes de De Morgan son ( UA;)" = tE I J nA"i e 1 ' .(nA;)e= .'El ') UA;" i. 1
- 35. liiroo.- SR CONJUNTOS Ejemplo 2·33. Operacionescon intervalos reales i) U [i-I,i)=[O,l)U[l,2)U[2,3)U .... =i = 1 = R' U {O ) =[O,oo) donde R ~ denota el conjunto d~ los números reales positivos. ¡¡) ñ(- ~, ~) =(-l,I)n (_ ~, ~) n .... = {o} i = 1' l 17 - _} "' iii) "" ~ ¡r0. n .... = q,=(0.1)·' (o.;) (l (o.J..)' _, 3.1 2.14. UNIONES DISJUNTAS En Probabilidades se utilizan uniones de conjuntos disjuntos y en lugar de utilizar las notaciones A u B para el caso A 0 B = rp es usual escribir A+B símbolo que indica una unión disjunta. Si se tiene una unión arbitraria de conjuntos, ésta puede expresarse como unión disjunta de la siguiente manera AUB =A+Ac na A eB Consideremos ahora la unión de tres conjuntos A1 , A2 y A3 ; la podemos expresar como unión disjunta mediante 3 UA¡ =A1 + Ai n A2 + Ai n A~ n A3 i= 1 OPE_RACIONES GENIRAL!ZADAS 59 Ind'icando con el símbolo ¿;la unión en el caso disjunto, la expresión anterioren el caso de una sucesión de conjuntos puede escribirse así UA; = A1 +i: A~ nA~ n ... nA~ 1 n A1 i e N J = 2 J· Se trata de probar esta igualdad. a) El segundo miembro es una unión disjunta. Sean dos términos de la sumatoria con i-::/= j, por ejemplo: i <j. Se tiene (Afn ... nAf. 1 nA¡)n(A~n ... nA¡n ... íAf. 1 nA¡)= = ¡JI pues A¡ n Af = rJ> b) Todo elemento del primer miembro pertenece al segundo. Sea x € U A¡ => 3 i € N x € A¡ ie N Si k es el menor entero positivo para el cual x € A,.. se tiene x t A1 U A2 U ... U Alr-l ya que x no pertenece a ningún A¡ con i <.k.·· Luego xe(A1 UA2 U ... UA~t.dc = =xe Ai nA~n n Ai.1 y como x e A~e=- =>xeA~ íA~n ... íAi.1 nA,. y en consecuencia x pertenece al segundo miembro. e) Sea ahora un elemento del segundo miembro. Por ser una unión disjunta. dicho elemento pertenece a uno y sólo uno de los términos. es decír 3 k / x E A~ n A~ n ... í Ak. 1 n A11 =- '* x E Ak para un único k=> =>xE UA; ieN
- 36. TRABAJO PRACTICO 11 2·34.Se cons1dera un experimento aleatorio consistente en lanzar tres monedas. Si una moneda cae cara. se anota 1, y si cae sello se anota O. Formar el conjunto cuyos eleme~tos son los posibles resultados del experimento. 2-35. Con nlación al ejercicio anterior, determinar por extensión los siguientes sub- conjurttos: S1 : se dan más caras que sellos. S2 : s~ obtienen al menos dos caras. S3 : se obtiene el mismo resultado en las tres monedas. 2-36. Con los conjuntos defmidos en 2-30, obtener: S~ ;S2 -S3 ;S¡ ns3 ;(S2 US3 )nS¡ 2·37. Sean los conjuntos A= { x e Z ! ixí .;;; 3 } B r ¡::z· :z<~., =~x- ¡X ') detenninar A í1 B , A U B , A- B , B- A , A !:.. B 2-38. Dados ~ 1 l 1 1 A=~ xeR :x--1~" >L 1 2 - ¡ B =;,.FR L.~·¡<'. ·" - ' ~~'- . ~ Obtener A n B . Au B . B" 2-39. Siendo A = { x e R 1x 2 - 1 = O} B = {x e R /lxl ~ 1 } obtener A n B , (A U B)<' TRABAJO PRACTICO Il A= { x€Z/Ix1<4} y B = {x E Z / xi 6 } determinar 2-40. Si AUB, A íB, A-B, B-A, AllB 241. Fonnar todos los rubconjuntos de A= { (0,0), ( 1,0)} 2-42. Siendo A~ {a .b) , obtenerP(A 2 ) ' .=' 2-H Demostrar (A n B) CA C (A U B) Z-44. Demostrar ACB A ACC-=;> AC(BnC) 61 2-45. Demostrar que si dos conjuntos están incluidos en un tercero, entonces su unión también lo está. 246. Demostrar AC<f>=>A=t/J 247. Demostrar A- B = A- (A n B) = (A U B) - B 2-48. Demostrar (A u B)- C =(A - C) U (B- C) 249. Demostrar (A nB)- C =(A- C) n (B- C) 2-.W. D~:rnostrar -B'!-C'""A-·íB 2·51. Demostrar A -tB -C) =(A- B) U(A n C) 2·52. Demostrar (A- B)- CC A- (B- C) 2-53. Demostrar A U(B -C) =(A U B)-(C- A)
- 37. ÍJ2 2-54. Demostrar '2·55. Demostrar 2-56.Demostrar 2-57. Demostrar 2-58. Demostrar 2-59. Demostrar 2-60. Demostrar 2·61. Demostrar :J-62. Demostrar 2-63. Demostrar 2-64. Demostru 2-65. Demostrar 2-66. Demostrar i ) uc =cp ii) U = cpc J-6 7. Demostrar CONJUNTOS A= (A n B) u (A n Be) Be A ~ (A- B) U B = A (A- B) U B =A U B AñB=if>~A=B AXB=t,b ~A=¡f) V B=t,b ACB A ecD~AXCCBXD {A ,... B) X e =(A X e) ! (B X C) (A- B) X e ::::; (A X C)- (B X C) i) A e B =~> (A U C) e (B U C) ü) A e B =~> (A n C) e (B n e) ACB 1 Aee ~ Ae(BnC) A e e " B e e - (A u B) e e AnB=¡J¡ 11 AUB=e =A=e-B ili) AnAc=I/J iv) AUAC=U AUB=U 1 AnB=cp~B=Ac H ~ 2-68. Demostrar TRAUAJO PRACTICO 11 i) A-(A- B)= A n B ii) A U (B -A)= A U B 2-69. Demostrar la equivalencia de AUB=U y AceB 2-70, Demostrar la equivalencia de A C Be y A n B = <P 63 2-71. Si A tienen elementos escribimos e(A)= n (cardinal de A es igual a n). Si A yB son finitos, entonces el cardinal de la unión es igual a la suma de los cardinales, menos el cardinal de la intersección, es decir e(A U B) = e(A) +e (B)- e(A n B) Demostrar e (A U BU e) = e (A) +e (B) +e (C)- e (A n B)- -C (AnC)-e (B n e) +e (A n Bn e) 2-72. Sean tJ *t,b y A una familia no vacía de subconjuntos de U, es decir:·A e P(U). Por defmición, A es un álgebra de Boole de partes de U, si y sólo si A es cerrada para la complementación, para la unión, y contiene al vacío. Es decir i ) A € A =~> Ae e A ü) A¡eA,iel =~> U A¡€A i li 1 ili) q, e A donde I denota un conjunto de índices a lo sumo numerable. Demostrar que A contiene a U, y que es cerrado para la intersección. 2·73. Sean: S1 =F rp, A~ B dos álgebras de Boole de partes de !2. Demostrar que A 11 B es un álgebra de Boole.
- 38. i¡¡,.., Capítulo 3 RELACIONES 3.1. INlRODUCCION Sedes:molla aquí un tema de fundamental importancia en el esquema de la mat!!mát1ca actual: las relaciones binarias. Mediante ellas es posible vincular elementos de dos conjuntos, no necesariamente diferentes, y según sea el tipo de conexión se ttenen las distintas clases de relaciones. En este capítulo se estudiarán con adecuado detalle las relaciones de equivalencia y de orden. 3.2. RELACIONES BINARIAS Sean ;. y B dos conjuntos y P (x ,y) una propiedad relativa a los elementos x e A e y e B, en ese orden. Esto sugiere naturalmente la consideración del producto cartesiano AX B, y la determinación de los pares ordenados (a , b) para los cuales P (a , b) es una proposíc1ón verdadera. De este modo queda definido un subconjunto R e AXB, llamado relación. Para fijar ideas consideremos el conjunto A formado por las personas a. b, e y d. y el conjunto B cuyos elementos son las posibles notas semanales obtenidas en una asignatura, L 2, 3, 4 y 5, correspondientes a insuficiente, aprobado, bueno. distínguid0 ;'sobresaliente Ederir ..={ a.b,c.J) y B -f¡ "í _, 4 .;!, - t. '- '.,' '- J Los elementos de A quedan vinculados con los del conjunto B mediante la propiedad P (x, y): x obtuvo la nota y SupGngamos que la situación al cabo de una semana queda especificada mediante el siguiente diagrama 1 t r RELACIONES IllNARIAS 65 Esta relación entre A y B está caracterizada por el conJunto de pares ordenados R = {(a, 2), (a, 4), <p, 4). (d, S)) como e no tiene ningún correspondiente en B. consideramos que no ha sido clasificado en la semana. Se tiene (x ,J')€R ~ P(x ,y) es V Definición Relación entre A y Bes todo subconjunto del producto cartesiano AXB. Ensímbclos Res una relación entre A y B <* R C AX B Para indicar que un par ordenado (a • b) pertenece a la relación suele escribirse a R b, lo que equivale a (a, b) eR. . 3~3. REPRESENTACJON DE RELCIONES Sea R una relación entre A y B. es decir, R C AX B. En el caso de conjuntos finitos se utilizan los siguientes tipos de representación: i ) Mediante diagramas de Venn, como en el ejemplo anterior. ii ) Mediante un gráfico cartesiano. En este caso se consideran como abscisas los elementos del primer covJunto, y como ordenadas los del segundo. Mediante paral.:las a los ejes trazadas por los puntos de división se forma una cud.drícula cuyos vértices son los elementos del producto cartesiano AXB; de éstos se señalan los que pertenecen a R.
- 39. RELACIONES Considerando el ejemplopropuesto en 3.2, se tiene: s.f. l 1 1 1 :;/' tJ · AXB 4 J 1{+ • ,.e 1 : 3 1 1 1~ /1 1 1 1 , R 2 + 1 ,. / 1 1 1 1 iii) Mediante un matriz. Sobre una corumna se anotan los elementos de A, y sobre una fila los de B. En el ángulo superior izquierdo, el significado de la relación. Se asigna a cada elemento del producto cartesiano AXB un 1 o bien un O, según que el par ordenado correspondiente pertenezca o no a la relación. Con el mismo ejemplo, resulta R a !J. e d o o o o 1 o o o 3 o o o o 4 ¡ o o 5 o o o 3.4. DOMINIO. IMAG~N, RELACION INVERSA Consideremos una relaciónR entre Jos conjuntos A y B. Si (x • y) e R diremos que y es una imagen de x a través de R. y que x es un ::mtecedente o preimagen de y por R. Definición :~ Dominio de R es la totalidad de los elementos de A, que admiten imagen en B DR = { x € A / (x ,y) eR } :it "* "·j t· *¡, ~ ,. i:':.,. ~,;. ¡,.., i~<:. i RELACIONES lNVL:.RSAS 67 Definición / Imagen de R es el conjunto de los elementos de B, que admiten un antecedente en A jR = {Y e B / (x ,y) e R } Definición f. Relación inversa de Res el subconjunto de BXA definido por R- 1 ={ (y,x)f(x,y)eR} Ejemplo J-1. Con relación al caso estudiado en 3.2, se tiene ' DR= (a,b.d} ' -' IR= { 2,4, 5} La relación inversa es R- 1 = ( (2 ,a).(4 ,a).(4.b),(5 ,d)} - y corresponde a la propiedad P (y. x) y es la nota obtenida por x El gráfico cartesiano de esta relación inversa es di /1 1 1 1 f+) c¡1 1 1 IUI ~R-1 b+, 1 1 1 ,, 1 1 1 a~ 1 r• /'P: +J 1 1 2 3 4 5
- 40. 68 RELACIONES 3.5. COMPOSICION J.?ERELACIONES A partir de las relaciones R e AXB yS e BXC, es posible definir una relación entre A y C, llamada composición entre R y S, mediante S_oR = { (x,z)/3yeB A (x~y)eR 11 (v,z)es} La composición de relaciones admite las siguientes propiedades: i ) Asociatividad. (To S) R = 1" (S o R ) ií ) La relación inversa de la composición es igual a la composición de las relaciones inversas, en orden permutado. (SoR)-1 =R-1 oS-1 Las demostraciones quedan como ejercicios. Ejemplo 3-2. Consideremos los siguientes conjuntos y relaciones: A= { -1,0,1} 8={1,3} e= {3/2, s¡2 ,o} Re AXB está defmida por: la imagen de x es su cuadrado. S e BX C caracterizada por: el correspondiente de y es su mitad aumentada en 1. >~ j A Se tiene: -~ 8 - --~--s:-x . R= { (-I,l),o, o} S= { 0' ;) '(3' ;) } SoR= { (-1, ;) , 0, ;)} .: ·:· COMPOSIClON DE RELACIONES La relación compuesta S o R C AXC está determinada así: . x2 (x, z) € S o R#-z =-- +12 . 3.6. RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONlÚNTO 69 Sea R una relación entre A y B, donde B = A. En este caso la relación está definid~ en A. y se identifica con un subco~iunto de A2 = AX A. Definición Res una relación definida en A, si y sólo siR e A2 • Como todo subconjunto de A1 es un elemento de las partes de A2 , podemos decir: R es una relación defmida en A si y sólo siR eP(A2 ) 1 Es claro que el conjunto vacío y el mismo A2 son relaciones definidas en todo conjunto A, ya que son subconjuntos de A2 • Si A tiene n elementos, entonces A1 tiene nl elementos, y el conjunto de partes de A7 tiene 2<" •> elementos, es decir, existen 2<" 2 > subconjuntos de A2 • o lo que es lo mismo, relaciones en A. Ejemplo 3·3. Se trata de formar todas las relaciones que es posible defmir en el conjunto A= ( a1 .a2 } ' . a2-J--.:- / • • "- ~ ' + • JQ¡ " a¡ a2 -~.:~..,-
- 41. ~'{5 RELACIONES Detem1inamos primero elproducto cartesiano .r- ,----.... (""'--. . _,...----...._ A 2 ={ (~1 ,a¡),(a1 ,a2),(a2 ,a¡),(a2 ,a2)} Como A 2 tiene cuatro elementos, existen 24 relaciones en A, y son las siguientes: Ejemplo 3-1. Rt = <P • R2 ={(;¡,a¡)} .R3 ={ (a1 ,a2 )} R. = [ la~ .a,)• l•"'"J R, ::[(al ,a:)}~ l.. e ,1 r ! ~ R6 =¡l (a 1 ,a¡},(a1 ,a2 ) ¡ R, ={{a¡ ,a1 ),(az ,a¡)} r .., R 8 =(a¡ ,a¡),(az ,a2 ) j R9 ={(a¡ ,a1 ),(a2 ,a1 )} Rw ={(a¡ ,a2 ),(a2 ,a:;¡)} Ru ={ (a2 ,at),(a2 ,a2)} Rn ={ (a1 ,a¡),(a1 ,a2).{a1 ,a¡)} R13 ={ (a1 ,at),(a1 ,a2 ),(a1 ,a:z)} R14 ={ (a1 ,a¡),(a2 ,a1 ),(a2 ,a2 )} R15 ={ (a1 ,a2 ),(a2 ,a¡),(a2 ,a2 )} Rt6 = A2 Gráfico cartesiano de la relación definida en R. mediante (x,y)ek <*x2 =y2 (1) La relación es un subconjunto de R2 , y pertenece~ a ella los pares ordenados de números reales que satisfacen a (1). Ahora bien ...."'(2 = <*x 2 -y 2 = 0<->(x +y) .(x-y)= O '¡ ! ·~ ' i 1 J '~ 1 '1 r f RELACIONES EN UN CONJUNTO 71 Sabemos que en R, si el producto de dos factores es cero, alguno de los factores es nulo, es decir x+y:=O v x-y=O<:>y=-x v y=x Cada una de estas ecuaciones es la representación analítica de una recta del plano; en este' caso, se trata del par de bisectrices del sistema de ejes. · Si A = { (x ,y) / .V =-x} y B ={ (x ,y)/ y= x} B ----------~----------X entonces la relación R = { (x , y) 1x 2 = y 2 } =A U B, es decir es la unión de ambas bisectnces. 3.7. POSIBLES PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO Sea R una relación defmida en A, es decir, R C A2 • Dicha relación puede clasificarse de acuerde1 con las siguientes propiedades: 3.7.l. Refiexividad Res reflexiva <:> :1 x : x eA ===- (x , x) e R la reflexividad de R se caracteriza porque todo elemento de A forma pareja consigo mismo, y el par así obtenido pertenece a la relación. Uamamos diagonal de A2 al conjunto D = { (x. x) ¡ x e A} es decir, la diagonal de A2 es el conjunto de los pares de componentes iguales. La reflexividad se tradu- ce en el hecho siguiente: la diagonal de A2 está contenida en la relación, es decir R es reflexiva <* D C R
- 42. 72 Rl·.LACIONES 3.7.2. Noreflexividad Consiste en la negación de 3.7.1. R es no reflexiva <* 3 x ! x € A r, (x , x) tf R La no reflexividad de R queda especifit:ada por la existencia de al menos un elemento de A que no esté relacionado consigu mismo. En un diagrama cartesíano ocurre que. la diagonal de A2 no está contenida en la relación, o sea: R es no reflex¡va 4-:• R D ~ D :l.7.3. Amflexividad Res arreflexíva ~ Y x: x e A => (x. xJ eR Es decir, ningún elemento de A está relacionado consigo mismo. o lo que es igual, ningún elenento de la diagonal de A2 pertenece a la relación o equivalentemente R es arreflexiva ~ R n D 'e"' 1/J Es claro que toda relación arreflexiva es no reflexiva. Ejemplo ·3·5. En A = { 1 , 2 , 3 } consideramos las siguientes relaciones: i ) JI.= { (1 ' 1), (2 , 2), (3 '3), (2' 3)} De acuerdo con la definición dada en 3.7.1., resultaR una reladón retlexiva 31 1 1 /. • l 2 11 V • r i ~¡~CJz1 i ; 3 ii) E~ cambio S= { (1., 1), (2 , 3) , (3 , 2)} es no reflexiva, pues 2 € A A (2 , 2) tf R ¡ i '1 .¡.. l 1 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES 73 31 /1 ,,,, 1 21' 1//1 ::~1: 1 S ! 3 iii) T ={ (1 , 2), (2 , 1), (3 , l) . . ) Es arreflexiva, ya que ningún element'o de A fonna pare1a consigo mismo en !::. rdadón. 3.¡ / ¡ 1 1 ..., 2.¡ 1 {. '...: 1 1 T 2 3 3.7..t. Simetría R :;s snnetnca ~ v x ~ t re , R= r? Es decir, si un par pertenece a la relación. el par que resulta de pennutar sus componentes también pertenece. y en consecuencia el diagrama cartesiano es simétrico respecto de la diagonal de A 2 • 3.7.5. No simetría Es la negación de la simetría. R es no simétrica ~ 3 x 3 y 1(x ,y) e R il (y , x H R
- 43. 14 RELACIONES La no5imetría no impide que dos pares de componentes permutadas pertenezcan a la relación, pC'ro exige que haya al menos un par en la relación, y que el que resulta de permutar sus componentes no pertenezca a ella. 3.7.6. Asimetría Res asimétrica *> V x Vy: (x ,y) eR :;. (y ,x) t R En este caso debe ocurrir que si un par pertenece a la relación, entonces el que se deduce por permutactón no pertenece. Ejemplo 3·6. En A = { l . ~ , 3J clasificamos desde este punto de vista las relaciones: i) s= {n.n.q,J),(3,2)} es simétrica. ü) T={(l.2),(2,I),(3,l)} es no simétrica. ya que (3,l)eT A (l ,3);T iii) (J = { (l • 2) . (l '3), (2 '3)} es una relación asimétrica en A. 3.7.7. Transitividad Res transitiva * V x V y V z: (x e R 11 (y , z) e R =;> (x , z) e R Es decir, si un elemento está relacionado con otro (no necesariamente distinto), y ésre está relacionado con un tercero, entonces el primero está relacionado con el tercero. 3.7.8. No transitividad Por ser la negación de la transitividad. decirnos Resnotransitiva -*3x3y3z/(x,y)eR 1 (y,z)eR 11 (x,z)ltR 3.7.9. Atransitividad -- Resatransitiva * VxVyVz:(x,y)eR A (y,z}eR =(x,z)iR Ejemplo 3-7. Considerando el mismo conjunto A de los ejemplos 3-5 y 3-6 se tiene: i ) R y U son transitivas. 1 1 '1 1~ ~i PROPII IJADFS DE LAS RELAClONFS ii) V""' { (1 , 2) , (2 , 3), (1 , 3), (3, 1)} ·es no transitiva, ya que (1,3)eV 11 {3,l)€V A (1,1)4V iii) Jt! = { (1 , 2), (2, 3)} es atransitiva, ya que (1,2)eW 11 (2,3)eW=;.(l,3),e'W· 3.7.10. Antisimetría Resantisimétrica *>VxVy:(x.y)eR A (v,x)eR :;.x=y 75 En c~i.z l.,d:)ú, S~ dus pares de ~0&1pcnc~tes pe~u.tad:t~ perten~r.e~ 3 h~ re1adón, entonces dichas componentes se identifican. De este modo, ia relación R del ejemplo 3-5 es antisirnétrica, pero no lo es S puesto que es f la proposición C,3)eS" (3.~)€5=>2=3 Ejemplo 3-8. En R: se ..:onsidera la relación R definida por IX ' .v) € R <* X -y € z (l) Estamos interesados en la clasificación y representación de R. La definición ( 1) se traduce en estos términos: dos reales estan relacionados, si y sólo si su diferencia es un entero. i ) Reflexividad. aeR =>a-a=OeZ =;>(a.a)eR ii ) Simetría. (a,b)eR =>a-beZ =>b-aeZ :;.{b.a)eR Por ( 1), porque si un número es entero, su opuesto también lo es, y por {1). iii) Transitividad. (a , b)·e R 1 1b . e) e R => a- b eZ "· b - e e Z =;> =?(a.:_b)+(b-c)EZ :!J,a-ceZ =?(a.c)ER iv) R no es antisirnétrica, pues (3.2)eR il (2:3)eR=>2=3esF v ) Gráfico de R. A R pertenecen los pares de reales (x, y) tales que x-y € Z Ahora bien X- y € Z =;>X- y= kfk € l "* 1' =X- k con k el
- 44. ~-- <6 RELACIONES rara cadlentero k se tiene una recta paralela a la primera bisectriz. / )-- A /'""'v YI. ?' 'i- ?':) / ~>fr..... __ -// //'- ~~- ///,./,,~./ // X La relacJón consiste en todos los pares (x, y) e R2 pertenecientes a la familia de rectas, es decir: R = U { (x, y) € R2 /y= x-k} keZ· - Ejemplo J-1, Sea A ur conjunto. Como el vacío es parte de cualquier otro, la proposición ¡pe A2 es verdader1 y, en consecuencia, 1/J es una relación en A. Tal relación verifica las propiedades: i ) Arreflexividad. La proposición V 1: _ X t 1 ""'" e~ .X) é ,;¡ es verdadera, ya que el consecuente de la implicación es V_ ii ) Sünetría. Se verifica por ser V !a proposición V X V y : (x , y) € 1/J => (y , X} € 1/J iii) Ttansitivídad (x,y)e¡fJ A (y,z)€1/1 =>(x,z)eq, es V porque el antecedente es F. t 1 RELACIONES DE EQUIVALFNCIA n _iv) Como la implicadón (x,y)ecp A (y,z)ecp =>x==y es verdadera por tener el antecedente falso, la relación es antisimétrica. Es decir, la relación vacía definida en un conjunto, es arreflexiva, simétrica, transitiva, y antisimétríca. Si A == </;. entonces la misma relación es además reflexiva, pues V x : x € A => (x . x) E tf> >-erdader:L 3.8. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Las relaciones binarias definidas en un COI}junto, que verifican las propiedades reflexiva. simétrica y transitiva, se llaman de equivalencia y desempeñan un papel importante en álgebra. 3.8.1. Concepto de relación de equivalencia Deji'nici'ón La relación R C A2 es de equivalencia en A si y sólo si es reflexiva, sinétrica y transitiva. Por razones de simplificación se utiliza el símbolo -. y los elementos de todo par perteneciente a la rela~.:ión se llaman equivalentes. Ll nutacH.1n a -h se iee ··a es equivalente a b". y significa que e! par (a . b l pertene- ce a la relación. En este sentido, las relaciones de equivalencia satist'lcen: i ) REFLEXIVIDAD. Todo elemento de A es equivalnte a si mismo. Yx : x f A => x -x ii) SIMETRIA. Si un elemento es equivalente a otro. entonces éste es equivalente al•primero. V x V y _x -,· ""' _l. -x ~H·r TR..!S!Ti.!D:-0, 2~ u:-1 eieme!lto e~ J vtr;.;~ :·/ és!:; equ¡valente a un tercero. entonces el pnmero .::s equivalente <ti ier~'erü. 1 X V V ·.¡ :: . X -_v 1 V -:: ~ X -: Ejemplo 1·10. En A= 1' 1 - ~ 1 • 2 •3 ) • la relación ' ) - == { (1 . 1). ( 2 . 21 . L:¡ . 3) . (1 . 2), (2 , 1) }
- 45. "'jf; RELACIONES C$ deequivalencia. Clasificamos las siguientes proposiciones: l -I V 1 ""2 V 2 -2 V 2 -1 V 3 -3 V 1 -3 F 3 -1 F 2-3 F 3-2 F En virtud de las tres primeras queda asegurada la reflexividad. En cuanto a la simetría es suficiente ver que 1-2 => 2 -1 es V Más aun. si el antecedente es falso la implicación es verdadera l-3 = 3 -l Para la transitividad, descartando los casos de a."l.tecedente falso, es suficiente verificar: 1 -1 1 1 -2 =1 -2 V l -2 1 2-1 =1 -1 V 2-1 11 1-2 =2-2 V l --1 1 i -t =1 -l V El diagrama de Venn es ~O, donde cada arco orientado está asociado a un par perteneciente a la relación. En fom1a ..-anesiana: ;;;::::::----~---.~ ¡ 1 ., CLASES m· 1 (_)UIVALENCIA 7'J 3 J r 1 1 1•1 -. 211 q • '1 1 2 3 3.8.2. Oases de equivalencia y conjunto cociente Sea - una relación de equivalencia en A*rp. Un problema de interés es la determinación de todos los elementos de A qde son equivalentes a uno dado, es decir. que forman pareja con él. La respuesta conduce en cada caso a un subconjunto de A. llamado clase de equivalencia del elemento. Definición Clase de equivalencia del elemento a e A es e! conjunto de todos los elemerltos de A equivalentes a a. Ka={ xeA!x-a} Con relación al ejemplo 3-10: K1 = { 1 . 2 } =K: K3 = { 3} Es decir, hay dos clases de equivalencia, que son subconjuntos de A. Kt
- 46. f:O RELACIONES Podemos avanzarun poco más y preguntamos por el conjunto cuyos elementos· son las clases de :quivalencía: K 1 y K3. Para demtarlo, podemos elegir un único elemento en cada clase de equivalencia, digamos 1 y 3, con lo que queda caracterizado un conjunto de índices I ={1 , 3) , de modo tal que a cada elemento de éste le está asociada una clase de equivalencia. El conjunto fornado por las clases de equivalencia se llama conjunto cociente de A por la relación de e~uivalencia, y la notación es ~ = {K¡ ,K3 } o bien, medi.mte el conjllnto de índices A ' ·1 - = i K lue;-1'...... t, u ~ . f Las clases de equivalencia constituyen una partición de A, en el sentido siguiente: son no vacías, disjuntas de a pares, y su unión es A. Este concepto será precisado en los párrafos siguEntes, y es un hecho común a toda relación de equivalencia definida en un conjunto r:o vacío. Ejemplo 1-l.A. En el conJmto Z de los enteros introducímos la relacíón de congruencia módulo n. mediante la s~uiente Definición Dos enüros son congruentes módulo n, si y sólo sin es divisor de su diferencia. En símbolcs a y b son congruentes módulo n ~ n 1a- b Adelantánd•mos al hecho de que la congruencia es una relación de equivalencia podemos escritir a -b <:> n 1a - b (1) Por defmición, el número natural n es diVisor del entero x si y sólo si éste es igual :JI primero por unentero, es decir n!x «-3 kelix=n.k Especificam•>s ias siguientes propiedades de ía relación de dívJsor., que utilizaremos: ) S1 un número divide a un entero, divide al producto de éste por cualquier entere. nlx =:>njx.y En efecto, por definición de divisor n,x =~>-x= n.k =:>x.y=(n.k).y =~>x.y=n.(k.y) =:> =~>n x.y 1 1l CONJUNTO COCIENTE ii) Si un número divide a otros dos, entonces divide a su suma o diferencia. nlx A nty=~>-nlx±y 81 Demostración) Aplicando la definición de diviwr a las dos proposiciones de la hipótesis, sumando y restando en Z aplicando la distributividad del producto respecto de la suma y resta, y la definición de divisor, tenemos · n 1x " n t y =~> x =n k A y= n k' =>- =>x:ty=nk:!:nk' ~x±y"·'n(k:tk')""" => 11 X ±y iíi) Si un número divide a un entero, entonces divide a su opuesto. Es una consecuencia de la propiedad i ), ya que 1l 1X =:> n 1(-l). X ~ n 1-X Retomamos ahora nuestro propósito de probar que (1) es una relación de equivalencia. a) Reflexividad. Como n 1 O, se tiene fa: a € Z =:> n 1a -a =>a -a b) Simetría. Sean los enteros a y b tales que a-b => n 1a- b = n 1-(a- b) = n 1b- a =~> b -a por (l ), propíedad üij, por opuesto de a-by por(!) e) Transitividad. Sean los enteros a, by e, tales que a-b " b-e =nla-b A nlb-e =>nl(a-b)+(b-e) = =nla-e =>a-e de acuerdo con ( i ),'la propiedad íí ), reducción de términos, y i!), Vamos a determinar las dases de equiValencia de los enteros. Sea a F Z: entono'" ~={· xeZ x-a·>) Ahora traducimos la propiedad que define al conjunto K,.: x-a => n 1x-a =~>x-a= n. k con k e Z ~ => X ":a +Í1 • k con k € Z Es decir, a Ka pertenecen todos los enteros del tipo a +n. k, donde a y n están dados, y k recorre Z. En otras palabras, a Ka pertenecen las sumas de a con todos ]os
- 47. 82 RELACIONES múltiplos den. En particular: K 0 { .••••. , - 2 n , - n , O, n, 2 n , 3 n, . . . . . . } K 1 = { ...... , 1- 2n, 1-n, 1 , 1 + n, 1 + 2 n, 1 + 3 n, ...... } K2 = { ...... , 2 - 2 n , 2 - n , 2 , 2 + n , 2 + 3 n , ...... } K ={ :.... ,-1-1n,-I-n,-l,-1+n,-l+2n, ...... !,n -! f Verificamos que no es posible obtener otras clases distintas de éstas; si queremos Kn ={ ..... ,- 2 n , - n , O, n , 2 n , 3 n ....... } = K0 Análogamente: Kn+l = K1 = K 2 n+l = K1 .n =etc. los subíndices de Jas clases de equivalencia son los posibles restos de Ja división de un entero por n, es decir: O, 1, 2, ... , n - 1, ya que de acuerdo con el algoritmo de la división entera el resto es no negativo y menor que el divisor. Por este motivo reciben el nombre de clases de restos módulo n. y suelen denotarse mediante O,l,:!, ..... ,n-1 E! conjunto cociente es z .---- -}= 1O, l , ~ , ..... , n - 1 = Zn O bien Zn ={ Ku / O"'U <n} Lo mismo que en el ejemplo 3-10, las n clases de equivalencia son no vacías, disjuntas dos a dos, y su unión es Z. Vamos a considerar el.:aso particular de las clases de restos módulo 3, en cuyo caso el conjunto cociente es Z3 = { O, f, 2 } = { Ko , Kt , K2 } donde Oes el conjunto de todos los múltiplos de 3, o lo que es lo mismo, el c_onjunto de los enteros que divididos por 3 dan resto nulo; a I pertenecen los enteros que divididos por 3 dan resto 1, y análogamente 2. La partición de Z es REPRESENTACION DI:: RELACIONLS 83 z ~ Realizamos la representación cartesiana de la relación. De acuerdo con ( l), se trata del subconjunto de Z2 cuyos elementos son los papes ordenados de enteros (x .y), que satisfacen 3 1x -y ~ x -y = 3 k con k e Z ~ y = x -- 3 k con k E Z Para cada entero k quedan determinados los puntos de coordenadas enteras de la recta y = x- 3 k. y en consecuencia. la relación consiste· en el siguiente conjunto discreto de puntos del plano z V [7 V V V [7 v 7 7 / / / / 7 7 1/ 7 // // V V V l// I/ / 1 ! ¡ '+- )'• ~ 1/'t- V V l/ VI V . l ) 1 .. 1 z2 '. ~ "+--
- 48. 84 La nlación es RELACIONES k=O=>y=x k=-1 =>y =x +3 k = 1 ::::> y = X -~ 3 k = 2 => y = x - 6 , etc. R =- U { (x , y) e Z2 1y = x - 3 k } I<EZ 3.8.3. ~artición de un conjunto no vacío Sea11 dos ..:onjuntos A * q, e I * q; tales que, cualquiera que sea el elemento u e I, existe m subconjunto Ku C A. Definidón El conjunto { Ku 1u el } es una partición de A si y sólo si i ) V u : u e l => Ku =r: 4> i. ) u ::f.•• = K., n Kv = t/> i.i) Va € A , 3 u e l / a EK.. Los elementos Ku de la partición son subconjuntos no vacíos de A, y están asociaws al conjunto de índices 1; además, elementos distintos del conjunto de índices deteminan subconjuntos disjuntos de A; fmalmente, la condición üi) significa que la unión ie los subconjuntos de A que son elementos de la participación, es A. Ejemp'o J,J]. )Sea r una recta contenida en el plano a. El plano queda particionado en tres subconjuntos K1 , K2 , K3 , siendo 1= { l, 2, 3} un conjunto de índices. K¡ -,---·--·- ~ í 1 I ~' ~ .·./ •: ' •.:! •3K.> K• ,¡)las relaciones de equivalencia de los ejemplos 3-10 y 3-11 conducen a las particiones indicadas en éstos. ii:: f- 1 { l j PART!CION Y EQUIVALH<U. iií) Investigamos la partición asociada a la relación de equivalencia del ejemplo 3-8. En este caso, la relación está definida en R mediante a~b ~ a-beZ Sea aeR; entonces, por definición de clase de equivalencia Ka'"'{xeR{x-a} Ahora bien x -a ~ x ·-·a € Z =* x ·-a =k con k € Z Emonces a K,, pertenecen todos los reales del tipo x "' a ..¡. k siendo k e Z g5 Es decir, todos los elementos equivalentes a a, se obtienen sumando a a todos los enteros. En consecuencia, si elegimos como conjunto de índices al intervalo semiabieno 1=[O , 1), la partición Res ' R - f K 1 rol'- , t• U€,,•¡ ~ ' ~K,:Z ~l=[O,l) K¡ l 3.8.4. Teorema fundamental de las n:blciones de equivalencia defmidas en un conjunto no vacío. Vamos a demostrar lo que ya hemos verificado a tra·:~s de ejemplos anteriore<;, a saber. que toda relacion de equivalen!.ia definida ~n :m .:~>~iJUnto nc vad0 determim1 una particíón de éste en clases de equiValencia. TEOREMA Si .... es una relación de equivalencia definida en el coi!Junto A *rf>, entonces existe un subconjunto 1 C A, tal que cualquiera que sea u en 1, existe K.. e A, de modo que se verifican las siguientes proposiciones: i ) U € l :o> Ku =1= 1/J ii) a -a' ~a y a' pertenecen al mism~ Ku
- 49. Rt'> iii) K., nKv =!= 1> => Ku = K" iv) ll ;:/=V "'} Ku ()Kv =1/> · v ) Va € A , 3 u € I 1a€ Ku RFLAC'IONES NOTA 1 es un conjunto de índices que se fonna eligiendo un único elemento en cada clase de equivalencia. Demostración) Sea i ) A todo elemento del conjunto de índices le corresponde una clase no vacía. Por hipótesis. reflexividad v definición de clase de equivalencia· A-::l=<fJ =>3aeA =>a-a =>aeK" =>Kai:1f>VaeA Ahora bien, como 1 e A u e I => u E A => K14 =/:: 1/> íi ) Dos elementos de A son equiva1entes si y sólo si pertenecen a la misma clase. a) a-a' =>a'EKa A aEKa Si u e Ka entonces a y a' € Ku b) aya'c:Ku =>a-u A a'-u => =>a -u /1 u -a· =>a -a' i.ii) Clases no disjuntas son idénticas. Ku n K., =!= 1/> => Ku = Kv En efecto. por hipótesis: Ku n Kv *<fJ => 3 X E Ku n K, => = 3 X eA 1X € Ku " X € Kv => =>x-u 11. x-v =>u-x /1 x-v y € Ku =>y -u (2) (l) De ( l ) y ( 2), por transitividad OseaKuCKv yeKu =>y.:--v =>yeK,,- Análogamente K,. C Ku. y resulta K,. =Kv ¡ 1 i 11~ l PARTI<¡, • Y EQUlV,LEf'Cl. 87 iv) Elementos distintos del conjunto de índices determinan clases disjuntas. u =1= V => K., n Kv = 1> Suponemos Ku n K., =F 1/> => 3 X € Ku A x E K11 => => X "'ll A X -~· => U .,_X A X -v => =>u -v => u € Kv. Absurdo porque contradice la defmición de l. v) Todo elemento de A pertenece a una clase, o lo que es lo mismo, las clases de equivalencia "cubren" a A. :,ea a t A = a -a ~ a € Ka ( l } Si u € Ka. entonces Ka == Ku • y resulta a e Ku . NOTA 1 Las proposiciones i ), iv) y v ) significan que toda relación de equivalencia, definida en conjunto no vacío, detennina una partición de éste en clases de equivalencia. Precisamente, las clases son los elementos de la partición. 3.8.5. Partición y relación de equivalencia Sea { Ku 1u € 1 } una partición de A. Entonces queda inducida en A una relación de equivalencia. Para demostrar esta propiedad definimos primero una relación en el conjunto no vacío A, mediante "dos elementos de A están relacionados, si y sólo si pertenecen al mislno subconjunto de la partición". En símbolos (a , b) € R <» a y b pertenecen al mismo Ku ( l) Vamos a probar que es de equivalencia. ) Reflexividad. Por defmición de partición a € A = 3 u e 11a e Ku => a y a pertenecen a K.. Entonces, por (1) (a, a) € R ii ) Simetría. Sean a y b en A, ta1es que (a , b) e R => a y b pertenecen al mismo K., => => b y a pertenecen al mismo K" => (b , a) € R
- 50. 88 RELACIONES iii) Transitividad.Sean a , b y e en A, tales que (a,b)ER f (b,c)ER :=}a,bycpertenecenalmismoKu =* =>a y e pertenecen al mismo Ku :=} (a , e) E R Ejemplo 3·13. Se considera en A = { 1, 2 , 3} la siguiente partición: rr ) { })'LI,3¡, 2 f La relación de equiValencía correspondiente es. entonces { (1 • 1) '(3. 3). (1 '3). (3 . 1}. (2 • 2)} De acuerdo con 3.8.4 y 3.8.5, los conceptos de partición y de relación de equivalencia son identificables. Es claro que en un conjunto no vacío es posible definir tantas relaciones de equivalencia como particiones. A contimación proponemos todas las relaciones de equivalencia defmibles en el conjunto A. a) R 1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} es la igualdad en A, es decir (x ,y)eR1 * x =y b) Rz = { (l , 1), (2 , 2), ( l ·, 2), (2, l} , (3 , 3)} PARTICION Y EQUIVALENCIA En e~te caso e) d) (x,y)eR 2 *X=Y V x+y=3 , R3 = { O , 1), (3 , 3), (1 , 3), (3, l), (2, 2)} O sea (x,y)€R 3 qx=y v x+y=4 R .. "" { n , n .p, 2) , (3 . 3), f2 , 3) , (3 , 2)} Siendo t-r .y)eR_. -x=y l: + -· 89
- 51. <)0 RELACIO:-;!·:S e) Rs ,_" ((1 ,1) , {2,2), (3,3) ,(1 ,2) , (2,1), (1 ,3), (3,1), (2,3), (3,2) } = A2 Es decir (x ,y) € R5 *> (x ,y) e A2 Aquí la partición consiste en un úrúco subconjunto: el mismo A. 3.9. RELACIONES DE ORDEN = Es usual en matemática y en la vida cotidiana ordenar los elementos de un conjunto de acuerdo con algún criterio conveniente. El orden queda especificado a través del termino "preceder", y decir "x precede a y" significa (x ,y) e R lo esen..:ial de toda relación de orden es la transitividad, y según se cumplan o no otras propiedades se habla de orden amplio o estricto, y en cada caso, de orden parcial o total. 3.9.1. Orden amplio SeaR e A2 • Definición ·, R es una relación de orden amplio en A si y Sólo si es reflexiva, antisirnétljca y transitiva. Obviando los cuantificadores universales tenemos: i ) Reflexividad. 11 E A => (a • a) € R ~. t RELACIONES DF ORDEN íi ) Antisimetría. (a,b)ER A (b,a)ER :=;,a:;;;b iii) Transitividad. (a,b)ER A (b,c)eR =>(a,c)eR 1:2.:1-. Orden parcial y total Sea R una relación de orden en A. ) R es de orden parcial si v sólo si existen pares de elementos incomparables. es decir 3a,3bi(a,b)lfR . tb.a)lfR li ) El orden es total en caso contrario, es decir ' a=t=b =..(a.b)eR v (b.a)eR Ejemplo 3-14 i ) En N la relación de divisor es de orden amplio y parcial. Por defmición n la *>3m € N/ a= n. m a) Reflexividad. a € N => a = a . 1 => ala b) Antisimetría. Sean a 1b A b 1a => n y m en N í b = a . n 11 a = b . m => =a.b=a.n.b.m => 1=n.m =>n=m=l Luego a= b. e) Transitiviclad. Sean a 1b 1 b 1e => b =1! . n t e = b . m Entonces b. e== a. n. b. m =>e= a. (11. m) =>e= a. p =>a 1e. 91 Por otra parte, este orden amplio es parcial, pues existen pares de naturales que no son comparables por la relación de divisor. Un contraejemplo está dado por 2 y 3, ya que 213 y 312 son proposiciones falsas. Es claro que un par ordenado de números naturales pertenece a la relación si y sólo si la primera componente es divisor de la segunda. Esta relación está representada por los puntos del primer cuadrante de coordenadas naturales que tienen abscisa naturaL y para cada nna las ordenadas son todos los múltiplos naturales de aquéllas.
- 52. 92 RELACIONES N 6 S 4 3 1! i 1 2 ! ! 1 ll 1 1 1 1 1 lí__T ___T___¡-J- ~-Tl N 1 ~~---21-31 4f 51 61 Si consideramos la relación de divisor en Z, no se tiene un orden amplio, pues la antisimetría no se cumple. En efecto 3 1-3 " -3 13 '* 3 = -? es F ü ) En A = { l , 2 , 3 } la relación R = { (l , 1), (2 •2), (3 , 3), (1 , 2), (l , 3), (2 , 3)} es un orden amplio y total. Se trata evidentemente de la relación de menor o igual. 3.9.3. Orden estricto. SeaR CA2 • Definición R es una relac1ón de orden estricto si :; :;ólo ~¡ ¿;s arrel1exiva, asimétrica y transi!lva. En símbolos i ) Arreflexividad. Ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo. a e A =~- (a, a)~ R ii ) Asimetría. Si un elemento está relacionado con otro, entonces éste no lo está con el primero. (a, b) € R =* (b, a) f R 1 ORDEN ESTRICTO . 93 iü) Transitividad. (a,b)eR 1 (b,c)eR =*(a,c)eR Lo mismo que el orden amplio, el orden estricto puede ser parcial o total. Ejemplo 3-15. i ) La relación de menor en Res un orden estricto y total. ii ) Por definición, un conjunto está estrictamente incluido en otro si y sólo sí todo elemento del primero pertenece al segundo, pero existen elementos de éste que no pertenecen al primero.. La notación y símbolos son los siguientes: A~B ~ ACB .! A=B En P(U) la inclusión ~stricta es una relación de orden estricto y parcial, como puede verificarse sencillamente. iü) En A = { a . b , e } la relación R = {(a, b), (a, e) , (b, e)} es de orden estricto y total. 3.9.4. El signo de preceder Si R es una relación de orden defmida en A, y dos elementosa y b están vinculados por dicha relación, al escribir (a , b) E R v a R b suele decirse que '"a precede a b", y la notación es a<b. Con esta notación se tiene: i ) Reflexividad. ae A"'* a<a ü ) Antisimetría. a<b 1 b<a "'* a = b iü) Transitividad. a<b A b<c ..., a<c ¡y·¡ Linealidad a*-b "* b<a Análogamente, para la arreflexividad, asimetría, orden parcial y total. teniendo en cuenta que "a no precede a b" puede escribirse a<tb. 3.9.5. Elementos distinguidos de un C()njunto o~uado Sea A un conjunto ordenado por una relación de orden<. i ) Primer elemento. El elemento·a E A se ·llama primer elemento si Y sólo si precede a todos los d~ás.
- 53. ,,,.¡ RI·LACIONES a eA es el primer elemento «> x E A => a<x ii) Ultimo elemento. El elemento b e A se llama último elemento si y sólo si todo elemento de A precede a b. be A es el último elemento <=> x e A => x<b De estas definiciones no se deduce que todo conjunto ordenado deba tener necesariamente primero o último elemento; puede ocurrir que carezca de ambos, que tenga primero o bien último, o que tenga primero y último. iii) Elementos minimales. El objeto m de A es un elemento minimal si y sólo si no existe un elemento distinto que lo preceda. m e A es mínima! «> V x € A : .).. <m = m = x IV) E7ementos maximales. El objeto n es un elemento maximal si y sólo si no existe en A un elemento distinto que lo siga. n e A es maximal «> "1 x e A :'JI< x=> x = n Puede ocurrir que en un conjunto mdenado no existan elementos minimales o ma.ximales, y si exister~ pueden no ser únicos. v ) Cotas inferiores. El elemento a E A es una cota inferior del subconjunto X e A si y sólo si precede a todo elemento de X. a e A es cota inferior de X e A «> x e X => a<x vi ) Cotas superiores. El elemento b € A es una cota superior del subconjunto X e A si y sólo si sigue a todo elemento de X. b é A es cota superior de X e A «> x e X = x <h vü) Supremo o cota superior mínima. El elemento s e A es el supremo del subconjunto XC A si y sólo si es el primer elemento del conjunto de las cotas superiores. viii) Infimo o cota inferior máxima. El elemento i e A es el ínfimo del subconjunto X e A si y sólo si es el último elemento del conjunto. de las cotas inferiores. Las cotas de un conjunto, si existen, no son necesariamente únicas. En cambio, el ínfimo o supremo, aunque el conjunto no sea acotado, pueden no existir, ya que un oonjunto ordenado puede carecer ¡,f~ PrimerQ o último elemento; pero si existen, .son tmicos. Precisamos los conceptos anteriores en los ejemplos siguientes. Ejemplo 1·16. ) Consideramos el intei'Valo abierto(- l , 1) e R, donde se define la relación de menor o igual. Esta relación en Res de orden amplio y total, pues t~.•.. ·~; ELEMENTOS DISTINGUWOS 95 a) Reflexividad. aeR =*'a<a b) Antisimetria. a<b A b <.a -=>a= b e) Transitividad. a<b 11. b<c=*-a<:.c d) Linealidad. a=Fb =>a:<:,b v b <:.a No existen en(- l • l) ni primero n1 último elemento, ya que los extremos- l y 1 no pertenecen al intervalo abierto. Tampoco existen elementos minimales ni maximales. Es claro que cotas inferiores de (- 1 , l) hay infinitas: todos los reales menores o iguales que - l. Análogamente sot1 cotas superiores todos los números reales mayores o iguales que l. El ínfnno es - 1 y el supremo es l, y ninguno pertenece al conjunto(- 1 , 1). ü) Con la misma relación de menor o igual el intervalo semiabierto [- l , !) tiene primer elemento - l. que es también mínima!, cota inferior e ínfuno. Carece de último elemento, de elementos maximales, de cotas superiores y de supremo. ili) Sea ahora el conjunto A = { 2 . 3 , 6 , 9 , 12 , 36} ordenado por la relación de diviSibilidad. Se ha visto que el orden es amplio y parcial. Como no existe en A ningún elemento que sea divisor de todos los demás carece de primer elemento, pero tiene último y es 36. Este es elemer~to maximal, y tanto 2 como 3, son minimales. No hay cotas inferiores ni ínf'lDlo, pero la cota superior y el supremo son 36. 3.9.6. Diagrantas ~ H.as'le__ • Sea ~ un conjunto ordenado. i ) Elementos consecutivos. Los elementos a y bde A son consecutivos si y sólo si a) a<b b) a<x<b =>a=x v b =x ii) Representación de conjuntos ordenados. Es posible representar un conjunto order~ado y fmito, mediante un diagrama llamado de Hasse, asignando a cada elemento del conjunto un punto del plano o bien del espacio, y uniendo cada par de elementos consecutivos por medio de un vector orientado en el sentido de x a y. si x < r.
- 54. 96 RELACIONES Así, eldiagrama de Hasse correspondiente al conjunto A== { 2, 3, 6, 9, 12, 36}, ordenado por la relación de divisor, es · 12 6 36./. r •2 ' "'• •9 3 Toda poligonal orientada detennina un subconjunto totalmente ordenado por la misma relación, y constituye una cadena. Ejemplo J-17. Dado A= (a, b , e} ,en P (A) consideramos la relación de inclusión, definida por X<Y *> XCY De acaerdo con 2.3.4., esta relación es de oroen amplio y parcial en P (A). El correspondiente diagrama de Hasse es la siguiente representación espacial (a, b, e}= A . {a e) ... ;JI '#l1 ¿_ : """ 1- {b.e)~ ' ~Ir {a,b}l.c--------1-----.. {a)_,., q; El conjunto P (A) tiene primer elemento y último elemento: 4> y A. respectivamen· te. Amb(Js son el elemento minimal y maximal. A dos elementos cualesquiera de P(A) . les corresponde una cota inferior máxirPa y una cota superior mínima, es decir, un ínfnno y un supremo. Así, dados {a, b} y {a. e} el ínfnno es { e-} y el supremo es {a ,b , e}. Cuando esto ocurre para todo par .de eiernentos de un conjunto ordenado, se dice que el conjunto tiene una estructura de red o de reticulado,. o de~. 1 l' j .1 BFENA ORDENACION 3.9.7. Conjuntos bien ordenados Sea< una relación de.orden en A. Definición 97 Un conjunto está bien ordenado por una relación de orden si y sólo si está totalmente ordenado, y además todo subconjunto no vacío tiene primer elemento. Ejemplo 3-18. i ) El conjunto de los números reales, ordenado por la relación de ''menor o igual''. está totalmente ordenado, pero no es un conJunto bien ordenado. pues no todo subconjunto no vacío de R tiene pnmer elemento. En efe..:to. el intervalo abieno ¡- l , 1) es una parte no vacía de R. pero carece de primer elemento. ii) El conjunto Z de los enteros está totalmente ordenado por la misma relación. pero como carece de primer elemento nó está bien ordenado. iii) El conjunto N de los números naturales está bien ordenado por la relación de menor o igual, ya que se halla totalmente ordenado, y toda parte no vacía de N tiene primer elemento. iv) El conjunto cuyos elementos son !JI, { a} . {a. b} . {a. b. e} está bien ordenado por la relación de inclusión. v) El conjunto A = { 2 , 3, 6, 9, ll, 36} propuesto en 3.9.6. ii ), ordenado por la relación de divisor. no está bien ordenado, por no ser totahnente ordenado.
- 55. TRABAJO PRACTICO 111 J-J9.SeanA={xeN_JI~x~s}y B={3.4,s} Se define Re AX B mediante (x, y) € R ~X+ V.¡¡;; 5 i ) Definir R por extensión. ü) Representar A X By R. iüt Determinar R - 1 3-JO.Se consideran A={I. 2, 3, 4, s}B={t. 4, 6, t6}C={2. 3, 8, to}y las relaciones R e AX B, S e BX C, definidas por (x,y)eR ~y=x2 Se pide: (.y·,z)eS~z= i i ) Determinar R y S por extensión. ii) Defmir la composición S o R C A X C por extensión. ili) Determinar los dominios e imágenes de las tres relaciones. 3·21. Obtener los gráficos cartesianos de las siguientes relaciones definidas en R: i ) (x ,y) € R ~y= 3 ii) (x ,y) € S~ x +y= l iü) (x,y)eT~x+y<I 3·21. En Z se defme R mediante Clasificar R. (a , b) e R ~ a2 +a= b2 +b 3-23~ En R2 se defme la relación"-" mediante (x,y)-(x',y') ~y=y' Probar que es de equivalencia, determinar las clases de equivalencia, un conjunto de índices y el conjunto cociente. - J-24. En A = { 1 , 2 ,4 •6 •8 } se define la siguiente relación .(x,y)eR ~31x+y TRABAJO PRACTICO I1I i ) Definir a R por extensión. ii) Fom1ar el diagrama de R. iii) Clasificar R. 3-25. En N2 se considera la siguiente relación (a , b) "" (a', b ') ~ a +b' = b +á' 9Z <::_ Demostrar que es de equivalencia, obtener las clases de equivalencia, un conjunto de índices, el conjunto cociente, y representar las clases. 3-26. El conjunto« a},{b , e},{d }} es una partición de A=={a, b , e, d}. Obte- ner la relación de equivalencia asociada. - ( 1 J-27. t:n A= 1 , 2. , 3 , 41 se considera ia rdadón R={(x,y)eA2 /x=y v x+y=3} Definir R por extensión, probar que es de equiva!envia y determinar la correspondiente partición de A. 3·28. Clasificar la relación R definida en Z2 mediante (a, b) R (a', b') ~ ab' = ba • 3-29. En el conjunto de los números reales se define R={<x.y)eR2 /l.x-ll=i;r-11} Demostrar que es de equivalencia, y representarla. 3·30. Una relación R definida en un conjunto A es circular si y sólo si (a,b)ER A (b,c)eR =>(c,a)eR Demostrar que una relación es reflexiva y circular si y sólo si es de equivalencia. 3·31. EnR se define .._ .. mediante X -y ~ x2 -X = y 2 - }' Demostrar que es de equivalencia, detenninar las clases, un conjunto de índices, el cociente, y representar la relación. 3-32. Sean R y S dos.relaciones definidas en A. Demostrar: ¡""·~~:' ...-=,"="""-' SiR y·s son reflexivas, entoncesR u S y R n S son reflexivas._'·<: ;.·•. ,, ~--_;,.. 3-33. En R se defme ' .. R ={<x ,y)eR2 /lxl + 21yl == 1} > ":; t _ Obtener e! dominio. la imagen y el gráfico cartesiano de R. r·- '""'~J)36'::f..: 3-34. Sea R e A 2 • Demostrar que la relación R U R-• es simétrica.l¡:.12.:_. _l3·35. Clasificar y representar la relación~ e R2 definida por !gf!~ -r: _· (x,y)eR ~x-yeR+
- 56. lOO RELACIONES 3-36. EnA = (- 1 , 1] se considera la relación . R={(x,y)eA2 /x2 =y2 } i ) Representar R. ii ) Probar que es de equivalencia. iü) Obtener la partición de A. 3-37, Sea R una relación definida en A. Demostrar: i ) R es simétrica => R -t es simétrica. ü)R es transitiva :::o R -l es transitiva. 3·38. Sean R y R' dos relaciones transitivas en A. Demostrar que R n R ·es transitiva. 3-39. Si R y R' son dos relaciones antisimétricas en A, entonces R n R' es antisi- métrica. 3-40. Sean ..,...., una relación de equivalencia definida en A *ip y X e A. Por definición, se llama saturado de X por Ja relación de equivalencia al conjunto de los elementos de A que son equivalentes a los elementos de X. la notaciáa es: Demostrar: i) XCX* X* = { x e A1x ""Y , Yy e X} ii ) (X UY)* = X* u Y* 3-41. Clasificar las siguientes relaciones det1nidas en ei conjunto de las rectas del plano i ) (a , b) eR ~ an b =1= 1/J ii) (a , b) e R ~ a 1 b 342. Clasificar todas las relaciones del ejemplo 3·3. J-/3, Clasificar la relación R defmida en R mediante , (x , y le R * ix +y i :::. ~ .,3-44. En A :::::: { l , Z , 3 , 4 , 5 } se considera la relación de menor o ígual. Determinar los elementos maximales y minimales. _3:45. Definir por extensión la relación de divisor en el conjunto del ejercicio 3-44, X obtener los elementos maximales y minimales. j-46. Con relación al ejercicio 3-45, determinar una cota superior y una inferior del subconjunto { 2 , 3 } '. 1 ¡ ' TRABAJO PRACTICO Ill .' 3-47. En R, ordenado por la relación de menor o igual, se considera A={x€R/x=¿ 1 neN} 101 Investigar si A tiene primero o último elemento, si está bien ordenado, y si admite cotas, ínfnno o supremo.
- 57. Capítulo 4 I=UNC!ONES 4.1. INTRODUCCION Dadala importancia del tema a desarrollar hemos preferido asignarle un capítulo especial, con abundante ejercitación y ejemplos. Por otra parte, en virtud del carácter elemental del texto, y la conveniencia de que en primera instancia el concepto sea utilizado con dinamismo y seguridad, se ha prescindido del estudio de las co- rrespondencias. Se estudian las funciones o aplicaciones especiales. la composición de fanciones, y el álgebra de las imágenes y preimágenes. 4.2. RELACIONES FUNCIONALES Sean A y B dos conjuntos no vacíos, que llamaremos dominio y codominio respectivamente. Entenderemos por función de A en B toda regla que hace corresponder a cada elemento del dominio un único elemento del codominio. Más precisamente, una función es un conjunto de pares ordenados tales que la primera ;;omponente pertenece a A y la segunda a B, es decir, un subconjunto de A X B. de modo que todo elemento de A sea primera componente de un par y sólo de uno. Esto nos dice que toda función de A en B es úna relación especial entre A y B. Lsualmente, los signos que indican funciones son/: g, h, etcétera. Así, para denotar que J'es una función de A en B, se escribe: f:A-+B y se lee: "fes una función o aplicación de A en B", o bien "[es una función cgn dominio A y codominio B". En particular, si A = {- l , O , 1 , 2 } , B = { O , 1 , 2 , 3 , 4} y fes la relación definida por (x , y) E f «> y = x 2 1J RELACIONES fUNCIONALES 103 . entonces se tiene [== { (- 1 , 1) , (O, O) , (1 , 1) , (2 , 4)} ya que cada segunda componente es el cuadrado de la primera. El diagrama de Venn correspondiente es Tanto en la defmición de f por extensión como en el diagrama es fácil advertir que todo elemento del dominio tiene un correspondiente o imagen en el codomínio; y además tal correspondiente es único, en el sentido de que no se tienen dos pares ordenados distintos con la misma primera componente. Resulta entonces que fes una función de A en B. Observamos aquí las siguientes situaciones: elementos distintos de A pueden tener la misma imagen en B, como ocurre con - 1 y 1, cuyas imágenes son l; además, puede darse que elementos de B no tengan un antecedente en A, es decir, que pueden existir en B elementos que no sean correspondientes de ningún elemento de A, como ocurre con 2 y 3. Definición 1, fes una función o aplicación de A en B si y sólo si/es una relación entre A y B, tal que todo elemento de A tiene un único correspondiente en B. O bien: Definición ¡. fes una función o aplicación de A en B si y sólo sif es un subconjunto de A X B que satisface las siguientes condiciones de existencia y uniciáad: i ) V a e A , 3 b e B 1(a ,b) ef ii)(a,b)ef A (a,c)ef,qb=c Si (a , b) e f decimos que b es el correspondiente o imagen de a, por i, y suele escribirse b =f(a), es decir, bes el trasformado de a por la función[. Para denotar la misma cosa, algunos autores utilizan la notación a izquierda: a[=b
- 58. 104 FUNCIONES Una funciónqueda especificada si se dan el dominio A, el codominio B, y aderrias la relación[é: AX B, que satisface las condiciones i ) y ii) de la definición. Por ser un conjunto, f puede estar dado por extensión, es decir, como conjunto de pares ordenados, o bien por comprensión, mediante una fórmula o ley de correspon- dencia que permita asignar a cada objeto del dominio su imagen en el codominio. Ejemplo 4-l. Determinamos si las siguientes relaciones son funciones. i ) Sean A'""' [a·. b e, d ~ . B = { i . :! , 3 y la relación l ~ ~ l = { (a , 1) , (b , 2) , (e , 2) , {d , l)} Se cumplen las condiciones de la definición, y resulta f una función tal que f(a)= 1 Ei diagrama es f(b) = 2 ü) Con los mismos A y B, la relación f(c) = 2 {(a ,1), (a, 2), (b, 2), (e, 1)} f(d) = l no es una función por las siguientes razones: no se cumple i ), ya que no toco elemento del dominio A tiene imagen en ei codominio B, pues d carece de tr:asformado. También deja de verificarse ii }, puesto que un mismo elemento de A tiene dos imágenes o::n B. como ocurre c~1n .z. El diagrama de la relación es REPRESENTACION DE FUNCIONES iii) Si A es el conjunto de las personas y f es la relación en A definida por (x, y) € f ~ x es hijo de y lOS entonces fes una función de A en A, ya que toda persona tiene padre y éste es úrtico. En cambio la relación definida en el mismo A mediante (x, y) e[<» x es padre de y no es una función de A en A, ya que existen en A personas que no son padres, es decir, elementos del dominio que carecen de imagen en el codominio: por otra parte, tampoco se verifica la unicidad, pues existen personas que son padres de más de un hijo. Esto significa que si una relación es func1on, la relación inversa no lo es necesariamente. 4.3. REPRESENTACION CARTESIANA DE FUNOONES Lo mismo que las relaciones, las funciones pueden representarse mediante un sistema de coordenadas cartesianas en el plano o en el espacio, según que el dominio sea unidimensional o bidimensional, respectivamente. En el caso de representaciones planas, el dominio es un subconjunto del eje horizontal, y el codominio. del eje vertical. Ejemplo 4-2. Representación cartesiana de la función propuesta en 4.2. ( A='t_-1,0,1, f" -~ B=t 0,1,1,3,4) '1 ::{(x) = ~¡= x2) t . 1 ----·---~-· ;, :! (-1 ' l) ·------ l (l' l) --- --·1 1 1 1 (O, O) -1 o 2
- 59. WG FUNCIONES Ejemplo 4·3. SeanA = { - 2 , - 1 , O, 1 , 2 } , B = N y f: A -¡. N tal que /(x) == ixl + 1 resulta1= { (- 2 , 3) ,(- 1 , 2), (O , l), (1 , 2), (2, 3)} Cada elemento (a , b) e fes un punto del plano de coordenadas a y b. La representación cartesiana es fN .4 ·-·-------j L ---.- -~ 1 ·----1 2 ----·1 A -2 -1 o 2 Ejemplo 4-4. Sea 1 : Z -¡. Z tal que la imagen de cada entero es su opuesto aumentado en 1, es decir /(x)=-x + 1 (-2, 3)~---------tz 1 (-1. 2) ·---1 •¡ ¡ l. (O, 1) (1, O) • .,. Z• L 11 xl ";;= ,. , ''1 ' ----- ---.4(2 '-1) --------------~(3. -2) '1¡ ! REPRESENTACION DE FUNCIONI:S )(>7 No es posible representar completamente a f. por ser Z un conjunto infinito; llO obstante, la representación de algunos puntos nos sugiere el comportamiento de la aplicación. En éste, y en los ejemplos anteriores, el hecho de que cada elemento del dominio tenga una única imagen en el codominio se traduce en que a una misma abscisa le corresponde una sola ordenada. Ejemplo 4-5. Sig: R-4Restal queg(x)=-x + 1 Su representación es un subconjunto continuo de R2 • consisteme en una recta riel pláüú. R ------+-___;::,¡____.,.,. R Es fácil notar que, aunque se mantenga la ley de correspondencia o asignación, al variar el dominio o el codominio. la función cambia. En nuestro caso, g =1= f aunque se cumple f C g. Es conveniente insistir entonces en el hecho de que la caracterizaciór, de una aplicacíón se da a través del dominio, codominio y la ley de asignación. En la terminología clásica, erelemento genériCO X del dominio se llama Variable independien- te, y su imageny =f(x) es lo que se conoce como variable dependiente. Ejemplo 4-6. Consideremos A = { 1 , 2 } , B = { 1 , 2 , 3 , 4 } y la función f: A2 -o-B que asigna a cada elemento del dominio A2 • la s~ma de sus componentes, es decir f(x,y)=x+y
- 60. 108 FUNCIONES a) Podemo: confeccionaruna tabla de simple entrada que especifique la imagen de cada punto det dominio (x ,y) f(x ,y)=x +y (1,1) 2 (1 '2) 1 3 {2' 1) 3 (2' 2) 4 El elemento 1de B~rece de antecedente o preimagen en A. b) Otra rerresentación de las imágenes se tiene mediante una tabla de doble entrada e) El diagrana de Venn es / 1 1 2 1 1 2 3 2 3 4 d) La reprerentación cartesiana es en el espacio, ya que· cada elemento del dominio determina un p.¡nto del plano, y su imagen debe tomarse sobre otro eje. . 1 1 •1 ' 1 2 1 , ~r ' .,,. 1 , '~ _¡,.-- ~-- 1 , l "' 1 ./'., 1,' -----;e"------,-----,, ,... ' 1¡ 1 ~ .1 fi 1 j REPRESENTACION DE FUNClONl:S 109 e) La misma función puede representarse de la siguiente manera, d¡:sconectando el dominio del codominio B 21 ~~~2 . . ':, 1 ¡ 1 JO l 2 Ejemplo 4-7. Seaf: R ~ R definida por j'(x) = x: Como cada número real tiene un cuadrado y sólo uno, se cumplen las condiciones de la definición. El gráfteo cartesiano es una línea continua de puntos del plano. llamada parábola. Hemos señalado algunos pares ordenados de f. los que se han unido mediante un trazo continuo. Como el cuadrado de ningún número real es negativo, las imágenes son reales no negativos. r f _ _ _ _.2.__ _.____;::,......:.:......,.¡_.~-~._~ - - - R Ejemplo 4-8. Representación de f · R ~ Z definida de la siguiente manera { -1 six<O f(x}= O six=O l six >O
- 61. ¡;; FUNCIONES z o R -I Esla llamada función "signo de x'", v su representación consiste en la unión de dos ,e:n:rrectas abiertas (sin origen). con el conjunto cuyo único elemento es el origen de -~O•)rdenadas. 4.4. CLASIFICAOON DE FUNCIONES Sea una función/: A-..s Si ocurre que elementos distinto~ del dominio tienen imágenes distintas en el codominio, entonces/se llama función inyectíva, biunívoca. o uno a uno. Por otra parte. si todo elemento del codominío es imagen de algún elemento del dominio. la función se llama sobreyectiva. Cuando se presentan ambas situaciones simultáneamente, la función se llama biyectiva o correspondencia biunívoca. i ) Definición X f: A --. 8 es ínyectiva * V x' V x" € A: x'=l=x" ==-- f(x') =l=f(x") Equivalentemente, mediante la implicación contrarrecíproca, podemos decir f: A ... B esinyectiva *V x'V x"e A :f(x') =f(x,.) => x'= x" En la inyectividad no puede darse que elementos distintos del dominio den la misma imagen. Las funciones estudiadas en los ejemplos 4-1 i ) y 4-l üi) no son iny~ctivas. Tampoco lo son las correspondientes a 4-2 y 4-3. En cambio son inyectivas las funciones de los ejemplos 4-4 y 4-5. · . En el diagrama de Venn correspondiente a una aplicación inyectiva no puede pre~ntarsé ninguna bifurcación de elementos del dominio hacia el codominio. En la representación plana cartesiana no puede ocurrir que una ordenada corresponda a más &una~ria · ii ) Definición / f: A ... B és sobreyectiva ~ Vy e B, 3 x e A 1y =f (x) En el caso de sobreyectividad, el conjunto de las imágenes se identifica con el ..:od,}minio de la función. C'LASIFICACfON DE FUNCIONES 111 Los ejemplos 4-2 y 4-3 corresponden a funciones no sobreyectivas. En cambio lo son en 4-4 y 4-5. Es usual nombrar a las funciones sobreyectivas con las palabras ··sobre" o "suryectiva". iü) Definición r: f: A ...B es biyectiva <=> f es inyectiva y f es sobreyectiva. Las funciones propuestas en los ejemplos 4-4 y 4-5 son biyectivas. Negando el antecedente y consecuente de la doble implicación se tiene f: A ... 8 no es biyectiva <=> f no es inyectiva o f no es sobreyectiva. Ejemplo 4-9. Representamos y clasificamos la función f· N ... N tal quef(x)= 2x 1 Esta función asigna a cada número natural su duplo. El conjunto de las imágenes es el de los números naturales pares, y está incluido en N, como codominio. Su representación es un conjunto de puntos aislados del primer cuadrante. N 4+----;-----~----,-- ---· 3+---,----~----~----~----, 1 1 ' ' t 1 2 +-- --.----l. - - - ~ - -- -- - - -- • f 1 1 ' ----1-----~---~---¡-- -- 1 1 ' 1 1 2 3 4 N Vamos a probar la inyectividad de f Sean x' y x" en N tales que f (x ') =f (x "). • Esto significa que 2 x' = 2 x" y, en consecuencia, x' = x ': De modo que f es inyectiva o 1-1 (uno a uno). Además f no es sobreyectiva. pues los elementos del codominio que son impares carecen de antecedente en N. Resulta que f no es biyectiva.
- 62. 112 FUNCIONES Ejemplo 4-10. Consideremo>ahora el conjunto Pde los números naturales pares, y f: N -+ P tal que f(x) = 2x La ley de asignación es la misma que en 4-8, pero el codominio se ha "restringido" a los naturales pares.la inyectividad se mantiene y probamos la sobreyectividad. Hay que- detenninar si para todo y e P existe x en N tal que f (x) =y. Esto significa que debe ser, de acuerdo con la defmíción de[, 2x=y Resulta x ~ -~ f N, pues la mitad de un número natural par es un númt:rv natural... V (V' VDe modo que 'VyeP, 3x = 2 tal quef(x)=/ • 2 ) = 2 · 2 =y. Siendof inyectiva y sobreyectiva resulta biyectiva. Ejemplo 4-11. SeanA= {1.2,3} y 8={1,2} Definimos f: P(A)-+P(B)mediante/(X) =X n B Es decir, la imagen de todo subconjunto de A es su intersección con B. El siguiente diagrama nos muestra que fes sobreyectiva, pero no inyectiva. )' /-._...-/ Ejemplo 4-12. Se lanza una moneda tres veces. Los posibles- resultados de este experimento aleatorio son todas las temas formadas por "caras" y "sellos", o bien por "unos" y "ceros", y scin los siguientes: A= { (1,1,1) , (l,I,O}, (l,o; 1) , <o,1,1) , (l .o.o) , (O,t,O) , (O,O,I) , (O,o,o)} CLASIFICACION DE FUNCIONLS 113 El conjunto A de tales eleme.ntos, se llama espacio muestra! asociado a( experimento. Definimos ahora la función de A en R, que asigna a cada elemento la difl)rencia entre el número de caras y el número de sellos. Damos la siguiente representación de f - ..___ • "', t ", (1 . O•0)~-- -- - - --- - - - <.(1 , 1 ,O) f no es inyectiva ni sobreyectiva. Ejemplo 4-13. Sea/: R -+R definida por f(x) =x3 • )fes l-1. En efecto, sean x 1 y x1 en R tales que f (x 1) =f (x1 ) es decir x; = x~. Por pasaje de términos xi -x~ =O factorizando la diferencia de cubos . • < 1 . + .2)- o(X¡ ·- Xz }X¡ -1- X¡ X 2 X 2 - l,f x 1 ~x 1 =0 ='>.l'¡ =x2 O bien 1 + ' 2 oX 1 XtXz+Xz= La relación que vincula a x 1 con x2 está dada por -x2 ±Jx; -4'x; _ -xl ±~ X¡= 2 ---- 2
- 63. 1~ ~: FUNCIONLS Esdecir X¡= (--!_ ± ¡VJ-)2 2 _ x2 (1) Six2 =Oentonces.x 1 =0yresu1tax1 =x2 Estos son los únicos valores reales que satisfacen (l) y, en consecuencia, f es inyectiva. ii ) fes sobreyectiva, pues e: V y € R • 3 x ={/Y tal que {(x) =/({/V)= t{!Y )3 =y Ocurre entonces que J es bíyectiva. Ejt-mplo 4-J.J. Seaf. R-R= talq'Jef(t)={t. -n Si en R= consideramos ejesx e y. de acuerdo con la definición. se tiene rx=! l y= -t q~.:e corresponde a un sistema de ecuaciones paramétricas de una línea del plano xy. lliminando el parámetro t resulta y= ~ x . que es la ecuación de la segunda bisectriz. y (Rl X b ..:laramente una función inyectiva. pero no sobreyectiva. 4.5. FUNCIONES ESPECIALES 4.5.1. Función constante La función f: A ...,. B. que asigna a todos los elementos del dominio el elemento h € B. se llama constante. Está definida por l(x) = b para todo x e. FUNCIONES ESPECIAII'S 115 Se tiene t={(x,b)Íx€A} A menos que A sea unitario, la función constante no es inyectiva, y es sobreyectiva sólo si B se reduce a un único elemento. 4.5.2. Función identidad Identidad en A es la aplicación iA : A -+ A tal que iA (x} = x La identidad en A es entonces la función que asigna a cada elemento de A el mismo elemento, es decir, deja invariantes a los objetos de A. A cada conjuntü le corresponde una función identidad. y a veces en lugar de denotada mediante iA se utiliza el símbolo 1A. Se tiene i.... ={(x,x)!xeA' ' ) Es decir, la identidad en A es la diagonal de A2 • Es fácil verificar que, como relación. es reflexiva, simétrica y transitiva, o sea, de equivalencia en A; además es antisirnétríca: y en consecuencia de orden amplio. La función iA es obviamente biyectiva. 4.5.3. Función proyección Consideremos A X B, y las funciones P1 : AX B- A P2 : AX B- B P1 (a ,b) =a defmidas por y P2 (a, b) =b Tales funciones se llaman primera y segunda proyección del producto cartesiano. y asignan a cada par ordenado la primera y segunda componente. respectivamente. En un gráfico cartesianil se tiene AXB
- 64. lltí Fl'NCIU~ FS 4.5.4.FUJción canónica Sea ~ una relación de equivalencia definida en 'el conjunto no vacío A. Por el teorema fJndamental de las relaciones de equivalencia queda detem1inado el conjunto .:odente : . cuyos elementos son las clases de equivalencia. Definiciól! ApL..:ación c:mónica es la función . :- que ~~tgna :1 c;~da .:!.:mento de .,sudase de equivaleno.:m. es decrr. tal que -P~xi=Kx Dos elementos equivalentes pertenecen a la misma clase y en consecuencia admiten la misma imagen. es decir, la aplicación canónica no es inyectiva, salvo en el caso de dases unitarias. Por otra parte. como cada clase es no vacía. ocurre que siempre es sobreyectiva. es decrr K A ::¡ .~. t •-K'V " € -~ . _,X € ,.., -P ,X; - • " Vale la siguiente proposición a- b ~ ;p(a) = ;p(b) La fu11ción canónica en el caso de la congruencia módulo 3 definida en Z es .p: z ...... z3 tal que .,O{x) = K.,. siendo u el resto de la división de X por 3. Ejemplo 4-15. En R2 consideramos la relación definida por (a • b) -(a'. b ') ~ a =a' Es dedr, dos pares ordenados de reales están relacionados si y sólo si tíenen la rnisma primera componente. Puede verificarse fácilmente que la relación es de equ¡valer..:ia. J d propósito ..:onsiste en t:ara.:terizar la aplicactón canónica. Las clases de .:quivden.;¡,:¡ son dei upo K{a. b)= {<x. y) i x=a} y están representadas por paralelas al eje de ordenadas. Para definir el conjunto cociente necesitamos un conjunto de índices, y al elegir un único elemento en cada clase, lo :ornarnos sobre el eje de abs~isas, de modo que R2 =fK(uo)/ueR} - l • 1 COMPOSICION DI: FUNCIONES Entonces la función canónica es I{J: R 2 ...,.. ~ tal que ;p(a, b) = K(u,o) si u =a 4.6. COMPOSICION DE FUNCIONES ll7 Bajo ciertas condiciones es posible definir, a partir de dos funciones fy g. una nueva función. !lanuda la compuesta de aquéllas. S¿:tn , - B V g . B -~ t G donde coinciden el codominio de la primera con el dominio de la segunda. Si bien consideramos este caso más usual. es suficiente que el codominio de la primera sea parte del dominio de !a segunda, es decir: B-:: B'. Nuestro propósito es asignar a cada elemento de A un umco eiemento de C, y el camino natural consiste en determinar la unagen de cualquier x € A por f. y a continuación obtener la imagen def (x) e B, por g. Definición v eompo~idón de lasi·uncicnes defimdo por A - B !. g · B - (' e:s ia función g , F: . __,.. C ~g" ~ g (J p"ir:l HA.:lu El símbolo "g ~ denota la función compuesta de f con,~;. o la composiciÓn dt! con g. Puede leerse .., compuesta con g". o "g cerito r o bien "g o r·. Ejemplo 4-16. ~ . ~ Sean A= { 1 , 2 , 3) • B ={a, b, e. d},e={5 . 6) y las funciones f: A.:.... B y g: B-e definidas así ·
- 65. 118 Resulta FUNCIONES !={CI ,a),(2,b),(3,d)} g={(a, 5),(b, S), (e, S), (d, 6)} g o { = { (1 , 5) , (2 , S) , (3 , 6)} El diagrama correspondiente es A B e Debe notarse que no coexisten g o f y f o g, ya que en este caso el codominio deg es C y el dominio de .fes A. Ambas composiciones existen si C C A. Eiemplo 4-17. Sean ahora las funciones Entonces {: R~R talque f(x)= 2x g: R~R talque g(x)=x2 i ) g o f : R -+ R está deftnida por (gof)(x)=g[f(x)]=g(2x)= (2x)2 =4x2 ii ) f o g . R .-.R está definí~a por (/ og) (x) = f(g(x)] = f(x2 ) =2 x2 Ambas funciones compuestas, a pesar de tener el mismo dominio y codominio, son distintas, por diferir en la ley de asignación. · Definición X Dos funciones f: A ~ B y g : A -+ B son iguales si y sólo si para todo x de A se verificaf(x) = g(x). Con relación al ejemplo se tiene: g o {=f=f o g. r. ¡ ¡ J COMPOSICION DE FUNCIONES 4.6.2. Asociatividad de, la composición Sean/: A-+B ,g: B-+Cyh: C-+D. Entonces se verifica (h o g) o f = h o (g o f) 119 Las dos composiciones son funciones de A en D, y se trata de probar la igualdad. Interpretamos la situación en el siguiente diagrama A f ) 1 ~- i 1 .....~. ~ ,, .... 1 ..:..... ·- 1 i 1 ....... h {g [l(x)l) hog Con relación al primer miembro se tiene /:A~B} => (h o g) o f: A -+ D hog:B~D Para el segundo miembro es gof: A-+C} =>ho(gof):A-+D h: e -+D Siendo (h o g) o f y h o (g o f) dos aplicaciones con el mismo dominio y codominio, para probar la igualdad, de acuerdo con la defmición expuesta en 4.6.1., hay que v~rificar la igualdad de..unágenes para todo elemento de A, dadas por dichas funciones. Sea x e A; aplicando reiteradamente la definición de composición (eho g) o f }x)= (h o g>(f(x))=h {g [f(x>l} (1) Pqr otra parte ( h o (go n}x>= h((g o f) (x))= h {g [f(x)l} (2) De (l) y (2) se deduce ( (h o g) o f)x)=(h o (g o f))<x) v x eA
- 66. 12C FUNCIONES Y pordefinición de igualdad de funciones resulta (h og) of= h o (g of) 4.6.3. Composición de funciones inyectivas Si f: A ~ Byg : B ~e son inyectivas, entonces g o f: A -+e es inyectiva. De acuerdo con la definición de inyectividad 4.4. i ) debemos probar que si x' y x" son elementos de A que tienen ia misma imagen por g "f. entoneesx •= x ·: Sea pues (g ~ =ig .f)C¡:".I Por definición de composición g [f{x' )] =g [/(x" )j Por ser g inyectiva resulta f(x') =f(x") ya que estos elementos de Btienen la misma imagen por g. Y por ser f inyectiva: x'=.x'' Queda probado, así, que la composición de funciones inyectivas es inyectiva. 4.6.4. Composición de funciones sobreyectivas Sif: A -+ B y g · B .-..C son sobreyectivas, entonces g o f: A -+ Ces sobreyectiva. Según 4.4. ii ) hay que probar que para todo z e e existe X E A tal que (g o j) (x) = :. Por ser g: B~e sobreyectiva, V'zee ,3yeB/g(y)=z Ahora bien. dado y € B, por ser[: A~ B sobreyectiva, 3X€A/f(x)""Y De :.quise dedu,;;e que g rj tx)1""' g , y,= :: Entonces. dado cualquier z € C', 3 x e A tal que (g o f) (x) =z. de acuerdo con la definición de composición. En consecuencia, la composición de funciones sobreyectivas es sobreyectiva. 4.6.5. Composición de funciones biyectivas Si f : A -+ B y· g : B -. eson biyectivas, entonces la composición g o f: A ~ e es biyectiva Este enunciado es una consecuencia de 4.6.3. y 4.6.4. t FUNCIONES INVERSAS 121 Ejemplo 4-18. En 4.6.3. se ha demostraqo que la composición de dos aplicaciones inyectivas es ínyectiva. La inyectividad de la composición no implica la de cada función, pero sí la de la primera. Es decir, si f: A -? B y g : B ~e son tales que g o f: A -?e es 1-1, entonces/es inyectiva. Sean x' y x" en A tales que f (x ') = f (x "). Hallando la imagen de este elemento de B por g, se tiene gff(x')] =g [f(x")J ya que cada elemento del dominio B tiene imagen única en C, por definición de función. Por definición de composición (g o 1) (x ') = lK " f) (X •• } y. por ser g o 1inyectiva, resulta x' =x ". En consecuencia, fes inyectiva. De modo análogo el lector puede demoatrar que si la composición de dos aplicaciones es sobreyectiva, entonces la segunda es sobreyectiva. 4.7. FUNCIONES INVERSAS Toda función f : A -4 B es una relación; cabe preguntarse si la relación inversa es una función. En general, la respuesta es negativa, como se ve a través del ejemplo 4-2, donde A = {- 1 , O , 1 , 2} , B = {O , 1 , 2 , 3 , 4} y f: A - B es tal que f(x) = x2 , es decir f -ít_1 !lO m 'I l) ("' 41}-,. ~,_¡¡", .... ,-,~., ... ~"-~ La inversa de esta relación es el subconjunto de B X A: {o ,-I) ,(o ,o),(I, 1),(4. 2)} Se ve claramente que esta relación no es una función de B en A, pues los elementos - y 3 del eventual d~minio carecen de imágenes en A, y además no se cumple la wndicíón de unicidad.. ya que 1 tiene dos correspondientes en A. 'Sea en cambio el síguiente caso A = ! . 2 . 3/ • B J . b , y f == { (l . a) , (2 , e) , (3 , b)} una función de Aen B. La relación inversa es g = {(a ,l) , (b , 3), (e , 2)} es claramente una función de B en A, llamada función inversa de f. La composición gof={(l, l),(2,2),(3,3)}=iA
- 67. '., FUNCIONES f og ={<a, a), (b, b), (e, e)}= iB Definición , La función f: A ~ B admite inversa si y sólo si existe g : B ~A tal que g o f = iA y f og = i8 Ejemplo 4-19. La función f: R ~ R definida por f (x) = x + 2 admite inversa g : R ~ R tal que g(x)=x-2,pues • (g o!) (x) =g [f(x)J= g (x +2) = x + 2 - 2 = x = iR (x) (f~g)(v)= ffg(x)] = f(x -2)= X- 2 i 2 '""":-: =;R (.i.) según las definiciones de composición. de[, de g y de identidad. Por igualdad de funciones resulta • g o f = iR Y f o g = iR La representación cartesiana de dos funciones inversas conduce a gráficos simétricos re'>?ecto de la primera bisectriz: la función f es biyectiva, como puede probarse fácilmente, y este hecho es n.:.:esario y suficiente para que admita inversa. 4.7.l. Propiedad Una función admite inversa si y sólo si es biyectiva. f) Si una función admite inversa, entonces es biyectiva. FUNCIONES INVERSAS Hipótesis)/: A~ Bes tal que existe g: B ~A siendog o 'f = iA y f o g = iB Tesis) fes biyectiva. Demostración) a) Vemos primero la inyectividad de[. 123 Sean x' y x" en A tales que f (x') =f (x" ). La imagen de este elemento de B por g es g [f{x')] =g [f(x")l Por defmición de composición, esto se traduce en (g of) (x ') = (g o!) (x") y s¡enüo por hipúrt:si~ g o f = i A, st: tierit: (.,_ (x')= iA (x") Es decir: x' = x '', lo que demuestra que fes 1 - 1 b) Demostramos ahora que fes sobreyectivá. De acuerdo con la definición, debemos probar la verdad de la proposición sigu1ente '<1 y € B , 3 x e A/ /(x) =y Sea entonces cualquier elemento y e B; por definición de identidad en B se tiene y = is (y) , y como por hipótesis is = f o g se tiene y=({og)(y) Por definición de composición y =flg(y)] Es decir, a expensas de y e B, hemos determinado x =g (y) en A, tal quef (x) =y Siendo /inyectiva y sobreyectiva resulta biyectiva. ll) Si una función esC,iyectiva, entonces admite inversa. Hipótesis) f: A ~Bes biyectiva. Tesis) 3g:B~Atalquegof""íA y fog=iB. Demostración) Necesitamos proceder en tres etapas. a) Primero se trata de definir úna función g : B ~A, de modo que se verifiquen las restantes proposiciones de la tesis. En este sentido, defmimos g: B ~A mediante g (y)= x si f{x) =y (l) Tenemos que ver que (1) satisface la defmición de función. En efecto: i ) Todo elemento y del dominio B tiene un correspondiente x en A, ya que, por ser f sobreyectiva, todo y e B proviene de algún x e A. .J
- 68. .., ,::iSJ--,' 124 FUNCIONES ii) Elcorrespondiente x asociado ay es único, por ser finyectiva; En efecto, si x y x' fueran antecedentes distintos de y por f se tendría x :f=x' f, f(x)=f(x')=y, lo que es absurdo por la inyectividad def b) Hay que probar queg o[= iA, Cualquiera que sea x en A se tiene, por definición de composición, por ( l), y por definición de identidad en A (g o [) (x) = g lf(X)j =g (Y) = X =ÍA (.:) Entonces, por detlnidón de funciones iguales gof=iA e) Finalmente, demostramos que f o g"" is. Como f o g : B -+B. para todo y e B, tenemos, por definición de composición, por ( 1) y por identidad en B u~ g) (y)= j[g(y)] =f(x): y"' is (y) Es decir f og = is 4.7.3. Consecuencia Si f : A -+ B es biyectiva, entonces la función g : B-+ A a que se refiere el teorema anterior es única y, además, biyectiva. Si existieran dos funciones g y g' que cumplieran las condiciones de 4.7.2. Ii) se tendría g' =g' o is =g' a ({og)= (g' o/)og= iA o g=g por ser is neutro a derecha e igual a/o g, por asociatividad de la composición, por ser g', l = iA. y porque íA es neutro a izquierda. En consecuencia. g es única. l'vr otr:1 parte,. de acuerdo con 4.7.2. 1) se tiene esta situación: g : B......A es tal que <?JS<e . A ..... B. ., g.,.,. ia yg : En consecuencia,g es biyectíva, LJ func1ón g se il3m:.a !u !!1-r..·ersa óe Ejemplo 4-20. Se trata de probar que f; R -+(- l , l) definida por f (x) = 1 : lxl admite inversa. De acuerd0 .: Jr el teorema anterior es suficiente probar que fes biyectiva. ·Previamentl', .tecesitamos precisar algunos conceptos relativos a la función valor absoluto, y su nmexión cQn la función signo. r- ..: ~~ FUNCIONES INVERSAS 125 i ) Función valor absoluto es la aplicación 1 1:R-+R; ( siendoR~==R+u{o}) defmida por { x si x~O -x si x <O lxl= Su representación cartesiana consiste en el par de bisectrices del primero y segundo .::uadrante. la función valor absoluto es sobreyectiva. pero no inyectiva R~ ~ 1/ ii ) Función "signo de x'' es la aplicación sg : R-Z definida por f lsix>O sg (x) == < O si x = O -1 si x <O t., Esta fund.Jn ya fue graneada en el e¡empln _¡..:; iii) Cualquiera que sea el número real x:, se cumple XI =X. sg(x) R lo que es fácil de verificar teniendo en cuenta las definiciones de valor absoluto y de signo dex. · Retomamos nuestro propósito inicial: a) fes inyectiva.
- 69. 126 FUNCIONES Sean x'y x" en A, tales que {(x') = f(x") x' J¡ x" l+lx1 = t+lx'1 con sg (x') =sg (x") •x'+x'lx"! =x"+x"lx'l y sg(x')=sg(x") 'x · ;- x ·. x •· sg (x ') = x .. -i- x ... x' sg x ') Por rii) 1J. x'=.:t" Osea: fes l- l. b) fes sobreyectiva. S¿a y € (- l , 1). Si 3 x e R 1f(x) =y, entonces debe ser Operando Es decir X 1 + lxl = Y con sg(x) =sg(y) x =y +y lxl Por (1) 'x=y +yxsg(x) Poriü) ~ x=y+xysg(y) Por(l) ~ x - x y sg (y) =y Por trasposición ~ ·- X (l - lYI)=y Por distributividad y iü) J' . y . X = 1_ IYI Pues 1 -¡y¡ >O ya que IYI < 1 y f y € (- l ' 1)' 3 X= I=IYI (l} FUNCIONES INVERSAS tal que f(x)=f (-1-~yl) y - 1-lyl - 1 + __Qj_ 1-lyl Esto prueba que f es sobreyectiva. y ·1-IYI 1+ 1 1~lyl ¡· y 1-lyl +l.vl l2i y Por a) y b) resulta que fes biyectiva y en consecuencia admtte mversa. Lií invcísa es e) Verificamos que g o f =iu. En efecto r•: (-1 ,1)-+R talque rl (x) = 1-xlxl' f x € R: (g of)(x) =g [f(x)} = _x_ - (- X ) l + lxl - g l + lxl = l x l = x = ia (x) 1- - - 1l + lxll d) Además,' f o g = Í(-1 ,1} Pues X€Í(-t,l)=> {{og){x)=f(g(:c)]= X =fel-xlxl) = 1-lxl l.; 11 ~lxll = i(-1,1) <-7> =X= Ejemplo 4-11. La función{: A --. Bes inyectiva si y sólo si existe g: B --. A talque g a 1= iA I) Hipótesis) f: A-+ Bes 1-1. Tesis) 3 g: B-+A tal queg o/= iA. Demostración) la función f no es necesariamente sobreyectiva. de modo que eventualmente existen elementos del codominio sin preimagen en el dominio. Nos ayudamos con el siguiente diagrama
- 70. 128 FUNCIONES Definimos unafunción g · B ->A mediante la siguiente asignación X siftxl =y g¡y l"' x' (Cualquier elemento fijo de A) si no existe x e A tal que f(x) = y. De este modo, todo elemento de B tiene un correspondiente en A, y además es único, por ser l inyectiva. Ahora bien, utilizando las detimdones de composición, de g, y de identidad en A. se tiene. cualquiera que sea x e A (g o f) tx) =g [f(x)j =g (Y) =x =lA (x) y por definición de funciones iguales resulta gof= iA II) Hipótesis) f: A-+ B es tal que existe g : B-+ A de modo que g o f == iA Tesis) fes inyectiva. Demostnción) Sean x' y x " en A tales que f (x') =f !.x" ). Entonces: g{f{x')J=g[f(x")l Por definición de composición: (g of) (x') = (g o/) (x"). Por hipó1esis: í A (x') = iA (x "). Esto implica x• = x". y en consecuencia fes 1-1. -Us. IMAGENES DE SUBCONJUNTOS DEL DOMINIO 4.8. l. Sean / . X _.,. Y y A un subconJllnto de X. Las m":ígene:;, de todos ios elementos de A determinan un subconjunto de Y, llamado imagen de A por i ~ I'Ja[(A) PROPIEDADES DE LAS IMAGENES 129 Definición Imagen del subconjunto A e X es el conjunto cuyos elementos son las imágenes de los elementos de A. En símbolos f(A)={f(x)/xeA} O bien {(A)={)'€Yi3xEA. ;[(<)=y} El símbolo f(A) se íee ..imagen de A''. De acuerdo con la detlnicíón yef(A) ~3xeA!y={tx) En particular, si A = X, entonces f (X) se •llama imagen del dominio por f o directamente imagen de .f. Además,f(Q>) =</). Se tiene obviamente que /es sobreyectiva si y sólo si[(X) =Y. 4.8.2. Propiedades de la imagen Sean f: X-+ Y y A y Bsubconjuntos del dominio. a) Si un subconjunto del dominio es parte de otro, entonces la misma relación vale para sus imágenes. Es decir, si/: X -+Y, A e X. Be X y A e B, entonces esf(A) C/(B). En efecto. sea z ef (A) J} 7<. 3 x e A 1f (x) -= z J} J x e B / f(x) = z 4 -~E/IBI Por definición de imagen Por ser A e B Por Jeúm..:::,n Je im:1gen b) La imagen de la umón de dos subconjuntos del dominio. es ¡gua! a ia uniÓil de sus imágenes. Hipótesis) f : X -+Y ACX y B.CX. Tesis) /(AUB)=f(A)U[(B) Demostración)
- 71. l H' FUNCIONES Probamosla doble indusión. ; 'IS<!a z e{(AU B) '3 x eA u B 1f(x) = z J¡ 3 x 1 (x e A v x € B) A f(x) =z ~ ""(3x x€A "f(x)=z) v (3xfxc:B 11 {(x)=z) ~ ze{(A) V z €/{8) i z e{(A) U {(B) Es decir f(A U B) C f(A) Uf(B) 0) 2°) Usando propiedades de la inclusión y a) De ( 1) y (2) resulta .:¡ ACAUB •f(A)Cf(AUB)} = BCAUB =>/(B)C/(AUB) =/(A) Uf(B) C/(A UB) (2) {(A u BJ ={(A) U f(B) e) la imagen de la intersección de dos subconjuntos del dominio está incluida en la il:terseccíón de sus imágenes. Se trata de ver que si /: X-Y. A e X y Be X, entonces -/(A n B) C/(A)IIf(B) .· En efecto, sea PREIMAGENES z ef(A n B) V, "". 3 x e A n B/ f (x) = z_..,--~ ~ '(3xeAi{(x)=z) A (3xeB/f(x)=z) ~ Z€/(A) 1 Z€/(B) ~ z e/(A) nt(B) Entonces /(A n B) ej(A,) nj(B} El siguiente ejemplo prueba que no es válida la inclusión en el otro sentido. Sean f: Z ....,. N defmida por f(x)=x1 y los subconjuntos de Z A={- 2,-3 .4} y B ={2, 3, 4, S} Se tiene A n B = { 4} y /(AIIBI=={l6} {(A) nt(B) ={4, 9, 16} n {4, 9, 16,25} = { 4, 9, 16} Resulta • /(A n B) C /(A) nf(B) * . .. 4.9. IMAGENES INVERSAS DE SUBCONJUNTOS DEL CODOMJNIO 4.9.1. Concepto l3i Sean!: X....,. Y y A una parte del codominio Y. Un problema de interés consiste en determinar los elementos del dominio cuyas imágenes pertenecen a A. Tales elementos fonnan un subconjunto dé X, llamado imagen inversa o preirnagen de A por f ·
- 72. ·y·:::~~~ '~.:.."-, ....,.,___......., 132FUNCIONES Definición Imagen iwersa o preimagen del subconjunto A e Y, es el conjunto de los elemento~ del dominio cuyas imágenes pertenecen a A. La notación para indicar la preimagen de A por[, es r 1 (A) y no debe entenderse que se indica la función inversa, la cual puede no existir, ya que nada se prefija acerca def En símbolos ¡-1 (A)={xeX!f(x)eAJ Es claro qut X e¡-1 (A) ~ f (x) € A Es decir, un elemento del dominio pertenece a la preimagen de A si y sóio sí su imagen pertene¡e a A. Ejemplo 4-22. Sea f: R -~oR definida por f(x) = x 2 • Determirlamos las preimágenes de los siguientes subconjuntos del codominio ¡,. t!. L!l,!-1 1i ~..¡. 91 Se tien~- i) ¡-1 (-oo,·-lJ={xeR /(X}€{-oo,-1)} Ahora bien • /(x)e(-oc,-:1} ~x2 ~-1 *>X€</J Resulta rl <-00 • - 11 =<~> ü ) En el segundo caso xer 1 (-1' 1] ~ f (x) € (- 1 ' 1} ~ x2 e(- 1, 1} $ -1 <x2 ~ 1 $ x2 ~ l ~ lxl2 ~ 1 $ -l~x~l *X €{- 1, l} PREIMAGENES Por definición de preimagen Por definición de f Por definición de intervalo Pues x2 > -· t , v x Porque x2 = lx!2 Por ser lxl ~ 1 Por definición de intervalo cerrado Entonces r• (- 1 , 1] = (- 1, 1) üi) Se tiene X €r1 (-1, 1) $ /(x) e(- 1 , l) *xze(-1,1) t <1 *Xi < Í IJ -l<x<l ~ X € (- 1 , 1) Luego ¡-t (- 1 , 1) = (- 1 , 1) 133
- 73. l ;.! ;·")Finalmente Entonces FUN('IONES xerl (4,9] ~ f(x)€[4,9] ~ x2 €[4,9] t 4<x2 <9 ~ x2 ;;;;. 4 1 x 2 ,¡¡;; 9 ~ :.'tf ;;;¡. 2 , lxl ,¡¡;; 3 $ X € [-3,- 2) V X E [2, 3] $ X € [- 3 , - 2] U {1, 3] ¡-t [4,9]=[-3,-2JU[2,3] 4.9.2 Propiedades de la preimagen Sean f: X-. Y y los subconjuntos A e Y, Be Y a) !..a preimagen de la llnión es igtJal a la unión de las preimágenes. · Se !rata de probar quef·c.-¡ (A U Bf;¡::.c('.A.)Jj:.t (B) ttllizamos sucesivamente las definiciones de preimagen, de unión y de preimagen: . ::.. xe¡-1 (AUB) ~t(x)eAUB ~-· . / . ' ~ f (x) e A v f (x) eB ~ ...,.xer' (,}V xer-l (B)'~ ...,. x €.r1 <A) u r' m' } PROPIEDADES DE LAS PREIMAGENL S 135 b) La preimagen de la intersección es igual a la intersección de las preirnágenes, es decir .. ¡-t (A n B) =r1 (A)n¡-t (B) Razonando análogamente, se tiene xe¡-1(ArlB) ~[(x)l.~.nB ~ ' .*"f(x)eA A [(x)eB <=> *" X e¡-1 (A) 1 x e¡-t (B) *" *"X er1 (A) n¡-t (B) e) La imagen inversa del complemento de un subconjunto del cüdominio é, igu..l.,l complemento de su preimagen En efecto Ejemplo 4·23. ¡-1 (Ac)=if-t (A)r x e¡-1 (Ae) ~ [(x) e Ae ~ f(x)tl A ~ ~ -[f(x)eA] ~ -[xer1 (A)]~. ~ Xf¡-t (A) <=> X e(¡-1 (A)]c l( 1 El conjunto n consiste en los posibles resultados que se obtienen al lanzar una moneda, es decir Se define f: n-+R mediante En un diagrama. ta situación es n fl=tc,s} [(e)= 1 f(s)= O R
- 74. 136 FUNCIONES Determinar ¡-1 (-oo,x] 'V X € R Por definición de preímagen Entonces Ejemplo 4·24. Sea una aplicaCión Demostrar rl (--ex>,XJ={wd1/f(w)~X} ~ cp síx<O ¡-1 (-=·.x]= ~ {s} si O~x< l ~ {e , ~} si l ~ x f· A-+R ""'''i X €R: U F 1 (-·""·X- :::;-n] =r1 (-oo, x) n = t Para cada x E R, el primer miembro denota la unión de una sucesión de conjuntos del dominio A. cuya identificación con la preirnagen de (-oo , x) debemos probar. .... i) Sea 1Vf u rl (-oo, X- in] n = 1 Por definición de unión, 3 m E N tal que werl (-oo,x-2-m] Por defmición de preimagen f{w)o;;;x-rm (1) Y como O< 2-m (:!) Sum:mdc ( 1: y _::¡ {;wl<x es decir: f(w)e (-oc, x). y por definición de preimagen resulta we¡-1 (-oo,x) Luego lJ ¡-1 (-oo,x....:rn¡c¡-1 (-oo,x) n = l (3) RESTRICCION Y EXTENSION 137 ii) Sea ahora wer1 (-oo,x) Por definición de preimagen f(w)<x Esdecir: x-[(w)>O Y siendo x-f (w) un número real positivo ex~te m e N tal que x-ftw):.;;. 2-m Por trasposición de términos f(w)o;;;x-2'"' O sea 3m E N/ f{w) € (-oo, x-2-m] Y por definición de preimagen 3meNJwe¡-1 (-"",x-· z-ml Por definición de unión resulta 00 WE U ¡-t (-oo,x-2-n) n = 1 Es decir 00 ¡-1 (-oo,x)C U ¡-1 (-oo,x-2-"] (4) n = 1 Las inclusiones (3) y (4) demuestran la igualdad propuesta. 4.10. RESTRICCION Y EXTENSION DE UNA FUNOON .~ean f: X ~Y y A un subconjunto de X. Definimos la funcióng :A..,.Y mediante la asignación g lx) = J{x) cualquio:!ra que sea x € A. Decimos que g es la restricción de la ¡¡ plicaciém f &1 subconjunte A. y la denotamos g ¡A. Si g es la restncción d<; f al subc0njunto A, entoncesf: X-+ Y es una extensión de la función g sobre el conjunto X. Es claro que la restricción de f: X-+ Y al subconjunto A es única; mientras que, dada una función g: A-+Y, ésta admite más de una extensión sobre el conjunto X que contiene a A. En efecto, sig : A-+ Y y A C X, entonces podemos definir una extensión de g al conjunto X, de la siguiente manera, sea Yo un elemento cualquiera de Y; defmimos: { g (x) si i: e A f: X-+Y mediante f (x) = y 0 si x eX-A
- 75. :Jf/IIIJI!Ii' .,._ '"'·----- TRABAJO PRACTICO IV 4·15. Dados A = { 1 , ::; . 3} y B = { O • l , :! , 3 , 8} definir por extensión la función f: A -+ B, que asigna a cada elemento del dominio su cuadrado disminuido en l. Representar y clasificar¡: 4-26. Siendo A = { - 2 , - l , 1 , 3} representar y clasificar la aplicación/ . A-+ Z. tal que la imagen de cada elemento de A es el resto de su división por 3. 4-17. Por definición, parte entera de un número real x es el mayor entero que no supera a x. Si e es la parte entera de x se verifica e.;;;;x<e+l Para denotar la pane entera del número real x. se usan las notaciones ent (x) o [xl Estudiar. representar y clasificar la función f: R- Z, definida por f(x) = ent (x) 4-18. Representar y clasificar la función mantisa, que se denota por mant: R-+R y se define mediante mant (x) = x- ent (x) 4-19. Representar y clasificar las siguientes funciones: i) /: R-+R talque {(x)=~-l ii) f: R--+[1. oo) tal que {(x) =x2 + 1 iii) f: Z --+Q definida por f(x) = x; 1 .4-JO. Sean A= { 1 •2 , 3) y B= { 2. , 3} Repre>entar y clasificar f: AX B -+ Z definida por 1(a . b) =3 a- b 4-.JJ. Dados A= { 1 , 2, 3} y B= { 1 , 2, 3, 4} defmir por una tabla y clasificar f: P(A) ~ P(B) tal que /(X)= 8- X r TRABAJO PRACTICO IV 13() 4·31. Definir aplicaciones no constantes, con los dominios y codorninios que se indican: i) t: Q~z ii ) g : Z-+N (que sea biyectiva) iii) h : R ~{O , 1} 4-33. Sean f : Z -+ N definida por f (x) = x2 , y los subconjuntos del dominio A= { -l.-2,-3,4}y B= { 1,2,3,4}. Verificar las propiedades de la imagen. 4-34. Se considera la función{: R1 -+R tal que f(x, y)= y. Dar dos subconjuntos A y B del dominio. tales que B C A y f (A - B) :#= =1= {(A)-f(B) 4-35. Proponer dos éonjuntos X e Y, una parte A C X y una función f: X~ Y tales que i) f(X-A)CY-/(A) ii.) Y-{(A)C{{X-A) iii) f(X- A) n [Y- {(A)]= tP 4·36. Sea f: R -+ R definida por f (x) = x2 + l. Determinar las preimágenes de los siguientes subconjuntos del codominio: [- l , 1 ), (-o:>'~], [o' 3], [o, 3), [ l • lO] 4-37. Sea f: X -+Y. Demostrar la equivalencia de las siguientes proposiciones: a) fes inyectiva. b) V A, A C X .,.,_ ¡-t [!(A)]= A 4-38. Las funciones f :Z -+Q y g : Q -+ Z son tales que x2 f(x)= 2 + 1 y g(x)=ent(x) l Definir g o f, f o g, y determinar (g o f) (- 2}, if" g) ( -2· ). 4-19. Las funciones f : A -+ B yg : B ~e son tales que g o fes sobreyectiva. Demostrar que g es sobreyectiva. · 4-40. Las fu_nciones f: A~ B. g : B ~e y h : C-+ D son tales que g o [y h o g son biyectivas. Demostrar que t; g y h son biyectivas. 4-41. Lás funciones f : A -+ B, g : B -+ C y h : C -+A son tales que h o g o f y lo h o g son sobreyectivas, mientras que g o f o h es inyectiva. Demostrar que f, g y h son biyectivas. ·
- 76. 140 FUC'lONES 4-42. Seanf: X--.. Y una función, y los subconjuntos A e X y B C Y. Demostrar las siguientes relaciones: a) A c¡-t [{(A)] e) {(X)- [(A) C{(X- A) b)f[¡-1 (B)]CB d)¡-1 (Y-B)=X-¡-1 (B) e) /(A n¡-1 (B)) =/(A) n B 443. Dado el subconjunto A e X definimos la aplicación XA : X -4 R mediante 1 si X€A XA (xl "· si. xeX-A XA se llama función característica del subconjunto A C X. Verificar que para todo elemento x de un conjunto X se cumplen las siguientes relaciones entre las funciones características de los subconjuntos de X: i) X.t.na(x) = XA (x) Xa (x) ü) X..~.uu(x) = XA (x) + XB (x)- XA (x). Xs (x) 4-44. Se considera la función 1 ; X2 - X2 definida por {(a' b) = (b. a) DemostrM que f (; d =d, siendo d : X - X2 la función diagonal. 4-45.l..a función/: R ~R2 está definida por f(x) = (x, -x). Delllostrar: i) /(x +y)=f(x)+f(y) ü) f(k.x)=k.f(x), dondek€R Nota: las condiciones i ) y ü ) confieren a f el carácter de función lineal. 4-46. Sea 1 um función arbitraria de un conjunto A en K Demostrar que para ·todo número real x se verifica 00 n· ¡-1 (-oo,x+2-")=r1 (-oo,x) n" 1 4-47. Sea A es un álgebra de Boole de subconjuntos de íZ, y P es una función de A en R que satisface: ; 1 p ~ O cualquiera que sea A ii ) p {rl) = ¡ iii) pc~t A;) = i~t p(A¡) La aplicación P, que verifica las condiciones anteriores, se llama función de probabilidad; los elementos del dominio son sucesos, y ~a imagen de cada uno de ellos es su probabilidad. Demostrar: a) La probabilidad del vacío es igual a O. 1 i t TRABAJO l'RACTICO IV 141 b) La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a 1a suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su intersección. e) La probabilidad del complemento de un suceso es igual a 1 menos la probabilidad de dicho suceso. 148. Sean un álgebra de sucesos de Qy X una función de nen R. Demostrar que para todox €R x-1 (-oo,x)€A <*- x-1 (-oo,x}eA 4-49. En las mismas condiciones del ejercicio anterior demostrar x-1 (~=.x]eA«> X-1 [x oo)€.4 4·5(1. fn el mtsmo caso. demostrar x-• (-oo,x]eA «> X-1 (x,oo)e...t 4-51. Sea f: X-+Y. Demostrar la equivalencia de las siguientes proposiciones cuales· quiera que sean A e X y B e X i ) ¡-1 [/(A))= A ii) f{AnB)=/(A)n[(B) iii) A n B = q) ~/(A) nt(B} =q) iv) Be A ~/(A- B) =/(A)-f'(B) 1; ! h
- 77. Capítulo 5 LEYES DECOMPOSICION 5.1. INTRODUCCION En este capítulo definimos, desde el punto de vista funcional, el concepto de ley de composición interna en un conjunto no vacío. Luego de proponer algunos ejemplos, se estud1an las pos1bles propiedades que pueden presentarse y la eventual existencia de elementos distinguidos. Se introduce aquí el tema de homomorfismo entre conjuntos, y :>u culminación en el teorema fundamental de compatibilidad de una relación de equivalencia con una ley interna. Con vistas a su utilización en la estructura de espacio vectorial, se defmen las leyes de composición externa. 5.2. LEYES DE COMPOSIOON INTERNA lna ley de composición interna, defmida en un conjunto no vacío A, consiste en una operación que asigna a cada par ordenado de elementos de A un único elemento de A. Esto sígnifica que a cada objeto de A X A le corresponde un único elemento de A. Definición Ley de composición interna defmida en un conjunto no vacío A, es toda función de A X Á en A. En símbolos *es una ley in~erna en A ~ * :A2 -. A Es decir aeA ,, beA :=>a•beA La unicidad de a * b está dada por la definición de función. La imagen a * b, del par (a; b), es el compuesto de a con b. ~ 1 1 1 LEYFS DI COMPOSICION lNl'FI:{NA U3 Son ejemplos de leyes de composición interna, la adición y multiplicación en N, z, Q, R y C. Ejémplo 5-l. Las siguientes tablas de doble entrada defmen leyes de composi~,;ión interna en el conjunto A={a, b, e} i).* !abe ii)~a a b ba a b e t. 1.. .... ,. ~ 1 ~ ~ :; 1 ; ~ ; En í ) es b * e = a, pero en íi) se tiene b *1 C =c. ¿Cuántas leyes de composición interna es .posible defmir en este conjunto A'! Es obvio que tantas como funciories existan de A2 en A~ como A2 tiene 9 elementos, se trata de todas las variaciones con repetición de 3 elementos de orden 9, es decir, 3 9 • Ejemplo 5·2. En R2 se define * mediante ta, b) *(e, d) =(a+ e, b +d) Esta ley interna es llamada suma ordinaria de pares y se efectúa sumando en R. componente a componente. Como cada par ordenado de números reales caracteriza un vector del plano aplicado en el origen de un sistema cartesiano, resulta que el significado geométrico de esta ley de composición interna en R 2 consiste en la diagonal del paralelogramo cuyos lados son los vectores dados. """""' ,.t .;. (a,b)*(c,d) R
- 78. '"',M· yc::~--~~ }il Jjemp/o 5-3. -~:~~~~~~: .~~?: );.~~~:;:_ -~~.:~11 LEYES DE COMPOSICION Dado A = { t, 2, 3} se considera el conjunto T(A) cuyos elementos son todas las ::unciones biyectivas de A en A, es decir T (A)={[¡: A ~ A 1/¡es biyectiva} llo<os interesa ~finir en T(A) la composición de aplicaciones. que es obviamente una J~y de composid6n interna: puesto que la composición de aplicaciones biyectivas de A t'1 .- conduce a ;~pli.:aciones b1yectívas de A en A. El conjunto 1{A) tiene 6 eiementos, que caracterizamos a trave:; de los ..:orr~spt>n· ;:..:ntes conjuntos imágenes de las aplicaciones [¡ ={(1,1),(2,2),(3,3)}=iA ~~ :::1HJ.l),(2,3),(3,2)} /3 ={(l '2),(2' 1) ,(3, 3)} f4 ={(1.2},(2.3),(3, I)} ls ={o ,3).(2, ]),(3, 2>} 16 ={o .3) .<2. 2),(3, n} Para componer!2 con / 3 determinamos/ 3 o ! 2 mediante: (f3 of.)(l)=f3 [fz {1})=[3 (1)=2 (/3 o !2)(2) = !3 [12 (2)] = ¡3 í3) =3 (/3 efz)(3)= l Resulta así/3 o fz =[,;,. El lector puede completar la tabla de la composición de las funciones biyectivas de A en A. com<J en el caso del ejemplo 5-1. 5.3. PROPIEDADES Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS DE LAS LEYES DE COMPOSICION lNIER..'iA Se.a * una ley de composición interna en A, es decir. * : At -- A 5.3.1. Asociatividad * : A 2 -~A es asoc.iativa ~(a* b) *e= a * (b *e) cualesquiera que sean a. li y e en A. 5.3.2. Corunutatividad * : A 2 -+A es conmutativa * a * b =b *a para todo par de elementos ay b de A.. PROPIEDADES Y LLEMlcNTOS l>ISliNGUIDOS 145 5.3.3. Existencia de elemento neutro Cabe preguntarse si existe en el conjunto A un elemento e, que compuesto a izquierda y a derecha con cualquiera otro no lo altere. Si un elemento tal existe se lo llama neutro o identidad respecto de la ley * de acuerdo con la siguiente definición e € A es neutro respecto de * * V a € A : a * e = e *a = a 5.3.4. Existencia de inversos en una ley con neutro Sea * una ley mtema en A, con elemento neutro e. Dado ae A interesa investigar sJ e:mre a'.- A, tal que compuesto a izquierda y a derecha con a de por resultado e. El nemro es un elemento del conjunto relativo a todos. El inverso. si existe. es relativo a cada elemento. Proponemos la siguiente ..iefiníción a' e A es inverso de a EA respecto de* <*a* a'""' a'* a= e Los elementos de A que admiten inversos respecto de * se llaman inversibles. Ejemplo 5-4. i ) La adición es una ley interna en N, conmutativa y asociativa. ü ) La adición es ley interna en Z, asociativa, conmutativa, con neutro O, y con inverso aditivo para cada entero. iii) En R la multiplicación es ley interna, asociativa, conmutativa, con neutro l, y con inverso multiplicativo para cada elemento no nulo. iv} En el conjunto T{A) del eJemplo 5-3, la composición de aplicaciones es ley interna, asociativa (la composición de funciones es asociativa), con neutro [ 1 =iA, y con inverso para cada elemento. Estas propiedades son verificables sencillamente mediante la tabla de la composición. 5.3.5. Unicidad del neutro Si exis.te neutro en A respecto de*· entonces es ünico, :;upvngamcs qu~ ;> y e· son neutros respecto de e~<; entonces. por ser e neutro y por serlo e·. se tiene e'=e'•e=e*e':;:;;;e 5.3.6. Unicidad del inverso respecto de una ley asociativa Si un elemento a e A admite inverso respecto de la ley asociativa*, entonces dicho inverso es único. Supongamos que a' y a" son inversos de a. Aplicando consecutivamente la defini·
- 79. J41, LEYES DI'C'O:,H'OSIC'JON cíón de neutro, el hecho de que a' es inverso de a, la asociatividad, el supuesto de que a" es inverso de a, y la definición de neutro se tiene a"= a"* e= a"* (a* a)= (a"* a)* a'= e *a'= a' 5.3.7. Regularidad de un elemento respecto de una ley interna La regularidad de un elemento respecto de una ley de composición interna consiste en que es cancelable o simplificable a izquierda y a derecha en los dos miembros de una igualdad. Definición (a*b=a*e ::;b=c ¡¡ ¿ A '"" regula! re:>pecto de • ..;;.. ~ , f. O*a=c*a =>b=c La regularidad bilateral se llama regularidad a secas; sí es preciso distinguír, habrá que especificar si lo es a izquierda o a derecha. La regularidad es relativa a la ley de composición, y, lo mismo que la inversión, Jepende de cada elemento. Así como existen elementos que admiten inverso. y otros que no, aquí puede ocurrir que un elemento sea regular o no. Si todos los elementos de un conjunto son regulares respecto de cierta ley de composición interna, se dice que vale la ley cancelatlva o de simplificación. Eft'mplo 5-5. i } En (Z, +) todos los enteros son regulares. ii ) En (N, .) todos los naturales son reguláfes. iii) En (R. .1 todos Jos reales, salvo el cero, son regulares. iv) En (R2 , +) todos los elementos son regulares. En este ejemplo de ley de composición interna valen la asociatividad, conmutatividad, existe neutro (O, 0) y el inverso aditivo u opuesto de todo par(a, b)es(-a, -b). Ejemplo 5-6. Se define* : Q2 ..._. Q mediante a* b =a+ b +a. b (I) Se entiende que +y. son la suma y el producto ordinarios de racionales,.de modo que ( l) caracteriza una ley de composición interna en Q. El problema consiste en analizar las propiedades de *en Q. r) Asociatividad. Aplican¡lo reiteradamente la definición (1) ~ * b) • e =(a +b +a. b) *e = a + b + a . b +e +(a +b +a . b) . e = =a +b +e +ab +ae + be +abe (2) a* (b *e)= a~ (b +e+ b. e)= a+ b +e +b. e+ a. (b +e+ b. e}= =a. +b +e +~b +ae +be +abe (3) De (2) y (3) resulta (a* b) *e =a * (b *e) y la ley es asociativa. REGULARIUAD 147 ii) Conmutatividad. Se verifica aplicando (1) y la conmutatividad de la adictón y multiplicación en Q a*b=a+b+a.b=b+a+b.a=b*a iii) Existencia de neutro. Si existe e, para todo a e Q debe cumplirse a•e=a Por (l) a +e +a . e =a , es decir : e +a . e = O. Luego ( 1 +a). e= Oy cualquiera que sea a*- 1, resulta e= O. Sia;.:.:. l,scticnca+c~{-~l)~~o= 11 O~ ( 1) ~O= Resulta entonces que existe e= O. Por la conmutatividad. sólo hemos analizado con e a derecha. iv) Elementos de Q que admiten inverso ~especto de *· Si a. € Q admite inverso, debe existír a' e Q, tal que a*a'=e es decír a+a'+a.a'=O ~a·. (l +a)=-a. Luego. si a -:f:. - l. existe a· = 1-:a Es decir. todos los racionales, salvo- 1, admíten inverso respecto de*· v ) Elementos regulares. Investigamos qué racionales a son regulares a izquierda. Sea entonces a*b=a*C Por ( l) a+b+a.b=a+c+a.c Cancelando a en (Q , +) tenemos b+a.b=e+a.c Por distributividad b(l +a)=c(l +a) Si a =1= -1, entonces b=c ~ luego. todos los racionales, salvo -l. son regulares respecto de *. O bien, vale la ley eancelativa de * para todo racional distinto de -l. Ejemplo 5-7. Se considera el par (A , .) siendo "." el producto ordinario de números reales, y A el subconjunto de números reales del tipo a + b ../2con a y b racionales. Estarnos interesados en caracterizar las propiedades de esta ley de composición en A.
- 80. "•::·";;:·~o·'.!Z!l9'5Hc_c_-_,___ 148 LEYES DECOMPOSICfON i ) El prodUcto es ley interna en A, o equivalentemente, A es cerrado para el produc1o. En efecto, sean a=af-b..j2eA r (1=c+d...(2EA =* =*a. 3=(a+ b..;2). (e +d...{2) = (ac +2bd) +(ad +be) ..JI y comea, b, e, de Q, resulta a. {J t: A. ii) El producto en A es asociativo, por ser A un subconjunto de R, donde se sabe que la ~mltiplicación es ley asociativa. Debe quedar claro que las igualdades que se verifican para todos los elementos de un conjunto se siguen cumpli~ndo en cualquier subconjunto de el. Sólo <!s preciso probar las propiedades relativas a ia existencia. iii) Por lasrazones expuestas en ii ), el producto en A es conmutativo 'Vrx'VJ)eA:a.J3=1La iv) Neutrc es e= 1 +O, ..;2, pues (a+ bv'2H1 +0...(2) =a+ b V2 O tien, si existe neutro en A debe ser del tipo e= x +y ,/2, tal que para todo a "" a+ b Yldebe cumplirse (a +b ..J2). (x +y v'z) =a+ b y'2 (1) con .x ey a determinar. Efectuando operaciones: (ax + 2 by) +<r+ay).../2 =a+ b v2 (") { ax +2by =a - bx+ ay=b Sia = b = O(1)se cumple obviamente. Supongamos entonces que a y b no son simultáneamente nulos y utilicemos el método de Crámer para resolver (2) 11 2b ~ _., b'l =fo o~-~~ '""'d -u- ¡, u son ~nteros no simultáneamente nulos por lo supuesto. a b.x = b b.y =1:· 1b: / ""'a2 - 2 b2 ill a 1 1 =ab-ab=O b 1 puesa b PROPIEDADES Y FUéMENTOS DISTINGUIDOS t49 Entonces b.x ·· óy x:::;:--=l,v=--=0 11 - 6. Es decir, existe e = l + O ..,!2.- v)1 odo real no nulo admite inverso multiplicativo. Se trata de ver aquí que si a= a +b .J2i= O.+ O... ..,fí,entonces su recíproco pertenece a A. Si existe será del tipo x +y ..J2 tal que (x +y .J2). (a+ b .Ji>= l + o.J}. lJ (ax +2bt·l+(bx+u~·¡ -""" l +O ax +::: < 1). =1 ( bx 'T'OV =0 • lJ. 1 2 b 1 1a l:ó.:-.:= ll:a b.v= ' o a! '- lbot.= a2 - 2 b1 #O Es decir a -b x = a1 - 2b2 • Y= a2 - 2 b2 y resulta ál _ a _ __b_._ .J~ - a2 - 2 b2 a2 - 2 b2 ~ - =-b vi) En cuanto a la ley de simplificación, todo elemento no nulo de A es regular, pues si a 'i= O y a ~ = a 'Y , entonces o:/3-a"f=Ü =* a (¡3- "/)=O =P-'Y""'o =*13=-r Ejemplo 5-8. Sea R"xm el conjunto de las matrices reales den filas y m columnas. Definimos la adición d~ matrices en Rnxm mediante A + B ""'[aii j + [b¡¡l ~ C tal que('¡¡ = a,1 +-bu >ti 'ii Es Je~;¡r, dos m:Hr~<..:..:s n X m Se ~um;m demenw .1 t:k:menh:. R~uita daro qu10 es- ta definición caracterizá" una ley de composidón interna en R" "m. qu! v,;rifica las siguientes propiedades: i ) Asociatividad. Basándonos en la asocíatividad de la adición en R (A+ B) + C: ({a¡¡)+ [b¡¡]) +[c1¡] = =[au +b¡¡] +[e¡¡]= [(aii .+bu)+ e¡¡}= =(a¡¡+ (b¡j +c¡j)J = [aiiJ + [b¡¡ +C¡¡J = =fa¡¡]+ ([ó;¡} + [c;¡l) =A+ (B + C)
- 81. l5U LEYES DECOMI'OSICION ii ).Conmutatividad. Con el mismo criterio anterior. A+ B = [aiiJ + [bii]= [ai¡ + b;¡] = = [b¡¡ +a¡¡)::;; [b¡¡] +[a¡¡]= B +A Hemos utilizado, sucesivamente, la definición de adición de matrices, la conmutati- vidad de la suma en R, y nuevamente la defmición de adición de matrices. iii) Elemento neutro es la matriz nula N € Rn xm definida por nu = O, Vi Vj, pues cualquiera que sea A en dicho conjunto A+N=N+A=A iv} !nversa adithr: de toda matriz A eRnxm es la matr.z Be Rnxm defi.n!d!l por bu=- a¡¡ "i (i ;j), pues A+B=B+A=N La matriz B, inversa aditiva de A, se llama opuesta de A, y se denota por- A v) Toda matriz n X m es regular respecto de la adición. En efecto A + B = A + C , y sumando -A -A +(A + Bi =-A +(A+ C) asociando (-A+ A)+ B =(-A+ A}+ C por iv) N+B=N+C y por iii) B=C 5.3.8. Distributividad de una ley de composición interna respecto de otra Consideremos el caso de dos leyes de composición interna "•" y "o", definidas en un mismo conjunto A. Interesa caracterizar el comportamiento relativo de dichas leyes internas en el sentido de obtener elementos del tipo (a * b) o e, o bien (a o b) *c. Definición ..o" es distributiva a derecha ~especto de"*" si y sólo si (a * b) o e= (a o e)* (b o e} para toda terna de elementos a, by e en A. La distríbutividad a izquierda de "o" respecto de--~" queda definida por a, b, e é A => e o (a* b) =(e o a)* (e o b) Se dice que "o"' es distributiva respecto de * si y sólo si lo es a izquierda y a d.:recha. Análogamente se define la distributividad de "*" respecto de !lotio .. ~ o HOMOMORFISMOS 151 Ejemplo 5·9. ) La adición y multiplicaciÓn son leyes de composición interna en R, y la segunda es distributiva respecto de la primera. Pero la adición no lo es respecto de la multiplicación. ii) En el conjunto N la potenciación no es distributiva respecto de la adición. Aquí se define a * b = an y se tiene (a + bt =1= an + bn. Tampoco existe distributivídad a izquierda, pues ,l•"'':>)=izrza +ni> íii) Pero la potenctación en N es distributiva a derecha, respecto de la multiplicación, ya que (a. bt =an'. bn Sin embargo, no lo es a izquierda, pues rzla. bi =1= rza . nb iv) En P (U) la unión e intersección son leyes de composición interna, y cada una es distributiva respecto de la otra. v ) En P (U) se consideran la diferencia simétrica y la intersección. En el ejemplo 2-28 se ha probado la distríbutivídad de la intersección respecto de aquélla. 5.4. HOMOMORFISMOS ENTRE CONJUNTOS Sean (R, +) y (R+, . ), donde R es el conjunto de los reales, R +el conjunto de los reales positivos y las operaciones indicadas son la suma y el producto usuales. Consideremos ahora•ta función f: R ~ R+ defmida por /(x) = 2"' (l). Se tiene entonces f(x +y).= 2x+:v = 2"'.. 2Y =f(x) .f(y) Basándonos en la definición ( 1), el producto de potencias de igual base, y utilizando de nuevo la definición ( 1), hemos probado que la imagen de la suma !!n R es igual al producto de las imágenes en R". Una aplicación/. que satisface esta propiedad, se dice un homomorfismo de R en R + respecto de las correspondientes leyes de composición interna.
- 82. 152 LEYES DECmlhJS!CION 5.4.1. Homvmorfismo entre dos conjuntos respecto de una ley interna en cada uno Sean los conjuntos no vacíos A, A', y las leyes de composición interna * : A2 -+A *': A' 2 ->-A' Definición La fuación f : A -+A' es un homomorfismo respecto de * y *' si y sólo si la imagen de la COf[iposición en A es igual a la composición de las imágenes en A'. En símbolo5 f: A-t-A· es homomorfismo respecto de * y *. «- f (a * b) = f 1a) *·f (bl cualesquien que sean a y b en A. El concepto de homo;norfismo es fundamental en álgebra, y su interpretación es la siguiente: i ) Hemos definido homomorfismo entre dos conjuntos respecto de sendas leyes de composición ínterna. Las leyes internas y los conjuntos no son necesariamente distintos. Además, el concepto de homomorfismo es aplicable también respecto de relaciones que no son necesariamente operaciones. Se tienen, por ejemplo, los homomorfismos de mden. ü) Un homomorfismo, como objeto, es una función que respecta la propiedad que lo define. iií) El homomorfismo f : A -+ A' proporciona una alternativa para obtener la imagen de la composición en A, a saber: a) a e A 11 b e A => a *bE A => => f (a *b) e A' b) a e A 11 be A => f(a) E A' 11 f(b) E A' => => f(a) *' f(b) e A' MORHSMOS 1'>PLCIALES 153 El homomorfismo establece la igualdad de los objetosf(a * b) y f(a) *' f(b), y las dos posibilidades son: con~poner en A y hallar la imagen, o bien, hallar cada imagen y componer éstas en A'. Como sinónimo suele utilizarse el vocablo morfismo. 5.4.2. Homomorfismos especiales Sea f: A ....¡.A' un homomorfismo respecto de * y *'. i ) fes un monomorfismo si y sólo si fes inyectiva. ii ) les un epimorfismo si y sólo sifes sobreyectiva, iü) un isomorfísmo si y sólo si/ es biyectiva. iv) {es un endomorfismo si y sólo sl A"'" A·. v ) fes un automorfismo si y sólo si fes un endomorfismo biyecüvo. Ejemplo 5·10. Sean (R3 , +),(R2 x 2 ,+)yf:R3 ...¡.R2 x 2 talque 1 r f(x¡ ,xz .x,)=¡x¡ O 1 LX·: Las operaciones consideradas son la suma de ternas ordenadas de números reales definida por (x 1 ,x2 ,x 3 )+(y 1 ,y2 ,y3 )=(x1 +y¡ ,x2 +y2 ,x3 +y3) y la adición en R2 x 2 es la definida en el ejemplo S-8. Vamos a probar que f .:aracteriza un homomorfismo. - Sea f[t~:t , x2 ,x3) +(y¡ ,yz ,y3)j = f'tx¡ +y¡ ,x2 +y2 ,x3 +y3)= = rx1 +.V1 Ü l= rX 1 Q ""'J· + Lx2+Y2 x3+Y3j Lx2 X3 • Q l=f(X¡ ,X;¡ ,x3)+/(V¡ Yl J Ademas /es un monomorfisfflü, es de.:ir. inyectiva. En etecto. sean tr" , '~ Jf 1 E R" p.¡ " .• H:R:''!'X;,t2.X3F': !)¡ o . r oX¡ 1 ¡ V:c ~1 1= xJJ.J =>x 1 =y 1 ,Xz =y= .X;¡ =y3"" • => (X1 ,X2 ,XJ)=(y¡ ,y2 ,y3) En cambio/no es sobreyectiva. pues A =G. ~J carece de preimagen. ,}'2 ·Y3 1
- 83. L LEYES DECOMPOSICION !..·Nnplo 5-ll. Seal: R -7 R tal que f(x) =- 3 x. Resultafun automorfismo de R en sí mismo, respecto de la adición, pues i )f(a+b)=-3.(a+b)=-3a-3b=f(a)+f(b) ii) fes biyectiva, lo que se prueba siguiendo el esquema del ejemplo 4-9. El lector podrá comprobar fácilmente que f : R-+ R definida por f(x) = x + 1, no es un homomorfismo respecto de la adición. 5.5. COMPATIBILIDAD DE tJNA RELAClON DE EQL'IVALENCIA CON li'NA LEY INTERNA Se:.1n A ~ ti> , - una relación de equivalencia definida en A, y * una ley de composición interna en A. Cabe preguntarse si la composición de pares de elementos respectivamente equivalentes conduce a resultados equivalentes. Sí la respuesta es afr:nativa. se dice que la relación de equivalencia es compatible con la ley de .::v'mposición interna. Definición - es compatible con * <» a -a' ., b- b' o=> a* b -a' * b' cualesquiera que sean a, b, a' y b' en A. Ejemplo 5·12. Investigamos la compatibilidad de la congruencia módulo n, respecto de la adición en Z. Sean a -u' 11. b -b' =* n 1a -a' " n 1b - b' '* n 1(a -a') +(b - b ') = = n 1(a+ b)-(a' +b') =a +b -a'+ b' Hemos utilizado sucesivamente la definición de la congruencia módulo n, el hecho de que si un número es divisor de otros dos es divisor de su suma, suma de dos diferencias. y finalmente la defmición de la misma relación de equivalencia. Ejt!mplo 5-13. De manera semejante comprobamos la compatibilidad de la congruencia módulo n, . re:;pecto de la multiplicación en Z. 1-a· 1 b,.,b'o:::>nla-a' A n!b-b'=a=-a'+nk' 1 b=b'+nk"= = ab = a'b' + a_'nk" + nk'b' + nk'nk" = ab = a'b' + n (a'k" +'k'b' + k'nk') =ab=a'b'+nk =ab-a'b'=nk =>nlab-a'b'=ab -a'b' j ('OMI'A11HlLIDAlJ 15~ Ejemplo 5-14. En el conjunto N2 .de todos los pares ordenados de números naturales se considera la relación de equivalencia estudiada en el ejercicio 3·25, y la suma ordinaria de pares, definida por (a,b)+(e,d)=(a+c, b+d) (l) Sean (a, b) -(a', b') A (e, d) ~(e', d') =a+ b' = b +a' A e+ d' = d +e' = ~(a +e)+ (b' +d') = (b +d) +(a'+ e')'* (a +e, b +d) -(a'+ e', b' +d') = =>(a. b) -l- (e. d) -(a' b') +(e'. d') Oe este modo resulta que la relación de equivalencia definida en N 2 es compatible con la adición definida en ( 1). 5.5.1. Teorema fundamental de compatibilidad El hecho de que una relación de equivalencia sea compatible con una ley de composición interna definida en un conjunto es de notable importancia, porque induce una ley de ..:omposición interna en el conjunto cociente, es decir, permite operar con clases de equivalencia. Teorema Si - es una relación de equivalencia compatible con la ley de composición interna * en el conjunto no vacío A. entonces existe en el conjunto cociente ~ una única ley de composición interna *',tal que la aplicación canónica'{): A-;.~ es un homomorfis- mo. Además. las propiedades de * en A se transfieren a *' en ~ . Para demostra1· este enunciado consideramos las siguientes etapas: A i) Sean Ku y Ku dos elementos de ~ , es decir, dos clases de equivalencia. Como la aplica~ión canónica ¡,p : A _.. ~ es sobreyectiva existen x E /.. y € A tales que '{) (x) = Ku y '{)(y)= Ke .11 ). Con esto hemos logrado pasar del conjunto cociente al conjunto A, donde * es una ley de composición interna, y por lo tanto x *Y e A.
- 84. J:>6 LFYES DECOMPOS!CION Ahera bien, por definición de aplicación canónica, r.p (x * y) € ~ , es· decir, r.p(x *y)= Kw (2). De este modo, a partir de dos clases Ku y Kv hemos obtenido una clase resultante Kw. Para que esta asignación sea una ley de composición intema en ~ hay que demostrar que Kw depende exclusivamente de Ku y Kv, y no de la elección de sus preimágenes en A. En efecto, seanx' ey' en A, tales que <¡O(x')= K... y!p(y')=Kv (3). Entonces, por (1) y (3) se tiene r.p(x)~p(x) y ;,p (y')= =:ox'-x ._..,J" X;* y' "'X* y por la hipótesis de !a compatibilidad; y por la defmición de aplicación canónica resulta r.p lx' *y')= r.p (x *y)= Kw. con lo que nuestro propósíto queda satisfecho. Defmimos ahora A A A di t*' : - X - - - me an e ....... ........... ·- Ku *'K,= r.p(x) *' r.p(y) = r.p(x *y)= Kw Esta defmición es la traducción de lo anterior, y además queda establecido el hecho de que la aplicación canónica es un homomorfismo de A en ~ respecto de *y •'. ·ü) Veamos ahora que esta ley de composición interna •' es única, con la condición de que la aplicación canónica sea un homomorfismo. Para ello, supongamos que además existe *" en ~ , con dicha condición. Entonces Ku *" Kc =.p(x) *" .p(y) =.p(x *y)= .p(x) *'.,o{y)= Ku *' Ku Es decir:*''= •' por defmiciónde igualdad de funciones. ili) Además de la existencia y unicidad de la ley *', inducida en A por la relación de equivalencia compatible con *, veamos que las propiedades de * en A se verifican para*' en~. Jí ;~S>.l..:!;HiviJad. Supong:1mos qu~~ == se3 as0~iatlva eh A~ En~once~ (Ku *' Kt,) *' Kw = [!.o(x} *' r.p( y)]*' r.p(::) = .p(x *y)*' ¡p(::) = == .p[(x *y)* z) = ¡p[x *(y* z)] = y:J{;<) *' 1/'(Y * :) = = .p(x) *' [r.p(y) *' r.p(z)] =Ku *'(Kv *' Kw) b) Corunutatividad. Si* e~corunutativa, •' también lo es. En efecto Ku *'K•. = ~(x) *' ¡p(y) ='{)(X *y)= <.p(y *x) =<.p (y)*' '{)(x) = =Kv*' Ku j Cü:li.'ATUliLIDAD 157 e) Existencia de neutro. Si e € A es neutro, entonces .p(e) == Ke es neutro en A Sea Ku *' Ke = tp(x) *' ..p(e) = r.p(x *e)= ¡p(x) = Ku Y análogamente se verifica Ke *' Ku = Ku. d) Existencia de inversos. Supongamos que x' sea inverso de x respecto de *· Entonces las correspondientes clases K.. · y K., son inversas respecto de *', pues K,.. *'K,..·= ..p(x) *' .p(x') = ..p (x * x') = ¡p (e)= Ke se tiene K" *' K. :::: K,.. Ejemplo 5-15. Consideremos en l la adición y la multiplicación. Sabemos qJe la congruencia módulo n es compatible con estas leyes internas, de acuerdo con les ejemplos 5-l: y 5-13. Fijemos en particular n = 3; el conjunto cociente es ahora el de las clases de restos módulo 3, es decir, Z3 = {O, [ 2} ' De acuerdo con el teorema fundamental de compatibilidad, existen en z, sendas leyes de composición interna, únicas, tales que la aplicación canónica ..p: Z -+Z3 es un homomorfismo. Las leyes inducidas se llaman, respectivamente, Sl.lma y producto de clases, que simbolizamos con Ell y 0. Las tablas de estas leyes internas en el conjunto de las clases son · :·,~~~ ;¡:~~ ~ }~~ ~ ¡g~f La construcción de éstas se basa en el teorema fundamental; por ejemplo J·l'=~.p(l)Ell.p(2)= ~c;2""'-"t2lO::..pc~¡= +:!)=.p(3)-= ""o . 2¡ "" ;p(-í i ;pi! ) ;o; ! En la practica, dadas dos clases, se suman SU$ preimigenes <!n l (u bten se multiplican, según sea el caso); la suma obtenida se divide por 3, y se propone como resultado en Z3 la clase correspondiente al resto de la división. El esquema que proporciona la validez de este mecanismo consiste en la aplicación del teorema anterior. Ejemplo 5-16. Con análogo criterio construimos las tablas de adición y multiplicación de las cla&es de restos módulo 4, y obtenemos
- 85. l>i I.EH.S DECOMPOSlClON + o 1 2 3 o 1 2 3 o o 1 2 3 o oo o o T T 2 3 o T o 1 2 3- 2 23oT 2 o2 o2 3 3 o T 2 3 o 3 2 r Nos decidimos por denotar con los símbolos + y . la suma y el producto de clases, y nos interesa caracterizar las propiedades de estas operaciones en z3 y en z4. De acuerdo con el teorema fundamental, toda propiedad de la suma en Z se trasfiere a la ~uma en Z3 y Z4 y lo mismo ocurre con el producto. Sabiendo entonces que la adición "'li,. ~'lnnHit•lfÍ'*1 1 "l!('t"'tf"';'ltlu<" on 7 tnrnh;tin ln 3~ ln rnr-n,. .ln ,,}"C'-"'" u !"'!._,..~ ... ¡.,.,,, 1111.n -~ ... ~c""•'"'"-'-"'-Wa.o.•o,.¡ J w.~;..,r;...¡;..,,._¡.,w. wa¡ -..~ :;;,.i..¡¡;ua-i¡ """' ..,...:;, ~.,;¡, ~U.i.ii..O.. ,...;.;, ;,.¡.,¡,:¡;,...;¡.'1 )" i&ú'lo.i~ i•u.j '1""~ demostrar. Además, corr.o O es neutro para la adición en Z. resulta Oneutro para la suma en Z3 y Z4 . Por otra parte, como todo entero tiene inverso aditivo, la misma situación se presenta con toda clase de Z3 y de Z4 • La multiplicación en Z es conmutativa, asociativa y con neutro igual a l; en consecuencia, lo mismo ocurre para la multiplicación en Z3 y Z4 , siendo el neutro T. Avanzando un poco más en la interpretaci<Sn del teorema fundamental, se dice que toda propiedad de * en A, se tr.:~sfiere a *' en A; pero el teorema no establece que si una propiedad no se cumple en A entonces no se cumple en~. Veamos esto a la luz de los dos ejemplos 5-15 y 5-16. Se sabe que, en Z, eler.tentos no nulos dan producto no nulo, o lo que es lo mismo: si el producto de dos factores es cero, entonces alguno de los dos es cero. Esto se traduce diciendo que en Z no existen divisores de cero. Pero, por lo anterior, si en Z no existen divisores de cero no se deduce que no existan en el cociente. En efecto, basta analizar la tabla de la multiplicación de clases para ver 1a existencia de divisores de cero en Z4 , ya que 2.2 =O. Es decir, existen elementos no nulos que dan producto nulo. En cambio es fácil constatar que en Z3 no existen divisores de cero. Más adelante demostraremos que para la no existencia de divisores de cero es condición necesaria y suficiente que el módulo de la congruencia sea primo. S.ó. LEY DE COMPOSICION EXTERNA Se presenta a menudo la necesidad de operar con elementos de dc{; conjuntos, de mudo que ·la composición sea un elemento de uno de ellos. Esta situación es una de las características de la estructura de espacio vectorial. Sean dos conjuntos A y U este último llamado de operadores. DYfinición Una ley de composición externa definida en A, con operadores de Q, es toda función de .Q X A en A. LFY DE COMPOS!CION EXT!R'A !59 Usualmente, una ley de composición externa en A con operadores en Q se denota mediante ".", y suele llamarse producto de operadores de U por elementos de A. En símbolos se tiene "." es ley externa en A con operadores en ,Q .,. . : U X A-+A Mediante esta función, la imagen del par (a:; a) se escribe a:. a. Ejemplo 5-17. Si A es el conjunto de los segmentos contenidos en un plano y N es el conjunto de los números naturales, una ley de composición externa en A con operadores o escalares en N es el producto de números naturales por segmentos del plano. Ejemplo 5·18. Sean R2 y Q. Definimos producto de números racionales por pares ordenados de números reales, mediante a . (a , b) =(a: ..fl , a: . b) La igualdad anterior determina una ley de composición externa en R 1 con operadores en Q. Notamos aquí que el mismo signo "." aparece en la defmición anterior con dos significados distintos: en el primer miembro se trata del producto de racionales por pares ordenados de reales, y en el segundo miembro consiste en el producto de racionales pór reales. En particular, si el conjunto A se identifica con U, la ley externa se vuelve interna. Ejemplo 5·19. Consideremos ahora Rnxm y R. Vamos a definir una ley de composición externa en Rnxm con escalares u operadores reales, mediante cx. A= ex. [a¡¡ l =[ex. aíi] cualesquiera que sean ex e R y A e Rnxm Se tiene así el producto de números reales por matrices n X m, y se realiza multiplicando cada elemento de la matriz por el número real. Ejemplo 5·20. Si R [X) denota el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales. y el conjunto de operadores es R. entonces el producto usual de números reales por polinomios es una ley de composición externa en R [X] con escalares en R. Pero si el conjunto de operadores es el de los números complejos, el producto usual de complejos por polinomios de R [X] no es una ley de composición externa, pues . dicho producto no es siempre un polinomio real.
- 86. '~~~~~~~~~~~~~~-~-~··f'Jj~~f''W!ftrn;"i(Jíi't*dfM§:'', :~""~N#>'~.,.~·~··--- TRABAJO PRACTICOV 5·21. En Z se define * por medio de a * b"" :{a f. existencia de eiementos distinguidos. Estudi:~r las propiedades y la .... 5·22. Demostrar que si existe elemento neutro respecto de una ley de composición interna. entonces es único. 5-23. Formar la tabla de la composición de aplicaciones biyectivas de A = { l , 2 , 3} en sí mismo. 5·24. Demostrar que el inverso dei inverso de un elemento, si existe. se identifica con dicho elemento. 5-25. Demostrar que si a y b admiten inversos respecto de una ley asociativa, entonces se verifica (a * b)' = b ' * a' 5·26. Estudiar las propiedades de * : Z2 "4 Z tal que a* b =a + b +.+. 5-27. Determinar si la congruencia módulo 2 es compatible con *• en el caso del ejercicio anterior. 5-18. Analizar las propiedades y elementos distinguidos de * : R1 ~ R definida por a* b ==0. 5·!9. Re:t!izar¡ol mismoanalisiscun reladón a l. Q* X Q*....,..Q*.tal que:.: l -= ~iendo Q* = Q - j- •. 5-30. En R se considera la ley de composición interna * que asigna a cada par ordenado de reales el mínimo de íos dos. Estu~~r sus propiedades. 5·3J. El conjunto R1 , donde f es el intervalo cerrado [O • 1], consiste en todas las funciones de I en R, es decir R1 ={!/ f : 1 -- R } En R1 se define la suma de funciones mediante (!+g) (x) = f (x) +g (x) para todo x eI. Estudi¡lC las propiedades de esta ley interna. E TRABAJO PRACTKü V 161 5-32. Confeccionar la tabla de la composición de funciones del conjunto s•, donde S ={a, b}. 5-33. La función[: R2 -;.Res una ley interna en R definida porf(a. b) =a+ b2. Verificar que no es asociativa ni conmutativa, ni admite neutro. 5·34. Se sabe que * es una ley de composición interna en A, que satisface V a, V b, V e, Vd: {a* b) *(e* d)"" {a* e)* (b * d) Demostrar que * es asociativa y conmutativa, si existe neutro. 5-:J5. En Q* se define * tal que a " b "" 3 a!:-. Verificar que* es asociativa, con neutro, ¡;onmutativa. y además todos ios elementos son inversibles. 5-ló. En R1 se detine el producto de funciones por medio de (f. g) IX)= f (x 1. g IX 1 cualquiera que sea x € l. Demonrar a asociatividad, conmutativídad, exístenci:1 de neutro, y la distributividad respecto de la suma de funciones definida en el ejercicio 5-31. 5-li. * es· una ley de composición externa en C con escalares reales. es decir: * : R X e ..,. e tal que a * : ""a . Z, Verit1car las siguientes proph:dades: i ) a * (b * z) ={a . b) *: ii) (a+ b) *::=(a* z) +(b *z) iii) a•(z .¡...w)=(a*z)+(anu) 5·38. Se consideran R + con el producto y R con la suma. Probar que la función f: R.,. ,.. R, tal que f (x) = log2 x, es un morfismo biyectivo. 5-39. Demostrar que la aplicación { · Z...,. {- 1 , O , 1} es un morfismo respecto del ·- j producto en ambos conjuntos, siendo f(x) = sg (x). 5-40. En N se definen las leyes de composición interna * y o mediante x •y=x X>)-'=x+y lmresugar las distributividades de *respecto de~.
- 87. Capítulo 6 COORDINABILIDAD. INDUCCIONCOMPLETA. COMBINATORIA 6.1. INTRODUCCION En esta sección se propone al lector el estudio de la relación de coordinabilidad o ~qUipotencia entre conjuntos, sobre la base de un tratamiento funcional, y se introduce como derivación natural el concepto de número cardinal de un conjunto. PJr es¡a via se define el número natural, pero el estudio de las operaciones y t'rJpiedades se desarrollará sobre la base del sistema axiomático de Peana, en el ~~pitulo siguiente. En conexión con N, se da el principio de inducción completa con v¡stas a la demostración de propiedades en las que todo estudiante de un curso básico Jebe ejerdtarse. Asimismo, se trata un tema de vastas aplicaciones en matemática ~>emental y en Probabilidades: tal es el caso de la combinatoria simple y con repetición. lo que se reduce, en última instancia. a la no fácil tarea de saber contar los <-'Íementos de un conjunto. 6.2. CONJUNTOS COORDINARLES O EQUIPOTENTES 6.2.1. Concepto Sea U un conjunto. En P (lJ) definimos la siguiente relación: "dos elementos de PtU), es decir, dos subconjuntos de U, son coordinables si y sólo si existe una biyección del primero en el segundo". Simbólicamente ,_ A - B "7' 3 f : A ~ B 1f es biyectiva Esta relación satisface ) R('j]exividad. Todo conjunto es coordinable a sí mismo. Sea A EP (ü). Como existe ; A : A --""A , y es biyectiva~ por (I) resulta ·A-A. (1) 1·11, íiWl'- ISILlll D '"" ií) Simetría. Si un conjunto es co01dinabk a otro, entonces éste es coordinablc al primero. Sea A -B. Entonces :1 f: A --"" B /fes biyectiva. Por 4.7.2. II), sabemos que f admite inversa, es decir 3[-1 :_B-A//-1 esbiyectiva, lo que significa, por ( 1), que B-A. iii) Transitividad. Si un conjunto es coordinable a otro, y éste es coordinable con un tercero, entonces el primero es coordinable con el tercero. Se trata de probar Demostración) A -B y B -C = A -C A -B "' B -C lt 3 {: A- B ,,, g : B ~ C !f y g son bíyectivas. Ji Por hipótesis Por (1) 3 g ~ f: A .....e! g o f es biyecúva. Porque la composición de funciones biyectivas es biyectiva. según 4.6.5. tic A-C Por ( 1) Ahora bien, de acuerdo con el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia, existe una partición de P (U) en clases de equivalencia, las cuales reciben e~ nombre de números cardinales de los subconjuntos de U. Definición Número cardinal del subconjunto A C U, es la totalidad de los subconjuntos de U que son coottlinables aA. En símbolos e(A)= {X E P(ü)! X -A} Se tiene e(A)=c(B) <* A-B En particular e (1/J) =O. es decir, denotamos con Oel número cardinal del conjunto vacío. Si a€' U, entonces e({a} ) =l. . Si a y b E U. entonces e( {a . b }) = 2.
- 88. 164 COORDINABILlDAD. lNDUCCIONCOMPLETA. COMJ3!NATORIA Es decir, los números cardinales de las partes finitas y no vací?s de U son números naturales. Con N0 denotamos e1conjunto N U (O) . lljemplo 6·1. Se trata de probar que N y Z son conjuntos coordinables. De acuerdo ton la definición, es suficiente proponer una función biyectiva de N en Z. o lo que es lo mismo, de Z en N, por la simetría de la relación. Para ello definirnos f· Z +N medianre 2x si .x >O /(x) = ~ l-2 X+ 1 Si X~ Ü La representación canesiana defes S ,---~--·--+N 4+-----------, -3 -2 ·--- 31 - 1 , ~----~ ' -1 o 1 2 3 z !'l iecwr puede ~ompwba; coordinables o equipotentes. ~~·,, ..,... ~~ !wye,~t¡va. I:n .;;on.secueuda. Z y N son 6.3. CONJUNTOS FINITOS Y NUMERABLES 6.3.1. Conjunto finito i ) Definición Intetvalo natural inicial In es el conjunto de Jos n primeros números naturales. In={ 1 , 2 .... n) COORDliABlliDAD 1ú5 ií ) Definición Un conjunto es finito si y sólo si es vacío, o coordinable a un intervalo natural inicial A es finito -:» A = rf; v 3 11 eN / A ~In. üi) Definición Un conjunto es infinito si y sólo si no es finito. Los números cardínales asociados a los conjuntos fmitos son el O o los números naturales. Los numeras cardinales correspondientes a los conjuntos infinitos se llaman trasfinitos. Eí núm..:w cardinal de un conjunto especifica la "numerosidad" de los elementos del .;onjunto, o lo que es lo mismo, su potencia. En el caso de los conjuntos infinitos existe una jerarquización relativa a sus números cardinales, como veremos más adelante. 6.3.2. Conjunto numerable y sucesión ) Definición Un conjunto es numerable si y sólo si es coordinable a N. A es numerable * A -N * 3 f : A ~N /fes biyectiva. Un conjunto infmito no cooroinable a N se llama no numerable. Para indicar que un conjunto puede ser fmito o coordinable a N, suele decirse que es "a lo sumo numerable". ii 1Propiedod. Un conjunto es numerable si y sólo si sus elementos constituyen la imagen de una sucesión. · Si A es numerable es coordinable a N, y esto significa que existe una función biyectiva de N en A, es decir, una sucesión de elementos de A cuyo conjunto imagen es exactamente A. la representación de A es entonces A.::: . a2 .. (lj Rt:cíprocamente. sí / es de! iípo t l entonces ~¡, ..;oordinable u N med1ante ll! asignacíónf(n) =a,., y en consecuencia es numerable. Ejemplo 6·2. ) El conjunto A ={-} , ; , .! ,..}es numerable, :Por ser la imagen ue la sucesión n f: N -A definida por f(n) == n+T f ¡ 1 1 1
- 89. l6ó COORDINABILIDAD. INDUCCIONCOMPLI.:.TA. COMBINATORIA ii) La unión de dos conjuntos disjuntos, uno finito y el otro numerable, es nu- merable. Sean A finito, y B numerable, tales que A n B =(/!. a) Si A es vacío, A U B= B, y por lo tanto la unión es numerable. b) Consideremos el caso en que A es fmito y no vacío. Entonces es coordinable a un inten·a}o natural inicial In. y puede denotarse Sé tiene Definimos A ={a1.a2 , •• • ,a,} B =(b,.b,,. .. ,b,, .. ~... . - AUB a1, a2 , •••• a,. b 1• b2••• ·} f : A U B -¡.N por medio de f(x) = ( i six =a¡ ) l n + i six = b; L fácil ver que fes biyectiva y, en consecuencia, AU B-N, con lo que la propiedad qu::-~:1 demostrada. El mismo N es numerable, teniendo en cuenta la reflexividad de la relación de coordinabilidad. De acuerdo con el ejemplo 6·1, también Z es numerable, es decir, ambus tienen el mismo número cardinal trasfinito, o sea, tienen ''el mismo número de elementos". El número cardinal de N:introducido por George Cantor, es ~ aleph cero, lo denotaremos con a. y escribimos · e (N) = e (Z) =a ·n el ejemplo 4-1Ose. demostró la biyectividad entre N y P, siendo P el conjunto de los números vares positivos, es decir: P-N, y por consiguiente tienen el mismo número cardinal. Puede escnbirse e (P) =a, y se dice que el conjunto de los números naturales (lares es equipotente a N, a pesar de ser una parte propia de N. - Esta propiedad es característica de todo conjunto infinito, en el sentido siguiente: ..un conjunto es infinito si y sólo si es coordinable a una parte propia del mismo". A es infinito «> 3 X~ A 1X -A INDUCCION C'OMPl.ETA li ·¡ 6.4. INDUCCION COMPLETA 6.4.1. Concepto. El principio de inducción completa proporciona un método de demostración por recurrencia, de vastas aplicaciones en matemática. No es constructivo, en el sentido de generar propiedades; pero hace posible la demostración de éstas cuando son relativas al conjunto de los números naturales. A fin de tener una idea intuitiva de dicho principio, consideremos el siguiente caso: supongamos alineado el conjunto de todos los alumnos de una escuela; se sabe además que, si un alumno habla, entonces habla el siguiente. Interesa determinar cuál es la condición para asegurar 4ue, en un momento dado, !"'ltén hablando todos los alumnos. Es obvio que para que se dé esa situación .-s suficiente ver que el primero está hablando. En este caso se trata de investigar la propiedad que podemos enunciar así: "todos los alumnos están hablando.., y para asegurar su verdad se requieren las siguientes condiciones: i ) 'El primer alumno habla. ii) Sí un alumno habla. entonces habla el siguiente. Extendiendo el caso a una propiedad P. relativa al conjunto de los números naturales. queda asegurada la verdad de P para todo n eN, si se verifican las dos condiciones anteriores. que se traducen en i ) P (1) es V. ii) Si P (h) es V, entonces P (h + 1) es V. Llegaremos a la demostración de este principio, llamado de inducción completa. sobre la base del principio de buena ordenación. que según 3.9.7. admite el siguiente enunciado: ..t.:>do subconjunto no vacío de N tiene primer elemento" 6.4.2. Teorema de inducción completa Si S es un subconjunto de N que satisface i ) 1 eS íi ) h eS = h + teN entonces S = N. En otras palabras: '"todo subconjunto de N que incluya al l, y al siguiente de h siempre que incluya al h, es igual a N". Hipótesis) Se N i ) le S ii)heS=h+leS Tesis) S= N. Demostración) Es suficiente ver que N e S, y para esto basta probar que el subconjunto S' de números naturales no pertenecientes a S es vacío; o sea, de acuerdo con la definición de inclusión es falso que haya algún natural que no pertenezca a S.
- 90. 168 COORDINABILIDAD. 1?'lll!CCIONCm.ín 1 r . COMBINA!URJA Suponemos que S' =f. rJ>. Por tratarse de un sub.:,>njunhl no vacío de N, de acuerdo con el principio de buena ordenación, existe el elem~'nt,, mínimo 111 E S' (l). Por hipótesis, 1 E S, y como los elementos de S· n,-' pertenecen a S, es m =f. 1. Por otra parte, siendo m natural y distinto de 1, se tiene m> 1 y, en consecuencia m-1 >O. Como m -1 <m, por ser m el mínimo de S', result;t m - 1 es. Ahora bien, de acuerdo con la hipótesis ii ) m- 1 e S =>(m 1) + í t: S ,~ ,., <: S Esta propcsición es contradictoria con c. l ). lu~,, :0 S. y ¡;omo por hipótesis S-:N, resultaS =N. 6.4.3. Principio de inducción completa Sea p (n) una función proposicional, donde n € N. St ''curre que p ( 1) es verdadera. y. además, de la verdad de P (h) se deduce la verdad dl' 1) (J1 + !), entonces P (n) es verdadera pan todo n. Hipótesis) P (1) es V Yh :P(h) ~ P(h + 1) Tesis) Y n : F(n) es V. Demostración) ;Vota: El St!bconjunto S de números naturales par; los cuales p (n) es verdadera, contiene al 1, y al siguiente de h siempre 'lllt' .:nntenga a h, Luego. por el teorema 6.4.2., S= N. Es decir, P (n) es V para todo 11 f N. la demostración de una propiedad relativa a N por inducción completa, se realiza probando la verdad de las dos proposiciones de la hipótesis del teorema anterior. Ejemplo 6-J. Demostramos por inducción completa: al La suma de los n primeros números naturales !;!s ~t il'! + Es decir. vn € N se verifica Sn ""' l + ~ + . + n = !!._J'I + l ). " ----,.. i ) Debemos probar que la propiedad se verifica para n == l. En este caso, la suma se reduce al primer ténnino, y se tiene S¡= 1 = ____., ·1· lNUl'CCION CQ~,Jl'LETA 169 ii) Demostramos la verdad de la implicación de la hipótesis del principio de inducción completa, es decir, el siguiente teorema Hipótesis) sh = 1 ~ 2 + ... +h = h ~~ + 1 ) Tesis) sh+t=I+2+ ... +h+(h+l)= (h+I) (h+2), 2 Demostración) Teniendo en cuenta la hipótesis inductiva, el primer miembro de la tesis se trasfonna en S¡,+¡ ! + .: .¡.. .•• + /¡ + (h n -= sh +(l! + n "" ~+ n.,--+111..¡.}} Reduciendo a común denominador, y por distribuuvídad S - Jz (h + 1) + 2 (h + 1) - {h + 1) (h + 2) 11 '" 1 - 2 - 2 , Resulta entonces la fórmula anterior, válida para todo número natural n. De acuerdo con ella. la suma de los 1O primeros números naturales es S _ lO.IL _ 5 • !O- ::! - ~. b) Probaremos ahora l 1 1 l n S=--+--+--+···+ = - - n 1.2 2.3 3.4 n(n+1) n+l i) n=l ~~ ., __I_,_l_-=_1_ . "l l . 2 2 l + 1 ii) P(h)esV =>P(h+ l)esV H. ' . ) h!pOteSIS S11 = - - h+l . h + l TesiS) s/1... 1 = h+ ·f Demostración) Procediendo como en e! caso amerim ¡ s,. 1 = ,~·-:,- ..,. ~;;; l. • - - ~ - J¡ ÍI..,. l h = 511 + (h + 1)(lz + 2) = ll+T + (h+..i) (h.+ 2) h (h + 2) + 1 (h + l)(h + 2) h2 +2 h + 1 (h+l)(h+2) (h + 1)~ h + 1 = _{h.-+-t1(h + 2) = h + 2
- 91. ; ·o COORDINABlLIDAD.INDUCUO: COMPLETA. COMBINATORiA 6.5. EL SIMBOLO DE SUMATORIA 6.5.1. Concepto, En muchas situaciones se presenta la conveniencia de abreviar la notación de una suma cuyos términos admiten cierta ley de formación. En este sentido es útil la introducción del símbolo de sumatoria: I:. Si a1 es un número real que depende del índice i, para indicar la suma a1 + a2 +a3 5 + a4 +a5 escribimos~ a¡. i= 1 n Si el índice es variable desde l a n, la notación I: a; significa la suma abreviada de t=l ks n términos .7 1 + a2 + · ··+a,.., y se lee: ··sumatoria de a¡ con i variando desde la n" El desarrollo de una sumatoria se obtiene asignando a i, cada uno de los sucesivos alores de su rango de variación, y sumando los términos así obtenidos. Por ejemplo Ejemplo 64. ! ¡2 = ¡2 + 22 + 32 + 42 i=l Desarrollar las siguientes sumatorias: 4 (-l)i (-1)1 (-1)2 (-1)3 (-1)4 a) :E - - = - - + - - + -·-- + - - i=l i 1 2 3 4 =-l +_!_-.l.+ j_ 2 3 4 P. .., . .., 1 .., .., .., 3 2 b) z. ..::..!._ = --_.- + -=--.:__::_ + ---·-·- + ... + __n_ = i=t i+I 1+1 2+1 3+1 n+l 4 6 2n =l+-3+4+"·+11+1 e) f (i-l) =(l-1)+(2-1)+(3 -1)= i=l =0+1+2=3 n d) :E a=a+a+ ... +a=n.a i-= l ' ,z SUMATORIAS Aquí se tiene a¡= a Vi. 100 ' e) L 1 =L±.l_~= lOO i=t lUO t) ± ·-k + 1 = _!_ + o- _1 - 2 k =O k+ 2 2 4 5 Ejemplo 6-5. Expresar como sumatorias las siguientes sumas indicadas: 5 at 2-t-4Tó+8 i 10-=~ 2i i=l 6 5 b)!+3+5-t-7+Q+ll=l: C~i-l)=L (:!i+l) í"'1 i=O 4 e) l + 8 + 27 + 64 = :E ¡ 3 i= 1 3 4 5 6 S d)2+-+-+-+-=l: "' 3 4 S ;= 1 6.5.2. Propiedades de !a sumatoria i ) ~ (a¡ + b;) = i a; + ~ b¡ •-1 •=1 •=1 i + l i l71 En efecto, por definición de sumatoria, conmutatividad y asociatividad de la ruma en R, se tiene ~ (a¡+b;)=(a1 +b¡}+(a2 +b2 )+ ... +(an +bn)= 1 -" 1 ={a1 +a2 + ... +an) +(b1 +b2 + ... +b,..)== n n =:E a¡+ 1: b¡ ¡~¡ i=l n n ü) 1: {a a;)= a I: a1dondé aes constante. i=i . 1=1 • Por defmición de sumatoria y distributividad resulta n 1: (a a¡) = a a1 +a a2 + .. . +a an =í=l n =a(a1 +a2+ ... +an)=al: a1 i= l
- 92. 1?2 O:.o:miNABILIDAD. l~W1.'('C!ONCOMPLETA. COMBl!'<ATORIA Ejemplo 6-6. Reducir n 2 n 2 n 2 n n k ~x;+l) =k (x; +2x;+l)= ~ x¡ +¡; 2x1 +k 1= i=l i=l l"'l l~l i~l "· 2 n = L X¡ + 2 k X¡+ 11 i =! i= 1 Ejemplo 6-7. Dados n mmeros reales x1 • x~ ..... x,,, se d.:fine el promedio X {x ra;.:~) m.:diante X. X 1 +x1+ +x, ,¡¿. ".... A¡ ; ~ 1 OJ n 11 Comproba1 que n __ .., n "" _"' Í: (X¡- X)• = L x; -·n X• i= 1 i=l Se tiene n -., n 2 - -., k {.X'¡- xy =I: (x; -2 Xx; + x-) = i=l i=l n 2 n _ n _ = :!: X¡ -k 2 Xx¡ +:!: X2 = i=l i= 1 i=l n ., -:: n -., =~ 1 x;-2.~ 1 x,+nx~ t.:'') Hemos aplcado el desarrollo de un binomio, las propiedades í ) y ü ). y el ejemplo 6-4d). Ahora bier, por ( l) i; x1 = n X que sustituidc en (2) conduce a n - , n 2 - -:' k (x1 --X)" =~ X¡ -2XnX+nX· = ¡= l •=1 =i: xr -n X2 i=l Esta fónmla es de aplicación frecuente en Estadística. ·"""""- 1:'-<LlUCCION COMPLl'TA 173 Nota: En términos de su.matorias, las fórmulas demostradas en el ejemplo 6-3 se traducen en a) i: i== n (n_ + 1) 1=1 2--· n b) 2: i= l l n i(i+ 1) =n+T Ejemplo 6-8. Demostrar por inducción compkta "~ ¡3 = ¡,¡ n z •n + l )~ -~-:¡---- i ) n = 1 ~ 'Í; ¡3 = ¡J = ¡ = _}_.:.±.. _ 1 2 . ( 1 + l ) 2 i= 1 4 --. 4 Yla fónnula es válida para n= l. ii) Hipótesis) ~ ¡3 = k:. (h + Ii . i=l 4 h+l Tesis) ~ ¡3 = (h + 1) 2 (h + 2)2 •=1 4 Demostración) h+l h hl(h+l)l 2: i3 =k i 3 + (h + l )3 ::: · + (h + 1)3 = i=l i=l 4 h2 (h + 1)2 +4(h + 1)3 4 (h + 1)2 h 2 +4(h + 1) 4 =th + ;;,:: _:..:.:.._._-~..;;::.-~~:-_:.. t.'jemplo 6-9. Demostrar que la suma de los n primeros números naturaies impares, es n2 • La expresión de un número natural iinpar es del tipo (2 i- 1) con i eN. Entonces · n S,. =¡ (2 i - 1) =1 + 3 +S + ... +(2 n - 1) ~· . siendo (2 n- 1) el n-simo número impar. •'
- 93. 174 COORDINABILIDAD. lN!JUCCIONCOMPLETA. COMBINATORIA 1 i ) n = l =;. S1 = 1: (2 i -- l) =1 == 12 i=t ii) Demostramos sh = h' => sh+ 1 = (h + 1) 2 En efecto sh~l = Sh +(2 h + 1), donde (2 h + 1) es el número impar de lugar (h + 1). Aplicando la hipótesis y efectuando operaciones Sh-d = h2 + (2 h + 1) = (h + l)z Ejemplo 6-10. Demostrar S..== I 2¡ = .,n~l _.., i=l - - i) n=l =S1 =i; 2'=21 =2=4-2=2 1... 1 -2 1=1 Es decir, P (1) es V. ü ) Se trata de probar que Demostración) sh = 2h+l- 2 => sh+t = :;;"+2 - 2 h+l Sh_,.t= ~~2¡=2+2z+ ... +2h+2h ... l= •= =Sh +2h+t =2h+ 1 -2 + 2h+ 1 => Sñ+l =2h+t + 2h+t- 2 La reducción de los dos primeros términos conduce a sh+t = 2. 2"... 1 -2 y por producto de potencias de igual base resulta sh+l = 2h+l- 2 como queríamos. Ejemplo 6·1 J. Demostrar que n >1, 1 + _l._ l n n ..J Vn';J;3 INDUCCION COMPLETA 175 Debemos probar que P (n) es V, cualquiera que sean, a partir de 3. En este caso, es posible aplicar el principio de inducción, demostrando i ) P (3) es V ii) p (Jt) => p (h + 1} a) Sean== 3. 64 (4) 3 ( 1)33 >27= 3 == 1 +3 e l 'h b) Hipótesis) h > 1 +h) /' ' h+l - . ' - . •. ; ' . 1 l 1es1s1 n -t- 1 __.., 1 r h + l _/ Demostración) 1 "h-tl (- l ' h i ' 1 -, 1 1 + --- =ll + - - 1 1 1 + -~ 1.. h + 1 _/ - h +, l _. '- h + 1 / (1) Por otra parte . l 1 1 l -·- <- ~1+-- <1+- =h+l h h+l h ,- l h i- l ... h => !. 1 + ---- 1 <1 1 +- l =. h+l.i .... h_i ·' 1 - h . - 1 " (- 1 ' h ,· 1 ... =ll + - - ,1 ! i + --.- 1 < l + - J ( l + - - 1 (:!) h+l...t ,_ il-rl_~ ' h ~ h+l ./ De(l)y(2) ¡- 1 ¡p-1 _,- l ' h f 1 ' l 1 + - - l <ll +- J 1 + - - 1.. h+l../ . h./ .._ h+l.J Por hipótesis el+ !)11 <h Multiplicando las dos últimas desigualdades, después de cancelar, nos queda·· , 1 ..., h+ 1 ( 1 , ( 1 + --) <h 1 + -,¡+ 1 'h + l .... ./ Por distributividad 1 ) h+ t h ( 1 + --- <h + h+T'-- h + l (3) h h Como h <h + l => h+T < 1 => h + h+T <h + 1 f4)
- 94. ·::. ('(XJRDIN/.;;lUDAD. INDUCCIONCO:iPLETA. COMBl;,ATOltlA Por transitividad, de (3) y (4) resulta h +1 (1+ h~J <h+l 6.6. LA FUNCION FACTORIAL 6.6.1. Definición Función fa:torial es la aplicación f · N~ - N deíinida por (f0)=1 ~f(l)=l l f (Jz + 1) = (h + l) .f (h) si h> l El símbolo característico de la función factorial es :, en lugar de f. y se escribe h ! para indicar f ih). De este modo.lo anterior se traduce en (O! :;:: l. ~ 1! = l l (h + 1)! = (h + 1) .h! La expresión h! se lee "factorial de h" o "h factorial". La funciónfactorial, es no inyectiva, pues O=P 1 y O! = l! o.6.2. Propiedad El factorial del número natural n ~ 2 es igual al producto de los n primeros números natu:ales. n! =1.2.3 ..... n=n.(n-l).(n-2) ..... 3.2.1 Lo demostramos por inducción completa ) Si n =1, entonces por definición se tiene .t =J" ¡ =:! ii) Hipotesis) h! =l. 2. 3 ..... (h- l). h Tesis) (h+l)! = 1.:!.3 ..... h.(h+l)· Demostración) Aplicando al primer miembro de la tesis la definición de factorial, y la hipótesis inductiva, se tiene (h+l)! =(h+l).h! =(h+l).h.(h-1) ..... 3.2.1 con lo que el teorema queda demostrado. NUMEROS co:.; iH;-.JATORIOS Nota: Es cbro que la función factorial no·es sobreyectiva, pues existen naturales que no se identifican con el factorial de ninguno; tal es el caso de 7, que carecil de preimagen en No. Por otra parte, para el cálculo, es muy útil tener en cuenta, de acuerdo con la definición, que el factorial de un número es igual al producto de dicho número por el factorial del anterior. Así, 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5! Ejemplo 6-12. Verificar la igualdad i1 -~-~--- (11 + 1J' no En efecto n+I n! (n + 1)~ (n+l)n!' (n+l)! ll + 1 l n+I-l n (11 + 1)! tn + l)! ""' (;l + l)! (n + 1)! 6.7. NUMEROS COMBINATORIOS 6.7.1. Definición Sean los enteros no negativos n y k, tales que n ~k. Llamamos número combina- torio "'n sobre k'', al5ímbolo (~)definido por .,_/e,¿ ~' n" n! lk)= -..- Los elementos de un número combinatorio se llaman numerador y denominador. 7: • 7. 6. 5. 4!~ .;1./ 7 . ""' ,"l..ll~ 3 ~ ::=" = =35 S.: presentan los siguientes .::asos espec1ales. "O-. ( }•, o- O! o!O! ""' 1 en)' n! _ 1 O = O! n! - cn;l) = (n + 1)! n! 1! ~"n' n! n(n-1)! (_ 1J = 'l!(li--=-li! = -(n -1)"!" =11 en) _ n! _ 1n - n! O! - (n' + 1) n! = n + l n!
- 95. í ; ;~COORDINAB!UDAIJ. INDUCCION COMPLI:I A. COM3INATORIA 6.7.2. Propiedades de los números combinatorios Si dos números c0mbinatorios de igual numerador son tales que la suma de sus denominadores coincide con aquél, se llaman números combinatorios de órdenes . . í7) (Tcomplementanos. Por ejemplol 3 -" y , 4 ). ) Dos números combir.atorios de órdenes complementarios son iguales ,;-n") n! (~ k , = )e! (n - k)! n! ·' n ::-: ..... =l k'n- _. ii ) La suma de dos números combinatorios no es, en general, un número combinatorio: pero si tien+?r. ig~la! numerador y den0miP.adores On~ecu!ivo~ vale la fórmula En efecto ·n- 1 l,k-1) + - l k ~·· n ~, 1_ k) (~- I') + (n~ l),k-L. , k_, (n -- 1)! + (n - 1)! . k! (n - 1 -k)!(k- l)! [(n- 1)- 0: - l )]! (n- l)! !k-l)! (n-k)! . (n - l)! '"!- k!{n-k~l)! k(n-1)! + (n-k) {n-lt k (k-1)! (n-íc)! k! (n-k) (n-k-l)! = .!.__0___-::__11!_ + ~~~---=Jl.. = k! (n-k)! k! (n-k)! k(n-1)! +(n-k)(n-l)! _ (n-1)! (/(+n-1/) ---~F(n-=--ly---~-- - ---~c-!--{ñ-= k)! __ _ n (n - l )! k! (n-k)! Ejemplo 6-13. n! . rn··, IC'(n- k)! =tk_) ) Formarnos el ..triángulo" de Pascal (o¡ O.J (~] (!) (~, '~) (~)- J 1- ..,_o_.. ,_J./ ,.:! (3) ~"3' - (3 ' (3 o_~ 1 :, 1) 2) .3) NUME!,OS COMBINAl'ORiüS ¡7') Los elementos extremos de cada fíla valen 1, y cada número combinatorio restante de acuerdo con la propiedad ii ), es la suma de los dos que figuran sobre éL Ü) Probar (_m ·) = (m -- 1)·+ (m -- 2 ) + ... ( 11 l + Í n- l ) ._n_, n-1 ,n-J_- n--·1./ ll-1/ Es decir r-m) _m-~""l(m-i·· 1t. n .J - ;;"I ·. n - 1_} . nli··~nri" rPitPr:Jclaml'nte la nrnniedad ii se tiene. ~r -·-""'·''""""'- .· . - , -- -------- .. -- ·- ... .. -~m ·-m - l' '"m- 1 ·m- l -m~.: 1 1=1 l-t--1 1--=l ' ~ ;¡¡-_ ¡, n ~· ,, n - 1 n __. n - 1 , _n - L fl ·'m - 1 ' i-m - 2· /m - 3 ·.~-.-m - 3 =t 1+1 1+1 ,,, , 1= n - l j , n - L ·.. n - l_; 11 _ • a • • • • • ~ ~ • • ' • • ~ • • o • • • • • • o • • • • • • • • • • • • • ==en-l'l+(m-2¡+'m-3l+· .. +'- n )+In l= , n- L . n- l.' t_ 11- L' t n- L ·. n,· l ·m-1' 1 .tm-2' 1 , 1 'm""'-3· 1 . . ·· n '- 1 . 1 /'n-1· 1== -r! ,..,. -!- •• ' + . -!- ' n - L ._ n - L , n - L n - L ~ n - L iii) Demostrar ( n "'l= n (n- l) (n- 2) .. , (n_- k;_:__!_L ,.k./ k~ Aplicando la defmición y la nota que figura en 6.6. l, tenemos /n'l=-~- n! . =·'l(n-l)(n-2), .. (n-k+l)(n-k)! t kj k! (n -k)! k~ (n- kr Después de simplificar queda •(n'l- n{ll-l)(n-2) ... ül-k+l) '-k_ - -------k-.--~-~--- 6.8. POTENCIA DE UN BINOMIO 6.8.1. Binomio de Newton Cna aplicación inmediata de los números combinatorios se presenta en el desarrollo de la potencia de un binomio, con exponente natural. conocido como fórmula del binomio de Newton, y está dada por j
- 96. 180 COORD!NAB!LIDAD. INDUCCIONCOMPLETA. COMBINATORIA (a+bY =(~)a" b0 +(Dan-! b 1 +(~)a"- 2 b2 +... +(::)a0 bn Utilizando el símbolo de sumatoria, se reduce a (a +b)n = L 1 n an-hb"-n í )' k =o'- k y la demostra1110s por inducción completa. i ' 11 = l """ (a+ =11 +b o:::::a1 b0 +a0 b 1 "" 'l ··¡ =' 111 1 ;,0 +! j 17 0 bl '.o) V · '-- L!- ii ) Hipétesis (a +b)h = :f (lz)ah-lc bll k=O '-k/ Tesis) (a+ bY''·l = ~+i ('~i ~ l)ah+l-11 b~'~ k=O ·• k .- Demostración) Aplicando la definición de potenciación y la hipótesis inductiva. se tiene (a+ b)h+l =(a+ b). (a+ bl = h (1'=(a+ b). :k l)ah-k !JI! h=O' k Por distributividad (a+b)h+l =a f=o(Z)ah-k b" +b !o(Z)a"-k b" r'u! :>~:5.~ ~i ; ~n~roducimos :J y~ ~11 ·:'ada 5umatoria (a·+ b)h'"l = :f (" ·)0h-k+l bk + :f ('h)ah-h bk"l k=O ·. kj k=O k.l Efectuando operaciones (a+ b)h+t =(h)ah+l b·o + f (h)ah-«+l bk + . o k=l 'k . + l;- 1 (h)ah-k bk+l + (h) ao bh+ 1 k=O k h POTENCIA DE UN BINOMIO 181 Teniendo en cuenta que el índice de la sumatoria puede tomar cualquier nombre, en la segunda cambiamos k por j (a+ b)h+l ==(h)ah+l bo + ~ (h )ah-k+t bk + O n~t k. + ~~(~)ah-i ¡j*l +(h).ao bh*l i=O L /¡ Para reducir ambas sumatorías hacemos j =k - i =- k = i + L y sustituyendo en la misma sumatoria la+ blh+l =(h ·.. o.. .,h :! ll ~¡ b0 +k 1 k h=l -k-1 bR + + f ( h )''ah-k+! bk +(h)ao bh+t k=t'-k-! -...lz Como ( /J¡ '1==('' + l 'j. y(" ::(h + l ¡ ,0. '· o ¿' .h../ dl + 1 después de sustituir y aplicar 6.5.::! i ). nos queda (a+ b)h+ 1 =('h +!)..,ah+ t bo + ~ [(h)'+(. h '11 ail-h• 1 bh + o h=l ..k k- ( h +ll o bh+l + h+lJa Teniendo en cuenta por 6.7.2 ii) qüc ( 11 '1 + l" Ir 1= (h + 1)" kJ k- l./ ... k resulta (a+ b)h+l =(h + l')ah+l bo + ~ (h + l"Jah-k·.-t bk + '· o / k= l '- k _! ""l-.,+.~-~ *,... • ~ +1 ·' ' ÍJ11 b" ' , h -r ~ Es decir lt. 1 ' . ' (a+ b)h·•l "" ¡ l n '"~" 1 Í ah· i -h h=O·· k / como se quería. Ejemplo 6-14. Desarrollar (-x + 2y)5 •
- 97. C(l( 'iU>INABlLIDAD. INDUCCIONCOMl'LETA. CO.liHNATORI· ,pli-:amos la fórmula demostrada ¡·-x + ~y)s = (~) (-xl (2y)o + (~) (- xt (2 y)t + (~) (-x)3 (2y)z + +- (~) (--<) 2 (2y) 3 + (~) (-xi (2yt + (~) (-xt (2Y) 5 = - - X 5 + 1Ox4 y- 40 x3 y2 + 80 x2 y 3 - 80 x y 4 + 32 y 5 6.1. ..:!. Observaciones S;:a (a+ ht = f (n)an-k bkk=Ok i } El desarrollo de la potenda n-sima de un binomio tienen + l términos, S'!gún lo indica la variación de k. desde Ohasta n. ii} Cada término del desarrollo tiene como coeficiente un número combinatorio de numerador igual al exponente del binomio, y el denominador es variable desde O hasta n. iiH El exponente de a es la diferencia entre el numerador y denominador. y el de b es igual al denominador. Es decir, la suma de ambos exponentes es igual a n. para todos los términos. i) El término de lugar h en el desarrollo, es Th ll ') 0 n-h+i bh-l h -l./ v ) Los rérmínos equidistantes de los extremos tienen igual coeficiente. por ser números combinatorios de órdenes complementarios. Ejemplo 6-15. IRrenninar la suma de!49 y 69 términos de! desarrollo de (2a -a2 l C.m10 r~·=:·{~)(.:!a)s (~2)3 =-(~).3~all T6 =(~}2a)3 (-a 2 ) 5 =-(~). 8a" ~:-{ '· =- TA +T6 = -S .1. ·, f(4a 11 • 11 13 1 J l. Ejem¡Jio 6-16. a) Demostrar 1'01TNCIA DE UN BINOMIO k _,n (n) n i="O i -""" Trasformamos la surnatoria en el desarrollo de la potencia de un binomio ~.=:k .1 .I=(l+l)=2n (nJ n (nJ n·i i n n i=O _l i=O 1 b) n . i(n)~ 1 ~1) . =O i=O lj Prot:~dlcnd0 análcgarriCnte ~... i r...n""- r1 l'n' n"t t n n :- ( ·- 1J ! . 1= :E f . ) l - l ) = { l l ) = o = oJ~O .. l_.: ¡::.:(1..l_... Ejemplo 6·17. Determinar el término central del desarrollo de (xz + J_ 2n ' X) conx *O El número de términos es ?.n+l=n+n+I=n+l+n 183 El término central está precedido por n ténninos, y en consecuencia ocupa el lugar (n + 1). Se tiene T =(2 n l (x2 >" (_!_l"n+l .n.l X..l ( 2n 2n l T = tx - n+l n ..1 n X Es decir T =Í2n'¡ n n+l '- n / X En cuanto al coeficiente ·~'2 nj' (2 n)! (2 n)! l n = n! (2 n - n)! ="(ñTT = 2n(2n-1)(2n-2) ... [2n-·(n-l)].n! (n! )M - - - - 2n(2n- l)(2n-2) ... (n+ l) n!
- 98. W4 COORDlNABlLIDAD. INDUCC!O"lCOMPLETA. COMBINAIORIA Ejemplo 6-18. Obtener el término de grado 14 del desarrollo de' (x3 _ 3 x)1o El desarrollo admite 11 términos y se trata de ubicar aquel en el cual el exponente de x sea 14. Este término ocupa un lugar h, a determinar basándose en la condición anterior ,, 10 ' lQ-h+l h·l T = ¡h l 1(.:3) ( - 3 x) """' lt ' - ' =¡ 10 -,, _33-3h _h-1 _11-1- lh-l/x (-3¡ x - - h·l( 10 ) 32-2h -(-3) ..h-L'x Debe ser: 32- 2 h =14 =? 2 h = 18 ~ h = 9 Es decir, el99 término tiene grado 14. Lo calculamos ( lO Tg = 8 ) x3 {-3 x)9 = -39 • 10 x14 Ejemplo 6·19 r 1) "Desarrollar ! 1 + -- n Llegaremos a una expresión que se utiliza en la determinación del número e, en los cursos básicos de análisis. r n 2 3 lt+ !) =t+(~)! +(~)t!) +(~)(~) + + n n " f' ~, n- 1 )1 - ¡ •jo ... n .· n 1 -, -~ ¡1 J1j Después de haber omitido las potencias de l. Operando y utilizando la fórmula del ejemplo 6-13 íü), tenemos el+_!_) n = 1 +.Jr'• ..!. + n (n- .!..L -h- .+ n .- .K 2! 11 + 11 (n- l)(n -:-2) 1 + + n (n- l)(n- 2) ... [n- (n- 2)] _1___ + 3! 7 ··· (n - 1)! n-1 + n(n-l)(n-2) ... [n-(n-1)} n! n n n 1 POTENCIA !J!: UN BINOMIO 185 A partir del tercer término dividimos cada factor del numerador por el factor n que figura en cada denominador Resulta l 1 n-1 1 e -,n 1 + ---) =l + 1 + -- . - - + -11 2! n 3! 1 +----,+ > • ' (11 -- l ). + n - l 11 r¡ 11- 1 fl f!_:: 2 n --2 n n (n - l) 11 el + _!_'J , = 2 + J_ n ~ 2! (¡ __!_)+-, n , 3. 1 •' l ' .- ") ' + .. + , 11- -Ht--=-J...(n - l ). ~ n _, · n - 11 l 11 _!!-2 + 11 ..!~(11 _-:-.1:1. + 1! ( ¡)r ,.,1-- lt--=-)+n '- n ll-·2)+ ---n - ..1 1 +lí! 1 1 .. - ) . 1¡ -- ..::_ . . . 1 ~ r 1 ~ , ., ) ( n --::! .!_1_::_.!_ ) .. fl/ '- ll . n n -" Ejemplo 6·20. Determinar x e R de modo que la suma de los términos 32 y 8Q del des<~.rrollo de ( l '9 12x3 - - 1 sea igual a O. x.- Debe verificarse O sea '>( • i'f 1 [) Í 2X 3 j T3+T8 =0 . q' - + ~ ! {2x 3 (,., ¡ · . _:_. 1 x. Los uumeros .:ombmatorios ~on y pueden cancelarse X Multiplicando por 22 "17 .,H ....!_ ·- .,2 ..,6 _1_ :: 0 - • ·' • :l - -~ 7 X X 27 • x'9 - 22 •_1_ = O X 2s. xlo -1 =O =O
- 99. ,_¡(. COORDINABILID~D. INDllCCJONCOMPLETA. COMBINATORI· h~sulta E~ decir 1 x2o = -25 20 !1 x= ±'/25 enR Por distributividad y simplificación RJ.donalizando 1- + ----¡=- X-- ;;2 4¡- x= ± v_._8 1 Ambos valotes de x satisfacen la condición dada. 6.9. FUNCIONES ENTRE INTERVALOS NATURALES INICIALES A fm de tratar el tema de la Combinatoria simple y con repetición desde un punto le vista funcional, proponemos algunos conceptos y propiedades relativos a funciones ::.~yos domiruo y codominio son conjuntos fmítos, no vacíos y por consiguiente dentificables, en cuanto a su cardinalidad, con intervalos naturales iniciales In e 1m. 6.9.1. Apücaciones inyectivas de In en Im (n ~m) S~:a el conjunto cuyos elementos son todas las aplicaciones ínyectivas de I,. en Im, y que denotamos con In(In ,Im)={f· In-+ I,. /fesinyectiva} Se necesita la restricción n ~m ya que en caso contrario habría dos elementos del iominio con la misma imagen en el codominio, y ninguna aplicación sería 1-1. El elemento 1 de I,. puede aplicarse sobre cualquiera de los m elementas del .:odominio Im, es decir, existen m posibilidades para el 1 e In. Una vez asignada la ;magen, para construir una función- inyectiVa, efT€ In admite (m - 1) imáge.nes posibles en Im. Seleccionadas sendas imágenes para el 1 y el 2, se presentan (m - 2) posibilidades para la imagen de 3 e In. Suponiendo hecha la selección de imágenes p:na 1, : .... , n - l, el elemento n e In puede proyectarse sobre cualquiera de los '11 - 111 - l) elementos restantes del codominio, y en consecuencia el número total de •?lk.id<'nes inyectivas de In en Im es m.(m-l).(m-2) ... [m-(n-1)] j .. 'l ~ FUNCIONES ENTRE INTERVALOS NATURAUS l !; ~ Es decir, el cardinal de In On ,1m) es igual al producto de n factores decrecientes e11 una unidad, a partir de m. Denotando tal número cardinal con el símbolo Vm. n, se tiene Vm,n=m.(m--l).(m-2) ... (m·-n+l) (1) Multiplicamos y dividimos el segundo miembro de esta expresión por (m-n)(m-n -1)...... 2.1 =(m-n)! m.(m-l).(m-2) ... (m-n+l).(m-n)! · (m·- n)!Vm,n y re•mlta m! Vm.n = {m-:11}! (2) Demostraremos ahora esta fórmula por inducción sobre n. ) Si n = l, entonces el número de fu~ciones inyectivas de 11 en lm es exactamente m. y se tiene V =m = m· (!!!...=...!2!__ = ~-.- m,l (m- 1)! (m- l)! ii ) Probaremos que si la fórmula (2) vale para h, también es válida para h + l. Hipótesis} V _ ~ m,h- (m-h)! Tesis) m! Vm,ñ+l = [m- (h + l)J! Demostración) Supongamos definida una función inyectiva de 1h en lm. Si extendemos el dominio a Ih+ 1, el elemento agregado, h + 1, puede hacerse corresponder con cualquiera de los (m- h) elementos restantes del codorninio. Es decir, cada función inyectiva de Ih en lm origina (m - h) funciones inyectivas de Ih+l en Jm, y en consecuencia se tiene • Vm.ñ+l =Vm,h. (m- h) Usando la hipótesis inductiva llegamos a V h + 1 = __m_!_ (m - h) = -:--m---;--;!~(l_n_-_·-,h,:...)_,·· m, (m-h)! · (m-h}.(m-h -1)! m! [m-(h+l)j! Ejemplo 6-21. ¿~uántos números de tres cifras distintas pueden fonnarse con 1, 2, 3, 4? Cada número pedido corresponde al conjunto imagen de una aplicación inyectira (ya que no pueden rcp.:tirse) de 13 en 14 . Es decir, existen taJltos números de tres
- 100. 188 ~'OORDINABILIDAD. INDUCCIONCOMPLETA. COMBINATORL cifras distintas elegidas entre 1, 2, 3 y 4 como funciones inyectivas de [3 en 1 4 , y resulta v4,3 = 4. 3. 2 = 24 según la fórmula (1) 6.9.2. Relac6n de equivalencia en In On. I,..) (n ~ m) Definición Dos ftnciones inyectivas de 1,1 en 1111 son equivalentes si y sólo si admiten e! mismoconjunto imagen. ]-g <o!> li/)=Jíg Esta defirición caracteriza una relación de equivalencia ..:-n In (In. Im ). a:omo puede verificarse ccn facilidad. De acuerco con el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia existe una partición del conjunto de las aplicaciones inyectivas de In en Im, en clases de equivalencia En el case del ejemplo 6·21, las funciones t={il '1),(:! ,3),(3 ,4)} y g = { (l , 3) '(2 , l) • (3 . 4)} son equivalentes, ya que ambos conjuntos imágenes se identifican. A manera de ejem- plo nos prqJOnemos exhibir la partición de In (In, Im) con la siguiente simplificación: Como tedas las funciones inyectivas admiten el mismo dominio 13 es suficiente, para caracterizarlas, dar el conjunto ordenado de sus imágenes. Así 134 corresponde af 314 corresponde ag Si consid~ramos como imagen a 213, se trata de la función inyectiva ((!, 2),(2, 1).(3 '3)} ., ' Con este rnteno. la oaniciól! de ln . !.des 1 -~ ·~ ·-" 124 B4 234 132 142 {43 243 213 114 314 324 231 241 341 341 31:! 412 413 423 321 421 431 432 En cada clase de equivalencia llay tantas funciones como aplicaciones inyectivas de l3 en 13, es decir, 3 . 2. 1 = 3! elementos. El númfro de clases de equivalencia es naturalmente igual al número total de ' FUNCIONES EST!Ul 1,;.1LN 11 ( RLOENTtS 189 funciones inyectivas de 13 en ! 4 , diyidido por el número de elementos de cada clase, es decir 4! (4-.::3)! 4! / 4)·-3!---== 3! (4- 3)! = l3 Si denotamos con C4 , 3 el número de clases de equivalencia se tiene /4 ·, c4,3 = ( 3_1 = 4 E.n gener;,¡L el numcr" J~ clases d~ .:quívalencia detenninado por la re!Jdón 1 ll~.·n el.:oniumo J<.'las fundones my~crívas de 1, <'ll 1,.,, está dado por =!min · n, En efecto, sea Vm.n el número de funciones inyectivas de 1,. en 1.,. donde está definida la relación de equivalencia ( 1). En' cada clase de equivalencia hay tantas funciones como aplicaciones inyectivas Je In en 111 .las que son. además. sobreyectivas. es decir. b1yectivas. Estt:! numero es. precisamente 'V == --~-- = 11: n,n {lf - n)! El númeiO de clases es, entonces V m'e =~= __.__ m.n n! n!(m-n)! (m'¡ ·.. n _, 6.9.3. Funciones estrictamente crecientes de 111 en in..;m¡ Definición f: In --!-(m es cstrictament~ creciente si y sólo si x<y => f(x)<ftv) • !..:.! fm•dl'm J del parratu arlt<::rior t::i> •:strktamcnte crectczne. pero .1( no l.J 6 Vohqendn :1! e1emplo propuestü en 6.Cl.:: .. si deg;mu::. un llllh·<:• ·~lemento en ;;a!h dase de et¡uivalenda, se lo pued;; imnar como ¡epresenunte de d1~~11a clase, La ck..:.:Jú~: natural está dada por la función estrictamente crectente que figura en cada dase. y se tiene l ..,"'_.; 124 134 234 El número de clases de equivalen~ia está dado por el número de funciones estrictamente crecientes de 13 en 14 • Realizando esta identificación de clases de equivalencia con funciones estrictamente crecientes, podemos decir que existen tantas clases como suhconjuntus Jc 3 dementas pueden extraerse de 14 .
- 101. ~ ?0 COORDINABILIDAD. INIJLICCION COMl'LI:fA. COMBINATORIA T:jrmplo 6-22. ¿Cuántas comisiones de 3 personas pueden formarse con 4 personas? Rotulando a bs cuatro personas con 1, 2, 3 y 4, las selecciones 123 132 213 231 312 321 <:orresponden a la núsma C<?misión (se supone que no hay distinción de jerarquías), y la ~,~lección natural es 123. Esta corresponde a una función estrictamente creciente de 13 en 14 , y en consecuencia el número total de comisiones es · ,...4' V 4 3 "' e -¡ )-~- . ·-4·3- ,3/- 3! - 3.2.1 4 ;t>mp!fJ 6·23. ,,C:lintos números de tres cifras distinAAs pueden formarse con las cifras 1, ~y 3" ,~ !u luz de lo que hemos visto en el ejemplo 6-21, se tienen tantos números como 'uric:cnes inyectivas de 13 en 13 , las cuales son, además, biyectivas. Entonces dicho número es v3,3 =3! =6 6.9.4. funciones de 111 en Im Sean n y m mímeros naturales cualesquiera. Se presenta el problema de determinar d :uímero de funciones de 1.. en Im. Es ~iaro que, elegida una de las m posibiJidades para la elección de la imagen de l e In. para el ~ también se presentan m, ya que no hay restricciones de inyectividad. · · :;,J:::<~ro total de tales funciones, que denotamos con v;.,,..,es m. m. , . m= m". ----v-----' n Demostramos. por inducción sobren ,la fórmula v;.,~n =m". ) Sí n = l, entonces se tienen m funciones de 11 en 1m, es decir Vm, 1 = m = m1 , con lo que la fórmula es válida en este caso. ii ) Supongamos que se verifica para n = h, es decir v;,. ,h = mh. Debemos probarquev;., h+l =mh +l. ;;,.:a una función de lh en 1m; si el domJnio es ahora lh+ 1 , entonces el elemento h + l puede aplicarse sobre cualquiera de los m elementos del codominio. Podemos Jt.'.:1r que cada aplicación de Ih en Im caracteriza m funciones de lh+ 1 en Im, y el h •11ero de éstas es vm,h+l =m. v;.,,h . p!icando la hipótesis y la definición de potenciación, se tiene vm,h+l =m. mh=mh+1 ' FUNCIONES CRFCIINTI'S 191 Ejemplo 6-24. ¿Cuántos números de tres cifras pueden fom1arse con 1, 2, 3 y 4? Como no hay restricciones en cuanto a que las cifras deban ser diferentes, los números 134, 143, 112, 222, etc., figuranentre los pedidos. Cada uno de ellos puede considerarse como el conjunto ordenado de las imágenes de una función de 13 en 14 • En consecuencia existen tantos números de tres cifras formados con 1, 2, 3 y 4 como funciones de 13 en 14 , es decir V4,3 =43 = 64. 6..9.5. Fwiciurif"S crecientes de J ~" J..n -.ia a.m Sean n y m números naturales cualesquiera. Definición La función f · 1n -1m es creciente si y sólo s1 x<y =>f(x)~f(y) Ejemplo 6-i5. } Las imágenes de todas las funciones crecientes de 13 en 14 son 111 ll2 113 114 122 123 124 133 l34 144 222 223 224 233 234 244 333 334 344 Hemos seguido una ley de formación a partir de ll, 12, 13, 14, 22, etcétera. ií) las funciones crecientes de 13 en 12 tienen las imágenes 111 112 l .,., -~ 222 444 Llamando c;.,,n al número de funciones crecientes de ln en Im. se tiene, para los casos anteriores C4,3 =20 Ci,3 =4 Observamos que el número de funciones crecientes de Im en 111 se identifica con el número de funciones estrictamente crecientes de Im +n _ 1 en In, ya que , e 6.5.4 e4.3 = c4+3·1,3 = 6,3 = 3! 20 C'z,3 = Cz+3-t,3 = C4,3 = 4 J~ =4
- 102. 192 CODRD!NAIJ!IIDAD. INDUCCIONCOMPLHA. COMBINATORIA Teorema .El número de funciones crecientes de In en !m es igual al de funciones estrictamente crecientes d"' In en Im+n-l· Tesis) C'm,n = Cm+n-1 Demostración) Sean A el conjunto de todas las funciones crecientes de 111 en lm, y Bel conjunto de las funciones estríctareente crecientes de In en lm +n _ 1. Nuestro propósito es probar que e (A)= e (B), es decir, que A y B son coordinables. Para esto e~ sufki.:nte ver que existe una aplicación biyectiva de A en B. B. Para J..:ilnil tal apli;;acjón hay que asignar a cada función de A una única función en Se;¡ JeA. b ímagcn Jefes ií i )./(:.:),. .flnJ tal que par~ todo i = 1, :! , ... , n se verifica 1.;;;;,/(1) "'-m (1). A expensasdef. definimosg: In ~lm+n-I mediante las asignaciones rg(l)=/(1) i g (:2) = f(~) + 1 (:.!)~ g(3)=f(3)+2 1 g(n);;;f(n) +(n- l) ' De este mcdo, los valores extremos que puede tomar g son, de :~cuerdo con ll )· l y m + n - l. Además. teniendo en cuenta ( 1) y la definición de g, se verifica fe A ~ f {l) ~ f (2) , y como O< 1, sumando rec;ulta f(l) +O<f(2) + 1. Es de•~ir {IIF:.:fl:) + i . Luego g(l)<g(2i. Procediendo anál~gamente vale la proposición I.;;;;,f(l)<f(2) + l <f(3) + 2< ... <f(n) +(n- l) ..;;m+ n -l Es decir t.;;;;,g(l)<g(2)<g(3)< .~. <g(n)..:;,m+n-1 FUNCIONóS CRECIENTl:S ta asignación propuesta en (2) permite definir la aplicación F : A -? B tal que F (f) = g falta probar que F es biyectiva. Para ello estudiamos 19:1 i ) Inyectividad de F. Seanfy f'enA,talesque F (n = F (f'),es decir, tales que g = g'. Esto significa que los conjuntos (/(l),f('2)+1, .. J(n)+(n-1)) (f(l) ,f'(~) 4- i, .. ,['(n) +(n-I)} son tguaies. y en consect.~tnci<~ U) cualquiera que sea = Resulta emonees l :e f; y por lo tanto. F es inyectiva. ii ) Sobreyectividad de F. Sea g € B. Entonces g : In ~1m+ n-1 es estrictamente creciente, y se tiene ¡.;;;;,g(l)<g(::!)<g(3}< .. .<:g(n)"-m +n -1 i! Ahora bien. g(:!)>g(l) =>g(:!)-g(l)>O =g(~)-gHl;;;.L ya que todo número natural es mayor o igual que l. Resuita g ( l) .;;;;,g (2)- L y pro.:ediendo análogamente tenemos ¡.;;;;,g(l).;;;;,g(2)-l ..;;g(3)-2,;;; .. ,.;;;;,g(n)-(n-l}.;;;;,m Esta situación permite definir la función/: In~ Im, creciente, con la asignación f(í)=g(z)-(i-l) Entonces, cualquiera que sea g e B. existe fe A tal que F (f) = g. Las partes í ) y ii ) prueban que F es biyectiva, es decir, A -B, y en términos de números cardinales vale la fórmula C' -e (m +n-m,n- m+n-1 == n Ejemplo 6·16. hJ)e ._:uántas maneras ~rHrar ..¡ ~1iumnos en 3 aula~.. :;¡ nü ~e hJcc distinción .je personas·• Rotulemos a los alumnos con: l, ~. 3, y -+, y las aulas con: i, 2 y 3. Es claro que una distribución de las cuatro personas en las tres aulas está asociada a una función de [ 4 en 13 ; por no haber distinción de personas, el hecho de que entren dos personas en el aula 1, una en el aula 2 y otra en el aula 3 está dado por una función cuya imagen es cualquiera de las siguientes: ll23 3121 3211, etc.
- 103. i ~ COORDI~;•B!LIIJ<l>. t:-.;DnliU:-i COMPLETA. COMBINATORIA 000 i...·1 11 2 3 4 Al no haber distinción, estas distribuciones de cuatro alumnos en tres aulas son la ml ma. De ellas elegimos natvralmente la que define a una función creciente de 14 en 1, .:~..-!f ll2J. -i• ..1 Jí~trib.;~..:1Ün t.lblinw. é~, pví ejemplo, 1113, que significa: trez llumnos ramfl ~n eJ aula 1 y d .::u:rrto en el aula 3. De m<)do que existen tantas distribuciones posibles de 4 personas en 3 aulas, sin E · .nd)n de las personas, cerno funciones crecientes de 14 en 13 , es decir . -('61_ 6.5.3.4 =15 c3·~ = c3+4-t,4 = c6,4- , 4)- 4. 3. 2. 1 6.9.6. cplicaciones estrictamente crecientes por ttazos de lm en 1m Sean los números naturales m, m1• m1 , .••• mn, tales que m=m1 +m2 + ... +m..,= f m; i=l (l) Asociada a la descomposición {1), queda especificada la siguiente partición de Im en ínrervalos naturales cerrados lm = [1 , m1 J+ [m1 + 1, m1 + m2 ] + [m1 +m2 + l , m1 + m2 + m 3 } + ... + ík-1 l + ; ~ m; + 1 , m • (1) Li= 1 j dnnde el signo+ denota una unión disjunta. .. i ) Definición La función!-: Im ...¡, lm es estrictamente creciente por trazos, respecto de la · partición (2), si y sólo si es estrictamente creciente su restricción a cada sabconjunto de la partición. l: i!mplo 6-2 7. En l!orrespondencia con la descomposición 9 = 2 + 4 + :i 'l' tiene la siguiente md;m estrictamente creciente por trazos de 19 en 19 • ·i HiNCIO:-.iLS LSTR!t 1AMLNTE CRECIENTI S POR TRAZOS 195 9+ •1 1 :t ' 1 1 1 11 1 1 '1 1 1 1 ' 1 1 1 1 1 1 1 :1 1 1 1 1 • 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 • 1 ' 1 1 1 ' ' 1 1 1 1 ¡ •1¡ 1 ' 1 1 ' 1 ' 1 ' •.', i i 1 ' •1 1 1 '' ! •• • • •... 3 4 5 6 7 8 9... S:: tiene aquíla partición I9 = [ l , Zl + [3 , 6] + [7 , 9], es decir 19 ={1'2) +{3 ,4 , 5,6} + {7 '8 '9} Y la restricción de fa cada elemento de la partición es estrictamente creciente. Ejemplo 6·28. Determinamos el número de aplicaciones estrictamente crecientes por trazos de 17 en 17 • respecto de la partición de 17 asociada a la descomposición 7 = 3 + 4. De acuerdo con la definición. la restricción de cada una de las funciones a los subconjuntos 13 e 14 debe ser estrictamente creciente. Se sabe que el número ~e aplicaciones estrictamente crecientes de 13 en 17 es ( 7' C1,3 = 3) Además, es claro q1.1e cada función estrictamente creciente de h eñ 17 define unívocamente una función estrictamente creciente de 4, 5. 6, 7 en 17 . Por ejemplo, si g: 13 -+17 está definida por g(l) = 2 g(2)-=5 g(3) = 7 queda detenninada h :{ 4 , 5 . 6 • 7} -+ 17 estrictamente creciente y única. a saber h(4)=1 h(5)=3 h(6)=4 h(7)=6 ¡¡ ¡ [ !~ t 1 ! i 1 u!1 1¡¡ ~ ~ -~ rfl Íl
- 104. 196 COORDlNABlLIDAD. INPUCC!ONCOMPU:TA. COMH!NA10!~l fn consecuencia, el número de aplicaciones estrictamente crecientes por trazos de 17 en 17 es el de funciones estrictamente crecientes de 13 en 17 , que denotamos mediante p3,4 ==(7)= _]'_7 ,3 3! 4! En el caso del ejemplo 6-27, tal número es p2.3.4 9 = 9' ii ) Propiedad. El número de aplkacíones estrictamente ..:rec:entes por trazos de lm en 1m. respecto de la partícíón C). está dado por m1,m2,uo,mn m! p =------ m m 1 1 m¡! ... m,! Para cada m fijo hacemos inducción sobre el número n de elementos de la partición de 1m. a) Si n = l. entonces la partición tiene como único elemento Im. y la úmca función estrictamente creciente de 1m en Im lo es estnctamente creciente por traLO!>. es decir ml f p"' 1 = 1 = -· = ..!!!.:.._ m m! m1 ! ya que m= m1 b) Suponemos que la fórmula es válida para n = h, y demostramos su validez para n=./¡7-1. Cada función estrictamente creciente por trazos de lm-mh•l en sí mismo determina Cm,mh+I funciones estrictamente ..:recientes por trazos de lm en Im. respecto de la partición asociada a la descomposición m=m1 +m1 + ... +mh+t Entonces .rn =··· .nl 11 ..,.., .m~,.· ,ffl!¡¡ e --m 11 * r.tt liih,r~ 1plü:ando la hipóteSIS inductiva. se nene Es decir pm• .m , .....m,,., = (m- m,+¡)! ~----.!!!:__ _____ m mh+l! (m-mh.,.¡)! Pm' ,m 1 , •••• m h+, m m! m1!m2! ... mh+t! COMBINATORIA SIMPLE Y CON REPETICION 197 Ejemplo 6·29. ¿Cuántos números distintos pueden formarse ·permutando las cifras del número 112223333? Cada número que resulte de intercambiar las cifras de 112223333 define una aplicación estrictamente creciente por trazos de 19 en 19 , y recíprocamente. Así, por ejemplo. el número 133221323 determina la aplicación de 19 en 19 , asociada a la partición correspondiente a la descomposición 9 = 2 + 3 +4: f(l) = 1 /(:1) = 6 f(3)=4 [(4) =5 [(5)::8 f!6i = ~ f{7)=3 f!8):.::: 7 =9 la 111Jnera de determinarla es la siguíeme; a cada elemento del dominw le asignamos como imagen. respecto de la partición dada. el lugar que o~:upa en el número propuesto. Recíprocamente. a toda función estrictamente creciente por trnzos respecto de la partición. le corresponde un número que se deduce del dado, intercambiando las cifras. Así. sil: 19 -+ [ 9 es tal que ' f(l)=2 [('2)=9 {(3)=5 {(4)=6 [(5)=7 {(6)=1 f(7)=3 !'(8)=4 {(9)=8 y el número resultante es 313322231. Entonces el número total de números pedidos es igual al de funciones estrictamen- te crecientes por trazos de 19 en 19 , respecto de la partición dada, es decir p2,3,4=~-- 9.8.7.6.5. 4! 9 2! 3! 4! - 1 , 2 . 1 . z.3 . 4! = 9 . 4 • 7 . S = 1260 6.1O. COMBINATORIA SIMPLE Y CON REPETICION 6.1O.l. Concepto ldent¡tlcando un cvnjunto finito y no vado con un inter;alo natural inicial. respecto tle la. .:oordinabílidad, la respuesta a la detemlinación del número cardinal de ':;t>nos subcon¡untos dei mismo puede lograrse 3 la !Ul de derto tipo de funciones entre intervalos naturales iniciales. ya estudíadas. en u.<<. tos problemas que se presentan dependen del tipo de función que pueda diagnosticarse en relación .::on el problema. y son los seis que se tratan a continuación. 6.10.2. Variaciones simples de m elementos de orden n. (n..:; m) Definición "- Variaciones simples de m elementos de orden n, o variaciones n-arias de m elementos, son todas las funciones inyectivas de In en lm.
- 105. 19,; COORDlNABILll>Au. INDUCC!ONCO:fPLETA. CO!IIDINATORIA ( •mo todas las funciones iuyectivas de 1, en Im tienen el mismo dominio 1,, ctuL¡uicr variación simple queda determinada por las segundas componentes de los r ' o~ denados correspondientes a la función. Desde este punto de vista, toda v. ·' •.·inn n-aria de m elementos es un subconjunto ordenado den elementos de Im. Es cLuo que la inyectividad exige que no se repitan elementos en la imagen, es decir, dos var::~dones simples son distintas si difieren en algún elemento, o bien, si constan de los IT' i~mos, deben diferir en el orden. 1..'.: acuerdo con 6.9.1., su n¡ímero está dado por la fórmula ;m.n ~ m! (m -n)l -~-'!-" 1.,.1-~l lm-'1. ·•~-..,J,..l)-·-,,.;~-.li4 .. ¡.,,... -; ................. , 1, '!:'3. Permutaci{lnes de 11 elementos !" ·I:Jicíim Permutaciones den elementos son todas las funciones biyectivas de In en 1,. ' )1110 toda función biyectiva de In en I, es inyectiva. se tiene un caso particular de ':¡;,;dones simples. donde m= n. Teniendo en cuenta el conjunto imagen, cada pennutación de n elementos es un con:unto estrictamente ordenado de In. Su número, de acuerdo con 6.9.1 .• está dado por :a fórmula - n' =~=n!Pn = i "·" == (11 -n)! O! ~1 Jecir permutaciones de n elementos se debe entender que son simples, en el ;e;udo de que no hay repetic1ón, por la inyectividad. 6.! t>.4. Combinaciones simples de m elementos de orden n. (n ~m) Definición ; Combinaciones ~imples de m elementos de orden n, o combinaciones n-arias de m elementos, son tedas las aplicaciones estrict:unente crecientes de I, en 1m. Una tal aplicación estrictamente creciente identifica un subconjunto den elementos de 1,.,. de modo único. Al mismo concepto puede llegarse en virtud de la relación de equialer,cia definida en el conjunto de las funciones inyectivas de In en Im, de _ acuerdo con 6.9.2. El aúmero de combinaciones simples está dado por Cm.n =(mJ= Yrn,n 'n'"" --p;-- C"Ol!li:"ATORL Sl~II'LL Y CON RFPETICION 6.10.5. Variaciones con repetición de m elementos de or.den n Definición X 199 Variaciones con repetición de m elementos de orden n son todas las funciones de 1, en 1m. En este caso no existen restricciones d.· n respecto de m. Identificando cada variación con repetición con el correspondientr conjunto ordenado de las imágenes, ocurre que cada una es una n-upla de elementos de !,, . Su número está dado, de acuer· do con 6.9.4.. por l" =m"m.n 6.l0.ó. Combinaciones con repetición de m elementos de orden n Definición · Combinaciones con repetición de m elementcu; de orden n, son todas las funcio- nes crecientes de In en lm. En este cas_o. m y n son números naturales cualesquiera. De J~uerdo ~:on 6.9.5 .. su número está dado por la fónnula e =e =l'm + n- 1 1 m.n m+n- i,n ' n .-/ 6. 1O.7. Pe"?utaciones con repetición · En muchas situaciones. los elementos de un conjunto están clasificados en tipos: digamos. por ejemplo. un conjunto de 9 libros. entre los cuales hay 2 de álgebra. 3 de geometría y 4 de filosofía. En cada caso se supone que son del mismo autor, edición, etc.. es decir. indistinguibles. Un problema de interés consiste en la detenninación de las distintas maneras según las cuales pueden ordenarse dichos libros en un estante. Una ordenación posible es GAFAFGFFG. Es claro que si se pennutan entre sí dos libros de filosofía. el oroenamiento es el mismo. Una distribución distinta de los 9 libros en el estante puede lograrse· si se permutan libros de distinto tipo. Ahora bien, si rótulamos los libros asignando el 1 a los de álgebra, el 2 a los de geometría y el 3 a los de tilosofía. la ordenación propuesta es 213132332 El problema consiste en detenninar cuántos números pueden obtenerse intercam· biando las cifras del propuesto, lo que se identifica con el número de aplicaciones estrictamente crecientes por trazos de 19 en 19 ·, respecto de a partición asociada a la descomposición 9 = 2 + 3 +4. Tales aplicaciones se llaman permutaciones con repetición de 9 elc:mcntos. entre los cuales hay 2 del tipo A. 3 del tipo G y 4 del tipo F.
- 106. 2la( CO)RDINABlLllJAD. lNDUCClONCOMPLETA. COMBINATORIA Definición x Permuta1iones con repetición de m elementos, entre los cuales hay m¡ del tipo A; (i = 1, 2 , ... , n), siendo m = m 1 +m 2 +... +mn (1) son todas las aplica- ciones e:trictamente crecientes por trazos de Im en Im, asociadas a la partición de lm carespondiente a la descomposición ( 1). Seg(m 6.9.t. ii ), su número es Ejemplü 6-JIJ Pm,.m,. m ,mn:;:: m~ m 1 ~ m2 .•. m,! Seis persmas viajan en un vehí~ulo que tiene !O paradas. .,De cuántas maneras pueden bajars~ en los siguientes casos? i ) Si a o sumo baja una persona por parada. ii ) Sin estricciones. En ambos ~asos, considerar la situación con distinción y sin distinción de personas. Observamcs que cada distribución de las 6 personas en las lO paradas defme una función de 16 en lu1 • Así, 1~::!279 indica esta situacíón: una persona desciende er: la primera parada, tres en la segunda, una en la séptima y una en la novena. i ) A lesumo baja una persona por parada. Significa cue personas distintas bajan en paradas distintas, y, si se hace distinción de personas, iístribucíones como 134679 y 371496 son diferentes. Cada distribución de las 6 pers:mas en las 10 paradas, con distinción de personas. define una función inyectiva de 6 en 11 0 y, en consecuencia, el número total. es el de variadones simples de 1Oelementos de orden 6 V¡o,6 =lO. 9. 8. 7. 6. 5 Si no se hace distinción de personM, las distribuciones 134679 y 371496 ¡;Orresponder a la misma situación y se selecciona la que está asociada a una función I:'S!rktamenu creciente de 16 en 110 En ;;onsec}lencía. si no se hace distinción de perso11m, ha:r tantas di$tnbuc1ones como ~:ombinaciones simples de lO e!einentos de c•rden 6. es d:dr ii ) Sinrestricciones. V¡o,ó C'to,6 == b-!-- En este c,u¡o puede bajarse más de una persona por parada, y, si se hace distinción de personas, cada distribución define una función de 16 en 110 : es claro que se trata de las variacionts con repetición de 1Oelementos de orden 6, y su número es V'10 , 6 ':' 106 COMBINATORIA CON REPETICION ::u1 Si hay distinción de personas, 122279 y 721229 corresp..mden a situaciones diferentes. Pero si no se hace distinción de personas definen la misma distribución, y se elige la que corresponde a una función creciente de 16 en 11 0 • El número total, en este caso, es el de combinaciones con repetición de 10 elementos de orden 6, es decir • V1s,6 CJ0,6 =Cto+6-1,6 =CIS,6 =~ Ejemplo 6-31. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo den lados? El nümero de vértices es n. y, por definición, tres cualesquiera no están alineados. En conse¡;uencla, cada par de vértices determina una recta. El número total de rectas distintas está dado por el número de funciones estrictamente crecientes de 12 en In. ya que. por ejemplo, la;; rectas 13 y 31 son la misma. Entre estas rectas figuran los lados y las diagonales. En consecuencia, el número de diagonales está dado por Cn,2-n= n(n-1) ~ 1:./emplo 6·3:!. n= n2 -3n "'1 ..,De ..:uántas maneras pueden alíne:use pet:!lüf!d:i.-. ,;1 ;_re~ juntas'1 Una posible fonnación de las 10 personas es ~a¡ a2 a3 aq, as ... a¡o ~11~~ "~'S~'Tf Si no se especificaran condiciones., el nilmero total sería el de funciones biyectivas de 110 en 110 , es decir, P 10 =10! Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las tres primeras permanecen
- 107. 1(1:? COORDII'ABIII!>AD. INDUCCIONCOMPLU i. COMBINATORIA juniJ:,. y en primera instancia pueden considerarse como un solo objeto, con lo que el número total se reduce a 8, y se tienen P8 arreglos distintos. Ahora bien, en cada uno de é~tos, las tres personas que están juntas pueden permutarse entre sí, originando P3 alineaciones diferentes. Entonces el número total es Ps. P3 = 8! 3! Ejemplo 6-JJ. En una urna hay 5 l:olillas blancas y 6 bolillas negras numeradas. Se extraen m:u~s:ras de tamaño 7. ¿(Jiántas de tales muestras pueden extraerse'' ¡,En cuántas de el:.;: :'imr:-m ex~ct:.lmente 3 bo!illas blancas·~ 1El experimento consiste en extraer al azar 7 bolillas de la urna. sin reposición. b decir. se extraen una por una y no se reintegran hasta completar las s1ete. Dos muestras como b1 b: n2 n1 n4 n 5 nb b3 n3 b3 n6 n4 ns b2 b1 son la misma. y existen tantas como subconjuntos de 7 elementos pueden -fom1arse con ll dados. es decir V u ,4 JI . lO . 9 8 330Cu.7 =('1!.4 = --4'- = - 43 ·~1- = . . .·- ~ ü i Consideremos ahora !as 330 muestras aleatorias de tamaño 7 que pueden obtenerse. Estamos interesados en saber cuántas de tales muestras contienen exactamente 3 bolillas blancas. H..1y C5 •3 maneras de elegir 3 bolillas blancas entre la~ 5 que existen. Por cada una de esias posibilidades se presentan C6 ,4 maneras de selec;;ionar 4 bolillas negras entre l:.is ñ que hay. En consecuencia. el número total de muestrns que tienen t:xactamente 3 boli [i;,;:, bl:m..:as es 5 . 4 . 3 6 . 5 . 4 :_¿__ = ISO C ..~. c...-l ~ - 3 . 2 . ¡~ · 4.3. 2. 1 ,.,. COMBI~ATORIA 21>] Ejemplo 6-34. Hay tres tipos de medallas: 3 de oro, 2 de plata y 4 de cobre. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse entre 9 personas, si a cada persona le corresponde una y sólo una? Cada distribución de las 9 medallas entre las 9 personas define una aplicacion estrictamente creciente por trazos de 19 en 19 • respecto de la partición asociada a la descomposición 9 = 3 + 2 + 4. Se trata, entonces, de las pem1Utaciones con repetición de 9 el~mentos. entre los cuales hay 3 dd tipo O. 2 del tipo P y 4 del tipo C. y su número es 3 ' 4 9~ - 1,60p· .-. ::::: --.~- - ~ 3 -· ..... Ejemplo 6·35. ;,Cuántos ténmnos tiene un polinomio ..:ompleto y homogéneo de grado 2 cor 3 variables' Sean éstas x 1 • x z y x 3 • Como el polinomio .es homogéneo, todos los témünos sun de grado 2. Ahora bien. cada función creciente de lz en 13 detem1ina uno de os tem11nos del polinomio. ya que las imágenes x 1x 3 y x 3x 1 corresponden al misa1U término. y se considera la que es creciente. El numero total es d de combinaciones con repetición de 3 elementos de orde~: es d~cir C =C _r 4.3 3.2 3~:. ·-1 ~:! - -+.2 = --,-- = 6 El polinomio puede escribirse p tX 1 • X:. t .l ) "" <l ll X~ + a¡z X~ + a,, '~ + a¡ 2 X 1 X: + a l3 X¡ X 3 + d : 3 X l X 3
- 108. TRABAJO PRACTICO VI 6·16.Demostra1 por inducción completa l. 2. ~-l · l -x" k..:'::::--~ i=o l- x " iI;-='J-n+::! 1= 1 2¡ - ---y¡- si X :;é 1 3. f t ~ n (n + 1)(2 n + l) i=l 6 ·~-- 4. f i(n-i)=!!(n2 -I) i=l- 6 5. :f 31 = ]_ (3" - 1) i=t 2 6. n (2Y 2n+i I;- =2--- ~· 3 3" 7. trt-1 'n(a-l) si a>l 8. (! +-x)" ~ l +nx si x>O Q 1 -~~-- =.... '"- 10. 3 !10"7-1 + lO" + I 11. 2 ¡n 2 +n 12. 3. 8"- S" 13. a"- b" ==a (a- b) 11 14. .I: i. i! = (n + 1)! - 1 i=t TRABAJO PRACTICO VI 15. :f i3 = (f i)2 1=1 i-1 6·37. Sean X¡, x2, ••• , Xn números reales. Demostrar que la suma de sus desvíos respecto del promedio es O, es decir f (x1 - i)= O i=l 6-38. Demostrar que " n,~ .¡¿, t.~! X¡ =I: i=t + k X¡X¡ '""1 6-39. Sabiendo que x 1• x 1 • • , x 10 son tales que ~ x~ =lOO i=1 1 x=- 20. calculary f (X¡-· 2)~ i=l 6-40. Demostrar i ) 2n!- (n- l)(n- !)! = nl +(n -1)! .. ) n l 111 (n+l)! =nr- (n+l)! 641. Hallar x sabiendo que C~21_x)=(zx7 - 2) 6-42. Desarrollar las siguientes potencias l r } 6 i) -2a2 +-) a ; ii ) 6/i+.JYt 6-13. i ) Sabiendo que ll + q = 1. calcular 1: ii ) Calcular f lt·n·J _I e· 2)n···'< k=O '-k-' 3k 3 ./ 6-44. Hallar la suma de los términos 5!? y 72 del desarrollo de (- 2 x +x1 ) 10 205 6-45. Determinar x sabiendo que el término central del desarrollo de(x + +) 8 vale (!).
- 109. 2116 COORDINABILIDAD. INDUCCIONCOMPLETA. COMBINAIORL ,• 3 " 7 r.-16. Sea(- 2 x + "":)..J .Detem1inar x sabiendo que T3 + T6 =O. " - ,- 1 ) 10 (;•.¡7. Hallar el ténninn rle grado 5 del desarrollo de 1"x 2 - x ( 1) 15 6·-18 Hallar los términos de grado natural del desarrollo de x + x~ 6--19. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 libros en un estante, si tres de ellos deben estar juntos'?· · .~t}. ¡,De cu:in tas maner:J.s se pueden alinear 10 personas, sabiendo que Jos de ellas no pueden estar juntas' i;-51. Cakular la suma de todus los números de 4 cifras no repetidos que pueden fürmarse con 1. 1. 3 y 4. ~-5:!. ,,Cuántas distribuciones ~:irculares pueden formarse con 6 personas' '!·53. Ocho puntos del plano son taies que 3 cualesquiera no están alineados. salvo 4 de ellos que sí lo están. ¿Cuántas rectas determinan? .'J-5-I. ,Cuántas .:omisione5 Je 6 personas pueden formarse con 8 varones y 9 mujeres. sabiendo que al menos un varón integrn c3da comisión" 'Í·55. ;.De cuántas maneras. se pueden distribuir 100 botellas de leche entre lO comercios'~ ?-56. .:,Cuántos números de tres cifrns distintas pueden formarse con O. l, 2, 3. 4 y 5'' 'J-57. números de tres cifras pueden formarse con O. l. 2. 3. 4 y S'? 6-58. De un maLo de naipes franceses (52 cartas) se extraen cinco cartas sin reposición. ¿De cuántas maneras pueden obtenerse exactamente dos ases? 6-59. Entre 36 cartas hay 4 ases. Se retiran tres cartas sin reposición. ¿Cuántas colecciones de tres wrtas contienen exact:tmente 2 ases? o-6fJ. ¡,En cuánhJS números de k cifras elegidas al azar entre l. 2. 3.... , 9. aparece exactamente -1 veces el número 1., (k;:::: 4) ó-61. Se consideran n personas alineadas al azar. ¿En cuántos. de dichos arreglos. hay exactame:1te k personas entre dos determinarlas·~ fHJ:!. ¿Cuántos polígonos determinan lO puntos del plano. sabiendo que 3 cualesquie· rano están alineados'? ,1.td. ¿De cuantas maneras pueden alinearse 5 varones y 5 mujeres de modo que Jparezcan alternados'? ')-f;.f. ¿Cuántas n-upbs pueden forrnarse con los números 1, 2 y 3'' ¿En cuántas aparece exactamente k veces el 1'? 6-65. 'IRABAJO I'RACTICO VI 20! Determinar el número de pronósticos posibles que corresponden a una fecha de los 13 partidos del juego llamado Prode. En cada partido puede apostarse a local empate o visitante. ¿Cuántos de tales pronósticos tienen k aciertos? 6·66. Demostrar que todo subconjunto infinito de un conjunto numerable es nmm· rabie. 6-67. Demostrar que la unión de un número finito de conjuntos numerables y disjuntos dos a dos es numerable. 6-68. Doce alumnos cursan una asignatura que se dicta en 4 horarios distintos. ¿De cu:ínt:l~ m:mer:J~ pueden distribuirse los 12 alumnos en los 4 horarios"' ¿Cuántas distribuciones determinan el mismo número de estudiantes en los 4 horarios'? 6-69. t.:na persona apuesta 10 S en una carrera en la que intervienen 5 caballos. ¿Cuántas apuestas distintas puede hacer si éada vale cuesta 2 5 '? 6· 70. Par~ formar un compuesto se dispone de 6 sustancias del tipo A y de 8 del ti¡>o B. El compuesto requiere 3 del primer tipo y 4 del segundo. ¿De cuántas malle· ras puede realizarse la experiencia en los siguientes casos? i ) Sin restricciones. ü ) Cna sustancia determinada del tipo A debe ser incluida. iii) Dos sustancias determinadas del tipo B no pueden incluirse.
- 110. :;apítulo 7 SISTEMAS AXIOMATJCOS 7.l.INTRODUCCION E! desarrollo le la matemática actual es principalmente abstracto y se realiza. en sran parte, por ll vía de los sistemas axiomáticos. cuyo concepto se expondrá en el ;:>~esente capítuh. Este punto de vista representa el avance natural del desarrollo die~tífico, entro~ca los casos particulares y concretos en situaciones generales de las cuales aquéllos se derivan, y esencialmente permite conocer mejor lo que antes se sabia de un modo fngmentario. Como ejemplo de sistema axiomático se desarrollan el álgebra de Booh y una introducción al sistema axiomático de Peana que conduce al estudio del núnero natural. Finalmente se presentan las estructuras algebraicas de monoide y semi~po. 7.2. SISTEMAS AXIOMATICOS 7.2.1. Concept(J t:n sistema a:tiomátko, en matemática, consiste en los siguientes objetos: ltérrmms primitivos constituidos por elementos, conjuntos o telaciones. e;uya nuuraleza no queda espt>cifkada de antemano, li ) a:ciomlls, que son fuüciones propostcionales cuannficadas, relaüva$ ¡¡ !as variables que representan a los términos primitivos: es decir, son propiedades a las ~ue deben satisfacer dichos términos primitivos. Los axiomas definen implícitamente a éstos. üi) de[inüiones de todos los términos no primitivos. iv) teoren:as, es decir, propiedades que se deducen de los axiomas. Anexada al sistema axiomático se admite la lógica bivalente, con cuyas leyes es posible demost1ar los teoremas·de la teoría. Cuando se sastituyen las variables o términos primitivos por significados concretos, se tiene una interpretación del sistema axiomático: si esta interpretación es tal que los SISTEMAS AXIOMATlCOS 2l'.i axiomas se convierten en proposiciones verdaderas, entonces se tiene un modelo dd sistema axiomático. En este caso, todo lo demostrado en abstracto en el sistema es válido para el modelo, y nada hay que probar en particular. l:.]emp/o 7-1. Consideramos el siguiente sistema axiomático. i ) términos primiTivos. Un conjunto A, y una relación R detlnida en A, es. decir, RCAXA No se especifica aquí cuál e) el conjunto ni se define la relación. ):ttion~as: A, . R <>S retlexiv:l :;:n : A: · R es antisirnétnca en A A3 : R es transitiva en A Los tres axiomas pueden resumirse en el siguiente: R e!> una relación de orden amplio en A. iü) definición: en A ~e .,;onsidera la relación S. tal que ta. b)€S ~ (b,a)eR iv) teorema5. Demostramos ia siguiente propiedad relativa a S: S es ret1exiva en A. V a: a e A ~(a. a) e R por A1 (a, a) e R ~ (a, a) e S por üi) Entonces, por la ley del silogismo hipotético, resulta '1:/ a ;ae A ==> (a , a) eS y en consecuencia, S es reflexiva en A. ("on procedimiento análogo, se demuestra que S es amisímétrica y transitiva en A. Esto significa que la relación S. inversa de R, determina un orden amplio en A. Damos las siguientes interpretaciones para este sistema axiomático: a) Si A es el conjunto de los números reales, y R es la relación de "menor o . se vuifk:m A 1 .. A;• y A3 la relación Ses. en este caso, la de "mayor o igual... S.: tiene un modelo del sistem;¡ axí(lfi'¡atico, b¡ s, A .;;s <:1 dt- las partes de 1.m conjunto t'. y R es la relad.Jn d,; mdus1ón. .:monees vaien los :~xiomas se tiene otw modelo úel '>lstema, 7.2.2. Propiedades de los sistemas axiomáticos No toda colección arbitraria de ténninos primitivos y de propiedades relativas a· éstos caracteriza un sistema axiomático. Es necesario que de los axiomas no se derive ninguna contradicción, es decir, debe cumplirse la propiedad de compatibilidad o no contradicción. Si esto no ocurre, o sea, si en el desarrollo del sistema aparecen dos axiomas o teoremas contradictorios, entonces el sistema es incompatible o inconsisten-
- 111. 2; SISTEMAS AXIOMATICOS te.La compatibilidad es eventualmente imposible de probar, ya que habría que agotar todos los teoremas de la teoría y comprobar su no contradicción. La compatibilidad de un !istema axiomático puede probarse indirectamente exhibiendo un modelo. Otras propiedades son aconsejables en todo sistema axiomático, aunque no necesarias, Sin entrar en detalles, mencionamos las siguientes: independencia del sistema, en el sentido de que ningún axioma pueda probarse a expensas de los demás. La no independencia de un axioma no niega la consistencia del sistema. Sea un axioma Aí de un sistema compatible. Diremos que A¡ es independiente si y sólo si el sistema que se deduce del dado sustituyendo a A¡ por su negación, es compatible. Si un sistema axiomático compatible es taL que de sus axiomas se deduce la ventad o la falsedad cie rodo enum.:iado r·eiativo a la t.;v.l ;... entüiK€S s,; Ji..:..: que es ..:omoleto o saturado. Por otra parte. si dos modelos cualesquiera de un sistema son isomorfos respeo..:to Je bs relaciones y operaciones definidas en los mismos. entonces se dice que dicho sistema es categórico. Se demuestra que la categoricidad de un sistema implica la saturación del mismo. 7.3. ALGEBRA DE BOOLE : .3.1. Concepto El sistema axiOmático que conduce al álgebra de Boole consiste en i )ténnmos primitivas son: un conjunto B * 4> y dos funciones que se denotan con + y . ii )axiomas B1 : +y . son dos leyes de composición interna en B. B2 : +y . son conmutativas. B3 : + y . son asociativas. B.; . + y . son distributivas, cada una respecto de la otra. B5 : Existen neutros en B, respecto de + y de . que se denotan con O y l, respecth·amente. B6 : Todo elem!nto a € B admite un complementario a•, tal que a+a'= l y a.a'=O Ej.-mplo 7-2. Los siguientes son modelos del álgebra de Boole: a) Si U es un conjunto. entonces el conjunto P (U). de las partes de U, con la unión e intersección. constituye un modelo de álgebra de Boole. siendo el conjunto tf> y el 1 ! . j Al.GEBRA Dl. BO()Ll' 1 211 mismo U los neutros para dichas operaciones. Además, todo subconjunto de U admite un complementario que satisface B6 • b)Si B = ( 1 , 2 • 3 , 5 , 6 , lO , 15 , 30} = { x € N 1x 1 30} , + "' v denota el mínimo común múltiplo, y . =11 significa el máximo común divisor, entonces resulta otro modelo de álgebra de Boole, donde los neutros son, respectivamente, l y 30. 'Z.,~b Dualidad en el álgebra de Boole Se llama proposición dual correspondiente a una proposición del álgebra de Boole, a la que se deduce de ella intercambiando los signos de las operaciones + y . , y sus derm::ntus neuu os O1 i . Así. los duales de los seis axiomas relativos a la operación + son los seis correspondientes de ia segunda operación. El princip10 de dualidad establece que el dual de un teorema del álgebra de Boole es también un teorema del mismo sistema axiomático. • 1-~.3. Propiedades del álgebra de Boole Sea (B . + ·..)un álgebra de Boole. Demostramos los siguientes teoremas: l) ldempotencia En efecto aeB =a.a=a aeB=a.I =a =a.(a+a)=a =a.a+a.a'=a =a.a+O=a =a.a=a por B5 por B6 por B4 por B6 por B5 Por el principio de dualidad se tiene l') a € B = a + a =a ll)a+l=l En efecto, por B6 , B3 , 1' y B6 tenemos Por dualidad resulta Ill) Ley involutiva. a+ 1 =a+ (a+ a)= (a+ a)+ a'= =a+a'=l 11') a. O= O a e B =(a')' = a
- 112. 21~ SISTEMAS AXI01 .lATICOS aplicando sucesivamenteB5 , B6 • 8 2 , 84 , B2 , 86 , B6 , B4 , B6 y B5 resulta (a')'= (a')' +O== (a')' +(a. a')== =(a')'+ (a'. a)= [(a')'+ a']. [(a')'+ a)== =(a'+ (a'fJ.(a +(a')']= 1 . [a+ (a')'}= =(a +a') .fa +(a'fl =a +[a'. (a')'}= :::a+ O=a 1'1 L::. 1~ D.: hng.an Consideremos O sea ia+bf=a'.b' (a+ b). (a'. b') =(a'. b'). (a+ b) = =((a'. b').a]+[(a'. b').bl= =[(b' a').a}+[(a'.b').b]= = [b'. (.z'. a)]+ [a'. (b'. b)]::: = (b'. O)+ (a'. O)= O+ O= O (a+ b). (a'. b') =O (l) -nálog;;mente. se llega a (a+ b) +(a'. b') = 1 (~) De ( 1) r 12) resulta (a+b)'=a'.b' L;¡, fGrn:.t Jual es i~""~ hJ bf::: a·+ b 7.4. SISTEMA AXIOMATICO DE PEANO 7A.l. TeoríadePeano El sistema axiomático de Peano es esenciahnente ordinal, y define al conjunto de los números naturale~ algebrizado con las operaciones de adición y multiplicación, salvo isomorfismos. Consiste en AXIO~l,S DL l'LM-:0 )términos primitiPos: un objeto, que se denota con 1 un conjunto N'=/= !f> una función, llamada "siguiente" o "sucesor", que se simboliza con "s". íi ) a:>:iomas A1 : el objeto l es un elemento de N, es decir leN A~ :la función "siguiente'" es una aplicadón inyectiva de N en N- sl s ~-N- 1 es 1-1 Este axioma establece a) todo elemento de N tiene un sucesor y sólo uno. b) el 1 no es sucesor de ningún elemento de N. e) si dos elementos de N tienen el mism~ sucesor. entonces son iguales. 213 A3 : Principio de inducción completa. Si S es un subconjunto de N que contiene al l. y al siguiente de h siempre que contenga a ll, entoncc; S= N. Es decir. si S C N es tal que satisface leS he S => s(h) e S , entonces S= N Coincide con 6.4.2., y puede expresarse, de acuerdo con 6.4.3. de la siguiente manera: si Pes una propiedad relativa a los elementos de N que satisface i ) P (1) es V ü) P th) es V=- P {S (h)) es V, emonces P (n) es V para todo n € N. iii) definiciones 1) de adición a) a + 1 =s (a) cualquiera que sea a € N. b) a + s (b) =~(a + b) cualesquiera que sean a y b en N. 11 l.te multiplicacu}n al ..¡ ! = a !)ara toJo a € N. bl d . S un "" u b .;- J .;¡ue sean i.1 y b en N. El sistema :..xiomático se completa ..:un otrJS defínidones y teoremas. d.: lus ..:uale:-. demostraremos algunos a manera de ejemplos. Interesa ver que las definíciones propuestas en 1) y ll) caracterizan leyes de composición interna en N. Lo verificamos en el caso de la adición, para lo cual hay que prooar, de acuerdo con la definición de ley interna, que la suma de dos elementos cualesquieta de N es un único elemento de N, es decir a E N A. n E N => a + n está unívocamente
- 113. 214 SISTEMAS AXfm,!ATlCOS determinadoen N, para todo n € N. En efecto, si S es el subconjunto de N formado por los elementos n para los cuales existe y es unico a + n, se tiene i) n "' 1 =>a + 1 =s (a) por I a) y por A2 , está unívocamente determinado, es decir, lE S. ii) Hipótesis) he S. Tesis) s (h) e S. Demostración) h eS ~ a + h está unívocamente detenuinado por la definición de S. Por A1 y por la definición 1 b). s (a + h) = a + s lhí está nnívoc;¡mentP determinado. y en consecuencia s (h) € S. Luego. S = N. y por consiguiente, la adición definida en 1) es una ley de composición interna en N. Con criterio análogo puede probarse que Il) satisface la definición de ley de composición interna. De acuerdo con lo demostrado, si denotamos ~ = s (1) 3 = s (2), etc., para efectuar 3 + 2, procedemos así: 3 + 2 = 3 +S (l) =S (3 + l) =S (s (3)) =S {4) = 5 teniendo en cuenta la definición de 2, 1 b), la), la defiilición de 4, y la definición de 5. Ejemplo 7-1. Si ..:onsidernmos las sucesiones 10' 11 . l2' 13 , .... . l • l /3 , 1/9 , l/27 , .. . vemos que satisfacen los axiomas de Peano. pero si los algebrizamos de acuerdo con su teoría, se tiene 11+10=12 1/3 + l == 1/9 siendo estos resultados distintos de los de la aritmética ordinaria. Se tienen, así, dos modelos del sistema axiomático, los cuales son isomorfos a N ={l ,'2 , 3 , ...} . En última instancia son dos representaciones distintas de N. 7.4.2. Propiedades Demostramos los siguientes teoremas de la teoría de Peano. l. La función sucesor es sobreyectira. En otra~ palabras. todo número natural distinto de l es el siguiente de otro. OPL:RACIONES l:.N N Hay q'Je probar que la imagen de la función sucesor es el conjunto N- {.1} Sea S el conjunto de las imágenes de los elementos de N. i ) 2 = s (l) pertenece a S. ü) Si h € S, entonces s (ll) € S. En efecto: heS~ /zf:N ~ s(h)eS 2. La adición es asociatil·a en N {a+ b) +11 =a+ (b + lt). Demostración) i) n=l ~la+b)+l=s(a+bl= =a+slb)=a+(b+l) Porl b) y 1a) ii) (a+ b) + h =a+ (b + h) ~(a+ b)+ s(h) =a+ [b + s(h)] En efecto (a+ b) + s (h) = s [(a+ b) + h) = = s fa+ (b + h)} =a+ s (b + h) = =a +lb +s(h)] Por l b). hipótesis y 1 b). 3. La adición es conmutatil•a en N. Lo demostramos en dos situaciones: l)n+l=l+n II) i) n=l => l+l=l +1 ÍÍ) h + 1 = J +lz => S (h) + 1 =l +S (/z) En efecto 1 +s(ll)= 1 +(h + l)=(l +h)+ 1= =S (h) + l Aplicando la definición I a). la asociatividad y 1 a). a+n=n+a ) n = l =>a+ l = l +a por 1) ii) a+h=h+a ~a+s(h)=s(h)'+a Demostración) a+ s (1!) =a+ (h + 1) =(a+ h) + 1 = = (li +a)+ l =h +(a+ l) = = h + (1 +a)= (h + 1) +a= s(h) +a 21.S
- 114. 21? SISTEMAS AXIOMATICOS Envirtud ~e la), asociatividad, hipótesis, asociatividad, i ), asociatividad y 1a). 4. El 1 es neutro para la multiplicación, es decir, n . 1 == 1 . n = n En efecto. i) 11=1 =l.l=l.l=l ii ) h . l = l . /¡ => S (h) . 1 =l . S (lz) Sea S (lz) . l =S (Jz) = lz + 1 = =h.l+l=l.h+l= "" l. S íl!) Se han utilízado ll a). la hipótesis y l! b ). S. La muliplicación es distributn·a respecto de la adición. Se tratad¡ probar que cualquiera que sean € N ta + b) . n =a. n + b. n i) n:l =>ta+b).l=a+b=a.l+b.l porll a) ii ) (a t b) . h =a. h + b . h => (a + b} s (h) =a . s (h) + b . s (h) En efecto (a +b) . s(h) = (a + b) . h +(a + b) = =(a. h + b. h) +(a+ b) =(a. h +a)+ (b. h + b) = =a. s(h)+b. s¡h) donde hemos aplicado 11 b), la hipótesis, conmutatividad y asociatividad de la Edición, y 11 b). 6. l,a multiplicackón es asocio.tira. 111. b1 . n =a . {b. n1 ¡n=-""' .bi 1'-"a.b-"a ¡b l) de ¡cuerdo.con U a). ii) (a b).h=a (b.h) ~la.b).s(h)=a.[b.s(hll Sea (a. b). s(h) =(a. b). h +(a. b) = =a.(b.h)+a.b=a.(b h+b)= =a. [b. s(h)] por aplicación de II b), la hipótesis, distributividad y li b ). AXIOMAS DE PEANO 217 7.4.3. Otra forma equivalente de la teoría de Peano En el conjunto N no figura como elem'ento el O. Peano mismo Jo introdujo en otra versión de su sistema axiomático, y muchos autores prefieren incluirlo. En esle caso no se modifican los axiomas esencialmente, salvo que el l se sustituye por el símbolo O. Sin embargo, hay que cambiar las definiciones de adición y multiplicación. las cuales adoptan las siguientes expresiones: I) Adición a) a+O=a b) a ..... s (b! = (a + /H ll) .tultiplicac¡ón a) a.O=O b) a. s(b)=a. b +a En este caso se define l = s (0). Ejemplo 7-4. Demostrar a.n=a+a+ ... +a= fa ~ i=l n Hacemos inducción sobre n. 1 i} n=l =»a.l=a= k a ¡: l h ii) Hipótesis) a. h = k a i•l Tesis) Demostración) Pr)r -:!eflnidón 11 b! Por hipótesis !!...+ 1 a.(h+l)= 2,;, a i= l a . (h + ! i = a h ·+- !.1 h a. (h + l) = l; a +a i=l Por propiedad de la sumatoria h+l a. (h + I) = k a i= 1
- 115. 21 : SlS1TMAS AXIOMAT!COS 1),: este modo queda demostrada la expresión habitual de producto de un número nai<H;!I a. por n f N, que se da como definición en )a escuela secundaria. Ejemplo 7-5. Se" define la potenciación en N, mediante a) a1 =a b) ¡f(b>=a0 .a D·.::;wstramus las siguientes propiedades por inducción completa. 11 Distributil'idad respecto del producto. la. b)" = a".b" 1 ) n = l => {a. b )1 =a. b = a1 • b 1 por la definición J l ií) (a. b)11 =ah. bh =>{a. bl(h) = a•<h). bs(hJ Por definición b), hipótesis inductiva, conmutatividad y asociatividad del produ~:to. y nuevamente por definición b). resulta: ta. b)s{h) =ca. bJh . (a' bl =ah. bh. a. b = =ah. a. bh. b =,¡;(h). bs(h) 1! IR<:'gla Jel producto de potencias de igual base am. an =am•n HJc:emos indllcdón sobre ll 1} n=l =>am.a 1 =am.a=a•(ml=am .. l por las definkiones a) y b). ti) am. ¡¡h = am+h => am. a•(h) = 11m+s(h) En efecto. si aplicamos sucesivamente la definición b). asociatividad del producto. la hipótesis ~ las det1nkiones b) de potenciación )' adición. resulta am. as(h) =am (ah. a)=(am. ah). a= =am+h. a =a•<m+h) =am+s~h) Ejemplo 7·6. En N se define la relación de menor, mediante a<b <* 3xeN/b=a+x Demostramos las siguientes propiedades: I) Todo número natural ~~s menor que sta sucesor, es decir 11 <s(n) (l) ORDl·.N EN N i)11= 1 "*S(!)= 1 + 1 "*1 <s(l) por las definiciones a) de adición. y (1 ). ii) h<s(h) =>ll+l<s(h+I) En efecto Entonces, por ( l) S (J¡ +_1) =S (l +/r) = J +S (h) = = 1 + (h + 1) = (h + 1) + 1 h + 1 <s (h + l) Hl) L:i rclJ¡.;ión de :nc~~r es tr:1n~itiv2 En efecto. por 11) a<b y b<c=:.a<c a<b y b<c = =>3x.J'EN¡'b=a+x" c=b+y => => e = (a +x) +y => e =a + (x +y) => =>a<c :¡v) leyes de monotonía Demostramos a) a) a< b =>a+ e< b +e b) a< b ,, e <d => a + e< b -+ d a<b =>3xeN/b=a+x => =>b+e=(a+x)+c=> => b +e =(a+ e)+ x => b +e< a+ e La parte b) queda com.o ejercicio. 7.5. ESTRUCTURA DE MONOIDE 7.5.1. Concepto de estructura algebraica 219 En ·su fonna más simple. una estructura algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación o ley de composición interna definidas en él. En situaciones más complh;adas puede det1nirse más de una ley de composición interna en el conjunto. y también leyes de composición externas. Según sean las propiedades que deban satisfacer dichas leyes de composición. se tienen los distintos tipos de estmcturas algebraicas, que son, exactamente, sistemas axiomáticos. j
- 116. ,:-~~-'> --~~~..iiitlat--.J?f~':p-~~s.~- 220 SISTEMASAXíOMATICOS ·/.5.2. Estrudura de monoide No existe un criterio uniforme en cuanto a la definición de monoide. Claude hevalley, er Fundamental Concepts of Algebra, lo introduce como un conjunto dotado de tna ley de composición interna, asociativa y con elemento neutro. Adoptamos h definición que expone Enzo R. Gentile, en Estmcturas algebraicas, monografía 1'0 3 de la O.E.A., en la que se exigen menos condiciones. Definición El par ct *). donde M ::F rf¡, y *es una función. es un monoide si y só!o si* es una ley de composición interna en M. En este sstema axiomático los términos primitivos son M y *,y el único axioma establece qut *es una función de M2 en M. Son modelos de monoides los conjuntos N, Z, Q, R y C, con la adición ordinaria de números. En cambj¡J, el par (N, -) no es un monoide. ya que la sustracción no es ley de composicióninterna en N. El par (N *),donde* está definida mediante a* b = ináx {a, b} tiene estructura de monoide. 7.6. ESTRUCTURA DE SEMIGRUPO Definición El par (A, *), donde A -:F 1/J y * es una función, es un semígrupo si y sólo si * es ley in1ema y asociativa en A. En otras ~alabras, un semigrupó es un monoide asociativo. En parti«ular, si la ley de composición es conmutativa, entonces el semigrupo se llama ·~~.mmltati'lo: y si existe elemento neutro. se dice que e! semígrupo tiene unidad. El dementcneu·so sueie llamarse identidad. El par íl"l . ·ríes un semlgrupn conmuta¡ivü. &in neutr0. En ..::m;l:-!e (N,, +! •H~nt elt:mento n~utro O. El objet•) (N , .) es un semigrupo .:;onmutativo. con elemento neutro o 1dentidad igual a l. Ejemplo 7-7. Sea (M,*) un monoide. Se definen los elementos identidad (o neutro) a izquierda o derecha, mediante i ) e ¿ M es identidad a izquierda * V a : a e M ~ e * a =a ii ) e : Mes identidad a derecha * V a : aEM ~ a * e = a Es claro que los elementos de ide~tidad, si existen, lo son respecto de *· MO:-.:OIDF Y SEMIGRUPO 221 Demostrar que si ·e' y e" son iJcntiJ;¡Jc~ a iLquierda y a derecha del monoide, entonces e' == e". e"= e'* e"== e' Por ser e' neutro a izquierda, y e" neutro a derecha. Si un monoide tiene identidad a izquierda y a derecha, se dice que tiene identidad. El m.;.moide (Z. -) tiene sólo identidad a derecha. y es O. pues "fx xEZ =>x,-U=x E.iemplo 7-8. Sean A-:!= tp. y AA e! .:enjunto de todas las funciones de A en A. es Jecir AA - (J. 1,1· A · A -t 1 • - • Entonces. si "o" denota la composición de funciones. el par (AA • ,, } es un semigrupo con elemento neutro o identidad. En efecto A1 :fe AA ,, g e AA => f: A-+ A " g: A- A => g o f: A-+ A Es decir, la composiciÓn es ley intema en AA. A2 : asociatividad f,g,heAA =>(hog)of=ho(go{l ya que la composición de funciones es asociatíva. A 3 :NeutroesiA€AA,yaque iAof=/oiA=f cualquiera que sea Ejemplo 7·9. Sea i M *i un monoide con neu:m G Identidad e € ,j Por ddiníción fe AA. i } a1 e M es inverso a izqt.:;'Crda de aE M, respecto de *·;;¡y sólo a1 •a =e ii ) a2 e M es inverso a detecha de a € M, respecto de *, si y sólo si a* a2 =f! iii) a' es inverso de a respecto de *,si y sólo si lo es a izquierda y a derecha. es decir a'*a=a*a'=e
- 117. SISTI.MAS A.XIOMATICOS J:n estecaso, se dice que a e M es un elemento inversible delmonoide. Sea el monoide definido por la siguiente tabla: * 1 a b e d a a a a a b a b e d e b e d e d e d b b De la observación de la. tabla surge que el neutro es b. Determinamos los inversos: el,.;¡ncntos 1 inversos a izquierda inversos a e b b 1 b 1 b e d a d d e 1 d TRABAJO PRACTICO 111 7-10. Sea un sistema axiomático compatible, con los axiomas A 1 , A2 , ••• , An. PQr definición, el axioma A¡ es independiente si y sólo si el sistema cuyos axiom;¡s son A1 , A2 , .•• , A¡_ 1 • -A¡.... , An, es compatible. Demostrar la independencia de los tres axiomas del ejemplo 7·l. 7·/l. Se considera el.siguiente sistema axiomático i ) términos pnmitivos: A =1= t/J y R e A2 • ii) axiomas Demostrar A 1 :a:~=b =>(a,b)eR v (b,a)eR A2 :(a, b) € R =>a =1= b A3 :(a, b)eR A (b,e)eR = (a,e)eR A. =e (A)= 4 l. (a,b)eR =>(b.a)iR U. x=F=a .' x=l=b 11 (a,b)eR =>(a,x)eRY.(x,b)eR 7-12. Sea (B , +,.)un álgebra de Boole. Demostrar l. l, =o A O' = 1 II. El complementario de a e B, es único. III. a+(a. b)=a•"' a. (a+b)=a 7·1J. Demostrar que en N no existe neutro para la adición, es decir aeN A beN ;;;;a+b=l=a 7-14. Demostrar en N a=F=b ~a+n=F=b+n 7-15. Demostrar que la multiplicación es conmutativa en N en las siguientes etapas: i) n.l=I.n ii) s(b).n=b.n+n iii) a. n = n . a
- 118. ':i'S~~.:. '"-"""'·"'·--------- 224 SISTEMASAXIOMATICOS 7-16. Dcmostar en N i) t<b =>a.c<b.c ¡¡ ) J <b r- e <d => a . e <b . d iii) 1. b == l ==> a = l 11. b = 1 7-!7, Verilkrr si (M , *)es un monoide en los siguientes ..:aso~ ) M=N a·* b '""" a.--- b íi l M=Z a*b=a--b iii) M= R2X2 A•B=A-2.B 7·18. Demostrar que en todo semigrupo se verifica i ) (a * b) * e * d = a *(b * e) *d = a * b * (e * d) ii l a'" *a" =am+ n siendc a'" =a *a * ... * a y m € N y n € N ~ 111 i-19. Sean (A , •) un semigrupo y tJ> i= S C A. Por defimdón (S • *) es un sub-semigrupo de (A , *)si y sólo si (S • *) es un 'semigrupo. Dem<Jstrar que la intersección de tcx:!a familia de sub-setmgrupos Je A. .:s un sub-scmigrupo de A. 7-20. Sean (A , *) un semigrupo y S una parte no vacía de A. La intersección de todos los Slb-semigrupos que contienen a S se llama sub-semigrupo generado por S. y lo dmotamos por S= S S; •J·m~e .:aJa S, es un sub·senl!grup•J que ;;unuent> a" Si S= A. entonces se dke que ·esta generado p•H S. Verílkar. para IN,+) y (Z . i) . ( '; --l)S=~l>""'S=N ',~ ) i:l S =f 1. ~ 1 )'¡ '* S= Z< 1.._ . Capítulo 8 ESTRUCTURA DE GRUPO 8.1. INTRODUCCION La estructura de grupo es un sistema axiomático básico y fundamental de la matemática y puede ser encarada imponiendo condiciones a las estructuras de monoide o de semigrupo, introducidas en el capítulo anterior. No obstante, como es habitual, la proponemos aquí independientemente de aquellos conceptos, los cuales suelen obviarse en los cursos básicos. Después de encarar las propiedades generales y exponer ejemplos, se estudian los subgrupos, grupos fmitos, grupos cíclicos, los homomorfis- mos de grupos y el concepto de grupo cociente. 8.2. EL CONCEPTO DE GRUPO 8.2.1. Defmición de grupo Sean un conjunto no vacío G, y una función *. El par (G , *)es un grupo si y sólo sí * es una ley interna en G, asociativa, con neutro, y tal que todo elemento de G admite inverso respecto de *· • En forma :simbólíca. se tiene Definieion (G •) es un grupo si y sólo si se veritlcan los axiomas G1 - *: G: -+G G2 Asociatividad "1 a V b :1 e: a, b, e € G :::;> (a* b) *e= a* (b *e) G3 • Existencia de elemento neutro o identidad 3eeGf:la:aeG =>a•e=:e*a=a
- 119. FSTIWCII.IRA p¡: GRUPO .l:xbt·~ncia de inversos Si además se verifica G5 • Conmutatividad V a E G , 3 a.' e G 1a* a'= a'* a= e VaVb:a,bEG =>a*b=b*a entonces el grupo se llama conmutativo o abeliano. Ejemplo 8-J. En el conjunto Z de los enteros se define* mediante a*!J 7 a~!J+3 {1} Ei par 1Z. *1es un grupo abeliano. En efecto. se veritican· G, . *es ley interna en Z. por ( 1) * es asodativa. pues (a* b) *e= (a+ b + 3) *e= a+ b + 3 +e+ 3 = =a+ b +e + 6 12) a* (b *e)= a* (b +e+ 3) =a+ b +e+ 3 + 3 = =a_¡_b+c+6 (3) De (2) y {3) resulta (a * b) * e= a * (b * e} G3 Existe neutro en Z respecto de* S; e es neutro. entonces i1 * e = a. Por ( l) a + e + 3 =a y resulta e=- 3. Análogamente se prueba que -3 es neutro a izquierda. G4 . Todo elemento de G es inversible respecto de * Si a' es inverso de a. entonces debe verificarse a*a'::;:=e Teniendo e:1 cuenta ( l) y que e = - 3 a+a'+J"=-3 luego a'=- 6..:..a De modo an:ilogo se prueba que es inverso a izquierda. e" . *es .:nmnutativa. ya que a * b = a + b. + 3 = b + a + 3 = b *a ESTRUCTURA DE GRUPO de acuerdo con (1) y con la conmutatividad de la suma ordinaria en Z. Ejemplo 8-2. ) Las siguientes interpretaciones constituyen modelos de grupos abelianos: (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) como la operación es la suma, se llaman grupos aditivos. ii ) En cambio no son modelos las interpretaciones (N,+) pues no existen neutro en N, ni inverso de cada elemento. 227 (N0 , +) ya que si bien existe neutro O. los demás elementos carecen de inverso aditivo. (Q •.) no verifica G4 , porque O carece de inverso multiplicativo. (R , . ) por la mi!;ma razón. iii) Son grupos ... ' { ..., (Q-{Oj-.) y (R- ü),.) Ejemplo. 8-3. Sean A ::#= </), y T (A) el conjunto de todas las funciones biyectivas de A en A, es decir T {A) ={f: A -+A! fes biyechva} Entonces (T (A) , o) es un grupo, donde "o·• es la composición de aplicaciones. En efecto G1 . La composición de aplicaciones es ley interna en T (A), pues [ 11 geT(A) =>go[eT(A) ya que la composición de aplicaciones biyectívas de A en A es una función biyectiva de A en A, según 4.6.5. G2 . La composición de funciones en T (A) es asociativa h,g.[eT(A) =>ho(go[)=(hog)of por lo demostrado en 4.6.2. G3 . La función iA e T (A) es neutro para la composición. La función identidad en A, defmida en 4.5.2. mediante iA (x) = x para todo x e A, es neutro aizquierda y a derecha, ya que es biyectiva de A en A, es decir, es un elemento de T (A), y satisface lo fA= iA o l=f cualquiera que sea [e T (A)
- 120. f'¡¡~~~LU.ú · '?.~~?A.i!!.lt:· .~.:e'""~~ "A''""'.,..~·"·"~,c 228 ESTRUCTURA DE GRUPO como es fác.il verificar usando la definición de composición y de funciones iguales. G4 • Todo elemento de T (A) admite inverso respecto de la composición. Si f € T (A), entonces es una función biyectiva de A en A, y admite inversaF1 , por 4.7.2. II, la cua: es también biyectiva de A en A, es decir, un elemento de T (A). El grupo (T (A) , o) se llama grupo de las transformaciones de A. 8.2.2. Cuestiones de notación Sea íG , *) 11n grupo.. i ) Si la :ey de composíción .:s aditiva. $Uele denotarse con ei signo+, y si a € G. entor,ces su inverso aditivo suele llamarse opuesto y se indíca a'= -a. ii) Si la ley * es multiplicativa se la indica con ".",el inverso multiplicativo de cada elemento ase escribe a'= a-1 y se dice que es el recíproco de a. iii) En ocasiones, al referimos al grupo (G, •), cometiendo un abuso de lenguaje, diremos el grupo G, sobreentendiendo la referencia a la ley de composición intena, 8.3. PROPIEDADES DE LOS GRUPOS 8.3.1. Unicidad del neutro y del inverso De acuerdo con lo demostrado en 5.3.5. y 5.3.6., el elemento neutro es único y el inverso de cada elemento es único. 8.3.2. Regularidad Los elementos de todo grupo son regulares. Hipótesis) (G, *)es grupo a•b=:a*c br-+4 (*,,J resls) b ::::e Oemostracíóa) Por hipótesis a*b=a*c Componiendo a izquierda con a', inverso de a a'*(á•b)::::a:*(a•c) Por asociatividad (a'*a) *b =(a'• a)* e PROPli:DADES DE LOS GRUPOS 229 PorG4 e*b=e*C PorG3 b==c Análogamente se prueba la regularidad a derecha. La regularidad significa que la ley cancelativa es válida para todos los elementos de! grupo, IU.J. Ecuaciones en un grupo Sea (G • *) un grupo. Entonces. cada una de las ecuaciones b * x = a y x * b =a admite solución única. Componiendo los dos miembros de la pr)mera ecuación a izquierda con b '. se tiene b'*(b*X)==b'*<l PorGl lb'o~<b}*X""b'*a Por G4 e•x=b'•a PorG3 x= b' *a La unicidad de la solución se debe a la unicidad del inverso. y al hecho de que * es una función de G2 en G. El trabajo es análogo considerando la segunda ecuación. En particular. se presentan estos casos: ) 'li el grupb es adüivn. la ecuación x * b = a se traduce en ~fT f~ =.,; la sv!udón hallada., .:s x "":.1 ..,.. 1- ;);, J.::.Hd.: - b ~< ~! lf"i':'r•:n de Por definición. la suma de un elemento .:on el opuesto de otro se llama diferencia entre los mismos, y se escribe x;a-b Vinculando este resultado con la ecuacton propuesta. queda justificada la trasposición de términos de un miembro a otro de una igualdad. ii ) Supongamos un grupo multiplicativo, y la segunda ecuación, que se convierte en x. b =a
- 121. Bü ESTRUCTURA DEGRUI'O lJ componer a derecha con el inverso multiplicativo de b, resulta la solución x=a. b-1 i ·..- definición, el producto de un elemento del grupo por el inverso multiplicativo Ir t·t: .1 se llama cociente y se expresa a x=-¡; E:lW:lc.es, en los grupos multiplicativos numéricos es lícito el pasaje de factores 10 n~d.:•s Je un miembro al otro, como divisores. U. t lm•~rso de la composición :n todo grupo, el inverso de la composición de dos elementos es igual a la ·e '.7 ··su:i,jn de los inversos en orden permutado. :::~ :rata de probar que (a•b)'=b'•a' .n'es de entrar en el detalle de la demostración, proponemos dos resultados útiles i 1Caalquiera de las ecuaciones a * x = a ó x * a =a admíte la solución x =e. Si consideramos la primera, después de componer a izquierda con a', se llega a e = e. y análogamente en el segundo caso componiendo a derecha con el mismo a'. ii) Cualquiera de las ecuaciones a * x =e ó x *a= e admite la solución x =a'. :··:..: a * x = e; luego de componer a izquierda con a', se tiene x =a', El mismo ·e;_: ::do se obtiene a partir de la segunda ecuación, después de componer a derecha ...,¡¡'. lii) Demostramos ahora la proposición inicial. í-Ii¡;-·)l~sis) (G , *)es grupo resis) (a •b)'=b'•a' Jem,mra.;ión) t.:na tr..ducción de la propiedad ii) es la siguiente: si la composición de dos :le:r;..:.Hos es el neutro, entonces cada uno es el inverso del otro. s~a entonces (a•b)•(b'•a') Aplicando sucesivamente G2 , G4 • G3 y G4 , resulta (a* b) * (b' *·a·)= a •·(b *b') *a'* e* a= a'* a= e Vp,:·r u ), se tiene (a* b)' =b' *a' .i SUDGRl'POS 231 Y también (b'•a')'=a*b 8.4. SUBGRUPOS 8.4.1. Definición El subconjunto no vacío H, del grupo G, es un subgrupo de (G, *) si y sólo si (H, *)es grupo. Ejemplo 8-4. i) Todo grupo (G , *) admite como subgrupos al mismo G, y al conjunto ..:uyo único elemento es e. Ambos se llaman subgrupos triviales de (G . *). ii) (Z. +)es subgrupo de (Q. +l. ' iii) El conjunto de los enteros pares, con la adición, es un subgrupo de (Z , +). En cambio no lo es el conjunto de los enteros impares con la misma ley, ya que la suma de dos enteros impares es par y no se verifica G1 . iv) El grupo de los cuatro elementos de Klein consiste en el conJunto A ={a.b . e,t1}.con la ley de composición definida por la tabla * a b e d a a b e d b b a d e (' e d a b d d e b a Su construcción es simple, observando las diagonales y la simetría que se presenta respecto de ellas. Es fácil verificar que el grupo es abeliano, y que cada elemento se identifica con su inver5o, siendo el neutro a. · Un subgrupo de (A , *)es H =' " IJ}. En cambio, no lo es el subcon¡unto H' = {a. b, e} ya que b *e= d f H'. 8.4.2. Condición suficiente para la existencia de subgrupo En el ejemplo 8-4 se ha verificado que no toda parte no vacía de un grupo es un subgrupo. Además de ser una parte no vacía, la definición exige que tenga estructura de grupo con la misma ley de composición. Ahora. bien. esto obliga a la investigación de los cuatro axiomas, y resulta conveniente disponer de alguna condición más económica, que pennita decidir si se trata de un subgrupo. 1 í 1 1¡ 1 l 1,¡ J 1 l .1 :i ~:: ·'j' 'l 1 ~·
- 122. 232 ESTRUCTURA DEGRUPO 11?orema Si H es ur subconjunto no vacío del grupo (G , *), que verifica aéH 11 beH "*O*b'eH entonces (H, *)es un subgrupo de (G , *). Hipótesis) ((, •) es grupo 1/l~HCG aeH " beH =>a•b'eH Tesis) (H, *1 es subgrupo de (G , *) Demostracirnl Debemosprobar que se cumplen los axiomas de grupo paraR 1) La asodatividad de • en H se verifica por ser H C G. 11) El neutro pertenece a H. En efecto H=FI/> => 3aeH Por hipótesis y definición de inverso aeH ,. aeH =>a•a'eH => eeH 111) Tudeelemento de H admite su inverso en H. Sea a eH. Por 11 y ¡::or hipótesis eeH A aeH =>e•a'eH •a'eH IV) Hes :errado para la ley *· Sean a=H ¡, b eH. Por fU, por hipótesis y por inverso del inverso, se tiene aeH " beH ~aeH A b'eH =>a•(b')'e H=~> ~a•beH Lo demaitrado en 1, JI, III, IV prueba que (H , •) es un subgrupo de (G, •). Esta condición suficiente es obviamente necesaria, Se la utiliza en la práctica de la siguiente nmnera: de acuerdo con la hipótesis del teorema, para que H sea un subgrupo de (G , "')dehenos probar í ) H i: 41 ii)H·:G iii) Si dos elementos cualesquiera pertenecen a H, entonces el primero, compuesto con el inverso del segundo, debe pertenecer a H. Ejemplo 8-5. En R2 definimos la suma de pares ordenados de números reales (a. b) +(e. d) =(a+ e, b +d) (I) ~-- SUBGRUPOS 233 Comprobamos que (R2 , +)tiene estructura de grupo abeliano, ya que se verifican: G1 • La suma de pares definida en (1) es ley de composición interna en R2 • G2 • Asociatividad. [(a. b) +(e, d)] +(e, f) =(a+ e, b +d) +(e. f) = =((a+ e)+ e, (b +d) + 1)=(a+ (e+ e), b + (d +f)) = =(a. b) +(e+ e, d +{)=(a, b) +[(e. d) +(e. f) Por (1), asociatividad de la suma en R y (l ). G3 ~cut ro es el par (O , 0), ya que (J. b) + (0. 0) =t O. O) +(a. =(a b) G~ Inverso aditivo u opuesto del par (a. bt. es el par(- a.- b), pues (a. b) +(-a.- b) =(-a.- b) +(a. b) =(O, O) G5 . Conmutatividad. (a. b) +(e. d) =(a+ e , b + d) =(e+ a. d +b) = =(e, d) +(a, b) Por ( l ), conmutatívidad de la suma en R, y (1). (R2 , +) es el grupo abeliano de los pares ordenados de números reales con la suma ordinaria de pares. Ejemplo 8·6. Se;n el grupo (R2 , +).y r. , , H = t(X , y) e R- y : 2x j Es claro que un elemento de R~ pertenece a H si y sólo sí la segunda componente es el duplo de la primera. Comprobaremos que (H, +)es un subgrupo de (R2 , +). Verificarnos las hi~ótesis de !a condición suficiente demostrad~ ; H:.t: <lJ ya que i l . 21 eH ¡¡ l H e por la detifiÍ(I0!1 de tt iii) Sean (a . b) eH y (e. d) eH; debemos probar que (a. b) +(-e, - d) e H. En efecto: (a.b)€H A k.d)EH ::::~~>b=2a '' d==2t.· =:.b--d=2(a-·c) "* =o-(a-c,b-d)eH •(a,b)+(-c,-d)EH Hemos utilizado la definición de H, la sustracción en R, la definición de H, y la de suma de pares.
- 123. !.'·! ESTRUCTURA DEGRUPO ~·rálicamente, H consiste en la recta que pasa por el origen, de ecuación y=2x y 1 (R2 X y=2x E/~'mplo 8-7. En el ejemplo 5-8 está comprobado que el conjunto R"xm de las matrices reales de n :1las y m columnas, con la adición de matrices. es un grupo abeliano. En particular, si m = n, las matrices se llaman cuadradas, y se tiene que (Rnx n , +), es el grupo abeliano de las matrices cuadradas n X n, con la adición. Consideremos el conjunto H de las matrices cuadradas, tales que a¡¡= a¡ ¡, llamadas slnétricas, es decir H={A eR"xn /a¡¡= a¡1} •Esto significa que los elemen~os que son simétricos resRer.:to de la diagonal a1 ¡,con i = l, 2, ... ,n, son iguales. · Resulta (H , +) un- subgrupo de (R n • n, +).En efecto i ) I.a matriz nula N eH => H *1,/l ii) He Rnx n por def'mición de H. ili) Sean AeH A BeH =>a¡¡=aji A b;¡.=h¡¡ =>- => a¡¡ - b¡¡ =a¡¡ - b¡¡ => A + (- B) € H OPERACIONES CON SUBGRUPOS 235 Hemos aplicado la definición de H, la sustracción en R y las definiciones de suma de matrices y de matriz opuesta. ·· (H , +) es el subgrupo de matrices simétricas n X n. Ejemplo 8-8. Sean (G , *)un grupo, a un elemento fijo de G, y H el conjunto de los elementos de G que conmutan con a, es decir H={xeG!~*x=x*a} Resulta H un subgrupode (G. *). i ) como a * e = e *a => e € H => H *1/J ií ) He G por defini.:ión de H. iii) Sean m y n elementos de H. Debemos probar que m * n' € H. Por defmición de H meH A neH =»a•m=m*a A a•n=n•a = =>a*tn=m*a-" n'*a'=a'•n'= => (Q *m)* (n' *a')= (m* a)* {a'* n') => =>a* (m* n') *a'= m* (a* ü') * n' => =>a* (m* n') *a'= m* n' => =>a* (m* n') =(m* n') *a => =>m* n' e H. Además de la defmición de H hemos utilizado inverso de la composición, la asociatividad, G4 , y la composición a derecha con a. • 8.5. OPERACIONES CON SUBGRUPOS 8.5.1. Intersección de subgropos Sean (G , *)un grupo, y { G¡} 1 .., 1 una familia de subgrupos de (G, *). Teorema . . La intersección de toda familia no vacía de subgrupos de (G , *)es un subgrupo. Hípótesis)(G, *)es grupo. { G¡} es tal que (G¡, •) es subgrupo de G, ';/ i € I Tesis) ( ~ G1 , *'¡es subgrupo de (G, *) 1<11 j '[ i
- 124. 236 ESTRUCTURA DEGRUPO Demostración) ) Vi :eeG¡,pues(G¡,*)esgrupo entoaces, por definición de intersección eenG; => nG¡:;6Q> 1€1 fE! ü ) n G¡ e G por definición de inclusión fd iii) Sean a y be(lG;=>aeG; A beG,.Vi=• lfl """ a* b' eG1 • ':/ i "* a * b' en G, id Por las definiciones de intersección y de subgrupos. 8.5.2. Unión de subgrupos La propiedad anterior no se verifica en el caso de la unión. Para ello basta un contraejemplo: sean H1 y H2 dos subgrupos distintos de (R2 , +),y no triviales, como !o muestra la figura H1 Sí x e H1 A y eH1 , entonces xeH 1 UH2 f yeH 1 UH2 y sin embaqo X +yt.Hl UH:z MORFISMOS DI GRl POS Es decir, la unión no es cerrada·para la suma de pares, y porto tanto no<.!::. "l'<t 'li . de(R2 , +). Ejemplo 8-9. Sean (G' . *)y (G.. , *')grupos. En el producto cartesiano G =G'X G'' se define la ley de composición ···" mediante (a • b) • (e • d) = (a * e • b *·d ) b1tm11:es (G . •l e~ un grupo. llama<.lo prmlu;;:ro de los dadüs. Vcrilk:~mo~ los ax.1omas: G 1 • • es ley interna en G = G' X G"' por( l 1 G2 • es asociativa, pues {l) [(a . b) • (e . d)] • {e . /) = (a,* e . b *·d ) • (e . f) = =((a* e)* e. (b *' d) *' f) =(a* (e* e) . b *' td >~' f)) = =(a. b) • (e* e. d ...f) =(a. b) • (te. d) • h•. J)l Hemos utilizado sucesivamente: la definición ( l ). G: en G' y G". y la definición ( l ). G3 . Neutro es (e', e"), es decir. el par ordenado de los neutros de G' y de G". En efecto, por (l) y G3 en G" y G'" (a. b)• (e' ,e")= (e', e") • (a. b )=(a. b) G. o lnwrso de (a. b) es (a_, . b -l ), donde a-1 y b -t son los inversos de a y b en ~,.;- y G" respectivamente. pues (a.b)•(a-1 .b-1 )=(a-1 .b-1 )•la,b)=te',e"} 8.6. HO!lOMORFISMOS DE GRUPOS ~t6 l- (O!H:ep~o R~tomamo~. en el caso partu.:mar üe ias <:slw..<ur;» J<: ¡;;upc. !e expuestl' ~n 54 ó'rl reiadón con los morfismoso Sean ahora los grupos (G . *)y (G' o *'} Definición La función f : G -+ G' es un. homomorfismo si y sólo si la imagen de ia composición en G es igual ;r la composición de las imágenes en G'. En símbolos f: G -+G' es homomorfismo ~ f(a * b) -l<a) *'f(b)
- 125. 238 ESTRUCTURA DEGRllPO I·n un diagrama (G, *) (G', *') :· :. nícular, el mort!smo puede ser monomorfismo, epimorfismo. endomorfismo, ison: ·¡ :· m10 o automorfismo. de acuerdo con las definiciones 5.4.2. Ejem""~J 8-10. S, .:1 !<~~ grupos aditivos (R2 " 2 • +)y (R • + ). L :·.nción/: R2 x 2 ->-R defmida por a b1-· l í e d J) = a + d es un homomorfismo, pues + B) - ''l/ía bl 'r. 111( -f • 0 T! . Lcd~ tP =flla+m b+ Le +p d + =a +m +d+q = .a b~ •. . ·· ; m 11' '1 =(a+d)+(m+q)=fl;,d¡)+Jli :.=.~,.< ,. ·~LP q .. _, = f (A) +f (B). Hemos aplicado la definición de suma de matrices. de 1: conmutatividad y asoc;;;,[;, dad de la suma en R y la definición de f. 8.6.2. Propiedad Si f : G ~ G' es un homomorfismo de grupos, entonces la imagen del neutro del primer grupo es el neutro del segundo grupo. St.' trata de probar que /(e)= e'. donde e' denota el neutro de G'. En efecto cualquiera que sea x eG, por G3 , se tiene x * e=x Fnton.:es /(x *e) =f(x) ~.lORFISMOS DI·. GlH'POS 239 l'nr ,k fini.:iún de lwmorfismu f(x)*'f(e)=f(x) Por G 3 en el grupo (G', *') f(x) *' f(e) =f(x) *'e' Y por ley cancelativa en G' resulta f<e)=e' S.6.3. Propiedad Si f G - G" ;;s un homomorfismo de grupos. entonces la im:tgen del inverso de todo elemento de G es igual al inverso de su imagetl. Es decir f(x·i) = [!<x>rl Cualquiera que sea x en G. por G4 x*x-'=e Entonces f(x * x-1 ) :fk) Por definición de homomorfismo y por 8.6.2. se tiene f(x) *'f(x-1 ) =e' Por 8.3.4. ii ) resulta flx-1 )=[f(x)r 1 En un diagrama (G'' *') 1
- 126. 240 ESTRUCTURA DEGRUl'O .8.7. NUCLEO E IMAGEN DE UN HOMOMORFISMO DE GRUPOS K7.l. Núcleo de un hmnmnorfbmo de grupos Sea f : G .... G' un morfismo de grupos. La determinación de los elementos del primer grupo, cuyas imágenes por f son el neutro del segundo grupo, conduce a un subconjunto de G, llamado núcleo del homomorfismo. Definición Núdeu dd humon1ort1smo J G -. C~ es la totalidad de los dementos de G. cuyas ima;;<.'ne~ nor (se ¡denuf,..:;w ..:on e! neutro de G'. 'Es decir N(f) ={x € G if (x) = e·J Es daro que d núcleo de fes la preimagen de {e·} De acuerdo .:on la definición. se tiene x€Nif) ~f(x)=e' Esto significa que para verificar que un elemento pertenece al núcleo es sufic.iente probar que su imagen es e'. Ejemplo 8-/1. El núcleo del homomorfismo del ejemplo 8-10 consiste en las matrices :!X:! tales que f 1i " b 1 j' '¡ = a + d = O, es decir d = -a ··,Le d / En consecuencia. al núcleo de f pertenecen todas las matrices del tipo Ía bl Le -a~ lf1 ::~tt: ...,"a:.d. ::h:nlcntus. J~ iJ snn ;~]pu~:s.tn~ '.~de ~UnlJ ~ero .. u J~ trata titila. s1enúu por JI" !1niutm !a rr:u:~ de una mamz la suma U<: ioli .:i.;m.:mu:-. Jo;; la diagonal. En generaL la notación para la traza de una matnz A € R'"'" es tr A= 8.7.2. Propiedad n ! O¡¡ 1=1 El núcleo de todo homomorfismo de grupos es un subgrupo del primero. Hipótesis) (G, *)y (G', *')son grupos. f: G_,.G' es un homomorfismo. l';UCLEO E IMAGEN Tesis)(N ( f ), *)es subgrupo de (G , *). Demostración) i ) Por 8.6.2.f(e) =e'=> e eN ( f) =>N (!)-::/: tP ii ) N ( f) e G por definición de núcleo. iíi) Sean a y bEN(J) =>f(a):::e' 11 f(b)=e' => "'*' f(a) =e' ;. [f(b)r1 = e'- 1 => ={(a):= e' )=e' =-f(a'!*'ftb"'1 )=e· = =-f{a*b-1 )-=e· =a-~b- 1 eNtfl 241 Por definición de núcleo, imagen del inverso (8.td, ), inverso del ne·JtíO, com- posición en G', homomorfismo y definición de núcleo. En virtud de la condición suficiente 8.4.2., resulta (N (f) , *) un subgrupo de (G' *). 8.7.3. Propiedad El homomorfismo f G -+ G' es inyectivo, es decir. un monomorfismo si y sólo si el núcleo es unitario. Sea N ({)el núcleo del homomorfismo f: G -+ G' i ) f es 1 - 1 ~ N (/) =( e)La demostración es inmediata, porque si en el núcleo hubiera otro elemento distinto de e, entonces dos elementos distintos de G tendrían la misma imagen por[. y no sería una función inyectiva. ii ) N (j) = {e} ""'f es 1-L En efecto, sean x, y € G tales que f (x) =f (y). Componiendo con el inverso de/(_ y), en G' f(x) *' lf< YW1 = f( y)*' {f( Y)]- 1 Por 8,6.3.. y por .en (G' , ~') f~. :::.:. e Por det1níción de homomorfismo f(x *y- 1 ) =e' Por definición de núcleo x * y-1 eN{[) Por ser N([)= {e} resulta X"'Y-1 =e
- 127. :!·;2 ESTRUCTURA DEGRUPO Componiendo a derecha con y X*Y- 1 *y=e*y O sea x=y y fes inyectiva. 8.7.4. Imagen de un homomorfismo de grupos Sea{: G -¡.G' un morfismo de grupos. Definición Imagen de un morfismo de grupos es la totalidad de las imágenes de los elementos del primer grupo. La imagen de un morfismo de grupos es la imagen de la fundón que lo define, es decir I({)={ft')€G' 1xeG ~· ~ ' O bien r 1 1(f) = 1y € G. ¡ 3 X € G A f (X) =yJ Es daro que si el morfismo es un epimorfismo, es decir, si fes sobreyectiva, entonces 1( f)::;: G'. En el siguiente diagr:~ma se tiene una representación de N ({)y del ( f) (G. *) (G'. *') En el caso del ejemplo 8-1 O, fes un epimorfhmo, pero no es monomorfismo. Nl'CU·O 1 IMA<itN 8.7.5. Propiedad La imagen de todo homomorfismo de grupos es un subgrupo del segundo. Hipótesis) (G , *)y (G' , *')son grupos. f: G -+G' es un homomorfismo. Tesis) (1 ({) , *')es subgrupo de <e', *) Demostración) i )C'omof(e)=e' = e'el(f) => l(f):;i:¡p ii) 1( f) ~ G' por definkión de 1( .f ) iií)Seany 1 'y2 €l{f) Entonces. por definición de imagen, 3 x 1 y x2 en G. tales que Jt...:¡}=y¡ '- f{x~)=y2 Por inversos en G' t<xd=y, " [l(~-rl>r' =y;1 Por inverso de la imagen -1 -1 f(x¡)=y, i' f(x1 )=Y2 Por composición en G' -1 -1 [(x¡}*'[(x2 )=y¡ •"y2 Por homomorfismo f( x •x-1 )=;· *·v- 1 - 1 2 1 - 2 y como x 1 * x;1 € G. por definición de rmagen. se tiene -1 J"¡ *'Y2 el(f) En consecuencia. según 8.4.2., resulta que (1 (l) .*') es un subgrupo de (G', •') Ejemplo 8·12. 243 Sea G3 el conjunto de las tres raíces cúbicas de la unidad, es decir. de las soluciones complejas de la ecuación x3 -l =O El factoreo del primer miembro conduce a (x - 1) . (x2 +x + l) =O
- 128. 244 ESTRUCTURA DEG!Wl'O Entonces X - 1 = Ü Ó X 2 +X + 1 = 0 La resoluciún de estas ecuaciones conduce a las tres raíces cúbicas de 1: X¡"' J x2 =-- _!_ + . .¡31 f - - "' x3 =- -- . ..j3"'-¡ -. - "' que llamamos. respectivamente, z0 • z1 y z2 • En el capítulo 11 veremos que las n rafees n-simas de la ur1idad están dadas por la fórmula ::.k;: 2/i. ~ ::¡, = .:os -·-- + >en ~---· ""' e n n donde k toma los valores enteros O. l, z•... ,n -· l. En el caso ~articular de las raíces cúbicas, la fórmula anterior adopta la expresión 2krr . 2krr i 2 htr zk = cos --- +1sen --- =e ~ 3 3 donde k= O, :. Z. Por definición de raíz cúbica se verifica 3 zh eG3 ~ =h = 1 Nos proponemos probar que G3 es un grupo multiplicativo abeliano. y además obtener un mritodo para el producto. ) (G .1 •• ) es grupo conmutativo. 1) El producto es iey iníerna en G3 • En efecto . 3 3 1 3 J zh € G3 .., z 1 € G3 => zh = 1 ·" z1 = =;;h. ;;: 1 = 1 4 = (Zh. Z¡) 3 =l - Zh. Z¡ € G3 11) El producto es asociativo en G3 • Aquí nada hay que demostmr. pues G3 C C, y el producto es asociativo en C. 111} Existe neutro para el producto en G3 • y es O+; :;en O~ ~ IV) f,ld•J elemento de (; ·' tiene inverso .;-n 3 3 -¡ Sea zh e G3 ==h =J => (zh) = 1 = -! 3 • ¡ => (zh ) = l = =h € G3 V) El pro~ucto es conmutativo en G3 , por serlo en C. ii) Vamos a establecer un método para obtener el producto de dos raíces cúbicas ·de la unidad. · ., ! r Sean donde Entonces NUCLEO E IMAGEN Z¡ €G3 11 Zm ÉG3 => ¡~ => z1 =e 3 11 ¡2m" Zm =e ...,--- 0~!<3 ,, O~m<3 ;;m:::;;, ) Si dividirnos i ·r m por 3, se obtienen q y r, Úrl!cos, tales que De (l) y (:Z) l+m=3q+r} O~r<3• (2) 1 2(3q+r)n . 2nr ;;¡. Zm =e --,r--:::: ei2 q". /-r= 2,.,. 2r11 = (cos 2 q rr +isen 2q 'Ir). e 1 _ 3_= 1 . e' -3-= · . 2r1f ¡ - - =e 3 =z,. dondeO.;;;r<3 La tabla de la composición es, entonces Ejemplo 8-H ti zo Zo Z¡ Zz Z¡ Z¡ z2 Zo Se:1n los grupcs! Z +) v (G _, ). y la función Z:z z2 Zo Z¡ J Z ~t:; 3 Jt;fin~~l; ~or !~ asignac~ón 245 f (x) = z,. $lendo r el resto de la división de x por 3. es decir, el entero no negativo que satisface las condiciones :x""3.q+r io~r<3 Vamos a probar que tal aplicación es un homomorfismo, es decir f(x'+x")=f(x') .f(x")
- 129. L~~·(i ESTRUCTURA DE GRUl'O p,1 la definición de r . {f(x') =Zr• (1) f(x") =z,... f(x'+x")=z,. donde { x'=3q'+r' A O~r'<3 (2) x" = 3 q" +r" A O~ r" < 3 · x'+x"=3q+r A O~r<3 f'•Jr ser ,G 3 , . ) un grupv, di: acuerde ::un e! ejemplo 8·11, t~!!emiJ~ =r· ,.=rn = Z,.-;n siendo r' + r" =3q"'+r'" 1 o..;;r'"<3 (3) Sumando las dos primeras relaciones de (2) x' +x"= 3 (q' +q") +(r' +r") (4) P1r (3) y (4• x' +x" =3 (q' +q") + 3 q'"+ r"' ==~> ~x'+x"=3(q'+q"+q"')+r"' 1 O~r"'<3 (5) Por la unicidad del cociente y resto, de (5) y de la última igualdad ctue figura en{::!) se tiene q=q'+q"+q"' 11 r=r"' Es decir Zr•u =Zr Se verifica entonces f(x' +x") = z~ = z,.." = z,.. z,." = f(x') .f(x") y el homomorfismo está probado. Ejemplo 8-14. Determinaremos el núcleo y la.ímagen del homomorfismo del ejemplo anterior. x e Z ~ 3 ·q A r únicos 1x ;:::; 3 q+ r " O~ r <3 Por defmición de f f(x)=z,. Por definición de N ( {) x € N (f) * f (x) = Z0 = 1 * r =O a.· .. ,• EQUIVALENCIA COMPATIBLE 247 Luego X € N({) <*X= 3 q ~· 3 i X Es decir N (f) = {XEZ / 3 1X} Por otra parte, obviamente, es 1 ( f ) = G3 y el homomorfismo es un epimorfinno. Ejemplo 8-15. Verificar que los grupos (G 3 , .) y (R , o) son isomorfos, siendo R el conjunto de !as r0t::!':ione~ d<:>! triáng•J!C' ""Wlil:iter0. alr"ded0r del centro. q•1e l!!"van !a fig•Jra s.r>bre sí misma. En R se tienen las rotacionesR0 , R 1 y R2 • que son la identidad, y las rotaciones de 120° y 240°. En G3 • los elementos son z0 , z 1 y z2 , oon el significado dado en los ejemplos anteriores. La función[: G 3 _,.R. tal que f(z;) =R1 es un isomorfismo respecto del producto en G 3 y de la composición en R pues f(z¡. Zm)=f(r)=Rr 8.8. RELACION DE EQUIVALENOA COMPATffiLE 8.8.1. Concepto Sean (G, *)un grupo, y".-." una relación de equivalencia en G. La definición 5.5. establece que- es compatible con* si y sólo si a-b 11 c-d =- a•c-b*d 8.8.2. Teorema fundamental de compatibilidad Si - es una relación de equivalencia compatible con la ley interna del grupo (G, *), entonces existe en el conjunto cociente~ una única ley de composición interna *', tal . ce ....que la aplicación canónica f: G-+ ~ es un homomorfismo. y además -::::-, *) es grupo. Este teorema es un corolario de lo demostrado en 5.5.1.
- 130. 248 ESTRUCTURA DEGRUPO Drfinii.:iJ;¡ El grupo ~ a que se refiere et teorema se llama grupo cociente de G por la relación de equivalencia compatible con*· Ejemplo 8-16. Consideremcs el grupo aditivo de las clases de restos módulo n. En este caso Zn = { O,L . . . , t! -=! } De acuerdo -:on d ..:J<:mplo 5-1::'. se sabe que la congruencia módulo n es compatible con la :1dición m Z: entonces, por el teorema fundamental de compatibilidad. se tiene en el conjunto cociente Z3 una única ley de composición interna inducida, llamada suma de clases, tal que la aplicación canónica f: Z -+ Zn es un homomorfismo, siendo <Zn ,'i'i) el grupo aditivo de las clases de restos módulo n. Para sumar dos clases en Z., procedemos así Ü'i'i; = f(u)~f(¡:)=f(u +1•) Dividiendo ¡¡ + v y n se obtienen q y r, tales que u+v=nq+r A O~r<n De (2) y (11 ya que 8.9.1. Concepto u-f!ií::f (n q + r) = f (r) == r (u+v)--r=nq =>nl(u+v)-r => =>u+ v -r 89. SL'BGRUPOS DISTINGUIDOS ( l ) (2) Sean (Z , +)el grupo aditivo de los enteros y el subconjunto H de los múltiplos de 3. es decir H={xeZ! 31x} Si consideramos la congruencia módulo 3 en Z, entonces la aplicación canónica t :z _,. z3 es un homomorfismo de (Z , +)en (Z3 , +) cuyo núcleo es, precisamente, H. En este caso, decimos que Hes un subgrupo distinguido de G. SUBGRUPOS DISTINGUIDOS 249 Definición Fl ~uhgrupo (H . *) de (G , *)es distinguido si y sólo si existe un grupo (G' , *') y un homomorfismo f : G -+ G', cuyo núcleo es H. En símbolos He G es distinguido '* 3 G' grupo, y f : G _,. G' hornomofismo 1 N (f) = H Subgrupos distinguidos de todo grupo (G , *) son el mismo G y {e}. En efecto, en e) primer caso. la aplicación f: G --+ G definida por = e para todo x e G , ~s un h<:•rnomorfismo. ya que {tu* b J "-'e"' e"' e= j(aj "/( b) Además. se verifica que N u·) = G. En el segundo caso. basta definir [: G - G mediante f (X}= x, cualquiera que sea .t en G. y se tiene un homomorfismo, pues f (a * b} = a * b = f (a ) *f( b ) Ycomo N (f) =le.? .resulta {e un subgrupo distinguido de G. :.. .... .. J Sean ahora un grupo (G , *)y -una relación de equivalencia compatible con *·Por el teorema fundamental de compatibilidad sabernos que(~ , *')es el grupo cociente de G por la equivalencia. y que la aplicación canónica f:G-+ ~ es un homomorí1smo respecto de *y ..•. Por lo que antecede es obvio que el subgrupo IN (j ) . *) es distinguido, y queda caracterizado en términos de la relación de equivalencia compatible con la ley del grupo G. Existe una estrecha conexión entre las relaciones de equivalencia compatibles con la ley de composición interna de un grupo y los subgrupos distinguidos de éste. El teorema que sigue aclara la situación. 8,9.:. Teorema. Ei:onjumo lE de tudas las relaciones de equivalencia definidas en G. ..:mnpatibles con la ley interna de! grupo !C: ,.,·te" ;.:oordinablc al colli!Jll!O {;de h.-.dos los subgrupos d!stmgu¡dos de íG . • 1. Hipótesis) (G , *)es grupo E = {E; ! t ¡es de equivalencia en G. compatible con *} c:J = { Hí 1H, es subgrupo distinguido de G} Tesis) lE es coordinable a (J D!=mostración) Definimos .P: E..¡.(] mediante la asignación <P(E;) =N (Ji) (l) 1it
- 131. :1 ESTRUCTURA DEGRUl'O G ~ndo N ( [¡) el núcleo del homomorfismo[¡ : G __,.f. asociado a la equivalencia € ¡. 1 ~hemos probar que <Pes biyectiva. i) lnyectividad. Sean E: ¡ y t: j e lE. tales que E:1 =F t:i. Como 2; y 2¡ son subconjuntos distintos de G2 , existe (x ,y) € G 2 tal que (x,y)e€¡" (x,y)(jti o bien tY _v)t€; '- tx.y)e2i Raz..mam<:15 sol:lre el primer ~.--aso. es decir. suponiendo X E, y XÉ¡Y · ··r la ..:ompatibilidad de l::ís relaciones de equivalencia, componiendo a izquierda con ·1 *X) f.¡( "'Y) -~. (Y-1 *XH~;(Y- 1 *Y) E~!onces.. por G~ (Y- 1 *X)€;e "(.V-1 *X)t¡e p,,r definiciún de aplicación canónica e imagen del neutro fj(_v- 1 *X)==f¡ (e)==e' 1 /¡U'-1 *X)"4=f/e)=e' Por definición de núcleo resulta (J·-1 *X) e N(/¡) 1 *x) ~N (Jj} Es decir Y de acuerdo con ( l) >e tiene En consecuencia <Pes inyectiva. ii ) Sobreyectividad NUi) =FN (/j) <f:>(2¡):Fcfl(2¡) Sea H e u;, es decir, un subgrupo distinguido de (G , *). Entonces, por definición. existe un grupo (G' , *')y un homomorfismo l: G .-,.G' tal que N(f)=H={ xeG 1f(x)=e'} Se tr.tta de probar lUe existe t. e lE, tal que <f:>(t.)=H • SUBGRUPOS DISTINGUIDOS Para esto def~imos la siguiente relación de equivalencia en G X¡ 2x2 *>f(x¡)=f(x2) (1) t. es compatible con *• pues X¡ E:x2 A Y1 ty2 =>[(X¡)==f(x2) 1 f(y¡)=f(Y2) ~ =>f{x¡)*'f(y¡)=f(x2)*'f(y2) = =>[(X¡ *Y¡)=f(x2 *Y2) por composición en G' y por serf un homomorfismo. Pnr (11 resulta (x1 *Y1 ) t(x2 *Y=) Es decir: t € lE, y se verifica <l>(t:)=Nf},::H Entonces <Pes sobreyectiva. De i ). y ii ) <P resulta biyectiva, y en consecuencia 1-G Notacíón 251 Si tes una relación de equivalencia compatible con la ley del grupo (G • *),y H el subgrupo distinguido asociado, escribimos~=~ , y se tiene el cociente de G por el subgrupo distinguido H. Ejemplo 8-17. Investigamos los subgrupos distinguidos de (Z , +). Si H es un subgrupo distinguido genérico, de acuerdo con la definición, existen un grupo G' y un homomorfismo f: z~G' talque N(f)=H Una posibilidad,es H = {O} según 8.9.1. , {~ . Si H =F OJ,entonces existe x 4: O, tal que x eH, y resulta O- x = - x € H, es decir, en todo subgrupo no unitario de Z coexisten los elementos nó nulos x y - x, lo que significa que en H hay enteros positivos. Entonces, por el principio. de buena ordenación, hay en H un elemento mínimo positivo, que llamamos n.· Consideramos ahora el conjunto A de todos los múltiplos enteros den. y afinnamos que H = A. En efecto ) Sea x e H; lo dividimos por n y se verifica x=n. q +r " O~r<n Entonces r =x - n. q (1)
- 132. 252 ESTRUCTURA DEGRUPO ·· Por definición, si n € N y q e Z, entonces n . q = n +n + ... +n st q ::> O '--------v------' q n. q =(-n) +(-n) + ... +(-n) si q <O . q n q=.O si q=O Es decir. en todo cas11 n q e H. y,.por 1l) resulta re H. y siendo n el minim•• entero positivo de H necesariamente es r = O, es decir x=n.q ~xeA Así se tiene H C A. ii ) Sea x E A. Por la definición de A se tiene x = n . m con m e Z. Ahora bien n.m=n+n+ ... +n si m>O "··--------" m n. m=(-n)+(-n)+ ... +(-n) si m<O m n. m=O si m= O En todo caso, se verificax =11. m eH, es decir, A CH. Luego H =A. Esto signifi::a que todo subgrupo distinguido de (Z , +)se identifica con el conjunto {O} ,o bien con el conjunto de los múltiplos de un entero positivo. 8.10 SUBGRUPOS NORMALES O iNVARIANTES 8.10.1. Definfdon El subgrupo (H , *)de (G , *)es normal o invélriante, si y sólo si se verifica xeG 11 y EH =>x *Y *X- 1 eH Ejemplo 8-18. Todo subgrupo de un grupo conmutativo, es invariante. Sea (H , *)un subgrupo de (G , *),y éste conmutativo. E~tonces · • SUBG!WPOS IN' ARIANTES VyVx:xeG A yeH ~X*Y*x- 1 =X*x-1 *Y= =e*y=yeH y por definición (H,*) esinvariante. 8.10.2. Teorema. Un mbgrupo es distinguido si y sólo sí es invariante. 1) (H, *)es distinguido => (H, •) es invariante. 253 Sea "'" h relación de equivalen.::i3 en G. compatible distinguido H Entonces con *·asociada ai subgrupo H =N([)={xeG ,, l'=e ?= <xeG ) l x-e' Por (l) yeH,.._v-e Por la compatibilidad xeG=>x •y-x<~<e==-x•y-x~ => X * y * X -l - X * X-¡ => X " y * X-¡ ,.., e => ~x *Y •x-1 eH y en consecuencia (H , *)es distinguido. 11) (H , *)es invariante => (H , *)es distinguido. Como (H , *}es invariante sabemos que xeG A yeH=>x•y•x-1 eH a) Definimos en G la relación- mediante x 1 - x: «> x1 • x;1 e H ' x~1 * x 2 € H C:!) Se veril!ca: i ) Retlexividad. xeG ~x *X- 1 eH x-1 *·'eH => x - x ii ) Simetría. -1 -l .''¡ ,.., X2 =>x 1 *Xz eH 1 x 1 *X:~; eH= -1 -1 -¡ -¡ =>x2 *Xt*X2 *X2 €H A Xz *Xt *X2 *Xz eH=> -1 -1 =>x2 •x1 eH A x2 •x1 eH =>x2 -x 1 Por (2), pür ser H invariante, por G4 y definición (2). (lJ
- 133. t·STRl'CllT·'· DI CIUlPO iii)Transitividad X¡ - Xz A Xz ,...., X 3 =:> -1 -1 =>x1 ~x 2 EH A X 1 *.X2 €H -1 -1 A x2 * x3 € H A x2 * x~ eH => -1 -1 -1 => X¡ * x2 * Xz * X 3 € H A X 1 -1 *Xz *X2 *X 3 €H => -1 -1 =>x 1 •.x3 €H A x 1 •x3 €H Por (2), composición en H, G4 y (2) b) - es compatible con *en G, pues -1 x 1 -x2 '=~>X¡*X 2 eH =>x1 - X3 (3) Por (2) .x' ~--., ;;;;:;;; A.' -1.: ..._~·-1 r J..:l 1 2 l A2 '- • & "' '",-l) * y~~ E H2. , ~ 1~V *... Porí '.!) y por ~r H invariante. De [3} y (4) -1 -1 -¡ X¡ •(x; *X; )*X¡ *X¡ *Xl €H => r -t) -t =>x 1 •tx; * x; /xz eH=> -1 -1 => (x 1 * X; )* (x; *X2 ) € H => => (X 1 * X~) *(x2 *X;)-t € H Po: G4 , G2 , e inverso de la composición. Análogamente se prueba que (x1 •x;)-1 •(x2 •x;)eH Luego x 1 * x'¡ - Xz * x'z (4) e) Como E es coordinable a G, existe un subgrupo distinguido G', asociado a- tal ,1ue G' =N (f) ={X e G1X -e}=H Luego H es distinguido. 8.11. GRUPO COCIENTE ASOCIADO A UN SUBGRUPO 8.1 U . Relación de equivalencia y coclases Sea (H , *) un subgrupo de (G , • ). Definimos en G la relación ""' mediante. a- b ~a·* b € H (1) l. GRUPO COCIENTL i55 Es decir, dos elementos están relacionados si y sólo si la composición del inverso del primero con el segundo pertenece a H. La relación (1) es de equivalencia pues verifica i ) Reflexividad a € G => a'* a = e e H => a-a ii) Simetría. a-b =>a'•beH =>(a'•b)'eH =>b'•aeH =>b-a De acuerdo con (1), por ser H un grupo, por inverso de la composicion. inverso del inverso, y por (1). iii) Transitividad. a-b " b-e =>a'•beH l' b'•ceH =>a'•b•b'•ceH => ~ a'* e € H => a -e Por el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia. existe una partición de Gen clases de equivalencia. siendo Ku={xeG/u-x} Ahora bien u-x =>u'•x=aeH =>x=u•a En consecuencia Ku = {x E G1x =u* a A a eH} K,. recibe el nombre de coclase a izquierda del subgrupo H en G. Si denotamos con los símbolos uH y Hu los conjuntos uH={u•x/xeH} Hu = {x *u) x e H} entonces es fácil verificar que K.. = uH, y el conjunto ~ociente ~es el de las coclases ~ izquierda de H en G.
- 134. 256 ESTRUCTURA DEGRUPO 8.11.2. Compüibilidad y grupo cociente Sea H un subgrupo del grupo conmutativo G. La relación de equivalencia definida en G es compatible con la ley de composición*, pues a ·-b " e -d ""* a'* b EH A e·* de H ~ =>a'>~ b*c'*d€H "*C'*a'*b*d€H ==> =íll ~e)'* (b *d) EH =a *e -b *d De acuerdJ con el teorema fundamental de compatibilidad, existe en ~ una única .. f G Gcanom~..11 : -+¡:¡ es unley de comJosición interna *', tal que la aplicación epimorfismoy~, *')es un grupo conmutativo. El conjuntoH. dotado de la ley de composición inducida, se llama grupo cociente de G por la nlación de equivalencia ( l ). La manen de operar con las coclases es la siguiente: tuH) *' (vH) = f(u) *' f(v) ':= f(u * v) =(u* v) H Ejemplo 8-19. Sean el g:upo abeliano (R2 • +) y el subgrupo H = { (x , x) / x e R} Geométrcamente, H corresponde a la bisectriz. del primer cuadrante. La reladón de equivalenci2 (1) se traduce en (a, 3) -(e, d) <=> (-a,- b) +(e, d) eH <=> (e, d) =(a, b) + (x. x) Se tiene mtonces Ka. "¡ "" (a . b) H = {(a +x . b +x) 1x e R} Vamos ~ determinar !a ..:odase de O . 2) t= R2 . A ella pertene.::en !os parE'S ix y) que satisfa:en (x . y! =(1 • ~ ¡ + (a . al con a € R. Resulta el sistema de ecmlC!One~ paramétricas x= 1 +a y=2 +a y eliminardo el parámet~o a se tiene y - 2 =x - 1, es decir, y == x + 1:que corresponée a la recta paralela a la primera bisectriz que pasa por el punto (O , 1). El conjunto cociente, que representamos a continuación, consiste en el haz de rectas del plano cuya dirección coincide eón la de la primera bisectriz. Un conjunto de índices es:= { (0, v) 1 veR},'? sea, el eje de ordenadas. GRUPOS CICLICOS 257 / / ..._H=K(O.O) K(O,v) K<o.2) En el grupo cociente, la ley inducida es la suma de ~;ociases.. y se efectúa así K(o,v) + ~O,v') = K(O,t•+v') O bien (O, v) H +(O, v') H =(O, l' + v') H Es claro que la coclase neutra es K(o,o) = H y la opuesta de J..'H es (- v) H. 8.12. GRUPOS CICLICOS 8.12.1. Generadores de un grupo .Sea S una parte novada deil!ruvo G. Oefinü:ton Subgrupo generado por el conJunto no vacío S e G es la interse.:cíon de todos los subgrupos que contienen a S. Si Ses el suhgrupo generado por S, entonces podemos escribir s= n H¡ B¡:JS donde H¡ es un subgrupo de G que contiene a S. Es claro que el subgrupo generado por S es el mínimo subgrupá. en el sentido de inclusión, que contiene a S. Si S= G, entonces se dice que S es un generador de G.
- 135. ·X 1 STRUCTURADE GlUWO . J .:..2. Grupo cíclico Sea (G , *)un grupo. Jejinü;i(m El grupo G es cíclico si y sólo si es generado por un elemento. Es ¿ecir G es cíclico <=>- 3 a e G 1 G = {-;} D•remos que el grupo cíclico G, generado por a, es infinito si y sólo si no existe un "'~;:oro positivo m tal que am =a"' a* ... *a= e. St '1 es el menor entero positivo que venhca a"= e. entonces t:1 g1 upo G ~.vnsi,,te cú ~!ementos distintos e ,a ,a2 , ,an·l 'e dice que es cíclico de orden n. E:; obvio que el subgrupo de (G . *).siendo G un grupo arbitrario. generado por € L.escídico. Definición El elemento a e G es de orden infinito si y sólo si el subgrupo generado por a es mfinito. El elemento a € G es de orden n (natural) si y sólo si el subgrupo generado por a ~s de orden n. -:femplo &·10. 1 ) El grupo (Z • +) es cíclico, pues está generado por el entero 1. y su orden es ínfinito. pues no existe ningún número natural tt que verifiGue 1+1+ ... +:_!_=0 n ii ) El grupo (Z,, . +) es dctico, ya que está generado por t, y de orden n pues I + T-r ... -r T=o.~~-·-...,--- ....-# 11 8.13. TRASLACIONES DE UN GRUPO Sea a un elemento del grupo G. D"'finición Traslación a izquierda del grupo !G, *)por el elemento a eCes la función fa : G -4 G tal que fa (x) =a * x GRUPOS FINITOS 259 Puede demostrarse fácilmente que toda traslación a izquierda del grupo G es biyectiva. Análogamente se define la traslación a derecha. Si T (G) ={f: G ~G/ fes biyectiva}, entonces de acuerdo con el ejemplo 8-3, (T (G), o) es un grupo, llamado de las trasformaciones de G. Toda traslación a izquierda de G es una trasfonnación de G, es decir aeG ~faeT(G) Si G es finito. entonces el conjunto T (G) es el de permutaciones de G. Eiemp/o 8-21. Sea G un grupo. Entonces la función g:G ~ T(G) talque gía)=fa paratodo aeG. es un morfismo inyectivo de Gen T (G). ) g es un morfismo pues Va Vb VxeG: (g(a "'b))(x)=fa*b (x)=a *b *X""' =fa [fb (x)l = Ua 0 fb)(x) y por definición de funciones iguales resulta g(a*b)=J~ofb ii)gesl-1. Sea ae N (g). Entoncesg (a)= fa =iG por definición de núcleo. Como a " a = /~ (a) = i6 (a) =a Se tiene a*a=a•e Y cancelando resul~ a=e Es decir: N ~) = {e} y en consecuencia g es 1 _; l. 8.14. GRUPOS FINITOS 8.14.1. Indice 'de un subgrupo Sea G un grupo. Por definición, G es finito si y sólo si e (G) =n. Orden de'un grupo finito es el número cardinal del mismo.
- 136. 260 ESTRUCTURA DEGRUPO Sea H un ~ubgrupo .del grupo finito G. El grupo cociente ~ ·, de las codases a izquierda de 1-, es finito y su cardinal se llama índice del subgrupo H en G. 8.14.2. Teorema Si H es un subgrupo de orden k del grupo finito G, entonces toda codase a izquerda de H tiene k elementos. Hipótesis)(G. •) es grupo finito. fH . *)es s1bgrupo de (G . *), de orden k. T-.;s;s) e (ut' )= k par:J todo 11. eG. Demostración¡ Oebemos frobar que H y uH son coordinables, y para ello definimos f: H -i-ttH mediante f(a) =u* a ) fes la restricción de la traslación a izquierda fu : G -i-G al subconjunto H. y en cmsecuencia es inyectiva. íi) fessobreyectiva. pues para todo y t:uH existe x =u'* y. tal que f lx)=f(u'•y)=u •u'•x=x En conse.:~encia,f es biyectiva y e (uH) =e (H) = k. 8.14.3. Teonma de Lagrange. El orden de todo subgrupo de un grupo finito es divisor del orden del grupo. En efecto. si Hes un subgrupo de G y o (H) =k. por 8.14.2. el cardinal de toda codase a izquierda de Hes k. y como éstas son disjuntas resulta o(Gl=m k=m. o(H) Es decir o(H)¡o(G). TRABAJO PRACTICO VIII 8-22. Determinar ..m ..:ada caso si el par {G . *}es grupo a) ' l G = tX/ X ""' 2k + 1 A k e Z f * es el producto ordinario b) G= { xfx=3k, 11 kez} * es la adición en Z e) ( r":"' ' G=ta+bv2 / aeQ ,~, béQ} • es el producto habitual d) G ~ {X/ X= 2 11 1 k EZ} * es el producto 8-23. Verificar que los siguientes conjuntos son grupos cícUcos multiplicativos, y determinar sus generadores i) G={ 1,-1 ,i,-i} ii ) G = { 1 , z ,z2 } siendo z = __1_ + . ..j32 l --2-- 8-24. En R.. se define * mediante a•b=2ab Verificar que (R+, •) es grupo abeliano. .lJ,:J5. En e! conjunto C d.;> lo<> ntímeros complejos se considera • definida por ll*Ó=<?+b- Probar que (C, *)es grupo abeliano 8-16. En R 1 ={!1f: [O, l] ~R} se define la suma de funciones por medio de (f +g)(x) =f(:') + g(x) Demostrar que (R1 , +) es grupo abeliano. 8-27. Demostrar que (Rn , +) es grupo abeliano, siendo Rn el conjunto de todas las n-uplas de números reales, yla suma definida por (xt .x-:, • • · ,x,.)+(Yt ,y:z, • •• ,yn)=(x¡ +yt ,x2 +y2, · · · ,xn +yn) 8-28. For~ar el conjunto de todas las simetrías y rotaciones del triángulo equilátero
- 137. 262 ESTRUCTURA DEGRUPO que lo transforman congruentemente, y verificar que dicho conjunto con la composición de funciones es un grupo. Formar la tabla. 8-29. Determinar todos los subgrupos en el caso del ejercicio anterior. 8-JO. Sea H ={(x1, x2 , ••• , Xn) € R" /X¡= O}. Demostrar que (H, +)es un subgrupo de (R" , + ). 8-Jl. Verificar que (R2 x 2 , +)es un grupo abeliano y que (H , +)es un subgrupo, stendo H el conjunto de las matrices reales de dos filas y dos columnas que verifican A = - At. rales matrices se llaman antisimétricas ysatisfacen a¡¡ = -a;¡ vi vj. 8-32. Sean A = R - {O} y la función f: A """ Atal que f (x) = x2 . Demostrar que fes un morfismo del gru¡>o (A , .) en sí mismo, y determinar su núcleo y su imagen. 8-.U. Investigar si f : A -+A definida por f(x) = x 3 es un morfismo, en el mismo caso del ejercicio anterior. 8-34. Demostrar que f: R.. -+- R tal que f(x) = log1 x es un isomorfismo de (R+, .) en ;R.+). 8-35. Sean f un homomorfismo del grupo G en el grupo G', y H un subgrupo de G'. Demostrar que su preimagenf -t (H) es un subgrupo de G. 8-36. Sean (G, *)un grupo con la propiedad siguiente: ';lxeG:x•x=x Demostrar que G es unitario. · 8·17. Si (G , *) es un grupo que verifica x * x = e para todo x € G, entonces es conmutativo. 8-38. Sean (G, "')un grupo y a un elemento fijo de G. Se define fe : G -+ G mediante f(x) = 11- 1 *x • 11 Demostrar que fe es un automorfismo en G. Tal automorfismo. definido por a EG. se llama automorfismo interno. 8-19. Demostrar que la composición de dos homomorfismos de grupos es un homomorfismo. 8-10. Sea Aut (G) el grupo de los automorfismos del grupo (G , •), con la composición de funciones. Demostrar que la función . F: G -+ Aut(G) definida por F (a)= fe es un morfismo. 8....J1. Sea (G , *) un grupo. En G se define la operación o mediante aob=b*a Demostrar que (G , o) es un grupo y que ambos se identifican si y sólo si * es conmutativa. .., TRABAJO PRACTICO Vlll 842. Con relación a los grupos del ejercicio anterior, demostrar que la función f:(G,*) -7-(G,o) definidapor/(x)=x' es un isomorfismo. 8-43. En Q2 se considera* definida por (a ,b) *(e ,d) =(ac ,be +d) Determinar si Q2 tiene estructura de grupo con*· 844. Sean S y T dos subgrupos del grupo aditivo (G , + ). Se define S+T={x+y / xeS 11. yeT} Dcüto~tt~t· qt;e S +-Tes ~tf?suhgr~pc de(_;_ 8-15. Demostrar que en todo grupo el único elemento idempotcntc es el neutro. 263 8-46. Demostrar que el semigrupo (X , *) es un gn1po si y sólo si las ecuaciones x *a= by a* x =b son resolubles en X. • R-47. Sean los grupos (G, *)y (G', *')yl: G -+G' un homomorfismo. Def!1ostrar que fes un epimorfismo si y sólo I (f) = G '. 8-48. Sean los grupos (Z , +) y (G , •) y la función f: Z _,. G tal que f(n) """a" wn a € G. Demostrar que fes un morfismo y que su imagen es el subgrupo cíclico de G, generado por a. 8-49. Sean los grupos (R3 {(XI, X2, X3) = (Xt y su imagen. , +) y (R2 , +). Probar que f : R3 _,. R2 definida por x3 ,x2 -· x 3 ) es un homomorfismo. Determinar su núcleo 8-50. El subgrupo B de G es normal. si y sólo sí uH =Hu. 8-51. Sean los grupos (G3 ••) y (G4 ••). Demostrar que la función f : G 3 -+ G4 definida por f (z) = z* es un homomorfismo, y determinar N (f) e I ({). 8-52. Demostrar que el subgrupo H de G es normal si y sólo si la imagen de H es igual a H para cada automorfismo interior de G. Tal subgrupo se llama invariante.
- 138. Capítulo 9 ESTRUCTURAS DEANILLO Y DE CUERPO. ENTEROS Y RACIONALES 9.1. INTRODUCCION Con el agregado de una ley de composición interna sujeta a ciertas condiciones, se enriquece la estructura de grupo abeliano y la terna a5Í obtenida constituye otro sistema axiomátíco. Se definen aquí la estructura de anillo y el caso particular de cuerpo. Lo mismo que en el caso de la estructura de grupo, se estudian sus propiedades básicas y se introduce el concepto de ideal. Después de tratar la factorización en los dominios de integridad principales, se introducen el anillo de los enteros y el cuerpo de los racionales. 9.2. ESTRUCTURA DE ANILLO Sean un conjunto no vacío A, y dos funciones: * y •. Definición La terna (A , * , •) es un anillo si y sólo si l Ei conjunto con la primera ley es un grupo abeliano. 2. E~ conjunto con la ~gunda ley es un semigrupo. 3. b segunda ley e:; doblemente dtstributiva re~pt:ctü de la primer:;. Reformulamos la definición teniendo en cuenta que las dos leyes de composíc¡on se llaman aditivay multiplicativa, y que se las suele denotar con +y , respectivamente. Definlción La terna (A , + ,.) es un anillo si y sólo SI l. (A , +)es un grupo abeliano. 2. (A, .) es un semigrup'o. · 3. El producto es distributivo a izquierda y derecha respecto de la suma. Estas condiciones se traducen en los siguientes axiomas: ESTRUCTURA DE ANILLO A1 : La adición es ley de composición interna en A. Va Vb : a € -""'- " hE A => a +b e A A2 : La adición es asociativa en A. Va Vb Ve e A: (a+ b) +e= a+ (b +e) A3 : Existe neutro en A. que denotamos con O, respecto de la adición 30€ A/Vae A :a +O=O+a =a A4 . I1.1do elemento ue A admite inverso aditivo u opuesto. va e A, 3 -a e A 1a-+ (-a)= (-a} +a= O As : La adición es conmutativa VaVbeA:a+b=b+a 1 A6 : El producto es ley de composición interna en A. Va Vb :a e A ,, bE A :;> a. b € A A7 : El producto es asociativo ~n A_ Va Vb 'Ve e A: (a. b). e= a. (b. e) A8 : El producto es doblemente distributivo respecto de la sun:a. fa. (b +c)=a. b +a. e "'a Vb Ve e A: 1(b+c).a=b.a+c.a 265 Si, además, ocurre que la segunda ley de composición es conmutativa diremos que el anillo (A , + , .) es conmutativo. Si existe elemento neutro o identidad respecto del producto, que denotamos con 1, entonces se llamará anillo con identidad o con unidad. Un anillo con identidad cuyos elementos no nulos son inversibles se llama anillo de división. Ejemplo 9·1. Clasificamos las siguientes temas i ) (N,+ •.) no es anillo, pues no existe neutro para la adición. ii) (No , + , .) no es arullo, porque los elementos no nulos de N0 carecen de inverso aditivo. iii) (Z , + , .) es anillo conmutativo y con unidad. iv) (R1 , + , .) es el anillo conmutativo y con unidad de las funciones reales definidas en 1 =[O, 1] con la suma y el producto de funciones, llamadas leyes de composición punto a punto, definidaS en los ejercicios 5-3 i y 5-36.
- 139. /66 FSTRUCTURA DEANILLO Y DE CUUU'O. ENTEROS Y RACIONALES 9.3. PROPIEDADES DE LOS ANILLOS 'i3.1. El producto de cualquier elemento de un anillo por el neutro para la primera ley e:: igual a éste. Hipótesis) (A , + ,.) es anillo. Te,is) a. O= O. a= O Demostración) Cualquiera que sea x e.A. por A3 se verifica x+O=x í':¿multiplicando por a a. (x +O)= a. x f-·3r la distnbutívidad a. x +a. O=a. x~ En virtud de A3 a.x+a.O=a.x+O hr ley ..:ancelativa en el grupo (A , +) a. 0= O ,·n.ilogamente se prueba que O. a =O. E:;ta propiedad suele enuncíarse así; en todo anillo, el producto por Oes O. 9.3.2. En todo anillo, el producto del opuesto de un elemento, por otro, es igual al .;puesto de su producto. Por dístributividad, A4 y producto por O, se tiene (-a). b +a. b = (-a +a). b =O . b =O Es decir (-a).b+a.b=O Entonces (-a). b =.={a. 1!)_ De manera similar se prueba que a . (- b) ==- (a . b). 9.3 .3. En todo anillo, el producto de los opuestos de dos elementos es igual. al ;_1rodm:to de los mismos. . plicando reiteradamente la propiedad 9.3 .2., y por opuesto uel opuesto, resulta (-a).(- b) =-la.(- b)J =-[-(a. b)] =a. b DIVISORFS DE CERO 267 9.3.4. En todo anillo vale la distributividad del producto respecto de la diferencia. Se trata de probar que (a - b) . e =a . e - b . e Por definición, se sabe que a- b ~a+(- b). Entonces, aplicando A8 y 9.3.2. (a- b). e= [a +(-b)]. e =a. e+(~ b). e =a. e+ {-·(b. e)] =a. e -·h. e 9.4. ANILLO SIN DIVISORES DE CERO 9.4.1. Concepto Fn el ejempln 5-15 hemos analizado las leves de composición interna, llamadas suma y producto de clases, inducidas en el conjunto cociente de Z por la relación de congruencia módulo n = 3. De acuerdo con 9.2 resulta (Z3 , + ,.) el anillo conmutativo y con unidad de las clases de restos módulo 3. En los ejemplos 5-15 y 5-16 hemos confeccionado las tablas de la adición y multipUcación en Z 3 y Z4 . En el primer caso hemos observado que elementos nó nulos dan producto no nulo; pero en el segundo caso ocurre que hay' elementos no nulos cuyo producto es nulo. En (Z3 , + , .) elementos no nulos dan producto no nulo, y se díce que no existen divisores 'de cero. En (Z4 , +, .), en cambio, hay divisores de cero. Definición El anillo (A , + , .) no tiene divisores de cero si y sólo si elementos no nulos dan producto no nulo. En símbolos (A , + , . ) carece de divisores de cero <:> V x Vy : x =F O 1 y ::fo O = x . y =!= O Equivalentemente, por medio de la implicación contrarreciproca se tiene (A,+, . ) carece de divisores de cero <:> V x V y : x. y= O = x =O v y= O Esto significa que, para demostrar que en un anillo no existen divisores de cero, es suficiente probar que si el producto de dos elementos cualesquiera es cero. entonces alguno de los factores és cero. Negando el antecedente y el consecuente del bicondicional que expresa simbólica: mente la definición, resulta (A , + , . ) tiene divisores de cero <:> 3 x 3 y / x *O 1 y *O 1 x. y ==O Definición El anillo (A , + , .) tiene divisores de cero si y sólo si existen elementos no nulos que dan producto nulo. 9.4.2. Propiedad. El anillo (Zn , + , .) no tiene divisores de cero si y sólo sin es primo. Por definición, el número natural 11 '- l ..:s primo si y sólo sí los únicos divisores
- 140. ,~~·~::~[ .,<r:it .i'!J!~?~~~·~r:;.·'~.;,,..c~:-"·.--"'t~ "";;lill;':.o::c J.~~·-~ 268 ESTRUCTURA DE ANILLO Y Dl lL•t.RrO. ENTEROS Y RACIONALLS naturales que ~dmite son 1 y n Decimos que n > 1 es compuesto si y sólo sin == x. y, siendo 1 <x <n y l <y < n. 1) Si (Zn , +,.) no tiene divisores de cero, entonces 11 es primo. Suponemos que n es compuesto, es decir n ::: x . y donde l <x <n y 1 <y <n Si f : Z -+ Z.. es la aplicación canónica, se tiene =l!x.v) Como {0s lln morfismo respecte de! producto f (11) = flx) .f( De a¡;uerdo con (1) f(x)=x y f(y)=.v. (1) Además, como n - O, por definición de aplicación canónica e imagen del neutro por un homorfismo, es f {n)= f(O)=O Sustituyendo en la1gualdad anterior resulta o=x..i' " xt=o A .vt=o lo que nos dice que en ln hay divisores de cero, contra la hipótesis. li) Sin es primo, entouce~ (l, , + •.) no tiene divisores de cero. Sean x y y en Zn tales que x. y = O. Se trata de probar que x =O v .~7 =O. Por definición de aplicación canónica, la igualdad anterior puede escribirse f(x) .f(y) =[(O) Por ser f un morfismo t" í:t 1.') = Y por definíción de función canónica x.y...,.O Por definición de congruencia módulo n nlx.y Anticipamos el uso de una: propiedad que demostraremos en 9.7.7., a saber: si un número primo es divisor" de un producto, entonces es divisor de alguno de los factores. En consecuencia 11lx v nly UY CANCELATIVA 269 Es decir x "{) v y ~o En consecuencia x=o v .Y=o 9.4.3. Ley cancelativa del producto En el anillo íZ + }se verifica b fid nulo c:mcelativa del producto para todo elemento a.b=a.c "a*O -=>-b=c En .:ambio en (Z 12 , + , .) es falsa la proposición 3'4= 3.8 =,4= 8 por ser V el ante..:edente y F el consecuente. Es decir, en Z12 no es válida la ley .:an;;e!ativa del producto para todo elemento no nulo del anillo. La no existencia de di- visores de cero es condición necesaria y suficiente para la validez de la ley cancelativa del producto. Propiedad. Un anillo no tiene divisores de cero si y sólo si vale la ley cancelativa del producto para todo elemento no nulo del mismo. 1) Hipótesis) (A , +,.)carece de divisores de cero. Tesis) x ==y Demostración) Por hipótesis es Por trasposición en (A . +) ~.:.r .1h::t;H:n..tti..ád:td x.z=y.z A zi=O X. Z ""y. Z. ·~" :=O (X ---y¡.::.= Camo no existen divisores de cero y ;; #O resulta x-y=O Es decir x=y ll) Hipótesis)(A , + , .) es tal que a. e= b . e A e =F O => a= b x.y=O
- 141. 270 ESTRUCTURA DI:.ANILLO DI. (l;l·.RPO. ENTI.ROS Y RAUO,'.ALES Tesis) x "'' O v y == O Demostración) Suponemos que y if= O. Debe ser necesariamente x =O. Por A3 , cualquiera que sea z € A, se verifica z.y=z.y+O Como por hipótesis x . y =O, se tiene z.y=z.y +x.y" Por distributividad z. y= (z +x) .y ?ur ley cancelativa, ya que y*O, resulta z=z+x Es decir x=O Ejemplo 9-2. En el conjunto Rn x ", de todas las matrices reales de n filas y n columnas. se define la :nultiplicadón por medio de la siguiente regla: si A y B son dos matrices 11 x 11, en- tcn..:es la matriz producto e =A . B es tal que el elemento genérico eii es igual a la suma de productos de los elementos de la flla i de A. por los correspondientes elemen- tos de la columnaj de B, es decir C¡¡ o=a¡ 1 . bli +a¡2. b2¡ + ... +atn. b.,¡= f an~. bki k=l Í- 1 2 o] [ 2 1 - 1"'j· Por ejemplo, si A= 1 3 O l y B = O 4 3 , entonces la matriz L O -1 l -1 -2 -3 producto e= A. B pertenece a R3 x 3 ' y es tal que c 11 = (- 1). 2 + 2. O+ O. (-1) =- 2 c12 = (- 1). 1 + 2. 4 + Ó. (- 2) = 7 , etcétera. Entonces r-1 2ol ¡2 1- 1] [-2 7 7]e=A.B=.i 3 O 1 1 • O 4 3 = 5 1 -6 ~ o -1 lJ -1 -2 -3 -1 -6 -6 l desarrollar el trabajo práctico que se propone al término del capítulo, el lector pcérá comprobar que el producto de matrices es asociativo, no conmutativo, con ne:.Hro. y distributivo a izquierda y d<!re.:ha respecto de la .suma. ANILLOS ESPH'!ALES El elemento neutro es la matriz identidad I € Rnxn, tal que a¡¡= 1 si i = j a¡¡= O si i=f:j Es decir, está formada por unos en la diagonal y por ceros fuera de ésta. 271 De acuerdo con lo expuesto, y teniendo en cuenta el ejemplo S-8, la terna (Rnxn, +,.)satisface A1 :A€Rnxn 11 B€Rnxn =>A+BeRnxn Az : (A + B) +C = A +{B + C) A~ : 3 N € R" xn ! V A e Rn xn : A +N =N + A = A A4 :VAeR""n,3-AeR"x" A+(-A)=(-A)+A=N As: A+ B= B +A -~ :AeR""" BeR""n =>AtB€Rnxn A7 : (A. B) . e= A . (B . e) A8 : 3 I € Rn xn '</A é Rnxn :A. 1= I. A= A A9 : A . (B +e) =A . B +A . e (B + C) . A =B . A + e.A Se trata del anillo no conmutativo, con identidad, de las matrices cuadradas n x n. Podemos verificar la existencia de divisores de cero en el caso particular (R 2 xl , +, .}, mostrando que matrices no nulas pueden dar producto nulo. En efecto A=[~ Ejemplo 9-3. -11 r-1 o, . oJ *N y B = L 1 oJ *N, ysm embargo [o o¡= N A.B= 0 OJ • La terna (P. (U) , 6. , n) es un anillo conmutativo, con identidad y con divisores de cero. En efecto l. (P (U) , 6.) es grupo abeliano, como está jústificado en 2.11.2. 2. (P (U) , 11) es un semigrupo conmutativo, con identidad. 3. La intersección es distributiva respecto de la diferencia simétrica. A n (B 6. C) =(B ~ C) nA =(B n A) ! (e n A) La demostración figura en el ejemplo 2-28. 4. Existen divisores de cero, pues si A y B son disjuntos y no vacíos se cumple A=l=tf> 11 B#q, 11 AnB=tf>
- 142. 272 ESTRUCTURA DEANILLO Y DI·. CU!RPO. l·.NlEROS Y RACIO~ALl.S 9.5. DOMINIO DE INTEGRIDAD Todo anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero, se llama dominio de integridad. Las ternas (Z , + , .) , (R , + , .) y (Z3 , + , .) son dominios de integridad. Si P denota el conjunto de los enteros pares, entonces (P , + ,.) es anillo conmutativo, sin divisores de cero y sin elemento unidad: en consecuencia no es domínío de integridad. 9.6. SUBANILLOS E IDEALES 9.6.1. Concepto de subanillo Sea (A , +, .) un anillo. Un subanillo de (A • + , .) es una parte no vacía de A que tiene estructuu de anillo con las mismas leyes de composición. Definición El subconjunto no vacío S CA. es un subanillo de (A , + ..) SI y sólo si (S +)es subgrupo de (A . +),y además S es cerrado para el producto. Resulta obvio que una parte no vacía S C A es un subanillo de {A • + , .) si y sólo si para todo par de elementos a € A y b € A se verifica a- b € A y a. b € A. Ejemplo 94. Sea a € Z. Entonces el conjunto de todos los múltiplos enteros de a ~ " S=-k.a'keZ} es un subanillo de (Z , + ,.). Enefecto,sixeS A yeS,entoncesx=k.a '' y=k'.a. Luego x -y = k a -k'. a = {k - k') . a= k". a F~ decu X--_¡- € S Por otra parte x € S A y E S => x =k . a 1' y ·= k '. a => =>x.y=(k.a. k').a =>x.y=k".a =>x.yeS 9.6.2. Concepto de ideal Sea (1 , +, .) un subanillo de (A , + ,.). 1 r¡ 1 ~ 1 ~ ! l SUBANILLOS E IDEALES Definición El subanillo I de A es un ideal a izquierda de A si y sólo si x€A A a€1 =>x.a€! El subanillo I de A es un ideal a derecha de A si y sólo si a€1 A xeA =>a.x€l Definición 273 El subaníllo ! de A es un ideal de A si y sólo si es un ídeal a izquierda y a derecha de A. En ~::! caso de anillo .:onmutatívo no es preciso distinguir entre ideales a izquierda o a derecha. Las ¡;ondiciones que se imponen al subconjunto rC A. para que sea un ideal. son las siguientes ¡ ) 1*q> 1i J a € í ' b € 1 = a - b e 1 iii) a € 1 " b eI => a b e1 iv) a € I A x e A = a . x e 1 · A x. a e 1 Ejemplo 9·5. El subanillo S de todos los múltiplos del entero a es un ideal de Z. En cambie, Z no es un ide=ll de R. Todo anillo (A , + .. ) admite dos ideales: el mismo A y {O}, y son llamados ideales triviales. Todo otro ideal, si existe, se llama ideal propio no trivial. 9.6.3. Ideal generado por un subconjunto de un anillo Sea S "' . x 1• x > T•Jdo elemento de la forma V ·'l>n un sub.::on¡unto no vacio del anillo conmutativo A. "I a¡. X¡ con a¡ e A i=l se llama combinación lineal de los elementos de S, con coeficientes en A. Consideremos ahora el conjunto de todas las combinaciones lineales de los elementos de S, que denotamos por S=.{:f a¡.x¡/a¡eA ¡, X¡ES~·i=l )
- 143. l.74 lSl JtUCTU!1DE ANILLO'{ DE CL'ERPO. ENTEROS Y 1.'•UO;>;ALES El conjunto SCA ~atísface las siguientes condiciones: i ) S* tP pues .O= O. x1 +O .x2 +... +O. Xn € S ii) xeS A yeS =ix-y eS iii) x eS A y eS =? x . y es iv) x eS A a e A =? a. x € S A x. a e S Es decir: (S , + , .) es un ideal de A. Este ideal se dice generado por la familia S. En particular, el ideal generado por un único elemento x € A se llama ideal principal. Si ocurre que todo ideal de A es principal, entonces el mismo A se llama :millo principal. Este es el caso de los enteros, que está generado por x =l. El lector puede verificar las condiciones iii) y iv). A manera de ejemplo comprobamos ii ) - - ~ n xeS A yeS '-'*X=? a¡. X¡ t y=l: b¡.X¡ => z=l i=l =X-y= :f (a¡. X¡- b¡. X¡) => f=l ==~>X -y= f 1a·- b·). X· '-'*X -V= f C· X· =>1=1 ¡ 1 1 1 • i= 1 1 1 :::.x-yeS 9.7. FACTORIZAOON EN UN ANILLO Sea {A,+,.) un dominio de integridad principal. En este caso, todo ideal de A está generado por un único elemento. '9.7.1. Máximo común divisor En A defmimos la relación de divisor mediante x_!y *3zeA/y==x.z Si des tal que d 1a y d lb, entonces se dice quedes un divisor común de a ~ de b, o bien que a y b son múltiplos de tj.. · lJefinición El elemento d e A es un máximo común divisor de a y b si y sólo si d es divisor de a y b, y además múltiplo de todo dívisor común a ellos. Es decir · { dja A dlb d es un M.C.D. de a y b ~ d' 1a 11 d'l b ::::. d' 1d En Z, tanto 2 como- 2, son un M.C.D. de 4 y _6. r1 '¡ 1 ' FACIOI:UZACION I:N UN ANILLO 275 9.7.2. Propiedad. Todo elemento inversible de A es divisor de todo elemento del mismo. En efecto, sea a e A un elemento inversible. Entonces 'V x € A : x =x. 1 = x (a-1 • a)= = (x. a-1 ). a y por definición de divisor resulta alx 9.7.3. Propiedad. Todo M.C.D. de los elementos a y b de A es una combmac10n lineal de los mismos con coeficientes en A. Demostración) Sea 1 el ideal de A generado por ios elementos a y b. Como todo ideal de A es principal, ocurre que l está generado por un úníéo elemento d. Por otra pane, como a=l.a+O.b ,, b=O.a+l.b se tiene a e I 1, b e L En consecuencia, existen p y q en A. tales que a = p . r1 y b =q. d, es decir, des un divisor común de a y b. Además, como d € 1, existen sy t en A, tales que d=s.a+t.b Sea ahora d' un divisor común de a y b: entonces a= x . d' y b =y . d: Sustituyendo se tiene d=s.x d'+t.y.d'=(s.x+t.y).d' o sea, d' 1d. Hemos probado que d = s. a +t. bes un M.C.D. de a y b. 9.7.4. Elementos coprimos En Z. los enteros 2 y 3 admiten a - 1 y a 1 como divisores comunes. Estos son los únicos elementos inversibles en Z, y se dice que 2 y 3 son coprimos o primos entre sí. Definición Dos elementos a y b de A son coprimos si y sólo si tod~ común divisor de a y b es inversible. 9.7.5. Propiedad. Si dos elementos a y b de A son coprimos. entonces existen s y ten A, tales que l = s. a + t .b. Demostración) La unidad de A verifica 1 1a y 1 1b; es decir. l es un divisor común de a Y b. Sea ahora d un divisor común de a y b. Por ser éstos coprimos, d es inversible Y
- 144. ] ](¡ I:STHUCTURA DIANILLO Y DE CUFRPO. ENTEROS '1 ILUONALl S por lo tanto es divisor de 1, de acuerdo con 9.7.2. Esto prueba que 1 es un M.C.D. de a y b, y por 9.7.3., existen s y ten A, tales que 1=s.a+t.b 9.7.6. Elemen~os primos o irreducibles En Z, el entero 3 es no inversible y admite únicamente las descomposiciones 3 = 3 . I y 3 = (- 3) ~ (- 1) donde l y - l son irw?r<ihl...~ Se dice que 3 es primo o irreduci:,le .. Definición El elemento no inversible a € A es primo o irreducible si y sólo si toda descomposición a =x . y es tal que alguno de los factores es inversible. 9.7.7. Propiecbd. Si un elemento primo es divisor de un producto, entonces es divisor de alguno de Jo¡ factores. Hipotesis) a es primo y a i b . e Tesis) a!b v 1!c Demostración) Si a 1 b, nad:; hay que probar, porque la disyunción de la tesis es verdadera. Consideremos el caso en que a 1 b es F. Como a es primo, se tiene que a y b son coprimos, y por 9.7.5. es l=s.a+t.b Multiplicando por e I.c=s.a.c+t.b.c Es decir e = s . a . e + t . a . x ya que a 1 b ~ e ~ b . e =a . x Por di~tributividad ('s, :: ·+' t ~ &'":.~ a Luego ale 9.8. ANILLO ORDENADO 9.8.1. Concepto El anillo (A,+ , .) está ordenado por la relación de orden total que indicamos con (· 1 ' 1 1 ,¡ 1 1 J..~: ""' 1 ANILLO ORDENADO 2? el símbolo < si y sólo si dicha relación es compatible con la adición y multiplicación en A, en el sentido siguiente: i ) X <y =:>X +Z <y +Z ii) O<x A O<y =:>O< xy Que el orden es total o lineal significa xe.A =:>x<O V O<x V x=O Si el anillo no es trivial, es decir, si no se reduce al único elemento O, entonces los elementos x que satisfacen la condición O < x se llaman positivos y pertenecen al subconjunto A~= xe.A O< Los opuestos de los elementos positivos se llaman negativos y definen al subconjunto ~ ) ( 1 A-=<xeAt-xeA•>=.xeAIO<-xrl ) ... j Queda caracterizada así una partición de A en los subconjuntos A+, A- y consecuencia xeA =:>xeA+ v xeA- v x=O 9.8.2. Propiedades. Sea (A , + , .)un anillo ordenado por la relación<. I) El producto de dos elementos positívos es positivo. xeA"' A y eA• =:> O<x " O<y = = O<xy =xyeA+ Por defmición de A+ y ü ). En consecuencia, A+ es cerrado para el producto. U)El producto de dl>s elementos, uno positivo y el otro negativ•:~. es negativo. X € A. eA-=ú<,~ 0<-v =o ~ 0 <:t (-y) => 0 <- (x y) - X y € A- Por las defmiciones de A+ y de A-, ii ). 9.3.2.• y por definición de A-. III) El.producto de dos elementos negativos es positivo. ,, xeA- A yeA-=--xeA+ A -yeA+=- = (-x)(-y)e A+= xye A+ Por defmición de A-. III) y 9.3.3. IV) x<y * y-xeA+ ,.y en
- 145. ')''~~'_1(, lSfH.JCTURA lJEA;.;!LLO PI n:¡ Rl'O. l'NTLROS Y RACiüiALLS En efecto X <y ~ X +(-X) <y +(-x) ~ 0 <y- X V) x<y 1 z € A• "* xz<Jiz Pues -- x<y" zeA+"*o<y-x" O<z => =- O-;::= (v - x) z =- O<yz - xz => xz <yz V!) x <':· ' 7, FA- => yz <xz :Vota x<y f zeA· =O<y-x 11 -zeA•=> =O<(y-x)(-z) =>O<-yz+xz =>yz<xz La relación inversa se denota por>. y se define mediante x>y <~:> y<x y ambas caracterizan un orden estricto en A. Cn orden amplio y total en. A se define mediante xo;;;y ~x<y v x=y 9.9. ESTRUCTURA DE CUERPO 9.9.1. Concepto de cuerpo Un anillo con unidad cuyos elementos no nulos son inversibles, se llama anillo de división. Todo anillo de división conmutativo es un cuerpo. Definición La terna (K , + , .) es un cuerpo si y sólo 'si es un anillo conmutativo, .con unidad, cuyos elementos no nulos admiten inverso multiplicativo. Los axiomas que caracterizan la estructura de cuerpo son l. (K , +)es grupo abeliano. 2. (K- {o}, .) es grupo abeliano: J 3. El producto es distributivo respecto de la suma. Ejemplo 9-6. La terna (Z , + , .) no es cuerpo, pues los únicos elementos no nulos que admiten inverso multiplicativo son- 1 y l. En cambio (Q, +, .) , (R, +, .) , (C, +..) .(Z, . + ..), con n primo, son cuerpos. .. .L 'i L .:t .... ESTRUCfURA DE CUERPO 9.9.2. Propiedades de los cuerpos Sea (K , + , .) un cuerpo. I) Los cuerpos no admiten divisores de cero. Sean x EK A y € Ktales quexy =O (1). Si x =O, nada hay que demostrar porque la proposición x =O v y =Oes V. Consideremos el caso x =1= O. Por definición de cuerpo existe x-1 • Multiplicando (1) por x-1 x-1 (xy)=x-• .O Por asociatividad y producto por Oen el anillo, se tiene 1y =O ,es decir: y = O 279 11) En todo cuerpo vale la ley cancelativa del producto para todo elemento no nulo del mismo. Es una consecuencia de 1y de 9.4.3. III) Si b =1= O, entonces la ecuación bx =a admite solución única en K. Sea bx =a con b =1= O. Multplicando por b -t b-1 (bx) = b-1 a· Por asociatividad y conmutatividad resulta (b-1 b)x =ab-1 Es decir Ix=ab-1 Entonces x =ab-t es la solución única de la ecuación propuesta. En efecto, sea y otra solución; esto significa que • by =a. y como bx =a se tiene by- bx ::' O => b (y - x) =O y como b =1= Oresulta y- x = O, es decir,y = x. Nota El producto de un elemento de K por el inverso multiplicativo de otro no nulo se denota con el símbolo ab-1- a -T· y suele llamarse cociente entre a y b.
- 146. 280 ESTRUCTURA DEANILLO Y DE CUERPO. ENTEROS Y RACIONALLS IV) El recíproco del opuesto de todo elemento no nulo es igual al opuesto de su n;c;tJI"OCO. o~ acuerde con 9.3.3, ypor inverso multiplicativo, se tiene [-(x-1)}. (-x) =x-1 x = 1 Multiplicando por (-xr1 -(x-1 ){-x)(-x)-1 =1 (-xr 1 Por asociatJVidad e inversos multiplicativos resulta -(x-')= V) En todc cuerpo se verifica x _ ~ ~xv'=yx' -y- y' ' En efecto :!.. = ~ ~ X)'- 1 =x' v•-l ~ xy-1 y'v'=xy' ·-1 yv' ~y y' ' /' • ~ xy'=yx' ~JO. DOMINIO DE INTEGRIDAD DE LOS ENTEROS 9.10.1. Relación de equivalencia en N2 El lector hl tenido oportunidad de probar, en el ejercicio 3-25, la equivalencia de la relación en N2 definida por (a,b)~(a',b') ~a+b'=b+a' La clase deequivalencia del elemento genérico {a , b), es, por definición K(a.b) = € N2 (.<. V) -¡a . Ahora bien (x. y) -(a. b) ~ x +b =y+ a Se presentan tres casos i ) a = b ==> K<a. b) -= {(x , y) € N2 /y = x} ü) a'<b ==> K(a.b)={(x.y)eN2 /y=x+b-a) iii) a >b ==> K(a, 0 >= { (x , y) e N2 /y = x +a - b} L .... ANLLO DE LOS ENTEROS 281 En particular K(t,t) ={(l, 1) ,(2, 2) ,(3, 3), ...} K<t,2> = { (l , 2), (2, 3), (3, 4), ...} K(2,1> ={(2, l), (3, 2), (4, 3), .. ·} La representación de las clases en N2 es Ja siguiente ~N ' ' ' ' '' ' , .• , " ' , , 6 - , , , , , , , , , " , , .. ,'K<2,t>, , ' ", , , , , 5 , , , , , , - , ' , , ; , " , , ,, , , , ,- K<a.tl, ; , ", , ' , 4 , , , ; ; - , ,. , , , / , , ' , / / , / K4,t), , , " , 3 , 1/ ,. ," / '· - , , ,, , ,., , ;' ,, , ,- K5,1>, , , , , , , , 2 1./ ; ,/ , ,. - ,X , , ,, ,, " , , , , , , ; , /11 - , , , ,, t--... 1 2 3 4 5 6 N Eligiendo un único elemento en cada clase de equivalencia, se obtiene un conjunto de índices • _ (n ') (!~n~!),? (:On t1 ~N Cada clase de equivalencia se llama número entero, y el ;ociente ~ 2 es el conjunto Z de los números enteros. Definición • Número entero es toda clase de equivalencia determinada por la relación defmidá enN2 • C . d i , · Z N 2 onJunto e os numeras enteros es = --:;::-
- 147. 2;;2 ESTRUC! Ld{tDL ANILLO Y DE Cll!RPO. EN llli.US lCCIO:-<ALLS INfinicián Número entero Oes la clase K0 ,1 >· Entero positivo es toda clase del tipo K(n,l) con n >l. Entero negativo es toda clase K(l,n) con n > l. Para denotar los enteros utilizaremos los símbolos K{I,l) =O K(n,l) = +(n- 1) K(l,n) = -(n- l) Así. K11.2 ¡ '" - l • K(a.u = +::! • etcéter:~.. 9.10.2. Operaciones en N2 y compatibilidad sin>l sin>I En N2 definimos la adición y multiplicación mediante l.(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b') :! . (a, b). (a', b') = {aa' + bb' ,ab' +ba') La relación de equivalencia definida en 9.10.1. es compatible con estas leyes de composición interna en Nl. En efecto í ) Por definición de la relación de equivalencia, conmutatividad y asociatividad de la adición en N, y por ia definición l .. se tiene ii) Sean (a • b) - (a' . b') / (e • d) - (e' • d') =- =a+b'=b+a' i c+d'=d+c'= =>(a+c)+(b'+d')=(b+d)+(a'+c') => =>(a +e. b + d)- (a'+ e', b' + d') => =>(a • b) +(e. d)- (a'. b') + (e', d') (a. b)- (a'. b') /(e, d)- (e'. J') => =>a+b'=bfa' 11 c+d'=d+c' Multiplicamos la primera igualdad por e y luego pord ae +'b'c ==be +a'e bd +a'd=ad +b'd Sumando ac + bd +a'd + b'c =be +ad -'-a'c + b'd (1) ANILLO I>F LOS ENTEROS 283 Multiplicando la segunda igualdad por a'y por b' a'c +a'd' = a'd +a'c' b'd + b'c'= b'c + b'd' Sumando a'c + b'd + a'd' + b'c' =a'd + b'c +a'c' + b'd' {2) Sumando (1) y (2), después de cancelar resulta (ac +bd) + (a'd' + b'c') = (ad +be)+ (a'c' +b'd') Pcr ~efinh:ió~ d= la rcl:1cién de equivalencia (ac + bd. ad +be)- (a'c' + b'd'. a'd' + b'c') Por definición de producto resulta (a, b). (e, d)- (á'. b'). (e', d') 9.10.3. Adición y multiplicación en Z De acuerdo con el teorema fundamental de compatibilidad existen en el conjunto cociente ~ 2 = Z dos leyes de composición interna inducidas, llamadas suma y producto de enteros. únicas, tales que la aplicación canónica f: Nl -+Z es un homomorfismo. Veamos cómo se realizan la adición y multiplicación en Z ( -3 ) + (+~) = f {l ' 4) +f(3 • 1) = l [(1 ' 4) + (3 ' l )] = {{4 ' 5) =f (l • 2) = -1 (--3). (+~) =f(l .4) .{(3' l)=f[(l ,4). (3 'l)J=f(7' l3)=f(l '7)= -6 Hemos utilizado la defmición de aplicación canónica, el hecho de que es un homomorfismo y las definiciones de adición y multiplicación en N2 • Es fácil verificar qu~ la adición es conmutativa y asociativa en N2 • y en virtud del teorema fundamental de compatibilidad lo es en Z. Además, neutro para la adición en Z es O= K(l,l)• pues K(a,b) +O =f (a, b) +f(l, 1) =![(a, b) + (l , l)] = = f (a+ l , b + t) = f (a .b) = K(a,b) El entero opuesto de K(a,b >es K(b,a) pues K(a,b) + K(b,a) = f(a, b) + f(b, a) =f(a + b, b +a) =f(l, l)= = K(t,tl =O Resulta entonces que el par (Z, +)es un grupo abeliano. . El lectnr puúk c~>mprnhar que la multiplicación es conmutativa y asociativa en N2 ,
- 148. 2:c::l ESTRUCTURA DEANILLO Y DE CUERPO. FNTEJWS Y RACIONALES y por el homon10rfismo canónico estas propiedades se trasfieren a la multiplicación en Z. Neutro para el producto en Z es+ 1 = K(2,l) pues K[a,l>). K(l,l) =f(a ,b) .f(2, l)=f[(a ,b) .(2, l)} = =f (la+ b , a + 2b) == f (a, b) = K(4 ,bJ De manera análoga se comprueba la distributividad de la multiplicación respecto de la adición en Z. Pm lo tant~. la terna tZ + ..) es un aníllo conmutativo y cnn unidad. Este anillo ::m:.;e de divisores de cero. En efecto Sean los enteros K1x.:v 1 y Krx·,y•¡ tales que K(xs). K(x ',y'): K(l,l) donde K(x',y') =F O Por aplicaciór, canónica f(x ,y).f(x',y')=f(l, 1) Por ser J un homomorfismo fl{x ,y). (x' ,y')l =lO .1) Por producto en N2 f(xx' +yy' ,xy' +yx') =f (1, 1) Por definícióa de aplicación canónica (xx' + yy', xy' + yx')- (1 , 1) 1eniendo en cuenta la definición de la relación de equivalencia resulta xx'+yy'=xy'+ yx' six'> y' X..'l·- xy'=yx'·- yy' es dedr l'"' vp Y En consecaencia, x =y, y resulta Kcx,y l =O. Se tiene a1í el dommio de integridad de los números entuos. 9.11. ISOMORFISMO DE LOS ENTEROS POSITIVOS CON N Sea.,.~~ el conjunto de los enteros positivos. Definimos F:z+-+N mediante la asignación F (+a) =a .' VALOR ABSOLUTO FN Z Se verifica ) F es inyectiva, pues +a;fo+b =>a;fob =*F(+a)*F(+b) ii ) F es sobreyectiva, ya que VaEN,3+aeZ+/F(+a)=a iii) F es un morfismo respecto de la adición en Z + y en N. F [1 +a)+ (+ b )] = F [+ (a+ a-1-b"'F +a).Fi+b) iv) F es un morfismo respecto de la multiplicación en Z • y en N. F [1 +a}.(+ b)] =F [+(a. b )] ::::; =a. b=F(+a).F(+b) , 285 En consecuencia. F es un isomorfismo de z+ en N, es decir, ambos conjuntos son indistinguibles algebraicamente y ?Ueden identificarse. 9.12. PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO 9.12.1. Función valor absoluto Es la aplicación f : Z -+ Z - Z" definida por { xsix;oo ix 1 =f(x) = eX si x <O Su representación está dada por los puntos de coordenadas enteras de las bisectrices del primero y segundo cuadrantes ¡z-1. ¡ ¡_ ~- -·-- - ~ - - - _1'- - - - - - - - - -.., i ., t ,-------- :: ______., 1 1 1 1 ¡ 1 1 -3 -2 1 1 1 ·----r---·' 1 1 1 1 . 1 1 -1 o z2 3
- 149. '],,;!, ESTRUCTURA DEANILLO Y IJL CLLRPO. 1-.NTEROS Y RiCIONALI.:S ~.12.2. Propied~¡des del valor absoluto 1) Todo entero está comprendido entre su valor absoluto y el opuesto de éste. -lxl.;;;;x.;;;;txl Se presentan tres casos a)x=O =*-lxl=x=lxl b)x>O =*_-txl<x=lxl · e) x<O ~ -lxl=x< lxl U)lxl<a ~ -a<x<a En efecto Por 1) x~ lx i Por hipótesis x 1 <;a Por transitividad resulta x<;a (1) Multiplicando los dos miembros de la hipótesis por - l -!xl;;;;.-a Por I) -lx! <;x Entonces, por transitividad -a<,x (21 De (1) y (2) resulta -a<,x<;a III) -a ~x <;a =* ¡x 1<;a Si x # O, entonces por definición de valor absoluto y por hipótesis lx!=x<a (l) Si x < O, por defmición de valor absoluto, y multiplicando por - 1 los dos primeros miembros de la hipótesis lx 1=-x<;a {2) En ambos casos, (1) y (2), se tiene lxi <;a IV) El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos. 1··sis) lx +y 1<; lx 1+!y 1 01'ISION ENTERA 287 Demostración) Por 1) -lxl.;;;;x.;;;;l.xl -Lvi<y<lyl Sumando se tiene -(lx 1+ iyi)<x +y< lxl + lyl Por III) resulta lx+yi<!xi+lyl i) Eí vaior aosoiuto de un proüuctu e:. igual al proJu..iv Jt lu5 va!o1cs absolutc.s ,:k los factores. ix.)-'i=lxl IYl la demostración queda como ejerciCIO. y basta aplicar la definición de valor ·absoluto a los casos que se presentan. 9.13. ALGORITMO DE LA DIVISION ENTERA Teorema. Dados dos enteros a y b, siendo b >O. existen dos enteros q y r. llamados cociente y resto, que verifican i) a=bq-rr ii) o,;;;r<b Demostración) Como bes un entero positivo, se tiene b;;;;.. l ( I). Multiplicando ( l) por- 1a i -ja¡b<,-¡ai Por 9.12.2.1) -lal<a De estas dos relaciones se deduce -jajb,;;;a En consecuencia a-[-lal.b];;;;.o (2) . Sea C el conjunto de todos los enteros no negativos del tipo a- xb. con x e Z. De acuerdo con (2), para x = - 1 a 1, se tiene a-xb=a-[-ial b];..O y en consecuencia Ces no vacío.
- 150. 288 ESTRUCTURA DLANILLO Y DE CUERPO. ENTEROS Y RACIONALLS Por el principio de buena ordenación e~iste en C un elemento mínimo r, para cierto valor q, de x. Es decir, existen q y r tales que a -bq =r~O Entonces existen dos enteros, q y r que satisfacen a=bq +r A O~r Falta probar que r <b. Suponemos r ~ b; en este caso r- b ;;:.·o ,. a - bq- b ;;;>O = a --· b (q + l) ;;;>O ;:; -- b Cq + 1) " e í4l Y como (3) a- bq = a - bq ,, b >O => a - b (q + l) < a - bq = r (5) De (4) y (5) se infiere que C admite un elemento menor que el mínimo. lo que es absurdo. fntonces es r <b (5). Las proposiciones (3) y (5) constituyen la tesis del teorema. Queda como ejercicio la demostración de que los enteros q y r, a que se reliere ei teorema, son únicos. 9.14. ALGORITMO DE EUCLIDES 9.14.1. Máximo común divisor en Z El máximo común divisor positivo de dos enteros ay b. no simultáneamente nulos, será denotado por d = a i b =m . e . d (a , b ) Para el máximo común divisor rige la defmición 9.7.1. Se tiene ~> J. o·;;;:; ~- 3 o= 3 f-. .• -:-- -~ ~ ,__ ,...~-~ !'; -3=(~ :¡=:¡ 9.14.2. Propiedad. El maxmto común divisor positivo de a y b, siendo b > O, se identifica con el máximo común divisor positivo entre b y el resto de la división de a por~ · Sean A={xeZ/xia " xlb} y B={xeZ/xlb A xlr} MAXL10 COMCN DIViSOR Siendo a=bq+r A O~r<b La propiedad queda satisfecha si demostramos que A= B. Sea entonces xeA ~xla / xlb ~xla 11 xlb A x!bq ~ ~x!b ,, x!a-bq =>xlb A. xlr = =?X € B Luego A e B (! ) Sea ahora xeB =xib ... x!r =x;bq ' x;r A x b = =x¡bq+r t x¡b =xla A x1b => =xeA Es decir.. B CA (2) De ( l ) y (21result3 A =B. 9.14.3. Determinación del m.c.d. por el algoritmo de Euclides 289 Sean los enteros a y b, con b > O. Por el algoritmo de la división existen q 1 y r 1 , tales que a=bq1 +r1 A O~r 1 <b Por 9.14.2. se tiene;¡ • b = b ,•. r 1 , Si r1 =O. entonces a •. b = b. Suponemos que r 1 >O. y que se llega a un resto nulo al cabo de n + l etapas. en cada una de las cuales se divide el divisor por el resto. Se tiene b=r1q2 +r2 1 O<r2 <r1 r1 =r2q 3 +r3 -' O<r3 <r2 rn- =:': f't.•- ~QH -"t'" O r--~ <::rH r ~ =~ n ~~ 1 De acuerdo con las relaciones de la derecha podemos escribir O<rn <r,.._ 1 <rn-2 < ... <r3 <r2 < r¡ <b donde los suc.esivos restos disminuyen y son enteros no negativos. Por consiguiente se llega a un resto nulo, que aquí hemos supuesto r,+ 1 . Teniendo en cuenta 9 .14.2. resulta a ' h=b 1 r1 =r1 A r2 =... =rn-l ,, r,..=r, A O=r,
- 151. ~-------7rc::;.,------- :>90 ESTRUCTllRA DEANILLO Y DI: CUERI'U. 1~ 1!.ROS 'í RAC!Ol'AU.S Es decir, el máximo común divisor positivo de dos enteros no simultáneamente nulos, es igual al último resto no nulo que se obtiene por la aplicación del algoritmo de 1 :.·lirks. Fl esquema de las divisiones sucesivas es l Q¡ Qz q3 qn qn+l a 1 b 't r2 .. ,. ................ - 'n-1 'n r¡ 1 r2 ·'3 Yn o Ejemplo 9-7. í ) El cociente y resto de la división de -- 7 por 3 son- 3 y 2 Luego -7 L_3_ 2 -3 ii) Si el divisor es negativo, el cociente y resto satisfacen Así a=bq+r O~r<ib 7 L..2_ l -2 iii) El m.c.d. de 6060 y 66 por divisiones sucesivas se obtiene así 91 l 4 ..,.:. 6060 66 54 1:2 6 l20 12 6 o 54 6060 1 66 = 6 9-15. NUMEROS PRIMOS (,1mo ( Z , + , .) es un dominio de integridad principal trasladamos a este caso la eoría desarrollada en 9.7. 9.15.1. Enteros primos o irreducibles ::'.-jinición El entero no nulo p =1= ± l es primo si y sólo si los únicos divisores que admite son + 1. - L p y ·· f'. NlJMEROS PRIMOS 291 Definición Dos enteros son coprimos si y sólo si su máximo común divisor positivo es igual a l. Ejemplo 9-8. ) Si un número primo es divisor de un producto de dos factores, entonces es divisor de uno de ellos. Está demostrado en 9.7.7. !! ) 'Sí 1.m número es divisor de un producto de dos factores. y primo con uno de ellos. entonces es divisor del otro. e :ab " a y e coprimos = e 1b Demostración) Como a y e son coprimos, se tiene a ' e = l. ' Por 9.7 .5. 1 = sa +te ~ = b = sab +rcb = b =sqc + tbc = = b ::;; (sq +tb 1e = e ¡b iii) Si dos enteros coprimos son divisores de un tercero. entonces su producto es divisor de éste. Hipótesis) a !11 b¡l! a · b=l Tesis) a b 1n Demostración) · Como a¡l!=>n=ax - b!n =>blax y siendo a y b coprimos. por ii ) resu~ta blx =>x=by De(l)y(2} n =a ~~v) = (ab)y O sea ab In Cl) (2)
- 152. ESTIUC1 !)¡.., fll·.ANILLO Y DE cn·RPO. U•n !·.ROS Y !~ .CIO:>iiU:S 9..15.2. Factorización en Z Teorema. Todo entero mayor que 1 puede descomponerse en el producto de 1 por f¡¡..:tores primos positivos. Salvo el orden en que se consideren los factores, esta de:~composición es única. Hacemos mo del segundo principio de inducción completa, cuya demostración se pide como ejercicio. Este principio establece Si 'Vh<m:P(h)~P(m), entonces P(n)esV, VneN. Consideremos ahora la proposición P (a) : "El ~ntero a ::;:; l puede descomponerse en un produclt) d<J faétor.:s primos pr-~aívos". Suponemos que P (h) ¿s V para todo h <a ( ) Debemos probar que P(a) es V. St a es primo. nada hay que demostrar. Si a no es primo, entonces a = be con b <a i e <a Por(!). P (b) y P (e) son proposicíones verdaderas. y pur lo tanto r s b "" 1r p ·, -~ e = 1T p ·;siendo p¡ y p¡' enteros pnmos positivos. i=l r= 1 luego a = b e = ~ p¡, donde n = r + s. ¡= 1 Entonces: P(a) es V. Tal descomposición, salvo el orden de los factores, es única. Si existieran dos descomposiciones se tendría a=pt Pz· .. Pn =q¡ Qz · · · Qm Como p 1 es primo y p 1 1a. por 9.7.7.. se tiene p 1 iq¡; en consecuencia, p 1 = q¡. ya que son primos positivos. Por ley cancelativa y conmutatividad P2D, ... p..,::::::qJq, ·i/m J.: ürdenar d fniembm para ,_¡u,.;<(; sea d pnmer ia..:wr. Rt:iteramus el proceso hasta agotar los factores primos de un miembro, en .:uyo caso quedan agotados los del otro. Entonces m = n .Y la descomposición es única. 9.15.3. Teorema de Euclides. Existen infinitos números plimos positivos. Hipótesis) S; ( p¡J p¡ es primo A p¡ >O} Tesis) S es infinito. Demostración) CUERPO DL LOS RACIONALES .293 Suponemos que S es finito. Entonces S ={Pt ,pz, · ..• p,) Sea a=(.lfp¡I+Ir= 1 .J Por9.!5.2. 3 P¡ eS !p¡la Si pj "' a. entonces existiría un número primo mayor que todo p¡. lo que es absurdo. Sea luego y como se tiene O sea Pi '*a ~ i1 =Pi · m m> l ' n ) Pi· m ~t .1r Pi =l..¡:¡, j .;¡. p¡ = P¡. q , siendo q == 11'. p, , i=l i~J P¡ m -piq =1 P¡ (m- q) = l ~ P¡ ll = P¡ = ± l , !o que también es absurdo. 9.16. EL CUERPO DE LOS RACIONALES 9.16.1. Relación de equivalencia en Z X Z* Sea Z* =Z-; O' l!r:oniumo de los ~meros no nulos. Consíderamos 7 7* "'' ··" l !'- '= Z"' Es dedr. !a totalidad de los pares ordenados de enteros de segunda componente no nula. En Z X Z* definimos la siguiente relación (a • b}- (a', b') ~ ab' =ha' Esta relación es de equivalencia, pues verifica ) Reflexividad. (a , b) e Z X Z* =<>ah = ba =<> (a • b) - (a . b) (1)
- 153. -.,,~l ESTRUCTURA DEANILLO 'r DL n !.RPO. Ll"TFH.OS Y RACIONALES ii) Simetría. (a , b) ~ (a' , b') => ab' = ba' ~ a'b b'a =>(a', b')- (a, b) iii) Transitividad. (a, b)- (a', b') A (a', b')- (a", b")"" (a, b)- (a", b") Se ..:umple trivialmente si alguna de las primeras componentes es O. Se:a el caso en que ninguna es O. Por (1), y ley cancelativa después de multiplicar. se 1:·?n~ a. b)- (a', b') A (a'. b')- ta", b") => ab' =ba'" a'b'' = b'a" => =a ¡,·rb"= b/l' IP'a" =a b"= ba" =(a, b)- (a", b") Por el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia existe una partición de Z ..<Z* en clases de equivalencia, cada una de las cuales se llama número racional. La clase de equivalencia de un elemento genérico (a, b) es K{a,b} = eZXZ* 1 (x,y)-(a,b) J Se tiene (x , y) - (a , b) =- bx ::= a.v En particular r '> ~ K(J.:!)= (x,y)eZXZ* 1 y=2x J = {_{x ,2x) 1 xeZ*J donde x puede tomar todos los valores enteros no nulos, y resulta K(l.l) = { ... , (-· 2, -· 4}, (- l , - 2), (- 1 , - 2), (1 , 2), (2 ,4), (3 , 6), ... J Análogamente K(O,l) = {(O ,y) Y el*} Es decir K(o,l)={ ... , (0,-2),(0,-l),(O,l),(0,2),(0,3), ...} Es claro que, dado un elemento de ZXZ*, sus equivalentes se obtienen multipli· ;.¡;:Jo ambas componentes por todos los enteros distintos de cero. L;¡ represertación de 1as clases de equivalencia es la siguiente CUERPO DE LOS RACIONALES 295 .... 1 l 1 f 1 1 ,.____ .!._ --4.-- --f---- '---- L-- 1 .... "' 1 1 1 1 l , t 1 , L 1 1 ... 1 1 1 1 ~---'·~---~--~!---~-- J __ t ' 1 ' 1 t 1 1 1 ' 1 1 1 1 1 ' 1' 1•____ .. __ _:-. ___ 1_:! __ ,___ J __ _ 1 1 ...... ' 1 1 : '' 1 ' .. 1 1 1 ' 1 1 1 1-- -- L- -- • • - - · - - - ~-- -1- - - t : : 1 ',.. 1 l i 1 1 ... 1 1 •- ___ ~ ___ L ___ L - - ~- ~~ .L- - : j , , • 1 1 1 1 ".... ' 1 ! 1 ¡ l ' ¡ !..., - - - ·--- -~- - - ~- - - - - -~J....-- : : : : : ',, '*. ,_;-.;, 1 ! 1 ' ... -- ;~ ....... ~,. ! ' 1 1 _..""' , ,.,. ,.( ~ ,J t-- --~-- _¡:_- _ ....,: -•-=-..-:..¿_J:!.. ¡ 1 i. ... _...... t ..... ,... ! , ; ! 1 1 ' L.-""'-, ,....1' ..,."'Í ¡(!" 1/'• .,., -~ 1 , "' 1 , 1 " 1, .1 _...:::.-;---__..,-- *- __.._---•-'--1 ' ..;"' t , 1 1'¡ lt! 1 ~~ ~,"' 1 / / J , , , ~ 1 ..... 1 1' • 1 ti ;- -- - f ; ,..._l - - -~,;f- -- ~ -/ -~- -- 1 , ,( : , , 1 1 1 '1 S , "' i 1 / 1 t 1 11 •"'-- _,_-- -¡(--- +--- :,¡_- ,_,_ -- ! ! ,r: t ': ,' : 1 ! ,"' : 1 ,' 1 / ¡ ~ - - -JI- -- .. - - _, - ¡.. -¡- 1- - .1 - - - , : : ! 1 1 / ! ' 1 1 ,,' '' • :----.1.---L--t.- _¡ ___,__ _ : : 1 1 /: 1 2 _!_ 3 Z* 1 1 1/ ,, 1 1 1 , - 1 •' 1 1 1 / 1___ - l---...:¡_-- - ;-- - - T - - - r - - ""'"- 1 1í ti 1 , 1 1 /: / l : 1 ,'' 1 1 1 1 l J 1 " 1 " ~- ~ J. - -1- +-:r- 1- - - -,- - - · - - --t -- 1 1 1 1 1 ,' 1 1 3 1 ,' !/ 1 1 ,' : 1 .. -·- -- - ~-L. - 4--- !. - -- ..~-- _,_ - - ·~- 21 ,' ,, t ,.... 1 1 ,'..,. 1 1' / 1 1 1'/ i j." : 2 , 1 1 1, 1 '1 1 , _ --- .!t._¡_ .. ____,.,___ .J_...;:::_,--;::"1::- 1 ~ 1 ... , 1,' ,. t¡ 1 : ,~' 1 # ..... , .... ""'" 1 3 / t 1 1 , ' ... "" 1 .... ,. 1 : ""- -- ~ _._ - - :J'--- 4<- - - .... - - .. - - , ..-:.. l 1 '1 # 1 ,..' 1 _,"" 1 l.-- 1 ,',': ,,'" !,..."''.,.,.{" , ...,... ....... - f _1../4-f(-..:-..-.:--Jt-----.l.-- T- _.!._~ // ,/t .... :. ....... 1_..,- ~ t ~ ~~,~~~~:-,,-: ! : • , 1 ,..... 1 1 ......... , • 1 l t 1 z - -'"-~.- - _,_-- -1- - - J.. - - -*- - - ~- ~ !'', 1 ~ l 1 " ', 1 1 1 1 f' ' 1 1 1 1 ----':•-4---J----1---.i- _ _J ~· ' . l'' 1 ! 1 1 ' 1 ' 1 ¡ 1 ' ' t ! 1 ! t '1 ' f l --- -~--- ·t---~--- -t-- -r -- -·- - 1 ' l ", l 1 1 1 1 " ' ~ 1 1 J 1 1 ' --- í--- 1 --- r-- -'f.;-- ¿--- 1- - t i .... t 1 ' 1 1 : ~' i ', : t - - - f_ --T---i_'_ -J--.::W-- _¡_ - : t : . 1 1'.. , 1 1 í . 1 "' ' í ' ' 1 1 - - - ·- - - .J - - - J. - - ~- - - ... - - ~- -1 1 f 1 t .. 1 • 1 l ' t 1 .. - .., ·- 1o ---T -1 Un conjunto de índices está dado por la totalidad de los pares (p. q) de elementos coprimos, tales que p e Z y q € Z+. Definición Número racional es toda clase determinada por la relación de equivalencia definida en Z X Z*. Conjunto de los números racionales es el cociente de Z X Z* por la relación de equivalencia ' ' Q = ZX Z*
- 154. 29é l·STRUCTURA DI.ANILLO DI Cl FRPO. 1 :11 RU~) .R.CIO::-;AUS Para deno1ar los números racionales, e~ dedr. las dases K(p,q > de acuerdo con la definición del conjunto de índices, se escribe .!!_ q 9.16.2. Openciones en Z X Z* y compatibilidad. En Z X Z*definimos la adición y multiplicación mediante ~. (a , b) +(a'. b) = (ab' + ha', bb) :. ía, b) la'. = (aa·. bb') Es simple la verificación de que estas leyes de composición interna en Z X Z* son asoc1atívas. cmmutauvas. y la segunda distributiva respecto de la primera. Por otra pme. la relación de equivalencia definida en 9.16.1. es compatible con la adición y mul1iplicación en Z X Z*. En efecto ) Por la definición de la relación de equivalencia en Z X Z* (a b)-(c,d) ,., (a',b')-(c',d') =>ad=bc 'a'd'=bi:' Multiplicando estas igualdades por b'd' y bd, respectivamente, tenemos adb'd' =bcb'd' 1 a'd'bd =b'c'bd Sumando adb'd' +a'd'bd = bcb'd' + b'c'bd Por distributivídad en (Z , +, .) (ab' + ba') dd':::: (cd' + de') bb' Por definición de la relación de equivalencia en ZXZ* i.ab · + ba'. bb } ~· +de·. dd') Por detinic¡ón l " de: ddición en Z X Z* (a. b) +(a·, b·}-(e, d) +(,e', d') Lo que prueba la compatibilidad de l.a relación de equivalencia respecto de la adición en Z XZ* ii) Aplicando la definición (1) de 9.16.1., la conmutatividady asociatividad del producto en Z. nuevamente (1) y la definición de· producto en Z X Z*. resulta OPERACim;¡ S 1;.; Q (a,b)~(a',b') 1 (c,d)~(c',d') JJ ab' =ba' A cd' = de' JJ ab'cd' == ba'dc' JJ. (ac) (b'd') = (bd) (a'c') lJ (ac, bd)- (á'c', b'd') {¡ !a. b) . le . d}- (a· b') . (e·. d'l Es dedr. val<! la compatibilidad de" respecto 'del producto enZ X Z* 9.16.3. Leyes inducidas en Q 1 297 Dado que la relación de equivalencia 9.16.1 es compatible con las leyes de composición interna definidas en Z X Z*, de acuerdo con el teorema fundamental de t:ompatibilidad. existen en el conjunto cociente Q dos leyes de composición interna inducidas. llamadas suma y producto de racionales. únicas, tales que la aplicación canónica[: Z X Z* -+Q es un morfismo que preserva las propiedades. La realización de la adición y multiplicación en Q es la siguiente: e 2 5 - 3) + 6 =K<-2.a>+K<5.s>=/(-2,3)+/(5,6)= =f[(-2 ,3) +(5 .6)]=[(3 .18)=[(1 ,6)=K0 ,6 ¡= !· f r 2'., 5 . .., .. .. _, _ ·~- 3) '.6 =J(-w,5)./(5 ,6)=/[(-.:;,J),{:> ,6)]= 5 =f(-10' 18)={(-5 ,9)=- 9 • ac acuerdo •:on la deí1nición de aplkanón c:mónica. e! h·Jmomorfisrr:o las det!mdones de adJdon y mu!ttpli~J.:ion en l Xt."' .. l'vr e1 m1smo teorema iundJmemai !a'l oper:tc1ones mauc10as en Q ;;nn mutaüvas y asociativas. Además. ia muittplí..:acH.ín es distributiva respt!cto de la adición. Investigamos la existencia de elemento neutro para la adición en Q. Se trata de determinar, si existe, K1.x,yj tal que cualquiera que sea K1a.bJ se verifique ~(a,!>)+ K(.x,y) = K(a,b) Por definición de aplicación canónica f(a, b)+f(x,y)=f(a, b)
- 155. 2':H·~ ESTRUCTURA DEANILLO Y DE CUERPO ENTEROS Y RACIONALES Por ser fun homomorfismo ![(a. b) +(x, y)]= f(a, b) Por adición en Z X Z* f(ay +bx, by)= l(a. b) Por definición de aplicación canónica +bx,by)-(a.b) Por 9.16.1 ah.v + h2 Y = l!by Cm..:elando en (Z , +) se tiene b2 x = O. y como b * O resulta x =O. y en ,;;onsecuencia neutro pan la adición en Q. es o K{O,l) = -1- Inverso aditivo u opuesto de K<a.b> es K(-<>,1>) ya que Ka,b) + K(-a,b) = f~a. b) +/(-a, b) = =![(a. b) +(-a. b)} ==f(ab -ab. bb)-= . o=f(O,bb)=f(O,l)=K(O.l}= T Concluimos así que (Q, +)es un grupo abeliano. Con relación a la multiplicación en Q, ya hemos visto que es una ley de ..:omposición interna asodativa y conmutativa. Existe elemento identidad o unidad: Ko.ll l l y todo racional no nulo K(a,bJ admite inverso multiplicativo o reciproco K(o,a): la comprobación queda como ejercicio. Entonces (Q- {O),.) es grupo abeliano. Teniendo en cuenta, además, la distributívidad de la multiplicación respecto de la adidón. resulta (Q , +, ·.) el cuerpo de los números racionales. 9.17. ISOMORFISMO DE UNA PARTE DE Q EN Z Con Q 1 denotamos el conjunto de los racionales de denominador 1, es decir. todas las clases del tipo K(a, t) = 1 ,donde a E Z. Es fácil comprobar que la aplicación f:Q¡ ~z ! 1 J ORDEN EN Q 299 que asigna a cada elemento de Q1 , el numerador, es un rnorfismo biyectivo respecte de la adición y multiplicación. Esto significa que los conjuntos Q1 y Z son isomorfos y, en consecuencia, identificables algebraicamente. En virtud del isomorfismo escribimos ~ = a. 9.18. RELACION DE ORDEN EN Q 9.18.1. Concepto !)e acuerdo con la elección del coniunto de índices hecha en 9.16.L. todo raci~nal puede representarse como una fracción de denominador positivo. Definimos en Qla relación~ mediante Es daro que x .- x' .__.. . - ""' --; <* XV ""' VXy y . . O~~ «- O~x ~ xy;;a.o. .v (l) La relación ( l) satisface las propiedades reflexiva. antisimétrica y transitiva: además es total. En consecuencia (1) caracteriza un orden amplio y total en Q. La relación o>;; es compatible con la adición y multiplicación en Q, en el sentido siguiente i ) a a' b "'b-. a e a' e =>¡;+do>;;b,+d .. ) a .;;: a' e >0 a e a' e ll"''F'd'll - ..... - • - =>- b b' d b La justificación de estas proposiciones se deja a cargo del lector. Además e e ->o~o< d d ·" e d :1=0 Resulta entonces que la terna (Q , + , .) es un cuerpo ordenado por la relación.,;;: En consecuencia, son válidas las propiedades de los anillos ordenados demostrad1s en 9.8.2. . 9.18.2. Densidad de Q Definición (Relación de menor) a e -<-h d a· e ~ b~d 11 f!_*i_ b d
- 156. 300 ESTRUCTURA lJEANILLO Y DE CUERPO. ENTEROS Y RACIONALES Definición Un cuerpo K es denso respecto de la relación< si y sólo si x<y ~ 3zeK{x<z<y Propiedad. El conju.nto Q es denso con la relación <. Se trata de ¡;robar que entre dos racionales distintos existe otro. Para esto demostra- mos que, sum2ndo los numeradores y denominadores de dos racionales distintos. se obtiene otro comprendidcl entre los mismos. Hípótesís) -~ / ,. b ' Tesis) !!_ <' a+c <_E_ b ' b ...-d d Demostración) a e -<-b d J.t ad<bc JJ. ad + ab < lx: + ab 1 ad + cd < be + ed JJ. Por hipótesis Por (J) de 9.18.1 Por compatibilídad en (Z, + , . ) a (b +d)<b (a +e) 11 (a +e)d<(b +d)e Por distributividad en (Z, +, .) JJ. a / e+e b '~1 +d ~~<!::_ b-rd d Por (l) de 9.!8.1 JJ. .!!.._ < a+e <_E_ b b +d d Por transitividad Ejemplo 9-9. Un;;: .:onsec~enc1a inmediata de la propiedad anterior, e:. decil. de ía dem;¡dad de Q. es que entre :los racionales distintos se pueden intercalar infiniws si ~l orden esta dado por la reh.ción <. Es claro también que no existen dos racionales consecutivos. Podemos aplicar reiteradamente el teorema anterior ·en los siguientes casos: i ) Propl)ner cuatro racionales entre +y ~ Resulta 1 3 5 7 9 2 ·s- < 8 < Tt < 14 < 17 < 3 í. NUlERAHILllJAD VE Q Otra intercalación es ü) ldem entre Se tiene 1 4 - < ---5 13 3 3 -2 y 2 l_<... 3 8 5 2 < 8 < 19 < 11 < 3 4 l 3 ~ <-I<··· ~<O<~ - L - 9J9. NUMERABlLIDAD DE Q ?.l!l En 6.2. hemos introducido el concepto de coordinabilidad o equipotencía entre conjuntos. De acuerdo con 6.3.2. sabemos que'un conjunto es numerable si y sólo si es coordinable a N. En el ejemplo 6·1 hemos demostrado que Z es numerable. Nos interesa llegar ahora a la conclusión de que Q también es un conjunto numerable. Con este propósito enunciamos a continuación las siguientes propiedades que se proponen como ejercicios en los Trabajos Prácticos VI y IX. 1) Todo subconjunto infinito de un conjunto numerable es numerable. A- N 11 M es infinito 11 M C A ==* M es numerable II) La unión de un número finito de conjuntos numerables, disjuntos dos a dos, es numerable A;·- N 1 ie ln n A¡ n Ai = ijJ si i :/= j => í: A; es numerable. i= 1 lll) La unión de toda familia numerable de conjuntos finitos, disjuntos dos a dos es numerable. ""A,- I;, ' A1 n A1 = ib si i -:1= j => l: A¡ es numerable. ! . 1 L:l umón ae !oda iimüha num~iab1.: 1ie ~.úíiJUfH:v;> num..;r<>ble.c,, Jo:. <l dos. es numerable. ""A¡ - N ·' A, n Ai = <P si i 4= j => :E A; es numerable. i=l Con estos elementos de juicio vamos a demostrar que Q es numerable, en las siguientes etapas i ) Q+ es numerable. Demostración)
- 157. "'=-"'-~~--- i(J2 ESTRUCTURA Dl:ANILLO Y DE Cl1FRPO. EN"! IROS 't RAU01ALI-.S S•.'a 1a sucesión de conjuntos A1 = { ~- f 11 f N} con i € N Cada A; es coordinable a N y en consecuencia es numerable. Por ejemplo Aa = {! ,i ,; ,~ ,... ,; ,..·} De acuerdo con IV) resulta numerable el conjunto f A; i= 1 i prescindir de las fracciones reducibles resuita ei subo;;únjuütv rr. que !!!: i'Jm~rable por n. ya qtle consiste en un subconjunto infinito de un conjunto num~rJbie. ü) Q- es numerable, por ser coordinable a Q+. iii) Qes numerable. En efecto, si denotamos con +la unión en el caso disjunto, tenemos Q=Q.+Q-+(o ... Y teniendo en cuenta li y el ejemplo 2-6 resulta la numerabilidad de Q. .Vota Los conjuntos numéricos iníinitos tratados con cierto detalle hasta ahora, a saber: N, Z, enteros pares, enteros impares, enteros primos, y Q, son todos numerables. es :ledr, "tienen el mismo número de elementos". Pero no todo conjunto infinito es coordinable a N; en efecto, esta "tiadíción" no se mantiene en el caso de los números reales, conjunto que estudiaremos en el capítulo lO, donde llegaremos a la conclusión de que R es no numerable. TRABAJO PRACTICO IX 9-10. En Z2 se definen la adición y la multiplicación mediante (x,y)+-(x',y'):::(r+x'.v+v') (x.y). (x',y')=(xx',O) Verificar que (Z2 , +,.)es un anillo y clasificarlo. 9-11. Si (A , +) es un grupo abeliano, y se define . · A2 --;. A tal que a . b = O, entonces (A , + , .) es un anillo. 9-12. En Z2 se consideran la suma habitual de pares ordenados y el producto definido por (a ,b).(a' ,b')=(aa' ,ab'+ba') Comprobar que (Z2 , + , .) es un anillo conmutativo con identidad. 9-13. Sea A =~x e R / x =a + b ...[2 ~'< a € Z " b E Z1. Comprobar que A es un ' ) anillo conmutativo y con unidad con la suma y el producto ordinarios de números reales. Investigar si admite divisores de cero. 9-14. Con relación al anillo de! ejercicio anterior, verificar que f: A--;. A talque f(a+b.JI)=a- b...(2 es un isomorfismo de A en A, respecto de la adición y de la multiplicación. 9-15. En A = {O . 1 , 2,, 3} se definen la adición y multiplicación mediarite las tablas + o 1 2 3 o 1 2 3 o o 1 2 3 o o o o o 1 l o 3 2 l o 1 2 3 2 2 3 o 1 2 o o o o 3 3 2 1 o 3 o 1 2 3 Comprobar que (A , + , .)es un anillo no conmutativo y sin identidad. 9~16. Demostrar que la intersección de dos subanillos del anillo (A , + , .) es un subanillo.
- 158. 3tl4 iSfWCTllRA DI..-,:·!LJ.O Y m: CUERPO. l:NTEROS Y RACION:U:S 9-17. Por definición, el elemento x del anillo A es nilpotente si y sólo si existen e N tal que x" "'x. x . .. x = O. Demostrar que el único elemento nilpotente de todo dominio de integridad es O. 9-18. Demostrar que dos enteros son congruentes módulo n si y sólo si admiten el mismo resto al dividirlos por n. 9-19. Demostrar que en todo anillo ordenado se verifica i ) a<. b ~ -b <.: -a ii) ae A = O~ a2 9-20, So;>::t el .tr.íllo ordenado (Z , , .l. Demostrar i )i.r-·VI;;a;ix!- ii )j lxi ~!.vil<.: lx + yl iii) xly A y#=O => lxl.;;;;lyi 9-21. Sea A uil anillo. Demostrar que 1 = { x e A i 1zx =O t-. n e Z} es un ideal de A. 9-.:!2. Demostrar que todo anillo de división carece de ideales propios no triviales. 9-23. En R4 se consideran la suma ordinaria de cuaternas ordenadas y la multiplicación definida por (a 1 ,a2 ,a3 ,a4 ).(b1 ,b2 ,b3 ,b4 )=(c¡ ,Cz ,c3 ,c4) siendo c1 = a1 b1 - a2 b2 - a3 b3 - a4 b4 c2 =a1 b2 +a2 b1 +a3 b4- a4 b3 c3 = a1 b3 +a3 b1 +a4b2 - a2 b4 C4 =a¡b4 +a4b1 +a2 b3 -a3 b2 Verificar que R4 es un anillo de división no conmutativo, con identidad {l , O•O, O). Se trata del anillo de división de los cuatemiones. En algunos textos se considera la existencia de cuerpos no conmutativos. y en .:l'.ms.::,;¡;enc!a se habla dd t;U('rpn de ios cuatermoncs. íJ.J.f. Resolver el s1guiente sistema d.:: ecuaciones en (Zs . + ..) J:!x+Ty=2 ) - ~ L!x+4y=" 9-15. Demostrar que si dos enteros coprimos son divisores de un tercero, entonces su prod1;tcto también lo es. 9-Z6. Demostrar en (Z ,+ , .). m e d (a , b) = d t'. a 1e 11 b 1 e => ab 1cd 1 i TRABAJO PRACTICO IX 305 9-27. Expresando todo entero positivo en la forma n = lO d +u, donde u denota la cifra de las unidades y del número de decenas, demostrar los siguientes criterios de divisibiÍidad i) 21u "*21n ii) 3ld+u"*31n iii) 11 1d - u "* 11 1n 9-28. Detenninar el m.c.d. positivo por divísiones sucesivas, en los siguientes casos i ) 10324 y 146 íii) 2L 3423 ii l l ~60 . ~. 125 ¡v)2!5.15.325 9·29. En el anillo ordenado de los enteros se verifica aib r, lbl<a =b=O 9-30. Demostrar que el cociente y el resto de la división entera son únicos. 9-31. Expresar el m.c.d. positivo de los ente;os a y b como una combinación lineal adecuada de los mismos. sabiendo que se identifica con r2 • 9-32. Por definición. el entero m es un mínimo común múltiplo de a y b si y sólo si i ) a¡ m ,., bl m ii) a 1 m' A bl m' =m(m' Si a y b son enteros positivos y d y m denotan respectivamente el m.c.d. y el m.c.m. positivos, entonces se verificad . m =a. b. 9·33. Demostrar que si a y b son enteros congruentes módulo n, entonces d' es congruente a bk para todo k € Z •. 9-34. Demostrar que (R" xn , + ,.) es un anillo. 9-35. Demostrar el segundo principio de inducción completa citado en 9.15.2. 9-36. Demostrar que sí ac es congruente con be módulo 11, y e es coprímo con n. entonces a es cojlgruente con b módulo n. 9-37, Sea n un enH::ro Por definición, ::! ~OflJUHÜJ ti 1' ¿¿ ~ .. e o ~ Ün e~ una dase completa de residuos módulo n sí y sólo sí .:ada elemento pertenece a una clase de equivalencia determinada por la congruencia módulo n en Z. Así. los enteros 3. 5 y 7 .:onstítuyen una clase complet::: de residuos módulo 3, pues - 3 f O, 5 e2 y 7 €1. Dt>mostrar i ) n enteros constituyen una clase completa de residuos módulo n si y sólo.si dos elementos distintos cualesquiera no son congruentes módulo n. ii) Si a y n son coprimos y {a1 • a2 , •••• an} es una clase completa de
- 159. ''" E~H JWCTUR.IDr ANILLO Y Dl: CUUU'O. l:N fk!WS Y l{ACJO:'<iALES residuos módulo n, entonces {aa1 , aa2 , ••• , aa,} es una clase completa de residuos módulo n. 9-38. Demostrar el siguiente teorema de Fermat: si el entero primo p no es divisor de a e Z, entonces d' -t es congruente con 1 módulo p. 9-39. Sean los enteros a, b y n, tales que n e Z + y a y n son coprimos. Demostrar i ) La ecuación de congruencia ax =b (mód n) tiene solución. ii ) Dos enteros son soluciones de la ecuación si y sólo si son congruentes módulon.. iii) Si n es primo, entonces x =an -l b es solución. 9-IQ. Resolver las siguientes ecuaciones de congruencias í ) 3 x =7 (mód 4) ii) x-6=0 (módl2) iii)- 2x= 12 (mód 11) 941. Sea (K , + ,.) un cuerpo. Si b :f. O, entonces ab-1 = ~ . Demostrar a e i)IJ+d- e ad+bc bd aeii) !!.... -=-- b d bd a+b e+d a+b c+diü) ~ = ~ => - - = - - 1 --- = --- b d b d a-b c-d 9-J2. Demostrar que la intersección de dos subcuerpos de K es un subcuerpo. 9-43. Sea (Q, +,.)el cuerpo ordenado de los racionales. Demostrar (x +V )n neN , xeQ+ 1 yeQ+ =>xn+yn;;¡¡, ----·- 2"-1 9-44. El símbolo Q (VJ) denota el subconjunto de números reales del tipo a +b -./3, siendo a y b números racionales. Investigar si (Q (y'3), +,.)es un cuerpo. 0-45. Sean (K, +,.)un cuerpo y n un entero positivo. Se definen O.e=O 1. e= e n . e = e +e + ... +e si n > 1 donde e es la unidad del cuerpo. Demostrar .i ) (nx) (my) = (nm) (xy) donde n y m son naturales y x e y son elementos de K. ii) (ne) (me)= (nm) e t 1 t 1 f ~ T!{AUAJO PRACTICO IX 307 9-46. Por definición, el menor entero positivo p que satisface pe = O se llama característica del cuerpo. Demostrar i ) Si p es la característica de (K , + , .), entonces se verifica px = O cualquiera que sea x e K. ii) p es primo. 9-47. Si p es la característica del cuerpo K, entonces se verifica: (x +y)P =xP +Y' 9-48. Sea (K , + , .) un cuerpo ordenado. Por definición, K es completo si y sólo si todo subconjunto no vacío y acotado de K tiene supremo. Por otra parte se dice que K es arquimediano si y sólo si O<x<v =>3xeN 1 nx;;>y Verificar que Qno es completÓ y si es arquimediano. 9-49. Demostrar i ) Todo subconjunto infmito de un cgnjunto numerable es numerable. ii) La unión de un número finito de conjuntos numerables. disjuntos dos a dos, es numerable. 9-50. Demostrar i ) La unión de toda familia numerable de conjuntos finitos disjuntos dos a dos, es numerable. ii) La unión de toda familia numerable de conjuntos numerables, disjuntos dos a dos, es numerable.
- 160. Capítulo 10 NUMEROS REP.LES 10.1.INTRODUCCION De acuerdo con el método genérico empleado hasta ahora, se estudia en este capí· tulo el número real siguiendo dos vías alternativas: los encajes de intervalos cerrados racionales, y las cortaduras de Dedekind; se mencionan, además, los pares de sucesiones monótonas contiguas de racionales. Se llega a establecer que {R , + , .) es un cuerpo ordenado y completo. Asimismo, se encaran con cierto detalle la potenciación y la logaritmación en R. Se demuestra, finalmente, que R es no numerable. 10.2. EL NUMERO REAL 10.2.1. Ecuaci¡mes sin soluciones en Q La medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 es.Ji número que satisface la ecuación x2 -2=0 (1) Demostraremos que si un racional es raíz de (1), enton~es dicha raíz es entera. En efecto. ~a ~- eQraíz de í 1), y p y q coptimos. '1 Entonces z :2 -2 =O => p2 . ~ tl =O => p2 = :; qz => q2 1p~ Ahora bien q lq2 A q2 lp2 :~;q lp2 ':!;q lp. p y siendo p ) q coprimos, por 9-8 ü) resulta q 1p y en consecuencia q =± l, es decir _!!_ e Z . q ;_ _...... ENCAJES DE INTERVAL05 309 Por consiguiente es válida la implicación contrarrecíproca: si la ecuación (l) no admite raíces enteras, entonces dichas raíces no son racionales. Precisamente ( 1) no tiene raíces enteras, pues VaeZ:lal..;;l ~a2 -2<0 V a e Z: al;;;;. 2 ~ a2 - 2 >O y en consecuencia carece de raíces racionales, es decir, .J2.; Q. Situaciones de este tipo plantean la necesidad de ampliar el conjunto Q, de modo que una parte del nuevo conjunto, que llamaremos R, sea isomorfa a Q. La vía que elegimos para este íin es el método de ios intervalos encajados de racionales, a través de los cuales se tiene una representación geométrica de interés intuitivo, y, como alternativa, el de las cortaduras de Dedekind. 10.2.2. Encaje de intervalos cerrados racionales Definición Intervalo cerrado racional de extremos a y b (siendo a~ b), es el conjunto [a,hJ={xEQ 1 as;;x,;;; De acuerdo con 9.18.2, el conjunto [a , b] e Q es infinito, porque entre dos racionales distintos existe otro, salvo el caso a= b en que el intervalo se llama degenerado y se reduce a un único elemento. Amplitud del intervalo cerrado [a , b} es el número racional b -a. Sucesión de intervalos cerrados racionales es toda función/. con dominio N, y cuyo codominio es el conjunto de todos los intervalos cerrados racionales. Una tal sucesión queda determinada por el conjunto de las imágenes [a1 ,ai],[al ,a~], ... ,[an ,a~], donde f(n) = [an 'a~ le Q E¡empto i 1;.¡. Los cuatro primeros términos de la sucesión cuyo elemento genérico es rl 2- -J., ' 2 + ..J-l son los intervalos cerrados racionales l l J [3 S] [S 71 r7 91 [l,J], Z"'T '3•3J•L4•4J y su representación en un sistema de abscisas es
- 161. 3'0 NUMEROS REALES 97 5 -- - 4 3 2 3- ..._ ..._ _____ _____j__~ _______ ____t"____ _ó __ ó_ ....... ...-~--- -_____________..---.. -- 1 ---·---..;r--....,-------....-----,¡;;r-----~ 3 S 7 2 3 4 Esta sucesión es tal que cada intervalo está contenido en el anterior, es decir [3 S] [5 7][l '~] :::> 2 ' 2 ::> 3 ' 3 :::> ••• :n.:tivo por el cual se dice que es decreciente. Además. 1a correspcndiente sucesión de amplitudes ai- a¡ es convergente a O, yii qLc 3 - 1 = 2 5 3 2 - 2 7 5 2 3-3=3 9 7 1 -¡---¡-=2 Es decir, a partir de cierto índice, todos los intervalos de la sucesión tienen ar::¡:>Utud menor que cualquier número positivo, prefijado arbitrariamente. La familia ~ 2 - _.!._, 2 + _;.l con i eN es un encaje de intervalos cerrados de - ¡ l J racionales, concepto que precisamos a continuación. Definición Encaje de intervalos cerrados racionales es toda sucesión de intervalos cerrados racionales [a¡, a'¡] e Q, con i e N, que satisface las siguientes condiciones: ) Es decreciente, en el sentido de que cada intervalo contiene al siguiente ieN = [a¡,a;]::J[a;+x ,ai+d O bien i eN = l¡+t el¡ siendo I, =[a¡ ,a;] ii ) La sucesión de amplitudes es convergente a O. 'ti E> O, 3 n0 ( 8) / n >no =a~ - an < 8 Es decir, prefijado cualquier número positivo E:, es posible ~eterrninar un número 110 que depende de t:, tal que piua todo índice de la sucesión que supere a n0 ocurre que la amplitud del intervalo correspondiente es menor que E: . ' ~. ENCAJES DE INTERVALOS Ejemplo 10-2. La sucesión [ 2 - +,2 + ~-] define un encaje de intervalos, pues i ) Es decreciente. Debemos probar i € N =~> 11+ 1 e l¡. En efecto X € l¡+ 1 =>X € [ 2- i!.1 '2 + i!.l] => =2-¡! 1 ,¡¡;;x,¡¡;;z+ 1 I+T = l + i ~x-2= 1 +i :=;. '!' 1 1 1 1 l .i .1 -<---~Y-"1~--<- 1 l =----~<x-2<~ ==>= , . + l ""·~ -""' . 1 '¡ l l + l =2-)-<x<2+1 =x el; r =-xe 2- '- ,2 + ii) La sucesión de amplitudes es convergente a O. Sea E >O. Hay que determinar n0 tal que n > n0 =>a~ - an <f. Ahora bien / ¡ => ( 1 ' ( 1 "' a~ - an < E: => 2 + - 1 - 2 - - 1< E => ~ n, · , n ,· ., '") :=;.::..<E:=~> n>-= n E: Afirmamos que "</ t. > O, 3 n0 = ~ tal que n>no :=;. a~ - an < t: En efecto 2 1 E: n>-=>-<-=V S n 2 1 · E 1 t=>2+-<2+-A 2-->2-- :=;. ·n 2 n 2 => (z+_!_)_(z _ _!_) <(2+~ )_(z_g_) =~> n/ '- · n • 2.; '- 2 =a~- an <S )Jl Analizamos algunas cuestiones de nomenclatura en conexión con los encajes de intervalos cerrados racionales.
- 162. 312 NUMEROS RbLFS .Sea[a; , o¡] con i E N un encaje de intervalos cerrados racionales. Entonces se verifican las condiciones i ) 11 :::: 12 :::> 13 :::> ••• :::> I,. :> ii) lím ampl l,. == O n_,."" Los extremos inferiores a; de los intervalos del encaje se llaman aprox:madones por defecto, } los extremos superiores a;, aproximaciones por exceso. Se verifica que las p~imeras constituven una sucesión creciente de racionales. En efecto, sea j) i. Por definidón de '" rien~ I, :: l, y como a¡ € 1¡. resulta ai € l¡. es dec1r. a; .;;; a¡ .;;; u'; por la dcfinidón de l,. Luego 1> i =? a¡ .;;; ai En consec~encia a1 ~a: ~a 3 ~ ••• ~a... ~ ... lo que nos di(e que la sucesión de aproxímaciones por defecto es crecíente. Análogamente se prueba el decrecímiento de la sucesión de las aproxímaciones por exceso ai ;;;. a2 ;;;. aj ;;;. ....;;;. a~ ;;;. ... De modo que un encaje de intervalos cerrados racionales es equivalente a un par de sucesiones {a¡} y {a;}de racionales, que verifican ) Condición de monotonía. (a¡) es creciente " / {a;}es decreciente ii) i E N => a;~ a; inl (o,Idición de contigüidad. ~"" -~ "'"- ='! ' • ?" ~ V c. ,.r J .. -~ fi¡;¡ ~ ~. ff t!v ~ 'lr¡ --= 1';¡ <"'E' Se dice que ta¡ }y {ai }constituyen un par de su~esiones monótonas contiguas de racionales. Si los intervalos son no degenerados, de la condición i ) se deduce que toda aproximación por defecto del encaje es menor que cualquier aproximación por exceso. Distinguimos tres casos 1. i = j ~ a; <ai => a¡ <aj 2. i<j ~a¡~a¡ 11 a¡<aj =?a;<a¡ 3. i>i ~a¡<a'; 11 a';~aj =>a;<aj ~ 1-.NCAJES Y !i.ELACION DE EQUIVALENCIA 313 Se tiene la siguiente representación geométrica de un encaje de intervalos cerrados racionales a1 a2 a3 ___________ a~ 13 +----- 12 - l: ta intersección de todos los intervalos del encaje puede ser vacía o no en Q. En el caso del ejemplo 10-2. se tiene oo_ l ll n l' ., - - ., + - = {"} i= 1 - i • - i J - En ..:ambio, el encaje asociado a las aproximaciones racionales de ..j2 tiene intersección vacía en Q (a1 • a; J= [l . 2J [a2 • ai] = [ 1 . 4 , l . S] (a3 , a;1=[l .41 , 1 . 42] [a4 .a~]=[1.414, 1 .415] 00 n [a¡. a¡]= 1/J j: 1 10.2.3. Relación de equivalencia en el conjunto de los encajes de intervalos cerrados racionales. El número real. Sea A e! conjunto ie todos los encajes de intervalos cerrados racionales. Cada elemento de A es una sucesión decreciente de intervalos encajados, que denotamos con ía.. a' 1 En o se det1ne la relación - mediante [a;, a;]- [bi ,b;] ~a¡..; b; bi ~a; "ii v¡ (!) Es decir, dos encajes de intervalos cerrados racionales están relacionados si y sólo si las aproximaciones por defecto de cada uno no superan a las aproximaciones por exceso del otro. La relación definida en {1) es de equivalencia, pues satisface l. Reflexividad. [a;, a;] e A => a¡..; a; 11 a¡<; a; => [a¡. a;] -(a¡, a;]
- 163. ?d..f II. Simetría. NUMU.{OS REALES [a¡,a;} ~[b¡. b;] => a¡.,;;; bj t b¡.,;;; a; => => bi.,;;; a; ~> a¡.;; bj => (bj, b1~] ~·[a¡. a;} Ill. Transitividad. [a¡. a;] -[b¡, b;] A [b¡ . b;] ~[ck . e~ l => = [g;. a;}-[ch, e~] r'•!'n1n,tración) Debemo~ probar 'v'i. '</k : a¡ ..;; e,. .,;;; a'; Suponemos que extsten do~ índices m y n. tales que am >c.~ Por hipótesis -[b¡. bi'1 =? 'v'i. v j: a;..;; b; => => 'v'j: dm ..;;bJ~ {3) -[ek , e~] => vj . "i k : b¡ .,;;; e~ = => "ij: b¡..;; e~ (41 Gráficamente la situación es e,. bj ----s De (3) y (4) 'v'j: b;;. am ,, b¡..;;c: Restando miembro a miembro Vj:b;-bi>am -e~ y tomando 8 <a"' -e~, resulta Vj: b; -b¡ > 8 dm (2) b; En consecuencia [b¡ . b'¡) no es un encaje. contra la hipótesis. De a.;uerdo con el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia, existe una partición de A en clases de equivakncia. cad;¡ una de las cuales se llama número reaL OPERACJONES EN R 3 iS Definición Número real es toda clase de equivalencia determinada por la relación (1) en el conjunto de todos los encajes de intervalos cerrados racionales. Conjunto de los números reales es el cociente de A por la relación de equivalencia. La notación a = K¡a¡,aiJ denota el número real asociado a la clase de equivalencia del encaje [a1, a,l Un real se llama racional si y sólo si el encaje representativo de su clase tierre intersección no vacía. Si tal intersección es vacía, el real se llama irracional. Definición Número real O es la clase de equivalencia de todo encaJe .:uyas aproximaciones por defecto no son positivas, y cuyas aproximaciones por exceso no son negativas. El encaje es decir Definición f} ,y todos los equivalentes a él, definen el número real O O=K,.. t 11 l-i·iJ Un número real es positivo si y sólo si todos los encajes de su clase admiten alguna aproximación por defecto positiva. Cn número real es negativo si y sólo si alguna aproximación por exceso de todos los encajes de su clase es negativa. En símbolos a < O ~ a = K¡a. a:¡ ,' 3 a;< O,. ' a> O ~ a= Kta;,ail! 3 a¡> O 10.3. OPERACIONES EN R 10.3.1. Operaciones en A En el conjunto A, cuyos elementos son todos los encajes de intervalos cerrados racionales. definimos las operaciones habituales. l. ADICION. [a;, a;]+ [b¡, b;] =[a·;+ b;, a;+ b;] La suma de dos encajes se realiza sumando las correspondientes aproximaciones por defecto y por exceso.
- 164. 316 NUMEROS REALES Estadefirición satisface las condiciones que caracterizan un encaje de intervalos. En efecto i ) Mo~otonía. Por ser [a¡, a;l y (b¡, biJ encajes, se verifica Luego Análogamente Sea ahora a¡"' a;+ 1 " b; "'b;+ 1 a1 +b¡~a1 + 1 +b¡, 1 (l) a;- 1 ~ b;~ 1 ~ c~; + b; ¡:;¡ x e[a¡.,.¡ ~ b1... 1 , ai+ 1 + b;+ 1] l. a~ 1 +b~ 1 ~x<a~ 1 +b~ 1 0) De 0), (21 y (3) resulta a¡ +b;~x<ai+bi O sea x € [a¡ + b¡ , a;+ bi] En consec~encia [ai+l +b¡""¡ ,a¡·-t +b[+¡]C[a¡+b;,ai+bi] ii) Contigúidad. Sea E > O. Por ser [a; , b¡] y [ai , b;l encajes, existen nó y n~· talesque , , , E n >no =an·-an·<-:; n <~ > n4;· -=- ho.; E:..Vw¡;•~ Paran> nri =ma,x ·~ nr1 •1i:; se t1CT1<' a~ --a"<~., y b~- bn < ~~ Sumando (a~ +b~)-(an +bn)<2. ~ =·E 11. MULTIPLICACION. El producto de dos encajes queda definido por a) b) e) OJ.>ERACIONES H< R 3l7 [a¡ , a¡] . [b¡ , bi] = [a¡ b¡, aí b¡] si a¡>O y b¡>O, V¡ [a¡,ai].[b;,biJ=[aib¡,a¡bi] si a¡>O y bj<O,V¡ la¡ ,aiJ. [b¡ ,b¡]= [b¡ ,bi] si [b¡ 'bí]- r-- ~ '-+]l l Procediendo como en el caso !, se prueba que las defmiciones II definen encajes de intervalos. Ejemplo 10-3. Detem1in:n la ~uma y el pmrlw:to de !os siguientes pares de . ·~ ;~ i ~ . 1 l 1 i [a¡ .a¡¡= l2 ~ ¡ . ..: + ¡ J [b¡ .b;J= [ 3 ~ wr l l 3 + l{iTj Resulta i 1 l l _1_,1 [a;.a¡j+[b;,bi]=LS-¡- 10¡ '5+ i + IO;j Por otra parte, como a¡ b¡ = 6 - ~ - ~~¡ + iw •b• 6 + 3 + l + · 1 oia¡ i = T 10' l 1 se tiene . 3 + 'r":]= Ó·-" 3 a;l i 10' ii) f •¡_;·, 1, Ila¡ .a¡¡,-,"'·-~ ,2 + -:-j L l 1 [b b . 1... r .. 1 ... . n¡,; _L, _,_ -o-,-:~-r- -:·¡ l l.J Se tiene [a¡,aiJ+[b¡.biJ=f-I- ~ ,-t + ~] . L l l + :¡ lfV
- 165. J!X NUMI ROSRL1 LS Y de acuerdo con 11 b) el producto es [a¡ ,a¡]. [b¡, bl]= [ajb¡ ,a¡b:J = ='-6--~L 1 1 1 3 2 ll-- :2 , - 6 + -:- + -:- - -:1" l . l 1 l .J ;;;;; [- 6 - ~ - -1- '-6 + ~ - +]1 1 l 1 pues a;>O ' b;<o íii) Si las aproximaciones por defecto de ambos encajes son negativas. la multiplicación se reduce al caso 11 a) de la siguiente manera Así [a¡. L = 2 L = 6- 1.. .b;J=[-ai.-·a,}.[ bi.-b¡] Ilí 1 1~ . -2+ -:-¡.; 3- .-3-1---:-¡ l l.JL [J +.~ + +J.[3- +.3 + +J l +¡: 5 I -: ,6 + ¡.+ ¡2 _; Sí a partir de cieno índice las aproximaciones por defecto son positivas. el problema se reduce a los casos anteriores considerando .a;]. [b¡ .bi] = [ai .ajJ.[bi .bj] siendo.parai<j,a;<O "a¡>O '' bi>O Si los encajes son, por ejemplo [-3,2].[-3+ ~ 3 + ; + 45 . 2l J- 3 + ; + 45 + 85 . 1l .- J L - _. y ~ · I l l . l3 - -:- . 3 + -:- ¡ ,es dectr ¡ l - [ - 3 • 1], [- ~ ' 2J.[+'2J., [ ~ '2J'· ... '' [5 7] [8 10] [11 131Yl-- 4 1· 2·2.' 3•'3 '4•4 d producto se realita .1 partir de i = 3 aplicando II a). ·~ OPERACIONES l:N R 319 10.3.2. Compatibilidad La relación de equivalencia definida en 10.2.3. es compatible con la suma y el producto definidos en 10.3.1. Lo demostrarnos para la adición [a;,ai]-[b¡,bjJ =>a¡~bj A b¡~ai} => [c;,c¡]-[d¡,dj] =>c;~dJ 1 d¡~c¡ =>a;+c;~bj+dj A b¡+d¡~a[+ ci=> => [a; + e¡ , a; + ci] - [b¡ + d¡ , bf + dj] => ~ ru¡ ui}"i [t.'¡.,<-i] ---[b¡,bj]+ldi,ujl 10.3.3. Operaciones en R Por ser la relacíón de equivalencia 10.2.3. compatible con la adición y la multiplicación en A, de acuerdo con el teÓrema fundamental de compatibilidad, existen en el .conjunto cociente R sendas leyes de composición interna, llamadas suma y producto de reales, únicas, tales que la aplicación canónica f: A-+ R, es un homomorfismo. Esto nos dice que para operar con dos reales se considera un encaje en cada clase de equivalencia, y se opera con éstos en A. Luego se detennina la clase correspondiente al encaje obtenido. La adición en A es asociativa y conmutativa. Estas propiedades se trasfieren a los reales con la suma. Neutro para la adición es O= K r 1 ll pues 'V a= K¡a ·,o'l se verifica L-T·TJ '' a:+O==O+a:;:;;Kia·a:¡+K¡ 1 ¡1= ,. l L- r . i:l . (r 1 1 ,) =f([a¡,a¡])+f L- T. T J = = t6a¡.a;J +[- f .f]) = t([a;- f .a;+ +]) =f ([a;. ~;]) =K¡a;,a;¡ =a: r 1 • 1 1 . pues La¡- T ,a¡+ T J -[a;, a¡] Inverso aditivo u opuesto de a:= K¡a¡,aiJ es -a= K¡-a¡,-a;l En efecto a:+ (-a:)=(- a:)+ a= K¡a¡,aj] + K¡-aj, -a¡]= =f ([a;,ai)) +f ([- ai, a¡]) =f ([a;- a¡, a;- a¡])= ([ 1 IT" =! :-¡·TJ)=o En consecuen_cia (R, +)es grupo abeliano. 1'
- 166. 310 NUMEROS lü.ALES Porotra parte, el producto en A es asociativo y conmutativo. Estas propiedades son válidas en R. Neutro para el producto es 1 = K¡a,,a[l tal que a¡ ::1> 1 A aí <t: 1 Así 1=K~_ f•t+f] y se tiene (L 1 = i . p= K¡b¡,bil. K~_ J. 1+ ;_ 1 1= Klb¡,biJ = f3 l.' ¡ ' Todo real no nulo admite inverso multiplicativo. En efecto. dado a:-.=: Ktai~ail >O 'on ai )'""O entmh:es cr -t ""K i_L Lj. Lai , a¡ es el recíproco de a. pues o:.o:-1 =o:-1 .o:=Kra; ail= 1 l(i? • ¡¡:-JI ,~ "": 1 1 Luego (R- ~ Oi • . ) es un grupo abelíano. '· ) Análogamente se prueba la distributividad de la multiplicación respecto de la adición en R, lo que confiere a la terna (R , + , .) estructura de cuerpo. Ejemplo 104, Si entonces Sea o:= K[a¡,ail <O -1 K a = [_!_. _ _!,..l L a¡' a¡ J {a¡,aJ=[-2-~ ,-2+~] = [-:z~·-¡ -2i+l] ¡ 1 l • i Se tiene 0:"' =K >O y =K¡ 1 ' j ~ a:-1 =Kr -i -i 1 L2t=1 · 2i+ 1] El encaje asociado a esta clase es ¡_ . 1 ] r -2 - 2 1 [ - 3 L 1 - 3 'L-3 '-s-J ' --s En este caso o:=-2 y 1 Q(-1=-z..· -3 l 7 j CORTADURAS EN Q 311 10.4. ISOMORFISMO DE UNA PARTE DE R EN Q Sea RQ el conjunto de los números reales definidos por clases de equivalencia asociadas a encajes de intervalos con intersección no vacía en Q. La función f:RQ-Q que asigna a cada elemento de RQ el número racional correspondiente es un morfísmo biyectivo respecto de la adición y multiplicación, y en consecuencia es un isomorfismo que permite identificar algebraicamente a los conjuntos RQ y Q. 10.5. CUERPO ORDENADO Y COMPLETO DE LOS NUMEROS REALES En R se define la relación .,;;; mediante a.;;;;¡3 ~ 3-y;;;;.,Of/3=o:+'Y Esta deiinición caracteriza un orden amplio y total en R. coopatible con la adición y multiplicación, es decir i) o:.;;;;¡3 = a+-y.;;;;f3+1 ii) o:.,;;;{J ! 1;;;;.o =o:-y~í37 La relación< se define de la siguiente manera a<ti <o> o: .,;;;{3 " o: i=/3 En R se verifica la propiedad de Arquímedes O<o:<¡j=3neN {3~na Por otra parte, R es completo en el sentido de que todo encaje de intervalos reales define un único número real, y en consecuencia, todo subconjunto no vacío de números reales, acotado superiormente, tiene extremo superior. Las condiciones anteriores conducen a la siguiente proposición: el cuerpo (R.+ ..) es ordenado. arquimsdiano y completo, 10.6. CORTADC!US E~ Q 10.6.1. Concepto Introducimos ahora un método alternativo para definir el número real a partir de Q, basado en las cortaduras de Dedekind. Definición El subconjunto A C Q es una cortadura en Qsi y sólo si verifica i) A-::J:cp " A:;éQ
- 167. ~ ::.: l':l'.lLROSREALES ii ) x e A r, y <x ..= y e A íii) X € A "* 3 Y le A / X <y La condición i ) significa que una cortadura en Q es una parte propia y no vacía de Q. Ln iii) queda especificado que A carece de máximo. Es claro que toda cortadura en Q caracteriza una partición de Q que denotamos mediante (A, Ae}. Los elementos de Ae son cotas superiores de A Eh"nplo 10-5. :...·Js siguientes subconjuntos de Qson cortaduras i :il A= xeQ x<3 c:1 .::ste .::aso -J- e Ae t>s el extremo superior de A, es decir. el primer elemento del .> .~c::Junro de las cotas superiores de A. ") ~= o-ufo' ufxeQ" í x 2 <"'>'""- • ' .. .,1 l"" . -) ,_as condiciones i ) y ii) se satisfacen obviamente. Comprobamos que A carece de :rL.,;mo utilizando la función de Dedekind l) ii) ;v- x f · Q-+ Q definida por f (x) = y = --::-~---=- .. x (x 2 +6) 3x 2 + 2 4x- 2x3 3x2 + 2 x= x3 + 6 x- 3 x 3 - 2 x 3x· +::! 2xC~-x2 ) Jx• + 2 2 ( 2 2 V 2 _ J = ..!___!___ + 6) _., = ~ - (3x 2 + 2i - x= (x4 +36+ 12x2 )-2(9x4 +4+ l2x2 ) (3x 2 +2i = x 6 - 6x4 + 12x2 -8 (x 2 - 2} 3 (3 x 2 + 2)2 (3 x2 + 2) 2 iii) A ño tiene máximo. En efecto, sea x>O '' xeA=>x 2 <2=>x 2 -2<0 Si~ndo x >O. de acuerdo con i ) yii) se tiene que y - X> Q A y 2 -- 2 < Ü CORTADURAS EN Q 323 Es decir 3yeA/y>x En consecuencia, A carece de máximo. De modo análogo se prueba que B no tiene mínimo. 10.6.2. Propiedad. Si A es una cortadura en Q, entonces todo elemento de A es menor que todo elemento de Ae. xeA 1 yeAc =?X<y En efecto, si fuera y .;;;;,x, como x € A, entonces por la condición ii ) de la definición resultaría y € A, lo que es contradictorio con la hipótesis. Ejemplo 10·6. Todo racional a determina una cortadura en Q, definida por A={xeQ 1 x<a} El número a se llama frontera racional de la cortadura y se identifica con el mínimo de A". En el caso b) del ejemplo 1()..5, no existe frontera racional. 10.6.3. El número real En el conjunto de todas las cortaduras en Q se define la siguiente relación de equivalencia A -B <'>A= B Las clases de equivalencia se llaman números reales. y por ser unitarias se las identifica con la correspondiente cortadura. es decir KA =A Suele utilizarse la notación KA =a. En este sentido podemos decir que número real es toda cortadura en Q. Si la cortadura tiene frontera racional queda definido un real racional, y en caso contrario el real se llama irracional. La cortadura b) del ejemplo 10-5 define al número irracional ..j2. • Los conjuntos de los números reales racionales y de los reales irracionales son, respectivamente / RQ = ~A; / A¡ es cortadura A Af tiene mínimo j ( ' A1 carece de mínimo}R =) A¡ 1 A¡ es cortadura .A I '
- 168. ,;;;:.~-...~ 32-1" NUMÍéROS REALES lacortadura definida por el número racional .O es el número real O o={x e Q 1x < o} 10.6.4. Re!aci6n de orden en R Sean A y B las cortaduras correspondientes a los números reales a: y ¡3. lJefinición ~<8*"A..::-H AT"B Definición El número real a: es positivo si y sólo si O<a: Se verifica que la definición anterior determina un orden estricto y total en R. 10.6.5. Adición en R Sean A y B las cortaduras. que definen a los números reales a y~- El conjunto C={a+b es una cortadura en Q. En efecto ) Por definición, es C-:/= cp ae A 11 ' beBI) Ademas, como existenx eAe :, y € Be, por 10.6.2. se tiene a<x A b<y =a+b<x+y =>X+ytC =>x-r.veC" Luego ce -::F <P y en consecuencia C -:/= Q ii) Sean X € e , y <X • Entonces X = a + b 1 a € A 1 b € B . ( onsideremo!> ;;; e Q "' : + b. Como y < x se tiene .:.. !: <2 + !> = ;"<a ,.. z fA V resulta Fe e üi) X € e ""'X ::::; a +b tales que a € A 1 b € B. Por ser A una ..:ortaJura, <!XlSte z E A tal que :: >a, y en consecuencia existe y == z + b en C. tal que y >x. El número real 'Y correspondiente a la cortadura C se llama suma de a y ~. y puede es..::ribirse a+J3=(a+b 1aeA A b€B} La definición propuesta caracteriza una ley de composición interna en R, asociativa, con neutro igual a O, .con inverso aditivo para todo elemento de R, y conmutativa. O sea (R.+ .)es grupo abeliano. ORDEN EN R 325 La cortadura correspondiente al opuesto de o: es B=--A={x e Q 1 - x es cota superior no mínima de A} 10.6.6. Multiplicación en R Dados los números reales no negativos a y /3, definidos por las cortaduras A y B, respecth·amente, consideramos el conjunto ( ~ C~R-u~ab f aEA >- beBA a~O t b;;;,O~ Procedíendo como en l0.6.5. se prueba que C es una ..:ortadura en Q y e: nümer::; real que se obtiene se llama producto de a y íl Esta definkión se completa de la siguiente manera a~=~- -lallí31 si(a>O fl 13<?) v (11:<0 '' ~>O 1. !al iill si a< O A 13<0 Se demuestra que esta ley de composídón interna en R es tal que (R- {O} , .) es grupo abeliano. y además, distributiva respecto de la adición. es decir, (R.+,.) es un cuerpo. Por otra parte, la relación de orden definida en 10.6.4. es compatible con la adición y multiplicación en R. Es de advertir que la operatoria con números reales sobre la base de cortaduras es inadmisible; en este sentido se recurre al método de los intervalos o de los pares de sucesiones monótonas contiguas. La ventaja de las cortaduras es esencialmente teórica. 10.6.7. El cuerpo ordenado de los números reales El orden definido en 10.6.4. es compatible con la adición y multiplicación en R. pues verifica i) a<{j =;>ctt'Y<P+-r ii} cv:. ;,"!(<~ Demu::.tran¡o:. l.; Si fuera O<'l' -ar<~"'f teni~ndc< eP :~u~ntl !ple a<í3 => cr+-,~¡3-t·-y cr+-y=J3+r Por ley can~elativa en (R , +), resultaría a =í3 , contra la hipótesis. Luego a+r<il+r
- 169. ,';16 Nlil11 ROSREALLS 1().6.8. Densidad de Q en R El conjunto Q es denso en R, pues entre dos reales distintos existe un racional, es decir a<{1 """3reQ 1 a<r<{J Por definición 10.6.4. ---~~---! a<P "*A e B A Aif" B "* =3beQ/bEB" br!A a --~ b r í3 Q R-------...------- _______________ s____________~~ Sea r > b t. r € B. Considerando la cortadura R asociada a r. como Por otra parte De ( 1) y (2) resulta 10.7.l. Concepto re B l ne R =Re B ~' R #: B "* =r<¡3 (!) beR -"· bf/A =>AC R -" A=I=R => = a<r C) 3 rEQ 1 a<r<{J 10.7. COMPLETITUD DE R ~os proponemos demostrar que R es completo;·to que equivale a afirmar que todo sub...:onjunto no vacío y acotado de R tiene extremo superior en R. Esta propiedad no es válida en Q, pues el subconjunto no vacío A=(xE(f 1 x~<2(CQ. ...:arece de extremo superior en Q. COMPLETITUD DE R 32i 10.7.2. Teorema de Dedekind. Si {A , B} es una partición de R que verifica a eA A {jeB """a<{J entonces existe y es único el número real 'Y que satisface !X~'Y~~ VaeA V~eB A B R "( a) Existencia. Sea e= A n Q =<x e Q C es una cortadura en Q. En efecto ~ xe.4> i ) Por ser { A , B } una partición de R, es Aif=if;=>-3xeA jxeQ:o-AnQ=I=if;=> =>C=I=cf>. Además. si {3 e B •, x t B, entonces x t A cualquiera que sea a e A, pues a< ¡3. Luego x t C. ycomo x e Q, resulta e*Q. ii) xee t. y<x = 3aeA 1 xeA = => 3o:eA / yeA =yeC iii) x€C = 3aeA 1 xeA => ==> 3yEA l x<y =>yEC Resulta, de acuerdo con 10.6.1., que Ces una cortadura en Q, y en consecuencia queda probada la existencia del número real "f· b) a.;;;;'Y.;;;;/3 'Va EA V~EB Es obvio que o::;;;:; 7.•Por otra parte, si existiera {1 e B tal que {3 <-y, entonces existiría X E Q tal que X € e 1 X E B. Ahora bien xee ~ 3aEA 1 xeA y en consecuencia i3 <o:, contra la hipótesis. e) Unicidad. Supongamos que 7 y 7'· satisfacen las condiciones del teorema, siendo 'Y< 7'. Como entre dos reales distintos existe otro 'Y", se tiene ...,<'Y" => 'Y" eB 1 ' '=>Ar1B=I=' 7" < 'Y' => 7" eA f ~ Jo que es contradktorio con la definición de partición.
- 170. l"IJr,![:J{(l~; REALES Una consecuenciainmediata del teorema es que A tiene máximo, o bien B tiene mínimo, pues 'Y E R =* 'Y é A v 'Y E B => 7 es el máximo de A, o 7 es el mínimo de B. Ambas situaciones no pueden presentarse, pues A n B = 9 l 0.7.3. Teorema. Todo subconjunto no vacío de R acotado superiormente tiene extremo supericr. Dadu rJ> "* X : R defini1nos .4=;J'€R y<x xEX y sea ...te =B. Se tiene. entonces. que ningún elemento de .4 es cota superior de X. y, en cambio. todos los elementos de B son cotas superiores de X. El teorema se reduce a probar que B tiene mínimo. Obsetvamos primero que A y B satisfacen las hipótesis del teorema de Dedekind :11 =E R => : E A : E B b) A n B =<t d X*cfJ =>3 xeX Luego y<x =yeA =A*cf> Por otra parte, como Xestá acotado superiormente, 3yeR/xeX=*x~y =*YEB ,.;¡.B:fr.(/> Estas tres C<Jndiciones establecen que {A ,B}es una partición de R. d) Sea ahora a E A. Entonces ~xeX tJ:<t':,x S1 ¡3 eB. erHon::es ..: <;lEn consecuencm_ a< {:J. n sea a eA •· {3eB = a:<{J Por el teorema mencionado existe un único número real que es el máximo de A. o bten el mínimo de B. Se trata de probar que vale esta·última situación. En efecto, sea ·a e .4: entonces existe x € X tal que a< x. Ahora bien a:< a:'< X => a:' eA y en consecuencia A no·tiene má;ximo. Luego B tiene mínimoy es el extremo superior de X. POTI:NCIACION Y RADICACION l·.N R 329 10.8. POTENCIACION EN R 10.8.1. Potenciación con exponentes enteros Definición i ) el = 1 si a € R 1 a :fr O ií ) a:' == a 1 a E R iii) cr•·l ""o.-" '0.0 si nEN ! n~l r' l ' ll iv) u-n= ( · ) si a:;t:O A nt:Na: . 10.8.2. Radicación de índice r.atural Teorema. Dados a e R"' y n € N, existe un único número real positivo~ que verifica ~n =a. Demostración) Es suficiente probar el teorema en el caso en que a< l. Sí « > l, entonces existe k e Z • tal que k >a, por la propiedad de Arquímedes. Ahora bien k>a =k">a => ~ <1kn a Sea - =a' ( 1). Como a'< 1, si ¡r es tal que pm =a', entonces parafj =k 13' se kn tiene (3" =kn (f" =k" a' Por (1) a= k" a' De (2) y (3) resulta (j" =a Basta considerar pues la situación para a< l. Sea S = {X E R x" ~ a} (2) (3) C0aHJ S est:i :J.c:lt~JD supertc:rmerte por J admHe ~upremo Sea é!<te: 8 Probaremos que t' "'a:. Comideremos:: f R tal que !al< l, y sea " /n"($3 +a)" = ~ ¡ .) (3" --; ai = 1-0 .z. .. = il" + f (~J (3n-i a¡= i= l l =Pn +a i (~)f3n-ii-1 . í=! l / ~,-....~-·~~......t···'"
- 171. i'lMHlOS Rl:/UXS l ntonccs ({3+a)"- W' =a ~ (~)13"-i ai-1 •=1 l Tomando módulos l(i3 +a)" ·- 13"1 =!al . ¡i; c~z)f3" -í ai-t¡ i= 1 l P·Jr módulo de la suma 'y del producto se tiene 1( ¡3 +a 1" - ¡3" i "' 1a1 la¡•-• 'r .:omo ¡a,< 1. resulta +a)" ·- ¡3" l < lal f ( ~ J¡3"_,i= 1 , l .J Ha.:lendo f ( n.J¡3" -• = b nos queda i= 1 1 ¿' kB +al" - {3" 1 <b 1al 5~ fuera ¡3" <a. definiendo a=-~-- ¡3" b P10 a < 1 y b > !. resulta O < a < l. F.n!0nces 0: ¡3" 0<({3+a)''-(3"<b·- - =o:-¡j" = b =((3 + a)" -(3" <a- (3" = =({3+u')"<o: =í3+a€S b. dec1r. a S pertenece el número real ¡3 +a. que es mayor que el supremo~- lo que e· .~~urdo. ' 0.: modo que no es posible que 13" <0: n.i!ogamt:nte se deduce la imposibilidad de que (3" >o: 1{ •iih.t c'n!onces ¡3" =0: RAD!CACION LN R 3.1 Ahora bien, {3 es único, pues si existiera W=F /3 en R +, tal que ¡r" =o, se presentarían dos alternativas i ) O<{3' <{3 "* 0: = !)'" < {311 :: 0: => =o:<o: ii } O< J3 <{3' => O: = 1)11 < {3"' = 0: = =o:<o: lo que es absurdo. luego, {3 es el único número real positivo que verifica (3" = 0: Definición {3 ..:s la raiz n-sima antmetíca exact:I de a e R" la notación es 1 í3 = ~la-= oñ- Se presentan los siguiemes casos: a) Si a :>O y 11 es par. entonces existen dos raíces n-simas en R. Pi = va . 13" =- v;; b ¡Si a:< O y n es par. no existe ~/Q e) Si a< O y 11 es impar. entonces ¡3 = - y=:-a es tal que 13 <O ' ¡jn = o: 10.8.3. Propiedades de la radicación con índice natural Sean '-~=va'W En efe.:to aeR• '· t3eR• ya= X '· V'if=y por 10.8.2. l.} o: = xn , í3 = yn lj. o: ¡3 = (x y)n lj. ya ¡3 =x y lJ ~=%vrr
- 172. >32 ?~UMI·.ROS REALES !l.,Q : {3 = 'Y ~ zy'C.;Jj = ::;e; : w a=P='Y 'Y-f3=a: ~Vii=Vci v:Y=vrci= w "' '? _#-· , P=va:' 1!1. y!va= myQ' lV. V?'= "W'P si pe N Las demostraciones de estas dos propiedades se proponen como ejercicios. 10.8.4. Potenciación con exponente racional Definición !!! rrcm . m Q+ R"et." = yCI. SI - € y Cl. € . n m )fet. < o. entonces existe anpara n impar. Definición m m r 1 -. n 1 et. -n =1 - ) = rrr.:m ', et. _; va . si a: ;é: O y !!!, € Q'n . '";a:a n vale ia re~tncción, n Impar Ejemplo i 0-7. Demostrar la regla del producto de potencias de igual base. m P rl' .et.q= W.W= = nW'f "'{/o!'"= "Vamq+pn = -~ !!!+~ =a nq =et." q ~. LOGARlTMACION EN R+ 10.8.5. Potenciación con exponente real Sean a >O y {3 € R, i)o:>l (3 está definido por el encaje de intervalos cerrados racionales {b¡, bil Se tiene b1 ,;¡;;_ bl .,;;, b3 ~ ... ~ b3 ~ bi ~ b i Cnmo ('/ > i resulo e/'= .;;;; a.IJ, < ¡¡· < ... <;a>~ "' Además. v t. >O. 3n0 tal que b' b b b' bn >111) => 0: ,, -a: n =a: n (o: n- n ·- n<E: En consecuenda [a:bi '(l(blJ es un encaje de intervalos cerrados en R que define al único número real w. ii ) Para a < l. el encaje [ilbi. Qb¡l =o! 10.9. LOGARITMACION EN R+ 10.9J . Concepto [.trnh..~s ae R.... b é R- ~··i b .:P.. ¡. ~~~i~l~ ~n ~ni~v nürn;;rv r~Jt x ta~ ~u~ -~¡'~ni1~4 b"' =a x se llama. logaritmo de a en base b. Definidón , log0 a =x ~ bx =a 10.9.2. Propiedades. Sean m E R +, n € R +, b € R +y b =1= 1. L Logaritmo del producto. 333
- 173. 334 NCMUU(.; RLALES Sean log¡,m = x 11 log¡, n =;; ~ bx::::: Jn A bY:::: fl ~ bx+y =m n ~ log11 (m n) = x +y JJ, lAn ( •-n n - lnn J<'U .J.. i.f"n n ~·-..-C:fJ ••• •• 1 -~· a..._,éb ••6 ' i.-vif:b ·~ tL Logaritmo del .:odente. log11 1m · n} = Iogb m - Iogb 11 lH. Logaritmo de una potencia. log11 mcx = o: Iogb m lV. Invarianza log m =x a* O = iog . m" = xb iJCX 10.9.3. Cambio de base Si b = lO. los logaritmos se llaman decimales y la notación es !og10 m =log m Sí la base es b =e= 2.718281 .... los logaritmos se llaman naturales y se denotan por loge m = In m = lg m Dado el In a. nos interesa obtener Iogb a. Sea 1ogb a = x ~ b·"" =:. a =:. . l ~ x In b = In a =x = blb .In a = 1 =Iogb a = 1ñ7J .In a En el caso b = 1O. se tiene 1 ~ =o. 434294... rt'Scdta log a = 0.434294... ln a NO NCMFRABILIDAD DE R 335 10.10. POTENCIA DEL CONJUNTO R Nos proponemos demostrar lo que hemos anticipado en 9.19: el conjunto de los números reales es no numerable. El número cardinal correspondiente a R se llama potencia del continuo y se denota por c. 10.10.1. Teorema. El intervalo cerrado [O, 1] es no numerable. Suponemos que [O , 1] es numerable. Esto significa que N - [O , 1}, y en consecuencia. por definición de coordinabilidad, existe f · N __. [O 1] tal aue f es biyectiva. Por ser J sobreyectiva,la imagen de N se identifica con [O. l J. es decir [0, l]=J!J),/C).fl3). ... Sea [O . 1} = F ~1ediante los puntos de abscisas !¡3 y .::!/3 subdividimos a U en tres subintervalos de igual amplitud 4r---U1 f(l) ¡ o Il3 2i3 Ahora b1en: 1 { l) pertenP.ce a lo sumo a dos de los tres subintervalos. En este .::aso. sele..:cionamos aquel subintervalo al cual no pertenece l (1 ). Pero si pertenece a uno ><Jlo. elegimos. entre los dos a los que no pertenece. al de la izquierda. Queda así caracterilado U1 tal que ·" f(l)f U¡ Subdividimos a éste en tres partes iguales, y con el mismo procedimiento seleccionamos U1 tal qv.e f(2) tt u. Análogamente, paraf(3) queda definido U3 de modo que f(3) tul ~u2- o 1 f ("2) 1/3 2/3 Se tiene así una sucesión de intervalos U1 , U2 , U3 , ..• que verifica i ) U1 :> U2 ::> U3 ::> . . . tales que V n :f (n) (/. Un
- 174. .16 NUMEROS REALES ii)Como la amplitud de Un es ;n ,se tiene que la sucesión de las amplitudes es convergente a O. En consecuencia, se trata de un encaje de intervalos cerrados en R, que como abemos define aun único número real x 0 eU, siendo [x~=nu. ' o 1 ieN 1 ' - Como jes biyectiva, dad.o x 0 e U, existe n0 eN tal que f {llo} =X0 € para todo n e N Pew por la elección de los L'n.l (110) = x0 t. L'n •. proposic1ón qu~ <:~ ~;ontra..ih:toriJ con la anterior. Luego. lO . lj es no numerable. 10.10.2. Teorema. Si a < b. emonces [a . b] <!S coordinable a [O , l J. Basta definír f: [O, l] ~ [a, b] f(x)=a+x(b-a) mediante Es inmediato que fresulta biyectiva, y en consecuencia [a , b]- [O, l ]. 10.10.3. Potencia de R Por definición, el conjunto A tiene potencia e si y sólo si A es coordinable a [O , 1]. Se proponen como ejercicios. las demostraciones de las siguientes propiedades: i) Si a <b. entonces (a. b)- [O, 1] ii ) La unión disjunta de un número finito de conjuntos de potencia e tiene potencia e t-' Lo, l =-t., =>- ~- A~,_ iO ij •-1 iii) Toda 11nión numerable de .;onjuntos disjuntos de potencia e tiene potencia e, c(A¡)=c~!: A;-[0,1} ieN En el ejemplo 4-20 hemos demostrado que la función f: R-+(- 1 , 1) definida por X f(x); l+ixl es biyectiva. ( 1; ¡, • ' ~ 1 ¡ 1¡} 1 l! ¡ ¡ ! ~J ·~ POTENCIA DE R 3:.7 Luego R- (- 1 , 1) Por i ) (-1 ,1)---[0,1] Por transitividad resulta R -[O , 1Jy en consecuencia e (R) = e ([O , l j) ...: e
- 175. TRABAJO PRACTICO X !IJ-801'mn~tnr qne si la ecuación con coeficientes enteros n-l x" +k a¡x; =O i=O tiene raíces racionales, entonces dichas raíces son enteras. 10·9. Utilizando el .;ontrarrecíproco del teorema anterior. demostrar i ) ~no es racional ü ) La razón entre la diagonal de un cubo y su arista no es racwnal. JO-JO. Demostrar que toda raíz entera de la ecuación del ejercicio 10-8 divide al término independiente. 10-11. Demostrar que la ecuación 3 x3 - x = 1 carece de raíces en Q. 10-12. Demostrar que ,.,[2 + VS es irracional. r 11 r 1 11 10-13. Verificar que ! 3 , 3 + -:-Ji y 1 3 - -. , 3 + -. 1 son encajes de L t L 10' lO' J intervalos cerrados racionales equivalentes. 10·14. Determinar las tres primeras aproximaciones por defecto y por exceso de los encajes que defmen a .Jiy ..,f5, y efectuar Vf+.JT, v'T- .J5'v'2 ..[5 y .Ji: .j5 10-15. Obtener las cortad~ras en Qque defmen a .J3y a v'5. 10-16. Obtener los subconjl!ntos de R que satisfacen a i ) !x + 21..;; 2 iü) x2 < 5 v )x3 <x ii)lx_+21>1 .iv)x2 ;,.S vi)(x+2)(x-I)(x-2)x<O Determinar en cada caso la existencia de cotas y de extremos. _ 10-17. Comparar los números V2+..;3 y ..;5, y si s<?n distintos detenninar el menor. ( l ' . 10-18. Sea X ::::: tX = n 1n E N). Verificar que X está· acotado y determinar. si existen, el supremo y el ínfimo en Q. i !! j?!-'' TRABAJO PRACI ICO X 10-19. Estudiar la acotación y la existencia de extremos de los conjuntos i ) A == { x E R + / x2 <2} ii ) B = { x E R / x2 >2} üi) e ={xeR+ / x2 >2) 339 1().20. Sean A y B dos subconjuntos acotados de R tales que a= sup A y b = sup B. Demostrar que el supremo de e= ,x +y / x e A ._ .v e s.. es a+ b. 10-21. Determinar los extremas de A = 'x e R ! 3 x2 - 2 x - 1< O 10-22. Sea A e R y acotado. Demostrar a = Sup S '· t > O => 3 x € A 1 a - € <x ..;; a 10-23. Demostrar las propiedades lii y IV que figuran en 10.8.3. 10-24. Demostrar las propiedades i ), ii) y iii) enunciadas en 10.10.3. 10-25. i ) Efectuar ~--------------------,! ..,, ' r ' _.- ", ¡"' "' J 1_ ...(2'+../3 + v's) (~s:- .J3-vis) (_v'3- .Ji-.JS) (_v'l + ..[3 -45) ii) Comparar 10·26. i ) Calcular l log2 5 y logy, 5 ...,/../2+2~ -W ii ) Determinar los redprocos de v'3- v'2 ; 1 +..¡s -- v'2 10-27. Resolver las ecuaciones en R i') log .-x+log3 ._(2x)·-2log2x=l ..,¡2 ..,¡2 ü) 10-28. Resolver en R -1 1" l)3x 4x- 1 =1--dl 4y + l - 3 . 4Y - 1 = Ü 10·29. Dete~minar x e R + sabiendo que xrx- (-../X)"' =o
- 176. 340 10-30. Resolver elsistema NUMEROS REALES 4 ( Iogx y +log:v x = -:f lx.y= 16 ¡ 11 1 1 ~. Capítulo 11 EL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEjOS 11.1 INTRODUCCION Presentamos en esta unidad la teoría y la ejercitación básicas relativas al estudio de los números complejos. La generación del conjunto C y de !as operaciones en él es la habitual: una relación de equivalencia en R2 que presenta la ventaja de caracterizar clases unitarias y la consiguiente identificación con C. Se definen las operaciones de adición y de multiplicación, se destaca el isomorfismo de una parte de C en R, y además de la forma binómica se introducen las formas trigonométrica y exponencial. Queda resuelto el problema de la radicación y de la logarítmación, no siempre posibles en R. Se introduce, además, el concepto de raíces primitivas de la unidad. 11.2. EL NUMERO COMPLEJO 11.2.1. Ecuaciones sin soluciones en R El ejemplo más conspicuo de una ecuación sin raíces reales es ~!=O ya que. cualquiera que sea x € R. se verifica x 2 ;;>.:O. y en consecuencia x 1 + 1 >O De un modo más general, la ecuación ax2 + bx + e = O con coeficientes reales no tiene soluciones en R si el discriminante b2 - 4 ac es negativo. Se hace necesaria la ampliación de R a un conjunto en el cual puedan resolverse situaciones del tipo anterior, de manera que R sea isomorfo a una parte de él. Tal conjunto es el de los números complejos. 1 1!
- 177. 342 EL CUERPODL J.OS NUMEROS CO!>!I'LUOS 11.2.2. Relación de equivalencia en R2 y números complejos En el conjunto R2 , de todos los pares ordenados de números reales, definimos la relación ~ mediante (a,b)~(c,d) ~a=c A b=d Esta relación es la identidad. y obviamente es de equivalencia; se traduce en el siguiente enunciado: "dos pares ordenados de números reales son equivalentes si y sólo si 50 n idénticos". Cada clase de equivalencia es unitaria. y se la identifica con el par ordenado ,:....:1·:;;po~di:::~tc, es d~dr K(a,b) =~(a, b} La identificación que proponemos. en virtud del unitarismo de las clases nos permite escribir ~a,b) =(a, b) Definición Número complejo es todo par ordenado de números reales. El conjunto de los números complejos es C = R2 . Es decir C=Ua,b) í aER A beR} La notación usual para los números complejos es z = (a . b). ' Definición Parte real de un número complejo es su primera componente. Parte imaginaria. su segunda componente. Conviene advertir que las partes real e imaginaria de un complejo son números re;lics. Las notaciones son Re (z) =a A /m (z) = b Introduciendo un sistema cartesiano, los números complejos se corresponden éon los puntos del plano. La abscisa de cada punto es la parte real, y la ordenada es la parte imaginaria. Por otro lado, a cada complejo le está asociado un vector con origen en el ._,rigen del sistema, y cuyo extremo es el punto determinado por el par ordenado ceirrespondiente. 1 i 1( ,, li 1 COMPLEJOS REALES l lMAGI'iARIOS 343 R z=(a,b) a R Los complejos J.c: pan~t: ini:agjnaria nula, e~ Jc~h, !0s pare~ vrdcn~dc.~ del tip0 (a , O), son puntos del eje de abscisas. Los .:omplejos de parte real nula .:aracterizan el eje de ordenadas. · Definición Un complejo es real si y sólo si su parte imaginaria es cero. Un complejo es imaginaría si y sólo si su parte real es cero. Ejemplo 11-1. Determinamos analítica y gráficamente los complejos::= (x. y) que verifican i) Re(z)=2 Resultan todos los pares ordenados para los cuales x = 2, es decir, z = (2 ,_v). La ecuación x = 2 corresponde a la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el punto de abscisa 2. ü) !m (z) ~ 3 La condición anterior se traduce en y ~ 3, y corresponde al semiplano que contiene al origen, cuyo borde es la recta de ecuación y = 3. y • X üi) Re (z) +lm (z) =- 1
- 178. 344 EL CUERPODE LOS NU.MEROS COMPLEJOS Se trata de los complejos :: = (x , y), tales que x +}' = l. Queda definida así la recta del plano que pasa por los puntos (1 , O) y (O , 1). • y 11.2.3. Opemciones en C En C= R2 se definen la adición y multiplicación mediante L (a , b) + (e , d) = (a +e , b +d) 2. (a.b). (c,d)=(ac-bd, ad+bc) Estas leyes de composición interna en C verifican las siguientes propiedades: I) (C, +)es un grupo abeliano. La justificación está dada en los ejemplos 5-2 y 5-5. Complejo nulo es el par (O , 0), y el inverso aditivo de todo complejo z =(a. b) es -z=(-a,-b) H) (e-- {o} ,.) es un grupo abeliano. El símbolo Odenota el complejo nulo (O, 0). Verificamos los axiomas G1 :El producto es ley de composición interna en e, por la definición 2. z e e 1 z' e e => z. z' ee G2 : Asociatividad. :.;- :::'l.::"=ha,b).ja',b'l] .b'')= (ua'-bb' ab'+ba'Ha".b''¡= ~aa';¡~$ T~- hb ~¡;~:f ~-- ;;b ?:iH --- bt(!::~$ '.la"fy't- bb 'b ~,+aba u~ ba'a ~') ::. (.:'. z") =(a, b) [(a', b ') .(a", b ")J=(a, b) (a'a"- b 'b" ,a'b + b 'a··)"" = faa'a"- ab'b"- ba'b"- bb'a" ,aa'b" +ab'a" +ba'a"- bb'b") De (1) y (2) resulta (zz') z" = z (z' z") íll (2) Gj : Elemento neutro es el complejo (1 , 0). En efecto, si z = (x, y) es neutro para el producto, debe satisface.r (a, b). (x ,y)= (x ,y). (a, b) =(a, b) V (a, b) e C 1 'l i' • 1 1 ;;¡¡ OPERACIONES EN C Por definición de multiplicación (ax --by, ay+ bx) ==(a, b) Por igualdad de complejos "ax-bv=a {bx+;y=b Resolviendo el sistema ia -b! -a2 +bl =tx~=t. '~ ,D A • ~ a _, .> ='b b = ab ,,_ ab = O Si (a . b) *(0 , O) entonces 6.x X;;::: --¡;;: = 1 t:,y =O/ y=¡;. --¡;: 345 Resulta (x. v) = (1 . O) que satisface G3 para todo (a, b) e C. pue5 en el ..:aso (a, b) =(O, O) se tiene (O, O) . (l . O) ::(O. 1 -O . O, O . O +O. l) = (0 , O) G4 : Todo complejo no nulo admíte inverso multiplicativo. Sea z == (a , b) =1= (O , O). Si existe z-l = (x ,y), debe satisfacer z. z-1 = z-1 • z = (l , O) Es decir {a. b). (x. y)= (x, y). (a, b) = (1 • 0) Efectuando el producto (ax -by, ay+ bx) = (l, O) Por igualdad de núm6ros complejos resulta el sistema Resolviendo el sistema ·ax-by=! -r;~y ""o 10 - b! 2 , 1::. = 1• 1=a + b· *O : D a . 1 1 -b =a b.'x = 1O • a 1 la 11=-b!::.y= b o
- 179. .146 Luego Osea EL CUtRf'O DI-:LOS ~.UMt.ROS cm.IPLJ:H ~~ l::.x a X = ----- = ---2 !::. a2 + b y !::.y y= !i- -1 ( a b ) z = ~2 + b2 ' - a2 + b2 -b a2 +b2 G5 : Conmutatividarj. :. ='=(a. b). (a'. b') = (aa'- bb', ab' +ba') = = (a 'a - b'b , b 'a + ={a', b')(a, b)=:': de acuerdo con la definición de multiplicación en C y la conmutatividad del producto en R. lll) El producto e$ distributivo respecto de la suma. En efecto (:+;'):"=[(a. b)+(a'. b')j(a", b")=(a +a', b +b'}(a", b")= =(aa" +aa"- bb"-b'b". ab" +a'b" + ba" +b'b")= = (aa"- bb'', ab" + ba") +(aa"- b'b". a'b" +b'b") = =(a, b). (a". b") +(a', b')(a", b") = ==·· + ;';" Por adición en C, nultiplicación en C y conmutatividad de la suma en R. En consecuencia, la terna (C • + , .) es un cuerpo. La diferencia esencial que presenta con relación al cuerpo de los números reales consiste en que es no ordenado. En efecto, si fuera ordenado, como i *O, caben dos posibilidades: i>O ó i<O En el primer caso, por la compatibilidad de la relación respecto del producto, se H~ne i2 >O, es decir,- I > O.lo que es absurdo. En el segundo caso es O< i, y en consecuencia,- i <:O, y por la compatibilidad con el producto resulta- P <O, o sea, 1 <O, lo qll:e también es absurdo. Ejemplo 11·2. Sean .: 1 = (-::- 2, 3) z2 =(1, 2) y ZJ =(-3 ,-1). Efectuar(z1 - : 2 ). : 3 (Z¡ -.;:2):3 =[(-:<~ ,3)-(1.2)](-3 ,-1)= = (- 3 .1) (- 3.- 1) = (Q + l , 3- 3) = (10, O) {' ¡ !'OlOIA ll!NOIICA 347 11.3. ISOMORFISMO DE LOS COMPLEJOS REALES EN LOS REALES Sea CR = {(a ,b) .; C / b = OJ el conjunto de los complejos de parte imagimria nula. 'ta función f: CR ~ R, definida por f (a , O) =a. asigna a cada complejo real su primera componente. La aplicación f es obviamente biyectiva. y además un morthrm.l de Ca en R respecto de la adición y multiplicación. En efecto, sean ::=(a ,0) y z' = (a',O); entonces f(:: +::')=![(a, O)+ (a', O)]= [fa+ a' O)= =a+a'=f(a,O)+f(a',O)=f(z) +{(::') Por otra parte f(: z') =2 = = (- 3 +i) (9 + i2 - 6 i) = (-- 3 + i) (9 - } - 6 i) = =(-3+_i)(8-6i)=-24+ 18i+8i-6i2 = = - 24 +26 i + 6 :::; - 18 + 26 i 11.5. LA C:ONJUGACION EN C 1L5.1. Complejos conjugados Sea z =a+ bí. Definición Conjugado de z =a + bies el número complejo z=a- bi. El símbolo zse lee "conjugado de z" o "z cm¡jugado". Si z =- l + 3 i, entonces z= - 1 - 3i. ,' 3 - ( 3 El conJ·ugado de;;= 1 - ·-l 1esz = - 1).2' .1 .2'. 349 Dado z=a+ bi se tiene z=a- bí y ~=a+ bi = z, es decir, que el conjugado del conjugado de un número complejo es igual a éste. Los complejos z y zse llaman conjugados. Definición Dos complejos son conjugados si y sólo si tienen la misma parte real, y sus partes imaginarias son números opuestos. Dos complejos conjugados caracterizan puntos sim~tricos respecto del eje real. 11.5.2. Propiedad. La suma de dos complejos conjugados es igual al duplo de la parte real. El producto'de dos complejos conjugados es un número real no negativo. En efecto, sea z =a +bi. Entonces. z + z=_(a +bi) +(a- br) = 2 ~ =2 Re (z)
- 181. / ~L.~J H CLT.Hl'ODE LOS NUMEROS CO:-.!I'LEJOS Por otra parte z. z= (a + bi) . (a- bz) =a2 - (bi) 2 =u2 +b 2 Como a y b son números reales, resulta z.zeR A z.z;;;.O l 1.5.3. Propiedad. Un número complejo es real si y sólo si es igual a su conjugado. zeR <;»;=z i y :-FR ~:=a+Oi =>:=a A z=a =z=z íi ) :: = ; => a + b1 =a - bi => bi =- bi => 2 bi = O ~ b = O Entonces :: = a. o lo t¡ue es lo mismo. : € R 11.5.4. Automortismo en e La función f ·e -+C definida por f(:} = zes un amomorfismo en C. En efecto ) fes inyectiva. Sean z y z' en C. tales que f (z) = f (:: ') ft=} :=f (;:.) => : = z' => a - bi =a.- b 'i y por igualdad de complejos resulta a = a· . b = b ·. o sea _ - ii ) fes sobreyectíva. Para todo w =a + bi E C. existe z = a - bi, tal que f(;) = f(a- bi) =a+ bi = w iíi) f es ur. morfismo respecto de la adición. pues f'(; + z.) =z-:¡:-:-;= -(a+ bi) +(a'+ b'i) =(a+ a' f+-(b+-o') i- =(a +a')-(b + b') i =(a- bi) +(a'- b'i) = =z+Z'=f(z) +f(z') Por definición de t y suma en C . iv) les un morfismo respecto de la multiplicación. ya que f(::z ')='?=(a+ bi) (a'+ b'i) = = (aa'- bb') +(ab' + ba') i- (aa'- bb')- (ab' +ba') i = =(a- bi}(a'- b'i) = zZ.=f(z)/(z') Las propiedades iii) y iv) se traducen en el siguiente enunciado: "el conjugado de la suma es igual a la suma de los conjugados, y el conjugado del producto es igúal al producto de los conjugados". z +zt==+z' z=-= z z' l' j MODULO FN C.: Ejemplo 114. Determinar los complejos z = x +yi que satisfacen ) z =-z En la forma binómica se tiene X +yi = - (X - yi) =~' X +yi = -X +yi => X = -X => X = 0 351 Los complejos que verifican la condición dada son de la forma z = yi, es decir, imaginarios puros, y corresponden al eje de ordenadas. ii)z."i=l Esta condición se traduce en Luego. x 2 + y 2 gen. (x +yi) . (x - yi) = 1 l. y corresponde a la circunferencia de radio 1 con centro en el ori· 11.6. MODULO DE UN COMPLEJO 11.6.1. Sea z =a + bi. DefiniCión Módulo de un complejo es la raíz cuadrada no negativa de la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria. La notación es i z! =v'a2 + b2 • El módulo de un complejo es la distancia del punto correspondiente, al origen. z =a+ bi Siz = -3 + 4 i,entonces 1z 1=vf-3i +42 =..JiS=S. 11.6.2. Propiedades del módulo 1) Elmódulo de todo complejo es mayor o igual que su parte real Sea z =a + bi. Entonces la! 2 = a2 => lal2 ,¡;;;a2 + b2 => lal2 E; lzl2 => !al E; lzl
- 182. 352 J·:L CUERPODF LOS NUME.ROS COMPLI·JOS Como a e R ~ a .;;;; lal, de esta relación y de lal < l:d rcsufra lzl ;;;;;. a, es decir, Re(z).;;;;lzi. Análogamente lm (z).;;;; 1z 1 !I) El producto de cualquier complejo por su conjugado es igual al cuadrado del módulo. Tesis) z. z= 1z 1 2 Demostración) Efectuando el productp y aplicando la definición de módulo, resulta ::. z"" (a+ b!l . ca- b1) =a;; - cbl )2 = a1 -r b~ = III) El móc:!ulo del producto de dos complejos es igual al producto de los módulos Tests) !z z' 1= i z i 1z' 1 Demostración) A partir del cuadrado del primer miembro aplicamos U, conjugado del producto. conmutatividad y asociatividad del producto en e yla propiedad 11 lz:' 12 = z:'z: ~ = zz Z? =:'"i: J¡;= =!z!z !z'!z Resulta lzz'!2 =(lzllz'li Y como las bases son no negativas, se tiene izz'i =lz! iz'l lt) El módulo de la suma de dos complejos es menor o íguai que la suma de los módulos. Tesis) ¡z+z'l..:;;; Jzl+;z'l .., Demostración) Por cuadrado del módulo. conjugado de la suma, distributividad del producto respecto de la suma en C y poi la propiedad 11 se tiene ¡; t:•¡2 =(.: +.z :.:(z+:~} ~t- 4 ! ~-- ~ ~: +=?+ + = 1.:11 + .:i"+<:.:. + 1.: ~¡:~ zz· =Z? = zz~ Como los términos centrales son complejos conjugados, su suma es el duplo de la parte real, es decir zz' + zz' = 2 Re (z?) Sustituyendo en la igualdad irÍicial tenemos lz + z'l2 =lzl2 + 2 Re(z'?) + lz 'f (l) PROPIEDADES DEL MODULO 353 Ahora bien, teniendo en cuenta que la parte real es menor o igual que el módulo· 2 Re(z?).;;;21zZ'1 Por módulo del producto 2 Re (z?).;;:; 21z11Zl y como !z' 1== 1z'1, es 1 Re (z'?J ~ 2 ¡z¡¡z'! Sumando (1) y {2} !: -+ +2Rd::?¡.:.; + 2Re Despues de cancelar y factorear el segundo miembro lz + z'l2 .¡;; (lzl + lz'l)2 y como las bases son no negativas. resulta lz +z'i,.:;;; IZI +iz'i (2) +t;~j 2 +:; izi ]z~~ V) El módulo de una potencía de exponente natural es igual a la potencia del módulo lz" 1= lz . z . .. zl = lzllzl ... lzl = lz!n ~ -------v-----' n n Ejemplo 11·5. Al dividir dos complejos, siendo el segundo distinto de cero, puede evitarse la determinación del inverso multiplicativo del divisor multiplicando por el conjugado de este, y se obtiene z zw zw W = WW = !WI2 En particular • (~¡ + 21) í 2- 3 i) -2 + 3 i + 4 i- 6 i2 --~·-'· -~~-·------~ ~~~---~~·~-----·--- 2+7il- 4+7 13 + --- l l3 - Ejemplo ll-6. Determinar los complejos z que satisfacen i)iz=l+i 1 +i (1 + l) (-i) . ·'-z-r z=-.- ' i (- i) =-i+l=l-i
- 183. 1 L CUERPODI. LUS NUMEROS Cm!PLIJOS ii ) lz -- 1 + 2 i! ""' 2 Si z = x +yi. entonces IX +yi - 1 + 2 il = 2 "* ==> l(x- l) +(Y + 2) il = 2 => =lo ../(x- 1)2 +-{.Y'+ 2)2 = 2 =lo ==> (x - 1)2 +(y+ 2Y~ = 4 Es la ecuación de la circunferencia de radio 2, con centro ( 1 , - 2). iii) !z- Re (z)1 = [/m (z)]2 z = x +yi => lx +yí- xl =i:! => ==- iyil =y' "*' (#{· = Y 2 =:> ==- IYI = Y2 ==> y 2 :: J' con y ;;.o = :o> y2 -y =o =lo y (J' - 1) = o => ::oy=O v y=l =:oz=x v z=x+i Se obtienen los complejos correspondientes a los puntos de las rectas de ecuaciones y=Ü/J'=l. ==-= +2 z=x +yi =-> z +z=2 = =>2x=2=:ox=l =z=l Es la recta de ecuación x = l v )(a+ bi)z = (az + b2 )i con (a. b)*(O, O) Se tiene z= (a2 + b2 )i a +bi (a2 + b2 ) i (a- bí) (a + bi) (a -be) (az + b 2 ) i (a- b1) =¡(a_ bi) = aí- biz = = a2 + b2 = b +ai 11.7. RAIZ CUADRADA EN C Sea z = a + bi. Por definición, la ·raíz cuadradá de z es un complejo x +yi que satisface (x +yi)2 = a+bi (1) Aplicando módulos i(x +yz)2 1=la+ bzi RADlCACION CliADRATICA Por 11 ,6.2. v) y por definición de módulo lx +yilz == .,¡;;i +b• Por cuadrado del módulo x2 +)'2 :::: ..Ji2+b" Es decir x 2 +y2 =lzl Desarrollando ( l) x2 - y 2 + 2 xyi =a + bi Por igualdad de complejos Sumando y restando (2) y (3) Resulta x:! --y2 =a 2xy =b ( x 2 + v2 = lzl < ~ . , l x· -y" =a 2x2 = izl +a 2y2 = izl-a X=+ /IZI +a -¡-:¡- V=+ 1!z1-a - -"-1---r- 35: (2) (3) (4) Ambos raclicandos son no negativos, pues ¡ z ; ;;;;;; a, y se obtienen cuatro pares de valores reales, de los cuales se seleccionan dos de acuerdo con la condición (4): si b >O, entonces x e y .se eligen con el mismo signo, y si b <O, se eligen con dis1into signo. Ejemplo 11-7. Calcular las raíces cuadradas de los siguientes complejos i )z=-4-3i a =- 4 , b = - 3 , izl =S ~=±N=± } =± v; y=+ ...... /5+4 =+~3- =+ JVf_ -" 2 -..¡::¡:- 2
- 184. 3~!, 1 L CUERPODE LOS NUMEROS COMPLEJOS Como b <O, x ey se eligen con signos distintos, y las solucionés son (:!)_~~ -:-3-12) (_ vi 3vf)2 , 2 ' 2 , 2 Es decir v=4-3i=±(,fi - 3../2.)' ; - l .. - 2 ../ ¡¡) z =- '2 i a =O. b = --- :;'. 1:! = -~ ·-,+o X =:t '-./.::,- ""' ± j =y Como b =- 2 <O, las soluciones son (1 ,-1) y (-1, 1) Luego ..¡::. 1 i = ±'(l - i) iii) z =- 9 a =- 9 , b = 0 , ¡z¡ = 9 19=9X = ±"j---:¡--- 2 - = 0 9+9 v=±-....1-- =±3• '1 2 En este caso, los cuatro pares de valores se reducen a dos (O , 3) y (O , - 3) y se tiene ...;::::9= v-9 +o i =±(o+ 3 i) = ± 3 i Análogamente -4 '"'!: vC3=±v'3i 11.8. FORMA POLAR O IRIGONOMETRICA Sea z = a + bi un complejo no nulo. Las coordenadas polares del punto de coordenadas cartesianas a y b son: el radio vector p y el argumento 1(), o cualquiera de los congruentes a ¡p, módulo 2 7T. FORMA POLAR EN C Las fórmulas de pasaje de las coordenadas polares a cartesianas son t a= pcos r.p b = psen '{J 1 ,A ~z í ).:/.;/ ¡b 1 / .p ! r ! i • donde p = ff+ b2 =1:: y .p= arg z. Se tiene z = a +bi = p cos .¡; + p i sen .p es decir z = p (cos .p+ i sen ¡p) Esta es la llamada forma polar o trigonométrica del complejo z. 357 Es claro que p y .p definen unívocamente a z. Pero z caracteriza unívocamente a p, ;. no a .p= argz. Definición Argumento principal del complejo no nulo z es el número real ¡p que satisface i ) a = ¡zl cos ¡p A b = lzl sen ¡p ii ) o~ <P < 2 1f • Pam denotar el argumento pnncipal escribiremos .p= Arg :. Dados Jos compleJOS en forma polar ::: -:::: p í.:os p i stln .pi y p' (cos)O,+ i sen 1{!) diremos que son íguales si y sóll) Si tienen i!l mismo módulo sus argumentos son congruentes módulo 2 n. En símbolos z = z' ~ p = p' A 1{! = <¡J+ 2 k 1T con k € Z Ejemplo 11·8. Determinar la fonna polar de los siguientes complejos )z=-2+2i p = ·./(- 2)2 +22 = .J8=2 .Ji
- 185. '8 EL ('ll!RPODE LOS NUMEROS COMPLIJOS 'ara el argumento principal..consideramos a -2 ../2cos¡.p=- = - - =-~- p 2...ff 2 b 2 Vi"sen¡.p=- = - - = -- p 2-./f 2 '~ J ~~1 - R~su!ta ;pdel se_g~mdo cuadrante e igual a !35°. Llego== 2 v 2 (cos 135° + i sen 135°) ii) z=-3i P = v,.-,o2:;-+-(-----:-:-3)"2 = 3 ..p=11 Luego z = 3 (cos 1r + i sen 11') z=-3i 11.9 OPERACIONES EN FORMA POLAR 11.9.1. Multiplicación ' . El producto de dos complejos en forma polar tiene por módulo ..:1 producto de lo,; módulos, y por argumento la suma de los argumentos. · Sean z = p (cos '{) +i sen•..p) y z'= p' (cos <(J+ i sen <(J) ) j OP.ERACIONES EN FORMA POLAR Entonces zz' =pp' (cos '{J + i senp),(cos 1{3 + i sen t¡J) = = pp' [(cos ¡p cos <(J - sen ¡p sen <(J) +i (sen 1¡? cos <(J +eos ¡p sen 1,0')] =pp' [cos (..p+ 1{1) + i sen (l{J + ¡p')] 11.9.2. Cociente 359 El cociente de dos complejos en forma polar, siendo el segundo distinto de cero, tiene por módulo el cociente de los módulos, y por argumento la diferencia de los argumentos. z = tv => z = z'w :::::> => p (cos ..p+ i sen ¡p) =p' (cos .¡! + i sen.¡!) R(Cos tP + i sen ¡f}) => => p (cos ..p+ i sen .,o)= R p' [cos (1/J +.p') +i sen (1/J +-()] Por igualdad de complejos Luego R p' = p " ¡p + .¡! = .p+ 2 k rr R = ; t ¡p =.,o- '{i si k= O =<>.!, =.J!. [cos (.,o- '{i) +i sen (.p- .p')} z p ~ . 11.9.3. Potenciación de exponente natural La potencia r.-sima de un complejo en forma polar tiene por módulo la potencia n-sima de su módulo, y por argumento el producto de su argumento por n. z =p (cos 1{) + i sen r.p) ~ z" =p" (cos n ..p+i sen n r.p) .Lo demostramos por inducción completa 1°) n= 1 =<>z1 =z=p(cos~¡?+tsen;p)= = p1 (cos 1 . .p+ i sen 1 . .,o) m;:·t... -. (Y' ~ ~: , í :._ 2°) ih = ph (cos h .p+ i sen h IJ?) =>~zh+I ~ ph+ 1 [cos (h + 1) ..p+ i sen (h + 1) 11'1 E~ l?''oT{.d 1 ffi · .. d '....."'/h' ' · · d · 1191 . · n etecto, por e tmc1on e potencia, 1potes1s m uctiVa y ..., se tiene (i?=iz'=ph (cos h ..p+ i sen h ..p) p (cos .p+ i sen IJ?) = = ¡/'+1 [eos (lz + 1) ¡p + i sen (h + 1) cp) La fórmula z" = p" (cos 11 .,o+ i sen n .p) se llama de De Moivre.
- 186. 360 EL CUERPODE LOS NUMEROS cmtPLEJOS 11.9.4. Determinación geométrica del producto y del cociente Sean z = p (cos .¡; +i sen .¡;) y z' = p' (eos '{J +i sen '{J). i ) Producto. En un sistema cartesiano consideramos li (l , O) y los pomos Ay B representantes de los complejos z y z ', es decir, de coordenadas polares (.¡;, p) y(!{!, p'), respectivamente. i1 1 u Cí..p+~' ,pp') A,(.p,p) D. o Considerando a OB como homólogo de OU, construimos OBC - OUA. Resulta C de coordenadas polares(..¡;+ ¡f , R), y por la proporcionalidad de lados homóiogos es decir - d (O, C) d {O, A) d (O, B) d(O, U) R _ = R = ,op' p En consecuenda, el vector OC representa el producto de' los complejos z y z: ií ) Cociente. Razonando sobre la misma figura, suponemos dados los puntos C yB asociados al dividendo ydivisor respectivamente. Construimos sobre qu, t:. t:. como homólogo de 08, el triángulo QUA semejante a OBC, y obtenemos el -+ veqor OA, es decir, el cociente. OPERACIONES EN FORMA POLAR 361 Ejemplo 11-9. · Siendo z = -- 1 + VJy 3 z'= 2 3 V3 . '+ -- 2 - t, realizar en forma polar las siguientes operaciones Z -· ·"' z 7 ~6 . .:. Expresamos z y z·en forma polar ~-- ~ ,o=v~---~r +ív'3V =v'4'-"" St!ll 1/) ~ p cuadrante. ., => .,p z 120 "' pues z caractenza un punto del Luego z = 2 (cos 120° +j sen 120°) Por otra parte r~;~- ,~ ..f3 ·-.. 2 ~~;:,- " • .,... ~ i l =-- 1 .¡. 1 _-- - 1 ="' :- + -=-:-- ,., '¡ , 2 -· 2 ./ " 4 4 [36 =3 ='../ 4 b -sen '{J = p - ..Jj' , ==> .¡; =60°, ya que ::' corresponde a un punto del primer cuadrante. Entonces : ' = 3 {cos 60° + i sen 60°) Aplicando las fórmulas deducidas tenemos i ) ::' = 6 (cos 180° + i sen 180°) = 6 (- 1 +O i) =- 6 ¡¡ ) z , 3 (cos 60° + i sen 60°) = z ", J.. 7 iiil ~ · = ::" h.o~ 6 L::O" sen h . l 20° l .,,, 7::!0'-' + =2"'(cos0'1 +¡sen0"1= 26 (1 +0.1)=2"=64 Ejemplo lJ.JO. Mediante la fórmula de De Moivre, obtener sen 2 .py cos 2 .¡;. Sea z un complejo de módulo l yargumento.¡;, es decir z = cos .p + i sen .p ::oi')
- 187. 3( 2 ELCUERI'O DI· LOS ~UMEROS CD:IPLEJOS Elevamos al cuadrado de dos maneras: por cuadrado de un binomio z2 == (cos r.p + i sen r.p)2 = cos2 r.p- sen2 r.p+ 2 i sen r.pcos r.p y por la fórmula de De Moivre z2 = (cos r.p +i sen r.p)2 = cos 2 r.p +i sen 2 r.p De (l) y (2) resulta cos 2 r.p= cos2 r.p - sen2 r.p sen 2 r.p = 2 se'l r.pcos r.p 11.10. RADICAOON EN C Por defimción, el complejo w es raíz n-sima de:: si y sólo si ::11 = V, Tforema. Todo complejo no nulo admite n raíces n-simas distintas dadas por , -i' r.p+ ~k rr r.p+ Zk n '1 wk =y pi cos + i sen - - - - .1 '- n n - donde k =O, l , 2 , . . . . n - 1 p = ¡.: i y ..p = arg .: Demostra;:..ión) Sean z = p (eos r.p +i sen .p) y w = R (eos <P + i sen <P) Por definición de raíz, debe ser wn=z Es decir Rn .(cos n <P +i sen n $) = p (cos p+ i sen.¡;) Por igualdad de complejos R11 =p y n <P = r.p + '2 k rr Luego Se obtiene la fórmula R =vii y <P= ~- ~~-- 11 ' n n í ~ p (eos r.p + i sen -.p) = Vp ( eos r.p+2krr +" r.p+2krr)- - z sen -'---- n n " (l) (2) Todas las raíces de;: tienen el mismo módulo, y difieren en el argumento que es _1!_ + 2krr con k eZ n n '1 RADICAClON EN C 363 De los infinítos valores enteros de k es suficiente considerar O, 1, 2, ... ,11 -- 1 Jara obtener las n raíces distintas. ' RAICES ARGUMENTOS ... -.p ··u n W¡ r.p 17f -- + ..:.___ n n ' Wz ..Y. +1. 21f n n ..p ., 1f w, - +3. -~- n n . .. 1 ........... ' .~ .. ..p .,1' Wn-1 - +(n-1) ---n · ~ n Si k= n entonces la correspondiente raíz wn tiene argumento .:f._ + 11 n 1"rr _ __:f_ +2 :r n - n Que es congruente a ..:!?.... y se vuelve a obtener w0 . n - . En general wí+ n = Wj y sólo existen n raíces distintas. Nota Las n raíces n-simas, distintas de un complejo no nulo, se identifican con los vértices de un polígono regular de n lados inscripto en la circunferencia de radio R = Vp::
- 188. 3iA 1 1 1 ' ' l·:L CUERPODE LOS NUMEROS COMPLEJOS Wz ...... ' ...... ---- Ejemplo JJ.JI. Calcular y representar :=-4+-4¡ ! """p=v,- +,~ =v64=:~ cosp= ~ = -~~ 4 _ - 1 p 8 -~ ~ 'P = l20o = :: rr 3 pues: corresponde a un punto del segundo cuadrante. El argumento de w~¡: es 2tr -3-+2ktr 1T k1T 4>,.= =-+-4 6 ., lt.-"o 1 RADKACION EN C y se tienen los cuatro argumentos <1?0 = _!!_ = 30° 6 1T 1T <l>¡ = -- + - = 30° + 90° = 120° 6 2 7r <I>~ = ·-6 + 1T = 30° + 180° = 210° 1T 1f q.., = -- + 3 - = 30° +- 270° =300° ' 6 2 Las cuauo raíces son ¡::; V·'~--::; w0 = f8 COS 30° + i sen i . ~~ 4/(- W¡ =v 8(cos 1:!.0° +isen t::oo)= = wc-cos 60° +i sen 600) ~we- ; + i .;-;) w2 = tf8(cos 210° +i sen 2lOO) = =V8(- cos 30° -isen 30°) =Vif(_ ..¡ ~ _ .l ¡ ') ', 2 ::! ./ w3 =18(cos 300° +i sen 3000) = = lf8(cos 60°- isen 60°) = .if8 ( ~ - ¡ "') ii) {lf ::=1+0i-=-p==l .p=O => VfTcos O +i sen O) = VTí cos 0 + 2 k 1T + ¡ sen °+ 2 k 1f ) = ~ 3 / 2ktr . 2k1T =cos - - +1sen - - 3 3 Entonces ~ •:~")~ O ~•~ / sen O z 1 " 1f .. 1f w 1 = cos -=·.r +i sen T =cos 120° + i sen ! 20° = = - cos 60° +i sen 60o = - .J_ + ¡ .JT2 2 411' • 41T Wz = cos - 3 - +1 sen - 3 - =cos 240° +i sen 240° = = - eos 60° - i sen 60o =- -1 - i .J32 2 365
- 189. LL CUERPO DELOS KtilEROS CO..iPLEJOS '~ .............................. Wo ----+-------T-----~r-------------~~--~ 11.11. FORMA EXPONENCIAL EN e 1U l.l. Exponenciill compleja ::n los cursos de Análisis se demuestra que la exponencial real ex admite el dc~;arrollo en serie x xz x3 e =l+x+T!+y+ i xk k=O /i! y satisface laspropiedades básicas e0 = 1 y ti" eY = e""...Y. A fin de preservar estas propiedades definimos la exponenci?l compleja mediante' e1x =cosx +isenx Se verifica e1 "'. e1 Y = (cosx +i senx)(cosy + i sen y)= = (cos x cos y - sen x sen y) +i (sen x cos y + cos x sen y) = == cos (x +y)+ i sen (x +y)= ei(x+y) Sea z = p (cos '{) + i sen ¡p). Entonces z = p el'~' es la fórma exponencial del complejo z. · i f 1 1 l FORMA EXPONENCIAL 36'/ 11.11.2. Operaciones en forma exponencial La traducción de las fórmulas relativas al producto, cociente y potenciación, obtenidas en la forma polar son las siguientes i ) z. z' = p éP p' éP' = pp' e1(,o+op') .. ) z _ p e 1 "' _ P i(op-¡p') u -, ----, --, e z p'é'ii p iii) z" = (p ei.P )" = p" ein.p Ejemplo ll-11. Demostrar i ) == é~' => IZI = l En efe..:to z = é; => == eos .p + i sen .p = => lzi =Jcos2 .p+sen7 ..¡;= 1 ii ) ez ='l => z = 2 n rr i con n € Z Sea z = x +:ii Entonces e 2 = ex+yi =ex e"'= tr (cosy +i sen y)= = e"' cos y + ~ í sen y = 1 + Oi Por igualdad de complejos es ~ eos y =1 .~ ex sen y =O Como e" *O resulta sen y = Oy en consecuencia y =k rr con k e: Z Ahora bien y =k 1T => cos y =cos k 1f ;;: (- l)k Luego ex (-l)k = l =(-l)Zk Es decir, ex = (- 1)" , y como ~ >O, se tiene k = 2 n. ,,. Así . ex = 1 => X =o Resulta z = x +yi = O+ 2 n 1r i = 2n 1T i 11'.12. LOGARITMAeiON EN e Sea z =1= O. Por definición ln z =w si y sólo ~¡ e"' = z.
- 190. ~68 EL CUERPODE LOS NUMEROS CG:'IJPLEJOS Para determinar los complejos w que satisfacen w =In z: proponemos }¡¡ fcrma exponencial para el complejo z y la fonna binómica para w, es decir z == p iP y w = u +iv Hay que determinar u y v tales que e"+il• =péP ti e" . ei•· =p ei.,: lJ e'' =p ., l'=.P+ :' k1T ¡,¡ u ;::.. ln p ·' l' =..p + 2 k rr Resulta In:= In p +i(.p + 2k 7T) con k e Z fórmula que permite obtener los infinitos logaritmos de un complejo no nulo. Como la parte real del In;: es independiente de k, todos los logaritmos corresponden a puntos de la paralela al eje de ordenadas que pasa por (In p, 0) y 1{) + 4 lT .¡..--.------------- -~ w, W,¡¡ ~·-~-- if-:: "' , e ' 'r:,_..:........ in iJ ;p- 4 lT r_______._~~----- ~ 1~; ' l1 1• i 1 1 LXI'ONENCIAL COMPLEJA Valor principal de In z es el que se obtiene para k = O, o sea V.p.ln z = In p +i ¡p Ejemplo 1/-13. Hallar ln z en los siguientes casos i ) z = ·- 2 z:~-2+0i~p=:2 1 ¡p=rr Luego ln;:.;;.:lnu :t~ ln2+i(:r+~,~Jr}; = ln 2 + ¡ ! + :: k11T i ¡¡) ==- e e . ..j2- '..JI l ,..--:----"- 1 2 e· p='-)~ + -:;- =e " .p= 2iso =.; .!!.- 4 Entonces t.... .,, ; TI . ~k . ¡ 369 In z =In e+ q_ 5 :¡- .,.. ..: tt) = =I+t(s ~ +2k1T) ·:!r r_ Los valores principales son, respectivamente, In 2 + i 1T y 1 + 5 ~ i 11.13. EXPONENQAL COMPLEJA GENERAL Sean z1 y z2 tales que z1 -::/= O. Estamos interesados en la determinación de la exponencial compleja w=z~~ A¡Jii..:andlo lo~ritmos ;,n base natural !n"'=Z; ln.:::1 Por definicíón dt= logaritmo w=ez:lnz, Ejemplo 11-14. Hallar el valor principal de ia exponencial ( 1-ii z= t+O ~....... 1 ji
- 191. 37tl Calculamos Entonces 11 ( l'l!{!'0 DI· LOS NL'l!ROS (Q;'li'LFJOS l- i f+i (1 - f/ l -U- 1 . ---··---·-· = =--¡ (1 +i)(l ~ i) z=(-il =>lnz=iln(-·i) Al complejo - i le corresponden p =ff+T-=-tr= l . 1T 1{)=3 ~- Entonces k.: 1) :=' !f! ! + i 'll"__ .¡.. -, L· ""·¡ ,., .. ~ 1T . ~ l=11-'--"-;-_krr 'Sustituyendo en ( 1) tenemos 1r In :: = - 3 --:;--- -- :; k íT Pnr definición de logaritmo resulta Siendo d valor principal 1T ~3--;:--~hrr ==e • "-32 V.p.:: ==e (1) 11.14. RAICES PRIMITIVAS DE LA UNIDAD ll.l4.1. Concepto En el ejemplo 11-ll-ii) hemos determinado las raíces de orden 3 de la unídad. es decir. las tres !'aíce> cúbicas de 1. Tales raíces son Wo = 1 W¡ =- l + . ...;T~ _ ¡ - - - ., -· i _.../3-.,- ). W2 =- 2 Las dos últimas no son raíces de la unidad de un orden menor que 3, pero la primera sí lo es. puesto que Vf = l y VT=± 1 Por este motívo se dice que w1 y ~2 son raíces primitivas de orden 3 de la unidad: en cambio, w0 = l no es raíz primitiva de orden 3 ni de orden 2, sino de orden l. RAICTS PRI:-1111 .'> 37l Sea G,. el conjunto de las n raíces n-simas de la unidad. Un elemento genérico d·:? Gn es 2krr +. ?.J.:rr wk = cos --- 1 sen ---- 11 11 =e 2hrr i~--~ n donde k = O, l, 2, ... , n - l. Por definición de raíz n-sima, los complejos w,. satisfacen la condición w; = 1, y son tales que (G, , .) es un grupo multiplicativo abeliano. Esta situación ha sido tmtada en el ejemplo 8-12. en el caso panicular en que /! = 3. Definición El elemento wh € C.n es una ra1z pnmlliva áe oru~n 11 rie ia uniuau ~~ :;. ,¿,¡u s1 nu es r:1íz de 1 de un orden menor que 11. El conjunto de las rafees cuartas de la unidad es G~ = , 1 . i . - l . - 1 De acuerd., con la definición y con el conocimiento de G1 • Gz ~: G3 • podemos decir qtte i y - i ''"¡ raíces primitivas de orden 4 de la tmidad. Los resultados l. i. - l y - i se obtienen de la fórmula general al tomar k los valores O. l. 2 y 3, respectivamente. Observamos aquí que si k es coprimo con n. entonces la raíz,,.,. es primitiva. Tal es el caso de ••· 1 y w,¡ paran= 4. La demostración de esta propiedad es e! objeto de lo que sigue. 11.14.2. Propiedad. El complejo wk e G, es raízm-sima de la unidad si y sóio ~J 11 km. Demostración) ., k 2 k . :k e - ~ ~ I-n-- - Sea wk = cos -- 1 - 1 - ;- 1 sen -- 11 - = e E Gn" Entonces uk = zy'l <=> w~' = l <=> cos <=> cos 2 k m rr--n··- = l ·' sen .J:J 11]_~- 11 :!.kmrr 1l 2kmrr .., z<=> ---,¡--.o= _11 q " q € <=> km <=> - - . =q <=> km=nq <=> n 1 km 1l 1km71__=!<=>-'- ¡ sen ---=-~¡¡-· =O<=> 11.14.3. Propiedad. Sea O.:;;;; k< n. Entonces w~ € G,. es una raíz primitiva de orden 11 de la unidad si y sólo sin y k son coprimos. I) n y k son coprimos => wk es raíz n-sima primitiva de l. Sea wh una raíz m-sima de la unidad. Entonces. por 11.14.2.. se tiene que n 1 km Y como n y k son coprimos,resulta n 1 m. de acuerdo con lo demostrado en el ejemplo 9-8-ii). Ahora bien, siendo n y m números naturales y n 1 nz. es n ,¡;;; m, y en consecuencia W~e no es raíz de la unidad de un orden menor que 11. o lo que es lo mismo, w,. es raíz primitiva de orden n de l.
- 192. 37 2 t-.LCUEW'O DL tOS !Ul!EROS CmiPLUOS !1) wk es raíz n-sima primitiva de l =:- m.c.d. (ll , k)= 1 Supongamos que n y, k no son coprimos, y se; d su rn.c.d. positivo. Por defínición de m.c.d. se tiene d 1 11 '' el 1 k """' n = dn' i k""' dk' donde m.c.d. (n', k')= 1 Sustituyendo estos valores en la expresión de wk resulta "d k'- "'d k'- wk = cos --=-~-T~ +i sen =--;-~ = · an un ;. k'rr .,.., c~o... ¡¡ '2 k' rr Como n' )' k' son copnmos se deduce que w11 es ratz de la un1dad de orden •1· < n, lo qu<: contradke la htpótesis. Luego debe ser mcd ín. k'= 1 Ejemplo 11-15. Determinar las raíces primitivas de orden 6 de la unidad. Las se1s raíces sextas de 1 están dadas por wk = cos 2 ~ + i sen :! k rr ó n con k= O, 1, ... , S De acuerdo con ll.I4.3. I) elegimos k de modo que m.c.d. (n,6) = 1 y se obtiene k:;;:: 1 o k =S. Las raíces primitiv~s pedidas son, entonces 11', :rr , '2rr cos - - + 1 sen -- = 6 (, cos .!!_ + i sen ...::_ = cos 60° + i sen 60° =3 3 ' +i v-I_., PJ :rr O:r .: ~-:.en - ~"' 1:• cos .,... ,::-,.,. '' + 1 sen .; " =cos 300" + 1 sen 300" "'" cos ó0° - i sen 6Do = ...:_ .. :·· ../3,., --~-- "- , 1 _; .) TRABAJO PRACTICO XI l 1~!6. DJd(·'"' números ~omph~ios : -~ :.:::. " er:-~:tu:J: :::.:¡-(.::;-:¡) .:¡ 11·1 7. Determinar los complejos.: en cada uno d,e los siguientes casos :!) (l+i)+.:=--i e)' .::=( i)(l+i) b) ::=i(l +i) 11-18. Obtener.: en los siguientes .:asos dl z = (1 + .Jfi)(.J.f+ i) z = (..;2+ V.f¡)2 -...)6¡ 1.: ='1 1 + t) n - t l a} b) e) z = (y'2 + v'3i) (..j'f-0i) r l ..jf'3 ~=( -- +¡' - __l - .. ~ 2~/ d) 1J. J9. Resolver las siguientes ecuaciones en:: al iz = 1 b) (1 +i) z = 1 11-20. Ex¡:m:~ar::: en la furma binómíca :_¡¡ e) (2-i):::=i ) l . d - =l z '",} . (3 -- {) ¡::: + il l +---;· ~ -~-- b¡ ;: = -----.-·'- 1 T J 1 11-21. Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones en C a)z2 =2i b):2 =-3·4í .:).:2 = 2v'3+2i 11-22. Obtener la forma polar de los siguientes números complejos a)z1 -=VJ+i c)z3 =-1-i b)z2 =-2-2.../3i d)z4 =-3i
- 193. :<'-+ 1 Lct lERl'O DI LOS NU.MLROS COII'LUOS 11-23. Efectuar en forma polar las operaciones que se indican con relación a los complejos del e;ercicío anterior a) b) 6 z, =z=3 ll-2.J. Cakular z z siendo e) d) Z3 Z4 10 z3 :=-,-l+ii+.J2i f J·25. Probar que si f (x 1= ax2 + bx +e donde a. b y e son números reales y z e C es ".,.• ,-,--::::0 "'ntnn,·p<;(l::::=0••,., • ·¡-. . . - .. - . . . - - .. ~- • 1J.Jfl D:.;J,¡: = l +'en a+ í co> a. determinar : 2 -:! , J-.:7. D.:taminar lcls números reales a y b sabiendo que (-! +i)a+(l +~i)b= l 11-28. Rcw!ver la ~..:uadón en e (.: ··- J - i) (Z- l + i) (: + ! +i)(; + 1 - i) = 5 i 1-::9. Rc~<~lwr ::1 ecuac1ón en e x 2 +¡-~-2i)x=3-6i i 1-30. Resolver cl SigUiente SIStema de ecuaciones en e Í (1 + i) X - (¡: = 2 +i l (:~ + 1) X + (2 - i) V =1 i í 1-.U. [kmostrar a¡ l:.:l ..:unJugauo del opuesto de todo complejo es igual al opuesto de su o.:tmJugadü. bJ El cun_iugado de la diferencia de dos complejos es igual a la diferencia de los ..:onjugados. ..:) El módulo de la diferencia de dos complejos es mayor o igual que la difercn..:ia de los módulos. J. i El conjugado del cociente de dos complejos es igual al cociente de sus .:unjugados. d El módulo del cociente de dos complejos es igual al cociente de sus módulos. JJ.J!. Sean los complejos no nulos z y::'. Demostrar .t=l-1 Íz-z'ilz'l-1 =iz-1 -z'-1 1 11-.U. Demostrar 1= +z'l" + lz -z'i2 = 2lzi2 + 21z'i2 J1-.U. D<?mustrar por inducdón completa (úlSX + i sen x)" = cos nx +i sen nx ., ' t¡ ! 1 1 TRABAJO PRACTICO XI 11-35. Utilizando la fórmula de Dr Moivre demostrar las siguientes fórmulas i ) sen 2 x = 2 sen x eos x cos 2 x = cos2 x - sen2 x ii ) sen 3 x = 3 cos2 x sen x - sen3 x COS 3 X = COS 3 X - 3 COS X sen2 X 11-36. Sabiendo que los complejos 1, w y w2 satisfacen la relación x3 = l, verificar i ) (1 + w2 ) 4 = w ii ) (1 - w + w2 ) (l +w - w1 ) = 4 11-37. Detenninar algebraicamente las raíces cuadradas de los siguientes complejos i)z=-l5-8i ii) z =S- 12 i iü) z = 8 + 4 ySi 11-38. Resolver las siguientes ecuaciones en C ¡) x2 -(::!+i)x+3+i=O ¡¡ ) x2 +(-- 3 + 2 i ) x - i = O 11-39. Determinar y representar las raí.:es que se indican i ) ifl=.i ii } V:Z: ÜiJ 18 iv) V.../3 +¡ 11-40. Determinar los logaritmos naturales de los siguientes complejos i) z =..f3-.Jf¡ ü; z =- ei iii) z = 4 11-41. Determinar los valores principales de las exponenciales siguientes i) w=(v'2-i)1 .¡ ii)w=(3i) 2 i iü) w=(I- i ../3)1 /i 11-12. Obtener el valor principal ~e z en los siguientes casos í ) (1 - it = 1 ")(I+i-./3Y .11 -) = l 2 ~ ll-43. Resolver las siguientes ecuaciones i) x2 i-2/+2=0 2...[3 ../3 ii) X -x +1=0 375
- 194. 376 I.L CüFRI'ODI' LOS NUMEROS CU·ll'L!JOS 11-44. Detcrmnar los conjuntos de puntos del plano que satisfacen -a las siguientes relacior:es i ) Re (z) = -· 2 íí) -2~lm(z)<3 iii) lz + 11 >2 iv) -O.S<Re(z)<O,S ! lz!=2 ~ 1T v ) -- ~ Arg.: ~ 3 -- ,., 1Z1 < 2 + . 4 v') ':! l + i =:. 1!-J5. Determirwr ana!ítkamcnte y gráficamente los subconjuntos de C que venfic:m i ) ¡: + 1i + 1.: - 1i = 3 ii ) 1: + e11.: - d = c2 11-46 Cakular l + 2 cos x + 2 cos 2 x + ... + 2 cos nx 11-47. Verifica: la id.:mtidad .:-+w . i z+w i . , ¡--y- -::w¡ + ¡--2- +zw ¡=izl +1wl 11-48. Dado z = -.:- 1 + 2 i 1 + ..,ffi, hallar In z. 11-49. DemostJar i = ew <* z - w = 2 n 1f i /1 n € Z ¡¡.m. S·· defimn iz . cos z = . e +e-'"' 2 , sen z = DemostJar i ) cos z =cos x eh y - i sen x sh y ii ) stn :; = Si!n x eh)" + i ~os .t· :;h ! ¡.._:;_r Dt;-terrnir'!ar ii.)S -~nnjunH:"s de punroo.; dei ¡ j ~ ~ -. ¡¡ ) ¡;¡• = z +; iii) z- =-¡=o iv) i 1 + z =O v) z +z- E R vi) .z= z2 vii) l~+i!==iz+2il iz ~iz e -e -ri qu<t "'i~,.t:rin~~an i ti .~ TRABAJO PRACTICO XI 11·52. Obtener los siguientes complejos ,. 100 L lOO k a)z= "E,r b)z= 1ri k=O k=! 11-53. Los complejos no nulos z1 y z2 son tales que lz1 +z2 l=lzd+lz2l Demostrar que z1 =a: z2 para algún a E R + 1i-54. Caicular z4 siendo i > z = (~ v'3 + r;-1 a ;:on a e R O~ a:~ ;q ~ :.: sen o: -- 1 sen a .. ¡ + i m);= ..;3= i 1/-55, Demostrar i ) Re (;w + ?w) = ;'í• +.=w ll J !m {:w- zw) = zw - ?t"· 1T il-5ó. Demostrar que si w es raíz cúbica primitiva de i. entonces (1 - w)( l - w2 ) = 3 11-57. Sea w una raíz n-sima primitiva de 1 y n >l. Demostrar n-1 ~ wk =O k=O l 1·58. Sabiendo que n = 3 k. demostrar que ( -J.. +i y'3) n +(- _!_- Í y'3 ) n =! 2 2 .. 2 2 .. 377
- 195. Capítulo 12 POLINOMIOS 12.1. INTRODUCCION Apartir de la Jetinicíón de polinomio formal de un anillo con identidad. se llega al ,ncepto de anillo de polinomios formales de un anillo con una indetenninada. y al ; !~O partíc"J!ar de dominio de integridad de polinomios de un cuerpo. En esta .,rru.::tura se estudian la divisibilidad, los ideales y la factorización. El capítulo se _·.<mpleta con el trat::muento de los polinomios reales y complejos. 12.1. ANILLO DE POLINOMIOS FORfALES DE UN A."'liLLO 1~.2.1. Concepto Sea (A , + , .) un anillo con identidad. Definición Polinomio fonnal del anillo A es toda función P : ~o --¡,.A que verifica P (n) =O. salvo para un nú:nero finito de elementos de N0 . El dominio de la función es N0 = {O . 1 , 2 , ...} , ;.. la imagen de todo i e N0 se e>eribe P (i) =a¡. La definición dada caracteriza a todo polwomio fonnal como·una sucesión de elementos de A cuyos términos son nulos a partir de ~ierto índi~e.Es usual idc.:ntificar a un polinomio formal en términos del conjunto ordenado de las imágenes, lo que conduce a la siguiente notación P = (a0 , a1 ••••• a,, O, O, ...) El hecho de que P (n) = an sea distinto de cero no significa que deba ser P (i) =::a¡ distinto de cero para i <n. En particular, la función nula, definida por P (i) =O cualquiera que sea i € N0 se lhma polinomio núlo, y lo indicaremos así: O= (O. O.... ) ¡ ~· ~e:% :J' ·j:, fl1 f~ ...! ¡ t t i 1 ANILLO DI·. POLINOMIOS 379 Definición ·Grado de un polinomio no nulo es el mayor entero n que satisface P (n) =1= O. El grado de todo polinomio no nulo se identifica con el índice del último término distinto de ce10 de la sucesión que lo defíne. Convenimos, además, que el polinomio nulo carece de grado. Algunos autores le atribuyen grado - l. En otros casos se le asigna grado infinito. Ejemplo 12-1. Determinamos los grados de los siguientes polinomios de los anillos que se indican ) El polinomio P : N0 --¡,. Zs definido por P(O)=l,P(i)=PU-ll..._T si i= 1.2.3.P!l)=O- si i>3 es P=!T ,2,3.4.0.0. . 1 siendo grado de P = g P = 3 ii ) El polinomio Q : N0 -+ Z tal que ·' _., si n=4 Q(n): i O si n=>=4 es la sucesión Q =(O ,O .O ,O .-2 ,O ,O ....) y tiene grado 4. Todo polinomio con a lo sumo un término no nulo se llama monomio. iii) Si el anillo es(R2 "" , + ..)y definimos R: N0 --¡,. R: xz mediante R (O)= p O]LO 1 = I [ 1 2]-AR(l)= 1 ...([:- y R (n) = [~ ~]=N para todo n > 1, entonces R = (I . A , N , N •...) tiene grado 1. 12.2.2. Anillo de polinomios formales del anillo A Sea P el conjunto de todos los polinOinios formales del anillo A. Es decir P ={P 1 P: No -l> A} En P definimos la adiciÓn y multiplicación mediante
- 196. 380 POLINOMIOS 1. P+ Q : N~ -7 A es tal que (P + Q) (n) == P (n) +Q (n) IL P . Q : N~ -rAes tal que n (P . Q) (n) """ í: P(l) Q (n - i) i=O Ejemplo 12·2. Sean P,. (a,. a1 , a2 , O. O • O ....j y Q = (b0 , b1 • b2 • b 3 , O. O... i. d·..mde gP = :2 y gQ =3. De acuerd<.í ;;on las defimcíones dadas se uene ) S= P+ Q siendo c,=S(i)=(P+Q)(i)=P(i)+Q(í)=a;+b1 paratodo le:.). Entonces S= P + Q = (a0 + b0 , a1 +h¡, a2 + h2 , h3 • O, O, ...) Siendo g{P + Q) ::oJ íi ) R =P. Q se obtiene de la siguiente manera: o c0 = R (O) = (PQ) (O) = .í: P (i) Q(O- z) = P (O) Q (O)= ao b0 ¡=0 l c1 =R(l)=(PQ)(l)= í: P(i)Q(l-z)= i=O =P(O)Q(l)+P(l)Q(O)=a0 b¡ +a¡ bo 2 c2 = R (2) = (PQ)(2) = í: P(i) Q (2- i) = i=O =P(O)Q(2)+P(l)Q(I)+P(2)Q(O)=a0 b2 +a1 b 1 +a2 b0 El ténnino genérico del producto es ,_ '" i; PtilQík-i): a¡b;, t~v Por ejemplo Cs =aob5 +a1 b4 +a2 b3 +a3 b2 +a4b1 +as bo En nuestro e~so se reduce a es =a2 b3 Pero c6 = c7 = ... =O El grado del producto es 5 si·a2 b3 =1= O, es decir, si el anillo no tiene divisores de cero. .¡ A,>.¡"ILLO DE POLINOMIOS Ejemplo 12-3. Efectuar la suma y el producto de los polinomios de Z6 y p ;:::; (2 '3 ,o'o'o''..) Q=(O ,T.2,o,o, ...) i )P+o=(2,4,2,o.o, ...) ii) PQ =(O'2 ,T 'o'o' ...) y y g(P +Q)=2 g(PQ).,.2 381 Se verifica que (P , +) tiene estructura de grupo abeliano s1endo neutro para la adición el poiinomio nulo, y el inverso aditivo u opuesto de •:;.da polinonuo P e:; el polinomio P dcfimdo por P) W) =- El producto es asoc1ativo en P, con identidad Es decir ya que P eP => P1 = IP = P l : N0 -+A tal que ['l sin=O l (n) = ~ 1 O si n=I=O '· 1 = (l 'o' o' ...) Además, el producto es distributivo respecto de la suma a izquierda y a derecha ~+mR=n+~ R(P+W=~+~ En efecto, utilizando las defmiciones de multiplicación, de adición, propiedades de la sumatoria, y del anillo A se tiene n [(P + Q) R](n) = í: (P + Q)(i) R(n- i) == i=O :;=i +Q R(n ·- z;~ iP R~n-i)+Q Rln- i=(), n . n = ¿ p-(i) R (n-i)+ l: Q (r) R (n-i)= (PR) i=O .i=O +(QR)(n) = = (PR + QR) (n) Las consideraciones anteriores nos permiten afinnar que la tema (P, +, .) es un anillo con identidad, llamado anillo de los polinomios formales del anillo A. El polinomio X = ¡,o , 1 , O , O , . . .) recibe el nómbre de indeterminada. Nos proponemos expresar a todo polinomio formal del anillo A, en función de la indeterminada X y de los elementos de A.
- 197. 3¡;! POLI:omos lkfmímos primerola fun..:ión f: Á.-'~-P mediante f(a)=(a ,O ,O, ...) Esta definición caracteriza un morfismo inyectivo de A en P, es decir, un monomorfismo. En consecuencia, fes un isomorfismo de A en [(A) e P, lo cual permite identificar a cada elemento a € A con su imagen f (a) E P. Desde este punto de vista. podemos decir que A es un subanillo de P. DefinimosX 0 =(1.0,0, ...) y X11 '" 1 =X11 X Resulta X~ =XX= <O. O. l , O. O ....) 'Hmil!ca que '•:! •11 eS 0 se tiene Í 1 si n =m X"' : . ..-p tal que X"' ¡n)"" < 1 O si n:#:m ... Emonces. teniendo en cuenta las definiciones de adición y de multiplicación, las -;u,;c:,ívas potencias de la indeterminada X y d isomorfismo indicado. todo polinomio P t P puede expresarse P=(ú0 .a1 .•..• a.,.O.J.... 1= =ía0 • O. O....)+ (0.a 1 • O. O•...)+ ... + (O•... , a,, O, O•...)= = (a0 • O. O.... )11, O. O. . .) + (a 1 • O, O....)0, 1, O, O, ...)..._ +(a;. O. O... 1{0. O. LO. O•... )+ ... + (an, O. O, ...)(0..... O, 1, O. O...)= X,, x~ . x~ X" f x·i·"'.lo "T'J¡ "T'a;. + ... +an =-a¡ t=O En lo sucesivo. en lugar de X0 =(t , O , O, ...) = l escribiremos 1, omitiremos los términos del tipo OX" y lXn será sustituido por X" Se tiene ~ ·i n n-1 · -.a, X =a" X +a,_ 1 X + ... +a1 X+a0 í=O Siendo a, el coeficiente principal y a0 el término independiente. El aníllo de polinomios de A en la indeterminada X suele indicarse mediante el símbolo P =A [X]. Los elementos de A [X] se llaman polinomios en X con t:oeficientes en el anillo A. En particular, los elementos de A CA [X] se llama:n .;onstantes. Sí gP = n. entonces a, se llama coeficiente principal. Un polinomio con el ..:oeficiente principal igual a l se dice que es mónico. · De acuerdo con las definiciones de las operaciones en A[X], se verifican las siguientes proposiciones: 1 " e ANILLO DE POLINOMIOS 383 ) El grado de todo polinonúo no nulo es igual al grado de su opuesto. g(-P)=gP ii ) El grado de la suma de dos polinonúos no nulos es menor o igual que el mayor de los grados. g(P + Q),;;;; máx (cP ,gQ} iii) El grado del producto de dos polinomios, si es no nulo, es menor o igual que la suma de los grados. g (PQ) ,;;;;gp + gQ Ahora bien. si A <!S un dominio de integridad, emonces A(X] también [o es. y si! verifica que d grado del producto de dos polinomios no nulos es igual a la suma de los grados, o sea g (PQ) = gP +'gQ Ejemplo 12-4. En Z5 [X] se consideran los polinomios A=J~+TX+~ B=~X+T y C=T~+~X+! Obtener el polinomio AB - C. La mecánica de las operaciones entre polinomios en la indeterminada X con coeficientes en el anillo se realiza en la forma habitual aprendida en la escuela secundana. A: 3X2 +Tx +2 B: 2 X + 1 tX3 +2x2 +4x 3x2 +Tx+2 AT:l: Tx3 +OX2 + ox + 2 El inverso aditivo de e es- e = 4X 3 +TX + 3 Y resulta AB - C = OX3 + OX2 + TX +O Es decir, AB - C ;, X. 12.3. ANILLO DE POLINOMIOS DE UN CUERPO Como todo ..:uerpo K es un dominio de integridad, el anillo de polinomios de K, que denotamos con K [XJ. es un dominio de integridad, pero no es un cuerpo. En ef':!cto. no todo polinonúo no nulo admite inverso multiplicativo. Demostramos a continua· ción que únicamente los polinomios de grado cero son inversibles.
- 198. 3R4 I'OLINO~!IOS Teorema. Unpolinomio de K (X] admite inverso multiplicativo si y sólo si es de grado cero. Demostración) Sea P E K [X] un polinomio con inverso multiplicativo. Entonces, existe Q eK [X] tal que PQ =QP= 1 Por ser K [X] un dominio dz integridad, se tiene gP,.. gQ ""gl =u Y como los grados >on enteros no negativos. resulta gP=gQ=O Recíprocamente, si gP =O entonces P = a0 -4= O. Y. como a~ es un elemento no nulo de K, admite inverso multiplicativo a~ 1 • Es decir. existe -1 -1 p . =ao 12.4. DIVISffiiLIDAD EN EL DOMINIO K [X) 12.4.1. División de polinomios Teorema. Dacos dos polinorrJos /. y B en K [XL siendo B no nulo, existen y son únicos dos polinomios Q y R, que ven:·ican i) A=BQ +R ii ) R = 0 v gR <gB Demostración) Sea gB =m. Se pn::sen L 11 los siguientes casos: L A ;:o;c. O gA < m = O = Q R :-:e A satisfacen las -:on..lh:iones de !a u;;;ii~. H. gA "'r¡ ;;¡,m =gB Sean Entonces n A= .I: a·X¡ i=O 1 an-4=0 y m . B -=! b¡ X' i=O y bm -4= O A expensas de A y de B podemos generar un polinomio de grado menor que A o bien el polinomio nulo, restando de A el producto de B por un polinomio conveniente del tipo eP XP. · ,, • DIVISION DL POLINOMIOS En efecto, sean aQ¡ =o _n_ xn-m bm Y A1 =A-Q 1 B Resulta A1 "" O v gA1 < gA, pues el polinomio Q1 B es de grado n y su coeficiente principal es a.,. Si A1 =fo O y gA 1 :;;¡, gB, e1procedimiento puede reiterarse obteniéndose A2 tal que A:: O gA;;_ <gA, si A, -f:: O ::;_, gB. íhmandt' - ~ • ~t .. - • j_ Aj - - Lí X ...un (,""-O i=O se definen y Q¡+ 1 = .::... xt-m bm Ai+l = Ai- Qi+J B Los enteros no negat;vos gA, gA1 , gA2 , ••• forman una sucesión decreciente y en consecuencia se llega a la existencia de Ah tal que A11 = 0 V gAh <m Resuita Ah =Ah-t- Qh B = Ah-2- (Qh + Oh- t) B = ... =- =A- (Q¡ + 02 + ... + Qh) B h Enton,.:cs. liamando R ;t ;, y Oa ~ ! ,, ""'B() T K ;e vcrifk:J ¡!{;.() • La demostración de las uniddades de Q y R se proponen como ejercicio. 385 Los polinomios Q y R. que verifican el teorema. se llaman el cociente y el resto de la división de A por B. Ejemplo 12-5. Obtener el cociente y el resto de las divisiones de los siguientes polinomios de R[X] i ) A = X4 + X2 + t B= X2 +X+ 1
- 199. l'ül.l'.iü:llOS La operación sercahza en la fom1a habitual ordenando ambos polinomios según las potcndas d.::accicntcs de X y co¡npletando el dividendo. x4 +x2 X4 f X3 + X2 +1 1 X2 +X+I X2 -x+ 1 ~ i ) .·=·-+X! l -~ x3 -- X3 + 1 -X3 -X2 -X X1 -r X+ 1 X2 + x+ 1 o B= +X-t-2 x"--+x: -t x: 4 x~ + 3:: x -32 X -32 X- 256 256 12.4.::!. Caso particular 1 4 X+2 -::xz+lóX-1:8 Si el dividendo A es de grado n y el divisor es de grado 1, es decir B = b1 X + b0 , ,;r_~ ..mces. de acuerdo con el algoritmo de la división. el cociente Q es de grado n- ~ y el resto es el polinomio nulo o bien de grado cero, es decir, puede identificarse con una _-·mstante en K, y se tiene A=B.Q+r En el caso en que el divisor sea de primer grado y mónico es posible obtener el . o.>xiente y el resto. mdiante el procedimiento conocido como Regla de Ruffini. Sean A=a,.Xn +a,_ 1 X"- 1 +an_ 2X"- 2 + ... +a¡X+a0 -.---··-== - y B e: X -r b,1 "' X - a, siendo a "" - b0 . Entonces. los coeíicientes del codente y el resto, que se obtienen utilizando el pr.J.:euimicntn indil:aco en 12.4.1 ., son ~· ' ~ ·;,1 DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS c, __ 1 =an Cn-2 =a,_¡ +en-la Cn-3 =an-2 +cn-20 co =a1 +c1 a 387 y r = a0 + c0 a. Estos resultados pueden lograrse con la siguiente disposición prá(tica a ~-~~- an.-z ... O¡ ao +a,._ 1 ac,_¡ ae, _ 2 • . . ac1 aco ~~-"T Cn-1 Cn- 2 Cn- 3 · fo r Ejemplo 12-6. Mediante la regla de Ruffini, obtener el 'cociente y el resto de la división de A = - X3 + 2 por B = X- 2 -l o o 2 2 - 'l -4 -8 -l -2 -4 -6 Resulta Q = - X2 - ;; X - 4 y r =- 6 12.4.3. Relación de divisor en K [X} Por definición, el polinomio B es divisor de A si y sólo si existe C tal que A = BC. Se dice también que A es múltiplo de B. Si B =F O, entonces la detlnición ant~rior equivale a decir que el resto de la división de A por B es el polinomio nulo. Se verifican las siguientes propiedades I. Si un polinomi¿ es divisor de otro. entonces es dívisor de su productc por cualquier polinomio. AiB => AIBC Il. Si un polinomio es divisor de otros dos, entonces es divisor de su suma. AIB l AIC => AIB + C Ill. Si el dividendo y el divisor se multiplican por un mismo polinomio no llUlo, entonces el cociente no varía, pero el resto queda multiplicado por dicho polinomio. Hipótesis) A~ C;t:O Tesis) AC ~. R o RC o
- 200. 388 Demostración) Por hipótesis POLINOMIOS A=BQ+R yR=O v gR<gB Multiplicandc la primera igualdad por C, utilizando la distributividad, asociatividad Y' conmutativida4 en K [X], se tiene AC = BQC +RC = (BC) Q + (RC) (1) Por ntra part< g!RCl""gR +gC<gB "-gC""g BCi RC 70 las proposi..:imes ( 1) y C) verifican la tesis. Ejemplo 12-7. Dados A = 4 X 3 + 2 X + 1 y B = 2 X- 4. obtener el cociente y el resto ;;¡ílizando la reg:a de Ruffini. Temendo en cuenta la propiedad III. podemos aplicar la regla dividiendo A y B por 2, es decir. multiplicando a ambos por el polinomio L 2. a fin de que el diviwr sea mónico. Entonces -~-A= 2 X3 +X+ ~ 2 2 1 ,,_ 1 Resulta Q = 2X2 +4 X+ 9 y y o 1 4 8 4 9 l -rB=X-2 1 2 18 1 37 1 -2~ ~R=I!_ 2 2 es decir L!.::i. tDEALE~ Di'. K R::;: 37 De acuerdo con 9.6.2., el subanillo 1de K [Xj es un ideal si y sólo si A e1 11 Pe K [XJ =:. AP el Ideales triviales del anillo K [X] son el mismo K[X] y el conjunto cuyo único elemento se reduce al polinomio nulo. Este se llama ideal nulo de K [X].· Teorema. Todo ideal de K [X] es principal. ~mostración) IDEALES DE POLINOMIOS 389 Se trata de probar que todo ideal de K [X] está generado por un único polinomio. Distinguimos dos casos ' i ) Si I es el ideal nulo, entonces está generado por el polinomio nulo, y en consecuencia es principal. ii ) Sea 1 =1-{O} un ideal no nulo de K [X]. Entonces existe en l un polinomio no nulo. Como los grados son enteros no negativos, de acuerdo con el principio de buena ordenación, I contiene a un polinomio de grado mínimo. Sea éste B. Ahor:o~ bien, si A e I, por el algoritmo de la división. existen en K [XJ dos polinomios Q y Ro ú;;L::os [a!e: que = BQ + R y R =O gR <: gB O sea R=A-BQ Por definición de ideal A e l -· B el ~ Ael BQ E I = A - BQ € I ~ R E I Como B es de grado mínimo en I, no puede ser gR <gB, y en consecuencia R =O. Es decir A=BQ Esto significa que 1 está generado por el polinomio B, de grado mínimo, o. lo que es lo mismo, I es un ideal principal. 12.6. FACTORIZACION EN K[X] 12.6.1. Máximo común divisor Sean A y B dos polinomios no simultáneamente nulos del domimo de Jntegnrlad nr'n..:in:J K Definición El polinomio D es un máximo común divisor de A y B si y sólo si es iivisor d.o ambos y. además. múltiplo de todo divisor común. (DíA A D !B D es un m.c.d. de A y B ~ < l D'IA A D'!B ~ D'ID Teorema. Todo miximo común divisor de dos polinomios A y Bes una combinación fineal de los mismos con coeficientes en K [X]. -~-
- 201. J"-)i..J POLINO!Vl!OS í:-mostración) Sea Iel ideal de K [X] generado por los polinomios A y B. Es decir I={PA+QB/PeK[X] 11 QeK[Xl} Como '.odo ideal de K [X] es principal, l está generado por un polinomio D de grado mínimo, es decir, ex.isten S y Ten K [X] tales que D = SA +TB (1) Fuí ulra pa1 i>; A=l.A+O.b ,•. B=O.A+l.B=>A€1 ,, Be! ] sea. A y B son múltiplos de D. o lo que es lo mismo, Des un divisor común de A ;. 3. Sea ahora D''A " D'!B => A=MD' A B=ND' 'it:shtuyendo en ( 1) D = SMD' + TND' = (SM + TN) D' L:.Jego D'!D En consecuencia, D = SA + TB es un máximo común divisor de A y B. Propiedad. Si D y D' son máximos comunes divisores de A y B, entonces existe a E K tal que D = aD'. Demostración) Por ser D' un m.c.d. de A y B, se verifica D'!A 1 D'IB Y como D también lo es, se tiene D'ID Por definición de divisor existe R en K [X] tal que D= D'R • Por grado del producto gD =gD'+gR Y como los grados son enteros no negativos, resulta gD;;;.gD' (1) .MAXIMO COMUN DIVISOR Análogamente gD';;;.gD (2) De (1) y (2), por la antisimetría de la relación de mayor o igual, es gD=gD" 391 O sea, gR = O. Esto nos permite identificar al polinomio R de grado O. con una constante no nula a, de K. Luego D=aD' Siendo todos los m.c.d. de A y B del mismo grado, convenimos en llamar máximo común divisor de A y B al único m..::.d. mónico. y escribiremos m.c.d. {A. Bl. Ejemplo 12-8. , Determinamos el m.c.d. de A y B en los siguientes casos i ) A= 3· X~ B = 4X2 en Z5 [X]. Resulta m.c.d. (A y B) = X2 • ii) A=-:! X2 + 2 X B = ..J3 X- vJ en R [X] Se tiene m.<:.d. !A y B) =X- l. 12.6.2. Determinación del m.c.d. por divisiones sucesivas La propiedad demostrada en 9.14.2. es válida en K [X] y nos permite afirmar que el m.e.d. de los polinomios A y B es igual al m.c.d. entre B y el resto de la divisíón de A por B, siendo B * O. El esquema de las divisiones sucesivas propuesto para los enteros en 9.14.3. adopta aquí la forma análoga siguiente Q¡ • Q2 *. 4 • • • On-1 Q, Q,+¡ A B R¡ ........ . . . . . . R,_¡ R, Rt R2 ... . ~ . . . . . R, o En consecuencia m.c.d. (A, B) = m..::.d. (B, R¡) = m.c.d. (R1 , R2 ) = ... = m.c.d. (R,_ 1 , R..)= = m.~.d. (R,. O)= R, siendo R11 el último r.esto no nulo de las divisiones sucesivas.
- 202. 392 POLINOMIOS Ejemplo 12-9. Detenninarel m.c.d. de A= X5 + X3 - 2 X2 +X- 1 y B = X4 - 2 X+ 1 por divisiones sucesivas. X IX X2 +X+ 1 xs +X3 ·- 2x2 + x- 1 1 X4 - 2x + 1 1 X3 -IIX-1 X5 - 2X2 +X f x4-=: -x- 1x3 -- xz "3 ~-- X+í ¡--x: -1 l X- í 1 -~~~X X--I X-l o Resulta m..::.d. íA. Bl =X- l 12.6.3. Polinomios coprimos Sean Ay Bdos polinomios no simultáneamente nulos de K [X]. Definición Los polinomios A y B de K [X ] son coprimos si y sólo si todo divisor común de A y Bes inversible" Equivalentemente, podemos decir que A y B son coprimos si y sólo si todo m.c.d. de A y Bes de grado cero. Como el polinomio mónico de grado cero es 1, se tiene A y B coprimos - m.c.d. (A y B) = 1 En consecuencia. de acuerdo con el teorema 1:;.6. L resulta .~ y D(:oprimn~ ~ .::L~ .• ..·.JI T K S:·+- TB = Ejemplo 11·10. En R [X] se consideran los polinomios A= X3 + X2 y B =X - 1 Por el algoritmo de ia división existen Q =X2 + 2 X + 2 y R = 2 tales que X3 +X= (X2 + 2 X+ 2) (X- l) + 2 POLH--:0HOS IRREDUCIHl.l S 3~3 Entonces (X3 +X)- (X2 + 2 X+ 2)(X- 1) = 2 O sea 1 3 ) í 1 2 '¡ }·-.:¡ (X + X +t- ? X - X- 1 ,(X- 1 = l - ' - .1 b d..:c:ir, h'"mos expresado al polinomio l .:omo combinación lin•!al úe A y B -::ull ~ . ~ l ·r 1 x';!}e!h.:lc:nte! ~ - --=,- y r. ~ ~ .. ,"' '< ~- 1.. de l0 que ded u~::-r qur: A y B ~(f: ...:;Jpnn:o~. 12.6.4. Polinomio primo o irredudbie Sabemos que los únicos polinomios inversibles de K [XI son las constantes no nulas de K. Dado A =X + 1, ocurre que las únicas desc6mposiciones de A en el producto de dos polinomios P y Q son tales que P es inversible o Q es inversibk Es dedr. no es posible descomponer a A en el producto de dos polinomios de grados positivos. Se dk;; entonces que A es primo o irreducible en R [Xl- Definición El polinomio no inversible A e K [X] es primo o irreducible si y sólo si toda descomposición A= PQ es tal que alguno de los factores es inversible. O bien A es irreducible si y sólo si no existen P y Q tales que .4 = PQ con gP >O 11 gQ >O Ejemplo 12-11. ) Todos los polinomios de grado 1 son irreducibles en K [Xl, pues ningún polinomio del tipo A =a1X +a0 con a1 *O puede descomponerse en el producto de do! polinomios de grado mayor que cero. í :-.Jn tc;df; de 2 es !rredudble ~n R En. tf..:..:t.:.-_;~ ~"- .:X,2 bX con b,: 4 J[' b~ ···~;¡¡;;;;::.O, enton..:es A es, reducible, es decir. produ.:to de dos polinomios reales de grado l. expresarse c;:;mG 12.6:5. Propiedades. En el dominio principal K [X] se verifican las stgutentes proposiciones, cuyas demostraciones son análogas a las desarrolladas en el Capítulo 9: I. Si un polinomio primo es divisor de un producto, entonces es divisor de alguno·de los factores. Pes primo 11. PIAB ~ PIA v PIB
- 203. .•'-.;.+ l'UUNmliOS II. Siun polinomio es divisor de un producto y es coprimo con uno d¡e los factores, entonces es divisor del otro. P!AB ·" m.c.d. (P y A)= l => PIB i :!.6.6. Teorema fundamental de la descomposición factorial. Todo polinomio no nulo en K [X] puede expresarse como el producto de una constante por polinomios mónicos irreducibles. Tal descomposición es única, excepto el orden de los factores. · Demostración) Distinguimos dos caw~: l. Si A es una constante no nula o un polinomio irreducible en K [X]. el teorema se ,..¡.., .; ;¡,._•""""' t ·"" ,... ! "'"~ ~~--~ ...~ ...~. t'""J O bien A=a==a.l n . n A = ~ a1 X' =a, ~ i=O i=O a¡ x~ an !L Sea A de grado m. reducible en K [X]. Entonces existen en K [X] dos polinomios P1 y P~ de grados positivos. tales que A =P1P2 (l) Supongamos que la descomposición es válida para todo k <rn, es decir t P'P1 =a1 Tr 1 . Y i=l l Pz =a2 1T P:.j= 1 •l d''nde a¡ y a2 son constantes y los polinomios Pi; y P21 son mónicos irreducibles. -1ultiplicando las dos últimas relaciones se tiene P1P2 =(a¡a2>C~1 P;¡)(j~l P;¡) Teniendo en cuenta ( l) resulta A= a ir P;;/¡ _, 1 siendo a una con~tante lz= t +u y los Ph polinomios mónicos irreducibles. O sea. la descomposición es válida para m, y en consecuencia lo es para todo n e N, de acuerdo ..:en el segundo principio de inducción completa. Para probar la unicidad de la descomposición factorial, suponemos que A admite dos descomposiciones · · A=aP¡ P2 ... Pr y A=bQ, 02 ... Q., j . DI SCOMPOSICION F iCTOR!Al 395 Como a y b son el coeficiente principal de A, se tiene a = b. Enton ce~ P1 P2 ... P, = Q¡ 02 ... Os (2) Ahora bien P1 1A y P1 primo ~ P1 IQ; para algún i por 12.6.5. l. Entonces, Q¡ = RP 1 , pero como Q¡ es irreducible debe ser R una constante, y además igual a 1, ya que ambos son polinomios mónicos. En consecuencia, P1 = Q¡. Luego de dividir (:!} por esta igualdad resulta PcP3 ... P, = _Tr Q1 J=• Re1terando el pro.:eso. de acuerdo con el segundo prindpio de induc..:íón ..:omp!t>ta. los P~o son iguales dos a dos a los Q¡. y la descomposición <'S únka. Ejemplo 12·12. Descomposición factorial de los siguientes polinomios en R [Xj yen e [X]. í ) P = X6 - X5 + x'- X3 == X3 <X3 - X2 + x- 1> = = X3 [X2 IX- l) +(X- ll] = X3 (X2 + l H X-- l l Esta es la descomposición de P en cinco factores rnónicos irreducibles en R [X]. El exponente 3 del factor irreducible X es el mayor entero que satisface X3 iP. Además. X2 + l es irreducible en R [X], pues b2 -4 ac =O- 4 <O, En cambio. en e [X]la descomposición factorial es P = X3 (X+ i) (X- i) (X- 1} ¡¡ ) Q = X4 + X2 + 1 = X4 + 2X2 + 1 - X2 = (X2 + 1)2 - X2 = = (X2 + X + 1) (X2 - X + 1) que son irredudbles en R [X], pero no en e [X], pues X 2 + X + 1 = X 2 + X + ~ + ! = / (r 1 2 viJ 2 =lX+ 2) - (1 i) =,x + !__ + i ..[3 )'· ( X + ...!_. - i 0. 3 ) 2 2 1 2 ' Análogamente xz -x+ 1 =(x-- ++i ~3 ) ( x- _!__ -t 0). - -./ .. 2 2 ,,',<><:$;~>i;t<,;i:" it;jj ,.,..._...;;.J>.
- 204. 39rl POLINOMIOS 12.7. ESPECIALIZACIONDE X Y RAICES DE POLINOMIOS 12.7.l. Especialización de la indeterminada X SeanPeK[X] y aeK Definición Espedaliz:¡ción de X por a es el elemento de K Ejemplo 12-1J. p !ft} """- ;,1 j-=:f) l p (a)"' p Sl P(a)=O SI gP= o P=O g.P Detenninar las especializaciones de X en los siguíentes casos ) a = V': ! P =:! X4 - X2 + l en R [XJ Se tien~ r <0) = 2 <v'2r~- <v':)2 + 1 =1 ii ) o:= 1 +i y P = zX + i en C [X] Resulta p ( ¡ + i) :::= i (1 + i) + i = 2 i- 1 iij) o:"'" 2 y P ""3 en Z5 [XJ Entonces p (2) = 3 iv) De modo más general, si P f K [X], la especialización de X por a define una función de K (XJ en sí mismo. Si P,., X2 •• L y o:"'- X -· 1, entonces P(oJ=(",~ [i;; ~ x~- .~ 1:!.7.2. Raíces de polinomios Sean P eK [X] y o: e: K Definición o: e K es raíz de P si y sólo si la especialización de X por o: es O. O sea o: es raíz de P ~ P (o:)= O j i 1 t '1 4 RAICES DE l'OLINOMIOS Propiedad. o: es raíz de P s(y sólo si X -a: es divisor de P. l. o: es raíz de P => X - o:tp Dividiendo P por X- a:, se tiene P =(X- o:) Q +r Especializando X por a se tiene P (u)"' (.::.- u:) Q («) +r = r ~l corno Ct es :-Jf"'~ de P. por definición resu!ta P (a:)~ O~~ r ~u,timvendn en 1 l l :~· ..!n ..::'Jnsecuen(l:.l il. X-- et;P = o: es raíz de P Por hipótesis p ={X O:l iJ X-a!P x-aiP Por definición de divisor. 3 Q tal que P= (X -c.) O Especializando X por p (Ce.') <~(e:~ ti) Q (Di)= o Es decir, a es raíz de P. (l) 12.7.3. Teorema del resto. El resto de la división de P por X~ et es P (a). D~n1ostra..;iOn) Dn.·hih:ntl•) P p·.:~ , ~~ :) ·~e ~ kn<: P= X fJ-~r bpecia!iL:mdo X po1 ti: resulta P (c.)= (a- a) Q to:) + r O sea r = p (o:) Una consecuencia inmediata del teorema del resto es la siguiente X- oqP ~ P (a)= O
- 205. ~'18 POLINOMIOS /.j!:'mplo 12-14. i) Determinar si P = X" - an es divisible por X -a. Corno r = P (a)= a" -a"= O, resulta X- aiP. ii ) Obtener el resto de la división de P = 3 X2 - 6 X + 1 por (3 X + 6). Dividiendo ambos polinomios por 3, se tienen X 2 -2X+ + El resto de su división es r'= (--2)2 -:! (- 2) + De lCUerdo con 1.:!.4.3. m. Y X+2 -:;-· =8 +J..) 3 r -3 =r' O sea r = "'" 1:2.7.4. Raíces distintali de Pe K [X] Si a:1 • O:z ..... a,. son raíces distintas de Pe K [X], entonces "rr (X-a;)¡P i'-' 1 I. La propiedad es válida para n "' l. pues 15 3 Jr (X- a¡)= X- a 1 1P ya que a:1 es raiz de P. i= l JI. Demostramos ahora ~ íX- a;)IP => i=l 1 fX--n:;)IP 1 Por hipót€sis y definición de divisor 3 Qtal que P = Q ~ (X -a;) 111 i= l U resto de la división de Q por (X - ah+· des r = Q (ah+ 1). Especializando en ( 1) X por ah 7 1 • P<ah+d=Q(a1,+¡) ~ (ah+t -a;)= O i=l RAICLS MULTIPLES por ser a11 t 1 raíz de P. Como las raíces son distintas resulta Q(a11 + 1 ) =O O sea,r= O ah+ 1 -a¡-:/= O Vi= 1 , ... , h Entonces, X- a,.+ ¡IQ => Q =S (X- ah+¡) (2) De(l)y(2) 11 P =S (X- all+¡) 7r (X -a:¡) ¡~¡ y por lo tanto h;t (X i=J a;)¡P 399 Consecuencia. Todo polinomio de grado n en K [X) tiene a lo sumo n raíces distintas. Demostración) Sean a 1 , CY2 , ••• , am todas las raíces distintas de P Por el teorema anterior se verifica 11 (X- a:¡)¡P i=l Entonces P = Q 11 (X- a:;) i= l Luego n=gP=gQ+m:;;;.m Es decir m:;;;:;,n 12.8. RAICES MULTIPLES Sea a: raíz de Pe K [X]. Definición o: tiene multiplicidad p eÑ sí y sólo si P es múltiplo de (X -a:Y' pero no lo es de (X- o:)P+1_ En este caso se dice que a: es raíz múltiple de orden p. O sea ·o: es raíz múltiple de orden pe N ~(X- a)P¡p r, (X- af+ 1 { P "!"'"~~~:..
- 206. .;~0 POLINOMIOS La definicióndada puede traducirse de la siguiente manera ex es raíz múltiple de orden p ~ P =(X- ex'f Q 1 Q(ex) "4= O Las rakes de rnultiplkidad 1 se llaman simples. Por ejemplo, Oes raíz doble de P = X2 ; 1 es raíz triple de Q =X (X - 1)3 y Oes liz simple. 12.9. POLINOMIO DERIVADO Y RAICES MULTIPLES r;9.l. Opt:rador derkado La fmdón D. K !XJ ~K [XI .ldiníd1 por r n ·) , . 1 D 1P) = Dj I a; X' .= .L ia¡ x•- = P' si gP >O "¡=0 - ·=1 D 1P) =O si P =O v gP ==O rcibe d nombre de operador derivado en K [Xj, y la imagen por D de wdo polinomio !Se llama polinomio derivado de P. El operador derivado satisface las reglas usuales de la derivación i ) (P +Q)' =P' + Q' ii } (aP)' = aP' íiil WQ)' = P'Q + PQ' iv) (P"f =nPn·l P' 12.9.2. Propiedad. ex e K es raíz múltiple de orden m > 1 del polinomio Psi y sólo si ex 'S raí? de P v de!''. í S•':J u raíl de 1' ...:.m aw]llplkidad m 1. E.:ronces, por ddinid(•n 1.: t'. es ~ "- X -"' ~~m tl !cr' *O o~üvando P' =m (X - a)m -~ 1 Q +(X--- ó:)m Q' Especializando X por a resulta P'(ex)=O yaque m>I O sea, ex es raíz de P'. II. Sea a raíz de P y de P'. Hay que probar que a es raíz de P con multiplicidad mayor que l. ~ 1~ !~ '1 1 Por hipótesis Derivando (l) Susrituy.:mlu m C) ~ Dei 1) y (3) resulta RA!CLS Dl POLlNOillOS P(o:).:"O =? X-o:IP =? P=(X·-a)Q P' (o:) = O =o> X- ex!P' =? P' =(X- a) S P' = O+ {X ·-a) Q' O+- CX -a) Q' = Cl( -·o) S Q "'!X~- aH S~ 0')"' ¡X -u:¡ T P =<X -aY T, O 5e:1. a: es raíz de P con multiplicidad m :;;:::- 2. 131 12.10. NUMERO DE RAICES DE POLINOMIOS . (1) (2) 4Ul Sea P e K [X] un polinomio de grado n, y sean ex1 • ex2 , ••• , ah todas.sus raíces distintas con multiplicidades m 1, m2 •..• , mh, respectivamente. Teorema. La suma de las multiplicidades de las raíces distintas de todo polinomio de !! es m~nor o igual que 11. ~~ ~m¡~gP=n ¡;¡ Lo demostramos por inducción sobre k. 1Sea k = Les de¡,:ir. que la única raíz es a:1 con multiplicidad m,. Entonces. por 12.8 ~ se tiene LU!:!!;!O P~tx (1 ± ~ m1 =m 1 = g (X- O:¡) m' .;;;; m 1 +gQ = gP = 11 ¡= l . ii ) Debemos probar que si la propiedad se cumple para k =h, entonces se veritlca para k = h + 1, o sea ~ h+l ...- m¡ .;;:; n ::;. 2:. m;~ rz i= l i=l
- 207. .!!1] I'OUKOMIOS En cf.::cto,siendo a 1 , 0'2, m2 •• • , m¡,,se tiene , ex¡, raíces distintas de P con multiplic-idades m 1 , h m· p = 1r (X ·-o:¡) ' . Q y Q (o:¡)~ Opara i = l, 2, ... , h i= 1 Debe ser Q divisible por (X - o:h+J ('h+l. Sean H y R el cociente y'el resto de la división, es decir Q==(X-a:h+t)mh+t H+R S1 R "" O. enton..:es ,,¡.] ,.,.,, P = 1r (X- O:¡) '• H l"'l ~ <!!l .:ünse.:uen..:ia h-rl h+ 1 n = gP = ~ m; + gH ;;. ::!: m¡ i= 1 í= 1 s, R ~O. enton..:es P= !X-a;t'. H 1- (X-o:1 )m; R Como iX- O:h.,.J ÍnT! 1p Resulta IX-a;,+ 1 )h~ 1 !R *(X-o:¡}" 1 i i=l y en .:onsecuenda (X- ah+dh+ 11R O ~.::a R=(X-o:h+¡)h+l S Luego p = h:¡¡.I (X_ o:-)m¡ (H +S): h1rt (X_ o:-)m¡ T i=l 1 i= 1 1 Entonces h+l h+l n =gP = r m¡+ gT;;. ~ m¡ i= l i= 1 Consecuencia. Todo polinomio de grado 11 en K [X] tíene, a lo sumo, n raíces. RAICES DE POLINOMIOS 403 En efecto, si o:1 , o:2 , ; .• , O:¡, son todas las raíces distintas de P con multiplicidades m 1, m2 , ••• , mh. respectivamente, entonces el número total de raíces es k :rm,...;;n i= 1 Ejemplo 12-15. El polinonúo P = X 4 - 4 X 3 + 5 X 2 - 4 X + 4 en R [X] admite la raíz 1. pues p (::!)=O. El polinomio derivado P' =4 X3 - 12 X2 + 10 X-- 4 es tal que p· (2)::::: O, y en ..:onsecuencia ::! es. al menos, raíz doble de P. -"~pli(:aiidv rc~tt:=íaJa.utt:ilic ~a regla de Ruffini -4 S -4 4 2 1 2 -4 '., -4 -2 l -- 2 1 o :; 1 :; o 2 o l 1 o Resulta P ;::: (X - 2f (X2 + 1) Es decir P admite en R [X] la única raíz doble 2. y la forma propuesta es la descomposición fa..:toría! de P en R 12.11. RAICES DE POLINOMIOS REALES Sea P € R fX}, de grado•n. 12.11.1. Teorema de Gauss. Si el polinomio real P. de grado n, con coeficientes enteros, admite una raíz racional .!!_ (siendo p y q coprimos), entonces p es divisor q del término independiente y q lo es del coeficiente principal. n i Hipótesis) P = :r a¡ X es tal que a¡ € Z y an ~O i=O .!!_ eQ es raíz de P q Tesis) pla0 , qla, y m.c.d. (p, q) = 1 J
- 208. POi E<' l!liJS lkmostración) Como]!_ eQes raíz de P, se verifica q O sea Entonces :¡ "...,¡ "' i"Ü P(-~-)=o ~ 1 1' 1' - {'-1 a€ í~--' ~w- i=O "~:-;:o -=:) !: C!¡ p· •=O ->=o ~> => ao q" + p 1 i; a¡ p''-1 e:¡"- i J= O = .i= l ./ /' " • 1 • ', =a0 q" :::=pí- i: a1 p'-' q"-' 1= ' ¡ooq ,' => a0 qn =p. s con se Z ( 1) Distinguimos dos casos i ) ao =O y el teorema se cumple con p :: O y q =1 ii) a0 :;0: O Entonces p :;0: O, pues si fuera p = O, como q * O, por ( 1) sería a0 = O, contra lo supuesto. En este caso. de (1). resulta plao q" y como p y q son coprimos, se tiene p la0 por 9-8 ii) Por otra parte Ejemplo 1~-16. <I¡fJ¡ =a, =q ~a,. pn =q. .~n-1 . - ' .,., 1 ,=!J =! - a, P 1'"0 i, a,p' í"'Ü ~; .. ¡ con teZ =? = q¡an pn => qlan Dete~inar, sí existen, las raíces racionales de " -1 1+a, P = 8X3 + 10 X2 - 11 x+2 =O= ¡ ~~ l RAICLS m. POLINOMIOS ;os Si existen raíces racionales _E_ , debe ser pj2 11 ql8.. q Losdivisoresde2son: 1, -1,2 y -2. Los divisores de 8 son: 1, 2, -,2, 4, -4, 8 y -8. De los lO números racionales, - ! , ; y +son las ra{ces de P, y en consecuencia la descomposición factorial es l ' . l P=8(X+2)1 X-·~' 1'- X- -¡_.1 LU 1.2.. Raices complejas de polinomios reales ~ea P E R lX! un polinomio de grado n Teorema. Si un poiinomío real admíte una raíz compiep. entonces admite a su conjugada. Hipótesis) p = f a¡ xi es tal que a, E R y :; E e es raíz i=O Tesis} :es raíz de P Demostración) Debemos probar que Por lúpótesis p (:')=o 1'1:) =o !J n - E aí::' =O i=O •f a¡Zi =0 i=O l.l n , ! a,:;' =O i=O ~ ~ a-··.-'= u·Mttl ~- i=O JI. n - E a¡(z)' =O 1=0 jJ P(:Z)::;:; O JJ z es raíz de P por conjugado de la :,tHna y di! t) por conjugado del producto. por conjugado de una potencia y por ser a¡ e R
- 209. <o6 l'OLINO!IOS Vota: Una consecuenciainmediata de este teorema es que todo polinomio real de grado irr;par admite una raíz real. 12.11.3. Teorema fundamental del álgebra. Todo polinomio real de grado positivo admite una raíz en C. La demostración de esté teorema exige recursos no algebraicos y la omitimos. 1.!.11.4. ~scomposición factorial de polinomios reales Sea P € R tXl. de grado n >O. Teorema. Si Pes un polinomio real de grado n;:;;. l, entonces existen n complejos <r;, o: .... , a:,. tales que P=a.., n (X-a¡) i=l ) SigP = n = l, entonces Luego ·· So ' P = a1 X + a0 =a1 1 X + -- J pues a 1 =1= O "' O¡,;/ P =a1 Jr (X- 01;) donde i= l ao a¡=- S¡ ii ) Suponemos que la propiedad se verifica para gP = h < >2. Sea P de grado h + l y ah+ 1 raíz de P, la cual existe por el teorema fundamental. Entonces .P =(X -ah+l)Q siendo gQ =h. Por la hipótesis inductiva se tiene Y sustituyendo en (1) h O=ah+t 1T (X-a¡} i=l p '=:'Oh+l htT 1 (X- a¡) i=l (!) COLFICII-'.NTES Y RAICtS Ejemplo 12-17. Efectuar la descomposición factorial del polinomio p = ~ ~ x3 - ; X2 + 2 x- 1 en C [X]. P= +(X3 -3X2 +4X-2) (' nmo n! = 1 t>~ r<J Í7 de Q :;;; X 3 -· 3 X2 + 4 X - .:; entonces (X·- 1) es divisor de Q. Efectuando la división por la regla de Ruffil!Í, el cociente es y sus ralees son Luego -3 4 _., _., 2 -2 2 1 o S= X2 - 2 X+ 2 0:2 ,3 ;:; l ;t i P = _!_ (X - l) (X - l - i}(X - 1 +i) 2 12.12. RELACIONES ENTRE RAICES Y COEFICIENTES 407 Sea P ::;:; f a;Xi (J.) un polinomio de grado n en C [X]. Su descomposición facto·i=O rial es, en consecuencia P=an .11- {X-a¡) •=! Es decir P= On (X- 01¡ )(X- a2 ) ••• (X- O:n) donde a:¡ con í = 1, 2, ... , n son todas sus raíces complejas, simples o múltiples. Efectuando el producto de los polinomios'mónicos irreducibles, se tiene
- 210. 408 POLINOMIOS P ":'ll11 [X" -- (a1 + a:2 + ... + an) X"- 1 + +(a¡ 0!2 + 0:¡ "3 + ... +"n-1 O:n) xn-2 - --(o:¡ 0:2 0:3 +C<¡ 0:2 0:4 1 ... +O:n-2 O:n-1 O:n) xn-J + ... + +(-1)" 0:¡ IX2 .• ·IX¡¡) (2) De ( l) y (2) resulta Entonces Osea -a" (a¡ + O:z + · ·· + O:n) = On- 1 ür:(ú 1 o:~+aict3 +. +a:-,-i:x,a·)=an~2 -an(U; Ct1 UJ +a:! ü:z Ct3 + (!n -- 2 )!n - i aH ) :;:;:, ¡]•r - ~ (- 1)" On 0! 1 O:z ... an = ao an-1 a¡ + !l2 + ... +a,= --a-- n a.,_, 0:¡ 0:2 + 0::¡ 0:3 + · · · + Ü:n-1 O:n =a;;- an-3 0:¡ O:z a:3 + ... +a:n-2 an-1 O:n =---- . an .. . . ~ . . . ., . .. ~ . . " ... . .. . " . . . . . . . O!¡ 0!: 0:3 .. a,._¡ 4'" = (- l)" a,..,.¡ f 0:¡=- a,:-i= l an-2 " --~ a1 tx¡- a., i<j .:::;' ú¡ ií, uk"' •<i<k n 1f 0:· = (- 1)" •= l 1 t.l~¡. J lin ao an ao wn Expresando P= an xn_ +an-1 xn-t +... +a1 X +izo las relaciones anteriores se traducen en ,.t 1· 1 ~ l·ORMVLA DE TAYLOR 409 i ) La suma de las raíces es igual al segundo coeficiente cambiado de signo, dividido por el coeficiente principal. ii ) La suma de los productos binarios de las raíces es igual al tercer coeficiente dividido por el coeficiente principal. Las mismas reglas valen para las sumas de productos ternarios, cuaternarios, etcétera, con signos- o +,alternativamente. El producto di! las n raíces es igual al término independiente dividido por el coeficiente principaL con signo + o-, según que n sea par o impar, respectivamente. Eiemplo !2-18. Determinar d mónko de .;uya:; raico:~ son ll!¡ "'1 llz ""'-- l a3 "'"- Hay que obtener a2 • a 1 y a0 tales que Como Se tiene Luego p = X3 +a2 X2 +a¡, X +ao ill a 1 + a1 .,. a3 ;;; 2 = - -a; ""-a! O:¡ a2 + O:¡ 0:3 + 0:2 a3 = - l ao O:¡ a:2 a:3 =- 2 =- -- =- ao a3 a¡ a3 Gz =- 2 G¡ =-] ao = 2 P = X3 ·- 2 X2 - x+ 2 t:U3, FORMULA DE TAYLOR ' METODO DE HOR.IJER Sea P = f a; X¡ en K IX] un polínonúo de grado positivo. i=O =a¡ Pensando P como una. función de K en K respecto de la especialización de X, si efectuamos una traslación definida por a € K, al referir a P respecto del nuevo origen, la indeterminada Y está vinculada con X mediante X =Y +a
- 211. ,,,,, POLINOMIOS '<('------X---~ ------~-+--------4--------4----~---k Osea Y=X-a Entonces se tiene O a <E--Y~ P= f b¡ fX -a); :"-0 dc>nde P queda expresado en potencias de X- a== Y. y cuyos wet1cientes b, serán l"'t~m1inados a continuación. 1~.13.1. Fórmula de Taylor .~ partir del polinorrio P = f b¡ (X- ai (í) de grado n >O. determinamos las n i=O ie:::vadas sucesivas: P' i i b¡ fX -a)i-l i=l n ·~ p·· = .l: i U- l)(X -- a)•·~ i=2 P'" = f i!i- l)(i- ::)<X -a) 1 • 3 i=3 p(n-1)= ~ i(i -1) (i- 2) ... [i- (n- 2)) (X -ai·(n·l) i=n-1 p(n) = I i-(i- l)(i- 2) ... [i- (n -· l)] IX- a)i-n i=n Especializando X por ae,o P y en las n derivadas, se tiene P (a)= bo P' (a)= i .b 1 = 1! b 1 P" (a}= 2 . 1 . b2 = 2! bz P"'(a} = 3 . 2 . 1 . b3 = 3! b 3 p(n)(a) == n! bn ~: i f¡ ~,, 1 • METODO DE HORNER 411 Entonces b0 = P (a) b 1 = !! P'(a) b 1 P" , )2 = 2! ~a ~ - • p(n) 1~ un- f .L "1 n. Y sustituyendo en (1) resulta la fórmula de Taylor n •p(i) (a) P= P(a) + I: .1 (X -a)' i= 1 l. Si convenimos en llamar a P (a), la derivada de orden o de Pena, podemos escribir P(a)= p(o}(a) o! Y la fórmula anterior se expresa así n p(i)( ) P= I ~ (X-ai i=O l • 12.13.2. Método de Homer Para obtener los coeficientes b; de la fórmula (1) efectuamos las n + 1 divisiones sucesivas siguientes, hasta obtener un cociente nulo p bo X-a Qn.3 donde gQ¡ = i, Vi= O, 1, ... , n - 1 1 1 1 L---- Qz bn-2 bn X-a o '
- 212. 412 POLINm.HOS Por elalgoritmo de la división se tiene P = bo +(X-a)Qn-l =bo +(X a)[b¡ +(X-a)Qn-2]= = b0 +b ¡ (X -a) +(X- a) 2 Qn-2 = = bo + b 1 (X - a) +b2 (X - a)" + (X -- a) 3 On.3 = '""' ... ::::;; b0 + b1 (X- a)+ b2 (X-- a)2 + ... +b, (X- a)" ~uyos t.:ü~t¡.,:¡¡;;¡;¡c:, mdt~::tJJs. ;:on lüs sucesívos restos que resultan d.: ias dívisiones ;m.:es¡;;.;~ Ejt'tli[JÍU i:!-i9. Expresar el Jolinorrúo P = X 3 - 3 X2 + 2 X + 1 en potencias de X + 1 utilizando los métodos anteriores. ) Fórmula de Taylor. Obtenemos los polinomios derivado& P' = 3 X2 - 6 X +:! P" = 6 X-· 6 P"'=6 Especializamos X por - 1 Luego 3 p -- 1) =- 1 ,_ 3 ~ 2 + l = -5 P' (- 1) = 3 + 6 + 2 = 11 P" (- 1) = - 6 - 6 = - 12 P"' (- 1) = 6 p::;:: :E (X+ ll¡ = i=O =--S + 11 (X+ 1)- ;~ (X+ l) 2 + ~! (X+ 1) 3 = · 5 + 11 (X + l) -- 6 (X + 1)2 + (X + 1i ii) Método de Horner. Efectuamos las divisiones indicadas en 12.13.2. mediante la regla de Ruffini (t METOD(i DE IIORNER -3 2 l -- 1 1 1 -1 4 -6 -4 6 1~ 5 -- 1 1 1 -I S -S 1 11 -- 1 1 -1 -6 y íos coeficientes son b0 =-- 5 , b1 = I l , b: =- 6 y b3 = i. Se tiene P=-5 + 11 (X+ 1)-6(X + 1)2 +(X+ !}3 4!3
- 213. TRABAJO .PRACTICO XII ,·=..:n.Dcte;-rrJnar a.. by r: ~n R. de modo que í ) 9 X2 -- 16 X+ 4 =a (X- l )(X-- 2) + bX !X-- 2) +eX tX- 1) ü) X+2=a(X2 +X+ l)+tbX+c)(X-1) ! ::-::J. Dados en Z6 [X}los polinomios P =~X4 +X3 +4X+3 o= 3x2 + sx +1 Determinar i )2P-Q ií) PQ üi)P" +Q iv) el grado de XP + 2 Q 12·21. Obtener el núme;o de polinomios en Z [XJ de grado menor que 4 con coeficientes a1 tales que :a,- 1 ! .;;;; 3 12-23. Determinar si existen polinomios A e R {X} de grado positivo, tales que A2 -A=O. 12-!4. Obtener el cociente y el resto de la división de A por B, pertenecientes a Q [X], en los siguientes casos: i )A=-X ü ) A = X4 - X2 + 2 üi) A = 2 X2 - 1 B=J_ X-I 2 B: -X4 + 1 X-1 B =X3 -X 12-15. Dados A=X3 +2mX+m y B=X2 +mX-1 en R[X], determinar m para que A sea divisible por B. 12-16. Mediante la regla de Ruffini, determinar el cociente y el resto de la división de- A por B en_cada uno de los siguientes casos ¡ )A=-aX3 +a3 X-I B=X-a ii)A=JX4 +X2 +4X+2 B=X+l enZs[X] í,,1 .¡ ·¡ TRABAJO PRACTICO XII üi) A = ;X4 -- 2 X2 + ; iv)' A= 3 X3 - 6 x + 1 B=X:+i enC[XJ B=3X~9 12-27. Determinar el m.c.d. de los pares de polinomios que se indican i ) A = X4 + X3 - X2 +x- 2 y B = x~ + X3 - 3 X2 - x +2 ü) A =:=X 4 -16 y B = X2 + 4 iii) A = X11 - 1 iv) A= X 3 + 2 X2 -X- 2 y y B = X33 -1 B = x~ + 2 X2 -3 415 12-28. Sean P y Oen K [X] y a e K. Demostrar que P . Q(a)- P (a) . O es múltiplo de X-u. 12-29. Realizar la descomposición factorial de P =X3 + 4 X2 -4 X- 16 en Q [X]. R [X] y C [X]. /2-30. Verificar que P = X4 - 5 X2 + 6 carece de'raíces racionales. 12-31. Obtener todas las raíces de P = X4 - lO X + 1 12-32. El polinomio P = X3 + 2 X2 - 4 X- 8 admite una raíz doble. Obtener la descomposición factorial en Q[X]. 12-33. Expresar en la forma X4 + f O¡ X¡ el polinomio p = ~ (X- a¡) tal que i=J i=l a¡ e R para i = 1, 2, 3, 4 12-34. Determinar el polinomio mónico de grado 4, cuyas raíces son- 2,- 1, l y 2. 12-35. Investigar si los siguientes polinomios son irreducibles en Q [X] y en R !XI ¡)A= X3 -3 ii)B=5X2 +4 iü)C =X6 -1 12-36. Demostrar que :P = f. O¡ X' es irreducible en R[X} si y sólo si z i=O · !::.=a1 -4a0 a2 <O. 12-37. Proponer un polinomio irreducible en Q [X] del tipo a ).{? + b X + e, tal que b2 -4ac;a.o. 12-38. Detenninar en Zs [X] un polinomio P de grado. 2, tal que P(l)=3 , P(3)=0 y P(2)=T. 12-39. Sea B*O en K[X]. En [X] se define la relación de congruencia módulo B mediante A- A' <=> BiA- A' Demostrar que tal relación es de equivalencia y determinar las clases de equivalencia. ·'"eii'-P~f,
- 214. 416 POLINOMIOS 12~10. Demostrarque la congruencia módulo B =F O en K [X] es compatible con la suma y el producto. 12-41. Sean Ay B en K [X]. Demostrar que I ={SA + TB /S y Te K [X] ) es un ideal de K [X]. 12-42. Demostrar que la intersección de toda familia de ideales de KlX] es un ideal. 12-43. Demostrar que el i'deal generado por A1 y A2 en K [X] es igual a la intersección de todos los ldealt!s que contienen a A, y A< 12-U. Determinar todas las raíces de la~ s¡guientes ~cuacJ•,¡!Jes ¡ ) X 4 + 16 =o u) x.l + X2 + x + 1 =o iii) i X3 + l = O 12-15. Dado P= 8 m X1 + 7 (m- 1) X+ l con m =#o O, determinar m en !os siguientes casos i ) Las raíces son opuestas. ii ) Las raíces son recíprocas. iii) Las raíces son reales e íguales. 12-46. Resolver las siguientes ecuaciones ¡ ) X3 + 2 X2 +3 x + 2 =o ¡¡ 12 X3 - X2 - sx - 2 =o 12-17. Resolver las siguientes ecuaciones r ; , :,J_: 'C - __....... siendo siendo Ct¡ + cx2 - <~:3 =O a, cx2 + l =O i ) ab X- b X(a +b + X) :;;; a X (a + b + X) + ab (a + b +X) ü ) X8 + 2 X 4 + 1 = o 12-48. Dada la ecuación X3 - 7 X+ m = O. determinar m para que a:1 -- 2 a:; ""O. 1J-.19 Di'lem~:n:J.r ~uma j~ ~n~~ :~~tadradcr;; de las raí(.eS de la :ecuación v-l ~ ,'. - , j + -=,- X" ·-:;- X + --:, = O 12·50. Dado P = X3 - 3 X2 + 2 X en R [X}, determinar el polinomio cuyas raú;es exceden en 3 a las anteriores. J 't BIBLIOGRAFIA Alexandroff P. S.. Introducción a la Tecna de Gntpos. Edttoria! Universitaria de Buenos Aires, 1965, Apóstol T. M.: Análisis Matemático. Editorial Reverté S.A., Barcelona, 1960. Balanzat M.: El Número Natural y sus Generalizaciones. Universidad Nacional de Cuyo, 1953. Birkhoff-Mac Lane: Algebra Moderna. Editorial Teide, Barcelona, 1964. Bosch. J.: l>!troducción al Simbolismo Lógico. Editoríai Universitaria de Buenos Aire5. 1965. Cop~ 1.: Introducción a la Lógica. Editorial Universitaria de Buenos Aires, 1962. Cotlar-Sadosky: Introducción al Algebra. Editorial Universitaria de Buenos Aires, 1962. Chevalley C.: Fundamental Concepts o{Algebra. Academic Press Jnc., Publishers, New York, 1956. Dieudonné J.: Fundamentos de Análisis J1oderno. Editorial Reverté S.A., Barcelona, 1966. Faure-Kaufmann-Denis: Matemática Moderna. Editorial Paraninfo, Barcelona, 1966. Gentile E. R.: Estructuras Algebmicas. The Pan American Unían, Washington, D.C., 1967. • Cremil~ E R.. Jiutas de Algebra. CEFM'{X. Buenos Aires. 1964. Hernández, Rojo: Rabuffetti: ConceptOs Basicos de J4atemdtica :lfoderna. Editorí:li Códex, Buenos Aires, 1966. Hu S. T.: Elements ofMorlem Algebra.. Holden-Day, California, 1965. Lentin-Rivaud: Lecons d'Algebra Modeme. Libraire Vuibert, París, 1961. Lipschutz S.: Theory and Problems o{ Finite Mathematics. Schaum Publishing CO., New York, 1966. Lipschutz S.: Theory and Problems o{Set Theory Schaum Publisihing CO., New York, 1964.
- 215. ~ 18 BIBLIOGRAFIA :..¡atansonl. P.: Theory of Functions of a Real Variable. Frederick Ungar Publishing CO., New York, 1964. Oubiña L.: Introducción a la Teoría de Conjuntos. Editorial Universitaria de Buenos Aires, 1965. Rey Pastor-Pi Calleja-Treja: Análisis Matemático l. Editorial Kapelusz, Buenos Aires, 1961. Rudin W.: Principies ofMathematical Analysis. Mac Graw-Hill Book Company, New York, 1964. SL-r.r:;ons G. F.: Jntroduction to Topolog;,· and Modem Analysis. Mac Graw-Hill Book Company, lnc., New York, 19ó3. C.: El Concepto de .Vúmero. The Pan American Union, Washington, D.C., 1968. T.1-::k.:r H. G.: bitroducción a la Teorí'a iUaterr.átiea de las Probabilidades y a la Esta- dútica. Editorial Vicens Vives, Barcelona, 1966. RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PRACTICOS TRABAJO PRACTICO 1-17. • Mis maestros hacen que todas las lecciones sean aburridas y no aceptan las respuestas que no figuran en ios übros. • Aceptan las respuestas que no figuran en los libros o imponen un cúmulo de nom1as estúpidas. • Si mis maestros hacen que todas las lecciones sean aburridas y no aceptan la! respuestas que no figuran en los libros: entonces imponen un cúmulo d< normas estúpidas. 1-18. La proposición compuesta es la conjunción de 8 proposiciones simples: p, A P2 ·" .. · A Ps donde p1 : "la chatura de ciertas disciplinas escolares se trasmite a los maestros", etcétera. 1-19. Adoptando la combinación de valores de verdad que figura en el texto, los renglones para las tablas propuestas son: i )VFVVYVVV ii)YVVV 1-20. • Mis maestros hacen que algunas lecciones no sean aburridas. • Aceptan las respuestas que no figuran en los libros. • No imponen un cúmulo de normas estúpidas. 1·21. i ) - p A q. Su negación equivale a p v - q, y la retraducción es: "es justa o l no mantiené el o¡den". j ii ) p " q ; - p v ::.... q; "los alumnos no conocen a los simuladores o no los desprecian". iii) p =~- q ; p A - q> ·•tos alumnos conocen a los simuladores y no los desprecian". 1-22. i ) sí. ü) sí. iii) no. iv) sí. 1-23. i) p 1 q. ü)-p '1 (q V -q). 1-24. F. 1-25. i ) sí; V. ii) sí; F iii) sí: V. iv) no. 1-26. i ) V. ii) V. iii) F.
- 216. 420 RE:'iPUESTAS ALOS TRABAJOS PRACTICOS 1·27.i)Vx:"P(x) 11 Q(x) ii)3x/P(x) 1 -Q(x). iii)3x/Vy:xy=f.O 1-211. Utiliza~ 11 ley del silogismo hipotético. 1-29. i ) V x eR : x 2 >2; 3 x € R/x2 .:;;;; 2; existe algún número real cuyo cuadrado es meno· o igual que 2. ii) 3 x eZ/x3 + l = (x + 1)3 ; Vx e Z: x 3 + 1 =f. (x + 1)3 ; todo número entero es tal¡ue su cubo aumentado en uno, es distinto del cubo del siguiente. iii) Vx : r(x) ~ Q(x) ; 3 x/P (:~) ,, - Q(x); existen personas que estudian y no tritnfan. 1·10. Utilizand> leyes lógicas, se llega a la proposic!Ón equivalente - p - q ;;uyo circuito e; -p -q _____.! o J-3J.i )[(p /' q) V (-p /1 -q) V q} A p ii ) Utilizmdo una ley de De Morgan y el hecho de que la disyunción entre una propo:ición y su negación es una tautología, se llega a p A q, cuyo circuito es y yo--------- ---------~ 1·32. Vx e Z : xes impar --=> x2 es impar. Contrarre:íproco: si el cuadrado de un entero es par, entonces dicho entero es par. Contrario Sl un entero es par, entonces su cuadrado es par Recíproc~: S1 el cuadrado de •!n entem I'!S imuar. entonces dicho ~r>t~rc !lo imp;r. Pa;a demostrar el teoremacontrarrecíproco: co~sider::o: = x 2 - x {.>;- 1). /-33. Suponer q.te a es par o que bes par; se llega a que abes par. 1-34. De las dm primeras resulta p v r; considerando esta y la tercera proposición, por ser arrbas •:erdaderas, resulta la verdad de p. 1-35. De la verdld de las dos primeras se infiere la verdad de r, y por la ley del modus ponens, remita la verdad de s. 1-36. La forma simbólica del razonamiento es TRABAJO PitACTlCO l ~p=>r 11 s - r A S p 421 La validez se justifica teniendo en cuenta la equivalencia entre una implicación y la disyunción entre la negación del antecedente, y el consecuente.
- 217. -~.. ~;NW.~;¿n,~;~~ ·;.._·::::¡.~~~~·~;:t:~mir~~·~.<;.>.::;;~~~'~;';:.]'~~.:·:~ ·.~'~;..~J<~.~~<~· ··~-·~,._,- 10 .,...,._,_, TRABAJO PRACTICO 11 ::-34. S = { (1 ,1 ,1) , (l ,1 ,O) , (1,0,1) , (0,1 ,1) . (l ,0,0,, (0,1 ,0) , (u,úi) , (0,0,0) f 2-35. S 1 = {<1.1,1) , (1,1 ,0) , (1,0,1). (0,1,l)} S2 = S1 r }s3 =t(1,1,1), (o,o,o) ?·16. S~ =t(0, l,O), (l,O,Q), (0,01), (0,0,0)J ~ -{ ' .52 -83 - (1,1,0) ,(1,0,1) , (0,1,1)j ~ ~ 5 1 n 53 = {0,1,1)1 (S¡ u S3) n St =S1 2-37. A={- 3, - 2.- 1, O, 1, 2, 3} y B = {- 2, -1, O, 1, 2} An B=B, AUB=A ,A-B = {-3 ,3} ,B -A=I/J ,Al'lB = A-B - 3 S] r 1 5"" 2-38. A= l- 2 , 2 y B = l- 2 , 2 J son dos intervalos cerrados reales. A n B = B ; A U B =A ; Be = R- B = (-,.. , - +) U ( i ,"") 1·39. A={-1 , 1} y B = {- 1, l]. A n B =A, (A UB)c =Be= R-B ={x eR/!xl > 1} = (-oo,-l)U(I,oo) 1-10. AUB={-6,-3,-2,-1,0, 1,2,3, AnB={-3,·-2,-1, 1,2,3} ,A-B={o},B-A={-6,6}, AAB={-6,0,6} 2~1. 4>, {(O ,'ñJ},{(t~, O)}, A 2-12. A2 = { (a,a), (a,b), (b,a), (b.b)} ,los elementos de P (A2 ) son: 4>, { (a,a)} · {<a.b)} .{(b,a)} ,{(b,b)}.{(a,a),(a,b)}.{(a,a),(b,a)}, · r . b' ~ (, • ' " )) ( 1 ( l l(a.a), (b, >) , ~.a.o}, ~o,a ) , 1_(a,b), (b.b)¡ , (li,a), (b,b)¡ , TRABAJO l'RACTICO U { (a,a), (a,b}, (b,a)} , {<a.a), (a,b), (b,b)}, {<a,b), (b,a), (b,b)}, {<a.a) , (b,a) , (b,b)} , A2 • 243. i ) x € A n B => x € A A x € B => x € A. Luego, A n B e A. Usar el mismo procedimiento para demostrar A e A U B. 2-44. Considerar x e A, utilizar la hipótesis y la definición de intersección. 2-45.Seax€AUB =>xeA V xeB =*XEC V xeC =*xeC. 423 2-46. En el texto está demostrado: 4> e A, y como por hipótesis A e 1/J, resulta A= 1/J, por definición de igualdad. 2-47. Considerar A- (A n B). tener en cuenta que la diferencia entre dos conjuntos es igual a la intersección del primero con el complementario del segundo, utilizar una ley de De Margan y la distributi-.idad de la intersección respecto de la unión, para obtener A- B. El mismo procedimiento se sigue para probar (A u B)- -B=A-.B. 2-48. Se aplica el mismo método que en el ejercicio anterior. 2-19. A n B)-C =(A n B) n ce= AnBnccncc = (Anc") n(BII C") = =(A - C) n (B - C). 2·50. (A- B)-C =(A nBc)nC" =A n(B" nC")= A n (Bu C)" =A -(BUC). 2-51. A- (B- C) =A n {B n C")c =A n (Be U C) = (AnB") U (A n C) = =(A-B)U{A nC). 2-52. Expresando en términos de intersecciones ambos miembros de la inclusión, hay que demostrar A n Be i'l C" e A n (Be U C) Seax eAnBenc" =*X eA " xeB" ,.x eA " x eBeuc ,.x e AntB"UC) 2·53. A U (B - C) = A U 'B n C") =(A U B) n (A U C") = =(AUB)n(C í1A")" =(AUB)-(C-A:P. 2·54. (A n B) U (A n B") =A n (BU B") =A n U =A 2-55. Como (A- B) U B =(A n B") U B =(A U B) n (B" U B) =(A U B)llU = = A U B, hay que probar Be A * A U B = A, lo que está realizado en el texto. 2·56. Está demostrado en el ejercicio anterior. 2-57. A l'l B::: <!> * (A- B) U (B- A)= </1 ~ A- B=if> 1 B _:.A= <,b * *>AeB 11. BeA<:>A=B , 2-58. A =1= 1/) / B # <1> * 3 x e A 11. 3 y e .B *> 3 (x,y) € A X B * A X B=F tf;. Luego A X 8 :;: ¡f¡ ~ A = '}! v B =¡p. ·-~.. ':·..... ~ ~ '~
- 218. 4:?.4 RESPUESTAS ALOS TRABAJOS PRACTICOS 2-59. í )(x,y)e A X e ~ x € A A y eC ==> x e B A y e D => (x,y) e B X D ii) Sean x e A A y e C ==>- (x,y) e A X e => (x,y) e B X D ==>- => x e B 11 y e D. 2·60.(x,y)e(A.nB)XC==>-xeA "xeB" yeC=>(xeA "yeC) l.., /1 (x e R A y e C) => (x,y) e A X e A (x,y) e BX e => ==>- (x,y)e(A XC) n (B XC). 2-61. (x,y) e(.- B) X e ~ x e A A x / B /1 y e e <» (x e A A y e C) 1 A (x0 v ytC) <=>(x,y)eAXC A (x,y)tBXC ~ ~ (x,y)i:{A XC)_,_ (B X C). 1-61. ¡ ) X E A L. e = X € A V X e e =;> X e B íi) Seguir el mismo procedimiento. 1·63. i ) X € A <=> x € B A X ee => X € B n e ü) xeA =>xeBnC =>xeB A xeC 1-64. Se sigue el esquema del ejercicio anterior. xeD =;.x<:B'..JD l-65. x e A ~ x e A 11 x t B ~ ;~ e e " x t B <» x e e - B. 1-66. i ) x e l" ~ x e U" A x e u ~ x e U" n u <::> x e rp Ü ) U = (Ue{ = rpe iü) AnA"= A- A= ¡p iv) A U A"= (Aen At =¡pe= U 2-67. X e B ~ X t A <::> X eAe 2-68. i ) A- (A- B) =A n (A n B")" =A n (A" U B) = ""(A '1 N) U (A n B) =4J U (A n B} =A n B. ii) A U (B- A)= AU (B nA')= (A U B) n (A U A")= (A U B) n U= A U B. 2-6 9. i ) x e A" => x t A => x e B ii) Se sabe que A U Be U. Además x e U => x e A v x e Ae => x e A v x E B => x E A u B. :F-:0. ¡ € An B = ' E A t, X € B => X E B" ,, X ¡; B = X € rjJ Luegc : :-; Be ;ji y ;;:omo ¡p e A n B, resuita .: n B=,¡, 11 l X E-" =:;X t 13 "'*X € B", 2-7l. e (A U BU C) =e (A) +e (BU C)- e [A n (BU C)] = =e (A) +e (B) +e (C)- c{B n C)- e [(A n B) u (A n e)]= =e (A)+ e (B) +c(C) -e (Bne) -e (A n B) -c(A n C) +e (AnBnC). 2-72. a) 1/J e A ==>- q,c e A =>U e A b) A; eA => A1 eA => :UA1 eA <=> U A1 eA => ~ • A1 eA.e e ( ")" ,-.. . 1el iei •el TRABAJO PRACTICO Il 425 2-73. i ) A eA n B => A e.A f A eB => A" eA 1 Ae eB => Ae eA n JJ. ii ) A¡ E A n B => A¡ eA 1 A¡ eB => U A¡ E A A U A¡ eB => =>U A¡ eA nB. id iei iEI iii) ifJ e.4 '" q¡ eB => q; eA n B.
- 219. TRABAJO PRACTICO 111 -'. .• . ~ : ~ ... ,_ .. !". .... ~. t 5·1'1. 1 J K= i l,.::l), 1,'+), .::.,.::1} ( ii ) ' _, 51,<1 1 1 1 :'h 4¡ lFP, ; 1 l 1 ' 3 1 1~ .} ! 1 ! J t ! ! : 1 l ¡-~ _¡ R r1 --z 3 4 s ili} R-1 = {(3,1), (4,1). (3,2)} 3·2U. i ) R = {0.1), (2.4), (4.16)J S= {(4,2). (16,8). (6.3)} ;i) S o R = Ú2,2), (4,8)J r .,_ "l ili) DR = 1 ,2, 4_' 3-21.. i ) Ds ={4, 6, 16} DsoR = {2, 4} 3 R IR= {1, 4, ls = (2, 3, 8~ ' ' IsoR = { 2, &} ü) :..1 j TRABAJO PRAC11CO Ill 4:7 iii) 3-22. Res reflexiva, simétrica y transitiva 3·23. a) Reflexividad. . (x.y) e R2 =*y= y ~ (x.y)- (x.y) b) Simetría. (x,y)- ~-c',y') =y= y'~ y'= y ~ (x',y')- (XJ') e) Transitividad. (.x,y)-(x',y') A (x',y')-(x",y") ~y=y'" y'=y· ~y=y => = (x,y)- (x'',y"} d)~a,b)={(x,y)!y=bJ e)l=R R2 f) -::;- = { ~O,y) /Y eR} 3·24. i) R:{(l.2),(2,1),(1,8),(8,1),(2,4),(4,2)} ü) , ' A ili) Res a-reflexiva, simétrica, a-transitiva y no antisimétrica. 3-25. a) Reflexividad. (a,b) eN2 =a+ b = b'+a => (a,b)- (a,b) ···- ·.· .., -(1;~~-~nar· 57
- 220. g; RESPUESTAS ALOS TRI'.HAJOS PRAC'T!COS b) Simetrí2. (a,b) ~ ~a',b') =>a+ b' = b +a' =*a'+ b = b' +a => (a',b')- (a,b) e) Transithidad. . ·· (a,b)-ia',b') A (a',b')-(a",b") =>a+b'=b+a' f a'+b"= = b' + a" => a +b' +a' + b" = b +a'+ b' +a""* a + b" =b + a" => => (a,b)- (a",b") d) Clases de equivalencia. K(a,b)={(xJ•)fN 2 1 x+b=y+a} e) Conjunt.) de índices. [ = Ver 9.. H: ( u tn. n + conneN 3·26. R = ((a+J) (b,b}, (e.e), (d,d), lb,c), (c.b}} 3-17. a) R:: {(U), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2). (:!,1)} b) Reflexh~dad. x e A ==~ x = x "* (x,.x) e R e) Simetría. (X J') € F. ,. X =y V X +y =3 => y =X V y + X = 3 => (.V~~) € R d) Transitilídad. (x.y)€R 1 (y,z)t:R =>(X""Y V x+y=3) f, (y=z V z +y= = 3) => x = z v x +z = 3 => (x,z) eR e) Lapartidónde A es ~ 2 = {{1, 2), {3}, {4}} 3-28. Res de equivalencia. 1·29. i ) X € R => 1X- 11 =1X 11""'X...., X Ü) X Ji ~ j X- l ! = 1y - 1 1=> !y~" 11 :;;; IX.~ ll =1> y ·~X Üi) X -y A y - Z ,. X - Z iv) A R pertenecen los pares (x,y) que verifican lx-11=1y-ll=>x-l=±(y-I)=>x-l=y-l v x-l= =-y+l =>x=y v x+y=2 "_.. x·'-"' R X +y=2 TRABAJO PRACTICO IIl 3·30. i ) Simetría. (a,b) eR => (a,b) € R 11 (b,b) eR "* (b,a) eR Transitividad. (a,b) e R 11 (b,c) e R => (e,a) € R => (a,c) e R ii) SiR es de equivalencia, entonces es reflexiva y circular, pues (a,b)eR 11 (b,c)eR => (a,c)€R :=> (c,a)eR 3-31. i ) Res de equivalencia. Se prueba siguíendo los esquemas anteriore5. ii) (x,y)eR *>X2 -x=y2 -y *>x2 -y2 ;,x-y* *> !x+y¡ (x-y'!-· (x---y)= O ~(x-y) (x+y-l j"" O * ""'X=y V x+y=l X +y= i ili) Ka = {x e R / x -a} x -a => x2 - x = a1 - a :=> x =a v x = 1 - a O sea K,.= { a,l-a} iv) l = rl¡·~ ~ ..;, " ..R = oc} NC - ~~ - - L ~ . 3-32.i) xeA =>(x,x)eR =>(x,x)eRuS ii~xeA=>(-:.x)eR A (x,x)eS=>(x,..X')eRnS R 3·33. lxl + 2(yl = 1 => ±x± 2y = l =>X+ 2y = 1 V x- 2y = 1 V V -x+2y=l V -x-f.y=I => 429 =>__!. + L = 1 v x+ L = 1 v '2._ + L = l v __!__ + L = 1 1 y. -12 -1 12 -1 -12 1 con lxl ,¡¡;;; 1 A lyl .:;;; 2
- 221. 4JfJ 1 ' l] 1:r 1 1 1 'R = L¡- --::;- , --::;-J~ .. RESPUESTAS A LO~ TR.>BAJOS PRACTICOS y 72 < 1 =-::. lo X -1 1 -~ 3·34. (a.b)eR uR-1 =:. la,b)eR v (a,b)eR-1 =(b,a)eR-1 v (b,a)eR = =(b.a)eR- 1 UR =(b,a)eR UR-1 • .?-35. i ) R. es a-reflexiva, a-simétrica, transitiva y antisimétrica. ii) (x,y) e R <» x-y e R.,. ~ x-y> O J.36. i ) (x,y) eR ~ i" = Y 2 * x2 - y2 =O ~ (x +y) (x-y)= O ~ ~ X +y =0 V X -Y =0 con lxl <:; 1 A 1Yl .¡;;;; 1 TRABAJO PRACTICO lll y R=AUB B -1 : 1 X ' ¡ / j' ·"Z; V _______ --------~-1 ' ü ) R es de equivalencia, pues: a) x e A = x2 = x2 =;. x - x b) X...., Y => Xl =y2 => yl = x1 =y_, X e) x -y ,., y - z = x2 =y 1 A y 2 =z2 = x2 = z2 = x - z ili)Ku={xeA/x2 =a2 }={-a,a} ~ ={Ku/ue[o,l]} 3-37. i )(a,b) e R-1 = (b,a) eR = (a,b}e R = (b,a) eR-1 ii )(a,b) e R-1 ,., (b,c)e R-1 =(b,a) e R A (c,b) eR => (c,b) eR = = (b,c)eR-1 3-38. (a.b)eR nR' •A (b,c)eR nR',... =(a,b)eR 1 (b,c)eR" (a,b)eR' 11 (b.c)eR' = =(a,c) e R 11 (a,e) e R' =(a,c}'e R n R' 3-39. (a,b) e R n R' " (b,a) eR n R' => =>(a,b)eR "(b,a)eR" (a,b)eR'" (b,a)eR' =a=b 3-40. i ) a e X =a eA =a ""'a =a e X* ii) ae(X u Y)* ~a- b, Vb e X u Y = ~ (a - b , Vb e X) V (a - b , 'rlb e Y) * ~ a e X* v a eY* ~ a eX* UY* 3-41. i ) Res reflexiva, simétrica, no transitiva y no antisjmétrica. ii ) R es a-reflexiva, simétrica, a-transitiva y no antisimétrica. 431
- 222. 432 RESPUESTAS ALOS TRABAJOS PRACTICOS 3-42. R¡ R2 RJ R4 Rs R" R? Rs R9 RJO Ru Rl2 Ru R¡4 R¡s R¡6 R no no no no no no no sí no no no no sí sí no sí S sí sí no no SÍ no no si SÍ no no sí no no si sí T sí sí sf sí sí sí sí sí no sí sí no sí sí no si A sí sí sí sí . sí sí ~~_j_::~ -~~J-~í- ..sí no sí sí no no = ~··~~ -~·~= -~T- 1 -- ....~-i1. Res no retlexiva, símétrica, no transítiVa y no amísímétrica. J.44. R = { (l,l), (1 ,2) , (l ,3) , (1 ,4), (1.5) , (2,2L (2,3) ,(:!,4), (2,5) , (3,3} 0.4 L {3,5)' (4,4) , (4,5) '(5,5)} Elementos minimales: 1 Elementos maximales: 5 1:45. R ={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,2), (2,4), (3,3), (4,4), (5,5)} Elemento minimal: 1 Elementos maximales: 4, 5 y 6 346. Cota inferior: l. Cota superior: 6. l-47. i ) A no tiene primer elemento, pero el último es l. ii) No está bien ordenado pues el mismo A carece de primer elemento. ili} Cotas inferiores son todos los reales no positivos. Cotas superiores son los reales mayores o iguales que l iv) El ínfimo o extremo inferior es Ot A. El supremo o extremo superior es 1eA. .. TRABAJO PRACTICO IV 4-15. i ) J= O.Oí. '~ ¡¡ ) ' t-------____:: 3 ------- -·1 2 1 1 1 1 1 o 1 2 3 üi) fes inyectiva, no sobreyectiva ni biyectíva. 4-26. i ) •z! 1 ,.----+2 1 ,----~-- 1 1 1 1 1___, '1 -2 :-1 lO 1 3 ü) fes no inyectiva, no sobreyectiva, no biyectiva. X
- 223. ;~~;";'>~,:··~~.,f~:._.;~~,-~,~~ '":.;(~;,~~~~:)"'~~.:,~··.::2~~1;. f:."i"·;iif-_.liitJF'I'ilP.mif-ftT3'"$15'".~·.~:'~~<Cr.,.:,-...;,,.~---....,.....-<-1'"~""-·Lb' 4:14 4-27.j ) . RESPl'ESTAS A LOS TRABAJUS PRACTJCOS -21 -1;. . '' o ...__~f z r----1 1 1 ,__11 1 1 1 . 2 3 R ü ) f no es inyectiva, es sobreyectiva y no biyectiva. 4-18. l ' -3 -2 -l o 2 3 ii) no es inyectiva. ni sobreyectiva, ni biyectiva. 4-29. i ) R biyectiva. R ..~-~--~ TRAlMJO PRACTICO IV ii) R ' 1 no inyectíva, sobreyectiva, no biyectiva. iü) Q 2 -2 -1 ~ z • 1 • -2 fes inyectiva, no sobreyectiva, no bíyectiva. 4-30. Representando f por una tabla (a,b) (1,1) (1,2) {1,3) f(a,b) 2 1 o .. (2,1) 5 435 ! (2,2) (2,3) 1 4 .3 1 1 Puede hacerse un gráfico en tres dimensiones. fes inyectiva, no sobreyectiva, ni biyectiva.
- 224. 436 HI'SPUFSTAS Al PS -¡ RABAJOS PRAC'TICOS 4-JJ. T0}---.-0} {3}' {1,2} 1-{~~} {2,;} --r-{2.3,4} {1,3,4} {1,2,4}l{3,4} -{2,4} {I.s}e:)r~· A--l 1 I1Jfes inyEctiva, no sobreyectivn. no bíyectiva_ 4-32. Se presentan infini~as posibilidades. ..f-.13./IA!=il.-l.o.!. {¡ Bl 1 . ,¡ <l. l fíAn Bl = fi.A U B)"" l , 4 , q . Resulta f(A U B) =/lA) U/(B) y [(A n Bl C./(A) nf!B) 4-14. Verificar tomando A= {o,2), ¡2,2), (3,3.~ y B = { (1.2)} -1-JS. i ) Considerar X = ( 1 . 2 . 3} , Y = { I , 2 • 3 , 4) J: X -.Y definida por {lx)=x y A=(! ,2}CX. ii )Tomar. por ejemplo, X= {l, 2, 3), Y= (1, 2). {:X _..y tal que f(lJ=l,l(2)=2,f(3)=2,y A={l, üi) Proponer una situación del tipo anterior. 4-36-f-1 (-l,l)=cp ¡-1 (-=. i-J =tfJ ¡-l [0,3]=[-v'2,v'2J rl [0,3)=[- ...ti. 0> r-l p ,IOJ=[-3,3J 4-37. i ) X¡; A- [IX) e{IA) => x er1 [/(Al! O sea A c¡-1 [f(A)] (l) Suponemos c.ue existe y e f -l [ f (A)) A y f A pero como existe x eAíf(x) = f(y), resulta{no inyectiva, lo que es absurdo. Luego rt [f(A)] CA (:2) De (l) y (2l resulta la igualdad. U_3 Si existen 't ~ y t31e~ ~sue t" (:r~ ~ ( ~ {~n {on;_;~;; consid~ rand~ ,} ~!e!!~ . = x, = x..t· [!lA'] 4·38.i )gof:Z~Zf(gof)(;.:}=ent(-x; +1) . [ent (x)]2 ii} Jag: Q-Q / tfo g)(x)= - - 2 -·· + 1 iii)(g o f) (- 2) =3 y • u o g) e- ~) 3 2 4-39. Como por hipótesis: V z € C, 3 x € A/ (g o f) (x)= g [/(x)] = z => =>V z €C, y =f(x) € B 1g(y) = z resultag sobreyectiva. f TRABAJO l'HACTICO IV 4-40. g o fes biyectiva =>fes inyectiva A g es sobreyectiva. h o g es biyectiva = g es inyectiva A h es sobreycctiva. 437 Luego, g es biyectiva 'y en consecuencia g- 1 es biyectiva. Entonces g-1 o (g e/)= (g-1 og) of = ia o f= f es biyectiva y (h o g) og- 1 = h "ic = h es biyectiva. · 4-41. Como h o g o!= (h o g)" f= h o (g o f) es sobreyectiva resultan h "g y iz. so- breyectivas por 4-39. Análogamente .f" h "g sobreyectiva =f o h y f sobreyedivas. g o f o h inyectiva =» h y f o h inyectivas. Resulta Jo 1! :; h b¡y.:;ctiva. Luego ( f 1; hJ~ íl =f ~:; iJtyectiva~ ( omo Jz ~ g y h •1 son sobreycctivas. es h -l o (li o g) = g sobreyectiva. Por otra parte. como g o 1f o h 1y (f <> h)·J SL'n myectívas., su composición g tam- bien lo es. Luego g es también biyectiva. .J•..J2. a) XEA =>{x)ef(A) =>xe/-1 ffiAJj Osea ACf-' [{tAJI b) y ef[f -t (Bll => 3 X € r• (B): y= f(xl ef[f -¡ (B)] => =>y= flxl e B. e) f(X)- {(A)= f(X) n [f(A)f cj(X) í'I/(Ac )C{IX n Ac) = f(X --A) - d) f -t (Y- B) =r 1 (Y n Be)= f -¡ ('() n{ -¡ (Be)= =X n [! -1 (B)r =X-f -1 (B) e) f(Anf- 1 (B))Cf(A)nf[f-1 (B)]Cf(A)nB porb) Además y E{(A) -, B => y € {A) ~. y é B => =>3xeAír=f(x)eA A f(x)eB= =>xeA A xef-1 (B) =>xeAnf-1 (B)=» =>{(xjE{(An[-1 (B)) 4-43. i ) Sea x e A n B => x e A • x e B. Luego XA-•B{x)=l.'- x,.(x)=l ,, XB(x)=l osea ... lliX} = iXJ XI .n:llftg~pne-flt~ ~~ .<~n:ilíl:~ c;¡s(~ ~'( tt .-. n ) Para la función cara.:teristica de !a ~míón ~e 4-44. ( f o d) (a)= f[d (a)]- f(a,a) == (a.a) =d (a) Luego ¡, d =d ..:n f0nua :;,inular. 4·45. i ) f(x +y)= (x +y,- x-y)= (x.- x) +(Y,-y)= /(.x) +[(y) ii) l(kx) = (kx,- kx)= k (x,- x) = kf(x) 4-46. i )we {) /-1 (-c.o,x+l-")=>w€/-1 (-oo,x+ z-n), Vn => n= 1 ·
- 225. 438 RESPUESTAS ALOS TRABAJOS PRACTICOS. => V11: f(w) € (- ""• X+ rn) => Vn: f(w) <x + 2 -n (1) Resulta f (w) <x ya que si fuera f (w) >x => =:>f(w)-x>O => 3n0 eN/f(w)-x~2-n• => => ::¡ n0 / f(w) ~x + 2-no , contradictorio con(l). Entonces f(w)e(-=,x} => wef-1 (- "",x] ii)we/-1 (-oo,x] =>f(w)<x ycomo VneN:0<2-", setiene f(w)<x+ z-n, Vn. Luego f(w) € (- 00, X+ z-n) => W€/ -l (- oo, X+ z-n), Vn => => W e f f -¡ (- oo, X+ 2-n} n=l 4-17. a) !L+q¡ =U =>P (U) +P(ti>)= P (U)=> P (</>) =D b) AUB=A+AcB =>P{AUB)=P(A)+P(AcB) (l) B = AB + Ae B => P (AB) +P (Ae B) = P (B) (2) Sumando (1) } (2) P (A u B) + P (AB) +~ = P (A)+..P-~+ P (B) => P (A U B) = = P (A) + P (B)- P (AB) e) A+Ac =0 => P(A)+P(Ac)=P(Q) => P(Ac)= 1-P(A} 4-48. a) VxeR: x-¡ (- 00, x)eA => x-l (-oo, X+ 2-")eA => => ñ x-¡ (- 00, X+ r") = x-t (-oo, x] € A • por 4-46 n=l b) 'lfxeR: X-1 (-oo,x}eA => X-1 (-co,x-2-"]eA => :=;.f x-1 (-oo,x-::!-nJ=X-1 (-oo,x)eA,por4-24. n=t 4-49.X-1 (-oo,x]eA oX- 1 (-co,x)eA (por4-48) o o(X-1 (- oo, x)]c e A (por 2-72) o x-t (- 00, x)e eA por 4.9.2 e) * o X-1 [x , 00) eA 4·50. X-1 (-""', xJ eA * (X-1 (- oo, x]f eA o X-1 (-oo, x]c eA * * x-1 (x, ""')e A 4-51. i ) => ii) La condición í ) equivale a la ínyectividad de /,por 4-37. Entonces /(x)e/(Aí'lB} *X€/-1 [f(AnB)] *xeAí'lB * *XEA / xeB of(J:)ef(A) A. f(x)ef(B) *f(x)eAnB. ü) * ili) /(A) nf(B) =/(A n B) =/($)=</> ili)::? iv) (A-B)í'lB=$ =>/(A-B)n/(8)=4> (1) (A- B) U B =A =>-/(A -B) Uf(B) =/(A) (2) De (1) y (2), por 2-65, resulta /(A- B) =/(A- B) = f(A)- /(B) iv) =>- i )Suponemos ¡-t [/(A)]=#:A =>- 3x~A / f(x)e[(A) Sea M = A Ufx} => A C M => =:. f(M- A)= /(M)-f(A) =>- f( { x} )=!/> =>- ~ ) l , 5-21. i ) Conmutatividad. a • b:; 2 (a+ b) ~ 2. (b +u)- L *u ii ) * no es asociativa, pues (3 * 2) * (- 2) = 10 * (- 2) = 16 3*[2*(-2)J= 3*0=8 TRABAJO PRACTICO V iii) No existe neutro e ya que a *e ==a =2 (a + e) =a =>- 2 a +2 e = a => e=- ~ iv) Los elementos de Z no admiten inverso porque no existe neutro; v ) Regularidad. a * b =a * e => 2 (a + h) = 2 (a +e) => a + b =a + e => b = e O sea, todos los enteros son regulares respecto de *· 5·22. Está demostrado en 5.3.5. 5-23. Siendo / 1 ={0,1), (2,2), (3,3)} ,[2 ={(1,1), (2,3), (3,2)}, 13 ={(l,2) , (2,1), (3,3>} , 14 ={0.2), (2,3) '(3,1)}' / 5 ={(1,3), (2,1), (3,2)}, i6 = {(1,3), (2,2), (3,1)}, resulta o ft fz 13 14 fs 16 [¡ f¡ /2 /3 14 fs f6 /2 /2 ft 14 13 16 fs !3 /3 fs ft /6 /2 14 14 /4 /6 fz fs /¡ /3 /s fs /3 /6 f¡ /4 /2 16 16 14 /s fz /3 f¡ 5-24. a* a'= a'* a= e =>a es inverso de a' =>a= (a')' 5-25. (b' *a')* (a* b)= h'* (a'*a) * h = b'* e* b= b'* b =e= (a* b) *(h'*a') =(a* b) * (b' *a') =>(a* b)' =b' *a'
- 226. 40 RFSPUESTAS ALOS TRABAJOS l'RACTICOS ~;26. * es conmutativa, asociativa, con neutro e= --4, con inverso a'=-- a- 8 para todo a e Z. Además, todos los elementos son regulares. Seguir el procedimiento del ejemplo 5-6. 'i;27. a- b t, e- d => ¿,¡a- b 1 :!le- d => 2l(a -- b) +(e- d) ~* => 2l(a+c)-(b+d) => 2l(a+c+4}·-(b+d+4) => => 2l(a * e)-- (b * d) => a * e - b *d. '.•28. * es asociativa. conmutativa, no existen neutro ni inversos. y ningún real es regular. 5:..;tJ~ no i:!S as<~~iath·a no ~onrrturativJ: nc existen neutra ni irn.:ersos< :sjn emh_..-rr.,o todos los elementos de Q"' son regular<!s. 5·30. Por definición a * b ""' mín [ a.b ~ . Esta lev interna es conmutativa v asoci:tt!va. No existen neutro ni inversos', y ningún ele~ento es regular. • 7!-31. La suma de funciones en R1 es conmutativa, asociativa, con neutro e : I-+ R definida por e (x) =O , Vx el, y el inverso aditivo de todo elemento fe R1 es .,_f: I-+ R tal que (- f) (x) =- f(x). Además, todos los elementos son regulares. Demostramos la conmutatividad U+ g)íx)=/(x) +g(x) =g(x) + j'(x) =(g +[) tx) = f+ g=g + f 5·32. ft ={ca,a), (b,b)}, / 2 ={(a,a), (b.a)}, 13 ={la,b), (b.b)} • {4 = {(a,b), (b,a)} 5..]3. J: f2 !3 ¡4 ft ft fz /3 /4 f2 !1 fz /3 /4 fJ f3 fz !3 fz f4 [4 fz 13 ft ~S ~'Jl1!11~1~t.:l!~i~L pUt'~S f í L~; ~ = lO* {t3J) :=:: 4~ .f"nf i?' J_~r:._.~~;gjv:J ;':! 'z11Je' _1 fU ', cJ :=;; t'ta,b.}--t~ {.'~ ::;;: /1 T b:!_ ; ¿• f[a, =-t~a~b+ = ,;.·(b-.k No exi::;te neutro, pues f(a, el;: a "" a+ e·= 11 =e= U y f(e,a)=a =e+a2 =u =>e=a--a2 Sólo existe neutro a derecha, y es O. Todos los elementos son regulares a derecha, pero no a izquierda. 5-34. i ) Asociat!vidad. (a* b) *e;;;:: (a* b) *(e* e)= (a* e)* (b *e)= a* (b *e). ü) Conmutatividad. a* b:;;; (e* a)* (b ~e)= (e* b) *(a* e)= b *a. TRABAJO PRACTICO V 44! 5-35. Seguir el procedimiento indicado en. 5-26. El neutro es e= +y el inverso de todo elemento a, es a'= 9 1a 5-36. Demostramos la asociatividad [f(glz)J (x) =[(x)(gh)(x) =[(x) [g(x)h (x)] = [f(x)g(x)] h (x) = = (fg) (.x) h (x) = {([g) IJ] (x) = f(g h) = (fg) h. 5-37. i ) a * (b * z) =a *(b z) =a (b :::) =(a b);: =(a b) *z. Análogam~nte se ii l íii) .i...__18" ¡ 1 fe~ un mt:rHsrnt)~ put~S f tab) "" log: (ab) =log: a+ b =f(a) + ii ) fes 1 - l, pues si x' y x" son reales positivos que verifican f (x' ) = f (x" ), entonces log2 x'= log2 x"=y = x'=x"= 2Y iii) fes sobreyectiva, pues 'i y ER, 3 x = 2:v l l(x) = log~ x = log2 2Y ""y 5-39. f (xy) = sg (xy) = sg x . sg y = f (x)f ty) .:onsiderando todas las alternativas. 5-/0. (X ,, y) * X = (X +Y1* ;; = X +y = (X_* ;;) + (y * Z) = (X * Z) o (y * Z) z * (x o Y)=;* (x +y)= z =F(z * x) o (z *y)= z e z = z +z = 2 z. Entonces* es distributiva a derecha respecto de o , pero no lo es a izquierda.
- 227. TRABAJO PRACTICO VI rr.;flDemostramos lvs siguientes c3sos -, i ) n= l ~ ± J._ = .l = ., - 1.. = ., - 1 + 1 "" ~ ' • t= 1 2¡ ~ - 2 - "")i 11 . h +., 11+ 1 . ii) ¿; -'-. = 2- ---- ~ ~ _e_. = 2- ~ i=l 2' 211 í=l 2' -.h~l h:t.J i lltJ i_ h + l h + 2 h + 1 D) L-.= L - + - - = 2 - - - + - - = - i=l 2' i=l 2' 2h+l ::_h 2h+l - ., - 2 (h + 2)- (h + 1) ., - Ir + 3 -- 2h+l .:. _,11-Tl 8. Í ) n = l ~ ( l +X)1 = 1 +X= 1 + l . X# l + l . X ii )(1 +x)h;;;.: +h.':=> (1 +x)"+l #1 +(h + l)x D)(l +xl+ 1 =(1 +xtn+x);;;.(l +hx)(l +x)= = l +X+ hx + hx2 = 1 +(h + l) X+ hx2 > J + (h + l JX 11. i ) n = 1 => 2112 + l ii ) h2 + h =2 k => (h + 1/ + (h + 1) =2 k' D) (h + lY" + (h + 1) = h2 + 2 h + l + h + 1 = (h 2 + h) + 2 (h + l) = = 2 k+ 2 (h + 1) = 2 (k+ h + 1) =2 k' 15. i ) n= 1 => ,ti ¡3. = l 3 = 12 =.Ctli)z h eh ~ 2 11+ l (h..1 , 2 ií ) :2: i 3 = :2: i) => :E i 3 = ¿; i)i= 1 i= 1 í= 1 i= 1 11+1 h e,. )2D)i~l i3=i"f-l ¡3+(h+l)3= iFl i +(h+l)3= = h2 (h + It + (h + 1)3 = (lz + 1)2 [ h; + (h +o]= 2 h2 + 4 h + 4 (h + 1)2 (h + 2)" r(h + l)(h + 2): 2 = (h + 1) --4-- = 4 = L- 2 j (h+l )2 = i'Et i . Se ha tenido en cuenta el resultado del ejemplo 6-3. t)" f ' TRABAJO PRACTICO VI 11 - tl 11 - - ~- 6-37. 2: (x¡-·x)= ::2: x¡-- ::2: x=nx-nx=O ¡~ 1 i= 1 i= 1 6-38. i )n=2 '*(t x¡·r =(x1 +x2 ) 2 =x 2 1 +x~ +2x1 x2 == ~1 / - 2 2 .1 :;;; LX¡+ .!;X¡Xj i= 1 i'*-í h 2 h 2 h ch+l )2 h+l 2 h+l ii )( 7 X¡) = -~ X¡ +.~.X¡ X¡ ~ .L X¡ = .L X¡ + _L_ X¡ X¡ ¡é"¡ / •=1 •*1 •"1 / •=1 FFJ ( h+l 2 (h )2 (h 2 h 2 DL !' "~'·' ==. ~ -r-+Y.... = L x, 1 +2x,+, ~ x,+x, . = / i= 1 .•) . Í" 1 • " .•/ 1.. i= 1 . } - - i= 1 . "; i h 2 11 ;, h 2 = I x. + LX¡x¡+_~ x1 xh_,. 1 +_Ixh~lxi+xh+t i= 1 1 i'*-i ·-= 1 •= 1 h+l 2 h+l = ~ X. + I X¡X¡ i= 1 1 j#j 6-39. -~{x,-2)2 = ~(x2 -4x1 +4)= ~x~-4 fx 1 + ~4=,_ 1 1= 1 . • i= 1 ' i= 1 i= 1 =lOO- 4. 10 x+ 40 = 14-0-40 (- 20) = 140 + 800 = 940 6-40. Utilizar la definición de la función factorial. 6-41. eonsiderar las dos posibilidades X 2 -X = 2 X - 2 V X 2 -X + 2 X - 2 = 7 Resulta x = 2 v x = 1 6-42. i ) 64a12 - 192 a9 + 240a2 -160 + 80a-2 - l2 a-4 + a-6 ti ) x 2 +y 2 + 6 xy + 4 (x +Y) .¡;¡y 6-43.i) L (n)pn-kqk=(p+q)n=ln=l k=O k .. (2+t) n• U) - - ._ 3 6-44. Ts +T7 ~ 210 (64x 14 + 16x16 ) 6-45. X =± 2 V X =± 2 i 6-46. Soluciones reales son x =O V x = ! ( 10' 6-47. T6 =- S)x 5 6-48. Los términos de grado natural son los 5 primeros: T 1 , T2 , ••• , T5 • 6-49. 10! 3! 40
- 228. ··: '~ !· RF'i'lll'STAS A LOS m BAJOS PRACTICOS 6-5O. Con la~ ros personas juntas se tienen 9! 2! posibilidatles. Con tales personas separadas,resultan 10!- 9! 2! = (10- 2) 9! = 8. 9! casos. 6-51. 66 . 660. 6·51. S! 6·5J. C8 , 2 - C4.2 + l = 23 6,54. Con i varcnes y 6- i mujeres se pueuen formar Cs.i. C9.6- ¡.El número total es 6 ,;:o Cs . <9,,:;-¡. 6-55. Hay tantal distribuciones sea C~oo,;o ""'C!o9,10 c'Of'lO funciones ¡,;recientes de I100 en [!O. o 6-56. V 6 ,3 - Y5 ,2 = 6 S 4- 5 -1- = 1:::s. Los números cuya primera cifra (centenas: es O. son Vs,2 . 6·57. Cumo no ;e exige que las cifras -;ean distintas. resulta V~ :; -· v: ~ = 63 - <r' == = 62 • S= !80- . ~... 6-58. C4 ,2 . C4~.3 es el número de muestras de tamaño S que contienen exactamente 2 ases. 6-59. c4,2 . C32 1 = 6. 32 = 192 6-60 p4,k-4 V' = ~-~~·-·- gk-4 = (k"',l gk-4 • k ' S,k-4 4: (k·· 4l' .4./. ó-ól. (11- k- li! k! 2! k+2 k+3 n A ~~~-----...,¡---·-' B ¡,_ h ~·k ?·62. So :;.e r~~tri~c¡on.es en Ctaánto a ~onv~x.id~.L y ft"Jr;narse .. lO J .. I h vlO,to d . El - al ~ Vw.itnangu os asta 2 . 10 ecagonos. numero tot es ¡;" 3 Ti po· ligonas. 6-63. 2 . 5! 5! 6·64. i ) Tantas como funciones de In en 13 , o sea V~ = 3n .. ) pk. n -k V' ,n11 n • 2, n-k ' TRABAJO l'RACTICO VI 445 6-65.1 )V~. 13 =3 13 ii) pk.IJ-·1• . V' = __13! __ . 213 -k 13 2,13-k k! (13 ~~k)! 6-66. Sean A= {x¡, x2, ... 'Xn, ... }numerable y M e A, infinito. Consideramos x~, el primer elemento de A perteneciente a M, el cual existe por el principio de buena ordenación; de los que le siguen en A, elegimos e! primero. M. Siempre es posible obtener uno porque M es infinito. 1 "'" nu~ncr:~hl~, 6-ó i. Sean Aí :o ~-a. . a. . .... a. . ... ..:on i E l.,. ~ 11 l: ln J Consideramos la unión disjunta n - .. 1: A¡ y la tunuon i= 1 ~(: A;-<- N definida por f (au) = (j - 1) n + i (segun una ordenadón por columnas). ( omc fes biyectiva, resulta f A; - N. i=O 6-68. ¡ ) v~. 12 = 4 12 6-69. c~.s = c9 ,5 6-iO. ¡ JC6.3. f 8,4 333,3 12! ii)P1~, = 3! 3! 3! 3! n 1 .2 ·esA ¡~ f ~6.3'-ó,.J.
- 229. .,,,.,,, -~'~'· """"'''"~~-·=- TRABAJO PRACTICO VIl 7-liJ. Se niega cada axioma del sistema dado. Como A1 : 'Va: a e A => ta.a} t R. su negación es - A1 · 3 a¡a E A . (a.a) t R. El sistema -A 1 • A2 , A3 debe ser ;;ompatible, para lo cual es suficiente exhibir un modelo. La interpretación A= { 1, :!. 3} , R ={(U}, (:!,2)} es un modelo. Esto prueba la independencia de ..1 • An:ilogameme se procede respecto de la independencia de A2 y A3 • -.¡¡, L (a,b) e R =>a =b => (a.b) e R v (b.a) e R en virtud de A2 y de A1 • Resulta (b,a) t R, porque en caso contrario, por A3 y A1 (a.b)eR " (b.a)eR =>(a.a)eR =>a=t=a lo que es absurdo. 7-12. L a) 1' = O. En efecto 1' = 1' . 1 = 1 . J' ==O por B5 , B;z y B6 . b)O' = l por el principio de dualidad. U. Suponemos que a admite dos complementarios a' y a". Entonces. a·= a·+ O= a'+ (a.a") =(a '+a). (a'+a"} = = (a+a'). (a'+a") = 1. (a'+a") =(a'+a"). l =a' +a': Análogamente a"= a"+ a' y en consecuencia a'= a': III. a+ (a.b) = (a.!)+ (a.b) =a. (l+b) =a . (b+ 1) = a. 1 =a Por dualidad resulta a. (a+b) =a. 7-1J. Probarnos que n +b :fr. n í )n= 1 = 1 +b=b+ 1 =s(b)'i= 1 ii)h+b:;f;h =>s(h)+b=fos(hj D) S (Jz)+ b = b +S (Jz) =S (b+h) 'i: S (h) 7-14. i )n=l =>a+1=s(a)'i=a:Pb'i=s(b)=b+l ü)a+h:Pb+h =·a+s(h)'i=b+s(h) D)a =s(h) =s (a+h)=fos(b+h) = b +s(h) 7-15. i ) l] 1l = 1 => 1 . 1 = 1 . 1 2] l.h=h. 1 => l.s(h)=s(h).l En efecto: 1 .s(h)= l. h +1 =h .l + 1 =h +1 =s(h)= s(h). 1 ü)l]n==l =>s(b}.I=l.s(b)=l.b+l=b.l+l 2] S(b). h = b. h +h =>S (b). S(h) = b. S (h) +S (lz) ' ( TRABAJO PRACTICO VII 447 D) S (b). S (h) = S (b) . h + S (b) =(bh +h) + S (b) = = bh +(h +S (b)) = bh +(s (b) +h) = bh +S (b +Jz) = bh + b +S (h) = =b.s(h)+s(h) 3] Es consecuencia inmediata de i ) y ii ). 7-16. i ) a<b => b = a + x => be = (a + x) e => => be =ac +xc => ac <be ii ) a < b 11 e < d => ae < be 11 be <bd => ac <bd iii) Si a if:: 1 entonces 1 <a. Luego 1 <.1 '* .1 ..,.. 1 + X .,.,_ ab = (! + X) b = f.!h =h + 11:1) => => 1 = b +xb => b < l, absurdo. 7-17. i )(N,*) no es monoide. ü) (Z,*) es monoide. ili) (R2 x2 ,*)es monoíde. 7-18. i )(a*b)*C*d=((a*b)*e)*d= =(a* (b*e)) *d =a* (b*c) * d ii)a)n= l =>am *a1 =am *a=am+l b)am * ah = am +h = am *ah+ 1 =am * ah *a = =am+h *a=am+h+l 7-19. Sea S =(S¡ji E I} una familia de sub-semigrupos de A y sea X =0 S¡ la ír.tersección de dicha familia. •ei Consideramos a eX ·" b eX => a eS1 A b e S1 , V i e I => =>a*bES¡,'tliel =>a*bEX Luego X es un subsemigrupo de A. 7·20. i ) Probar que Ses el conjunto de los múltiplos naturales de 1, o sea S={l.a/aeN} ii ) Demostrar que S = ( 1 . a + (-1) . b / a e N} , def'miendo 1 • a = 1 si a = 1 yl.a=l+l~ ... +l a
- 230. TRABAJO PRACTICO VIII ~~J..:::~J j ,o. b¡S;. ~J u. J¡ s,. 8-23. t ) ln ;:enerador es í. ii) Cn ~enerador es ;;; (obsene~c que ;;;: = :). 8-:Z.J. El neut:o es e= .J.- .y el im·crso de a es a'= 1 • • <1 t'k!5. El neut~o es e= 1. y el inverso de ,;; .::.> a'= 2 i- a. 8-26. Esti tr.::tado en S-3 l. 8-27. Neutro es (0,0, ... , O) y (_-x 1 , - x 2 , •..• -xn) es el inverso aditivo de (X¡,X2,• .. ,Xn)· 8·28. Sean f 0, f 120 , f240 las rotaciones de oo, 120° y 240° respectivamente;fA, fB y fe las Siffietrías respecto de BC, AC.y AB. Proceder como en el caso 5-23. 8-29. Tener e~ ..:uenta 8.14.3. para obtener lo:; subgrupos H¡ ={;~}. H~ ={J~ .fA}, H3 ={J~ JB}, H4 ={Jo .fe}, Hs ={io .t12o .f24o}, H6 =G. .1?-30. Como (0 O, ... , O) € H, es H*¡f); y por definición de H se verifica H C G. ~:;r;~~n (."(, . ~Y;, . Xn) € H ~ ~v; eH= =x¡ , =x1 (·Y,'!"'' O'~ =*' {X + (~'"~V l ~- J :;o ' {:: L.1ego, tli ,+) es subgrupo de (R" , -t ). 8·31. HF<i> y HCR2 x2 .Sean· AeH A Bt:H => =>'A=- At A B =- Bt ~ A+(- B_) =- At +gt => '-'*A +(-B)=-(At- B1)=- [A+(- B))t => => (H , +)es el subgrupo de las matrices antisimétricas de (R2 xz , +). Pruebe el lector que A=- At -a¡¡·= O, Vi._ · 8·32. i) f(ab)=(ab) 2 =a2 b2 =f(a)f(b) H'l Al N(!) pertenecen los elementos de A que satisfacen x2 = 1 => . TRABAJO l'l~ACTFO Ylll =?X=l V x=-1 =>N{f)={-1,1}. I(f)=R+ pues VyER+ ,3x= Vyjf(x)=y. 8-33. Es un morfismo biyectivo, con N(!)= { 1), I (!)=A. 8-34. Está tratado en 5-38. 8-35. i ).f(e)=e'eH = eef-1 (H) "'*f-1 (H);:;i:!P ii) .f- 1 (H)C G po1 ddlnidún de preimagen. iii) xe[-1 (H) '·yt'.f-1 (H;"""" =Jíx!t:H ' !fiY)feH.,.,. =l (x * y· E H ·""" • ;.· ·e !J-Ii. EH (!ylr:H,. f(r'leH = 8·J6.xeG '*X*X=X =>X*X*X- 1 =X*X- 1 "'"'X*t!=e =x=e. Luego G ={e). 8-37. Sean a y b en G. Se tiene: (a*b) *(a*b) =e== e* e= {a*aJ * tb*b) => -=> '! * (b*a) * ltJ = ri * (a*b) * !j; = b *a =a * b 8-38. i ) fa es mortismo, pues: fa (X*}') = a-1 * (X*Y) *a= =a- 1 *X*(a*-a 1 )*Y*a=(a- 1 *X*a)*(a" 1 *Y*a)=fa(X)*fa(,v) ii ) fes 1 - l. Sean x e y tales que fa (x} =fa (y) Entoncesl( 1 *X*~=r( 1 *Y*I ~x=y iií) fes sobreyectiva, pues V y € G, 3 x =a* y* a·1 -~al que f(x) =y. ~149 8-39. Sean f : G -+ G' y g : G'-+ G" homomorfismos respecto de *, *' y *". Entonces g uf: G--?G" verifica (g0 f) (a*b) = g [f(a*b)] = g [f(a) *'f(b)]"" = g [f(a)] *" g [f(b)J =(go n(a)*" (go f)(b). 8-40. F(a*b)=fa..b =fb 0 [ 0 =F(b)oF(a) En efecto: fa.b (x'i = (a*bf 1 * x * (a*bf= = h ¡ *i-! * x *;;" b =b_, ., f., td * b = r) 8-ll. t Venficar ios a.x1omas de [UUP<J ü Sea * c:onmutativa. Entonc~s a conmutativa, y recíprocamente. b = b .. a =a:*b=b·>a =---es 8-42. í )fes un morfismo, ya quef(a*b) =(a>~<b)' =b' *a' -=a' o b'=f(a) o f(b) ii)/es 1 -l,puessif(x)=/(y)entoncesx'=y' ~x=y. · tii)f es sobreyectiva porque V y € G. 3 x =y' € G tal quef(x) =y El grupo (G,o) se llama recíproco de (G, *). 843. Neutro es e = (1 , O), pero los pares del tipo (O , b) carecen de inverso. No es grupo.
- 231. ~~,,,?;!WR '!";:C',~~ frr'j 4St)RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PRACTICOS 8-'M. i )eeS " eeT =*e=e+eeS+T '=* S+T=i=¡p ii) S + 1 e G por definición de S + T iii)aeS+T " beS+T =>a=x+y A b=z+u 1xeS,zeS,yeT, u € T => x- z E S A y- u eT => (x-z) +(y-u) eS+ T => => (x+y)- (z+u) € S+ T 8-15. Ver 8-36. 8-16. l. Si (X , *) es un grupo, entonces las ecuaciones x *a= b y a *x =b admiten las SOluciones Unicas X= b *a"1 y X= a-l * b. 2. Sea (X , *) un semigrupo en el cual son resolubles las ecuaciones x *a = b y a* x = b, cualesquiera que sean a y b en X. Entonces se verifica la existencia de un elemento e e X tal que e *a =a. Sea x E X; por hipótesis. existe y e X de modo que a *y = x. Luego e* x =e * (a*y) = (e*a) *y= a *y = x O sea, e es neutro a izquierda. Sea xe X. Por hipótesis, existe e € X tal que e * x = e y en consecuencia e es inverso a izquierda de x e X. El lector puede probar que la existencia de neutro y de inversos a izquierda implica que (X, *) es grupo. 8..:17. Aplicar 5.4.2. 8-18. i )/(x+y)=tr+y =~=ax •aY =f(x)•f (y) x+y ii)I{J)={f(x) / xez)={ll'" j xeZ A aeG}={a} 8-19. i )f[(x¡ ,x2 .x3) +(YhYl ,Ya)J = f(x1 +y~>xz +yz,x3+y3) = = {x¡ +y¡-X~ -YJ,xz+Yz-X3-Y3) = (x¡-X3,Xz-x3) +(y¡-yl,Yz-Y3)= =/(Xt.Xz,x~) +f(y¡,y-¡,y3) ü)(x1 ,x2 .x3)eN(f) ~f(X¡,Xz,X3)={0,0) * (X¡-XJ,X2 -x3)=(0,0) * <9X1 -x3 =0 f Xz-X3=0<»Xt=X3 P. Xz=X3~X¡=X2 =X3 ·O sea N (f) ={(a.a,a) / a € R} ili) I (f) = { f(x1,x2 ,X3) / (xt ,Xz ,.i"3) € R3} => I(f)={(x1 -x3 ,x_2-x3 ) / (x¡~X2 ,x3)eR3 } (x1 -x3 ,x1 -x3)=(y1 ,y2 ) =>x 1 -x3 =y¡ "Xz-xJ=Yz => =>x 1 =y 1 +tx,Xz""'Yz +a,x3 =a con aeR Osea I (/) = R2 8-50. i ) Sean He G un subgrupo nonnal y u eG. V a eH : u *a * u-1 eH. Entonces b =u *a* u-1 => u *a= b *u => =>u* a eH u =>u He Hu (1) Sea v = u-1 => e= v *a * v-1 e H. .. ~-,',.~>:il.~--- TRABAJO PRACTICO VIII 45l Como e =u-1 * a * u, se tiene a *u =u *e, o sea a* u e u H => =>Hu e u H (2) De (1) y (2) resulta u H =Hu. ü ) Como u * a € u H " u H = H u, se tiene u *a eH u y en consecuencia existe be H tal que u *a= b *u. Luego u *a *u -l = b eH, y Hes nonnat 8-51. f no es un homomorfismo. 8-52. i ) Sean H normal y fa un automorfismo interior de G. fa (H) = {fa (x) / X € H}={y =a * X *á 1 / X € H}={Y / y E H}
- 232. -.;;;.;;o••-;,-;_:;;;f.-;¡;;,¡,";.,._.,.,~_.-(~,~:{,~~;;::;..,~.• '""•w"qL~~-~"·-~ ~· .....,,_,..,.,.,.~ • TRABAJO PRACTICO IX ,..,¡'J. Analizar las a.x10mas siguiendo el método habitual. (Z1 , + , ·) es anilio conmuta tivo, sin identidad, con divisvres de aro. 9-11. i ) Asociatividad: (ab) e =O e =O::;;; a O== a (be) ii ) Distributividades: ta+b) e =O = O+O =ae + be. Análogamente e (a+b) = =ca +cb. (}~J1. St!guir el procedimiento indicado en ejemplos anteriores. Neutro es ( 1,0). 9~11. Considerard ejemplo 5-7. No tiene divisores de cero. ·IJl4. i ) fes un morfismo, pues: l. f [(a+b -J2) + (c+d v'2)} = f{(a+c) +(b+d) v'2] == == (a+c)- (b+d) v'2 = (a-b .Ji)+ (c-d ..;2) =f(a+b v'2) + +f(c+d..j].) 2.f[(a+b Vil (c+dy"f 1=f[(ae+::! bd) + (ad+bc)vtzJ = = (ac+2 bd l ~ Cad+beJ ..¡-s f(a+b v'2) .f(c+d v0') = (a-b V'.2) (c-d V2) = = (ac+2 bd) - (ad+bc) -./2. ii ) fes biyectiva. IJ~15. Verificar los axiomas. 'JH6.i )0EA1 '• Ot:A; =Ot:A 1 r~,A-z =A¡IlA,'Ftp ti) .1~~- CA /..,e~ A ~.A~ r·. A1 .,4. ¡;¡) d ¿ --~A:! ~ .~ $ f'"'> .. :t.! t ~'"".2 j '""; iJ b" € .J. :: !:~:::j =a.f-b'eA1 Az Esto prueba que (A1 n A1 , +}es subgrupo de (A,+ ) iv) El producto es ley interna en A, pues a e A 1 n A 2 / be A1 n A 2 => =abeA1 • , abeA2 =abeA1 nA2 • v) La asociatividad y distributividades se verifican por ser A1 n A2 e A. 9·17. Si en A existiera x -4= O tal que x" =·O o. sea x . x . .. x = O. entonces habría divisores de cero. lo que es absurdo. 9-18. i ) Sea a- b módulo n = n!a- b =a- b = nk (1) ,_ -.,:;,f.j!fl~P·-- TRABAJO PRACTICO IX 453 Además b = nq + r Á O,;¡:;; r < n. Sustituyendo en (1): a- nq - r = nk => = a = (k +q) n + r Á O,;;; r < n. Osea, res el resto de la división de a por 11. ii ) Sean a y b tales que a =nq +r A b = nq' + r => a - b ::: n (q ~- q') => => na- b =a~ b. 9-19. i )a~b => o,;;;b- a= -b +0~(-b+b) -a=>- b,;¡:;;-a ii ) a = O => a2 = O => O~ .::1 ae A'" =t? e A" =O<a~ =- O,;;;, a2 a~EA~=>a~ ;:;>.:'" ~o~a: Tener en ~uenr1 9_8 9-20. i ) Se sabe que ¡ a + b l <1a 1.f. b l Sea x - y = z => ."C =z +y ::::> ¡x 1"" 1::: ..l.. y i = ! x 1~ !:: 1+ l y í ==> =>lxl-lyl~lzl =lx!-!yl~lx-yl =lx-y'>lxl-lyl ii )Por un error tipográfico, el enum:iatlo se corrige a-;í il,l-ly1 ~ ix-yl. Utilizar i ) y 9.12.2. iii) X !y 1 y =1= 0 =>y =xk ·~ k :#= 0 ==> 1}' 1= Í X 1 k l · i k ! ';Ji' l ;;. =!yllk!;;o/xl!kl.,;.!_vl~lx! 9-21. i )OEI =d=F<P ii)xei ¡ yei => nx=O A ny=O => => nx - ~Y =O =~ (x-y) =O = x - y e l iii) x € I 1 y e I => nx =O A ny =O => (nx) (ny) ==O =n [n (xy)] =O = => n (xy) =O => xy e A iv) x €I ·" a € A = nx =O a € A = n (xa) =O /', n (ax) =O => =xael /. axei 9-12. Sean A un anillo de división e i .:ualquier ideal propio no trivial. La tarea se reduce a probar que A e l pues por definición. se sabe que 1C A. Como I es no trivial, existe un elemento no nulo a € 1 y por ser A un anillo de división, a es inversible; en consecuencia, aa-1 = 1 es un elemento de l. Sea x E A; como.1 el, se tiene x 1 € l, y por lo tanto x EL Luego A C l. 'I·'!J T:eniendo 0rl ,·ue.nta 8-27. resulta t R" , _..}un grupo Jbdüno. n ¡ ti ~''' l"'i J.: in!ema en R·' pnr b delitl!~·~~'m ctada. Falta probar- que es asociativo. que el neutro es tl . O . O Oí. qu<: tod:.i cuaterna no nula tiene inverso multiplicativo (emplear los métodos habítu;;- les). La no con!Dutativídad se verifica con un contraejemplo. iii) Se completa demostrando las dos distributividades del producto respecto de la suma. Referencia: Vectores y Tensores. por. Luis A. Santaló, pág. 87. Editorial Eudeba, 1961. 9-24. Sumando las ecuaciones Ox +Oy = Oy el conjunto de soluciones es Z5 • 9-25. Sean ale i' bic 1 mcd(a •.b)= 1 ;ale=> c=ax (1)
- 233. 4:í4 ··~;,;< '~~-~J:~~tfi."','~•::~-:..:%~~~~-:L.~~.::.:~W.:.•¿~~ :fJ.;'ti.t_¿;e»-~:,L~f_,.~~-'~"'- .;;.¡;¿~ ~~·~j;&d-lf•f~~ RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PRACTICOS Por hipótesis y (1) es bla.x:. Por 9-8 ü) se deduce blx, o seax =by. Sustituyendo en ( 1) queda e= (ab) y => ablc. 9-26. Sean mcd (a,b) = d 1 ale 1 blc. Entonces d = sa +tb A e = a.Y. =by. Luego de= saby + tbax = (sy + tx) ab => abldc 9-27. i ) 211 O => 211Od Como 21u, resulta 211Od +u, o sea 2ln. ii) 319 => 319 d Como 3ld + u, se tiene 319 d + d +u, es decir 311Od +u. Luego 31n. •ii)liillJ ., llld-u ""* IW1d-(d-u) => 11110d+,A => llln. Porejempto,sín= l32como l1113-2resulta llll32. 9-::8. i ) ~ ii)S ili) 21 iv) 5 1 '-..?9. alb => b = a.x => ibl = !allxl =a lxl pues a >O ya que lbl <a. o sea a >lbl ;;..o. De lb! = a lxl ,, a> lbl resulta a> a lxl => lxl < 1 => x =O. Luego b =ax =0. 9-JO. Supongamos que a = bq + r A O "' r < b y a = bq' +r' A O~ r' <b. Entonces bq + r = bq' + r' y b (q - q') = r'- r => blr'- r (l) Por otra parte r'< b A ,;;..o => r'- r < b (2) AdemásT<b " ,·;;..o=> r-r'<b (3) De (2) y (3) resulta Ir'- rl < b. (4) De acuerdo con 9-29, de {l) y (4) se deduce r'- r = O, sea r' = r. Entonces b(q-·q')=r'-r=O ~q-q'=O ~q'=q. 9-JJ. El algoritmo de Euclides se reduce a Q¡ Qz qJ a b 7¡ '= 7¡ Fz o mcd (a, b) = r2 • Por el algoritmo de la división entera, se tiene a='=bq 1 +r1 y b=r1 q2 +r2 =>Tz=b-r¡q2 =b-q2 (a'-bq 1)= =b- q2 a+q¡ Q1 h=(-qz}a +{1 +qt q2 )b 9-32. Mediante 9-26, cerno mcd (a, b) =d, ajm y blm, resulta abldm. Probar que dmjab. TRABAJO PRACfiCO IX 9-33. a~ b ~ n 1a- b '*·a - b == nh => a :;;;;: b + nh => ah = (b+nh)"' ;, = bk + -~ (~j~t-i nt h¡ =>ah _ bh = n ~ (~n-i nl·l h' = nq => Fl l ~l ¡} =* n 1ak - bk => tf - bh 455 9-34. En 5-8 está comprobado que (R"x" , +)es grupo abeliano. Verificamos entonces A6 : El producto es ley de composición interna en Rn xn, de acuerdo con 9·2. A7 : Asociatividad. Sean A , B y C en Rnx ", y los productos A (BC) y A (BC). La flla ideA es: au , a,2 •••• , a1.,. La columna j de BC es n n n I blk Ckj, I b2k C¡¡¡ ••.• , I Dnk Ckj k=l h=l h~l n n Entonces el elemento (í, j) de A (BC) es I a;h I bhk c~e¡ h=l k:l = l: l: a;h bhk c12¡ = I I a1h bhh c,.i que es el elemento (i. jlnn " ( " ' ) h=t.k=l k=l h=l de(AB) C. A8 : El elemento genérico de l es 6¡¡ (delta de Kronecker) definido por O¡¡ = Osi ¡ ::/= ¡ y B¡¡ =1 si i =j. El elemento (i, j) de A I es k~la;~e fi,.¡ =ail O¡;+ +a¡2 62¡ + ... +a¡¡ Ó¡¡ +... + a;n fin¡ = a¡¡ 1 =a¡¡ => A l = A, análoga- mente I A= A. A9: Sea e (A+ B). La fila j de e es: C¡¡, C¡z, .•.• C¡n. La columnaj de A+ Bes: ati+ b¡¡. a2¡ + b2j •... , an; + bni· Entonces, el elemento V . j) de e {A + B) es f C¡R (a~¡¡+ b~t¡) = k=l n n = I c¡11 a~e¡ + I c¡11 b~e¡, que corresponde al elemento (i, j) de CA +CB. k=l k=l O sea C (A+ B) =CA+ CB. Análogamente se prueba (A+ B) C = AC + ll.C. 9-35. Hipótesis) Para cada m ,se verifica Vh<m:P(h)es·v =>P(m)esV Tesis) P (m) es V, 1 n e N Demostración) Suponemos que H ={x e N 1P (x) es F] ::/= cfJ· Por el_ principio de .buena ordenación, existe en H el elemento mínimo m, tal que P (m) es F (1), y h <m => P (Jz) es V. Ahora bien, por hipótesis resulta P (m) es V, lo que es contradictorio con ( 1), o sea H = cp. 9-36. ac- be => nlac- BC => nl(a - b) e => nla - b (porque si un entero es divisor de un producto y es primo con uno de los factores. entonces es divisor del otro). Luego a-h
- 234. 456 RESPVLSJ ASA LOS TRABAJOS PRACTICOS 9-37. i ) Sean {a1, tb ... , an} una clase completa de residuos'módulo n y a¡ =F ai. Si a¡ ~a;, entonces a¡ y ai pertenecen a la misma clase de equivalencia, lo que es contr<dictorio con la hipótesis. Recíprocamente, si a; '?" a¡ , Vi =F j, entonces dos elementos cualesquiera y distimos no pertenecen a la misma clase de equivalencia. y en consecuencia {al· al..... an} es una clase completa de residuos módulo 11. ii '!En ef<do. supongamos que aa; -aa¡ para algüní=Fj. Entoncesniaa¡ ·-aaj. o sea n!J ¡a,--": l. y ;:omo a y 11 son copnmos, se deduce que ·· a1• es dec:r a, -.a.. E~w e~ c:vntrudi.::to¡,o .;;o¡¡ l;.¡ hipótesis. 9-38. Sea la cl:.i¡e de restos módulo p : O, l, ... , p- l. Como a =FO ya que u no es múltiplo de p, aO, al, a2, ... , a (p- 1) constituyen una clase completa de restos m<idulo p, por 9-38 ii ). Entonces cada elemento de la primera clase es equivalente a uno de la segunda, y recíprocamente. Como Opertenece a las dos, por la COi1patíbilidad de la relación respecto del producto, se tiene l . .: ... (p ·-1)- (a l) (a 2) ... (a (p ·- 1)) O sea (p- 1)!. -an-t ( p- 1)!. o lo que es lo mismo. pl(tt'- 1 - 1J(p- l)!. Como p y( p- 1)! son coprimos, resulta pl(.t'- 1 - 1) ~ aP- i - ]. 9-39. ·¡ ) a y n son coprimos => med (a,n) =1 => l =s a +t n => b =s a b + t n b => => b- {sb)a = (tb) n => n t b- (sb)a =>a (sb)- b => s b es solución de la ecuación. ii) Sean 51 y s2 soluciones de a.x: =b (mód. n). Entonces as1 - b as2 ....., b ~ => a.s1 ~as2 , por la simetría y transitividad de la relación. SI: tiene n!a (s1 - s2 ) y a coprimo con n => n{s1 - s2 = s1 ..... s2 iii) Siendo a y n coprimos, y n primo, por 9-38 se tiene an- 1 - 1 ~ => a'- 1 b-b =>aan- 2 b-b =x=a"- 2 bes solución deax -b (mód. n). 9-40. i ) Como 3 y 4 son coprimos, es mcd (3 .4) = 1 = (- l i 3 + 1 . 4 = """ sb"' 1- i ; "' =-7 es solución Todos los congruent<:s <~ ..7 módulo 4. son S)(t:(;It)nej t ~/er 9.-39t ü) 12L'C- b ~X= + L.: k k E l son soitK~iones. ilij De amerdo con 9-36, - 2x - l::; = x - - ó luego de cancelar - 2, que es copri'l'lo con 11. Por 9-39 üi) es x =111 - 2 .('C.- 6) =- 6 Úna solución. Resulta K5 el conjunto de las soluciones 9-41. i) t-% =ab-! +cr1 =ab-! d-1 d+cd- 1 b-1 b=(ad-rbc)(bdf1 = ad +be bd ] RAllAJO Pi{/·., ¡:" 457 .. ) a e _ b·l a-i _ ( ) (bd)-1 _ a e 11 7) · d -a e - ac -- bd a e iii) b = d => .!!... + !l_ = !_ + !L => a + b = _e + d b b d d b d 9-42. Sean K1 y K2 subcuerpos de K. Como l e K1 /1 l e K2 , es l e K1 n K2 , o sea K1 n K2 =f:. 1/J. Además K1 e K A K2 e K => K1 n K2 e K. Mediante la con- dición suficiente 8.4.2., el lector puede demostrar que (K 1 n K2 , +) y ((K 1 n K;;)- {O} ..) son subgrupos de (K,+) y de (K- {O) , .), respectiva- mente. La distributividad es consecuencia de que K1 0 K~ C K. 9-l3.!~!n~· -=>x~~y 1 =x-+- (x+vl . ~ 1 íi} xh + rh ~ __._ => xh•l + v".,.t ~ ..:.;::....::....'---- . .,h-t • • -,h Enefecto,(xh-J,h)(x-y)~O =>x1 ",. 1 +yh+t -yxh-xyh~0 = =>xyh+xhy,;;xh+l +yh•l =xh·l +x}·h-rxhy+yh~t,;;::xh+t + +2yh•l -xtl:h +yh)+y(xh ..;.. J"2lxl1"1 +~·h-1¡ "* =(x+y) (xh +yh J,.:; 2 (xh"'l 1 1 Por la hipótesis inductiva xh+l+yh+I;..(xh+yh) x~y;;.. (x+y)h ~ .,h-1 x +y _ (x+y)h+l -.,--.. 2h 9-44. (Q ( vf3¡ . + , .) es un subcuerpo de (R.+ ..). Basta probar que (Q ( -/3). +)y (Q (/3)- (O} , .) son subgrupos de (R +)y de (R- {O} ..i, respectivamente. (Ver 5-7). 9-45. i )(nx}(my)=(x+x+ ... +x)(y+y+ ... +y)= xy +xy + ... +xy = ~ ~~~--~ n m nm =(nm)(xy) ii) (ne) (me)= (n~) (ee) = (nm} e 9-M. ¡px=!piilex!"'-'ípeli.ÍXl=íJx=O De~.¿ no~Jrse ·qat: e:it:fn.;onto:.. J¿ ~ ;. •K· ,- " ii) Si p no fuera pr~.:t•J. ia dcs~on1fhJSH.:i~)r: f-./ = Y 1 <pz <p. Entonces pe =( p 1 p2 ) e = (Pt p~) ('-'el= ( p 1 el ( P: e)= O. Y como no existen divisores de cero, resulta p 1 e= O v pz e =O: o sea. la ..:aracterísti· ca es p 1 o p2 , lo que es contradictorio con la hipótesis. 9-47. (x + yf = xP + ! (~) x~-i Yi +y~'. Todo término del desarrollo de b Í"' 1 ../ . . f" . (p) - p1 p. 1) 1 /) - i + l) sumatona t1cnc c:oe tCiente i - i.! . d;.:mde la
- 235. "58 RESPUESTAS ALOS 'J ltABAJOS PRACTICOS característica p es un factór. Por 9-46 i ), tales términos se anulan y resultan (x = YY =xP +y". 9-<18. i ) El conjunto {x e ft / x 2 < 2} carece de supremo en Q, ii ) Sean x = .1!. e y =..!... . Tomando n ~ qr se tiene nps ~qr => q S nps-qr p r r => nps- qr~O => ~O => n - - - ~ O => nx ~ - , QS q S S 9--19. Ver 6-66 y 6-67. 9-.<:IJ. i ) Sean A¡ = a¡¡. a¡:! • .•• , ain¡ con i e N, tales que i -:f i => A¡ n Ai = if>. Definimos "' f: k A¡ _,...N mediante i=l ~~ -f(a¡¡) = E nh +j. Como[es biyectiva, resulta !: h=t i=l ii ) Sean A 1 : p{¡ /.}Hz ~:ti / /' A2: ~ ~ aa3 A3: ~·/a32 a3::~ A; numerable. a!n a2n a3n Ordenando según el proceso diagonal de Cantor, resulta !: A¡ igual a la i= 1 unión de una familia numerable de conjuntos finitos, que es numerable por i ). ,... i TRABAJO PRACTICO X 10-8. Sea ?!.. e Q una raíz, con mcd ( p,q) = l. Se tiene !!.. + k a; !!_ =O=>( ) " n-i ( ·)' q q 1=0 'q,.; p n-!)""" p" + q" (a0 +a1 - + ... +an-l _p___ =O => p" + a0 q" + q qn·l 1 + a1 pq":l + ... + a,_1 pn-1 q =O => p" + q (ao qn-1 +a¡ pqn-2 + ... + +a,_1 pn-l) =O => p" +q s =O => -q s =pn => q 1pny siendo p y q copri- mos, es q 1p , es decir q = :t l. Luego ..E.. e Z. q 1(). 9. i ) Considerar la ecuación x2 - 5 = Oy verificar que carece de raíces enter:s.s. ü ) Si d es la diagonal y a la arista, se verifica d 2 = 3 a 2 => ( ~) 2 = 3. Haciendo .!!_ = x. considerar x 2 - 3 = O. a 10-10. Seap eZ raíz de la ecuación. Entonces Pn +an-1 Pn-1 + an-2 Pn-2 + ... +al p + ao =O => => p. s +a0 =O con s= a,.1p""2 + ... +a1 => p (-s) = ao => p 1a~ J().Jl. Considerar .!!... eQ con mcd (p,q) =l. Si fuera raíz, al sustituir se llega a q 1!. = ± 1 o ..1!. "= ± - 3 1 ,valores que no satisfacen a la ecuación. q q J()./1. Sea V2 + VS = x => 2 + 5 + 2 v'lO = x2 => 2 v'iO =x 2 -7 => x 4 - - 14x2 + 9 = Otiene como raíz á.J2+v's. pero carece de raíces enteras. 10-13. En efecto :1; :11 se verifica: a;= 3 < 3 + -1- =·b'¡ y 10' b1 ~3- l~J <3 + /0; =aí 1().14. Para V2: { 2 Para ...;3: { ~ 1,4 1,5 1,7 1,8 1,41 1,42 1,73 1,74
- 236. 460 RESPUESTAS ALúS TRABAJOS PRACI!COS Resulta: -/2+-/3:{ ~ 3,1 3,14 3,3 3,16 ..¡y_-_,/3 ={-: -0,4 --0,33 -0,3. -0,31 v2.V3 :{ ~ 2,38 2,4393 2,70 2,4708 P:1ra . ~z i:1di;.:.1 en !:).3 , v 10-15. i ) A =Q- '-' < ii)A=Q-u u{xeQ' x2 <3? U {x E Q"' / X~ < ~J· l0-/6.i )[-4,0} ü}(-oo,-J)U{-·l,+oo) iii) (-vs,.,J5) iv) ( -""', -vfs) u (VS, +oo) v ) De x 3 <x resulta X {.'!:+ 1) (X·· 1) <0 ~ X € ( -"" , -!) U (0, l ) HH?5S5; HSHH o . ...(1 ;('ow s·:.: .J~ )o R vi )(x+2) (x-l)(x-2) x <O ""'x e(-2 , O) U (i ,:!) - C;fí)H!Hill!S!SHIS)JlHSHlllllll)JIIO J;I!Hií-!!WHfH!lJ~ -2 o l 2 Extremo¡ inferiores o ínfimos: ·~4. no tiene. -•./5. no tiene. nq tiene... ~ Extremo. superi:.;¡-~s o supremas: O. no tiene9 v1~~ au ticn¿_ 1, .... J(J.J 7 ,¡~ < í fJ./8. Lnas infmores son ios racionales menores o iguales que O: cotas ;u perion!s. son los mayores o iguales que l. El supremo es I y el íntimo es O. 10-19. i ) Cota superior es todo real mayor oigual que v'2 Cota inferior es todo real menor o igual que O. Supremo es V!; ínfuno es O. ii) B = (- 00 , - v'21 U [vz,+00 ). No está acotado y carece de extre~os. iü) C = [ ../2 , + 00 ). No tiene cotas ni extremo superiores; está acotado inferi<Jrmente por todo real menor o igual que ..,ff, y el ínfimo es -./2. TRABAJO PRACTiCO X 461 10-20. Sea e e C ~ e = x +y con x.:;;; a t. y< b ::=? e< a + b ~ a + b es cota su- perior de C. . Y 2 >O, 3 x € A t. 3 y e B j a <x +8, A b <y+ S, y si e' es otra cota superior de C, entonces a+ b- 2 S <x +y,;;;; e', osea a+ b .,¡;;e'+ 2 Luego a+ b .,¡;;e'. 2 r l } 'I)J0-21. 3 x - 2x- 1<o ~ 3 (x-nt_x+ 3 )< o '* x e(- 3 , 1,.. 1 - 1nhmo es - -,- , y supremo es 1_, jij~];!. St h;dt• _,-e~ ~-:{:rifi..:a ~t ~a ~ i!.~ ~! ,,!prern,_) no seria a~ 1;; que es abst~tdú. J0-23. lll. v'a=X • ~;;:-"" }' ~ (k= X" X =ym "'* a "" ( =Y= m.:yc; IV. zy¡;:n =X ~ am = xn =* a.mp = x"P =*X= n~ , 10-:J.J. i )la,b)=[a.bJ-{a.b} ~[a.bj-{O.lj )' 1 =vmn ~ Porque la diferencia entre un conjunto no numerable y un conjunto a lo ~umo numerable, es coordinable al primero. ii) Dividimos el intervalo [0,1) en n partes: o 1 a0 a¡ a2 a;.1 a; a, Se tiene (0.1) = f [a;. 1 , a¡) = i:. B¡ Í" 1 '" 1 Y;= l. 2, ... , n es A¡- B¡ => 3 f¡ :A¡ -+ B¡ biyectíva. Definimos f: i A; ....., f B¡ mediante f (x) = [¡ (x) si x € A;, la que es biyectiva. i=l n i=l Lut:gu :!: At -~[OJ ;, '"'1 ¡,;:-§ C~H'l~id~ra!lHJS -tn ~ ~th.~..,:·;ª~-;n a(_; ~ <:a~ .... ¡<, que ilr: = -.,-,-,- o~---------------------:1~.2~--------3~.~4~--~7~(8~----- _, 1 Se tiene A; - [a¡_ 1 • a¡) V i e N y con el mismo procedimiento utilizado en ii ) resulta ~ A; ~ [0,1). i=l ..#
- 237. ~~> ·:.p;::~~~1;:.;;:·.~:~E?r· ~~L:t&~-,.~:::~~~~~r~L. -~l.~~-~~.-~1~.A~;-, ,,;;,;,¡;.;,. ;c.,.;.,.;.;;;~¡¡¡;~,;.. ,~.€JI:P .., """""·· ·'······-·--~..-.....---- 4ó2 RESPUESTAS A LOS TRABAJOS PRACTICOS 10-25. i ) 2 V6 ii) log2 S = logy, + 10·26.i )2(li ii)V3+v'2;--} (t+V2+VS)(2-v'5} 10·27. í ) Aplicando 10.9.2 iv) ~+log2 (2x)3 -~""1 .lf2(2 x)3 = 2 ~ :x = - 2 - ü ) ( 1:;y = Jl + l => X = 1 ! IJ-::8. 4 . 4 V - 3 . 4}' = l ~ 4y == l ~ y =o f().J9.x"';-=x"'' 2 , x*l =>Vx= ~ =>4x=x2 =x=O v x=4 En R" son soluciones 4 y l. lfJ. ?O. Sustituir log,. x por lo~ y en la primera ecuación y se llega a 3 (log,.. y )2 - - 4lo&c y+ 3 =O, que carece de raíces en R porque[).= b2 -4 ac = -20. Sí la primera ecuación tiene segundo miembro igual a 1 3 ° ,el sistema admite las soluciones (2,8) y (8,2}. . TRABAJO PRACTICO XI ii-i6. (8 +1 h't 1 ,.., ,i. ') ... /~; V.J) • - • -J Y,.j-jt. ll-17. a):: =- l - 2 í b) z =- 1 + i ll-18. a)z =4i b)-1 + V6 i b ' 1 l . 11·19.a)z=-i >== T- TI c)z=l-i c)2 ..ft;+i • 1 ) c)z=- s +si d) z =- 2 i d) 1 d)z =- i ll-20 a)z=- _!_ + 2 .../6i b)z = 1-7 i c)z= .±_ + 1.. i . 5 5 3 3 11-21. a)z=± (1 + i) b) z =± {l-2i) c)z = ± (J2-..Jf+ i J2 +-./3) Jl-22. a) Zt = 2 (cos 30° + i sen 30°) b) z2 = 4 (cos 240° + i sen 240°) e) z3 =y'2(cos 225° + i~en 225°) d) z4 =3 (cos 270° +i sen 270°) 11·13. a)z~ =-64 b)z2 z3 =4v'2(cos 105° +isen 105°) ) z3 1 l . d) 10 3- . e - =--- 1 z == :.1 z4 3 3 3 ll-14. ¡z =4 i ll-25.f(z)=az1 +bz+c=a/ +lñ+c=azz +bz +c=O=O 11-26. lz2 - zl = [(sen"a- cos 2 aj- + (3 cosa+ sen 2 aif' 2 1 ll-27. a=- T, b =3 11-28. 1, i, -1, -i. 11·29. z1 =3, z2 = -1 + 2i 11 30 - 6 3 . - 16 + 11 . . .x-13.- l3 l,y- -13 131 11·31. a) - z+z= o=o=- z +z ==z:¡::z =-=2' +z Cancelando'F resulta-z =-z b) Z¡- Zz =z1 + (-Zz) =Z¡ + (-z2) =Z'; -"Z;' ·. "·
- 238. 464 RES!'L:ESTAS ALOS TRAHAJOS I'RACI'ICOS e) I:: 1Í == lz 1 -- Z2 +z2! ~ lz 1 - z2 1+lz2! Luego lzd ··· !z2i ~ lz1- z2l - Zl- (,;. Z¡)- ZJ (Zl)d) z1 =--:;- z2 = - z2 => . = -- ~2 Z2 Z2 Z2 Z¡ ' 1 • ¡z1 1 -lztl e) z1 =-:- z2 = zd = -- 1 • lz2l = --~2 22 lz2l = ¡-;~ 1 1/·12. lz-l- 1 =!J.. - _!_ 1 1 z z' 1 z'- z 1 1::' zl= i =----.-= ! z • 1:1 L: 1 l 1' - _., l. '"' ""'¡ !: - z.-11: 1 1-1 n-JJ. 1.:: +=T" + 1= -. .z'i.. = (.::+::') ,::~= +(::-=·, ~=-="J = ::=~::+""71-.:,_,z:; +zj)z~·+::Z- ~?- z;z+z'?= ~ 1z12 -t-.;¡:'!; 11-34. i )n= 1 => (cosx +ísenx)1 =cosx + isenx =cos 1 x +isen 1 x ii )(eos x +i sen x )h = eos hx +i sen hx => (eos x + i sen x }h·d = = cos(h+l)x + i sen (h+l)x Aplicar al primer miembro de la tesis la definición de potenciación, y luego la hipótesis inductiva. Ver 11.9.3. 11-35. i ) Está resuelto en ll-10. ii) Aplicar 11-34. y cubo de un binomio. Igualar después las partes real e imaginaria. 11·36. i ) Siendo 1, w y w2 las raíces de x 3 - 1 =~0, es w= w2 y además 1 +w+w2 =O. Entonces 1 +w2 =- w => (l +wl)4 =(-wt = = w 3 w= 1 w=w ii )( 1 - w + w¡) (! + w- w") = [1 + (w- w) j[ l - (w- w)J= = 1 - (w- wY = 1 - w• +2 wW- w2 = l - w1 + 2 Wlv' - w4 = = 1 - w2 - w + 2 w3 = 1 + 1 + 2 = 4 Jl-37. i )w=±(l-4i) ii )w=±(3- 2i) iii)w=±(v'TO+ 0n fl·ld. i i .Y. 1 .... ~. ' _¡ ii )X~"' 3 -- 2i ± 0.:-:F+ + 4t ... ~-¡ a]Q, ! j ~ ~ ( , "<l:<" '~ • 1 ·~ + 2 :t .; !::':..,¡._::k :r" ,~ 4 ~~h .f con k = O, l, ~ 3. .. ) p _ ¡ _ ._.., 0 __ . 270° + 2 k 1T , • 270° + 2 k 11' u - ,.p- _, o. wk- co~ ,---- 3 - - ..,... 1 sen - - - 3 con k = O. 1, 2. .. ') 8 . o ( 2 k "'r . 2 k Tr ) 111 P=. ,¡p = , W¡¡ = 2 cos - 3 - +1 sen - 3 - , k =O, 1, 2. ¡v)p=2,¡p=30°,wk={f2 cos ----- +isen l k= . 3 (30° +-,k 11' 30° + 2 k 1T' 3 3 J' =O, 1, 2. TRABAJO PRACTICO XI l/-40.i )p= ~6, ~f!-=315°=: 1T, lnz=lnv'6+i( ~ ¡¡ ) p = e ' i{J = ~ 7T , In z = 1 + i e; TI + 2 k 1l) iii) p = 4 , 1fJ =O , ln z =In 4 + 2 k 11 i n+2k:rrl ./ En todos los casos k E Z. y el valor principal se obtiene para k= O. 465 11-41. i ) ln w :-..: (! - i) ln ( .J'i- (L Para el logaritmo e5 p =.f3. <;= aF -..Ji-tg 1 ---- en d ~:narto cuadrante. Lucg~_; !.V= !n ~ ·.._ .z 1f1 2+l"2J=ii ) In w =2 i In 3 í = 3 1 3 -lrr+3iln: =- -:;- rr + 3 i ln 2 =* w = e 2 , ... 1 . - nl) ln w "" In 11- 1 v'J.l ¡' 1T 1T =-· i Í !n .:; + t ! l -f-; l = l t ¡:;· - i l.n :: ~ 11 .2!..-iln 2 =>w=e 6 11-42. i )z =O .. (' .0 . 3 n ) z ln , 2 +1 2 1 = In l =:> : = 2 11-43. i ) Resolviendo la ecuación cuadrática en x;, se obtiene xi == 1 + i = 1- i. de donde. después de aphcar logaritmos, resulta ..!!,_ iln,/2 7 .J!.__i,/2 X= e4 V X= e 4 .. '3 1± ...FJ 1-ti../3. 13 l . -./3 11 ) x" ~:;;:; -·--·-- = ---~-~ =:> x" = - + z -- v~ .., "" ~ ., ") - t - .... - 11-·14. i ) Es la recta. x =- .:; ii ) fx. v ) 1- 2 ~ v < 3~l .. . . ' '/ X¡= iii) !z + ll > 2 => (x + lt +y2 >:.4. Es el exterior de b circunterencia de centro (- 1 , O) y radio 2, .. iv){(x,y)/- ; <x< ~ , x• +y 2 =4}
- 239. 4ó6 RESPUESTAS ALOS TRABAJOS PRACTICOS v) ,p)/45°~t.p~l35° ¡ p<2} vi) jx + yi- 1 + z1 = 2 ~ (x- 1)2 +(y+ 1)2 = 4. Es la circunferencia de centro (l , - 1) y rauio 2. 11-45. i ) lz + 112 = (x + 1? +y2 (1), lz -lfl = (x- 1)2 + y2 • Restando estas igualdades: tz + 112 -lz - 112 = 4 x ~ 4 ~ 3 (z + 11-lz - 11) = 4 x ~ 1z + 11 -lz- ~ 1= 3 x (2) Como lz + 11 + lz - 11 = 3 (3), sumando (2} y (3) se tiene + 3 1 . ~ - """ 'IZ 11 = 2 + ·3 x, que sustttuiao en ¡, i J ~onuu;.;c ¡¡ 1 l. d 'd' ' 3 b ..j5a e 1pse e semt tametros a = -I , = T x2 v2 9 i ~5 - - 4 4 =1. E:; ü ) Luego de elevar al cuadrado y operar algebraicamente se llega a (x 2 + y 2 ) 2 - 2 e2 (x2 - y 2 ) =O y en coordenadas polares resulta ¡f - 2 c2 cos 2 ¡p = O. Es la lemniscata de Bernouilli. ei1u + e-ikx 1146. Tener en cuenta que cos kx = • ~ ~ ikx + ~ -ilcx di l d !Efectuar 2 "' cos kx = .z.. e "" e me ante as sumas e os n 1<=1 k=l k=1 primeros ténninos de las dos sucesiones geométricas. Luego de operar se llega a n ei(n+ l).x - e-inx 1 +2 l: coskx = ~~-.-~ k=t e'"' -1 1J-47. No es una identidad. Basta dar un contraejerplo: z = 2, w = 8. ll-48.z=-../5+.J2i ~z=-..JS-..;2¡ ~p=../7,¡p=arctg ~ eneltercer cuadrante. Se aplica la fórmula Inz=In ..tf+i (c.p + 2 le ll') JJ-49. i ) e" =ew .=> e" eiY = eu i 11 => x =u A y= v + 2 n 1f ~ z =x +yi = = u + (v + 2 n 1r) i = ü + iv + 2 n 11' i = w + 2 n rr i => z - w = 2n 11 i con rz el. ii ) z - w = 2 n 1f i ~ z = w + 2 n rr i => tf = ew+ 2 " lli => e" = ew. 1 => ~e" =ew 11-50. í ) 2 cos z =e¡" + e-iz = ei(x+iy) + e-i(x-ryi) = =e-y (cos x + i senx) + eY (cosx- i senx) = =cosx(eY +e-:v)-isenx(eY-e-y)= . = 2 cos x eh y - 2 i senx sh y => cos z = cos x eh y - i sen x sh y. ¡¡)Utilizar el mismo procedimiento para sen z. TRABAJO PRACTICO XI ·- l· l" l { 1}Jl-51. i ) z -- z = i ~y= . 2 . {~su ta (x,y) /y= 2 ii ) z2 =z +z => x 2 + y 2 = 2 x => x2 - 2 x + y 2 = O => x 2 - 2 x + 1 + + y2 = 1 ~ (x -- 1)2 +y 2 =l. Es la circunferencia de centro (1,0) y radio l. -lf>' iü) z-z-t =O ~ z z- 1 ==O ~ z2 = 1 ~ x1 +y2 = l. Es la circunferet'· cia centrada en el origen, de radio l. ív) z -t + z =O => z2 + 1 => O ~ x2 - y 2 + 1 +2 xvi =O ~ => x2 - v2 + 1 = 0 1 2 XV = 0 =" , => y2 - ~2 =1 '' (x =O- v y= O) ~ --' ( ~·2 -- x2 "" 1 • x = 0 v 1 r2 - x 2 = 1 ·" v = 0) => => (~v =:!: l "' x = 0) 'J (- x2 -= 1 ' ¡• = Ol ~ z =;,: t v l; ·t +:e R => (x *O :, y =O) v x 2 +y= "" l. Es !a unión de la circunferenda de radio 1 -:on ..:entro en el origen. y diJe real. salvo el origen. • vi);= : 2 => x +.vi== (X- yz)z = x +yi =x: - y 2 -· 2xvi = => (x2 - y2 - x) + (·- ~ xy- _v) i =O = => x2 - X - y 2 == 0 ·' y (2 X + 1) = Ü vii) :: + i! = Z + ~ ¡¡ => ix + (y + 1J il = lx -'- t y + ~1il => y ' ,,Y • y • . :Y =>y + t Y+ tt =""' + 1.v + :::r =,.,r .,. ..: Y + 1 =:T +-+.r + .:1 = -3 [ 3}= ::: v + 3"" O = v =-.,- .R..:sulta X.vl v =- -::;-. . - l . . - 100 -101 1 . i JJ·. 7 . ) V k = l + .+ ·l + + ¡lOO ! - = ..!_=- = 1J~. a ~t:'o z 1 1 • . . • i- l i- 1 - 1 1 ~k ..!!!9 101 b) '! 1 -k =¡k= i = j Z =¡SOSO =¡2 = _ ¡ k~l ll-53. Sabiendo que lz1 + z2 1=zd + lz2 l hay que probar que existe Ct~ Oen R, tal que z 1 =a z2 . Si alguno es O, la propiedad se cumple obviamente. Supongamos entonces z1 ;1:: CJ y ::2 o# O. =: +:112 =:tl2 +¡;;2¡2 +.:.; IZ¡ Z: => (:¡ +::){=¡+:S)= =izd" +1:1 :" +2iZtZzi => 2Ret:: 1 =2)=2¡z 1 : 2!=2z 1 :-; = ==- Re Z 1 z2 ) == 1z1 z2 · (1) Scan:: 1 =x + yi 1 : 2 =u +iv =" : 1 z: ;(xu+yv) + i(yu-xd y por(!), se tiene: (xu+yv)2 = (xu+y~·)2 + ( yu-xv)2 => yu - xv =O => yu = xv. De los casos P osibles .:onsideramos v *O ==- x = JL ==- z1 == x + yi = ~ v + l'i =V l' • ' V ==-y {tt+il•)=az 2 ~
- 240. "=~~s RESPlTST1S ALOS TRABAJOS I ::A( UCOS Ahora Jicn, como Re (z 1 z:Z) = lz1 llz21 =9 Re (az2 i;) = la:z 2 llz 2 1 '* => a:¡z¡l 2 =la:IJz2l 2 => la:l =a:=> a:€R+iu{o}. Jl-54. j )z= -YJli .~--ti =>p= +A cp=21QO => l =(+.r(cos 840° +i sen 840°) = /6 (cos 120° + í sen 120°) = 1 < 6oo + . 6ou 1 r' 1 + . VJ ) - +. VT-·eos 1 sen l = - - ·- , -- ..,.. · ·· · l(:¡ ::: ' ' 2 / 32 ' 3~ l (! 1 .¡_ ia . a ~ -·-- :;::;:;; --~.~ii •= =~ ~en u ~- sen a: s.:n a: sen et P:H~ l -r ,~s p =V :; o ,¡; =45°. 4 4 ::: 4 = -~~- l.;os 180°- isen 180°) ==_=.ti__ ili) z sen a: sen4 a 1 + i ..;3-¡ Para l ,¡. i es p =...;T y ..p = 45° ; para v'3- i es p = 2 y ..p = 330<: ~(cos 45° + 1sen ·+5°) 4 4 (cos 90° + i sen 90°) z = 2 lCOS }JQO +fsen 330°) => z = 16 (COS 1320° +ÍSen 1320°) =: i 1 i = 4 cos 240° + i sen 240° = 4 -cos 60° - i sen 60° 1 i i ,.[3 I . = 4 1 . V3 -2 -2i13 - ~ - 2 l -2-l---y- 11·"5. i )::: w+z w=zw+: w.:.; :.Re t= w) ..:. Ret=w +z wJ =z w+ zw. ü )z w-zw=z w-z w= 2i!m (z w) =>!m (z w-zw) = -J:. (z w-z w) 1 /l-56. Si w es raíz cúbica primitiva de 1, entonces w2 también lo es pues ·mcd (2 , 3) = l. Teniendo en cuenta que 1 + w +w2 =O (ver 11-57), resulta (!- w)!!- =1 - w 2 - w .J. w 3 = 1 ·- Wl + i = 2- ~-·· l l = 3 ll-57 P:1m 11 >1, ~i w ,1s miz n-~i1na primitiva •.!e 1o ' :f; G, y ""'¡¡'"' 11 + w + w= + ... + w"- 1)(1 - w) = i ·- w" =O resulta l + w + w2 +... + ~o·n- 1 == O r' l . ..Jf" /' l y'3"n l J-58. 1 - - +l - ) +l - - -- ¡ - ) = 2 2/ " 2 2/ r( , V3) 3 1k r 1 0 3- 1 k = - ....!. +i - J + i (- - - i - ) =¡k+ ¡k= 2. L. 2 2 L' 2 2 J it· 1 ll !2-20. i ) a = :.:: ii)a =1 b='3 b = --l c=.t e =···1 12-21. i ) 1P- Q = 4X4 + 2 X 3 + Tx + 5 TRABAJO PRACTICO XII ii ) P . Q =1 X5 +TX4 +3 X3 +3'X2 +1 x +3 ili) pZ - Q = 4 xs +4 X7 + X6 + 4 xs +2 X4 + 5 x +4 iv) g (XP + 2 Q) = 5 ' 1-2-22. 6 + 6 . 7 + 6 o 72 + 6 . 73 11-23. No existen ya que en R [X] si A es de grado positivo, entonces de A2 = A se deduce gA + gA' = gA ~ gA = O, lo que es imposible. 12-24.i )e=-2 ; R=-2 ü)e=-1 ; R=-X2 -2X+3 lli) e= o ; R = 2 X2 - 1 12-25. Imponiendo al resto (m2 + 2 m + l) X la condición de ser el polinomio nulo, resulta m "" - l 12-26. i )e=-aX2 -ál X ; R=-l ii) Tener en cuenta que el opuesto de2 es 3. Se obtienen e= 3 X3 +4 X2 + 3 X+ 3 ; R =T ili) e=¡ X3 + X2 + (-2 -t) x+ (-1 + 2i) ; R =2 + zt iv) Después de tiividir el dividendo y divisor por tres se obtienen [ = XJ ~~" 3 X -t 7 y ~ = ·~ . o sea R ={)4" 11-27. Aplicandv í 2.6.2 se obtienen: i ) x + 1 ii >xz + 4 no X 11 - 1 11-28. Especializando X por a, se obtiene R = P (a) Q(a)- P (a) Q (a)= O, es decir X- a 1P _Q (a)-· P (a) , Q 12-29. En los tres anillos de polinomios se obtiene P = (X+2) (X-2) (X+4). 12-30. Puede aplicarse 12.11.1, o bien por ¡:ómputo directo las raíces son ± V2,, ± ..;3.
- 241. ...... -~~W.lm!:B.v~-:'~~,-~;;~~·,e:o;~;F"'~~!o ·--:~,;t:r~:~¡;;;:,, l--.i;."'!:>r~~~-~-. ,~,;;::·.~-"'""""' ···---- --· ~ RESI'UFSTAS A LOS 1 RAllAJOS PRACTICOS ! l J. Las raíces de P = X 4 -lO X 2 +1 son 1 •../5--;::. .../6- = ± --../(.J2 ±-73)2 = ±CV2 ± ..{3) 12-.1'2. De acueido con 12.9.2., si o: es raíz doble de P, es raíz de P' = 3 x 2 + 4 x - 4. i)e P' son raíces - 2 y ·; _La primera es raíz doble de P y resulta P = (x + + 2)2 (x- 2). , .. _::;. B:.~>t:l ~tectuar P = (X-o:1 ) CX -o:2 ) (X--o:3 ) X~o:.,) = =X"' ..¡ 3 X? +.:1¡ '{2 +,-;¡: X+an .donde :lé =·-lO:: +üz i-a.3 +a~) .;~ = •:>:; •:1:2 + Ü¡ (:~ + . -. +0:3 ~ .1 1 = -IU: 1 0:;. o:{+ ... +~Xz 0:3 ~) un= U:¡ o." a 3 <4- Ver 12.12. ••.- .J. P = ;-;:' - S X: + 4 ..>5. i ) A es irredudble en Q [X] pero no en R [X] pues A= (X -tl3) (X~ + + X _._{/'l) ti l B ~s meducible en ambos anillos pues b1 -4 ac <O. tiil C =<X + 1) i X- l )(X2 + X + 1) (X2 -X + 1) es reducible en Q{X jy en R[Xj. 2 a " l ::-36. Si a"! =O. es trivial. Considerando a2 *O, se tiene P = a2 l(X+ --::!--), -al :::,. ' - 2 :. Si 6? O, entonces P es reducible. Luego P irreducible implica 6 <O. 4-:z ~ Ret:íprocamente si 6 <O, entonces Pes irreducible en R [X]. J:.-37. P = X2 + 2 X -4 E Q [X] con D.= 4 + 16 = 20 >O, y es irreducible. ¡::.JS. P =3 X2 + 4X+ I ;:; 39. i ) R<:f1exividad: B!O ~ BIA- A ~A- A Simetría: A- X = B!A- A'~ B!A'- A= A'- A TransitiVidad: A....:-A' i A' -A" => BIA- A' A BIA'- A" = . => BIA'- A" => A'- A". ü ) KA =(-PE K [X] 1p·- A } y como P- A = BIP- A -"'> P- A= CB => =P=A+CB.Luego KA={A+CB/CeK[Xl} _ ¡ :--111. Prvbar. como en 5-12 y 5-13 i ) A - A' C - C' ~ A + C - A' + C' ii) .--A' ·' C- C' -=> AC- A'C' ¡;:..¡l. Demostrarlo en las siguientes etapas ..~,_ TRABAJ() l'RAC'T!CO Xll i ) I es un subanillo de K [X] ii) Qel " Pe K [X] ~ QPE l l se llama ideal generado por A y B. .:-;¡ 12-42. Sea { I¡} con i e U una familia de ideales de K [X]. Con el criterio utilizado e-n 9-16 se prueba que .n I¡ es un subaníllo de K [X]. Falta demostrar, de acuerdo l€U con 125 A en l¡ " PeK[XJ ~A Pe nI, ~u ~u lo que es inmt!di;1to. 11-13. Sean 1 ={S A; + T Az 1S " Te K [X} , y nl¡ la intersección..:~ :cdos ideales que contienen a A1 y A2 . f.-1 = 1 A 1 + OA2 ,, Az = O A1 + + 1A2 = A1 el A A2 El, o sea 1 es un ideal que contiene a A2 y a A2 . En consecuencia nl; e l. Falta probar que len I, y para dlo es suficimte demostrar: P e l => P € nI;. 12-44. i ) x = - 2 Vf. Las cuatro raíces cuartas de i se obtienen mediante 4 r;: ¡..p+1krr . .p+?.k1r w,. =Vp COSe--¡-- + l sen --¡--) donde p =1 , ¡,p= ~ y k= O, 1, 2. 3. ii l X 3 + X2 +X+ l ="'X2 (X+ 1) + tX + 1) =~X+ ll X2 + 1l:::;;: O Resulta· x 1 c:::-1 ,x2 ==i ,x3 =-i ili) i X3 + 1 = o => X3 =- ~ =- i =>X= tcT. En este caso p= ¡ 1 ;=1 • = 3}- . Se aplh.:a la fórmula de la parte i ) para k= O, 1, 2. • 7 (m- l) . 12--/5. i ) X ¡ +X 2 "" 0 -"'> - -------g,;;-- = Ü -"'> m = 1 .. 1 l 1 lu )x 1 x 2 = => -g;¡ = =m= 8 üi) t:. = bz - 4 ac = O = 49 (m - 1)2 - 32m = O se resuelve esta ecuación en nL 12-46. i ) Como o:3 = o:1 + a2 y o:1 + o:2 + o:3 =- 2 se tiene 0::3 =- l. Por otra parte. de o:1 + o:2 =- l y o:2 o:2 =2, se deduce que a 1 y o:2 son las raíces de la ecuación t 2 + t + 2 = Oy resulta 1 1 . ¡;¡-7 0:¡ =- 2 + 2 l V ' l 1 0:2 = - 2 - 2 i ../f.
- 242. H!SPUESTAS A LOSTRABAJOS PRACTICOS ii) De ~~ a2 . a 3 '""~ 1 y a:1 a:2 == - 1 se outiene a:3 "' - l. Entonces P es diiisible por X + l. La aplicación de la regla de Ruffini determina el CO(iente e= 2 X2 -3 X- 2, cuyas raíces son al = 2 y Cl:z =- +. 12-47. i ) Operando convenientemente se obtiene -bx(b+x)=a(a+b+x)(x+b) => => (f2 +ab +ax)(x + b) +bx (b +x) =O=> ~(:e +b) (a2 +ab +a:x +bx) =O=> =>:<+b=O 1 (a·+biJ:+a(a+b)=O=>x=·-b v x=-·a si ,;; {;,;::::O. ii) Ha,iendo x4 =y, se resuelve + 2 y+ l = Oy se obtiene y 1 ""y 2 Luego x = f=l, siendo p = 1 y ;p =r::. L l.:-48. Consid~rando la condición a:1 = 2 a:2 y las relaciones entre coeficientes y raíces, se obtiene m = ± 6. ' 4 : 4 2 ~'1 l.:-19. Corno (t'1 + a:~ + C:h + o:4 )• = ~ a:, 4- 2 :E a:¡ a¡. se tiene (- 3) = .... o:, -r . :~1 .. i<i ¡:::¡ f + 1. 5 - T 4 ~ => 2: a~ = 4. i=l ' 12-50. Elcamliiodevariablex=y -3 conduce a(y- 3)3 -3 (y- 3)2 + 2 (y- 3) = = y 3 -12 y 2 + 45 y- 60. AdKfon m C, 34.¡ en N. ~13 en Q, 297 en R, 319 en Z. ~83 Algebra de Boole, 63, 210 Algoritmo de Euclides. 288 Amplitud de intervalos, 309 Anillo. 264 con identidad, 265 conmutativo, 265 de clases residuales, 267 de división, 265 de polinomios, 378, 383 ordenado. 276 propiedadt!s, 266 sin divisores de cero, 267 Antisirnetría, 75 Aplicación o función, 103 canónica, 116 A-reflexividad, 72 • Argumento prin.::ipa.i. 35- C-mnetna. 14 -'>·iranSH!V(]JCL '4 Automorfisrno, 153 En C. 350 Axiomas, 208. de Peano, 212 Bicondicional, 6 Binomio de Newton, 179 Buena ordenación, 97, 167 C;:;mbia de base. 334 Circuitos lógicos. 18 Clases de equivalencia. 79 residuales. 82. 157 • Coclases, 255 Codominio. l02 INDICE Coeficiente principal, 382 Combinaciones con repetición, 199 simples, 198 Combinación lineal, 273 Combinatoria con repetición, 199, 200 simple, 197, 198 Compatibilidad, 154, 247,319 Complejos conjugados, 349 Complejo imaginario, 343 real, 343, 350 Complementación, 36 Completitud de R, 326 Composición de funciones, 117 de relaciones, 68 Condición necesaria y suficiente. 7 ( onectivn;; ló!tiem. 2 >l(l Conjunto, 25 acotado, 94, 3~8 bien ordenado, 97 cociente, 79, 80 coordinables, 162 complementario, 36 de índices, 57 de partes, 34 ·~""··
- 243. ... '4 dlferem:ia de,48 diferenci,t simétrica de, 50 ···íUipotcntc>, 16:! finito, 164 igualdad, 32 infinito, 165 inclusión, 30 ;:;tersección de. 38 .:.:merable. 165, 30l ;;;-::raciont:S gt:üt:id~i.Lad...t.>,. 5G ¡rt ición de. 84 ~-,)dueto ..::artesiano dt:, 53 :;itario, '27 •:üversal. 26 ·. "..::ío. 26. 34 Jduras. 321 .~;.: rpo. 278 ;,__1mpleto. 321 .:.: lo::. complejos. 341 -.:!..; los racionales. 293 de los reales. 320 ~~denado, 321 ,~ropíedades, 2.79 ;::,.; :idad de Q, 2.99 je Qen R. 326 -:-;.,mposición factorial en Z. 292 le polinomios. 406 Dhi_!ramas de Hasse, 95 de Venn. 30 Dórencia de conjuntos. 48 -,unétrica, 7. 50 Dí::iributividad, 150 Di<sión de polinomios, 384 entera, 287 Dis: unción. 3 Dl'ble implicación, 6 Dc:nínio de relaciones, 66 de funciones, 102 de integridad, 272. 280 f>; .1idad, 211 E:·.laciones en un cuerpo, 279 ~n un grupo, 229 INDICI-: Elementos de un conjunto ordenado, 93 consecutivos, 95 coprimos, 275 inversos, 145, 221 maximales, 94 minimales, 94 neutro, 145,220 primos, J/6 regulares. 146 ~I!C:lj" t1r' inh'rv11n~ ii1Q Endomorfisnm. !53 Ep1mcrfismo. 153 Esp~cializadón, 3Q6 Estructura algebraica. :: 19 de anillo. 264 de cuerpo. 278 de grupc. 225 de monoide, 220 de semigrupo. 220 Extremo superior. 94.3::::8 inferior, 94 Exponencial compleja, 366. 369 Factoriales. 176 Factirización en un anillo. 274 en Z. 292 de polinomíos. 389 Forma binómica. 347 expone:1cial, 366 polar. 356 Fórmula de De Moivre. 359 de Taylor. 409 función. i02 biyectiva, 111 canónica. 116 característica, 140 clasificación de 11O, l 11 compuesta, 117 constante, l 14 · creciente, 191 . de probabilidad. 140 entre i11tervalos, 186 estrictamente crecíente·, 189, 194 ~- extensión de, 137 identidad, 115 inversa, 121, 127 myectiva, 110 factorial, 176 mantisa, 138 parte entera, 138 proposicional, 14 proyección, 115 representación de, lOS restricción de. 137 signo. 109 sucesor, :!!3 valor absoluto. 1.~5. 285 Grado de polinomtos. 379 Grupo. 225 abe!iano. 2.26 aditivo, 229 cíclíco, 257 cociente. 25 1, 254 de automorfismos. 262 de raíces cúbicas, 243 de raíces de la unidad, 371 de transformaciones, 228 finito, 259 generadores de. 257 morfismo de. 237, 239 multiplicativo. 229 propiedades. 228 Homomorfismc,;. lS1 de grupos. 237 Ideal. 272,388 ldempotencia, 9 lmagen,66, 128,242 inversa, 131 Implicación, 4 Implicaciones asociadas, 11 Inclusión, 30, 33, 34 Indeterminada, 381 Indice de un grupo. 260 l'NDJCL Inducción completa, 167 Int1mo, 94 Intersección, 38 Intervalo), 164, 309 Inverso, 230 Involución, 9 ~75 Isomorfismo, 153, 284, 298, 3Ji. 347 Ley cancelativa, 269 de ..:omposición interna. 14~. l~ de composícwn externa. 1:'~ de De :torgan. lO. 4b. 4- distributiva. 9, 46. 150 inducida. 155, 283, ~()7 'lógica. 8 Logaritmación en C, 333 en R. 367 Matrices. l4C!. 153.270 simétricas. 234 Máximo común divisor. 274. 288. 38~ Mét9do de Horner, 411 Módulo en e, 351 propiedades del. 351 Monoide. 220 Monomort1smo. 153 Morfismo, 151 de grupos, 237 Multiplicación en e, 344 enQ, 297 en N, 213 en R. 320. 325 en Z, 283 Negación de implicaciones, 12 de proposiciones. 2, 16 · No reflexividad, 72 No simetría, 73 No transitividad, 74 Núcleo, 240 Numerabilidad de Q, 301 de Z. 164 Número cardinal, 163 --e--
- 244. 476 combinatirio, 177 complejo,341 entero, 2H irncional315 primo, 29l racional, :95 real, 308,315, 323 Orden ampli,, 90 de un gruJo, 259 e~tricti)~ 9~ parciaL 9! total, 91 Operaciones iOn subgrupos, 235 en forma exponencial, 367 en forma JOlar, 358 Par ordenado, 53 Partición, 84,87 Permutaciom~ simples, 198 con repeti(ión, 199 Polinomio, 3"8 adición de. 380 coprimos, J92 derivado, <()0 división de. 384 grado de, 379, 383 multiplicación de, 380 nulo, 378 primo,393 raíz de, 3'17 Po.nencia de u1 bi.11omio. 179 Pmencia de R. 335 D . • e--·c;..::;.;n~Hl~_¡Ofi)n ~,:,.,:_,;, en R, 359 Preimágenes, 131 Primer elemeJJto, 93 Principio de buena ordenación, 167 de inducci~n completa, 168 Producto carosiano, 53 Proposición, l. Radicación er C, 329 INDICE en R, 354, 362 Raíces de polinomios, 397; 403, 405, múltiples, 399 Razonamiento deductivo, 13 Reflexividad, 71 Regla de Horner, 411 de Ruffini, 387 Regularidad, I46 Rdacion binaria. 64 circular, 99 composición de, 68 de equivalencia, 77, 88, 313 de orden, 90, 218, 299, 324 dominio de, 66, en un conjunto, 69 funcional, 102 imagen de. ó7 in.versa, 67 propiedades, 71 representación de, 65 Relaciones entre coeficientes y raíces, 407 Restricción, 137 Semigrupo, 2:!0 Silogismo hipotético, 13 Sistemas axiomáticos, 108 Sistema de Peana, 213 Subgrupos, 231 de matrices, 234 distinguidos, 248 intersección d~. 235 normales v invariante~;, ::s: •mión de, 236 Sucesión, 165 monótona contigua, 31:! Subanillos, 272 Sumatorias, 170 Supremo, 94 Traslaciones de un grupo, 258 Términos primitivos. 208 Teorema de comp1tibilidad, 155,247 INDICE de descQmposición factorial, 292, 394 de Euclides, 292 de Gauss, 403 de inducción completa, 167 de Lagrange, 260 de las relaciones de equivalencia, 85 del resto, 397 fundamental del álgebra, 406 Ultimo elemento, 94 Unidad imaginaria, 347 Unión de conjuntos, 42 disjunta, 58 Valor absoluto, 285 Variaciones con repetición, 199 simples, 197 47i /.