Cálculo avanzado: funciones, límites e integración

CALCULO
AVANZADO
' •VATSO N Fl'LKS
l'rof1•.w r tl1• /l•f tlfl'll/11/lt'tl
U11il'er.itl111/ tft'I l.1111tlo
tlt• Ort'¡:tín,
CENTRO REGIONAL DE AYUDA TECNICA
AGENCIA PARA El DESARROLLO INTERNACIONAL IA.l.D.l
ME X ICO 1 970

)
Versiun autorizada en e~pañol de lr1
octavo teim¡irel>ión ¡iublicada en in(!I.:~
por JOHN WILfl & SONS. INC., N Y..
hujo el 11tulo ADVANCFD LALUI US, An ln1 roJuc1iun lo Analv,I.
CJ 19(17 JOllN Wll EY & SONS. INC.. N. Y.
Vcr,ión E:,panolu
11'« JOS t llE l<NAN P~RF7 C'AS 1FL LANO~
Ingeniero lndustriul, Profe~or de
Matemiitícn de lu 1---.cueln Superior
Je lngenienu Mecánica y E!cctrica
del l n~t it1110 Politccnico Nacional.
Mé"<ico. ,
ltcv1sión
1 re. Aúl HAHN GOLDBERG
1 1cenciado en Ciencias Flsicomutemática!>
> Proícsor de Matemática) en lu &cuela
Superior de Física y Mn1em:íticas del lns1 ituw
Polltécnlco Nacional de México.
Ingeniero de Comunicaciones y F.lec1rónica.
Derechos rc-;cl'lado' en lengua española
• ICJ70, Fl)ITORIAL LI MUSA-WILFY, S. A
Arco de Relem núm 75. México l. D. F
Miemhro Je la C:cmnra Nncionnl de l:t
lndu,1na Editorial Rcg1-.1rn núm. 121.
Pnmcrn ed1cwn: 1970
lmprcO en Méxu:o
1256)
..
A mt Padre
'1

)
Al Estucilanfe
Al usar este libro, primero debe prestar atención a las definiciones.
puesto que describen la terminología de las matemáticas; y no puede es-
perarse el entender las matemáticas sin aprender el vocabulario, como
tampoco puede esperarse el entender una lengua extranjera sin aprender su
vocabulario. Como cualquier otro lenguaje. las matemáticas se desarro-
llan en parte adquiriendo términos de los lenguajes más próximos (ea este
caso principalmente el inglés). modificando su significado y apropiándo-
selos. Estos constituyen los término::. técnicos de la materia. Puesto que el
lenguaje de las matemática::. forma parte de la lengua del país. es impor-
tante distinguir entre el empleo técnico y el empleo no técnico.
Una palabra o una frase que i.e e tá definiendo se encuentra escrita
en negritas. por ejemplo convergenc:a uniforme. Los teorema::. que tienen
nombre, como el teorema fundamcn'al del cálculo, tendrán su nombre e!l-
crito en negritas. Un signo igual con tres guiones (= ) se usa en dos for-
mas. Significará identidad. como por ejemplo
x ; y"== (x y) (x ~ y).
Y también significará "define a" o "se define por". Por ejemplo.
/(X) 2x" 1 3 {- 1 ~ X ~ 7}
significa que la íunción f e tá ddinida en el intervalo designado. En mi
concepto. existen pocas cau~as de confusión derivadas de los usos am-
biguos aquí indicados.
En el desarrollo del texto ocasionalmente se hace referencia a los ejer-
cicios mediante un número. Por ejemplo, con frecuencia se encuentran
observaciones entre paréntesis tale!> como (ver Ejercicio B7 ). A menos
que se indique un número de sección. el ejercicio en cuestión se encontrará
en el ¡::rimer conjunto de ejercicios que ,iga a la referencia.
Algunas palabras más acerca de la forma de estudiar: al tratar de
entender una demostración. debe obo;ervarsc cuál es el concepto básico.
Debe tratarse de .inalizar la demostración y decidir que una determinada
7

J
1d~ 1 ' ' ' 1d 1 .1111 1m 11l11~1.1d.1 l'' c11t11:a. 4uc la demostración gira en torno
,1c d l.1 ' q111 l.t p.11Ir' rCt,intc' 't)ll cálculos ~ccundarios cuya presencia
11c L 11 111 111 h l 1111 Hll ll' llll 111rn vc1. que se localiza el punto fundamentaJ.
1 . l · 111u 1111 111t• qut· 'e entienda el papel que cada proposición juega en
l.1 ~ ·''"" " l llL' n 1k 1111 cap11ulo. ¿,Cuáles. debe preguntarse uno mismo.
~1111 l l'•11lt.1d1h p 1d rrnrnJrc.. o secundarios. cuáles tienen una importancia
1111111111dl.1I cti.ile' una importanciu menor'! Los nombres -lema, teo-
H·rnn 1.11rnlJrtl- proporcionan una regla aproximada pero de ninguna
111 IOI.: r.1 JUCCha.
l·rnulml'nte. después ele lo amerior. puede decirse que ninguna indi-
cac16n acerca de la forma de estudiar puede remplazar un interés real y
crccit:ntc en la materia.
( orva/lis, Oregon
Mar:.o de 196 1
I
W ATSON F U LKS
Al Maesfro
Este libro esta escrito para ::.ervir como una introducción al análisis.
Para lograrlo hice un csfucr7o por presentar las demostraciones nnalíticas
basadas en la intuición geométrica y darle un mínimo de confianza a
lo::. argumento::. geométricos. De hecho. en el desarrollo del texto se hace
un e~fucr7.o en tal sentido. No he tenido un éxito completo en tratar de
evitar a1
gún uso esencial de la intuición en las demostraciones, pero he
localit..ado mis i.crias transgresiones al Capítulo 13 dond:: se encuentran
los teoremas de Green. Gauss y Stokes y algunas de sus consccucncial>.
Al igual que muchos que se extravían de 1~1 angosta !'Cnda de la virtud.
he intentado racionaJizar mi acción. Mi defensa es simplemente que pani
evitar tales argumento. geom¿lricm. habría que aplicar más trabajo difícil
del que considero recomendable. Con la intención de mantener un curso
enrre la heurística del cá1
culo elemental por una parte, y el rigor de la
teoría de funcione~ y la mpología. por l;.1 otra. he preferido pecar en la
dirección tina l11.urí-.t1ca tn el Capítulo 13. La motivación para ello cs.
por ~upucsto. que lo c.¡ue acrifiw en lógica L.~pcro gannrlo en pedagogía.
Ya es bastante parn apología.
El libro está dividido en tró p.irk... cmpcL<tndo con el calculo de fu n-
ciones de una o;ola variah'c real. l-n .:~ta parte he delineado algunos de lo'>
aspt:ctos mal significativo~ Je' la teoría Ouiní la característica más nove-
dosa sect la demostración de la 1:xi'>tencia J e b integral de una función
continua -;in la aplicación de la continuidad uniforme. Con ello se logra
el aplazamiento de la discusión de las propicdadcl- mús difíciles de la<;
funciones continua!' hasla que el l!~tudianlé ha adquirido cierta madurez.
La parte intermedia se refiere al cálculo de algunno; variable-;. Empient
con un capítulo obre 'ectores aplicándose la terminologra y la nota-
ción vecrorial consistenrcmcnte y con efectividad. El Capítulo 1L. que
se refiere a las funciones inver;;a-; y u l:i' transfonm1cione . contiene una
demo,.tración dd teorema de inwro;ilín. la cuaJ 1: una adaptación de una
nueva demostración presentada por el Prnfc or H. Yamabe (Amerirnn
Marhemariaú Monthlv LXIV. 1957. paginas 725-726 J. una dcm<>stración
9

I
I
10 Al MaHtro
ttlll' p11l'1h- lh•11"'' u l'llhu '"hu· l'll'rlu' tipos de c~pacio' de diml'nsión
111l1111ri1
l 11 h'rl·1•111 y ultima l'ilrtc llcl libro C rcíiere al tratamiento de la
ll'llr111 tl1• 111 t'1111w1~l'lll'ia nplic.:ndn u lus 11crics infinitas y a las integralel>
1m1u1111111' 11 c1111•1111 de <'uuchy constituye la base para un tratamiento
unil1t•111l11 d1· l'""" 1t1pic.:oi..
l .o, p111hll·m11' en cada conjunto están clasificados como Ejercicios A,
n o l'. b 111 clusificación i.c basa en una graduación aproximada de la
d1ficultnd tk lrn. problemas. Los Ejercicios A son aplicaciones directas
tk lu ll'nría. uun cuando los cálculos en algunos de ellos pueden ser un
poco lurgo!I. Los Ejercicios B son un poco más profundos y los Ejerci-
cio'i C'. en general. están dirigidos a los mejores estudiantes.
No presento bibliografía aunque. por supuesto, debo reconocer la
influencia de muchos libros, viejos y nuevos, y en principio se supone.
Mi profundo reconocimiento a la influencia de colegas con quienes
discutí el manuscrito. En particular, debo mencionar al Profesor Warren
Stcnbcrg con quien sostuve un gran número de conversaciones, y al Pro-
fesor Jack lndritz, quien leyó una gran parte del manuscrito aportando
su valiosa crítica.
W ATSON fULKS
Contenido
PARTE
Capítulo 1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Capítulo 2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.S
2.6
2.7
Capítulo 3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Capítulo 4
4. 1
4.2
4.3
CALCULO DE UNA VARIABLE
El sistema númérico
Los axiomas de Peano
Los números racionales y la aritmct1ca
Los números reales: completitud
La geometría y el sistema numérico
Conjuntos acotados
Algunas indicaciones sobre lógica
Valor absoluto
Funciones, sucesiones y límites
Mapcos. funciones y sucesiones
Límites
Operacionel. con límites (sucesiones)
Límites de funciones
Operaciones con límites (funciones)
Sucesiones monótonas
Funciones m~nótonas
Continuidad y d iferenciabilldad
Continuidad. Continuidad uniforme
Operaciones con funciones continuas
La propiedad del valor intermedio
Funciones inversas
La derivada. Regla de la cadena
El teorema del valor medio
Integración
Introducción
Lema~ preliminarci.
La integrnl de Riemann
11
19
19
21
25
28
30
32
33
39
39
43
47
53
~7
60
63
67
67
70
72
73
77
82
93
93
95
10 1

12 Contenido
" 1
1
l 11
Ca¡11tulo 5
' 1
5.2
:'.~
CC1pllulo 6
11. I
{).2
bJ
6.4
Capitulo 7
7.1
7.2
7.3
7.4
PARTE 11
Capitulo 8
XI
8.2
8.3
R.4
8.5
X.h
X7
XX
X lJ
Copitulo 9
C) 1
'>.
. .,..
11 ~
11 "
'I, l
P1 1>prldJdL~ ck Ju integrnl definida
11 1~111 ma fundamcntul del cálculu
l'111prul.11.k-. adicionult:s de lus intcg.ruh:'
Len funciones trascendentales elementales
l·I 111 1ritmo
1u luncrón exponencial
l ª' funcione' circulare-.
Limites y continuidad
Puntos límite. Puntnl> de acumulacitin
El crucrio de Cauchy
Límite.. c;upcrior y limite inferior
Propicdade" ma<, prolum.IJl> t.k lai. ftrrwionc-.
continua<;
Propiedades de los funciones diferenclables
U tcon:mu del valor medio de Cauchy
Lu regla <le L'Hospit:tl
Formul.1 de faylor con rclduo
Valore~ extremos
CALCULO VECTORIAL
Vectores y curvas
Introducción y definiciones
Muhipltcucioncs de vectores
Ln-. triple' productos
lndepcn<lencia line.ir. 13a'iC'>. Orientación
Geometría analítica vecwrial
r::-.pacios wctoriales de otras dimensione~ : I 11
h 111cinncs vectoriales. Curvas
Curva~ rectificables y longitud <le urco
C111"ª' Llifercnciahlcs
Funciones de algunas variables. Límites y continuidad
l 111 p11<:0 de topología: conjuntos ah1l·r10, y
L.'l'r1.11l1h
1111 pnrn m:í' d1.: topología : succsionc~ . ult11L'
l11111t'" p1111111, u1.: acumulación. critcrni de C1111ch~
1lllllll''
l 11 11,111111·-. Ct'l111rak, lle un vector
( )pl'l .tl 11 tll•'- l'Oll lrlll lll''
( 11111111111d.1d
l l1·l 1lp111111 J-!1.'nmi.:1ri1." dc unu func1e111
1()l)
113
11 6
121
121
121
126
139
IW
14 1
1i.j~
149
153
J 'IJ
1'i5
1'il)
165
171
171
176
183
187
190
193
19<1
197
200
290
209
213
218
221
223
225
227
I
Capitulo 10
10.I
10.2
I0.3
10.4
10.5
10.6
Capitulo 11
11.1
11.2
11.3
11.4
11 .5
11 .6
11 .7
11 .8
Capítulo 12
12.1
12.2
12.3
12.4
Cap ítulo 13
13.I
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
PARTE 111
Ca pítulo 14
14.I
14.2
Contenido 13
Funciones diferencia bles
Derivadas parciales
Difercnciabilidad. Diferencias totales
El vector gradiente. El operador del. Derivadas
direcciona!es
Funciones compue!>tas. La regla de la cadena
El teorema del valor medio y el teorema de Taylor
para diversas variables
La divergencia y el rotacional de un campt) vectorial
Tra nsforma ciones y funciones implicltas. Valores
extremos
Transformaciones. Transformaciones inven.;u,
Transformaciones lineales
El teorema de inversión
1nversas globalc<;
Coordenadas curvilíneulo.
Funciones implíciLas
Valores exLrcmos
Valore!. extremos bajo restricciones
Integrales Múltiples
Integrales sobre rectúngulos
Propiedades de la integrul. Cla!'es de funciones
integrables
Integrales iteradas
Integración sobre regiones. Área y volumen
Integrales de línea y superficie
1ntegralcs de línea. Potenciales
Teorema de Green
Superficies. Arca
Integrales de superficie. El teorema de la
divergencia
Teorema de Stokes. Superficies orientables
Algo de heurística física
Cambio de variables en las integrales múltiples
TEORIA DE LA CONVERGENCIA
Series infinitos
Convergencia, absoluta y condicjonaJ
Series con términos no negativos: Pruebas de
comparación
231
23 1
237
243
247
254
256
263
263
264
271
278
280
284
288
291
297
297
303
305
309
319
319
327
336
342
348
353
355
365
365
369

'
14 Contenido
14.3 Series con términos no negativos: Pruebas de lu
ra16n y de la raíz. Restos
14.4 Series con signos variables
14.5 Pruebas más delicadas
14.6 Rcam.:g~os
Ca pltulo 1S Sucesiones y serie1 de funciones. Convergencia
uniforme
15. 1 Introducción '
15.2 Convergencia uniforme
15.3 Consecuencias de la convergencia uniforme
15.4 Pruebas de Abel y Dirichlct
15.5 Un teorema de Dini
Capítulo 16
16.I
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
Capitulo 17
17. 1
17.2
17.3
17.4
17.5
Capitulo 18
18.1
18.2
18.3
La serie de Ta ylor
Series de potencias. Lntcrvalo de convergencia
Propiedades de las series de potencias
Las series de Taylor y Maclaurin
Las aritméticas de las series de potencias
Substitución e inversión
Series complejas
Funciones analíticas reales
Integrales impropia s
lntegrales impropias. Convergencia condicional y
absoluta
Integrales impropias con intl!grandos no negativol>
El valor principal de Cauchy
Una prueba de alternación
Integrales múltiples impropias
Representaciones lntegrole~ de funciones
Introducción. Integrales propias
Convergencia uniforme
Consecuencias de la convergencia uniforme
Capllulo 19 Fu,,ciones Gama y Beta. Método de Laplace
y f6rmula de Stir!ing
19. I La función Gama
19.2 La función Beta
19.3 Método de Laplacc
19.4 Fórmula de Stirling
Capitulo 20
20.1
20.2
Series de Fourier
Introducción
Aproximación en la media. Desigualdad de Besscl
375
378
381
383
389
389
390
395
401
405
409
409
4 14
420
424
432
433
436
439
439
446
449
450
452
457
457
461
467
481
481
484
487
491
493
493
498
20.3
20.4
20.5
20.6
20.7
20 8
-------~ -··· •• •• ...v
~lgunoi. lemas útiles
l l·orcmus de convergencia
Derivación e int · •
Series senoidal ;s~~~~~n~id~~n~rge~.cia uniforme
La integral de Fouricr • · am 'º de escala
fapacios de funcio e .completos nes. OnJuntos ortonormalcs
Fórm ula s elementales de derivación e integración
Respuestas, sugerencias y soluciones
INDICE
1-;I
500
503
510
514
517
522
529
531
547

.(
( 1
l
1
parte 1
CALCULO
DE UNA
VARl.ABLE
•

•
1
El sistema numérico
l.l LOS AXIOMAS DE PEANO
Cualquier estudio del análisis matemático tiene su base en el sistema
numérico. Por Jo tanto, es importante para los estudiantes entender cómo
puede desarrollarse la aritmética a partir de los números naturales (otro
nombre para los enteros positivos). No es nuestra intención llevar a cabo
ese desarrollo aquí. puesto que eso es más propio de un curso acerca
de Ja teoría de funciones. Sin embargo, deseamos hacer algunos comen·
tarios acerca de la estructura lógica de ese desarrollo.
El punto de partida acostumbrado en el desarrollo de los números
reales es un cierto conjunto de axiomas que fueron formulados por
primera vez por el matemático italiano Peano. Estos axiomas establecen
que los números naturales satisfacen ciertas propiedades. A partir única-
mente de estas propiedades. haciendo las definiciones apropiadas cuando
sea necesario. podemos desarrollar todas las reglas conocidas de la arit·
mética. En la terminología de la lógica formal. tenemos un conjunto de
objetos indefinidos para los' cuales escogimos el nombre de números
naturales, y que satisfacen los axiomas de Peano. Esto significa. sirhple·
mente. que los números naturales se toman como los «átomos» básicos
de nuestro sistema matemático en términos de los cuales expresamos
111!> demás conceptos matemáticos, pero que no pueden expresarse en tér·
minos más fundamentales.
Quizá una forma más fácil de visualizar la situación, puesto que.
después de todo. no podemos decir que nunca hemos escuchado acerca
tic aritmética o Jos números racionales. etc., es ésta: podemos verificar
que los enteros positivos son un sistema de objetos que satisfacen los
uitiomas de Peano. Ahora podemos proceder al establecimiento de todo
lu que sabemos de aritmética. usando solamente esas propiedades esta·
lllccidas expllcitamente en los axiomas.
(19/

20 cálculo de una variable
Los cinco 11xl11m11~ lle Pcunu M ln loi. si~11icn1..:1. :
Axiomu l. 1 ci. un númcrn nalurul.
Axion.. l. fodo numero natural 11 tiene aMx:indo en una forma ilnica
otro número natural 11' llamado el sucHor de " ·
Axioma J. El número 1 no es sucesor de ningún número naturul.
Axioma 4. Si dos números naturales tienen sucesores iguales cntuncc!'I.
ai.imbmo, son iguales. Esto es. si 11' = m'. entonces 11 =m.
Axioma s. Supóngase que M es una colección o un conjunto de nilmcros
naturales con las propiedades
(i) 1 está en M .
(ii) n' está en M siempre que n esté en M .
Entonces. la colección M consiste de todos los números naturales
Aqul ta igualdad se u~ en el s~ntido de i~~ntidad numérica:.es dcci_r.
111 =n significa que /11 y 11 son s1mbolos utilizados para el 1111smn nu·
mero. Así tomarnos
(i) /11 = m,
(ii) m =n implica que n =m .
(iii) m =n, n = k. implica que /11 =k.
como parte de la lógica fundamental y no las cnlistamos como parte de
nuestro conjunto de axiomas numéricos.
Nótese que esta lista de propiedades no contien~ ninguna ~roposi·
ción explícita del orden lineal de los números. Existe un «primero».
a saber el l. que se distingue por no ser sucesor. El sucesor 11' d~ _un
número natural n se convierte en n + 1 después de que se ha defm~do
la adición. De hecho. esencialmente ésta es la forma en que se define
la adición. A continuación. podemos proceder a mostrar que los números
naturale~ deben situarse después del 1 en su orden conocido: l. 2. 3. 4. . · ·
(Supuesto que 2, 3. 4. no están dados en lt)s axiomas. se definen por
2 = 1' = 1 + I, 3 =2' = 2 + 1.....)
El axioma 5 cs. precisamente, el principio de la in~ucción matem~tica.
Es una importante herramienta en el desarrollo técnico de las prop1eda·
dci. del i.istcma num~rico que se han discutido. En ocasiones haremos
UhU de C!itC Jlrincipio !lOSICriormente y veremos que la afirmación del
el sistema numérico 21
uxioma 5 es equivalente a una más conocida que se da en los textos
elementales.
Como se indicó anteriormente. podemos partir con los números natu·
ralcs y. conociendo únicamente las propiedades y las relaciones estable-
cidas por los axiomas. deducir toda la aritmética. ¿Por qué se supone
que los matemáticos se interesan en partir de tales principios primitivos?
¡,Son verdaderas m + 11 =n + /11 y m · /1 = 11 • /11 porque pueden dedu-
cirse como una consecuencia de los axiomas? En cierto sentido. existe
otra forma completamente diferente de ver las cosas. Los axiomas son
«verdaderos» o válidos porque. a partir de ellos. podemos deducir
111 + n = n + m y /11 • /1 = 11 · 111 (después de que se han definido la
adición y la multiplicación) y todas las demás reglas comunes de la
aritmética. Un aspecto de esa forma de ver las cosas es simplemente
estético: da un desarrollo limpio y bello de una masa de conocimientos
Ílliles y bien conocidos a partir de fundamentos sencillos establecidos con
precisión. Existe una belleza artística en tal estructura.
Otro propósito más pragmático es que sirve como un auxiliar para
responder a la pregunta. «¿qué es una demostración'!» Si tratamos de
hacer matemáticas sin un fundamento preciso. una «demostración» puede
Cr cualquier argumento convincente basado en lo que uno «sabe». Pero.
pueSl<) que este conocimiento no está bien formulado. esto puede con-
ducir a argumentos circulares: el Tel>rema A puede basarse eventual-
111cnte en el Teorema B. el Teorema B puede basarse en el Teorema C y.
finalmente. el Teorema C puede basarse. a su vez. en el Teorema A. Si
la~ demostraciones son largas y complicadas. puede ser dificil observar
c'>O!> argumentos circulares. Contando con un sistema de axiomas bien
ínrmulado. se reduce la posibilidad de tales equivocaciones. Una demos-
tración se tran11forma en un argumento lógico basado directamente en
los axiomas o en teoremas previos basados en los axiomas. Por supucs-
ll). siempre existe la posibilidad del error humam) porque todos come-
lcmos equivocaciones pero. al·menos. este punto de vista nos proporciona
11nu idea más clara de lo que deseamos obtener en una demostración.
En todo caso. este es un ejemplo de lo que se llama acercamiento
uxiomático para el estudio de las matemáticas. Con esto querernos decir
'Implemente que todo el conjunto de una cierta sección de las matcmá-
tu:ul> se ha reducido a unos cuantoi. postulados y la estructura completa
1•111onces puede desarrollarse a partir de ellos mediante un estudio lógico
di: las consecuencias de esos postulados.
l.l LOS NUMEROS RACIONALES Y LA ARITMETICA
Después de que se han desarrollado las propiedades sobresalientes de
(ti, n(1meros naturales. el siguiente pai,o es la introducción y el estudio

de los números raciorulles. Los números racionales, como debe recorda rs~.
son aquellos números que pueden representarse como razones de lo~ nu-
meros enteros: en 01ras palabras, los números racionales son fracc1o~es
comunes. E nlistaremos a continuación algunas propiedades de los racio-
nales que pueden deducirse en el curso de su desarrollo a partir de los
números naluralcs. Asl. estas propiedades de los números racionales real-
mente son consecuencias de los axiomas de Peana.
E l signo >se lee «es mayor que o igual a» y signifi~ ~~e se cumple
una de las dos posibilidades establecidas. Así, " >b s1gn1f1ca que a es
( 1) mayor que b. o bien, (2). igual a b. El signo < se lee «menor que
o igual a» y se define de manem semejante.
r. Propiedades d e O rden de los Números Racionales
1. Pa ra dos racionales cualesquiera a y b. es verdadera precisamcnlc
una de las afirmaciones a > b. a = b. a < b. Esta es la ley de
tricotomía.
2. De a < b y b < e se 1iene a < c. E n forma semejante. a < b Y
b < e implica que a < c. Con esto se dice que la desigua ldad es
trlllsitiva .
Jl. Propiedades A ri1mélicas de los Números Racionales
l. Ad ición
(a) Para todo racional a y b existe un racional único e, llamado
suma de a y b y se escribe e = a + b.
(b) La adición es conmutativa:
a + b =h +a.
(e) La adición es asociativa :
(a + h) +e =a + (h +e).
(d) a < h implica que a + e < b + e para toda c.
(e) Exis1e un número único O tal que a + O= u para toda a.
2. Sustracción
(<¡) Para lod(l racional a y b. existe un racional único d para el
cual u +ti = b. E l número d se llama diíerencia de a y b y se
denota por h a.
Con base en II 2 (a) se define el negativo de un número. De rr 2 (a)
se ve que, para todo racional a, existe un racional x para el cual
a+ X = 0.
A ese número lo llamamos (-a). Por tanto (-a) se define por
(-a)= O-a.
Con frecuencia se escribe -a ep lugar de (-a).
3. MuJtiplicación
'(a) Para todo racional a y b, existe un racional único p llamado
producto de a y b y se escribe p =a· b, o bien. p = ab.
(b) La multiplicación es conmutativa:
"· b = b ·a.
(e) La muJtjplicación es asociativa:
a · (b ·e) =(a · b) ·c.
(d) La multiplicación es distributiva :
a · (b + e) = a · b +a · e
(e) a > h, e > O implica que ac > be.
(/) a . 1 = a para toda a.
4. División
(a) Para todo racionaJ a y b con b -:/= O, existe un número único q
para el cual b · q = a. El número q se llama cociente de a y b
y se escribe q = a/b.
<'111110 se estableció en el primer párrafo de esta sección. estas pro-
pltd1llC1t se deducen de los axiomas de la Sección 1.1. Además, a partir
dt 1111 proposiciones enlistadas aqul, podemos deducir todas las 'demás
r111t11 elementales de la aritmética. Por lo tanto. esta lista también puede
IOIHlrlK! como un sistema de axiomas para la descripción de la a ritmética.
A~nntlnuoción. se darán algunos ejemplos de la deducción de estas reglas
1 partir de las propiedades enlistadas en 1 y ll.
. ...,. 11 1. Demostrar que a · O=O para todo racional a.

Snlución. De acuerdo con JI 1(e),
b + O= b para todo b.
De donde u · (b + 0) = a · b
o bien. por 11 3(d), a · h + a · O= a · b = a · b + O
Así. debido a la unicidad de la diferencia [U 2(a)]. se tiene
a·O =O.
EJLMPl.O 2. Demostrar que (-1) ·u= -a.
Solución. Por la definición de (-1), se tiene
1 + (-1) =o.
Mulliplicando ambos miembroi:; por a, aplicando la ley distributiva y el
ejemplo 1. se obtiene
u+ (- J)·a =0.
De aquí que (- 1) ·u es una solución de
CI +X= 0.
De acuerdo con 11 2(u). existe solamente una solución, a saber. (-<1). Por
lo tanto.
(-1)." =-a.
EJERCICIOS B
J. El siguiente conjunto de problemas consiste en algunas rcglJIS de la aritmética
q ue han de establecerse con base en las propiedades enlistadas en 1 y 11 de esta
M:tción. En general. aunque no siempre. las primeras reglas wn útiles para es-
tablecer las siguientes. También pueden aplicarse los dos ejemplos:
• (a) b + (-a) - b - a (b) b( -a) = -(a · b) (e) -(-a) "" a
(d) (-a)(-b) ""'a· b (e) a > O implica que -a < O
([) t1 #- Oimplica que a2
> O (g) 1 > O
(h) a · b = Oimplica que a =O o bien b =O
(i) a • Oimplica que l/a > O
(j) a > O, b > O.~mplica que a· b > O
(k) a ~ O, b < Oimplica que a · b < O
(/) " • O, b < Oimplica que a · b > O
(m) " O, b · Oimplica que a +b > O
J'll
(o) G) + (~)Ull
(.rv) + (y11)
'!JIJ
1.3 LOS NUMEROS REALES: COMPLETITUD
Se han enlistado algunas de las propiedades de los números racionales.
Mientras queramos efectuar únicamente aritmética. este conjunto de nú-
meros y las reglas (y sus consecuencias) enlistadas en 1 y 11 son adecua-
das. Sin embargo. si nos aventuramos en el álgebra -es decir. si desea-
mos extraer raíces. así como sumar. rcsLar. multiplicar y dividir- enton-
ces nuestro sistema numérico no es suficiente para proporcionar una
solución para todos los problemas. Por ejemplo, si deseamos una solu-
ción para la ecuación
x2
=2.
no encontraremos una entre los racionales. Con esto queremos decir
que no existe número racional x cuyo cuadrado sea 2. Probablemente, el
lector haya visto ya una demostración de este hecho pero revisaremos
ese argumento aquí.
1.Ja Teorema. No existe número racional cuyo cuadrado sea 2.
Demostración (por contradicción). Supongamos que existe tal núme-
ro. x. Entonces x podría escribirse como p/q. donde puede suponerse
que la fracción se encuentra en su más simple expresión. Por lo tanto.
I' y q no tienen factores comunes. Entonces.
o bien.
µ2/q' = 2
q' = p'/2
Puesto que q' es un entero. p' debe ser divisible entre 2. Pero si 1r es
divisible entre 2. entonces p ·es divisible' entre 2. de modo que existe un
entero k para el cual p = 2k. Entonces.
11 hien.
q1
= p'/2 = (2k)2
/2 = 2k:
k' =q'/ 2.
Mediante el mismo argumento. q es divisible entre 2. Esta contradicción
l'om pleta Ja demostración. 1 •
H estudiante. por supuesto. está familiarizado con la interpretación
tit•11111é1 rica de los números como puntos sobre una linea. Con el objeto
• 1 1 'lrnholu 1 '><! empican puni dcno111r qu.: finali1ó un11 dcmo,tración. E~te slmbolo
•mtlluv1· 11 lu' iniciulc' Q L.O. ·

de enfatiur ciertos aspectos de esta interpretación, recordaremos sus prin-
cipales caracterisLicas. Sobre una linea recta se escoge un punto que se
marca O y se Je da el nombre de origen. Se toma una unidad de longi-
tud conveniente y a cada número x se hace corresponder el punto cuya
distancia desde O es x, medida hacia la derecha si x es positivo y, hacia
la izquierda, si x es negativo. Obsérvese que Ja ley aritmética
a> b, b>c implica a>c
encuentra su correspondiente geométrico en la siguiente afirmación acerca
de los puntos Pi. Pi. P~ sobre una linea: Si Pi se encuentra a Ja dere-
cha de P~ y P~ a la derecha de Pa. entonces Pi se encuentra a la derecha
de P3 • ¿1
Ahora. si x es cualquier número racional, entonces todos los números
racion~les c~en ~n dos clases asociadas con x, a saber, las clases U y L
(superior e inferior), donde U consiste en todos Jos racionales mayores
que x y L consiste en todos los racionales menores que x. El número x,
asimismo, puede asignarse ya sea a U o a L. Tal separación o corte en
los racionales provocado por un racional definido x divide a los racio-
nales en dos clases tales que cada miembro de la primera clase. U, es
mayor que todo miembro de la segunda clase, L.
En forma semejante, si P es cualquier punto sobre la linea, entonces
todos Jos puntos de Ja linea caen en dos clases R y L (derecha e izquier-
da) asociadas con P, donde R consiste en todos los puntos a la derecha
de P Y L en todos los puntos a la izquierda de P. El punto P. asimismo,
puede poner~e en cualquiera de las dos clases. Pero para todos los puntos
P, la separación o corte conduce a una partición de los puntos de Ja Unea
en dos clases tales que cada punto en la primera clase, R, está a Ja dere-
cha de todo punto en la segunda clase, L.
Ahora, existen puntos sobre la línea que a ningún número racional
corresponden. Porque si marcamos el punto cuya distancia desde Oes y 2,
ve":1os, de acuerdo con el Teorema J.3a, que no puede haber número
racional_que le corresponda. En efecto, no es muy dificil demostrar que
existe un número infinito de puntos que no corresponden a número racio·
nal alguno. Esto significa que. si marcamos todos los puntos sobre Ji
linea que corresponden a números racionales, existe un número infinito
de puntos que se dejan sin marcar. En efecto, en todo intervalo de la
lfnea existen punt~s que corresponden a números racionales y puntos que
corresponden a numeros no racionales. (Ver Ejercicioi. ('J y ('4 en la
Sección 1.7).
Eat11 consideraciones conducen al reconocimiento de la cXhitencia
de vacloa o una falla en la continuidad o completitud en la distribución de
111' números racionales comparada con la distribución de los puntos sobre
una linea. Aceptemos como un hecho básico de la geometría que los
puntos están distribuido!I en forma continua sobre una linea: esto es. no
l'l'>len vacíos o faltas en la línea. Para este hecho no ofrecemos demos-
l1nción. sino que lo tomaremos como un axioma geom6trico.
Mientras que no ofrecemos una demostración de este concepto de la
111lribución continua de los puntos sobre una linea. deseamos fom1ularla
l'll una forma precisa que podamos usar en la discusión del sistema num6-
mu. La formulación que usaremos se debe al matemático alemán Dcde-
k1nd. cuyo tratamiento seguiremos muy estrictamente. Dedekind usa la
M!puración o corte descrita anteriormente para caracterizar la completitud
de la línea. Su formulación es la !>iguiente:
Supóngase que lodos los puntos sobre la línea están separadns en
d11~ clases no vacías R y L de modo que cada punto en R se encuentra
u la derecha de todo punto en L. Entonces. existe exactamente un punto
/
1
que provoca este corte. y P. asimismo. es el punto en la extrema dere-
drn de L o el punto en la extrema izquierda de R.
No ofreceremos demo!ltración para esta afirmación. como no ofrecimos
1lcmostración para la afirmación de que lodos los puntos sobre la linea
c' ltin distribuidos en forma continua. Tomemos este hecho simplemente
"omo una proposición precisa de la continuidad o 1.:ompletitud. una for-
r11ulación que se ada_pla al objeto de considerar las cuestiones análogas
uccrca de la distribución de los números.
La afirmación análoga para los números racionales no puede ser
dcrta. Para comprenderlo. basta solamente dar un ejemplo donde falla:
dcM:ribamos este ejemplo a continuación.
Sea la clase superior V . que corresponde a R en la linea. el conjunto
de lodos los raci onal~ positivos cuyos cuadrados son mayores que 2. y
'cu L todos los racionales restantes. Supóngase que el corte se produce
mediante un número racional x. Entonces es posible demostrar (se omitirá
In técnica de la demostración) que x2
=2. Pero es10 contradice al Teo·
rema l.3a. Por lo tanto. vemos que el análogo para los racionales. del
11x1uma de completitud de la linea. no es correcto.
El último gran paso en el desarmllo del sistema num6rico es definir
h" número!> que llenen los vacios que se han presentado en las observa-
' 111ncs previas. Estos nuevos números se llaman números lrraclonales. El
,¡,lema de números que consiste en los racionales y los irracionales juntos
rl.'l.ihc el nombre de sistema de los números reales. Por lo tanto. un númc-
rn real puede ser racional o irracional.
Lo~ detalles relacionados con el desarrollo de la definición de los
nucvol> número!I se omitirá. Dcscamo!I enfatizar dos importante!. hechos

acerca del sbtema de númeroi. reales. Primero. las nociones de adición
y multiplicación pueden definirse para los números rcalei. de manera
que l>lltisfagan las propiedades enlistadas para los racionales en 1 y 11
e.le la Sección 1.2; esto es. si leemos «número real» en lugar de cnúmero
racional». las conclusiones que se establecen siguen siendo verdaderas.
Segundo. y muy importante. el sistema de números reales es completo:
e!> decir. el análogo del axioma geométrico sobre la completitud de la
linea puede probarse como un teorema.
111. Teorema de Dedekind
Supóngase que todos los números reales se dividen en dos clases no
vacías, R y L. de modo que todo número en R es mayor que todo número
en L. Entonces existe un número real x tal. que x es mayor que. o igual.
a todo número en L y menor que. o igual. a todo número en R.
Designamos esta proposición con el número 111 por la siguiente razón :
las afirmaciones cnlistadas en 1 y 11 de la Sección 1.2, junto con 111 de
la presente sección. pueden tomarse como un sistema de axiomas para
las descripciones de los números reales. Es decir. todas las propiedade!)
de los números reales pueden desarrollarse a partir de estas proposicio-
nes únicamente.
La importancia cienlifica del desarrollo del sistema de números reales
bosquejado aquí. por supuesto. pone una gran cantidad de conncimientos
útiles en forma limpia. lógica. También deseamos enfatizar que ese siste·
ma subraya la analogía entre los números reales y los puntos sobre una
linea. mas sin embargo. al mismo tiempo. elimina lu dependencia lógica
del análisis sobre la geometría. Todos los teoremas básicos del cálcuJo.
a partir de este momento. tendrán demostraciones aritméticas puras.
IA LA GEOMETIUA Y EL SISTEMA NUMERICO
El análisis es la rama de las matemálicas que se refiere a Jos limites
Y a sus operaciones. Los matemáticos. tal y como el estudiante debe
haber sospechado con lo dicho en la sección anterior. gustan de basar
su estudio del análisis en la aritmética. sin dependencia lógica en la geo·
metría. Sin embargo. tal y como el estudiante sabe. los diagramas geomé·
trico:. snn valfosos auxiliares cuando se intenta resolver muchos tipos
de problemas. No existe objeción respecto al uso de tales recursos: en
verdad. debe animarse a usarlos. Pero su uso debe servir como guia
y no. i.i es posible evitarlo. como partes esenciales de un argumento.
n lenguaje geométrico con su potencia altamente sugestiva también
puede Cr muy util y puede dársele significado aritmético. Definiremos.
en esta sección. algunos términos geométricos y algunos otros que se pre-
:-enlarán ocasionalmente durante el desarrollo del libro. Esto, por supues-
to. _es un intento de aprovechar la analogía geométrica que se ha puntuali-
n1do. Por lo tanto. confiaremos principalmente en la geometría para
nuestra inspiración. pero. donde sea posible. evitaremos todo uso esencial
de la geometría en nuestros argumentos. A este respecto, tendremos un
éxito razonable, excepto en el Capjtulo 13. Cuando sea necesario apoyarse
cn la geomclria. en cualquier forma esencial. se hará notar cuidadosa·
111cnle.
A continuación se procederá a definir un número de términos geomé·
tricos. Puesto que existen pocos de éstos. el estudiante deseará regresar
u esta sección hasta que se familiarice con todos estos términos.
Hablaremos del sistema de números reales como un espacio unidimen-
"íinnal y. por supuesto. lo visualizaremos como una línea.
En un espacio unidimensional se usará la palabra punto para dar a
entender «número».
Un conjunto de puntos es una colección de puntos.
Un intervalo es un conjunto de puntos descrito mediante desiguaJda·
lle.., de cualquiera de los siguientes tipos:
lu ~X~ hl
lu ~ X< hl
la< X ~ bj
la< X < hl
intervalo cerrado
~ intervalos semi-abierto
lo semi-cerrado
intervalo abierto
l·n general. un conjunto de puntos se representará colocando su des·
1 lipción entre llaves. Asi. hablaremos del «intervalo {a ~ x < b}» en
h1¡.tur del «intervalo descrito por la ~ x < bl».
Lns puntos extremos del intervalo son a y h; a ~ el punto extremo
l11p11erdo. h el punto extremo derecho. La longitud del intervalo es b- a.
llna vecindad de un punto x11 ei> un intervalo abierto centrado en .r.,:
11. /t < X< Xu + h!.
1lnu vecindad agujereada de un punto Xo es una vecindad en la
e,;1111 'l' ha suprimido el propio punto x0 • Por lo tanto. consiste en
d11~ 1ntcrvalns abiertos colindando en el punto x.,: lx., - h < x < x11 1
~ I•., < xn + hl.
lln número Xo es un punto interior de un conjunto de puntos S si
llh1tr una vecindad de Xo que ~tá completamente contenida en S. Por
1Jt111pl11. " S e~ el intervalo 1- 1/ 2 < x ~ 11. entonces x0 = 3/4 es un
111'111111 111tcrinr pero x0 = 1 no lo es.

Se dice que un número es un elemento de un conjunto de puntos si
es un miembro del conjunto.
Tambifo es con.eniente hablar algo acerca de la geometría de los
espacios de dimensión superior. Tal y como un espacio unidimensional es
la colección de todos los números reales, asf un espacio bidimensional es la
colección de todas las parejas ordenadas (x. y) de números reales.
Estas parejas ordenadas reciben el nombre de puntos en el espacio bidi·
rnensional. Visualizamos este hecho geométricamente como un plano donde
se sitúan los puntos en la forma usual en un sistema coordenado rectan·
guiar cartesiano. En forma semejante, un espado tridimensloul es la
colección de ternas ordenadas (x, y. z). visualizadas también en términos
de un sistema coordenado rectangular. Al discutir estos espacio!.. el térmi·
no conjunto de puntos significa una colección de parejas ordenadas. ternas
ordenadas, etc., de números reales.
1.5 CONJUNTOS ACOTADOS
Debe hacerse notar que la palabra «conjunto» cubre colecciones de
puntos, co'mplicadas y dispersas, asi como colecciones de puntos. sencillas.
tales como los intervalos. En verdad. mucho de lo que sigue parecerá
trivial y sin interés pero no es así. Aunque el procedimiento desarrollado
se destina principalmente para manejar conjuntos complicados. se aplica
igualmente bien a conjuntos sencillos.
·se dirá que un conjunto S está acotado superiom1ente si existe un
número M con la propiedad de que
si .r está en S.
En forma semejante. S está acotado inferiormente si existe un núnicn>
m con la propiedad de que
X> 111 si x está en S.
Si S está acotado superior e inferiormente. entoncci. lle dice que estú
acotado. En este caso existe un número N tal que
- N <;x<; N si x está en S.
Los números M, m y N se llaman coftas del conjunto S. Por ejemplo.
si S es el intervalo 1- l/2 < x ~ 11. entoncdi. M - 2 y 111 . sun
cotas para S. M = 2 es una cota superior y m = - ~ es una rntu inferior.
Obviamente éstas 110 son las cotas mb precisai, porque cxi"tcn cnta!'I supe·
1111res menores que 2 y cotas inferiores mayores que - 3- por ejemplo,
1/2 y - 1. Pero todavía éstas no son las cotas más precisas. Puede verse
lrh:ilmente que M = 1 es la minima cota superior y m = - 1/2 la. má·
,1111a cota inferior. Daremo!. una definición precisa para estos ténmnos:
Supóngase que S es un conjunto acotado superiormente .Y supóngase
11111: M11
es una cota superior de S la cual es menor que o igual a cual·
q11ii:r otra cota superior. Entonces M0 recibe el nombre de mlnima cota
iiu1..erior o supremum de S y se denota por
Mo = sup X
8
Ei. evidenJe que si S tiene un máximo o elemento mayor. entonces ese
l'kmcnto es el supremum (ver Ejercicio B6). Si S no tiene máximo, enton·
,e' ~u supremum se designa para reemplazar ese máximo en los cálculos.
En forma semejante. si mo es una cota inferior de S y es mayor que
11 igual a cualquier otra cota inferior, entonces se llama la máxima cota
Inferior o inflmum de S y se denota por
"'º=inf x.
8
1'11r supuesto que el infimum guarda respecto al mrn1~10 la misma
rl'lndún que el supremum guarda respecto al máximo.
Para reforzar nuestra afirmación de que el supremum reemplaza al
11111ici 1110 , probaremos el siguiente teorema.
l.l'11 Teorema. Si S está acotado superiormente y Mo= sup x. enton·
H' pura todo y < M0 existe un x en S para el cual s
Y.< x<; M11.
l>1·111ostración. (Nótese que no importa si y está en S o no). Sea
v. M.. dado. Supóngase. por contradicción. que no existen miembros de
~ que ..atisfagan y< x<; Mn. Entonces se tiene
para toda x en S.
Por 11111tu• .v es una cota superior para S y es menor que M... Esta es la
wonlradi1:ción que apuntamos. 1
N11 todos los conjuntos que se encuencran acotados superiormente
ea.nen un rmximo. (¿Podrla dar un ejemplo el estudiante'!) y no todos
lue ~11nJ11ntu~ acotados interiormente tienen un mínimo. Esto conduce

a prcgunl11r: « ·todo conjunto acolado superiormente tiene un i.upre·
mum'!» La resp~;csla e:. «SÍ» y este hecho es otra proposición ac~rca de
Ju c,1111ple1i1ud de lull números reales. Es decir. en vista de las prop1cdad~s
1 y 11 de la Sección 1.2. la existencia del supremum es una consecuencia
del teuremu de Dcdckind. 111 de la Sección l.3. e inversamente el teorema
lle Ocdckind puede probarse si se supone que todo conjunto acot~do
tiene un Mtpremum. Esta forma de la proposición acerca de la complc11tud
de tos números reales es mucho más sencillii que el uso del teorema de
l)cdckind. La tomaremos sin demostración como una propiedad funda·
mental del si!.lema de los números reales.
Propiedad Fundamental. Todo conjunto no vacío acotadn superior·
mente tiene un supremum.
Con el establecimiento de este principio lemlinamos la revisión del
sistema numérico. De ahora en adelante haremos un serio esfuerzo para
proporcionar las demostraciones de nuestras proposiciones.
t.6• .ALGUNAS INDICACIONES SOBRE LOGICA
En tas secciones anteriores se dieron algunas demostraciones por con·
tradicción. La lógica detrás de esto es. por supuesto. que la arirmuci6n
y su negación no pueden ser verdaderas al mism~ tiempu. y a(an.mth. no
existe una tercera posibilidad: ya sea la afirmación o su negac16n:.dcbc
ser verdadera. En consecuencia. una demostración de que la negac1on es
falsa se toma como una demostración de que la afirmación es verdadera.
Frecuentemente tendremOl> ocasión de establecer que «A es necesaria
y suficiente para 8». donde A y 8 son proposici~nes .matemáticas. E.sto ·
significa que son lógicamente equivalentes: que A 1mphca B Y que B •m·
plica A. La afirmación «A es necesaria para 8 » significa ~ue A se d~u
ce a partir de B: que si 8 es verdadera. entonces A se sigue necewlna·
mente. La afirmación «A es suficiente para 8 » i.ignifica que A implica B;
en otras palabras. la suposición de A es suficiente para prob~r 8.
El axioma 5 de los axiomas de Peano es una formulac1<n un (XlCO
diferente del principio de la inducción matemática en lu forma. dada
generalmente en los textos elementales. La formulación m•• conocida se
deduce fácilmente del Axioma 5.
t.6a Teorema. Supóngase que una proposición P(n) (es dcdr. una afir·
mación) acerca de los enteros positivos tiene las siguientes pro·
piedades: • '
(i) es verdadera para n = 1- es decir. P( 1) es vcnJaderu.
(ii) siempre que P(n) se cumple. se cumple P(11 -+ 1).
Entonces P(n) es verdadera para toda 11.
De111ustració11. En este calio. por una demostración qucrcmm. decir
que esto es una consccuenda del Axioma 5. Sea M el conjunto de entero),
p.1ru los cuales P(11) es verdadera. Entonces. de acuerdo con (i). l es un
1111cmbro de M y. de acuerdo con (ii). 11 + 1 = 111
e,, un miembro de M
wmpre que 11 esté en M. Por lo 1an10 (i) y (ii) del Axioma 5 'iC satisfacen.
11
111 1an10. M es el conjunto de lodo!. los enteros poi.itivo:. (número~
11.11urctles). 1
Corno un ejemplo de la inducción ma1emátiéa se demostrará la d~i
n1111ldad de Bernoulli.
l.(111 Teorema. Si x >-1 y /1 es un enfcro positivo. enton1:c~
(1 +x)' > 1 +llX.
De111ustració11. Scu P (11) la afirmación «{ 1 + x' > 1 + 11.r !"C cumple
suponiendo que x >- 1».
(i) P(I ) es verdadera. En cfeclo. !le liene
(1 + ')1
= 1 +X.
(ii) Supúnga!IC que />(11) e~ verdadera es decir. ~ll·
póngase que
(1 +xr >1 + 11x.
Multiplicando amboo; miembros por 1 + x se tiene
(1 + z)"+1
> (1 + nx)(I + x) = 1 + (n + l)x + nx2
> 1 + (n + l)z.
;,Dónde se aplicó la hipótesis de que x .> - 1?
1.7 VALOR ABSOLUTO
1
~i .' ~ un número real. entonces el valor absoluto de r. denola(h1 por
l1¡, 'e define por
lxl = { X
-x
Si X> Q
Si X< 0.
1a~ propiedades principales del valor absoluto se dan en los siguiente:.
!1•111 Ct11US.

1.7a Teorema. lxl = j-x¡.
l.7b Teorenut. p/xi = t/jxj. si x7 0.
fatas afirmaciones son evidentes a partir de la definición.
l.7c Teorema. jxyj = lxl ]YI
Demostruciún:
(i) Si x >O. y >O. entonce!> xy >O y
lxyl = xy = !xi IYI·
(ii) Si x <.; O. y <.; O. entonces xy >O y
lxyl = xy = (- x)(- y) = !xi IYI·
(iii) Si x <.; O. y >O. entonces xy <.; O y
¡xyl'= - xy = (-x)y = !xi lyl.
(iv) Si x >O. y <.; O. entonces xy <.; O y
¡xy¡ = -xy = x(-y) = !xi IYI·
1.7d Teorema. lx/yj = jxl/IYI· si Y :;6 O.
1
Demostración. Escríbase x /y = x · (1/ y) y apliqucnsc los Teoremas
t.7c y l.7b. 1
1.7e Teorema. llxl- IYI 1<lx +YI <!xl + IYI·
Demostración. Primero se demostrará la desigualdad de la de~ha.
Es evidente que
-!XI < X< !:ti
- IYI < y < IYI·
Sumando se tiene
- (lxl + lyi) = - lxl - IYI < x + Y< !xi + IYI·
De aquí que tanto (x + y) como -(x + y) no son mayorcll 4uc ¡.1¡ + ¡yj:
es decir
lx + YI < !xi + lyl.
Par.• demostrar la desigualdad de la i14uicrdu di! {1 7cl hu..:cmos
a = x + y. b =- y. Entonces
la + bl < 1"1 + lhl
11 hícn
1'111 tanto
lxl < lx + YI + 1- YI = lx + yl + ¡y¡.
lxl - IYI < lx + y¡.
lluccmos " = x +y. h =-x y repetimos el procedimiento para ob-
h ' lll'I
IYI - lxl < lx + YI
1' tui. dos desigua ldades son equivalentes a la parte de la izquierda del
l 1· 111cma l.7c. 1
1.71 Teorema. fx1 + x2 + ··· + xnl < lx11+ lx21+ ···+ ¡xnl·
/Jn111wración (por inducción). Sea P(n) la afi rmación de que
l:tl + X2 + ···+ xnl < lx1I + l~I + ···+ lxnl·
111 />(I) es verdadera :
liil Supóngase que l'(n) se cumple. Entonces
l.r, + X2 + ···+ Xn + x,.+11= l(:t1 + ~ + ··· + xn) + :t.,+11
< l:ti + ~ + ··· + xnl + lz.,+11
1h• 11n1crtl~ _con el Teorema l.7e. Entonces. puesto que P.ín) se cumple.
1•, 111 l':prcsHm C). menor que o igua l a
1
1 1 rcsultudo del Teorema l.7f se recuc;rda fácilmente con las siguientes
puluhrn' : El valor absoluto de una suma es menor que o igual a la suma
11L• hl valores absolutos.
EJEROCIOS A
1. Pr11h 111 pm inducción·
!111 1 1 2 1 3 + ··· + n = n(n + 1)/2
,,., 1 1 .l t .s +... +(2n - 1) - ,,:
11 I 1 1 22
1 32 + ··· + n9
a n(n + 1)(2n + J)/6
11/) 1 ' 1/2 + 1/2' + ... + 1/2" - 2 - 1/2"
,, , I' 1 21 1 33 + ... + n3 - (1 + 2 + 3 + ... +n)ª

?, l>cn11t,11 Jllll el c1inju11lo Je f!UOIO' ueM:rtW cnll'e llave,, Determinar por in ~-
1'"" 0111 '"P 1 e 1n1 1 tu.inllo c1'1, wn y c'tahleccr cuándo pertenece n a -' ·
.
111¡ 1r:!- .?, 8}
((') : 1 (1 - • ) 1 + :?d
( e) i 4 t ' .1 f
lgl tl•I I• + 11 2}
( / ) 11- 11"12 - 4/'.!")}. JI ~ l.'.!, 3, . . .
1111 1>.:rnn'I r.11 que ,,111 .. 1 Ju - bp
l/•I 1 ' .du.1 r ' 111 - Jt - 111 - lijL
(h) {.1· + 4 / J.1· + IS}
<ti) HI + .1) "' 1/(1 - .1')}
(/) 11•1 + ¡... + 11 :?}
<h1 IV+ :?)(.1 - IX.r + S) · O}
(j) ~ I - l/11}, /1 = l. 1, 3, . • •
má' (11 M - mayor tic 11 y h.
lí:JERCl('IOS B
11mh:u por 1nd11ccion que ·
"' " - 1) ••
(tl)fl+•)" 1 + 111 +., .•-, ·' o
(,,, (1 - .•')"
11111 - 1) 2
1 - 11 1 + - -2- - .;·. O <. .r <. 1
1 1 t I • 111H1 t " · l •• • 11
11u ncgu11vu;,.
11,,l 1 + 111 < u + ··· 1 tt., si 1odus la) ttC) •1m
" lJ1nw11rm1ii11
00
:
111! ~upónga~ que to.to, h l) cnlcllh hu~ta e mcll1ycndo a /1 ~on iguales. En-
tonce' /1 - 11 1 ~umanuo 1 a ambos m1emhro~ !te oh11enc 11 + 1 = 11 Su-
pueslu <jlll' /1 e' 11111.d .1 todo, lo, e ntero' menorc-. 111mh1én lo es 11 + 1
. hwblo:ccr que l1h ''lfltcma ) 1,,~ inll11111 enconlt u1l1h en el F.jcrcicio A:? ~lll¡,.
l.tt.:Cn la' Ut'ÍIOICIUOC' de Ju, 'UJ'íClll:t V lo~ inf1m:1
f I "
S. P1111->ar q11c 1 - -
1 ,,~ 1
1
1 - -
11
In dc~1 gualda d en la d.:,1g11ald11u Je Remnulll''
r ' r ,' dcu11cir 411c
1
1 + - - ¡,, - 1
b l'1oh:11 411..: '' un ,;,>011111111 11cnc un clcmo:mu m.n 1m11 c,111 c,, " ci, tc un
1, en . l•d t¡ll<' 1, t pai 1 .:11ai.1 1ic1 111ro A t•n cnh•n..:c' 1 , 'llP 1
7. Dcmo,1ra r que 1od11 con111n111 nn ''••l'lt1 'i 4lh: '' tu 111:111ud11 lnfc1itHmcnic ticnc
un lnfimum
11 l>emo,1rnr qu<' " . c ' ta .1cu1adn intcr 1111111c ntc "'
v > "'" cxrMe 11n t en r ara el c111ol 1 111 ,
9. Dcmo~1rar que ,¡ 1,, c' 110 pun111 1n1c11111 11· un c11n11111111 . cnto ncci. c.10...1cn
punto,. 1n1cr111re' de 'i 11 uno v o tn 1 l.11111 1k 1 ,
F.Jt:R('l('IOS C
l. Dcmtltrar que, ~¡ " > O r ¡,> O, exiMe un /1 tal 411e na ,, ¡, F~t e e' et 1core
11111 de Euduxo o e l teorema Je Arquímedes.
l . Mcdiuntc C 1, demoi.trnr que M r > O esta daJo entonces cx1:.te un N 1111 t111c
N • l/1 y de aquí que l t N < '·
t l)cmotrar que en todo intervalo de número' rculc, c~ i ,lcn númc10' rarn•-
na l c~.
4 DenHhtrar que en todo intervalo de números rcalc~ cxltcn número~ 1rrai.:10·
nalcs.
~. l>emoMrar que el quinto axioma de Pcanu '< p11i•tl1• 1ll:d11c11 tk l l c111cm:1 1 1111,
~11m rlctandu. Je C.:IC m 1>111, la tlcm11,11ac11111 de 111 c4111v11lcnn.1 de li1 ~ 1111, p111
ro,1c:ione~ de la ind11ec1on matcmarica

2
Funciones,
y límites
.
sucesiones
Z.I MAPEOS. FUNCIONES Y SUCESIONES
C'onsidcremos dos t.:llnjunLO!- Si y s•. Por un mapeo de sl en s. se en·
11·11dcm una correspondencia mediante la cual a cada punto x en S, se Je
1t11cia exactamente un punto y en S,. La totalidad de todos loi. pares
urtlcnados (x. y). donde y es el punto en S~ correspondiente a x en S,. se
ll11111nrá una (unción y se denotará mediante una sola letra. como /. El
1111111cro y en S., correspondiente a x en S, recibirá el nombre de valor de
l.1 función / en x y se denotará por /(x).
Nolc!>C que una función tal y como se ha definido es una función
univoca, es decir. a cada punto x en S, le corresponde exactamente un
1111nto y en S.,. Sin embargo. algunos. e incluso todos. los valores de y
flltl·dcn corresponder a dos o más x. •
<e dirá que la función está definida en S, y tiene valores en s•. y t.am·
1111!11 C dirá que es una función de s. a s~. Puesto que X puede tomar
llllllquicr valor en S1• recibe el nombre de variable independiente. y puesto
que el valor de y está determinado por x. recibe el nombre de variable
d•·1>endiente. En ocasiones la variable independiente recibe el nombre de
11r1tumento de la función.
Si todo el conjunto S, se cubre mediante el mapeo -esto es. i para
ll1th1 valor de y en S, existe por lo menos un x en S1 para el cual y=
/( l)- se dice que el mapeo es sobre Sv. De otra manera se dice que
1• l'll s~.EI conjunto S1 sobre el cual está definida la función se llama
dominio de la función y. en general. se denotará por D. El subconjunto
1h• 'i 'obre el cual se mapca D se llama rango de f y se denota por R.
t;J1ifka de una función es simplemente la representación bidimensio·
11111 1lcl c1injunto de puntos dados por (x, y) donde x está en D y y es el
[39)
,

4U <Mr 11/u c/11 1111.1 vt1f1111Jln
,,,i.11 111111" p1111d1111h 1 11 olla:. puluhras. la gráfka e~ el lugar ¡;0111111!·
111111 111 111 111111111 ,·11 d11, d11ncn,i11nc:. liado:. por
1'./(x>I ·' en D.
1 1 qu, 1111.1 l11m 11111 ,c.1 un1,1x:a :-e refleja en d hechn de quc hxla linea
, 111,,ll ""'' P·"ª ll11r un punw x de D encuentra a la g.ráJica en un punto
'11 1111111 1111: in embargo. toda linea horizontal que pa~ por un
p1111h• lll.' U encuentra a la gráfica en un punto. por hl menoi.. pem
I" 111,1 1..n1..1mtrarl,1 en un numero infinito de puntos.
1ul el ~• conveniente decir en poc~ palabrcti. algo acerca de la.,
llamaJa, lunciones multivaluadas y funciones implícitas. Empecemos por
i::.tudiar un c1crnph1conocido La ecuación
(11 .r + l = 2s
~· "<Jt1,f11cc parn 1..ien11:- pare:. de númerns pero en la íom1a en que 1,1
c,1¡1hk1.c no determina una función en el sentid<' de nuc!>tru ucfinición.
r, 1,11•11 'icrtu~ funciones cuyas variables inucpendíentc y dependiente
~.11 j,f.1~ ~·11 c.,ta relución. La:. doi. ma:. adecuadas que vienen a la mente
1•i,1.1n d,1d:1' p11r
!/ = +, '.!5 - ,r!!
!/ = - ' ::!5 - )'2
5}
5}.
•
lJ
funciones, sucesiones y limites
lt•l1.d1111.:ntc bu n11 ''in
y
1 t, :!:> - e
u= - -1-, :!5 - ,.::
{U
{-5
5!
.r: O}.
(+' 25 - .,.! p<tr.J. , ,..ciLllinal ) I
1¡ = 1'lx s:.. 1-, 25 - r pJr..t 1 1rrau"nal.'
1
41
P11r ,upucs111 que. u1and11 dc1.1mu' que Id ccuadnn (1) llcftnl ampll·
1..1lJmcn1c una fundon. gcncr.iln11.:ntc Jebe! cnt ·ndcr,..: 1na di;. •J, J11, rn·
11 11!1':1~. 1 11 que dc~mo' pun•uahZJr e:-. que para e:ipc-.J1kat u:i.1 1unc1ori
'e nccc...nu má:. que la rcladon 1
2
..¡ r' = 2' Por CJcmpl11. ' ' ''- pregunl•1
' ' la funciun e' continua•. cn111nLc.., ci.tarnn' forzad ci:. el e'l'.nl!cr una Je
lu' d''" primcml-
Ln f1inna scnic1antc, una íor111ul.1 conw
1· ang ".m IJ · l - 1 .... ~ ~ I '
1111 clclinc una funcion ya que C1,11! un n11mcr11 infinito d1.: angulo'
'cm1 ci- 1. Pcni cl valor pr1111..1pul dd lnadn por
1¡
,., una fum:i'rn
{
1> :. r-1 ·'1 - ang 'en 1
J< , !-rr :! y r. ::! !
ºº' tunciunc' l'ililc, pard c-.1ahh:ccr cicrl1h p111hlc111.1' ~on la runu11n
m:himo entero (1y la htni;.1<1n '1g11u111. Pr11111.:n1
lxl - al máximo entero menor que o igual a ,,,
• Aqul '1<l~ h~mm ndcltlt11lld11 1111 110.:u. rw111 el .:,1111.h,1111.: }.I 11c11~ un.1 _.1111c1tl 11k.1
ol IH lflh ••1n111wi1h1d

42 rl'tlr11l<J Uu 111111 varn1l>lo
l a flp111,1 1111~ 1111 11k11 de l'Olllo vana esta función con x.
111 l11111 11111 ' 11'1111 ''''º datla pl>r
{
+I
sgn z = O
-1
si x> O
Si X= 0
si X< 0.
Par.i ' / O potlcmoi> representar sgn x por
!xi X
sgnx=-=-
x lxl
X=/= 0.
Para x = O cs111s cocientes no licnen significado.
Nucs1ro principal interél> está enfocado ca lm, casos donde D. el donii-
nio de la íunc1on. e~ l<Xla la linea. un intervalo. una colcccinn rin1ta de
intcnal1l o un intervalo 'ICmi-infinito. Sin embargo. e"<i~te una impor-
tante cxccpcion que no' conduce al concepto de sucesión
Sea / una íunrnln c..lcfinida en un dominio D que con<,il>lc en llXIO.., lo!>
entero' /1 m:h alla {co; tledr. mayores que n iguale!> a) alg(in entero ""
Una funcion e.Je este tipo se llama sm·esión. Hareml>i. el L-amb10 ck no-
tación
/(11) =ª··
de 111111.hi que lns términos de la sucesión se presenten en una for-
ma nuh. conucidu lndil:aremos la sucesión escribiendo el tér111ino típico
entre lluvc...: la.I. 1 1 entero " • con el cual empieza la succsiún gcncra l-
mcntc scr•l O ti 1 y se Ctablccerá u se dará por !:>Upuc~to. Pero cviden-
tc1m•n1c 11,, dehc e..coger:.c de manem que la fórmula (~i existe) para a,,
leng,1 'c11t1d11 pa1u 111d.1 11 11 ,. Pm ejempl1>. la 'u~c~iun l l/111 nn puede
funciones, sucesiones y /Imites 43
h·1wr lln O y la sucesión 11/ 111(11 - 1)(11 -2)]1 debe tener 11u aJ men11!.
l1t
Sea / derinida sobre un conjunto D con rango R. Por sup f se debe
D
c11tcnder sup y; en forma semejante inf / signiíica inf y. Esto se aplica en
R D R
p.irticular en las sucesiones en las cuales se escribe sup an en lugar de sup /
/)
' 111f u,, en lugar de inf /.
D
l.2 LJMIT~
Supongamos que se tiene una función / definida en un conjunto D
lllh: incluye números arbitrariamente grandes: esto es. para todo número
M . no importa qué tan grande. exi~te un x en D para el cuaJ x. >M . En
lu realidad estaremos interesados en dos casos: (a) D contiene un intcr-
vulo semi-infinito lx > .xol: y (b) D consiste en todos lus entero~ má:-.
ullú de algún entero fijo: In > no}- es decir. en este caso estamos inle-
1cm1dos en sucesiones. Podemos inquirir a1;erca del comportamiento de
fl ) para una x grande. En particular. podemos preguntar si los valores
tic /(x) se mantienen próximos u 11lgún n(1mcro fijo A si x se hace muy
wande. Si es cierto que existe un número A tal que f(x) se encuentre tan
prúxima corno se desee a A para toda x lo suficientemente grande (es
decir. toda x suficientemcnle grande en D ) se dice que /(x) tiende al Umi-
t.' A conforme .t tiende al infinito.
En fom1a más precisa. un número A recibirá el nombre de límite de
f conforme x tiende el infin.ito si para todo < > O. existe un número X
ltlcpcndiente de t. y de aqu1 que en ocasionci> lit: escriba X (f)) para
el cual
l/Cx) Al< t si _, > X y ·' en D.
1 xpresamos ei.lo simbulicamente medianle
lim /(X) =A
..,- f
'' bien /(x) _. A conforme X-')OO.
')e cumple una definición semejante para lim /(x). (Ver Ejerckio A4). En
:r. 00
d casll de las sucesiones esta expresión se transforma en
lim u., = A
11 bien ""_.A conforme 11 --') 00.
•

4.1 r.. 1/111/11 r/11
"'''' vw/rl/)f('
1 11 e1,t. , ,,,, 1•11 1 1.11 ~1111w 'l' '1111plifica la nutadon i.:'cribicndo
ltm 11~ = A
1• l•wr1 a,,_. A.
1••rq1 11• 1•n .:1 1..1, 1 J1• ¡,., '>UC.:c,ioni!.. é~h>S Mm lo:. unic11'> llf)(I' de lm11tc:-.
1111· w 1.1111"Jcr.rn
11 11111 "· ''"''é para una cierta sucesión .,e dice que la 'ucc:.ion con-
, c~c. De ••lm 111.incr.1 'e u1cc que diverge.
<11.1nd11 un l111111c c>.iMe (ya sea para fum:i11nc' 11 pum 'm:e..i1lnc~).
e' u1111..o. e' llcc1r. n11 cxbtcn do~ númeroi. dbtintu., que puL'tlnn i.er al
'lll1lllll ticmp1l li1111h:' de la mi:.ma !>UCe:.ión 11 de la 111i:.n1:1 runc.:111n C'cr
l JCn:i..io B51
l: J1",., (1 Supongal>C que f(:cl = l /C.r + 2r .ti /) ; ;
,, 1
-·
11 bien (/" = 1/(11~ + 2,, - 4) 11 '.!.
En1.1ncc' nb!'.>crvemos que
.r~ + 2.r - 4 ' ,,.:.! • .t
,1. " 111mamo' X conw la mayor entre 2 y l/ c. entonce!> parct x .,.. X
o f(.r) l/r ...., l/X E.
p1>r 11> cual ....: ve que
lim f(x) = O.
.r.,
l .1h mi:.011>!'.> c:ilcul11ll prul!han que
limo ,. = O.
l:.Jr,11110 2. Sea a" = (2 - (-1)"]/2".
S11l11c1m1. Aqu1 lim 11., = l. porque
la,. - ti = 1![2 - (-1)"]/1"} - 11=1/2"
Ahorn pndri~11111l' cnc11n1rar un N(() [en el c.:a!>O de 'ucc,i1mc' ui.:1rt•n111¡,
N(c) en lugar Ji.: X(dl i:n término:. de log_ <. pero ¡111dc1111" 11hti.:na un
N 11111, ~cncil h•. uunqui: 111cni1' 11 pnlximado. de la muncru ,,igtm:n1c·
1' =l l + I)'' = 1 +11+11(11- 1)/2···+ l 11
lla 'CIHtndJ 1g11ald11u 'e ap11'a en el lCMcma del hin11111111) Di: .1q111 que.
funciones, sucesiones y limites 46
1/ e o mayor. !>t! tiene. para 11 > N
la - 11= 1/'! ' l/11 1/N '·
1 't" .llruplcta ht :>oluciúo.
l JI M l'I O 3. j (.1') - :;:( .f + 1 - :;:) D: (.r · O}.
11l1w11i11 Supongamos que para todo x > O existe una raíz cuadrada
p1"111va unica. c... decir. existe un numero posi1ivo únic<' y para el cual
' t L~tu e probara en un capítulo poMcrior (ver Sección 3 4).
1a111b1én 'cr.t conveniente !Wlber que si u > l.
ª2 -.. a • 'u > I,
111 que :.e llcjard como ejercicio.
A huru bien
' .r- ---"---,- = --=====--
, .r + 1 +".r , 1+ (l,.r)+1
.A partJr de lo cual M: ve como evidente que el limite e~ l/ 2. De aqúí
1.on"deramos
¡/(.r)- ~1= I,1 + (:/r) + 1 - ~1= ~ - -,= +=t=:,=.1.=-)+- 1
' 1 + (l/.r) - 1 1 + 1,.r - 1
= < -----
1(, 1 + (l /.r) + 1) 2( 1 + 1)
J
-tr
• !>1. ~· tomamo~ X como 1/ 4< o mayor. y .t > X. entonces.
E.
1crminaremo::. esta sección con un teorema que establece un limite
111uy útil parct propósitos de comparación.

46 c ttfc11/e> du '""' vnrlnble
2.laa Tcottnua. Si 11 11 · 1. rntonces tJ" ~ O.
IJ1•111111rr11<'11111 Sea '
tic n11'Kl11 4uc paru /1 ? l.
l /t1 l. Entonces x >O y
1
o=--
i +x
ti ..
J
~ = ~~~~~~~~~~~~~ < ~.
Al>i
n(n - 1) ., ,. nx
1 + 11Z + x- + .··+ X
2
la"I =a" < € si 11 > _!_ = N(€>.
u
EJERCICIOS A
1
l. Determinar M las sucesiones siguientes tienen limites. En cada caso donde
exi!>la un !Imite A . determine un N(L) tal que
la,. - Al < ~ si 11 > N,
donde u,. está dada por:
11 + 1 11
2
+ n 611~ + 411 - 1
(t1) - - (h) 211?. +1 (e)
11ª + 51111
ll'J + 1 1 2 11
(/) - ,,1-11•
(1/) -;;-+! (e) "":' + -;; + ... + ...,,i 11· n-
2. Determinar si las íunciones siguientes tienen limites en el inítnllo. En cada
caso donde exista un limite A . determinar un X<~> tal que
IJ(r) - Al ~ e if r > X.
(11) i.cn .r
(
,J! +., )
(t/) CO .r 2r1 + 3.c - 1
scn r
(h)-
r
1
(t•) sen -,¡;
ri - 4.l·' + 3..c
(e) .t.:i - r + 1
3. Probar que s1 u > 1. entonccs a'! > a > va> 1.
... Definir l1m /(.1:)..,.__ «>
EJERCICIOS B
1. Examinar estas sucesiones y funciones como en los ejercicios A
(u) ( 1 - ~) ( 1 - ~) .. • ( 1 - ~)
'"tr) :_
11
,,,) .rr1 _ ( • _ ~rJ
(
1 1111w1 1 111110 ) "
(f) ~nt -i co:.e - -
4 11 ::? J 11+2
1 - (1 - l/11)3
(b) 1 - ( 1 - l /n)-:
(e) ..J, + 1
;:¡ 211
11f1<~ngr1M: que cxbte un número q , O< e¡ < 1 tal que In,.1-11 < qlanl·
1 ~.1minur In suc:c~ión ltt,.I.
' e ruculat sup u,. e inf ªn cuando exiMnn. En cada caso determinar si se alcan7.a
u no el valor extremo (es decir, ~up o inf).
l•tl {r I>"(!-;,.)} (b) {~ +cos
11
;
1
+(-J)"}
'' 1 {11"•1•,. ~'} (tl) 1( - 1)"n"....."m + ~}
l n
1 e...ih:ular sup /(x) e inf f(x) cuando ex1Man. En cada caso determinar si se
,, J>
111,an~a o no el valor extremo.
(11) r - (.r) D: total .r (h) X D: {O < z ¿ 1}
{' ) nn& tnn .r (valor principal) D : {O .r} (e/) ang tan 1/.r D ; {.e .,_ O}
lt-1 r 1 .r D: {.r OI
'I 11robar la unicidud del !Imite; es decir. probar que si lim a,, =A y lim a,. = A ',
~ n1onces A =A '.
l.
.t.
EJ ERCICIOS C
S11póngabC que 11,.-* A, t·11 - ' A y 11,. < h11 .;; c,1 • Demostrar que b,,-+ A .
S11¡><1ngase que /(.f) - A. 11(.~)-+ l l conforme ;r - :1 y /(.r) <g(.r) <hCx).
Demostrar que g(.r)- A conformt' 1 - • x.
lkmoscrar que 11~12·-* O. 11~/2' -> O. 111¡ 2• --+ O. (S11geu11cias: Ver Ejemplo 2).
•. Demostrar que n'lu• - >O. 113t1' _. O y ,, 1,,. _. O si O< 11 < 1. (Comparar con
el F.jerddo 3 anterior y ver lo dcmostmción dcl Teorema 2.2a.I
'I l11) Considértsc que /(A) y N(.t) llenen el mi:.mo dominio D . Demostrar. que
~up [/(.t) +g(.r)j up/<.r) + supg(.r)
v n n
inf [/(.r) +g(.r)] inf/(.1) + mfg(.r).
n u o
1n particular. para las ~ucesionc!>. c~ta upresiones se transforman en
sup ("" + b,.> • sup u,. + sup h,.
inf(u,, + h.,) inf1111 + mf b,..
111) Dcmoi.trar que paro /lA) ) O y gl rl '> O
sup/V> ·gV) supjc.,·) · supgV)
JJ /) /)
inf/(.r) ·x(J') inf/<·•·)·infg(.r).
/) /J J)
1., OPERACIONES CON LIMITES (SUCESIONES)
1 11 c~tu sección se encontrará un deno número de teoremai. útilel>
11'111liV1li. a los lim ite~. En MJ muyor parte son teoremas acerca de la
lu11w1 lle operar con limite~. Sin embargo. primero empezaremos con un
•

teorema ...cnc1llo pero mu) ut1I respecto a la11 suc~wnes Para el efcclO.
dcfmirc11111' 111 'uh,lllcJ.1011
1 nu ..ulc"nn 1<1 , e' una función en ltl' entcros. e:. decir.
"· = f(n) para todo n :.> n
h111.1 ' U()l1ng..1.,c que ..e 1:in,1dem la función re~tringida a un :.ubconJUnh'
de 'º' cntcni' l:~ujamos un entero mayor que o igual a n y dcnotémo:.lo
ror " •· 11tro ntninr que " · y denotémoslo por 11,. ntrn mayor que " · }' dc-
nllh!llhl,lll por 11 y as1 ..uces1vamente Entonces. la nueva ...uee...ion dcf1-
n1uJ por
/t1 = <I = } llt-) "=o. 1,2• .. •
'e lla111u !iiubsucesión de janl fa evidente que existen muchas i.ub'>ucc·
'iones de una sucesión dada y que. en tocio caso. nk ~ J... (¿Por qué'!) El
Lcnrcma que i.c desea probar e' el siguiente.
2.311 Teoremu. Supóngase que :a,.l converge, entonces cualquier sub·
sucesi(ln Ja,wl también converge y tiene el mismo limite.
De11111stracic}11. Sea A el limite de la sucesión lu,,I . Se sal"lc que paru
todo < > Oexbte un N para el cual
Pero 114 .> J..: de aquí que
Por tanto
'" "• - Al < E
"" > N
si " 1: > N.
si k > N.
si k ., N .
1
Los :.iguientes :.on una colección de teoremas opemcionalcs usualc:.
C(lO lu:. cuale' debe fam iliarizan.e el estudiante.
2.Jb Teorenm. Si lim "~ cxi,te. enhmce:. !a,,: forma un CllOJUnll1 acula·
do. (l:~ decir. cxi..1e una constante M para la cual ¡u.,¡ <M para iodo 11)
Dn110.Hrc1t 11111 SL-a 11 = lim a.,. Entonces exbte un N lal que
Ent11nceJ.
Por lo tanto
'"., - "
"· - "'
'i /1 ·,'V. (¿Por qué'?)
a,.I - la!. (¡,Pl>r qué''J
(1 ) lt1,.I lal + l =1111 si11 °· N.
Ahora observemm, entre los números la.j. la~I· ..., Ju,.¡, y cscojumo:;
el mayor. llamándolo M.,. Entonces
(2) Jan! < M , si ti ~ N.
Ahora. es evidente que si Lomamos M c1..1mo el mayor de M 1y Mv. enton·
ces por ( 11 y C2)
para todo " · 1
En los teoremas restantes de esta sección supondremos que las su-
cesione:. lunl y lb,.I convergen y que sus limite!. son a y b, respectiva-
mente. y concluiremos la existencia de los demás limites que se pre·
-.cnlan.
2..Jc Teorema. lim (a., 1- h,.) = lim u,. ' lim b11•
Demostracic>n. La demol>tración de cMe t!Orcma se deja como ejerci·
do (Ejercicio B). Obsérvese que. por inducción. este teorema se extiende
a cualquier número finito de !>UCesiones.
2.Jd Teorema. lim (u,,h.,) = (lim a~)(lim h,.).
DemmtraciJn. Examinemo~
Por tanto
la,.b., - ahl = l(a ,.li,. - ab,.) + (abn - ab)I
la,.f>,, - a/1111 + la/111 - abl.
De acuerdo con el Teorema 2.3b tenemos que lb11 I está acotado. Su-
pongan1os que lh,,I<M: entonces
(3)
Ahora vcmo:. que haciendo ¡a,.- al y lh,,- bJ pequeños. podemos
hacer le1nb11 - uh pcqJcño. Sea dado e > O y Lomemos E 1 = <f2(M + 1)
y (z = c/2<lal + 1). Entonces exi!>tCn N, y N . tales que
lu,, - al E1
y
Asi. l>i n > N = máx (N,. N,). de (3). tencmo~
la"b" - abl Mc1 + lti!c2 = t[M/2(M + 1) + lal/2(1al + I)] < c. 1
Con base en csla demos1ración :ie sigue que
lim ch,. =e lirn h.,. (¿Por qué?)
2.Je Teorema. lim (a,,/h,,) = (lim a,,)/(lim b,.) si lim h,, ;;/= O.
De1110.1·1racit;,1. La demoslraciún de el.te teorema se sigue del Teorema
2.Jd. en el supuesto de que pm.h:mns dc111oslrdr que
141 lim l/ /1,1 _ l/ lim h,..
1•ura probar (4). notemo:. primero que. supuesto que h = lim h., =/= O.
C'l~lc un N, lo suficientemente ¡irunde de modo que

50 cálculo do 1Jna variable
111,, - 111 • nllbl si 11 > N,.
Enwnccs
Jb11I > Wlbl si n > N1•
De aqul que. para n > N1 •
(¿Por qué'?)
(¿Por qué'?)
1:fl - i1= 1b~~ b 1< l '~;);J:1= 1:12 lbn - bl
Ahora. dado que , > O. sean ' • =Jblª</2 y N~ taJes que
lh..- hl < '•
Entonces si n > N = máx [N 1. N1].
si n > N~.
1
L 11 2 2 2 lbl2
E
b,. - b _, lbl2 lb,. - bl < íbfEl = lbl2 • -2- =E.
2.Jf Teorema. lim ¡a..¡= llim a.,¡.
1
Demostración. La demostración de este teorema se sigue directamen-
te de
(¿Cómo'?) 1
2.Jg Teorema. Si Un >O.entonces Jim a,, >O.
Demosrración. Supóngase que lim a,. = a < O. Entonces existe un N
lal que
!u,, - al < - ~:tª para todo ;, > N
Así. en particular. parcl tal n se tiene
(recuérdese que u < 0).
o bien
ª" - a < -ma,
º" < (l)a < O.
Esta contradicción completa la demostración.
2.Jh Teorema. Si a.. >b,.. entonces lim u,1 ~ lim b,,.
Demostración. Por los Teoremas 2.3c y 2.3g.
lim a,, - lim h,, = lim (a,, - b,,) >O.
2.Ji Teorema. Si a,, > O. entMces lim .VO: = V lim a,..
1
1
Demm·tración. Una vez más supond remos la exisrencia y la unicidad
de las raíces cuadradas po&itivas de los números positivos (ver Sección
11 ( '1m, illcremos dos casos. de acuerdo con que lim u,, = a > O o bien
,, o
1' <,(I 1 ti • 0.
'q111 l'lli:.te un N1 tal que
a,. > Y:!a
11
111 lt111to. paru n > N1
si " > N1• (¿Por qué?)
,r;;¡ = kru:- Jl.1 IJO,. + / al = 1 an - a 1 < la,, - al.
1 o,. + /ül F., + Ja Jñ
1 1,111 ci. ltt desigualdad básica. El resto de la demostración se deja
11111111 e jercicio.
1 ~"" 2. ti - o.
l>lldo , > O. se escoge n lo suficientemente grande para que a,. < e'.
1 llhllli.'~S Ja: < E.
1 11 Ml'I o. Calcular
, 1l11cuSt1:
J411
2
: 611 + 3 .
w - 5
1
J
.¡,,~ + 611 + 3
1111 .. =
,,. - 5
1
, 411° + 611 + 3
1m .,
n- - 5
= l
. 4 +(6/11) + (3/112
)
1m =
1 - (5/112
)
lim [4 +(6/11)+ (3/11~)]
lim (1 - (5/112
) )
= lim 4-+: lím (6/~1) + li~ (3/112
) = .j4+O + O
Jún 1- hm (5/w) 1- O
= J4 = 2.
<'nnvicne hacer algunas aclaraciones acerca del cálculo realizado en
1·~11· cncmplo: Cada paso en la solución es un argumento provisional que
1lr prmlc. para su validez. de la existencia de los limites involucrados. Por
111 1101111. el primer paso. donde se intercambió el l>igno del limite y el
tilalllll de tu raíz. es válido solamente si se conoce la existencia del limite
1lrl 111clcntc que se encuentra como radicando. En fom1a semejante. cada
111111 11..· lo' ~iguienles pasos es tentativo. afirmado en la existencia de los
l1t11ih'' Involucrados. La justificación final para todos estos pasos provi-
•l1111•IC', Cll que se llega a una expresión que tiene un limite.

52 cálculo e/ti uno vurfobll'
t.JERCICIOS A
llc-1rr ml11111 1 111.. 'l!l111en1ci. ~ucesiones 1iencn lfmlle Sí cx1s1c. calcular el Hm11c
rn 1111.1 ~1111
111) /1 1 1 ' ,, (b)
,¡.i + 411J + 511 + 16
"'! + 311 + 2
/1
(¡) (d) V I +a/n
/1
+2+3+ · · · + n n
(f)
11 +2 -2
~li1
": + l/n
M
!111 - 11 ¡. 800/11
f¡:) 11( 1 - - <1/11) (/1) n[(a + l /11)~ - a5]
kwn + I
(i) o
log /1 - 1
EJE.RCICIOS B
l. 111) Probor el Teorema 2.3c.
(h) Compleiur lu dcmosll'ucil~n del Teorema 2.Ji.
2. Demo~1rur. mediante ejemplo:.. que si 111,,I ~ Jal, enlonccs 11" no nccesurlamcnte
converge; y 11ue ~¡ converse. no ncccsuriamenie converge en 11.
J. DcmO'>lrnr que 111,.I- • O,i y ~olamcntc si 1111 --+ O.
.- ,-... DcmoMrar que si u,. --+ a. entonc.ei; ' t111 ' <1.
5. Dcmos1rur que lim -;, • 1 si 11 >O. Considérese primero el caso donde a > 1.
(S111u·r1·11d11: Hacer ;; 1 + li,, y aplíquese la desigualdad de lkrnoulli.)
6. Calcular el Hmllc de cada una de las suces:iones siguiente:.:
(11) (11( 1 - F-::)}
<M r_1_ +--1- + ... +-1-}
11'l + 1 11J + :! 11'! + /1 •
{
1 1 1 1
(r) + ;-;;-;: + · . . + ~ .
,,: + 1 112+ 2 llJ -f 111
7. Demu,trur. mediante ejemplus. 1¡uc: para una sucesión conver1?cn1c fllnl la con·
J1cmn "~ > O no implica que lim 1111 > O.
ti. f>cmn,11 11r. mcllinnrc c¡cmplo~. que si (1111 1 y (b,,I tln ~ucc,ium:' JlvcrgcnleN.
cnwncc' In,, 1 1111 1 nu C ncccsurlornen1e tllverl:cntc. Hacer lu mismo pura
( 11~ 11,.I y la,/h,.I.
EJERCICIOS C ...
l. Dcmo~trar que ) t lu,,I convcrac a cero y lb,,I c:.tá 11coH11.la. entonce lu,.h,,I
convtr¡c: a ctro
111) (( ' ~ 1¡'')1 ''}
" !/ o.
(lt}
' ""((' ' ( "}11. 1 '
(1 } o.¡ - 1, 2, ... k.
11)
r'.
"~ 1/ 11)-lfH}
f,/)
1 1 A
") l/H} · 0.j - I, 2, . .. k( ' 11 a,
1 /, t I
,.....
1 D~lll<l11 .it 1¡11c ,· /1 • l. t!i111.:i-r1·111 iw Hacer /1 = 1 +Ji,., y aplicar el 1co1cmt1
·h 1 111111111110.)
l "
1111 "i11p11n1111-.c quc lim 1111
= 11. l luccr n,. = - L n1, y llcmolnlr que hm a,,=tt.
11 1
f/.) M11l1 11r. mclli:tnlc c1c mplo~. que la inversa lle C11) no u~ vcrdadern: cstn C.
,.,¡~1c11 N11cc,i1111c~ la,,I tale~ que li111 o,, e1 pcro lim 1111 rw cxi~i.:.
.t..a 1.11tlTES DE FUNCIONES
°'li:.1 /hl dcfinic.la en el intervalo / : la h <"' . "' u ¡... /i(. para algun
1111lli11 h. cxccplo pt1,iblcrnentc en el pMpil punto ti. c.~ c.lecir. /(:e) Cl!tá
1kl1111du en una vccinllall agujcrcac.la lle a. Entonces. un número A recibí·
1.1 el nnrnbrc lle limite de /(.) c11nf11rmc x 1icmlc a ti (O conforme -' ~
1H. ll. J u u). !ii para tc'l<Jo < > O cxhtc un número ó. O <"' o<h (por i.u·
p11n111 que 6 llcpcm.le de ~ y ª"· frccuentemcnlc. ..e e~ri be S(c)) par.i
• 1 'lil 1
.1/(.r) - A1,... e ,¡ O < lx - al < ó.
1 f llc~.trcmo' e'tc hech1> fonmtlmcntc.
lim f(x) = A
11 h1cn /(. )-+ A conforme .X ) (J.
<'oni.idérci.c. pllí ejemplo. /(,) =-':: .-¡ 2. Se dcmostrdíá que lim /(x) =... --.1
h 1 ' evidente 4ue f Cl!t{1 ddinidu en O,.,,. x ,,,- 4: es decir. puede ltl•
111.11 ,c /1 = 2. l·n c'Lc intcrvulu.
IJ(x) - 61= lxz - 41 = lx - 21 lx + 21 e- 6 · lx - 21.

54 cálculo de un11 variable
De aquí que :.i ll </ 6 o menor. entonces
E
lf{.i:) - 61 • 61:i: - 21< 6 ' - < E
6
Si Q < IX - 21 < 6 :: E/6.
Por supuesto que. si no existe un número A que llene los requerimien·
tos de la definición. entonces se dice que el límite no existe. Una función
puede no tener límile por cualquiera de varia!. razon~. Duremos algunos
ejemplos en puntos finitos y en el infinito.
EJ1 MPI o 1. La función puede oscilar acoLadamenle. como lo hace la
función
f(x) = M:n 1/ .r conforme x -; O.
y
X
EJ1MPI o 2. La función puede oscilar en forma no acolada. como la fun·
ción
/(x) = x sen x conforme X-+ :xl.
11 1u111bién rnmo
/(t) = .t{I t i.cn x) conforme . -+ co
,
1 11 MPI o 3. La función puede crecer sin Hmite. como
f(x) = <~ - 2)2
conforme x -+ 2.
%
1JI Ml'I u .J. La función puede decrecer i.in límite como en el caso de
/(x) =- 2 + 3x - x' conforme x -+ oc.
y
JC
l:.n situaciones tales como las de los Ejempll>S 3 y 4. donde una fun·
l' Hrn crece o decrece i.in limite. en ocasionei. se dice que el límite
"' ! ec ú bien - :c .

Se dice que el lítnitc de f(x). conforme x tiende a u, es + oo si pa ra
Lodo M existe un 8(MI para el cual
/(x) > M si O< lx- ol <8
Expr!su111m1 úSlé hecho formalmente de ,la siguiente manera
lim f{x) = + oo
,, líl111 bién f(x) ~ + oo conforme x ~a.
Se hacen definiciones semejantes para cubrir los casos lim /(x) = - oe
y lim /(:<) = ± oo . También se hacen definiciones semejantes para las
.,...+.r
sucesicines.
Debe establecerse claramente que no se ha definido en forma alguna
+ oo 6 - oo . Se han definido ciertas expresiones. tales como lim /(x) =I' ..ti
= + oo . Pero la palabra «infinito» o el símbolo oo por separado no se
han definido. En particular. lirn /(x) = + oo significa que f(x) crece sin
"·•"
limite conforme x se aproxima a a. y esto. a su vez. se precisa por la
propia definición.
Cuando se dice que lim f(x) exisce. en general se dará a entender que
~ til l
existe en el senlido de nuestra primera definición. es decir. como un nú-
mero finito. Pam enfalizar. en m:asiones diremos que lim f( x) existe y es
,,. .u
finito. Siempre que tengamos ocasión de usar La última definición - esto
es. lim /(x) = ± oo . - deberá quedar darn que se usa en este sentido
extendido o impropio.
Antes de terminar con esta sección probaremos el siguiente teorema.
que es válido tanlo para los limites tomados en el sentido propio como
en el impropio.
2.4a Teorema. Supóngase que lim /(x) = A y que lx,,I es una sucesión
• J• "'º
de' puntos convergentes a a, con x,. r a para todn 11. Denótese
f(x,,) por y,,. Entonces
lim y,,= A.
Demostración. Se dará la demostración para el caso en que lanto a
como A son finitos. Sea dado e > O. Entonces. de acuerdo con la defini-
ción de lim /(x) existe un 8 para el cual
l./V·) - 111 ,... e :si O< ¡.r - al < f5.
..
1
funciones, sucesíones y limites 57
Y. supuesto que x,, ~a, existe un N tal que
¡x,,-ll¡< 8 sin > N.
l'or tamo. para lodos esos n(1meros n.
ya que
Ls decir.
l!I,, - Al = lf(;r,,) - Al < e
o< 1:1',, - ª'< <5.
¡y,,-Al < f si n > N. 1
En ocasiones existen los Hmilcs laterales cuando no existe un Limite.
Por límite lateral se entiende que el punto que se aproxima. x. debe
!nconlrnrse en un lado del punto a. Precisamente. se dirá que A es el
límite por la derecha de /(:r) conforme x tiende a a, si para todo e > O
existe un 15 >.{) tal que
lf<x) - AI <e :.i a < X< U+ 8
l· 1 concepto de limite por la izquierda requiere que tJ - ll < x < u. Estos
11111ites se den~>tan pllr
Jim f(x)
~ • t¿ol
limf(:r)
;c - (1-
para los limites laterales derecho e izquierdo. respectivamente. Una nota-
'ión más ~onvcniente está dada por
.f(n + O) = lim f(x)
:ri- a 1
y f(a - 0) = lim f(x).
rr.-11 -
2.5 OPERACIONES CON LIMITES (FUNCIONES)
En esta sección se reproducirán para las funciones. los teoremas pro-
bados en la Sección 2.3 para las sucesiones. L{)S teQremas se probarán
pnra el caso donde el limite es un limice finito en un punto finito. Esta
rc,tricción si111plc111ente e~ por conveniencia. porque son verdaderos para
li111ftcs en ± oo y pura limites laterales. L<LS nwdificaciunes en las c.lemos-
1111ci11nes para 111anej<1 r csh>s casbs son todas sencillas. de manera que
'll' nmitcn para mantener el tamaño de la ::.ección clenlru de limites raz~'>
nahlc~. Además. puesto que las denwslracione!> :-on. natu raJmente. muy
w111ejan1es a la~ dadas en la Sección 2.3. frecuentemente :;e oniitirán pnr

cnmph!lo o lllumcntc M! darán sus rasgos principales. Una ~implificación
mu-.: ,olumcnlc cscribircmoi. lirn f(.x) en lugar de lirn f(.t). dando por
, ..,upue,to iodo el rc~lo del i.1rnbolo. Se supone la existencia de lim /(x)
y llm R(,) >' )(! concluye ta existencia de los demás limites involucrados
2.Sa Teorema. Si lim /(.,) = A. entonces existe una vecindad agujereada
de u en la cual /(x) está acotada.
De1111Htrt1cicí11 Ex1i.te un 8 > O tal que
lf(.r) - Al < 1 si O < 1-t - al --. ó.
Para tales .t.
lfC.r)I - IAI lf(.r) - Al < l.
Por tanto
1J1.l')I · IAI + l = M pa ra O""' 1.r - al • b.
2.Sb Teorema. lím lf(x) J: g{x)] = lim /(x) _ lim R(X).
2.5c Teorenua. lim [/(x) · g{.'l] = lim /(x) · lim g(x).
De111osrracití11. Sean lim /(X) = A. lim g(x) = IJ. Entonce~
[f(.r) · g(.r) - A · BI = lf(J'lg(.c) - j(.K)lJ +j( .r)R - ABI
lf(zJg{.r) - j(.ci BI + 1/( r)B - AOI
1/(.r)I · [g( .r) - 81+ 181· IJC.r) - Al
M lg(.r) - BI + 181· IJ(.r) - Al.
2.5d Twmna. lim [/(.x)/ g(.x)) = (lim /(x))/ (lim g(.x)). si lim g(x) / O.
Demo.tracitjn Como antes. es suficiente con dcmostrctr que
lim l/ R(X) = l / lim R (.x).
Primero. cxiMe una vecindad agujereada en la cuaJ
lg(x)I (!)J BI. (¿Por qué'!)
E.n11rncc~ 1-'- - .!_ 1= 1g(.rl - B 1-lg(.r) - ..UI = 21.~(.I') ~ 81
xC.r) u g(.r). B Wl81" IBI
2.Se Teore1ua. lím l/(xll·=llim /(x)J.
2.Sf Teott11111. Si /(.r) • O. cnLonces Lim /(x) ~ O.
2.!la 'ftorenU1. Si /( ')
2.!lh ftottmae. Si /( 1
11('X). entonces lim f(x} ~ lim g(x).
O. cn1onccs lim /(z) = 'lim/(.r).
1
1
1
E JEMPLO:
lim J4- xi+~+ Sr.3 -Jlim 4 - x' + ~ + 5x3
z-2 x 1
+ 15 z-1 x' + 15
_ Jlim(4 -x'+ ~ + 5z3)
lim (:a:!+ 15)
== J4- 4 + J4 + 40
4 + 15
- f42.,,/19
Los comentarios que se hicieron después del ejemplo en la Sección 2.3
son igualmente a propiados aqul: los pasos son tentativos con Ja justifi-
cación fina l de que se obtiene una expresión para la cual existe un lí-
mite.
F.JERCICIOS A
l . Evaluar lus siguientes límites:
. .t"' - l .r"' - 1
(a) hm - -
1
(b) lim - -
:r .¡ .i; - :r -1·"" - 1
x2 - 4
(e) !~x - 2
(d) !i~~[(.r : h)t - ~J 1
(t>) lim-[ v':i: +h - Vx]
".oh
~T+,;' - 1
(f) lim - - - -
z -u .r
v¡--+; - v¡-=-;
(g) hm - - - - -- -
r ·U ;r
sen .r
2. Evaluar los &iguicn1cs Hm11cs. en el supucs10 de que se sabe quclim - -=I:
z-0 %
sen 3r
(a) lim--
.r-u .r
sen .r
(d) lim log--
r-u .r
sen 4,r!
(g) lim - - -
r-o 1 - co:. :r
. sen (..r - oc)
(j) hm n ..
.r-'% .r - oc·
'ien ·'t
(b) lim - -,.·r •U
1 -cos..c
(t') lim - - -
.r •O ·'
sen .r
(Ji) lim--
r •• 1'1 -.1'
• 1
(k) hm .rsen -
.r •U tr
EJERf'IC'IOS R
"'-
1
(1 +a.r)(I +h.r)- 1
l. Evaluar lim - - - - - - - -
.r ·O
2. 1-,aluar Hm [!J.+ ./; - f.r -
1 •<i"
tan :r
(e) hm- -
i --u .e:
1 -cos .l!
<!> lim .L.i
z ·O
[
J - COS%] •
(í) .f~~ (.e - 2tr)~
1
(/) lim .•• sen -
X

3. Si llf 7 < 1 paro totln 1 >O. demostrar que a < 1.
.a. S1 11.1y ¡ hyJ ' O p:ua 1otln r . v, demostrar que " = O. h <O.
S. RccortJ11r (Scccuín 2 1) lu definición de [rJ. Demostrar que para et >O. h > O.
hm ' lhJ -h • hm [:]~ = O. Discutir los límites i1quierdos de e~IB!> (un·
' • 11 U ' ti r •tl 11 ,.
cmne
6. llac:er /11) = t 1
para 1 ~ O y discutir los límites latcrale de f en .t =O.
e llz
7. t lncer /V) - 11 para e* O y discutir los Hmncs laterab lle f y de
(' .r - 1
.1/(.1) en 1 -= O.
8. D1scu1ir lo!> hmilci. laterales en 1 = O de ang 1an 11.c.
9, Probar que uno cond1c16n necesaria y suíiciente para gue 11111 f V) exista e~
que fin + 0) y /111 0) cxisrnn y sean igu11les. :r •11
l.:JEKCICIOS C
[zl-
1. Probar 4ue v ,1· • 1 conforme x - • -.:: . rver Ejercicio C3 lle In Sccci<in 2.3.)
l . Pvoluur lim [ 1' ( 1 + a 1.1•)(l + al!"r·) • • · ( 1 + a11.1') - J]/.1'.
""·11
l . Sen .-,, In rníz de 11.1 1 1 hx -t 1· = O que tiene el menor valor uhMiluw. OcmO)·
trnr que ~¡ h i O. entonces lirn .1·,. = -c/b = la raíz. de 111 ccuncitSn límite:.
11 · U
¡.Qut pa><l con la otra ruiz.'!
.a. Probar la "1nVN'>ll" del reoremu 2.4a: 1 /(.1,1
) _. A para 1odu UCC)lOn l111 1
tal que r,, - • 11. entonces lim /(.•) =A.
r •4
2.6 UCEMONES MONOTONAS
Una cla-.e muy importante de i.uccsionei. i.on la '>Uccsionc.., mnnúto·
na5: aquella~ que cr~en u decrecen regularmente. Má!> pm:i'>élnH!nlc. una
sucesión :a,j es monótona crccicnlc i.i i.ui. elemenloi. u,, ..a11.,faccn unu
desigualdad de la forma
(/ 11 t t 11 11 o bien <l n -+l > a,, 11 = l. 2, . . . .
Fn el primer c.:aso ,e dice que la sm:ei.ión es moniltona creciente débil-
mente o que es no decreciente. En el segundo t:.aso ~e dice que la M1cc-.ic111
e:. ~lrictamcnle n ccicntc. Las sucel.iones monóton:1s decrecientes o no
credentes se dufincn invirtiendo la:- desigualdade~.
1 n panicula r. si una !.U1.:esi6n e:-. estrictamen te creciente esll Cll.
f/1111 • rt,1 ClllllllCe es uébilmenle Creciente: pcrn. por SllflllCSIO. la
l11vc1 '·' 1H1 e-. 11cc:cM11 it1111en1c dcrla. Por lo tanto. eualqu ier 1corc111a que
w c'1uhk·1lil p111u lu:-. 'ui:c-.iones débilmente crecienlcs i.c aplica a la'
c'l111.ll11111.•111t: 1.1c1.1c111c ..
funciones. sucesiones y limites 61
Estableceremos el ~iguien te teorema que es una consecuencia de nues·
tro principio fundamental de la continuidad del sistema numérico. (Ver
Sección 1.5).
2.6a Teorema. Sea (a,,} una i.uces1on no decreciente la cual e tá acola·
da superiormente. Entonce.., lim a., existe y
lim u,, = liUp u,,
Demos1rució11. Supues10 que [ll~} e~ un conjunlo de números que está
acotado superiormcn1e. up a,, exiMe de acuerdo con nuestro principio
fundamental. Sea
A - -.up u.,.
Se desea demostrar que A satisface la definición de limite.
Sea dado e > O. De acuerdo con el Teorema l .5a. cx.iste un N para
el cual
a, ·A - t.
De aqui que. para 11 > N A "11 "'
. A - E.
o bien A ti ¡¡ A - t,
o. finalmente o.... 1 - tt,. E '>i " > N .
De aquí que. evidentemente. 1 1 - ll,,I e si /1 > N. 1
1.6b Corolario. Sea lu.l una ~ucei.iun no creciente acocada inferiormen·
te í-ntonces lim a., exi re y
lim 11,, - inf t1,..
D e1110.Hrt1CÍ<Í11 Ui dcmtlIr.iciún de ei.te leorema ei. ~mejante a la del
-~re~2~. 1
E!>toi. l.encilloi. pero impl1rtan1ei. re!oouhadth no!oo proporcionan una he-
rramienta podcro~ que !.e usará a lravé::; del desarrollo del libro. Como
cjcmplu. con:-.id15rc!ooC lo M11.:c~ión dac.Ja pvr
1 1 1 ~
ti,. = 1 + 1 + - -t - + ... +- = 2 l /k!
2! J ! /1 ! !• 11
(Se verá que realmente i.c est(t di:-ocuticndo la convergencia ele la serie
,
111íinita :¿ 1/J.!.)
1
F:-. evidente que
1
" .. 1 1 - ti . = o.(11 + 1)!

62 c~lculo de una varlable
De aqul que ª"+' > <1,., de modo que la sucesión es monótona creciente.
A continuación se demostrará que está acotada superiormente:
1 1 l 1
a - 1+1+-+-+ - + ·.. +-11 2! 3! 4! n !
1 1 1 ... 1 _ 1+ 1 - 1/2" ( 6 o?)
< 1 + 1 + 2+ '22 + 23 + + 2"- 1 - 1 - 1/2 ¿c m ·
1
< l + =3.
1 - 1/2
Por lo tanto. la sucesión {a,.} es monótona creciente y acotada: de aqui
que el limite existe. Lo designaremos. por el momento. por e'.
Consideremos otro ejemplo:
,,= lim ( 1 + l/n)" existe.
En efecto. e' = e, pero la demostración de este becho se pospondrá hasta
que se hayan discutido las series infinitas. Por el rnomcnlo se demostrará
que e <; e'.
Sea b,, =( 1 + l/ 11)•. Entonces. de acuerdo con el teorema del bi·
nomio.
1 11(11 - 1)( 1) :i 11( 11 - 1) ... (11 - k + 1) ( 1)11
b,. = 1 + 11 . - + - + ... + -11 2! 11 k! n
n' ( ' )"+ ... +-". -
n! n
= L+ 1 +..!.(1 -~) + " · +_!_(1 -..!.)(1- ~) · ·· (1-"--l)2! /1 k! n n 11
1( l) ( /1 - ' )+ " ·+ - 1- - . .. 1 - - -
n! n 11
1 1 l ,
< L+ l +-+ .. ·+- + .. ·+ - < e2! k! 11 !
De aqul que {b,,} está acotada superiormente por e'.
También ei. evidente que el k-ésimo término del desarrollo para h,, es
menor que para h1i1 1:
1( 1)( 2) ( k - 1)- 1 - , __ ... , ___
/.. ! /1 11 11
1 ( 1 ) ( 2 ) ( k - 1)
< k! 1 - n + 1 1 - n + 1 . . . 1 -;;-+I ·
Esto es cierto porque
( l - .L) ,,. (1 - _J)
11 11+ 1
j = I, 2, . .. (k - 1) < n - 1,
) b..+1 contiene un término positivo más que b,..
De aqui que e = Jim (1 + l/11)' existe y
e < e'.
pue to que e' es una cota superior para lb,.} y e es la mínima cota su·
perior parct lb,.¡
2.7 FUNCIONES MONOTONAS
Se dice que una función f definida sobre un intervalo es monótona
crec.iente si, para x1 y x~ en el intervalo. x1 > X2 implica quef(.c1);> f(x.)
n bien /(x,) > /(xu). En el primer caso, la función es monótona creciente
débilmente (o no decreciente). En el último caso. es estrictamente crecien-
te. Una fu nci(in es monótona dttreclente si x, > x~ implica que /(x,) <
< f(x~> o bien /(x,) < f<x~>· Asimismo. los dos casos distinguen mono·
a
Une funel6n no dee11elente
tonicidad débil y estricta (puede ser «monotoneidad». pero definitiva-
mente no «rnonoton1a»). Como con las sucesiones. una im portante con-
'ccucncia de la monotonicidad es la existencia de límites:
.l.7u Teorema. Sea f(x) monótona. sobre un intervalo la <x ~ b l . En·
tonces lrn. limites f(h 0) y f(a + 0) existen. En todos
loi. puntos interiorc~ e lol> limites /{x + 0) y /(x - O)
existen.
Dt·mostrucilín. Recordaremos que f(x + 0) se refiere al límite derecho
" /( , - 0) al limite izquierdo. La demostración es para el limite izquierdo.

con f no decreciente La demostración seria semejante para lo!. demás
ca:.os.
Seu 111 cualquier punto en lu ~ x <hl excepto el propio u. Exami·
ne1111l:. / cerca e.le este punto. Sea
y
Puesto que /(x) es monótona
J
Xn = Xo - -
n
Yn < Yn+ I < f(xo).
t.
'
Por tanto. y,. es monótona y acotada. De aquí que existe un número A
tal que
lim y,.= A < f(x0)
Ahora bien. dado e > O. existe un Nf<) tal que
O< A - f(x.,) < E.
Escojamos a («) = I/ N(t). Entonces. para XN =X o - ó < :e ,,,. x., se
Liene. debido a la monotonicidad.
f(x,,) < f(x) < A
o 1.ambién ' > A - f(xx) > A - f(x) > O,
lo que prueba el teorema. Prueba algo más. i.i /( t) es no decreciente.
cntonceii
f(x0 - O) < f(x0) .
Debe M!r evidente que un argumento semejante probar.í que /Cxa + 0)
exi!>IC y que
f(xn) < f(x0 + O). 1
Para funcilmc!. nll crecientes se tiene
f(x0 +O} < f('r0) < f(x0 - O).
EJERCICIOS A
t. F.xnminar el Ejercicio 85 de In Sección 1.7. ¿Qu¿ se ttnblece acerc:1 de la 'ucc-
,¡.,n (1 1 1J11)"'!
1. f '111hh:c111 lus ~lguicntc-s lln1itc,:
(ti) ( 1
(r) ( 1
1 3>t+J
1- 311 + 1/ - t!.
1 )" -t 2n • ..¡e. (d)
(
1 )'nl+ --n + 1
e•.
funciones, sucesiones y /Imites 65
(e) (1+ .!.)"' •t'.
ll't (
1)"'(/) 1 + - - ·e.
11 l
(g) (1 + ~)"-· ,.'.l. rsugul'nC'ia:
11 LDcmostrar que
EJERCICIOS B
l. Probar que (1-1/nl" -+ lle Evuluur lim 11- l/(n-2)J" t1 •
2. Sup6ngasc que una sucesión (11,,I eMú definida por
(/¡ = 2, a~= 2 + '2, a3 = v'2 +' 2 + v2, ....
En general. a,, 1 = V2 + <tw Demoi.1ror que la sucesión es monó1ona y aco-
tada y culculur el límite. (S1t}IU ('IH fo: r or inducción. demostrar que a,, < 2.)
J. Hacer el mismo ejercicio para lu sucesión {11,,I dodu por a1 = 12, a,.+1 = V2a,1•
4. Demostrar que a•/11! - O. ¿C::. monótona la convergencia'!
S. Demostror que 11•/ (11! t "l ticndc a un límite.
6. Oemo~trar que :.i u,. > O y (un+/ o,.)-+ q < 1. entonce~ ªn-+ O.
7. Sea .1,. =(1 + t1)( 1 + o') · · · t 1 1 a") Demostrar que lim .f
11
existe si O ( a < 1.
(.'út1o1ue111 ia: Usar 1 +.f ( <'')
EJERCICIOS C
l. Sea O < r1 < v1. Para /1 > l. haccr.1·,, 1 = V.r,,y", y,. 11 = !(.r,, + y,J. Demos-
trar que lim 1,, - lim Y,,
1. Dado .x1 > O Para 11 > l. hacer .x,. = I/ ( 1 +A,,_1) Demostrar que lim .e,,
exis1e y evaluarlo.
J. Sea a1• a2• u3• ••• una sucesión 'de dlgitoll: es decir. cada t11 =O, 1. 2... , 8 ó 9.
Considéresi: la sucesión de fracciones decimales b,. dada por
b, .: o º•
b. - o º• "•
h;,; º·11, "~ 113
b,, - 0, t 11 f!i l/A.,. 1111
•
Demostrar que {/1,.I 1iene un límite li entre O y l. Designamos esle número me·
dian1c el desarrollo decimal "infinito":
h =0. a1 a, 03 ••• u,. ....
.&. Demostrar que todo númcru tnlrc O y 1 tiene un desarrollo decimal de la

66 cálculo do uno vorloblo
ím nm 1h"4'nl11l11 l'll eol 1 11=rrn:10 3 y que esta represen1aci6n es única. exc:cplo que
111, 1111111eo111 1lr h1 fur11111
O. "• a, .. a,. 999 . . . 9 .. .
V o "•"':!· ·'"· + 110 000 . .. •
Jtlmk: 11,. i- 9. son 1g11alci.
S. Supóngase que una función f es localmente monótona e n un intervolo I e~
decir. en cada punto t en l . existe una vecindad en la cual fes mon6tonn f>e.
mo~trar que. entonce • e monótona sobre lodo el intervalo I
3
Continuidad
y diferenciabilidad
,I ( 'ONTINUIDAD. CONTINUIDAD UNlFORME
ll11 h h111uo en término:. generales. cuundo se dice que una función / es
11111tl1t1tu un un punlo a de su dominio. quiere darse a entender que sus
11lt1rL"• en puntos cercanos son muy próximos a su valor en a. La definí-
' 11111 pn·d.,.. es:
111111 runci(>n /.definida en una vecindad de un punto"· es cootinwt en
jf '
limf(x) = f(a).
1'111 ,11puc:.10 que ~sia es una idea con la cual el estudiante ya está
l111111l111111atlo en una fonna primitiva a partir de sus previos conocimien-
'" ,11hrL una función. porque la mayor parte de las funciones que conoce
11t11 , .1nttmms. excepto posiblemente en unos cuantos puntos.
1 11111 fum.mn puede no ~r continua en un punto u por cualquiera de
110 "'Vllll'ntc' tres ~cLZones · f pµede no estar definida allí: eJ límite puede
1111 '""''" • u, iii f eslá definida en u y el limite existe. entonces los dos
1•ur1h-11 nu i.cr iguales.
1 / no ci. continua en un punto u. todavía puede suceder que sea
......... ckllde la izquiercht o condnua cksde la derecha en a. Es decir.
1111rtl1• o,c1 que
11 hlrn
1n "'"'°' ..1mhuloi.
n hien
lím /(x) == f(a)
llm / (x) = f(a).
a1-a+
f(a - 0) = f (a)
/(a + O) - /(a).
(67/

Por ejemplo. sea:
r•I si X -/;. 0
j(x) = X
- 1 SÍ X= Q.
Es decir. {-1 si .i: .- O
f (x) =
+1 si x > O.
fa evidente que /(x) es continua desde la izquierda. Si se hubiera lomado
/<0) = + l. sería continua desde la derecha. Si se toma /(0) conio cual-
quier otro valor. entonces /(x) no tiene continuidad izquierda ni derecha.
aunque tiene límites izquierdo y derecho. a saber - 1 y + 1. respecti-
vamente.
En parlicuJar. para la función /(x) = sgn , {ver 2.1) se tiene /(0 -
- O) =- 1, /(0) = O. /(0 + 0) = + l. Debe observarse. que una con-
dición necesaria y suficiente para que / sea continua en x =a. es que sea
continua tanto desde la izquierda como desde la derecha. (Ver Ejcrcici1)
89. Sección 2.5).
La c.fofinici>n de continuidad depende del concepto de limite. el cual
ha sido definido en términos de < y S. Podcnrns establecer la definición en
tales términos y. para mucht>~ propósitos. es mejor hacerlo así. La defi-
nidón queda de la ~iguiente manera:
Una función f. definida en lx.. - h < x < ,'ft + hl. e~ rnntinua en
.r,. si para todo < > oexiste un o. o< a~ h. para el cual
' l/(x) - /(xu)I < ! si l:r. - x01< 6.
Ahora bien. el número S. tal y corno se ha definido. depende en gene-
ral de <: pero aquí puede depender también del punto x... De aqul que
en llcasiones i.e escriba 8 k .'o}.
Se dirá que una función / es continua en un intervalo abierto / si es
continua en cada punto en /. Si I es semiccrrado o cerrado (esto es. con-
tie...: a uno o a ambo:. puntos extremos) decirnm, que es continua en / si es
continua en cada punto interior (~ección 1A) y tiene la continuidad deM:!e
un lado apropiada en cada punto extremo que se induya. Por tanto. si I
e:;ui dudo p11r la ~ x < hl. entonces. para que / sea cm11inua en I debe
ser continua desde la derecha en t1 así como continua en lodos los demás
punto-. .r en /.
S1 una función f no e:; cuntinua en un punco x,, de su dominio. se
llK~ 4uc e:. diiKontinua allí. El punto x.. se llama un punto de disconti-
nuld11d ti. nw:. brevemente. una discontinuidad - de /.
continuidad y diferenciabilidad 69
1 11 Mf>t.o. Demostrar que /(x} = x! ei. continua en .r~. Escojamn~ cual-
quier h, digamos '1 = l. 1:.ntonces. consideremos / en el intervul(> / :
1,, 1 < .r < x. + 1(. A4u 1 Jx - x..J< 1 De la nial se ve que:
lxl < lzol + l.
11ont bien. para x en I considcramni.:
Lf(x) - f(:t·u)I = lx~ - .ro~I = l.v - ~·ol lw+ x0 I
l.r. - Xol<l.rl + l·roD IJ' - rol(21rol + 1).
1 11 consecuencia. se ve que escogiendo J1 - x 1< e/(2 J.tul + 1) ob1e-
lli.'lllOl>
l.r2
- Xu
2
1 < ;,
Para llegar a esta de~igua lda<l. he111os i111puei.to dos condiciones
"'hrc x:
j.t - x111< 1 (e:. decir. x e:.tá en /)
l.r - .rol < t:/(21.1:111+ 1).
' " · :.i ~e escoge 8 = mín 11. </ (2lxuj + 1)]. :.e :.a1bfat.:c nue~tra definición.
N111c~c que se exhibe explícitamente la dependencia de S rcspel'hl a X¡,.
1 11'"''LO. Demostrar que la fu nción cJdinkla por /(.) = 1/ x es continua
111 el l'1lnjunt(> D: llxl>1/21. Se tiene :
l/(x) - /Vo>I = 1I - _!_ 1= lx - ..rol .
.r. .ro l:rxol
lk .tqui que. ~i wmamul> .1 y,,, en D. y cM:11gcmol> S =IAolt/2. se ohticne
l/(.i•) - /{.1•0>1.~ 21a- - :rul < 2El.rol =" si l.r - .rul < I>.
l·rul 21.tnl
/h1>ra bien. como en cualqui~r limite. si 8 satisface las condicione:. de
1.1 definición, también lo hará cualquier número mem1r. digamos 8' ~ o.
111 el ejemplo anterior. :o.e tiene S = ¡.11IE/2. d1mdc JxijJ~ ~· De aqui
'1111'. S' = c/4 no es mayor que 8. y por tanln
IJ(.r) - /C.tu)I ,.. E :ii l.r - .rnl < I>' = ~
4p.1111 . en D.
1 1 significado del nuevo valor e~ogido. 8'. es que i.erá adecuado pard
1 wdquier valor .x0 arbitrariamente escogido en O: es decir. S' t:l> indcpen-
il11·11lc de x u en D. Depende solamente del propio conjunto D. pem no
111'1 punto individual Xu en D. Tal número S recibe el nombre de uniforme
..,. uit:e que /(x) es uniformemente continua en D.
l>i.: manera más precisa. ~e dice que una función / e:, uniformemente
auntinua en un conjunto D. si para todo t > O existe un S lque depende

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