El documento explica los límites laterales en funciones definidas por partes o con dominios restringidos. Los límites laterales determinan si la función tiene límite en puntos donde cambia la fórmula o al extremo del dominio evaluando el límite cuando la variable se acerca al punto por la derecha o izquierda. Para que exista el límite bilateral, los límites laterales deben ser iguales; de lo contrario, el límite no existe.

1. LÍMITES LATERALES
En algunas funciones como las definidas por partes y las de dominio restringido, como
las que tienen raíces cuadradas, se aplican los límites laterales. Por ejemplo, en las
funciones con radicales con índice par no tiene sentido hablar del límite en puntos a,
extremos de los intervalos que conforman el dominio, pero los valores de la función se
pueden acercar a un número cuando la variable se acerca por la derecha o por la
izquierda al punto en cuestión. En las funciones definidas por intervalos servirán para
establecer si la función tiene límite en los puntos donde la función cambia de fórmula y
en caso que tenga límite en algún punto, determinar su valor.
Ya mostramos ejemplos en que si los límites laterales son distintos entonces el límite
bilateral no existe, este hecho está contenido en el siguiente teorema. Además el
siguiente resultado permite concluir sobre la existencia del límite si los laterales son
iguales
Teorema
Sean a y L dos números reales y f una función real definida en un intervalo
abiertoconteniendo a a, salvo posiblemente en a. Tenemos que:
limx→a+f(x)=L y limx→a−f(x)=L⇔limx→af(x)=L
Recuerda que tanto en los límites laterales como en los ordinarios no importa que
ocurre con el valor de la función en a. Puede estar definida y valer igual a los laterales o
ser diferente o sencillamente no existir.
Animación
Encontrar el límite de una función definida por partes
Al lado tenemos un ejemplo que muestra cómo establecer si un límite bilateral de una
función definida por intervalos (por tramos o a trozos) existe o no en un punto a, y en
caso que exista, conseguir su valor. Observe que el punto a es el punto en donde la
función cambia de fórmula. En otro punto no hace falta tomar límites laterales
Ejercicios Encontrar los
límites propuestos
Respuestas
Animación
Conseguir los valores de
la constante k que hacen
que el límite en un punto
exista
Se tiene una función
definida por tramos con una

2. constante k en una de la fórmulas que define la función. Se quiere determinar esta
constante a fin que la función tenga límite en el punto −3, precisamente el punto donde
la función cambia de fórmula.
Tenga presente que los límites laterales son números reales, el de la izquierda
depende de la constante k.
¿Qué hay que hacer para encontrar la constante k?
Tomando en consideración que el límite existe si y sólo los latelares son iguales, se
plantea la ecuación un límite lateral igual al otro, y se resuelve esta ecuación en k.
Además de este objetivo de encontrar el(los) valor(es) de la constante, se quiere
mostrar que en los límites laterales pueden también surgir indeterminaciones que se
resuelven de la misma manera que en los límites bilaterales.
Ejercicios: Encontrar los valores de k para los cuáles el límite indicado existe
Respuestas
Los límites laterales también se aplican en funciones que no están definidas en un
punto aislado, por ejemplo en los puntos donde una función racional no está definida,
pudiéndose obtener o no límites infinitos.
Ejemplo Límites infinitos en laterales
limx→2+x+1x−2=+∞ y limx→2−x+1x−2=−∞
Los límites laterales también surgen en funciones con valor absoluto.
Ejemplo
Sea f(x)=x−1|x−1|.
Hallar limx→1+f(x) y limx→1−f(x).
Concluir si limx→1f(x) existe o no.

3. Solución
Si x→1+ entonces x>1, esto es
x−1>0. Por tanto |x−1|=x−1
Recuerde que el valor absoluto de una cantidad positiva es la cantidad. El valor absoluto la deja igual.
Así tenemos que
limx→1+x−1|x−1|=limx→1+x−1x−1=1
Por otro lado, si x→1− entonces x>1, esto es
x−1>0. Por tanto |x−1|=−(x−1)
Recuerde que el valor absoluto de una cantidad negativa es el opuesto de la cantidad. El valor absoluto
le cambia el signo.
Así tenemos que
limx→1−x−1|x−1|=limx→1−x−1−(x−1)=−1
Como los límites laterales son distintos, 1≠−1, entonces limx→1f(x) no existe.
Estimación de límites laterales a
partir de la gráfica de la función
La gráfica corresponde a una función definida por
partes. Vemos que conforme x se acerca a 2 por la
izquierda los valores de la función, f(x), se acercan a
3. Por el otro lado, si x se acerca a 2 por la derecha,
los valores de la función se aproximan a 1 Los límites
laterales son distintos. No hay un solo número al
que f(x) se aproxime, por tanto el límite bilateral no
existe.

4. Cálculo de límite en un punto
Cálculo del límite en una función definida a trozos
En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los
diferentes trozos.
Si coinciden, este es el valor del límite.
Si no coinciden, el límite no existe.
.
En x = −1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha: Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en
x = 1.