Este documento presenta conceptos fundamentales sobre límites y continuidad de funciones de una variable, incluyendo definiciones intuitivas y formales de límite, así como teoremas sobre límites. También cubre límites laterales y su relación con la existencia de límites. Finalmente, proporciona ejercicios para que los estudiantes apliquen estos conceptos.

1. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/05/2018
MATEMATICA I 1
RJAL
UNIDAD III: NOCIONES DE LIMITE Y CONTINUIDAD DE
FUNCIONES DE UNA VARIABLE
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS
MATEMATICA I
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2
Consideremos la siguiente función 𝑓 𝑥 =
2𝑥2+𝑥−3
𝑥−1
la cual no esta defina para x = 1, pero podemos notar
que conforme x se aproxima a 1, los valores de f(x) se
acercan a un número que se definirá más adelante.
Esto se puede apreciar en las siguientes tablas:
DEFINICION INTUITIVA DE LIMITE

2. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/05/2018
MATEMATICA I 2
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.3
Sea f una función y “a” un número fijado. Suponga
que el dominio de f contiene intervalos abiertos
(c, a) y (a, b) para algún c < a y algún número
b > a, como se muestra en la figura.
c a b
Si al aproximarse x hacia “a” tanto por su
izquierda como por su derecha f(x) tiende a un
número específico L, entonces L se llama límite de
f(x) cuando x tiende hacia “a”
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
DEFINICION INTUITIVA DE LIMITE
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.4
Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto que
contiene a “a”, excepto posiblemente en el número “a” mismo. El límite
de f(x) conforme x se aproxima a “a” es L, que se escribe como
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
si la siguiente proposición es verdadera:
Para todo  > 0, no importa cuan
pequeña sea, existe una  > 0 tal que:
f(x) – L <  siempre que 0 < x – a < 
DEFINICION FORMAL DE LIMITE
a

3. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/05/2018
MATEMATICA I 3
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.5
Revisar el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de
Dennis G. Zill, en las páginas 103 a
109 y resolver en el Ejercicio 2.6 del
1 al 16 de la pág. 110.
DEFINICION FORMAL DE LIMITE
a
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.6
TEOREMAS SOBRE LIMITES
1. lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎
2. Si c es una constante entonces para cualquier constante, entonces
para cualquier número “a” lim
𝑥→𝑎
𝑐 = 𝑐
3. Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces para cualquier
número “a”, lim
𝑥→𝑎
(𝑚𝑥 + 𝑏) = 𝑚𝑎 + 𝑏
4. Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑀, entonces lim
𝑥→𝑎
[𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥)] = 𝐿 ± 𝑀
5. Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑀, entonces lim
𝑥→𝑎
[𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥)] = 𝐿. 𝑀
6. Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑀, entonces lim
𝑥→𝑎
[𝑓 𝑥 /𝑔(𝑥)] = 𝐿/𝑀

4. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/05/2018
MATEMATICA I 4
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.7
TEOREMAS SOBRE LIMITES
7. Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 y n es cualquier número entero positivo, entonces
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)] 𝑛 = [lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)] 𝑛 = 𝐿 𝑛
8. Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 y n es cualquier número entero positivo, entonces
lim
𝑥→𝑎
𝑛
𝑓(𝑥) = 𝑛
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) =
𝑛
𝐿 , en el supuesto que L ≥ 0 cuando n es par.
9. Si a > 0 y n es cualquier entero positivo, ó si a ≤ 0, y n es cualquier
entero impar entonces lim
𝑥→𝑎
𝑛
𝑥 = 𝑛
𝑎
10. Si “a” es cualquier número real distinto de cero, entonces ellim
𝑥→𝑎
1
𝑥
=
1
𝑎
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8
TEOREMAS SOBRE LIMITES
11. Si a es un número real, f y g funciones que tienen límite cuando x
tiende a “a”, entonces
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)] 𝑔(𝑥) = [ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)]
lim g(x)
𝑥→𝑎 𝑠𝑖 lim f x > 0
𝑥→𝑎
12. Supongamos que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀𝑥 de cierto entorno reducido 
de “a”. Además se supone que las funciones f(x) y h(x) tienden a un
mismo límite cuando x tiende a “a”
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐿
en tal caso g(x) también tiende a L cuando x tiende a “a”
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿

5. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/05/2018
MATEMATICA I 5
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.9
TEOREMAS SOBRE LIMITES
Resuelva los siguientes límites:
1. lim
𝑥→2
10𝑥 2. lim
𝑥→3
(2𝑥2
+5𝑥 + 3)
3. lim
𝑥→5
3𝑥+5
4𝑥
4. lim
𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 −2
5. lim
ℎ→0
(1−ℎ)2 −1
ℎ
6. lim
𝑥→0
𝑥+4 −2
𝑥
7. lim
𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥2 − 3𝑥 + 2
8. lim
𝑥→4
3 − 𝑥+5
1 − 5−𝑥
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10
EJERCICIOS SOBRE LIMITES
Resuelva los siguientes límites:
1. lim
𝑥→0
3+𝑥 − 3
𝑥
2. lim
ℎ→0
(𝑥+ℎ)3 − 𝑥3
ℎ
3. lim
𝑥→0
𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
4. lim
ℎ→0
(1−ℎ)2 −1
ℎ
5. lim
𝑥→1
3
𝑥 −1
𝑥 −1
6. lim
𝑥→2
4 − 𝑥2
3 − 𝑥2+ 5
7. lim
𝑥→−2
𝑥3+ 3𝑥2+ 2𝑥
𝑥2 − 𝑥 − 6
8. lim
𝑥→0
𝑓 4−𝑥 −𝑓(4)
𝑥
, si f x = 3𝑥2
− 1

6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/05/2018
MATEMATICA I 6
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11
Límite por la derecha
Definición: Sea f una función de variable real que está
definida en todos los números de un intervalo abierto (a,c).
Entonces el límite de f(x) cuando x se aproxima a “a” por la
derecha (es decir a través de valores mayores que a) es L,
entonces L se llama límite por la derecha de f(x) en “a” y se
denota por
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿
Si para cualquier ε > 0, Ǝ δ > 0, tal que |f(x) – L| < ε
siempre que 0 < x – a < δ
a x a
+
LIMITES LATERALES
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12
Límite por la izquierda
Definición: Sea f una función de variable real que está
definida en todos los números de un intervalo abierto (d,a).
Entonces el límite de f(x) cuando x se aproxima a “a” por la
izquierda (es decir a través de valores menores que a) es
L, entonces L se llama límite por la izquierda de f(x) en “a”
y se denota por
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿
Si para cualquier ε > 0, Ǝ δ > 0, tal que |f(x) – L| < ε
siempre que -δ < x – a < 0
x a
-
a
LIMITES LATERALES

7. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/05/2018
MATEMATICA I 7
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13
Teorema:
El 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) existe y es igual a L
si y solo si
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) existe y
son iguales a L.
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿 ↔ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 =
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝐿
LIMITES LATERALES
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14
Grafique y encuentre los límites laterales. Determine si el
límite existe en el valor de x
1. h (x) = 4 − 𝑥2, si x ≤ 1 en x = 1
2 + 𝑥2 , si x > 1
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1+
ℎ 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1+
2 + 𝑥2 = 3
b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1−
ℎ 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1−
4 − 𝑥2 = 3
c) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1+
ℎ 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1−
ℎ 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
ℎ 𝑥 = 3
LIMITES LATERALES

8. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/05/2018
MATEMATICA I 8
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.15
Grafique y encuentre los límites laterales. Determine si el
límite existe en el valor de x
2. g(x) = 𝑥 − 2 , si x > 2 en x = 2
-x , si x ≤ 2
𝑎) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
𝑔 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
𝑥 − 2 = 0
𝑏) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
𝑔 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
-x = −2
𝑐) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
𝑔 𝑥 ≠ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
𝑔 𝑥 ⇒ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑔 𝑥 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
LIMITES LATERALES
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.16
Encuentre los límites laterales y determine si el límite existe en el valor de x
−1, si x < 0 en x = 0
1. f (x) = 0, si x = 0
1, si x > 0
𝑥2 − 2𝑥, si x < 2 en x = 2
2. f (x) = 1, si x = 2
𝑥2 − 6𝑥 + 8, si x > 2
3. lim
𝑥→0
1
3+ 2
1
𝑥
LIMITES LATERALES

9. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/05/2018
MATEMATICA I 9
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.17
Revisar en el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de
Dennis G. Zill, los ejemplos de las
las páginas 70 a 72 y resolver en el
Ejercicio 2.1 del 11 al 18 de las págs.
72 y 73.
LIMITES LATERALES
a
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.18
Definición: Decimos que una función f es
continua en x = a si y solo si
i. f(a) existe
ii. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
iii. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
Si una o más de estas condiciones no se
cumple para x = a, decimos que la función es
discontinua en “a”.
CONTINUIDAD

10. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/05/2018
MATEMATICA I 10
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.19
DISCONTINUIDAD
En cada uno de los siguientes gráficos que se muestran decimos
que existe discontinuidad en x = a
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.20
Discontinuidad removible y discontinuidad esencial
 Si f es una función discontinua en x = a, pero lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
existe, entonces si no se cumple la condición (i) ó no se
cumple la condición (iii) a tal discontinuidad se llama
removible o evitable, ya que redefinimos la función f en
x = a de tal manera que exista y que f(a) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
entonces f se vuelve continua en x = a.
 Si la discontinuidad no es removible se dice que es
esencial. Es decir f de discontinua y lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) no existe.
CONTINUIDAD

11. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/05/2018
MATEMATICA I 11
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.21
TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD
1. Si f y g son funciones continuas en x = a, entonces
i. f ± g es continua en x = a
ii. Si c es una constante , entonces c.f es continua en
x = a
iii. f.g es continua en x = a
iv. f/g es continua en x = a, siempre que g(a) ≠ 0
2. Una función racional, f(x) = g(x)/h(x) es continua en
todo número de su dominio (es decir, para todo valor
excepto los que anulen el denominador).
CONTINUIDAD
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.22
3. Si lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝑏 y si la función f es continua en b,
entonces lim
𝑥→𝑎
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑏)
4. Los siguientes tipos de funciones son continuas en todo
punto de su dominio:
i. Funciones polinomiales
ii. Funciones racionales
iii. Función raíz de cualquier índice
iv. Funciones trigonométricas
v. Funciones trigonométricas inversas
vi. Funciones exponenciales
vii. Funciones logarítmicas.
CONTINUIDAD

12. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/05/2018
MATEMATICA I 12
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.23
Analice la continuidad de las siguientes funciones en el valor
de x
x, si x < 0 en x = 2
1. f (x) = 𝑥2, si 0 ≤ x < 2
x, si x > 2
3 + 𝑥2, si x < -2 en x = -2
2. f (x) = 0, si x = -2
11 − 𝑥2, si x > -2
CONTINUIDAD
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.24
Revisar en el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de
Dennis G. Zill, las páginas 81 a 85 y
resolver en el Ejercicio 2.3 del 25 al
28 de la pág. 87.
CONTINUIDAD
a

13. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/05/2018
MATEMATICA I 13
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.25
BIBLIOGRAFIA
Textos Autor
Año de
Edición
Título
Lugar de
Publicación
Editorial
Básicos Larson-
Hostetler
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Mc. Graw
Hill
Comple-
mentarios
Earl W.
Swokosky
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Dennis G.
Zill
1985 Cálculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Alpha Chiang /
.
1999 Métodos Fundamentales
de
Economía Matemática
España Mc. Graw
Hill
Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua
Jagdish C.
Ayra
Robin. W.
Lardner
2009 Matemáticas Aplicadas a
la Administración y la
economía
México Pearson
Educación
Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes
tempranas
México Mc. Graw
Hill
RJAL
15/05/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.26
MUCHAS GRACIAS
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ