Este documento define los logaritmos y demuestra varias de sus propiedades fundamentales, incluyendo que loga(c*d^h)=loga(c^h)+loga(d^h), que loga(d/c)=-loga(c)-loga(d), y que loga(b^h*c)=h*loga(b).

1. LOGARITMO
Definición
loga
x = b , ab
= x siendo x 2 0 , a ! 1 , a 2 0 se lee logaritmo de x de base a
cuando la base es 10 no se suele poner nada en la base
y cuando la base es e = nº neperiano = 2,718....se escribe Ln
sabemos que a
0
= 1 con a ! 0 ,
por definicion
A
loga
1 = 0
sabemos que a
1
= a ,
por definicion
A
loga
a = 1
demostrar que loga
c.d^ h = loga
c^ h + loga
d^ h siendo c 2 0 , d 2 0 , a 2 0 , a ! 1
sea loga
c.d^ h = e ,
aplicando la def.
A
a
e
= c.d
sea loga
c^ h = h ,
aplicando la def.
A
a
h
= c , loga
d^ h = f ,
aplicando la def.
A
a
f
= d
y como a
e
= c.d , a
e
= a
h
.a
f
= a
h+f
, e = h + f , loga
c.d^ h = loga
c^ h + loga
d^ h
asi queda demostrado que loga
c.d^ h = loga
c^ h + loga
d^ h
demostrar que loga d
c
_ i = loga
c^ h - loga
d^ h siendo c 2 0 , d 2 0 , a 2 0 , a ! 1
sea loga d
c
_ i = e ,
aplicando la def.
A
a
e
=
d
c
sea loga
c^ h = h ,
aplicando la def.
A
a
h
= c , loga
d^ h = f ,
aplicando la def.
A
a
f
= d
y como a
e
=
d
c
, a
e
= a
h
' a
f
= a
h-f
, e = h - f , loga d
c
_ i = loga
c^ h - loga
d^ h
asi queda demostrado que loga d
c
_ i = loga
c^ h - loga
d^ h
** cuidado con loga
c^ hn
! loga
c^ h` j
n
hay bastantes alumnos que lo confunden.
demostrar que loga
b^ hc
= c.loga
b^ h siendo a 2 0 , a ! 1 , b 2 0
sea loga
b^ hc
= w ,
aplicando la def.
A
aw
= bc
1 ; y loga
b^ h = v ,
aplicando la def.
A
av
= b 2
av
= b en el 1 remplazamos b por av
, queda asi a
w
= a
v
^ hc
= a
vc
, w = v.c
w = v.c , loga
b^ hc
= c.loga
b^ h
** Cambio de Base loga
b^ h =
logc
a^ h
logc
b^ h
demostración: supongamos que loga
b^ h = d
2
1 2 344444444 44444444
, logc
b^ h = e
2
1 2 34444444 4444444
, logc
a^ h = f
2
1 2 34444444 4444444
a
d
= b c
e
= b c
f
= a
a
d
= b ,
remplazar b por ce
V
remplazar a por cf
6 7 84444444 4444444
c
f
^ hd
= c
e
, f.d = e , d =
f
e
, loga
b^ h =
logc
a^ h
logc
b^ h
demostrar que loga
b.logb
c = loga
c
utilizando la formula de cambio de base logb
c =
loga
b
loga
c
, loga
b.logb
c = loga
c
BANHAKEIA-TRUSPA LOGARITMO

2. demostrar que alogab
= b
sabemos por def. de log. que a
n
= b 1 , loga
b = n remplazando n porloga
b en el 1
queda alogab
= b
demostrar que alogbc
= clogba
sabemos clogcx
= x entonces clogc a^ hlogb
c
= clogbc.logca
= clogba
demostrar que loga a
1
` j = loga
1 a^ h =- 1
loga a
1
` j = loga
1 - loga
a = 0 - 1 =- 1
loga
1 a^ h =
loga a
1
loga
a
=
-1
1
=- 1
demostrar que loga
b =
logb
a
1
haciendo cambio de base loga
b =
logb
a
logb
b
=
logb
a
1
demostrar que loga c
b
` j =-loga b
c
_ i facil demostrarlo sabiendo
c
b
` j =
b
c
_ i
-1
demostrar que logan
b
m
=
n
m
loga
b
haciendo cambio de base logan
b
m
=
loga
a
n
loga
b
m
=
n.loga
a
m.loga
b
= n
m.loga
b
= n
m
loga
b
demostrar que logan
a
m
=
n
m
haciendo cambio de base logan
a
m
=
n.loga
a
m.loga
a
=
n
m
*** loga
b 1 loga
d , b 1 d si a 2 1
*** loga
b 1 loga
d , b 2 d si 0 1 a 1 1
*** log0+ =-3 *** log +3^ h =+3 recordarlas son muy importantes en los limites
BANHAKEIA-TRUSPA LOGARITMO