Magnetic vortex non-lineal dynamics in magnetic nano-dots

Estudio de la dinámica no lineal de
vórtices magnéticos en nano-dots
Autor:
Juan Alfonso Valero Lancho
Tutor:
D.Rafael Hernández Heredero

Introducción
 Vórtice magnético:
fenómeno encuadrado
en el nanomagnetismo.
 Estudio del modelado
matemático de la
dinámica no lineal.

Introducción a los sistemas
dinámicos
 Múltiples definiciones Problema de
valor inicial.
X = {x : x es un estado del sistema dinámico}
 Espacio de estados o de fases abstracto,
cuyas coordenadas describen el estado en
cualquier instante y existe una regla dinámica
que especifica el valor futuro inmediato de
todas las variables de estado a partir del
valor actual de las mismas.

dinámicos
 Definición matemática: un sistema
dinámico suave en Rn es una función
continua y diferenciable Φ:RxRn→Rn (flujo) en
el que denotando Φ(t,X)= Φt(X) satisface:
 1. Φ0:Rn→Rn es la función identidad:
Φ0(X0)=X0.
 2. Ley de composición: Φt ○Φs= Φt+s, para
todo t,s ϵ R.
 El mapa Φt: Rn→Rn es de tipo C1 para cada t
y tiene inversa Φ-t también de tipo C1.

dinámicos
 Teoría de bifurcaciones
 Cuando ϕt (o el campo vectorial derivado) depende de un
parámetro μ, la estructura del espacio de fases dependerá
también de este parámetro cambios cualitativos de
comportamiento.
 Kuznetsov: bifurcación cuando el sistema cambia de
comportamiento, es decir el diagrama de fases del sistema será
topológicamente equivalente hasta un cierto valor crítico del
parámetro μ, para el que se produce la bifurcación.
 Permite comprender el comportamiento dinámico de los
sistemas y caracterizarlo en función del valor de estos
parámetros.

dinámicos
 Clasificación de sistemas planos lineales
En función de los autovalores λ / AV0= λV0
 Si A tiene dos autovalores reales λ1 y λ2 no nulos.
X’=AX
X
dc
ba
X 





'







2
11
0
0


ATT
λ1<0<λ2. Silla 0<λ1<λ2. Fuente λ1<λ2<0. Sumidero

dinámicos
 Clasificación de sistemas planos lineales
En función de los autovalores, det A y tr A
X’=AX
AtrAtrA det4)((
2
1 2


dinámicos
 Sistema dinámico. X’=F(t,X)
 Punto de equilibrio: vector X0
para el que F(X0)=0
 Sistema autónomo: si ninguna de las fi
depende de t. X’=F(X)
 Diagrama de fase: representación del
conjunto de soluciones.
 Ceroclinas (“nullclines”): puntos tales que
fi(t,x1,…,xn)=0











),...,,(
...
),...,,(
),(
1
11
nn
n
xxtf
xxtf
XtF

Introducción a los vórtices
magnéticos
 Ordenaciones de espín que dan lugar a una
imanación espontánea
 Formación de vórtices magnéticos

magnéticos
 Estados del vórtice en dots circulares de permalloy
a b c d
 (a), (b) quiralidad a la derecha. (c), (d) quiralidad a la izquierda.
(a), (d) polaridad positiva. (b), (c) polaridad negativa.
 Quiralidad: relacionada con el giro (“lateralidad” izquierda o
derecha).
• Núcleo: apuntar
arriba o abajo.
• Giro: sentido
horario o anti-
horario

magnéticos
 Dinámica del núcleo del vórtice ->al aplicar un campo
magnético externo
Movimiento del núcleo del vórtice
0)('"
^
 XWXGXM X
• X: coordenada del núcleo del vórtice
• W(X): energía del vórtice desplazado desde
su posición de equilibrio en el centro del dot.
• M: tensor que representa la masa del vórtice
(generalmente se desprecia)
)(80  FMS
Frecuencia de resonancia de la oscilación del núcleo del vórtice

Desarrollo del proyecto
 Sistema de ecuaciones dinámico del movimiento del
núcleo del vórtice

 u
u
d
u
h
u  sin02
0
udhu )(cos0  

Parámetro Significado
ϕ
Desfase de la posición del núcleo del vórtice
respecto al campo externo aplicado.
u
Módulo del vector posición del núcleo del
vórtice
ω
Frecuencia de oscilación del campo magnético
externo aplicado h(t)=h0eiωt
ω0
Frecuencia de resonancia del núcleo del
vórtice
d Coeficiente de amortiguamiento
h0
Amplitud del campo magnético externo
aplicado h(t)=h0eiωt
β Constante
 )(
)()( tti
etutZ  

Ecuaciones
Vector posición núcleo
vórtice suponiendo
movimiento instantáneo
circular
• u(t) radio órbita
• Φ(t) desfase respecto
campo externo

 Operando con el sistema
 Puntos estacionarios
  







0
2
202
1
sincos
1
1
 u
u
dh
d
    uuddh
d
u 0
2
02
sincos
1
1
 



   )sin1()(2)(
1
1
)(' 0
2
0
2
0
2
02
2
 

 uuhuuh
d
tZ
Módulo cuadrado vector velocidad
Forma equivalente sistema

 0,0/),( 00  uu h0
2
= dw2
u2
+ (-w +w0 +bu2
)uéë ùû
2
h0
2
= (d2
w2
+w2
+w0
2
-2ww0 )u2
+b2
u6
+2b(w0 -w)u4
f (x)= x3
-2nx2
+(n2
+m2
)x -l2
= 0 n =
w -w0
b
,m =
dw
b
,l =
h0
b
Polinomio cúbico
D = -4m2
(n2
+m2
)2
+4n3
l2
+36m2
nl2
-27l4
Discriminante
Una, dos o tres soluciones según ω0  d3- 0  Una solución para cada valor de h0

 Intervalos con una o tres soluciones. Inecuaciones.
        


 


 
32222222
0
3222222
39
27
2
39
27
2




dvdvhdvdv
β>0
        


 


 
32222222
0
3222222
39
27
2
39
27
2




dvdvhdvdv β<0

 Código desarrollado para la resolución del sistema
Módulos Módulo Función
mySystem Contiene una función con la representación del
sistema de ecuaciones
ode_solver Calcula y representa la solución del sistema
definido en mySystem
fft_calculation Calcula y representa el módulo al cuadrado del
vector del sistema y el espectro en frecuencia, a
través de la transformada rápida de Fourier (FFT)
roots_calculation_vary_w Calcula y representa la evolución de las soluciones
reales del sistema al variar ω
roots_calculation_vary_ho Calcula y representa la evolución de las soluciones
reales del sistema al variar h0
ho_intervals Representa las inecuaciones para un valor dado de
β
ho_intervals_log Representa las inecuaciones en forma logarítmica
para un valor dado de β

 Representación radio frente a ω   2
0
22222
0
2
huwduu  
ω=1.4ω0 ω=1.2ω0 ω=1.04ω0
β=4ω0>0

 Soluciones variando h0   2
0
22222
0
2
h0=0.002ω0 h0=0.03ω0h0=0.012ω0
β=4ω0>0

 Soluciones variando ω   2
0
22222
0
2
ω=0.96ω0
ω=0.5ω0ω=0.9ω0
β=-4ω0<0 ω=0.05ω0

 Soluciones variando h0
  2
0
22222
0
2
h0=0.002ω0
h0=0.03ω0h0=0.012ω0
β=-4ω0<0

 Representación de soluciones al variar h0 y ω
 Primero reproducción de resultados previos con β>0
Valores para β = 4ω0
ω0=2π*250
d=0.03
β=4ω0
h0=0.01ω0
ω=1.04ω0
ω=1.2ω0
ω=1.4ω0

 Estudio de casos con β<0
Valores para β = -4ω0
ω0=2π*250
d=0.03
β=4ω0
h0=0.002ω0
ω=0.05ω0
ω=0.102145ω0
ω=0.5ω0
ω=0.9ω0
ω=0.14ω0
Órbita
periódica y
zona de escape

ω0=2π*250
d=0.03
β=4ω0
h0=0.005ω0
ω=0.05ω0
ω=0.5ω0
ω=0.9ω0

ω0=2π*250
d=0.03
β=4ω0
h0=0.02ω0
ω=0.05ω0
ω=0.5ω0
ω=0.53ω0
ω=0.9ω0

Conclusiones
 Resultados:
 Diferente comportamiento para β positivo y
negativo: creación de zona de escape y
región con dos equilibrios estables muy
pequeña en comparación con β positiva.
 El uso de β negativo podría explicar la
tendencia del vórtice a escapar del dot
según algunos resultados [3].

Bibliografía
[1] Konstantin Y. Guslienko, Rafael Hernández Heredero y Oksana
Chubykalo-Fesenko “Nonlinear gyrotropic vortex dynamics in
ferromagnetic dots”, Physical Review B 82, 014402 (2010).
[2] D.Rafael Hernández Heredero, “Apuntes de la asignatura Sistemas de
Ecuaciones Diferenciales No Lineales: Simetrías y Aplicaciones”,
correspondiente al máster en Sistemas y Servicios Accesibles para la
Sociedad de la Información.
[3] “A. Lyberatos, S. Komineas, and N. Papanicolaou, Processing vortices
and
antivortices in ferromagnetic Elements”, Journal of applied physics 109, 2
Article
Number: 023911 ( 2011 ).
[4] Smale,Hirsch and Devaney , “Differential Equations,Dynamical
Systems, And an Introduction to Chaos”. McGraw-Hill (2004).

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