La longitud de un arco de una curva se define como el límite de la suma de las longitudes de cuerdas consecutivas a medida que el número de puntos entre ellas aumenta indefinidamente y la longitud de cada cuerda tiende a cero. La fórmula para calcular la longitud de un arco definido paramétricamente o explícitamente en términos de funciones continuas se presenta. Se solicita calcular la longitud y área de varias curvas.

1. Longitud de un Arco
La longitud de un arco AB de una curva es por definición el límite de la suma de las
longitudes de un conjunto de cuerdas consecutivas AP1, P1P2,....,Pn-1B, que une puntos
del arco, cuando el número de puntos crece indefinidamente de forma tal que la
longitud de cada cuerda tiende a cero.
Si A(a,f(a)) y B(b,f(b)) son dos puntos sobre la curva y = f(x), donde f(x) y su
derivada f '(x) son continuas en el intervalo [a,b], la longitud del arco AB viene dada
por:
Análogamente, si A(x(t1),y(t1)) y B(x(t2),y(t2)) son dos puntos de una curva definida
paramétricamente por las ecuaciones x = x(t), y = y (t) y si se satisfacen condiciones
de continuidad, la longitud del arco AB viene dada por:
1) Calcular la longitud del arco de la curva entre x = 0 y x =4.
2) Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto
limitado por las gráficas de y = 2x −x2
, y = −x + 2.
3) Calcular el área limitada por la curva y2
= x4
(4 + x).
4) Calcular el área limitada por la curva x4
− ax3
+ b2
y2
= 0.
5) Calcular el área limitada por la curva x = (y2
+ x)2
.
6) Calcular el área encerrada por la curva
  dxxfL
b
ax
C 

2
)(1
    dttytxL
t
tt
C 

2
1
22
)()(
3
xy 
 22
2
2
2
xa
a
x
y 