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7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 19
• Físico. Máster en Física Teórica
(UDN, Moscú). Magister en
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Santiago).
• 30 años de experiencia docente;
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URP.
• Autor de libros de CTA para
secundaria.
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Vectores en el espacio

  • 1. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados FÍSICA Para Ingeniería FÍSICA I VECTORES (ESPACIO) 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 1
  • 2. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados CONTENIDO o Representación por componentes de un vector en el espacio o Cosenos directores 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 2
  • 3. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados Vector: representación por componentes (2a) • El vector, si está en el origen, puede representarse mediante las coordenadas de su extremo final. 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 3 x 6 5 𝑟 y (5, 6, 4) 0 z 4 𝑟 = (5, 6, 4) 5 – componente 𝑥 de 𝑟 6 – componente 𝑦 de 𝑟 4 – componente 𝑧 de 𝑟
  • 4. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados Vector: representación por coordenadas (2b) • Si no está en el origen, el vector también puede representarse mediante la diferencia de las coordenadas de sus extremos. 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 4 x 6 𝑟 𝑟 = (6, 3, 4) (8, 6, 9) 0 (2, 3, 5) y (-) z
  • 5. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados Vector. Cálculo del módulo, conocidas las componentes • Se halla el módulo aplicando dos veces el teorema de Pitágoras. 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 5 𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑥 𝑟 𝑦 𝑟 = 𝑟𝑥 2 + 𝑟𝑦 2 + 𝑟𝑧 2 𝑧 𝑟𝑧
  • 6. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados Vector. Cálculo de la dirección conocidas las componentes • La dirección puede hallarse con ayuda de la función tangente. 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 6 𝛼 𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑥 𝑟 𝑦 𝑧 𝑟𝑧 𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑟𝑦 𝑟 𝛾 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑟𝑧 𝑟 𝛽 𝛾 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑟𝑥 𝑟
  • 7. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados Ejercicio • Calcular los ángulos de los cosenos directores del siguientes vector: 𝐴 = (3, 4, −1) • Solución • El módulo del vector es 𝐴 = 3 2 + 4 2 + −1 2 = 5,1 • Los ángulos son, 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1 3 5,1 = 54,0° 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1 4 5,1 = 38,3° 𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1 −1 5,1 = 101,3° 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 7
  • 8. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados ¿Cómo calcular el coseno inverso (𝒄𝒐𝒔−𝟏 )? 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 8
  • 9. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados Vector unitario ( 𝑢) • Es aquel vector que se caracteriza porque su módulo es la unidad e indica una dirección determinada. 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 9 1 2 3 4 5 6 𝐴𝐴 = 6 𝑢 6 𝑒𝑠 𝐴como 𝑢 = 𝐴 6 𝑢 = 𝐴 𝐴 𝑢 =1
  • 10. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados Vectores unitarios famosos … • Son tres: 𝑖, 𝑗 y 𝑘, los cuales señalan la dirección positiva de los ejes 𝑥, 𝑦 y 𝑧 respectivamente. 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 10 x𝑖0 y z 𝑗 𝑘
  • 11. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados Solución Representación de vectores mediante vectores unitarios • Represente el vector 𝐴 = (4, −3). • Represente el vector 𝐵 = (3, −1, 5). Respuestas 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 11 𝐴 = 4 𝑖 − 3 𝑗 𝐵 = 3 𝑖 − 𝑗 + 5 𝑘
  • 12. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados Solución Resultante de vectores representados con vectores unitarios • Calcule la resultante de los siguientes vectores: 𝐴 = 2 𝑖 + 5 𝑗 − 2 𝑘 𝐵 = 3 𝑖 − 𝑗 + 5 𝑘 Respuesta El vector resultante o suma se los vectores 𝐴 y 𝐵 es 𝑅 = 5 𝑖 + 4 𝑗 + 3 𝑘 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 12 𝑅 = 5 𝑖 + 4 𝑗 + 3 𝑘
  • 13. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados Ejercicio N° 2 • Escriba los vectores mediante vectores unitarios. 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 13 𝐴𝐵 𝐶
  • 14. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados Ejercicio 3 • Escriba los vectores mediante vectores unitarios. 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 14 y x 𝑟1 3; 5 𝑟2 9; 6 Solución
  • 15. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados Ejercicio N° 3 • Calcule el vector resultante expresado mediante vectores unitarios. 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 15 𝐴𝐵 𝐶 Solución
  • 16. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados Solución Ejercicio N°1 • Determine los ángulos de los cosenos directores de los siguientes vectores: 𝐴 = 2 𝑖 + 3 𝑗 − 2 𝑘 y 𝐵 = (3, 2, −4) 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 16
  • 17. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados Ejercicio N°4 • Calcule el módulo del vector resultante expresado en vectores unitarios. 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 17 1 3 5 −9 −5 2 0 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 y −5 x Solución
  • 18. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados Solución Ejercicio N°5 • Halle el vector resultante expresado en vectores unitarios. 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 18 0 𝐴 = 6 𝐵 = 4 𝐶 = 6 𝐷 = 4 y x Solución 37° 225° 120° −53°
  • 19. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados Mg. Yuri Milachay Vicente 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 19 • Físico. Máster en Física Teórica (UDN, Moscú). Magister en docencia universitaria (UAB, Santiago). • 30 años de experiencia docente; UNE, UPCH, EOFAP, UPC, UPN, URP. • Autor de libros de CTA para secundaria. • Universidad de la Amistad de los Pueblos
  • 20. http://tareas911.wordpress.com © Derechos reservados • Recuerda que si se conoce la dirección (ángulo, 𝜃) y el módulo (𝐴), las componentes son iguales a: 𝐴 𝑥 = 𝐴. cos 𝜃 𝐴 𝑦 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 20