Vectores en el espacio

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FÍSICA
Para
Ingeniería
FÍSICA I
VECTORES (ESPACIO)
7/21/2016 Yuri Milachay / Universidad / Física I 1

CONTENIDO
o Representación por
componentes de un vector
en el espacio
o Cosenos directores

Vector: representación por
componentes (2a)
• El vector, si está en el origen,
puede representarse mediante las
coordenadas de su extremo
final.
x
6
5
𝑟
y
(5, 6, 4)
0
z
4
𝑟 = (5, 6, 4)
5 – componente 𝑥 de 𝑟
6 – componente 𝑦 de 𝑟
4 – componente 𝑧 de 𝑟

Vector: representación por
coordenadas (2b)
• Si no está en el origen, el vector
también puede representarse
mediante la diferencia de las
coordenadas de sus extremos.
x
6
𝑟
𝑟 = (6, 3, 4)
(8, 6, 9)
0
(2, 3, 5)
y
(-)
z

Vector. Cálculo del módulo,
conocidas las componentes
• Se halla el módulo aplicando dos
veces el teorema de Pitágoras.
𝑥
𝑟𝑦
𝑟𝑥
𝑟
𝑦
𝑟 = 𝑟𝑥
2
+ 𝑟𝑦
2
+ 𝑟𝑧
2
𝑧
𝑟𝑧

Vector. Cálculo de la
dirección conocidas las
componentes
• La dirección puede hallarse con
ayuda de la función tangente.
𝛼 𝑥
𝑟𝑦
𝑟𝑥
𝑟
𝑦
𝑧
𝑟𝑧
𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠
𝑟𝑦
𝑟
𝛾 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠
𝑟𝑧
𝑟
𝛽
𝛾
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠
𝑟𝑥
𝑟

Ejercicio
• Calcular los ángulos de los cosenos
directores del siguientes vector:
𝐴 = (3, 4, −1)
• Solución
• El módulo del vector es
𝐴 = 3 2 + 4 2 + −1 2 = 5,1
• Los ángulos son,
𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1
3
5,1
= 54,0°
𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1
4
5,1
= 38,3°
𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1
−1
5,1
= 101,3°

¿Cómo calcular el coseno
inverso (𝒄𝒐𝒔−𝟏
)?

Vector unitario ( 𝑢)
• Es aquel vector que se caracteriza
porque su módulo es la unidad e
indica una dirección determinada.
1
2
3
4
5
6
𝐴𝐴 = 6 𝑢
6 𝑒𝑠 𝐴como
𝑢 =
𝐴
6
𝑢 =
𝐴
𝐴
𝑢 =1

Vectores unitarios famosos
…
• Son tres: 𝑖, 𝑗 y 𝑘, los cuales
señalan la dirección positiva de los
ejes 𝑥, 𝑦 y 𝑧 respectivamente.
x𝑖0
y
z
𝑗
𝑘

Solución
Representación de vectores
mediante vectores unitarios
• Represente el vector 𝐴 =
(4, −3).
• Represente el vector 𝐵 =
(3, −1, 5).
Respuestas
𝐴 = 4 𝑖 − 3 𝑗
𝐵 = 3 𝑖 − 𝑗 + 5 𝑘

Solución
Resultante de vectores
representados con vectores
unitarios
• Calcule la resultante de los
siguientes vectores:
𝐴 = 2 𝑖 + 5 𝑗 − 2 𝑘
𝐵 = 3 𝑖 − 𝑗 + 5 𝑘
Respuesta
El vector resultante o suma se los
vectores 𝐴 y 𝐵 es
𝑅 = 5 𝑖 + 4 𝑗 + 3 𝑘
𝑅 = 5 𝑖 + 4 𝑗 + 3 𝑘

Ejercicio N° 2
• Escriba los vectores mediante
vectores unitarios.
𝐴𝐵
𝐶

Ejercicio 3
• Escriba los vectores mediante
vectores unitarios.
y
x
𝑟1 3; 5
𝑟2 9; 6
Solución

Ejercicio N° 3
• Calcule el vector resultante
expresado mediante vectores
unitarios.
𝐴𝐵
𝐶
Solución

Solución
Ejercicio N°1
• Determine los ángulos de los
cosenos directores de los
siguientes vectores:
𝐴 = 2 𝑖 + 3 𝑗 − 2 𝑘 y
𝐵 = (3, 2, −4)

Ejercicio N°4
• Calcule el módulo del vector
resultante expresado en
vectores unitarios.
1 3
5
−9
−5
2
0
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
y
−5
x
Solución

Solución
Ejercicio N°5
• Halle el vector resultante
expresado en vectores
unitarios.
0
𝐴 = 6
𝐵 = 4
𝐶 = 6
𝐷 = 4
y
x
Solución
37°
225°
120°
−53°

Mg. Yuri Milachay Vicente
• Físico. Máster en Física Teórica
(UDN, Moscú). Magister en
docencia universitaria (UAB,
Santiago).
• 30 años de experiencia docente;
UNE, UPCH, EOFAP, UPC, UPN,
URP.
• Autor de libros de CTA para
secundaria.
• Universidad de la Amistad de los Pueblos

• Recuerda que si se conoce la
dirección (ángulo, 𝜃) y el módulo
(𝐴), las componentes son iguales a:
𝐴 𝑥 = 𝐴. cos 𝜃
𝐴 𝑦 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝜃

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