Este documento presenta un ejemplo de programación lineal para minimizar los costos de transporte de motores desde tres puertos (Ámsterdam, Amberes y El Havre) a cuatro plantas de ensamble en Europa. Se define un modelo matemático con variables para las cantidades transportadas entre cada origen y destino, sujeto a restricciones de capacidad en los puertos y demanda en las plantas. El objetivo es minimizar la suma de los costos de transporte entre todos los orígenes y destinos.

1. Linear Programming.
Gerardo Edgar Mata Ortiz
𝒙 𝑨𝟏, 𝒙 𝑨𝟐, … 𝒙 𝑪𝟒
A
B
C
1
2
3
4

2. Page  2
Linear Programming. Example 10.
¿Qué es programación Lineal?
Es un método para obtener el producto óptimo con
base en un modelo matemático en el que todas las
relaciones entre variables y constantes pueden
expresarse linealmente.
Puede ser en el plano xy, en el espacio xyz, o
incluso en dimensiones mayores que no se pueden
graficar.

3. Page  3
Ejemplo 10. Primera parte.
VAM tiene cuatro plantas de montaje en
Europa: Leipzig, Alemania (1); Nancy, Francia
(2); Lieja, Bélgica (3); y Tilburg, Países Bajos
(4). Los motores empleados por estas plantas
se fabrican en EEUU, se embarcan a los
puertos de Ámsterdam (A); Amberes (B) y El
Havre (C) y de allí se transportan a las plantas
de ensamblado.

4. Page  4
Ejemplo 10. Segunda parte.
Con base en los planes de producción,
sabemos que se requieren 400 motores en
Leipzig, 900 en Nancy, 200 en Lieja y 500 en
Tilburg. Las cantidades disponibles en cada
puerto son: Ámsterdam 500, Amberes 700 y
El Havre 800.

5. Page  5
Ejemplo 10. Tercera parte.
Los costos de transportación de un motor
entre destinos se muestran en la siguiente
tabla:
Del origen
Al destino
Leipzig Nancy Lieja Tilburg
Ámsterdam 120 130 41 62
Amberes 61 40 100 110
El Havre 102.5 90 122 42

6. Page  6
Ejemplo 10. Tercera parte.
Plantea un modelo de programación lineal
para minimizar el costo de transporte de los
motores necesarios desde los puertos a las
plantas.

7. Page  7
Ejemplo 10. Análisis de la información.
Después de una lectura superficial del problema es
necesario leerlo nuevamente con mayor atención.
En la segunda lectura trataremos de organizar la
información.
En este problema las variables no están claramente
definidas, es necesario identificarlas y nombrarlas,
para ello se emplea el diagrama siguiente.

8. Page  8
Ejemplo 10. Obtener las variables.
A
B
C
1
2
3
4

9. Page  9
Ejemplo 10. Obtener las variables.
𝑥 𝐴1 = Á𝑚𝑠𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑚 − 𝐿𝑒𝑖𝑝𝑧𝑖𝑔
𝑥 𝐴2 = Á𝑚𝑠𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑚 − 𝑁𝑎𝑛𝑐𝑦
𝑥 𝐴3 = Á𝑚𝑠𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑚 − 𝐿𝑖𝑒𝑗𝑎
𝑥 𝐴4 = Á𝑚𝑠𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑚 − 𝑇𝑖𝑙𝑏𝑢𝑟𝑔
𝑥 𝐵1 = 𝐴𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑠 − 𝐿𝑒𝑖𝑝𝑧𝑖𝑔
𝑥 𝐵2 = 𝐴𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑠 − 𝑁𝑎𝑛𝑐𝑦
𝑥 𝐵3 = 𝐴𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑠 − 𝐿𝑖𝑒𝑗𝑎
𝑥 𝐵4 = 𝐴𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑠 − 𝑇𝑖𝑙𝑏𝑢𝑟𝑔
𝑥 𝐶1 = 𝐸𝑙 𝐻𝑎𝑣𝑟𝑒 − 𝐿𝑒𝑖𝑝𝑧𝑖𝑔
𝑥 𝐶2 = 𝐸𝑙 𝐻𝑎𝑣𝑟𝑒 − 𝑁𝑎𝑛𝑐𝑦
𝑥 𝐶3 = 𝐸𝑙 𝐻𝑎𝑣𝑟𝑒 − 𝐿𝑖𝑒𝑗𝑎
𝑥 𝐶4 = 𝐸𝑙 ℎ𝑎𝑣𝑟𝑒 − 𝑇𝑖𝑙𝑏𝑢𝑟𝑔
A
B
C
1
2
3
4

10. Page  10
Ejemplo 10. Recomendaciones.
En este caso el uso de la tabla que
generalmente se emplea podría resultar más
confuso que útil.
Es preferible seguir otra estrategia: Dadas las
condiciones del problema se recurre a la
obtención directa del modelo a partir de la
lectura cuidadosa del problema y la
identificación de las variables realizada.

11. Page  11
Ejemplo 10. Motores requeridos.
Se requieren 400 motores en Leipzig (1), 900 en
Nancy (2), 200 en Lieja (3) y 500 en Tilburg (4).
𝒙 𝑨𝟏 + 𝒙 𝑩𝟏 + 𝒙 𝑪𝟏 ≥ 𝟒𝟎𝟎
𝒙 𝑨𝟐 + 𝒙 𝑩𝟐 + 𝒙 𝑪𝟐 ≥ 𝟗𝟎𝟎
𝒙 𝑨𝟑 + 𝒙 𝑩𝟑 + 𝒙 𝑪𝟑 ≥ 𝟐𝟎𝟎
𝒙 𝑨𝟒 + 𝒙 𝑩𝟒 + 𝒙 𝑪𝟒 ≥ 𝟓𝟎𝟎
A
B
C
1
2
3
4

12. Page  12
Ejemplo 10. Motores requeridos.
Las cantidades disponibles en cada puerto son:
Ámsterdam 500, Amberes 700 y El Havre 800.
𝒙 𝑨𝟏 + 𝒙 𝑨𝟐 + 𝒙 𝑨𝟑 + 𝒙 𝑨𝟒 ≤ 𝟓𝟎𝟎
𝒙 𝑩𝟏 + 𝒙 𝑩𝟐 + 𝒙 𝑩𝟑 + 𝒙 𝑩𝟒 ≤ 𝟕𝟎𝟎
𝒙 𝑪𝟏 + 𝒙 𝑪𝟐 + 𝒙 𝑪𝟑 + 𝒙 𝑪𝟒 ≤ 𝟖𝟎𝟎
A
B
C
1
2
3
4

13. Page  13
Ejemplo 10. Función objetivo: Minimizar costo.
A
B
C
1
2
3
4
Se desea minimizar la suma
de los costos de transporte
desde los puertos hasta las
plantas de ensamble.

14. Page  14
Ejemplo 10. Función objetivo: Minimizar costo.
A
B
C
1
2
3
4
Esta expresión representa el costo
de transportar los motores desde
Ámsterdam hasta las 4 plantas.
𝟏𝟐𝟎𝒙 𝑨𝟏 + 𝟏𝟑𝟎𝒙 𝑨𝟐 + 𝟒𝟏𝒙 𝑨𝟑 + 𝟔𝟐𝒙 𝑨𝟒

15. Page  15
Ejemplo 10. Función objetivo: Minimizar costo.
A
B
C
1
2
3
4
Esta expresión representa el costo
de transportar los motores desde
Amberes hasta las 4 plantas.
𝟔𝟏𝒙 𝑩𝟏 + 𝟒𝟎𝒙 𝑩𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝒙 𝑩𝟑 + 𝟏𝟏𝟎𝒙 𝑩𝟒

16. Page  16
Ejemplo 10. Función objetivo: Minimizar costo.
A
B
C
1
2
3
4
Esta expresión representa el costo
de transportar los motores desde El
Havre hasta las 4 plantas.
𝟏𝟎𝟐. 𝟓𝒙 𝑪𝟏 + 𝟗𝟎𝒙 𝑪𝟐 + 𝟏𝟐𝟐𝒙 𝑪𝟑 + 𝟒𝟐𝒙 𝑪𝟒

17. Page  17
Ejemplo 10. Función objetivo: Minimizar costo.
𝟏𝟐𝟎𝒙 𝑨𝟏 + 𝟏𝟑𝟎𝒙 𝑨𝟐 + 𝟒𝟏𝒙 𝑨𝟑 + 𝟔𝟐𝒙 𝑨𝟒
𝟔𝟏𝒙 𝑩𝟏 + 𝟒𝟎𝒙 𝑩𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝒙 𝑩𝟑 + 𝟏𝟏𝟎𝒙 𝑩𝟒
𝟏𝟎𝟐. 𝟓𝒙 𝑪𝟏 + 𝟗𝟎𝒙 𝑪𝟐 + 𝟏𝟐𝟐𝒙 𝑪𝟑 + 𝟒𝟐𝒙 𝑪𝟒
𝒛 =
+
+
A
B
C
1
2
3
4
La función objetivo es la suma de las tres expresiones
anteriores.

18. Page  18
Ejemplo 10. Función objetivo: Minimizar costo.
𝒛 = 𝟏𝟐𝟎𝒙 𝑨𝟏 + 𝟏𝟑𝟎𝒙 𝑨𝟐 + 𝟒𝟏𝒙 𝑨𝟑 + 𝟔𝟐𝒙 𝑨𝟒 + 𝟔𝟏𝒙 𝑩𝟏 + 𝟒𝟎𝒙 𝑩𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝒙 𝑩𝟑 + 𝟏𝟏𝟎𝒙 𝑩𝟒 + 𝟏𝟎𝟐. 𝟓𝒙 𝑪𝟏 + 𝟗𝟎𝒙 𝑪𝟐 + 𝟏𝟐𝟐𝒙 𝑪𝟑 + 𝟒𝟐𝒙 𝑪𝟒
La función objetivo, completa, queda como se muestra:
Un poco más grande, aunque en varios renglones:
𝒛 = 𝟏𝟐𝟎𝒙 𝑨𝟏 + 𝟏𝟑𝟎𝒙 𝑨𝟐 + 𝟒𝟏𝒙 𝑨𝟑 + 𝟔𝟐𝒙 𝑨𝟒 +
𝟔𝟏𝒙 𝑩𝟏 + 𝟒𝟎𝒙 𝑩𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝒙 𝑩𝟑 + 𝟏𝟏𝟎𝒙 𝑩𝟒 +
𝟏𝟎𝟐. 𝟓𝒙 𝑪𝟏 + 𝟗𝟎𝒙 𝑪𝟐 + 𝟏𝟐𝟐𝒙 𝑪𝟑 + 𝟒𝟐𝒙 𝑪𝟒

19. Page  19
Ejemplo 10. Modelo Completo A
B
C
1
2
3
4
Minimizar:
Sujeto a las siguientes restricciones (*incógnitas no negativas):
𝒛 = 𝟏𝟐𝟎𝒙 𝑨𝟏 + 𝟏𝟑𝟎𝒙 𝑨𝟐 + 𝟒𝟏𝒙 𝑨𝟑 + 𝟔𝟐𝒙 𝑨𝟒 +
𝟔𝟏𝒙 𝑩𝟏 + 𝟒𝟎𝒙 𝑩𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝒙 𝑩𝟑 + 𝟏𝟏𝟎𝒙 𝑩𝟒 +
𝟏𝟎𝟐. 𝟓𝒙 𝑪𝟏 + 𝟗𝟎𝒙 𝑪𝟐 + 𝟏𝟐𝟐𝒙 𝑪𝟑 + 𝟒𝟐𝒙 𝑪𝟒
𝒙 𝑨𝟏 + 𝒙 𝑩𝟏 + 𝒙 𝑪𝟏 ≥ 𝟒𝟎𝟎
𝒙 𝑨𝟐 + 𝒙 𝑩𝟐 + 𝒙 𝑪𝟐 ≥ 𝟗𝟎𝟎
𝒙 𝑨𝟑 + 𝒙 𝑩𝟑 + 𝒙 𝑪𝟑 ≥ 𝟐𝟎𝟎
𝒙 𝑨𝟒 + 𝒙 𝑩𝟒 + 𝒙 𝑪𝟒 ≥ 𝟓𝟎𝟎
𝒙 𝑨𝟏 + 𝒙 𝑨𝟐 + 𝒙 𝑨𝟑 + 𝒙 𝑨𝟒 ≤ 𝟓𝟎𝟎
𝒙 𝑩𝟏 + 𝒙 𝑩𝟐 + 𝒙 𝑩𝟑 + 𝒙 𝑩𝟒 ≤ 𝟕𝟎𝟎
𝒙 𝑪𝟏 + 𝒙 𝑪𝟐 + 𝒙 𝑪𝟑 + 𝒙 𝑪𝟒 ≤ 𝟖𝟎𝟎

20. Page  20
Ejemplo 10. Solución empleando Excel Solver.
tino: Leipzig Nancy Lieja Tilburg Leipzig Nancy Lieja Tilburg Leipzig Nancy Lieja Tilburg Cantidad de
xA1 xA2 xA3 xA4 xB1 xB2 xB3 xB4 xC1 xC2 xC3 xC4 de recursos
1 1 1 400
1 1 1 900
1 1 1 200
1 1 1 500
1 1 1 1 500
1 1 1 1 700
1 1 1 1 800
Maximizar
120 130 41 62 61 40 100 110 102.5 90 122 42 121450
300 0 200 0 0 700 0 0 100 200 0 500
Leipzig Nancy Lieja Tilburg Leipzig Nancy Lieja Tilburg Leipzig Nancy Lieja Tilburg Recursos Restricciones de
xA1 xA2 xA3 xA4 xB1 xB2 xB3 xB4 xC1 xC2 xC3 xC4 Empleados recursos
300 0 0 0 0 0 0 0 100 0 0 0 400 ≥ 400
0 0 0 0 0 700 0 0 0 200 0 0 900 ≥ 900
0 0 200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 200 ≥ 200
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 500 500 ≥ 500
300 0 200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 500 ≤ 500
0 0 0 0 0 700 0 0 0 0 0 0 700 ≤ 700
0 0 0 0 0 0 0 0 100 200 0 500 800 ≤ 800
Origen: Ámsterdam Origen: Amberes Origen: El Havre
Origen: Ámsterdam Origen: Amberes Origen: El Havre

21. Page  21
Ejemplo 10. Solución empleando Excel Solver.
Destino: Leipzig Nancy Lieja Tilburg Leipzig Nancy Lieja Tilburg Leipzig Nancy Lieja Tilburg Cantidad de
xA1 xA2 xA3 xA4 xB1 xB2 xB3 xB4 xC1 xC2 xC3 xC4 de recursos
1 1 1 400
1 1 1 900
1 1 1 200
1 1 1 500
am 1 1 1 1 500
es 1 1 1 1 700
e 1 1 1 1 800
Maximizar
120 130 41 62 61 40 100 110 102.5 90 122 42 121450
300 0 200 0 0 700 0 0 100 200 0 500
Leipzig Nancy Lieja Tilburg Leipzig Nancy Lieja Tilburg Leipzig Nancy Lieja Tilburg Recursos Res
xA1 xA2 xA3 xA4 xB1 xB2 xB3 xB4 xC1 xC2 xC3 xC4 Empleados
300 0 0 0 0 0 0 0 100 0 0 0 400 ≥
0 0 0 0 0 700 0 0 0 200 0 0 900 ≥
0 0 200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 200 ≥
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 500 500 ≥
am 300 0 200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 500 ≤
es 0 0 0 0 0 700 0 0 0 0 0 0 700 ≤
e 0 0 0 0 0 0 0 0 100 200 0 500 800 ≤
Origen: Ámsterdam Origen: Amberes Origen: El Havre
Origen: Ámsterdam Origen: Amberes Origen: El Havre
La solución es enviar:
De Ámsterdam a: De Amberes a: De El Havre a:
Leipzig = 300 Leipzig = 0 Leipzig = 100
Nancy = 0 Nancy = 700 Nancy = 200
Lieja = 200 Lieja = 0 Lieja = 0
Tilburg = 0 Tilburg = 0 Tilburg = 500

22. Page  22
Ejemplo 10. Solución empleando Excel Solver.
La solución es enviar:
De Ámsterdam a: De Amberes a: De El Havre a:
Leipzig = 300 Leipzig = 0 Leipzig = 100
Nancy = 0 Nancy = 700 Nancy = 200
Lieja = 200 Lieja = 0 Lieja = 0
Tilburg = 0 Tilburg = 0 Tilburg = 500
Se puede observar que, de las doce rutas disponibles,
solamente se emplearon seis.
El costo mínimo obtenido es: z = $121,450

23. Page  23
Direcciones
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24. Page  24
Bibliografía
Investigación de operaciones en la ciencia administrativa.
Eppen, Gould, Shmidth, Moore y Weatherford
Parra, Enrique. Optimización del transporte. Modelos
resueltos con SOT ll. Edit. Ediciones Díaz de Santos. 2008
Guerrero, Humberto. Programación lineal aplicada. Edit.
Ecoe Ediciones. 2011
Investigación de operaciones. Taha.
Introducción a la investigación de operaciones. Hillier y
Lieberman.