El documento describe la construcción de los números reales a partir de los conjuntos numéricos naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica que los números irracionales como π y √2 no pueden expresarse como fracciones y pertenecen al conjunto de los números reales, el cual completa la recta numérica.

2. Estudiaremos los Conjuntos Numéricos por medio de la representación gráfica de los mismos. Esta representación consiste en asociar a cada punto de una línea recta un número, creando así una Recta Numérica .

3. Debemos definir dónde se ubicará el CERO y el tamaño del segmento unidad. ¿Qué necesitamos para construir una recta numérica?

4. El primer conjunto numérico que representamos es el Conjunto de los Números Naturales (N).

5. A diario nos enfrentamos con problemas que no pueden ser resueltos sólo con los N, para dar respuesta a algunos de ellos, es que fue necesario ampliar este conjunto numérico, y a partir del concepto de opuesto, surgió el conjunto de los Enteros (Z).

6. El conjunto de los números Enteros dio respuesta a determinadas situaciones, pero no fue suficiente, aún quedaban algunas cuestiones sin resolver.

7. Estas situaciones dieron origen al conjunto de los Números Racionales (Q) . ¿Son los Números Enteros parte del conjunto de lo Números Racionales?

8. ¿Habremos finalizado la construcción de una recta numérica? ¿Todos los puntos de la recta tendrán asociado un número? Veamos el siguiente caso…

9. En el año 530 a.C. existió una escuela en Grecia, dedicada al estudio de la filosofía, matemática y las ciencias naturales. Esta escuela era conocida por el nombre de su fundador como La Escuela Pitagórica.

10. En uno de sus estudios se encontraron con el siguiente problema: ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1 unidad?

11. Para determinar el valor de x ubicaremos el cuadrado sobre la recta numérica y proyectaremos la diagonal: ¿Cuál crees que es el valor de x ?

12. Si nos acercamos a la recta numérica, podemos tener una mejor aproximación. ¿Cuánto crees ahora que mide?

13. Para determinar esta medida en forma exacta, haciendo uso de sus conocimientos, La Escuela Pitagórica la calculó utilizando el Teorema de Pitágoras Lo calculamos

14. = 1, 41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694… Con ayuda de la calculadora, calcula ¿Qué valor obtuviste? Aquí te presentamos su valor con los primeros 50 decimales: Pero no son todos, aun tiene más cifras decimales …

15. Prestá atención en esta situación Consideremos una circunferencia cuyo diámetro mide un centímetro . Observa la siguiente animación: ¿Cuánto mide la longitud de esta circunferencia? 1cm

16. La letra  representa el resultado de la pregunta anterior. Entonces… ¿cuánto vale  ?

17.  = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944… Averigua cuánto vale  con ayuda de tu calculadora, te mostramos los primeros 60 decimales : Pero no son todos, aun tiene más …

18. Observando los dos números trabajados ,  y ¿Encuentras que tienen alguna característica en común? ¿Podrías decir que pertenecen al Conjunto de los números Racionales? ¿Por qué? Pero no son los únicos con estas características, como estos dos números, hay muchos más en la recta numérica.

20. Algunos ejemplos EJEMPL O 1 1,333… X= 1,333.. 10.X= 13,333… Restamos miembro a miembro 9.X = 12 X= 4/3 Luego: 1,333… = 4/3 EJEMPL O 2 15,3111… X= 15,3111.. 10.X= 153,111… 100.X=1531,111… Restamos miembro a miembro 90.X = 1378 X= 689/45 Luego: 15,3111…= 689/45

22. Algunos ejemplos

23. Ahora estamos en condiciones de resolver gran cantidad de problemas, que tienen solución en un conjunto en el que se une el Conjunto de los Números Racionales (Q) y el Conjunto de los Números Irracionales (I) y se lo conoce como Conjunto de los Números Reales (R). R I Q Z N

24. De esta manera hemos completado la recta numérica, estableciendo una relación biunívoca entre los puntos de ella y los números reales.

25. Comenzaremos con el estudio de los radicales Se denomina radical a la raíz de un número o de una expresión, siempre que ésta tenga solución real. n a Signo radical Índice Radicando = r Raíz n є N , n > 1

28. Existen factores, dentro de un radical, que pueden ser extraídos si el exponente de los mismos es mayor o igual que el índice de la raíz. Por ejemplo: Extracción de factores de un radical Factoreando Por propiedad de la potenciación Aplicando la propiedad distributiva Simplificando Resolviendo Con la calculadora comprobá que

29. Decimos que dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando ¿Podrías proponer un ejemplo? Te mostramos uno: y No son semejantes y

30. Operemos con radicales Comenzaremos con la adición y la sustracción Podemos sumar o restar sólo aquellos términos que contengan radicales semejantes. Por ejemplo: Con lo que analizamos ¿serías capaz de resolver la siguiente expresión?

31. Multiplicación y división de radicales 1º Caso: Con igual índice

32. Multiplicación y división de radicales 2º Caso: Con distinto índice Buscamos un índice común y amplificamos Resolvemos

35. Otra forma de escribir las raíces Es posible escribir las raíces en forma de exponente, mediante el exponente racional , esto es: Por ejemplo: Ahora intenta escribir en forma de exponente: