En este trabajo estudiamos las diversas aplicaciones de las derivadas.

1. Aplicaciones
de la
Derivada
Autora: González Emilmar
Asignatura: Matemática I

2. La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función
cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f,
denotada por f′.
El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y
es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida
como cálculo.
Es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según
cambie el valor de su variable independiente.
La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el
límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando
el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más
pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un
punto dado.
Definición
Derivadas

3.  Estudiar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de una función.
 Obtener máximos y mínimos relativos.
 Problemas de optimización.
 Obtener intervalos de concavidad y convexidad.
 Obtener puntos de inflexión.
Aplicaciones de la Derivada

4. • Si una función f cumple que su
derivada es mayor que 0 en un
intervalo, entonces f es creciente en
ese intervalo.
 Estudiar intervalos de Crecimiento y Decrecimiento de
una Función
• Si una función f cumple que su
derivada es menor que 0 en un
intervalo, entonces f es decreciente
en ese intervalo.
f´ > 0 entonces f es creciente f´ < 0 entonces f es decreciente

5. Si una función pasa de crecer a
decrecer en un punto Xo en ese
punto hay un máximo relativo
Mt = 0 f´(x o ) = 0
 Obtener Máximos y Mínimos Relativos
Máximos
Los puntos candidatos a ser
máximos relativos son aquellos
que cumplen que su derivada es 0
Si una función pasa de decrecer a crecer
en un punto X o en ese punto hay un
mínimo relativo
Mt = 0 f´(xo ) = 0
Mínimos
Los puntos candidatos a ser
mínimos relativos son aquellos que
cumplen que su derivada es 0

6. Un problema de optimización consiste en calcular o determinar el valor mínimo o el
valor máximo de una función de una variable.
Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar debe ser
expresada como función de otra de las variables relacionadas en el problema
 Problemas de optimización

7. Una función es cóncava si fijado un vector unitario en el semieje positivo OY, dicho vector
está en el mismo semiplano (determinado por las rectas tangentes a la función) que la
función. En caso contrario (distintos semiplanos) se dice convexa.
Si en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es cóncava en el intervalo (a, b).
Si en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es convexa en el intervalo (a, b).
 Obtener intervalos de concavidad y convexidad.

8. El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama
punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que
hay cambio de concavidad a convexidad o al revés.
Sea y=f(x) la ecuación de una función.
Si f´´(a)=0, o f´´(a) no existe, y la derivada f´´(x) cambia de signo al pasar por el
valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un Punto de
inflexión.
 Obtener puntos de inflexión