c

1. MATEBLOQUEMÁTICA:
Parte I
Los números y sus
operaciones
La forma de aprender matemáticas
haciéndose la vida de cuadritos

2. 1
1
Introducción
Se dice que aprender matemáticas es algo reservado para quienes poseen
cualidades especiales, buen razonamiento o memoria ¡así lo consideran
muchos!
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

Buena parte de los estudiantes transcurren sus cursos de matemáticas con
la idea de que lo que logren es bueno, consideran que será un éxito aprobar
aunque sea con la calificación mínima.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

También es frecuente que los estudiantes sueñen con el día en que podrán
realizar sus estudios sin nada que ver con las matemáticas.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

La labor de enseñanza enfrenta estas problemáticas, el maestro de
matemáticas suele enfrentar grupos que se dan por vencidos de manera
inmediata y no desean saber nada, lo que les interesa es aprobar a como de
lugar.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

Los alumnos en un acto de férrea disciplina aceptan los cursos de
matemáticas con resignación. Es algo que tienen que asimilar a como de

3. 2
2
lugar para seguir sus estudios. Pero no entienden la molesta conspiración
en su contra.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

La enseñanza de la matemática se ha caracterizado como una actividad en
la que el maestro debe combatir no sólo la falta de conocimientos de los
estudiantes sino que tiene que luchar contra la apatía y desinterés de éstos.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

Sin embargo, en eso consiste la tarea docente, proporcionar conocimientos es
parte de la actividad como maestro, pero crear en los estudiantes actitudes
favorables para acercarse a este tipo de conocimiento resulta más
importante.
Cuando un maestro recibe estudiantes bien formados, con pocas deficiencias
su labor puede ser anulada por sus propios estudiantes, es decir la forma en
que influirá puede verse disminuida por las características de sus alumnos,
avanzarían con poca o sin la intervención del maestro.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

Por ello, la labor del maestro se puede constatar realmente al observar a los
estudiantes que a pesar de querer comprender los contenidos matemáticos
no pueden hacerlo, en efecto, en esta situación el maestro puede mostrar el
nivel de profesionalización que posee. Este tipo de estudiantes,
desafortunadamente constituyen la mayoría, pero son el principal objetivo
de la labor docente.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA


4. 3
3
No es muy claro en que procedimientos podemos apoyarnos para tener éxito,
en educación no hay caminos definitivos ni “recetas” exitosas, lo único que
está ampliamente comprobado es que la situación actual no es la adecuada,
si por ello se entiende la clase tipo conferencia y la ejecitación
indiscriminada.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

Aprender matemáticas implica desarrollar diversas estrategias y formas de
abordar el conocimiento, no sólo consiste en memorizar, este aspecto puede
incluso ser mínimo, resulta más importante el desarrollar la imaginación, la
intuición matemática o estrategias para resolver problemas.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

En estas notas el maestro encontrará una forma de realizar su labor
tratando a partir de elementos muy sencillos y que pueden ser útiles
entemas complicados en la educación básica.
Los Bloques de Dienes
En la búsqueda de opciones para mejorar la enseñanza de la matemática se
han hecho intentos diversos tratamientos del contenido matemático,
profundizando más o menos, incluyendo temas o substituyendo unos por
otros, permutando temas, entre otro tipo de propuestas.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

También se han desarrollado propuestas con el manejo de dispositivos
provenientes de las nuevas tecnologías; incluso se buscan elementos que
están más al alcance de todos como lo es el caso del doblado de papel o la
elaboración de ciertos materiales.

5. 4
4
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

Dada la diversidad que enfrenta el docente en cuanto a personalidades,
formas de aprendizaje, formas de enseñanza, nivel de profundidad en el
manejo del contenido matemático, entre otros puntos, no es posible decir que
cierta forma de enseñanza o determinado material es exitoso en cualquier
situación.
Sin embargo, existen materiales de uso frecuente que han mostrado su
utilidad en diversos países y en situaciones culturales contrastantes. La
investigación en educación matemática también se ha centrado en la
aplicación de algunos recursos didácticos que han arrojado datos positivos a
su favor.
Uno de estos materiales son los denominados bloques de Dienes (no hay que
confundirlos con los denominados “Bloques Lógicos de Dienes”), con ellos se
pueden abordar diferentes temáticas y son sencillos de elaborar u obtener.
Dichos materiales consisten de varios cuadrados grandes y pequeños y
regletas de ciertas dimensiones:
En algunos países a este material se le conoce como “Algebra Tiles” y
existen otras versiones que tratan de resolver algunas limitaciones de este
material como los son los “Algeblocks”.
En este material exploraremos las potencialidades de los bloque s de Dienes
para abordar situaciones de enseñanza referidas a los números y sus
operaciones, aspecto fundamental en la educación básica.

6. 5
5
Los bloques de Dienes son figuras que los maestros pueden elaborar de
diversos materiales y dimensiones. Si se les desea utilizar en un
retroproyector pueden elaborarse de acrílico, si es en un pizarrón magnético
se pueden construir con cartulina américa y fragmentos de tiras imantadas,
o para usar con una franela se puede recurrir a lijas u otros materiales.
Por su parte los alumnos los pueden elaborar con cartulinas, madera,
plásticos u otro tipo de materiales.
Ya existen versiones para el maestro y el alumno en el mercado que pueden
adquirirse en diversas casas comerciales.
Un aspecto importante en la elaboración de los bloques de Dienes es que el
lado del cuadrado pequeño es uno de los lados de las regletas (rectángulos) y
el otro lado de éstas es el lado del cuadrado mayor:
Otro detalle importante es que con los cuadrados pequeños no se puede
cubrir de manera exacta el largo de las regletas ni con éstas se puede cubrir
de manera exacta los lados del cuadrado grande.
A este de materiales se les denomina de manera genérica como
manipulativos.
Con el uso de estos materiales puede beneficiarse la labor docente, per hay
que tener en cuenta que esto no sucederá con la simple aplicación de los
materiales, se requiere de:
 Monitorear constantemente lo que los estudiantes con los que se
trabaja pueden realizar.

7. 6
6
 Planear cuidadosamente cada sesión de trabajo con los materiales.
La improvisación en este tipo de experiencias por lo general
provoca experiencias frustrantes.
 Estar atento a los planteamientos de los alumnos. Hay que
escuchar con detenimiento lo que plantean los estudiantes porque
ello permitirá interpretar adecuadamente sus dudas o reflexiones.
 Manejar estrategias de enseñanza flexibles. Es decir, sin caer en el
desorden permitir el trabajo en equipos orientando las discusiones
de éstos. Permitir quemlos estudiantes se apoyen o corrigan u7nos
a otros. En suma, abandonar la posición del maestro autoritario y
totalmente directivo.
 Permitir la participación de los estudiantes, sin importar si se
equivocan o proceden de manera correcta, el maestro corregirá lo
necesario.
 Dosificar adecuadamente los temas del programa por cubrir para
dar el espacio requerido al uso de materiales.
El uso de los maerales que se proponen implica un cambio en la enseñanza,
pero no es una fórmula mágica, se hace con el interés de contar con
elementos para apoyar el desarrollo conceptual y que sea este el punto de
partida para propiciar el manejo operativo. Es mejor contar con recursos
intuitivos para reconstruir por sí mismo un conocimiento que confiar en la
memoria, si nos se acuerda alguien de una cierta fórmula o procedimiento,
pero sabe bien a lo que refiere el asunto que se trate podrá tener ideas para
utilizar procedimientos alternos para resolver satisfactoriamente las
situaciones a las que se enfrenta.
Supuestos constructivistas
El fundamento del uso de este tipo de materiales se encuentra en algunas
posiciones constructivistas. No es el caso revisar alguna de las corrientes en
esta dirección, pero consideremos de manera informal algunos de sus
supuestos básicos. Esto siempre trae consigo la simplificación de conceptos
importantes que pueden conducir a interpretaciones inadecuadas, pero vale
la pena manejar algunas ideas sobre las bases de esta corriente para
comprender el procedimiento de trabajo que se planteará.
Un aspecto principal es que el conocimiento se construye, esto es muy
importante, dado que implica que los conceptos y procedimientos no se
“aprenden” de manera instantánea y para siempre; esto es, los conceptos no
se “aprenden” de manera definitiva y permanecen estables en nuestra
mente.
Algunos autores contraponen los conceptos de “aprendizaje” y de
“construcción de conocimientos”, dejando al primero la adquisición de
conocimientos, como si los conocimientos estuvieran por ahí y de repente por

8. 7
7
alguna situación nos percatamos de su existencia y nos lo apropiamos, lo
tomamos para sí de manera completa; en tanto que lo referido a
construcción de nociones implica un proceso de formación del concepto que
no necesariamente concluye.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

El concepto de número no se adquiere de golpe, es algo que se procesa
durante períodos largos de tiempo y cada vez que se profundiza en éste se
encuentran aspectos nuevos. La historia de la matemática ofece varios
ejemplos sobre este punto.
Renovamos constantemente lo que hemos aprendido y lo vamos
enriqueciendo con otras experiencias. La nociones se van reformulando con
el tiempo y de acuerdo a lo que nos acontece. Esto sucede incluso con
nociones que consideramos básicas y pueden resultar sencillas. Se puede
decir que nos acercamos al conocimiento por aproximaciones sucesivas, en
un camino en el que no necesariamente se tienen avances, pueden suceder
también retrocesos.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

En este tipo de corrientes se considera que los conceptos se van
construyendo poco a poco en un proceso que puede ser interminable, son
acercamientos sucesivos. Imaginemos esta situación como la construcción de
un rompecabezas con muchas piezas, en cierto momento, aún sin terminar,
podemos conjeturar como será la forma final, pero nos faltan piezas por
acomodar para constatar lo que suponemos.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

Tenemos una idea de lo que se tiene que lograr pero no necesariamente es
correcta, esta idea será mejor a medida que se coloquen correctamente otras
piezas.

9. 8
8
Otro supuesto importante es que los conceptos se construyen por medio
de procesos en los que intervienen acciones y la conformación de
imágenes mentales sobre lo que sucede.
En la matemática, disciplina caracterizada por sus conceptos abstractos, es
indispensable pasar de un contacto con situaciones en las que el estudiante
pueda realizar algunas indagaciones y formular sus propias ideas sobre lo
que sucede, a la simbolización y el manejo abstracto. Es como si para llegar
al conocimiento abstracto se pasara por diversos planos conceptuales en los
que el alumno va conformando imágenes mentales de los conceptos, hasta
llegar a entender las convenciones en simbología y procedimientos que se
adoptan en la teoría.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

Si es posible, es importante que los alumnos realicen actividades con
materiales que puedan “manipular” y que tengan reglas sencillas de manejo,
de tal modo que el maestro puede diseñar actividades con ellos el estudiante
pueda ir conformando las nociones que interesa abordar.
No es un aspecto sencillo, realmente es complicado, pero no imposible y a fin
de cuentas es la labor que constantemente se enfrenta en la docencia.
Podemos plantear una serie de etapas a seguir, sin que estas sean rígidas,
solo se plantean para mostrar el tipo de acciones docentes que se requieren
antes de iniciar con los conocimientos abstractos.
Es una forma de sitematizar una forma de trabajo, cada maestro deberá
construir la propia:
 Acción espontánea
Se le proporcionan los materiales a los estudiantes para que los conozcan,
se familiaricen con ellos y vean que relación guardan las partes que los
conforman.
En este nivel se maneja el lenguaje coloquial y no se asocian las piezas de
los manipulativos a ninguna noción.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA


10. 9
9
Es un nivel de exploración centrada en el material y sus características.
 Acción indagadora
Se asignan ciertos significados a los materiales y se permite que el
estudiante experimente con éstos para verificar algunas conjeturas
sencillas y casi evidentes.
En este nivel el lenguaje para referirse a lo que sucede se hace también a
través del lenguaje cotidiano sin establecer muchas restricciones en
términos.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

Es un nivel de acción en la que se tienen intenciones claras, resaltar, sin
decirlo algunas relaciones.
 Acción intensionada
Se complican después las relaciones y se plantean situaciones no tan
obvias, existe la intención de provocar el descubrimiento de relaciones no
evidentes.
En este caso el lenguaje y la simbología empieza a tener cierta
importancia y no se maneja tan libremente, se inicia la incorporación de
algunas convenciones simbólicas.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

Es un nivel de acción como el anterior, intencionada, pero con el propósito
claro de abordar ciertas relaciones.
 Acción conjetural
Después de haber realizado ciertas actividades para propiciar el hallazgo
de relaciones importantes se pasa a un nivel de exploración más intenso
en el cual se plantean conjeturas claras.
Dichas conjeturas se plantean con un lenguaje simbólico y técnico más
intenso, se trata de inducir el uso de un lenguaje o “jerga” propia de los
asuntos correspondientes.

11. 10
10
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

Es un nivel de acción que implica el análisis de lo que ocurre.
 Acción contrastativa
Posteriormente, se trata de valorar las conjeturas que se han establecido
y buscar argumentos para apoyar su validez general. Lo que se ha
conjeturado se pone a prueba varias veces y considerando varias
posibilidades para convencese a sí mismo de lo que ocurre y ayudar a
convencer a otros.
Aquí el lenguaje propio de la disciplina se hace importante para
simplificar las argumentaciones.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

Es un nivel en el que se pasa constantemente del análisis a la síntesis.
 Acción representativa
En este tipo de acciones se trata que de manera principalmente simbólica
se hagan evocaciones de lo que sucedería con los objetos concretos que se
manipularon y con otro tipo de objetos que se podrían utilizar para el
mismo propósito.
Para provocar esta situación el maestro debería plantear a los
estudiantes actividades en las que el uso de los materiales resulte
engorroso o imposible, esto induce el desarrollo de estrategias mentales
en las que se imaginen los estudiantes lo que sucedería si se manejaran
los manipulativos de cierta manera.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

El lenguaje simbólico aqui tiene una función muy importante para poder
buscar representaciones alternativas a las relaciones que se exploran.

12. 11
11
 Acción independizada
Es una acción totalmente mental sin evocaciones de los materiales
utilizados en las etapas anteriores, se trabaja de manera principal con
imágenes mentales y el lenguaje propio de la disciplina, es un
acercamiento a la formalización de los conceptos y sus relaciones con
otros.
En esta etapa el maestro debe involucrar al estudiante con situaciones en
las que no sólo realice las cosas que se le han enseñado si no que explore
caminos inversos, generalice resultados, pronostique resultados, realice la
actividad de diversas maneras (aunque esto se puede hacer desde la
etapas iniciales), genere nuevas situaciones problemáticas vinculadas a
las que se le han planteado, entre otras actividades que estimulan el
pensamiento lógico y permiten profundizar en el manejo de contenidos
abstractos.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

Hasta este momento se inicia el manejo abstracto de los conceptos sin
referencia explícita a situaciones como las anteriores.
Estas etapas no necesariamente son secuenciales o tienen que pasarse una a
una. Pero si ilustran un proceso complejo que no se puede pasar por alto. En
la siguiente parte se ilustrará la manera en la que se pueden plantear las
acciones antes mencionadas, no se utilizarán de manera constante porque
implicaría una planeaciónn cuidadosa de cada aspecto por tratar y ello
desviaría la atención del punto central de este trabajo: el uso de la Bloques
de Dienes.
Desafortunadamente, la enseñanza tradicional inicia en la última etapa y se
queda ahí sin la riqueza que se puede obtener en las etapas anteriores, pero
sobre todo sin dar la oportunidad a los estudiantes de conformar sus propios
conceptos y confrontarlos en diversas situaciones para inducirlos a la
aceptación de convenciones.
Adicionalmente, cabe mencionar que el iniciar con situaciones en las que
estudiante puede decir algo y puede participar porque entiende las
situaciones en ese nivel, le permite desarrollar una mejor autoimágen y
mejorar por lo tanto su autoestima. De tal modo si lo abstracto no lo
entiende a la perfección le quedan las atapas anteriores en las cuales el se
puede apoyar y tratar de usarlas como especie de “ganchos conceptuales” o
“metáforas” para salir de dificultades.

13. 12
12
No se trata de introducir actividades para distraer a los estudiantes, se
trata de eso y más. No sólo es incorporar algo que los distraiga y les haga
menos pesada la clase, se trata de enseñar fortaleciendo las partes
conceptuales antes de llegar a la mecanización y el manejo operativo.
Los conceptos formales son nociones aceptadas de manera oficial por la
comunidad de matemáticos, para llegar a ellos la humanidad tuvo que pasar
por muchas etapas constructivas, no se puede tratar de inducir un manejo
de conceptos formales si no se ha desarrollado un trabajo para construir
estas nociones.
Cuando los sujetos interactúan con objetos o situaciones, se ponen en juego
diversas estructuras mentales, en las que intervienen aspectos como las
creencias, concepciones del sujeto a partir de las cuales éste da “sentido” a
las acciones que realiza.
El sujeto configura imágenes mentales de lo que sucede, éstas provocan
ciertos significados personales que tienen sentido de manera personal para
el sujeto y que están ligadas al concepto formal, aunque esta relación puede
no ser consiente. Éstas imágenes entran en juego con las intuiciones de los
sujetos y las imágenes mentales que ya poseía, las cuales son temporales,
dad que es posible su modificarán o abandono como consecuencia de otras
experiencias, lo cual es natural que intervenga en la conformación de
nuevos conceptos.
Concepto
Formal
Imagenes
Significados
propios
intuiciones imagenes temporales
previas
En la construcción de estos “significados” se realizan fuertes interacciones
entre las representaciones mentales -asociadas a las acciones- y las
representaciones externas, vinculadas a diagramas o situaciones
particulares que se trabajan.

14. 13
13
Representación
Mental
Externa
Representación
Tensión
Significados
Personales
Estas tensiones se logran equilibrar en algún momento hasta que otras
experiencias modifiquen este equilibrio. En cierto sentido, algunas acciones
de los docentes deben tratar de romper este equilibrio a fin de propiciar
dichas tensiones para elaborar nuevos significados e imágenes mentales.
Los significados que se han construido permiten la constitución de “campos
operacionales” que posibilitan el manejo de los “objetos matemáticos”,
aunque no se les relacione con una definición formal aún.
Significados
Campos
Operacionales
Matemáticos
Objetos
Estos “campos operacionales” permiten hacer “operativo” el conocimiento y
participan en la tensión con los significados ya formados, dando lugar a que
se modifiquen los significados e imágenes mentales ya conformadas, lo cual
tiene un efecto en las representaciones mentales de las nociones
matemáticas.

15. 14
14
Significados
Tensión
Campos
Operacionales
Equilibrio
Las diferentes experiencias que tienen los sujetos al participar en
actividades, relacionadas con las matemáticas, configuran imágenes y
significados sobre dichas actividades, las cuales pueden resultar
tensionadas a partir de otras experiencias.
Vale la pena comentar que no se supone que cada individuo está interesado
en construir nociones matemáticas. Precisamente la actividad diseñada por
el docente debe provocar procesos no necesariamente conscientes que
impliquen la generación de significados o conceptos matemáticos.
Es importante recalcar los significados creados por los sujetos son las
imágenes y los elementos principales que posee el individuo para
interactuar con diversas situaciones, por ello participan en acciones que se
realizan y pueden ser modificados.
El sujeto puede interactuar con objetos para que con base en esta
interacción se vayan conformando imágenes mentales y significados, los
cuales pueden ser totalmente alejados del concepto que se desee abordar,
dependerá de la actividad que se realice la relación que se pueda establecer
con las actividades y los conceptos, ahí es donde interviene el docente,
planeando actividades que ayuden al sujeto a formarse las nociones
requeridas.
Los objetos se pueden manipular, deformar, contemplar, o transformar, esto
influye en el sujeto de manera inmediata y le ayuda a comprender diversas
relaciones, en este tipo de actividades se apoya para generar ideas y
concepciones.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

En este proceso no se conoce todo lo que hay que saber del objeto, se le
explora y paulatinamente se van generando otras imágenes de éste, no

16. 15
15
siempre el proceso va en una dirección positiva, puede conducir a
desviaciones, pero el maestro puede ayudar a que esto no sudeda.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

Dos individuos que participen en la misma actividad pueden generar ideas
diferentes y entender lo que están haciendo de manera diversa. En la
matemática esto es frecuente, se dice que las clases de matemáticas son
sitios en donde:
El maestro piensa una cosa, dice otra, escribe otra, explica otra y el
alumno también entiende otra.
INCLUIR FIGURA ALUSIVA

De tal modo que la imagen más adecuada del concepto o procedimiento se
logra por caminos muy complejos, pero no se agota, siempre hay nuevos
aspectos que explorar.
En este proceso de construcción se pasa del lenguaje ordinario, cotidiano, al
lenguaje apoyado en recursos personales, de simbología o nomenclatura, a
las convenciones compartidas por los especialistas del ramo, justamente en
el sentido inverso acostumbrado.
Hay diversas maneras de promover la construcción de conceptos, en esta
publicación veremos como es posible apoyar la enseñanza de la matemática,
con una actitud que asume algunos principios del constructivismo. Es una
interpretación, un intento de sistematización, una forma de ejemplificar lo
que es posible realizar con un material como los Bloques de Dienes.
Cada maestro atendiendo a sus posibilidades personales y las de la situación
que enfrenta deberá elaborar sus propios procedimientos, se espera que el
libro que tiene en sus manos lo ayude en tan compleja labor.

17. 16
16
Los números naturales
Sin retroceder mucho, en lo que se refiere al aprendizaje de los números
naturales, podemos considerar como los Bloques de Dienes pueden ayudar a
realizar actividades para construir nociones relativas a los números
naturales.
Acción espontánea
Se le proporcionan los materiales a los alumnos para que los manipulen sin ligarlos necesariamente a
una actividad determinada, sólo se requiere que se familiaricen con ellos y vean la relación que
guardan las piezas.

Los niós pueden referirse a ellos como “cajitas”, “marquitos” u otras denominaciones.
Se pueden establecer correspondencias entre colecciones de objetos, de tal
manera que se pueda determinar, sin conocer los símbolos correspondientes
ni siquiera los nombres usuales, si una colección tiene más, menos, o igual
número de objetos que otra.
Acción indagadora
Se pueden comparar colecciones de objetos, por ejemplo, una de ositos con una de cuadrados
pequeños.
A partir de estas colecciones se podra determinar si hay más ositos:
o si hay más cuadraditos:

18. 17
17
o si hay tantos ositos como cuadraditos:
De esta manera los niños despúes de hacer intentos se percatan de lo que
sucede e inician sus discusiones con situaciones como:
A un osito no le tocó un cuadrito ¿me puedes dar uno más?
Hay un osito que le tocaron más plásticos
Tocó exactamente lo mismo a cada osito, les puedo dar más
Así los niños se van dando cuenta de situaciones en las que falta algo o
sobra algo, sin hacer uso de los símbolos o los nombres de los números.
Acción intensionada
Se pueden incluir colecciones de objetos que no sean del mismo tipo.
En este tipo de actividades se puede inducir a los niños para que realicen la comparación de manera
directa o utilicen algún otro recurso como poner marcas en su cuaderno y luego comparar.
Se pueden hacer este tipo de comparaciones con más de dos colecciones, por
ejemplo, colocar tantos cuadrados pequeños como ositos y ver si esto es
posible con una colección de pelotas.
Acción conjetural
Es posible mostrar las colecciones a los niños y preguntarles sobre en que colección ven más objetos
además de solicitarles que indiquen como es posible determinar donde hay más o menos objetos.
Posteriormente conviene hacer actividades donde sometan a prueba sus
conjeturas y se comuniquen de diversas maneras los resultados.
Acción contrastativa
Cuando se comparan varias colecciones se puede proceder visualmente, pero después se les pedirá a
los niños que lo corroboren, lo cual pueden hacer de manera directa o por medio de correspondencias
con cuadritos, como una colección auxiliar. Esto puede hacerse pidiendo a algunos niños que
comparen los ositos y cuadritos y a otro grupo de niños que hagan lo mismo con las pelotas y que en
un papel comuniquen al otro grupo sus resultados.

19. 18
18
Utilizando las marcas en el cuaderno u otros recursos, los niños se pueden dar cuenta de la necesidad
de manejar códigos comúnes.
Algunos niños dirán:
A cada osito le tocó ya un cuadrito, ahora que nos den los otros niños los suyos.
Hago un palito por cada cuadrito que le tocó a un osito.
Es importante que en esta etapa se vayan elaborando códigos simbólicos y
nominales comúnes que pueden conducir al establecimiento de los
numerales que conocemos.
En este caso dirían que:
A todos los ositos les tocó cuadradito y pelota pero sobra un cadradito y una pelota, la voy a guardar
para cunado tenga más ositos.
Los palitos de las pelotas son más que los de los ositos.
Si le pego una tarjetita con un número el que le toca al último osito y a la última pelota son diferentes:
1 2 3 4
1 2 3 4 5
Realizando actividades de este tipo podemos llegar a conformar colecciones
que tengan más o menos que otras o establerlas de tal manera que tengan lo
mismo, pero sin la necesidad de tenerlas presentes a todas.
Acción representativa
Se puede pedir a los niños que determinen cuántas pelotas se deben tenar para que les toque una a
cada uno de los ositos:
Lo sual puede hacerse con cuadritos o con otros objetos, pero lo importante es que utilicen el conteo
como una de las estrategias para resolver este tipo de situaciones

20. 19
19
Posteriormente se le pueden plantear las situaciones sin tener los objetos enfrente tratando de que
determinen el número de pelotas que se deberían tener para que hubiera un osito sin pelota o uno con
dos pelotas. En este caso cnvendría utilizar números grandes para que no sea fácil recurrir a los
objetos.
También podemos hacer comparaciones de este tipo entre muchas
colecciones a fin de que los niños puedan constatar que no intervienen las
formas, tamaños o colores para determinar si una colección tienen más,
menos o igual cantidad de piezas.
Claro está que todo este trabajo dependerá del nivel de desarrollo de los
niños dado que si las pelotas son unas más chicas que otras pueden decir
que, aún cuando haya el mismo número de ositos que de pelotas, que:
Son menos pelotas que ositos ... a uno le tocó una pelota muy chica
En este momento cada vez más se podrá concentrar la atención en el manejo
simbólico y tener nulo contacto con los objetos.
Acción independizada
Se pueden plantear situaciones de conteo a los niños para que las resulevan sin tener a mano los
objetos que se trabajan o que sea imposible tenerlos en el salón como serían colecciones de coches o
aviones, ganado, frutos, entre otros a los cuales sólo se podrá evocar con la imaginación.
En este momento se pueden afianzar las estrategias de conteo que son indisensables para el
tratamiento de las operaciones aritméticas, pero este es un asunto que requiere especial atención y por
ello se trabajará un poco más adelantre.
Al trabajar las estrategias de conteo el maestro puede indicir al estudiante a que realice varios
procesos mentales importantes como conteos al revés, estimación de cantidades, que se realicen
conteos de diversas formas, que „lantee problemas a sus compañeros, entre otros aspectos.
Conviene insistir en que antes de iniciar a introducir la simbología o la
introducción de la nomenclatura, que no son otra cosa que convenciones
(que por cierto tardaron cientos de años en ser aceptadas por varios pueblos
de la antigüedad), conviene solicitar a los niños que den por sí mismos
nombres a las cantidades, casi siempre utilizan los que ya conocemos porque
eso lo aprenden fuera de la escuela, pero en caso de no ser así no importa, la
idea central es que planteen una nomenclatura que para ellos tiene sentido.
Cuando existan colecciones que tienen la misma cantidad de objetos, los
niños pueden proceder a darle un nombre para referirse a ellas, sin
importar el tipo de objetos con los cuales están formadas.
Al confrontar los diferentes nombres que se les asignen a esa propiedad de
las colecciones se podrá constatar la necesidad de convenir un nombre
común, uno que todos entiendan de la misma manera. Posteriormente, y
sólo hasta entonces, se podrá introducir las convenciones simbólicas, pero
previamente se puede también pedirles que den un símbolo (una grafía) que
represente a la situación, lo cual puede ser un dibujo o líneas en apariencia
al azar.
De nada sirve darles los nombres usuales de golpe, no entenderán porque
hay que hacerlo ni porque deben tener nombres que no conocían y se les
hacen extraños.

21. 20
20
El aprendizaje de la serie numérica es complejo, la siguiente lista intenta
resaltar las diversas componentes que deben ser contruidas y darles sentido:
 Relaciones de correspondencia entre colecciones de objetos del
mismo tipo (colecciones homegéneas).
 Relaciones de correspondencia entre colecciones de objetos que
no necesariamente son del mismo tipo (colecciones
heterogéneas).
 Nombres de los números básicos (uno, dos, ...nueve, cero).
 Símbolos básicos del sistema de numeración (0, 1, 2, ..., 9).
 Tipos de agrupamientos en los que se basa el sistema.
 Nombres de los diferentes agrupamientos (unidades, decenas,
centenas, millares, ...).
 Reglas de composición de números básicos para formar otros
números (entre ellas la de escribirlos de derecha a izquierda
pero interpretarlos de izquierda a derecha).
 Nomenclatura para la cosntrucción de nuevos números (el uso
de los nombres de agrupamientos y los otros que ya se tienen
para determinar el nombre de un nuevo número)
 Nombres de números muy grandes
 Simbología para los números muy grandes
Como vemos el camino es largo y no se puede preveer que todos los niños
adquieran las nociones correspondientes con sólo decirles las convenciones
que tarde o temprano deben asumir.
Para el desarrollo de laserie numérica se puede trabajar también con los
Bloques de Dienes, dado que las partes se pueden hacer corresponder con
procesos en la construcción de los números.
Los cuadrados pequeños se pueden hacer corresponder con unidades, las
regletas con decenas y los cuadrados mayores son centenas.
UNIDAD
DECENA
CENTENA
De tal manera que 10 cuadrados pequeños se pueden intercambiar por una
regleta y 10 regletas se pueden intercambiar por un cuadrado grande:

22. 21
21
10 UNIDADES SON UNA DECENA
10 DECENAS SON UNA CENTENA
Así podemos representar algunas cantidades con los Bloque de Dienes:
4 17
10530
232
En el tratamiento de los números naturales el cero significa ausencia de
cantidad, por eso cuando no hay decenas o unidades no se colocan bloques
de ningún tipo. Cualquier colección con objetos se podrá relacionar con una
colección de cuadrados pequeños, de tal modo que tenga el mismo número de
cuadrados y de objetos en la colección:
0 1 2 3 4 5
Pero cuando se trata de números grandes resulta engorroso hacer dichas
representaciones solamente con los cuadraditos.

23. 22
22
Estrategias de conteo
Las estrategias de conteo son muy importantes para el manejo de la serie
numérica y el desarrollo de habilidades como la estimación o el cálculo
mental.
Con los números naturales podemos desarrollar diversas estrategias de
conteo:
De uno en uno y en una secuencia dada, es decir siempre se inicia por un
lado y en el mismo orden:
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
Este es el nivel de conteo más bajo, que implica repetición en un orden dado.
Puede contarse primero en una dirección y luego en otra:
1 2 3 4 5 6 7 8
8 7 6 5 4 3 2 1
Este nivel implica rompre el orden inicial del conteo y centrarse en la
cantidad y no en el orden de los objetos en la colección.
Puede también contarse en cualquier orden:
1 2 3 4 5 6 7 8
1 7 5 4 2 6 3 8
En este nivel se logra centrar de manera plena la atención en la cantidad,
sin importar el tipo de objetos y el orden en que se encuentren.
Por bloques:
2 4 6 8
Este nivel implica una redefinición de la unidad, en vez de considerar a la
unidad como el “1” se redefine ésta como el “dos” o el “3” según se agrupen
los objetos para realizar el conteo.
De un número y hacia adelante:

24. 23
23
4 5 6 7 8

¡Hay tres cuadrados ocultos!
En este nivel, que es uno de los esenciales para el tratamiento de las
operaciones aritméticas, se trata de evitar que se centre el conteo en el
inicio de la serie numérica.
De un número dado y hacia atrás:
8 7 6 5 4
Si en total son 8 ¡Hay tres cuadrados ocultos!
Este nivel también resulta importante para el desarrollo de las operaciones
aritméticas, ambos implican un manejo importante de la serie numérica,
veamos por que:
En la suma: 7 + 6, algunos niños proceden diciendo:

Tenemos 7 ...
7 y 1 son 8
7 y 2 son 9
7 y 3 son 10
7 y 4 son 11
7 y 5 son 12
7 y 6 son 13

En la resta 15-9, también suelen decir:

25. 24
24

Tenemos 9 ...
9 y 1 son 10
9 y 2 son 11
9 y 3 son 12
9 y 4 son 13
9 y 5 son 14
9 y 6 son 15

Es decir tienen que realizar conteos de manera más eficiente para no
confundirse, por ello es importante el tipo de ejercicios antes propuestos.
De manera combinada:
2 4 5 6 7
En ciertas condiciones, como el contar dinero se debe proceder de manera
combinada para establecer la cantidad que se tiene. Pero esto también es
importante en oteras operaciones como la multiplicación y la división,
aunque también los es cuando se hacen estimaciones.
Por exceso o defecto:
Son como 8 pero falta 1, o sea son 7
Este tipo de conteo resulta fundamental al hacer estimaciones y cálculos
mentales.
Agrupando:
¡10, 10 y 4, son en total 24!
Desagrupando:
¡Son 24, se pueden separar en dos grupos uno de 10 y otro de 14!

26. 25
25
Ambos procesos son muy importantes para establecer los algoritmos de las
operaciones de suma y resta.
Como vemos si no se han desarrollado importantes avances en el desarrollo
de las estrategias de conteo resulta difícil que los niños se desempeñen
adecuadamente en el manejo de las operaciones aritméticas.
Operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y
división.
Como se ha dicho las operaciones se apoyan fuertemente en el conocimiento
que se tenga de la serie numérica lo que generalmente se hace implica
contar desde un número hacia adelante o atrás, de dos en dos o de cinco en
cinco, agrupar o desagrupar, entre otros aspectos.
Las operaciones con numeros enteros, se pueden trabajar con los bloques de
Dienes, para ilustrar los reagrupamientos, recordando que los cuadrados
pequeños son unidades, las regletas son decenas y los cuadrados mayores
son centenas.
UNIDADES DECENAS CENTENAS
También hay que tener en cuenta que 10 cuadrados pequeños se pueden
intercambiar por una regleta y 10 regletas se pueden intercambiar por un
cuadrado grande:

27. 26
26
10 UNIDADES SON UNA DECENA
10 DECENAS SON UNA CENTENA
La suma
Veamos como se puede proceder en la enseñanza de la suma, claro está que
estamos suponiendo que no se está en el inicio si no que ya se ha avanzado
con situaciones más sencillas de las que se presentan a continuación.
Consideremos la suma:
128
295
Se puede representar cada sumando con los bloques:
128
295
de los cuadrados pequeños, que representan las unidades, se agrupan 10 de
ellos y se intercambian por una regleta, esto es, “8 y 5 son 13, se escribe 3 y
nos sobra una decena”

28. 27
27
128
295
3
1
Ahora 10 regletas se agrupan y se intercambian por un cuadrado, es decir:
“son 1, 2 y 9 decenas, lo cual da 12 decenas, se escribe 2 y se tiene una
cantena más”
128
295
23
1 1
de tal modo que el resultado final sería 423
128
295
423
1 1
Como se puede observar aquí se han aplicado diversas estrategias de conteo,
por otra parte los niños pueden intentar agrupamientos de diversas
maneras, no necesariamente iniciando por la derecha, lo cual puede resultar
beneficioso dado que al trabajar diferentes tipo de sumas se convencerán de
que iniciar por las unidades esw la forma más conveniente. El maestro debe
planear sus actividades considerando esta situación.

29. 28
28
La resta
Para el caso de la resta:
321
132
Procederíamos de la misma manera, representando las cantidades
involucradas con los bloques:
321
132
Como “a 1 no se le pueden quitar 2, entonces “se pide prestada” una decena
para completar 11 unidades y quitar entonces las 2 que se requieren”, esto
hace que las dos decenas del 321 se reduzcan a una.
321
132
9
111
Como a una decena no se le pueden quitar tres decenas, pedimos prestada
una centena y se realiza esta operación en la columna de las decenas”, esto
hace que las tres decenas de 321 se reduzcan a dos.

30. 29
29
321
132
89
111
2 11
De tal modo que el resultado es: 189.
321
132
189
111
2 11
Observe que nuevamente se vuelven a recuperar las estrategias de conteo.
La multiplicación
Para la multiplicación podemos recurrir a la asociación de esta operación
con el área de un rectángulo. o a considerar que se “toma tantas veces” un
número como lo indica otro.
Por ejemplo, en una multiplicación sencilla, con cantidades menores que
diez.
3
2
Podemos considerar el área de un rectángulo cuyos lados son dos y tres
unidades:

31. 30
30
3
2
6
3
2
O tambien considerar que se toma tres dos veces
3
2
6
2 veces 3
Si los factores implican un resultado mayor que 10, por ejemplo:
13
5
también se puede proceder de la misma manera, como el área de un
rectángulo de lados 13 y 5:
13
5
65
13
5
Incluso también como tomas 5 veces 13:

32. 31
31
13
5
65 5 veces 13
El resultado se obtiene del arreglo antes considerado.
No todas las multiplicaciones se pueden realizar de esta manera o seria muy
complicado tratar de reducirlas a estos casos sencillos, por ello conviene
intentar el desarrollo de un algoritmo, como el que se conoce y que se
describirá a continuación:
Primero se realiza la operación a partir de las unidades:
13
5 5 X 3 = 15
¡5 por 3 son quince o sea cinco unidades y una decena!
Es decir se coloca un cinco como las unidades del resultado y se cuenta con
una decena más que se tendrá que agregar al resultado de la multiplicación
de 5 por la decena de 13:
13
5
¡5 por 3 son quince, se escribe 5 y "se lleva una decena!
1
5
Después se procede con las decenas:

33. 32
32
13
5 5 X 10 = 50
5
1
¡5 por 1 cinco, son 5 decenas pero tenemos una de la operación anterior!
Así tenemos 5 decenas que junto con la decena que “llevamos” nos dan 6
decenas. De esta manera se obtine el resultado deseado:
13
5
5
1
¡El resultado es 65!
6
Como se puede observar se puede relacionar este procedimiento con el
algoritmo usual.
Existen otras formas de realizar la operación que pueden trabarse pero que
resultan limitadas en algunas situaciones o pueden distorsionar el
algoritmo general como es el siguiente caso:
Se procede multiplicando las unidades de 13 por 5 y se coloca el resultado
completo debajo de la raya.
5 X 3 = 15
13
5
15

34. 33
33
Después continuamos multiplicando las decenas de 13 por 5, lo cual nos da
cincuenta pero que podemos considerar como 5 decenas, de lo cual podemos
escribir esto con un sólo 5 en el lugar de las decenas:
5 X 10 = 50
13
5
15
50
Posteriormente se realiza la suma de 15 y 50 para obtener el resultado:
13
5
15
5
65
0
Es importante tratar de realizar la operación de varias formas y generar
algoritmos alternativos por que lejos de desviarnos proporcionan elementos
para el cálculo mental o estimaciones y permiten convencer a los niños de
que los métodos que se les proponen son los más adecuados. Es mejor
convencer que las cosas deben suceder de cierta manera que imponen, al fin
y al cabo debemos propiciar la reflexión y el análisis desde las primeras
experiencias escolares.
Cuando intentamos multiplicaciones cuyo resultado es un número mayor
que 100 y menor que 1000, podemos proceder de manera análoga.
Para ilustrar el procedimiento consideremos la multiplicación:
21
14

35. 34
34
Podríamos intentar tomar 14 veces 21, pero ello sería engorroso:
21
14
294
14 veces 21
También se puede construir un rectángulo cuyos lados tengan dimensiones
de acuerdo a los factores, esto 21 y 14:
21
14
294
21
1
10
10
14
1 1 1 110
Esto induce una idea importante, se considera la multiplicación de 21 por
las unidades y por las decenas de 14, lo cual se puede considerar de manera
separada:
21
14
10 X 21 4 X 21

36. 35
35
Lo cual nos permite considerar el algoritmo colocando los resultados de cada
una de las multiplicaciones de la manera adecuada, considerando que la
multiplicación de 10 X 21 dará como resultado decenas y por lo tanto no
ocupará lugares de las unidades:
21
14
10 X 21 4 X 21
84
21 0
294
En este momento podemos ver lo complejo que resulta utilizar
procedimientos intuitivos para cantidades muy grandes, incluso que rebasen
las cantidades que podemos considerar con los Bloques de Dienes, por ello
será necesario encontrar un algoritmo:
Consideremos la multiplicación:
36
24
Se iniciará multiplicando primero las unidades de 36 y de 24, es decir,
multiplicando 6 y 4:
36
24
4 veces 6
Lo cual es 24, es decir dos decenas y cuatro unidades, esto implica colocar
las cuatro unidades en su lugar y considerar las dos decenas para añadirlas
a la multiplicación de las unidades por las decenas:

37. 36
36
36
24
4
2
Posteriormente se multiplican las decenas de 36 por las unidades de 24, es
decir, 3 decenas por 4.:
36
24
4
2
4 veces 3 decenas
Estas 12 decenas con las dos que se obtuvieron de la primera multiplicación
son en total 14 decenas que se convierten en 1 centena y cuatro decenas:
36
24
4
2
14 decenas en total
Lo cual se puede considerar como 1 centena y 4 decenas:

38. 37
37
36
24
4
2
14
Ahora se pasa a multiplicar las unidades de 36 por las decenas de 24, o sea 2
X 6:
36
24
4 2 decenas de veces 6
14
2
(es decir, 20 veces 6)
Esto se traduce a 120 unidades, o 12 decenas o 1 centena y 2 decenas:

39. 38
38
36
24
414
2
De tal modo que se deben considerar una centena y dos decenas que se
colocan en el lugar correspondiente, no hay unidades:
36
24
414
2
2
1
Posteriormente se multiplican las decenas de 36 por las decenas de 24 o sea
2 X 3

40. 39
39
36
24
414
2
2
1
2 decenas de veces 3 decenas
Lo cual nos da 60 decenas, es decir 6 centenas:
36
24
414
2
2
1
De tal manera que se colocan las seis centenas en el lugar correspondiente,
a las cuales se les tiene que agragar la centena que “llevamos” del proceso
inmediato anterior:

41. 40
40
36
24
414
2
2
1
7
De lo cual resulta que el producto es: 864
36
24
414
2
2
1
7
864
Este proceso trabajado con los niños no resulta tan laborioso dado que
muchos pasos se realizan de manera inmediata.
La división
La división se puede inducir como una operación inversa a la multiplicación,
esto lo podemos aprovechar para tratar los aspectos relativos a su algoritmo
más conocido.
Por ejemplo, la división:
3 6

42. 41
41
Se puede abordar considerando una colección de seis objetos que se deben
agrupar de tres en tres, la pregunta sería ¿Cuántos de éstos se pueden
formar?
Así consideramos seis cuadritos y formamos grupos de tres:
Es decir de seis objetos se pueden formar dos grupos de tres. Por tanto el
resultado de la división será dos.
3
2
6 3 6
Puede haber residuo, como en el caso de la división:
3 7
En este caso de una colección de siete objetos se forman bloques de tres:
De tal modo que el resultado de la división es dos y se tendrá un residuo de
uno:

43. 42
42
3
2
7 3 7
1
Cuando se tienen una división un poco más complicada como sería el caso en
que las cantidades incluidas son más grandes procedemos de manera
similar, por ejemplo, la división:
5 65
Procedemos entonces a utilizar seis regletas y cinco cuadraditos para tratar
de agruparlos en bloques de 5, lo cual implicará canjear cada regleta por 10
cuadraditos:
De tal modo que el resultado de la división es 13:
5 65
13
Esto también se podría intentar de otra forma, para ello podríamos haber
considerado las 6 decenas y las cinco unidades para tratar de formar un
rectángulo en el que uno de los lados sea 5:

44. 43
43
13
5
Como se puede observar el otro lado del rectángulo es 13, lo cual nos
conduce al mismo resultado:
También esta situación se puede detectar el residuo:
13
5 69
5 69
4
En relación al algoritmo podemos hacer la siguiente relación:
5 69

45. 44
44
Iniciamos la construcción del rectángulo, que tiene uno de sus lados como 5,
para lo cual se agrupan inicialmente las regletas (decenas) en bloques de 5.
1
5 69
1
como se observa sobra una.
Convertimos la decena que nos sobró a unidades
1
5 69
19
Se forman entonces tres grupos de cinco unidades y sobran cuatro
13
5 69
19
Por tanto se forma el rectángulo de lados 5 y 13, con cinco bloques y nos
quedan cuatro unidades.
13
5 69
19
4

46. 45
45
De tal forma que el cociente el resultado de la división es 13 y sobran cuatro.
Recordemos que el camino a seguir es utilizar primero los bloques sin
simbolizar las operaciones, luego tratar de que los estudiantes generen sus
propios algoritmos y notaciones, para que al final se desarrollen los
algoritmos de manera tradicional.
Podemos realizar el proceso anterior sin problemas cuando el dividendo es
mayor o igual que 100 y menor que 1000, y si el divisor mayor que 10 y
menor que 99:
Veamos el caso de la división:
21 296
se consideran las piezas con las que se representa a 294
21 296
Se procede posteriormente a formar el rectángulo donde uno de los lados es
21.
1
21 296
86
Se formó un rectángulo como el que se desea con las centenas y una decena,
sobraron 8 decenas y 6 unidades, con estas piezas completamos el
rectángulo:

47. 46
46
14
21 296
86
2
De este modo obtenemos que el resultado de la división es 14 y sobran 2.
Como se puede observar de lo anterior se puede deducir el algoritmo y se
justifica el inicio en la división por la izquierda en vez de por la derecha
como se hace en las otras operaciones.
Elevar al cuadrado
Podemos entonces proponernos introducir la forma en que se elevan al
cuadrado los números, solamente con decir que dado un número hay que
formar un cuadrado con las piezas que lo representan y posteriormente
determinar que número es representado por las piezas empleadas.
Por ejemplo el cuadrado de 3 será 9:
2
3 = 9
El cuadrado de 7 será 49:
2
7 = 49
El cuadrado de 11 será 121:
11 121
2
=
El cuadrado de 25 es 625

48. 47
47
25 625
2
=
Así se pueden calcular manualmente los cuadrados de diversos números,
este ejercicio lejos de ser rutinario prepara a los estudiantes para abordar
otro tipo de situaciones que en el álgebra son muy importantes.
Raíz cuadrada
De manera inversa de lo anterior podemos tratar de extraer raíces
cuadradas tratando de formar con las piezas que representan a un número
dado, un cuadrado y posteriormente determinar cual es el lado de dicho
cuadrado.
Por ejemplo, la ríz cuadrada de 16 es 4:
2
16 = 4
La raíz cuadrada de 36 es 6:
2
36 = 6

49. 48
48
La raíz cuadrada de 258 será aproximadamente 16:
Para convencernos de ello conviene considerar la representación de 258:
258
Con estas piezas dificilmente se podrá construir un cuadrado, por ello se
hacen unos cambios para lograrlo como sería cambiar una centena por 10
decenas:
12582
=
158
Ahora se comienza a formar el rectángulo con las piezas existentes tratando
de ocupar todo lo que esta disponible, se observa que se pueden incorporar
dos rectángulos de lados 10 y 6:
12582
=
158

50. 49
49
En este momento se observa que se pueden colocar seis de los cuadrados
pequeños:
12582
=
158 26
Rellenando el espacio restante con tiras de 6 unidades tendríamos 6 veces
26, o sea 156, lo cual puede conseguirse cambiando las tres decenas por 30
cuadraditos, al final sólomquedarán dos cuadrados pequeños libres:
162582
=
158 26
2
Claramente esto implica al algoritmo de la raíz cuadrada:
Veamos otro ejemplo . la raíz cuadrada de 969 es alrrededor de 31:

51. 50
50
969
Se trata de formar un cuadrado con las piezas y se observa que se pueden
acomodar bien los nueve cuadrados grandes, con lo cual sobran 6 decenas y
9 unidades:
969 3
2
69
Las seis decenas se pueden acomodar tres en cada lado, por lo que sólo
sobrarían 9 unidades, de las cuales se puede acomodar una:

52. 51
51
969 31
2
69 61
8
Este tipo de actividades ayudan a lograr alguna comprensión de algoritmos
tan complicados como lo es el de la raíz cuadrada, la relación qye se
establezca entre las acciones y los pasos del algoritmo pueden desarrollarse
de manera diversa pero lo que es importante es que sea razonable y
comprobable con el material.
Algunos significados de las operaciones
En las partes que siguen y que se refieren a los números enteros se hará
mucho énfasis en los diversos significados implicados en las operaciones, por
ejemplo la suma está asociada a la idea de “añadir”, “juntar”, “poner”, entre
otros.
La suma de números naturales
De esta forma si trabajamos la suma de números naturales tendríamos que:
Para sumar 1 + 2
A 1 se le agrega o pone 2
De tal forma que 1 + 2 = 3

La resta de números naturales
En la resta de números naturales tendríamos:
Para restar 2 - 1
A 2 se le quita 1
De tal forma que 2 - 1 = 1


53. 52
52
Hay que notar que en este caso la operación no se puede realizar si se desea
quitar algo más grande de lo que se tiene.
La multiplicación de números naturales
Vimos que la multiplicación de números naturales se puede considerar como
una suma reiterada o sea “poner tantas veces” un número según lo indica
otro:
Para multiplicar 2
se piensa como 3 + 3
De tal forma que 2



3
es decir, poner dos veces tres
= 63
La división de números naturales
La división de números naturales se relaciona con la operación contraria a
multiplicar o sea en vez de poner un número tantas veces como indica otro,
se piensa como dado un número determinar cuantas veces hay que poner
otro para que me dé el primero:
Para dividir 6
se piensa como el núero de veces
De tal forma que 6

que hay que poner 3 para obtener 6

Una vez 3
Dos veces 3
Una vez Dos veces

 3
3 = 2
Conviene realizar ejercicios con o sin los bloques donde los niños encuentren
los factores o sumandos que se conduzcan bajo cierta operación al resultado
dado y que se manejen algunos aspectos como los números figurativos o las
series numéricas. Esto es, las configuraciones:

54. 53
53
1 = 12
2 = 1 + 32
3 = 1 + 3 + 52
4 = 1 + 3 + 5 + 72
Lo cual nos permite observar que la suma de impares consecutivos siempre
será un cuadrado. Esto es:
1 3 5 7 2 1 2
      ... ( )n n
De la misma forma podemos observar que la suma de números pares
consecutivos será igual a un rectángulo de lados n y n+1, es decir:
2(1) = 2
3(2) = 2 + 4
4(3) = 2 + 4 + 6
5(4) = 2 + 4 + 6 + 8
2 4 6 8 2 1      ... ( )n n n
Lo cual nos da la fórmula para la suma de los primeros números
consecutivos:

55. 54
54
1 = 1
= 1 + 2
2(3)
2
= 1 + 2 + 3
3(4)
2
= 1 + 2 + 3 + 4
4(5)
2
1 2 3 4
1
2
     

...
( )
n
n n
Las modificaciones que se hagan a lo aquí expuesto dependerán de las
decisiones de los maestros, la opción de presentación que se decidió sólo
dependió de hacer la exposición lo más sencillo posible.

56. 55
55
Los números enteros
En la construcción formal de los números naturales S, en el contexto de la
teoría de conjuntos, se parte de la existencia de lo que se llama conjunto
sucesor, que es un conjunto infinito en el cual se puede definir una función,
del conjunto a sí mismo:
f: S  S
tal que a cada elemento le corresponde otro al que se le denomina sucesor
n  S(n)
y es tal que si n  m, entonces S(n)  S(m).
La intersección de toda la familia de conjuntos sucesores es precisamente el
conjunto de números naturales N.
Se comprueba después que dicho conjunto satisface los axiomas de Peano y
se pueden identificar a sus elementos de la siguiente forma:
 0
{} 1
{, {}} 2
{, {}, {, {}}} 3
y así sucesivamente.
En este caso queda claro que el 0 representa ausencia de cantidad,
cardinalidad cero.
Sin embargo en el caso de los números enteros las interpretaciones deben
ser diferentes. En efecto, en la construcción de los números enteros Z se
trabaja con el producto cartesiano NN en el cual se define una relación de
equivalencia:
(n,m)  (u,v) si y solo si n+v = u+m
de tal forma que el conjunto de números enteros Z es el conjunto cociente:
Z = NN / 

57. 56
56
lo cual tiene implicaciones interesantes, dado que los elementos de Z son
clases de equivalencia, graficamente podemos observar esto de la siguiente
manera:
(0,5)
(0,0)
(0,1)
(0,2)
(0,3)
(0,4)
(0,6)
(1,5)
(1,0)
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,6)
(2,5)
(2,0)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,6)
(3,5)
(3,0)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,6)
(4,5)
(4,0)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,6)
(5,5)
(5,0)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,6)
(6,5)
(5,0)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,6)
(7,5)
(7,0)
(7,1)
(7,2)
(7,3)
(7,4)
(7,6)
[0,4] [0,0] [3,0]
-4 0 +3
De esta forma vemos que los números enteros son denominaciones de las
clases de equivalencia, representadas por franjas en el diagrama anterior,
de esta forma tenemos:
Miembros de la clase de equivalencia
Representante
de la clase de
equivalencia
Número
entero
asociado
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(0,3) (1,4) (2,5) (3,6) (4,7) (5,8) (6,9) ... 0,3 -3
(0,2) (1,3) (2,4) (3,5) (4,6) (5,7) (6,8) ... 0,2 -2
(0,1) (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6) (6,7) ... 0,1 -1
(0,0) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) ... 0,0 0
(1,0) (2,1) (3,2) (4,3) (5,4) (7,6) (8,7) ... 1,0 +1
(2,0) (3,1) (4,2) (5,3) (6,4) (7,5) (8,6) ... 2,0 +2
(3,0) (4,1) (5,2) (6,3) (7,4) (8,5) (9,6) ... 3,0 +3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Desde la perspectiva matemática, los números enteros pueden ser
interpretados como clase de equivalencia, lo cual indica que un aspecto
importante. En este sentido el cero en los números enteros no representa
ausencia de cantidad si no un equilibrio.

58. 57
57
Desde una perspectiva sicológica también se tiene esta dualidad con el
símbolo del cero que por un lado es ausencia de objetos en una colección y
por otra parte es la realización de una operación como “añadir” y su
contraria “suprimir”.
La creación de la serie numérica de los números naturales como
actualmente la conocemos tardó mucho tiempo en formarse, todavía
tuvieron que pasar cientos de años antes de que se incorporaran los
números negativos.
Desafortunadamente, se comete el error común al pensar que los números
enteros se pueden aprender de manera rápida dado que sólo implica
colocarles signo a los números naturales y ya.
Por comodidad se identifican a los números +3 y 3, pero en realidad
corresponden a situaciones diferentes, por ello cada vez que se considere un
número entero se presentará con un paréntesis y en cursivas negritas para
distingirlo de un número natural.
Para poder identificar con claridad que +3 y 3 se pueden manejar de la
misma manera debe pasar algún tiempo, pero en la enseñanza es frecuente
que esto se trate de hacer a la brevedad posible.
De esta forma las operaciones con los números enteros deben ser
interpretadas de maneras diferentes a lo que se ha hecho con los números
naturales, por ello utilizaremos los mismos signos pero en cursivas negritas
para ser distinguibles.
Para el desarrollo de este apartado utilizaremos los cuadraditos de colores,
de tal forma que a los obscuros se les identifique con una unidad positiva,
mientras que los blancos correspondan con una unidad negativa.
Unidades Negativas Unidades Positivas
Representaciones del cero
Como se ha dicho el cero en los números enteros 0 es un equilibrio, por ello
se puede representar conmlos cuadritos de la siguientes maneras:

59. 58
58
0
Diferentes representaciones de números enteros
De esta manera también los números enteros tienen representaciones
diferentes, por ejemplo, +1 se puede representar de las siguientes maneras:
+1
También -1 puede ser representado como sigue:
-1
La idea central es poner un “creo” adyacente al número que se trabaja con el
fin de obtener diversas representaciones, este es en esencia el truco
algebraico de “restar y sumar la misma cantidad”.
Veamos como esto se presenta en representación de (+3) y (-3)

60. 59
59
(+3) (+3)0(+3)0
(+3) (+3)
(-3)
(-3)
0
(-3)
0(-3) (-3)
Diferentes representaciones de (+3)
Diferentes representaciones de (-3)
Al signo del número se le asocia con el significado como “ganar” o “perder”;
también suelen mencionarse los de “poner” y “quitar”.
La suma de números enteros
Utilizando estas representaciones se puede realizar la suma de números
enteros. Veamos a continuación como se realiza esto a partir de considerar
todas las siguientes adiciones:
(+1) + (+2)
(+1) + (-2)
(-1) + (+2)
(-1) + (-2)
Al signo de la operación se le asocia con agregar
Para sumar (+1) + (+2)
A (+1) se le agrega o pone (+2)
De tal forma que (+1) + (+2) = (+3)

Observe que se parte de un cero y que el resultado no depende del cero
empleado:

61. 60
60








Es decir si ganó uno y pongo otra ganancia de dos, al final gané tres.
Para sumar (+1) + (-2)
A (+1) se le agrega o pone (-2)
De tal forma que (+1) + (-2) = (-1)

Tampoco depende del cero que se utilice:








Es decir si ganó uno y luego añado una pérdida de dos , al final perdí uno.

62. 61
61
Para sumar (-1) + (+2)
A (-1) se le agrega o pone (+2)
De tal forma que (-1) + (+2) = (+1)

Veamos que el resultado no se altera si se utiliza otro cero:








Es decir si perdí uno y pongo una ganancia de dos, al final gané uno.
Para sumar (-1) + (-2)
A (-1) se le agrega o pone (-2)
De tal forma que (-1) + (-2) = (-3)

Nuevamente no importará el cero que se emplee:

63. 62
62








Es decir si perdí uno y pongo otra pérdida de dos, al final perdí tres.
De esta forma el estudiante se percata de lo que sucede y se evita que se
aprenda como dogma aquello de que “para sumar dos números enteros del
signo diferente ....”, lo va poder constatar y podrá establecer sus propios
procedimientos para interpretar lo que sucede.
La diferencia de números enteros
Veamos a continuación como se realiza esto a partir de considerar todas las
siguientes adiciones:
(+1) + (+2)
(+1) + (-2)
(-1) + (+2)
(-1) + (-2)
Iniciemos con mel primer caso:
Para restar (+1) - (+2)
A (+1) se le quita (+2)
De tal forma que (+1) - (+2) = (-1)

En este caso no importa el cero utilizado:

64. 63
63






 
Es decir si habíamos ganado 1 y luego quitamos una ganancia de dos, en
realidad estamos perdiendo 1.
Es decir si ganó y quito una ganancia de dos , al final perdí uno.
En el segundo caso tendríamos:
Para restar (+1) - (-2)
A (+1) se le quita (-2)
¡No se puede quitar (-2)!
?
¿Qué sucede?
Cuando un cero no alcanza para realizar la operación se puede otro cero que
resulte conveniente para el caso que enfrentamos (es decir sumamos y
restamos de manera conveniente). Veamos como completar la operación con
otro cero:
Para restar (+1) - (-2)
A (+1) se le quita (-2)
De tal forma que (+1) - (-2) = (+3)

¡Más vale que sobre que falte!

65. 64
64
El resultado no se alteraría si se emplea otro cero que permita realizar la
peración:






 
Es decir si ganó uno y quito una pérdida de dos, al final gané tres.
Para el tercer caso procedemos como sigue:
Para restar (-1) - (+2)
A (-1) se le quita (+2)
¡Tenemos que modificar la situación inicial!
?
Tenemos que hacer “crecer” nuestro cero:
Para restar (-1) - (+2)
A (-1) se le quita (+2)
De tal forma que (-1) - (+2) = (-3)

Como se ve a veces es necesario tomar en cuenta si la situción inicial, el
cero, es adecuada para la operación que nos proponemos. Sin embargo, no
importa que nos suceda que no es suficiente la cantidad de ciertas fichas por
que ello nos obliga a replantear la situación u buscar otros caminos, a veces
equivocarse es más interesante que hacer las cosas de manera correcta,
como sucede con mucho software educativo.

66. 65
65
Constatemos nuevamente que el cero, si es suficiente, no influye en la
operación anterior:






 
Es decir si perdí uno y quito una ganancia de dos, al final perdí tres.
El último caso de la diferencia de enteros que analizaremos es el siguiente:
Para restar (-1) - (-2)
A (-1) se le quita (-2)
De tal forma que (-1) - (-2) = (+1)

Veamos lo que sucede con otros ceros:

67. 66
66






 
Es decir, si perdí uno y quito una pérdida de dos, al final gané uno.
La multiplicación de números enteros
Para multiplicar números enteros nos tenemos que enfrentar a la temible
“regla de los signos” que generaciones van y vienen y no se la aprenden. Sin
embargo, veremos que si se procede de manera similar como se hizo con los
números naturales podemos hacer evidente y plausible dicha regla.
Sólo hay que tener cuidado que el número del signo se interpreta como
“ganar” o “perder” o como “poner” o “quitar”.
Veamos a continuación como se realiza esto a partir de considerar todas las
siguientes multiplicaciones:
(+2)  (+3)
(+2)  (-3)
(-2)  (+3)
(-2)  (-3)
Consideremos el primer caso:

68. 67
67
Para multiplicar (+2)
se piensa como
De tal forma que (+2)



(+3)
poner dos veces (+3)
= (+6)(+3)
cero
un (+3)
cero
un (+3)
(+6)
(+6)
 

Es decir, si pongo dos veces (ganar dos veces), ganancias de tres, al final
habré ganado seis.
En el segundo caso tenemos:
Para multiplicar (+2)
se piensa como
De tal forma que (+2)



(-3)
poner dos veces (-3)
= (-6)(-3)
cero
un (-3)
cero
un (-3)
(-6)
(-6)
 
Es decir, si pongo dos veces (ganar dos veces), pérdidas de tres, al final
habré perdido seis.
Para el tercer caso podemos proceder como sigue:

69. 68
68
Para multiplicar (-2)
se piensa como
De tal forma que (-2)



(+3)
quitar dos veces (+3)
= (-6)(+3)
cero
un (+3)
cero
un (+3)
(-6)
(-6)
 
Como se hará dado cuenta el lector aquí se debía tener un cero
suficientemente grande.
El último caso, es crucial, es el que siempre causa problemas con los
estudiantes:
Para multiplicar (-2)
se piensa como
De tal forma que (-2)



(-3)
quitar dos veces (-3)
= (+6)(-3)
cero
un (-3)
cero
un (-3)
(+6)
(+6)
 
Como se puede observar se constata sin problemas la famosa y
desprestigiada “regla de los signos”. Por otra parte las interpretaciones
usuales de gara y perder en este tipo de situaciones se vuelven verdaderos
trabalenguas, incluso en los casos anteriores donde hemos incorporado estas
interpretaciones el lector debería haber sentido repulsa o por lo menos una
sensación de mareo ante semejantes absurdos.
Nos quedamos con el manejo de las fichas que conforman los Bloques de
Dienes, para evitar introducir metáforas que a veces complican más la
situación.

70. 69
69
La división de números enteros
La división de números enteros es un asunto que también resulta
complicado para los estudiantes, en parte por que se tiene que trabaja rde
nuevo la “regla de los signos”.
Veremos a continuación como los Bloques de Dienes nos puedes ayudar para
trabajar este tema.
Para ello consideremos las siguientes divisiones de números enteros:
(+2)  (+3)
(+2)  (-3)
(-2)  (+3)
(-2)  (-3)
Para efectuar dichas divisiones recordemos que esta operación se puede
manejar como la inversa de la multiplicación, en la que se “toma tantas
veces” un número (uno de los factores) según lo indique otro (el otro factor).
Es decir, la división se podrá interpretar como determinar “el número de
veces (el cociente) que se debe tomar” un número (el divisor) para obtener
otro dado (el dividendo).
Analicemos el primer caso:
Para dividir (+ 6)
se trata de encontrar el número de veces
De tal forma que (+6)
 que hay que poner o quitar (+3)

Se pone una vez (+3)
Se pone dos veces (+3)
Una vez Dos veces

 (+3)
(+3) = (+ 2)
Cero
Cero
Cero


para obtener (+6)
Como se observa poniendo dos veces
logramos obtener (+6)
(es decir (+2)) el divisor (+3)
El problema aquí es determinar silo que se tiene que hacer es “poner” o
“quitar” cierta cantidad, dado que esto determina el signo del resultado
(cociente), supongámonos que nos equivocamos y en vez de poner se inicia
quitando de un cero y veamos a que nos conduce esta decisión.

71. 70
70
Para dividir (+ 6)
supongamos que se inicia
Por lo tanto, ésta no es una forma correcta de proceder

quitando (+3) una y otra vez
Se quita una vez (+3)
Se quita dos veces (+3)
 (+3)
Cero
Como se observa esto no nos
conduce a obtener (+6)

Si se sigue al pie de la letra el procedimiento nos damos cuenta si vamos o
no en la dirección correcta, sin necesidad de aprenderse de memoria algunas
reglas.
Veamos lo que sucede en el segundo caso:
Para dividir (+ 6)
se piensa como el número de veces
De tal forma que (+6)

que hay que quitar o poner (-3)

Se quita una vez (-3)

 (-3)
(-3) = (- 2)
Cero
para obtener (+6)
Si se pusiera varias veces (-3)
la parte negativa crecería
y no podríamos obtener (+6)
por tanto lo que hay que hacer
es quitar varias veces (-3)
Se quita por segunda vez (-3)
Se quitó dos veces (-3)
esto indica que el resultado es (-2)
Para el tercer caso tenemos:

72. 71
71
Para dividir (- 6)
se piensa como el número de veces
De tal forma que (-6)

que hay que quitar o poner (+3)

Se quita una vez (+3)

 (+3)
(+3) = (- 2)
Cero
para obtener (-6)
Si se pusiera varias veces (+3)
la parte positiva crecería
y no podríamos obtener (-6)
por tanto lo que hay que hacer
es quitar varias veces (+3)
Se quita por segunda vez (+3)
Se quitó dos veces (+3)
esto indsica que el resultado es (-2)
En el último caso procedemos como sigue:
Para dividir (- 6)
se piensa como el número de veces
De tal forma que (-6)

que hay que quitar o poner (-3)

Se pone una vez (-3)

 (-3)
(-3) = (+ 2)
Cero
para obtener (-6)
Si se quitara varias veces (-3)
la parte positiva crecería
y no podríamos obtener (-6)
por tanto lo que hay que hacer
es poner varias veces (-3)
Se pone por segunda vez (-3)
Se puso dos veces (-3)
esto indica que el resultado es (+2)
Después de manejar a los números enteros de esta manera se les puede ir
induciendo a los estudiantes a que por sí mismos conjeturen el
comportamiento de los signos en las operaciones, hasta llegar a establecer
las reglas de los signos. Después de haber manejado a satisfacción los
números enteros con paréntesis se puede ilustrar como en algunos casos
éstos se pueden omitir sin perder claridad en lo que se hace, además de
aprovechar las reglas de los signos para suprimir de manera definitiva el
paréntesis.
Varios estudios se han hecho sobre la interpretación de los niños sobre los
los números enteros, lo que se ha encontrado es que están más relacionados

73. 72
72
con la representación de estados o tranformaciones, es decir, comparaciones
(como “tienes más que” o “debes tanto a”) y modificaciones a situaciones
dadas (como lo es el “ganar” o “perder” o el “recibir” o “dar”), esto hace que
los niós se confundan sobre todo por que estas interpretaciones no son tan
frecuentes y diversas cuando se maneja solamente números naturales.
Esta pronlemática tiene que ver con la resolución de problemas que no es un
punto sonbre el cual se discute en este trabajo, pero conviene tenerla
presenta siempre que se desee manejar a los números enteros.
No obstante a los matemáticos de primera línea se les hacían números
extraños que no se tenían que aceptar. La comunidad matemática tardó
cientos de años para incorporarlos de manera definitiva al conocimiento
matemático.
No tratemos que los estudiantes los acepten en una o dos clases, sólo por
decirles quienes son, se requiere una preparación muy cuidadosa para
convencerlos de sus propiedades y lograr un manejo efectivo de este tipo de
números.
Los modelos como los del elevador o las temperaturas pueden ser de utilidad
para ciertos aspectos como la suma o la resta, pero no pueden ser aplicados
a otras operaciones con los enteros, esto confunde a los estudiantes quienes
tienden a utilizar o generalizar todo lo que se maneja en las clases, por ello
se ha propuesto el modelos de los Bloques de Dienes que guardan cierta
coherencia en el trabajo de los números enteros sobre todo asumiendo que se
utilizan también algunas propiedades y situaciones establecidas para los
números naturales.

74. 73
73
Las fracciones
En la construcción formal de los números racionales Q, en el ámbito de la
teoría matemática, en particular de la teoría de conjuntos, se parte de
trabajar con el producto cartesiano Z(Z-{0}) en el cual se define una
relación de equivalencia:
(p,q)  (r,s) si y solo si ps = rq
donde q y s son diferentes de cero, de tal forma que el conjunto de números
racionales Q es el conjunto cociente:
Q = Z(Z-{0}) / 
lo cual tiene implicaciones importantes, porque en este sentido los
elementos de Q son clases de equivalencia, graficamente podemos observar
esto de la siguiente manera:
[1,2][0,0] [1,1]
1/20 1
(-3,3) (-2,3) (-1,3) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3)
(-3,2) (-2,2) (-1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2)
(-3,1) (-2,1) (-1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1)
(-3,-1) (-2,-1) (-1,-1) (0,-1) (1,-1) (2,-1) (3,-1)
(-3,-2) (-2,-2) (-1,-2) (0,-2) (1,-2) (2,-2) (3,-2)
(-3,-3) (-2,-3) (-1,-3) (0,-3) (1,-3) (2,-3) (3,-3)
De esta forma vemos que los números racionales que conocemos son
denominaciones de las clases de equivalencia, representadas por franjas en
el diagrama anterior, de esta forma tenemos:
Miembros de la clase de equivalencia
Representante
de la clase de
equivalencia
Número
racional
asociado

75. 74
74
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(-2,6) (2,-6) (-1,3) (1,-3) (-3,9) (3,-9) (-100,300) ... -1,3 -1/3
(-1,2) (1,-2) (-2,4) (2,-4) (4,-8) (-4,8) (-50,100) ... -1,2 -1/2
(-2,2) (2,-2) (-3,3) (3,-3) (4,-4) (5,-5) (-6,6) ... -1,1 -1
(0,1000) (0,1) (0,2) (0,3) (0,-4) (0,5) (0,-6) ... 0,1 0
(2,2) (12,12) (30,30) (13,13) (40,40) (55,55) ... 1,1 +1
(1,2) (10,20) (2,4) (22,44) (4,8) (-4,-8) (-5,-10) ... 1,2 +1/2
(2,6) (20,60) (1,3) (-1,-3) (-3,-9) (3,9) (100,300) ... 1,3 +1/3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
En el contexto matemático los números racionales pueden ser interpretados
como clases de equivalencia, lo cual es importante considerar cuando se
trabaja con ellos.
Las fracciones surgieron como una necesidad para hablar de partes de un
total, al inicio sólo se manejaban fracciones senciallas como una mitad o un
tercio, posteriormente se fueron requiriendo otro tipo de fracciones y se
desarrolló una herramienta matemática que permitía su uso. Esto también
llevó cientos de años, no fue un proceso que se realizara de manera
espontánea.
Desafortunadamente, se considera que a los estudiantes les basta conocer
las reglas de operación de las fracciones para manejarlas adecuadamente,
por otra parte se realiza la enseñanza a partirde modelos como la recta
numérica, el del “pastel” y otros más que han resultado ser los más
complejos de manejar.
En lo que sigue vamos a manejar exclusivamente fracciones en colecciones
para constatar que los Bloques de Dienes pueden ser de utilidad también en
los desarrollos de este tipo de números, lo cual permitirá basarnos
exclusivamente en técnicas de conteo y no en conocimientos de medición o
de áreas como sucede con otros modelos.
Para el desarrollo de este apartado utilizaremos los cuadraditos de colores,
la interpretación que se da a cada uno de ellos se explicará en su momento.
Relación parte y total, fracciones equivalentes
Uno de los aspectos importantes en la enseñanza de las fracciones es que los
estudiantes entiendan al símbolo:
a
b
como un número, no como dos
números en un cierto arreglo.
Esto se puede trabajar de la siguiente manera:
Consideremos una colección de 24 cuadraditos:

76. 75
75
La tercera parte de esta colección son 8 piezas:
TOTAL
TERCERA PARTE
1
3
8
24
Es decir, 8 de 24, representan la relación 1 de 3:
8
24
1
3

Si la colección fuera de doce fichas, tendríamos:
TOTAL
TERCERA PARTE
1
3
4
12
Esto es, 4 de 12, representan la relación 1 de 3:
4
12
1
3

Ahora, si la colección fuera de 6 objetos, se tendría:
TOTAL
TERCERA PARTE
1
3
2
6
De ahí que también la relación 2 de 6 representa la tercera parte:
2
6
1
3

De esta forma hemos cosntatado que:

77. 76
76
3
8
24
1
=
4
12
=
2
6
=
Esto es, la misma relación entre una parte y un total, puede ser
representada por diferentes formas:
Con lo cual se muestra que “la tercera parte” es una noción que se refiere a
una situación genérica y que se puede representar de diversas maneras.
Esto permite dar un sentido y resaltar la equivalencia de fracciones.
Se pueden realizar actividades en las que los estudiantes se enfrenten con
colecciones que no pueden dividirse de manera exacta, lo cual ayuda a
repasar temas como los referidos a múltiplos y divisores de un número
entero.
Por otra parte se puede analizar cuando es posible que con una colección se
puedan separar dos partes diferentes dadas, como sería el caso de tercios y
los quintos:
Admite terceras partes
Admite quintas partes
Admite
terceras
partes
Admite
quintas
partes
En símbolos podríamos decir que esta situación se identifica cuando se el
mismo denominador:

78. 77
77
3
2
6
1 = 3
9
= 4
12
=
5
2
10
1
=
3
15
=
4
20
=
5
15
=
5
=
25
Esto permitirá encotrar reglas como la de fijarse en el mínimo común
múltiplo que en algunos casos resulta ser el producto de los números
considerados.
Adición de fracciones
Lo anterior se puede aprovechar para la suma de fracciones, consideremos
nuevamente una colección de 24 objetos y señalaremos la suma de una
mitad más una tercera parte:
3
1
2
1 +
24
12
24
8 += 20=
24
Como vemos el resultado se encontró solamente contando y sin ningún
problema.
Si la colección consistiera de doce objetos se tendría:

79. 78
78
3
1
2
1 +
12
6
12
4 += 10=
12
Nuevamente el resultado se puede encontrar sñolo contando, no existe
ninguna dificultad adicional.
Si la colección consistiera de seis objetos se tendría:
3
1
2
1
+
6
3
6
2
+=
5
=
6
Si la colección consistiera de tres objetos no se podría realizar esta operación
sin cortar uno de los cuadritos, esto nos ayudaría a reconocer que se debe
utilizar en la suma los menores denominadores posibles y el uso de
denominadores comúnes además de que este puede obtenerse con la
multiplicación de los denominadores. El algoritmo para sumar fracciones
surge de manera inmediata, sin problemas ni actos de fe, absolutamente
prohibidos en matemáticas.
Veamos otro ejemplo, sumar un tercio con un quinto. Apoyados en lo
realizado con anterioridad vemos que una colección de quince objetos sirve
muy bien para nuestros propósitos:

80. 79
79
3
1
5
1 +
15
3
15
5 += 8=
15
Esto puede aplicarse en caso de que el resultado sea mayor que la unidad,
por ejemplo, para efectuar la suma de dos tercios más tres cuartos:
3
3
4
2
+
Tenemos que representar esta situación con una colección que sea
susceptible de dividirse en tercios y cuartos de manera simultánea, esto nos
conduciría a analizar varios casos, una de tres, una de cuatro, una de seis,
una de ocho y así hasta ver que la adecuada esla de doce:
3
3
4
2 +
12
8 += ...
Se podrían separa de una colección de doce los dos tercios pero faltarian
fichas para separar los tres cuartos, por ello nos veremos en la necesidad de
tomar otra unidad o sea otros doce cuaditos:

81. 80
80
3
3
4
2
+
12
9
12
8
+=
Por lo tanto el resultado sería 17 de los cuadritos, de una unidad de doce, lo
cual es razonable porque requerimos de tomar otra unidad, así que el
resultado es una unidad más cinco doceavos:
3
3
4
2 +
12
9
12
8 += 17=
12
5=
121
Todos los problemas catastróficos con las fracciones se pueden resolver
contando, el único aspecto por considerar es que las fracciones que se
manejan estén en las mismas unidades, lo cual es natural, recordemos que
si sumaramos: 2m + 3m el resultado sin dudar sería 5m, si consideramos
unidades de peso 2Kg + 3 Kg = 5 Kg, entonces por uqe no anticipar que:
8 doceavos + 9 doceavos = 17 doceavos
Es decir la palabra “doceavos” esta siendo interpretada como una unidad de
medida.
Diferencia de fracciones
Para restar fracciones se procede de la isma manera que la suma de
fracciones. Consideremos otra vez una colección de 24 objetos y señalaremos
la resta de una mitad menos una tercera parte:

82. 81
81
2
1
3
1 - 24
8
24
12= 4=
24
mitad
tercio
-
Contando se volvió a encontrar el resultado.
Si la colección consistiera de doce objetos se tendría:
2
1
3
1
-
12
4
12
6
-=
2
=
12
Nuevamente el resultado se puede encontrar sólo contando, no existe
ninguna dificultad adicional.
Si la colección consistiera de seis objetos se tendría:
2
1
3
1 -
6
2
6
3 += 1=
6
Reconocemos de nuevo la necesidad de utilizar los menores denominadores
posibles y el uso de denominadores comúnes. El algoritmo para restar
fracciones emerge inmediatamente.

83. 82
82
Como se dijo con anterioridad, resulta inmediato que 2m + 3m = 5m o en
otro caso 2Kg + 3 Kg = 5 Kg, entonces por que no pensar los denominadores
comúnes como unidades de medida, de hecholo son:
11 doceavos + 7 doceavos = 4 doceavos
Multiplicación de fracciones
Llegamos ahora a un punto interesante que es el de la multiplicación de
fracciones. Consideremos para esta sección al producto de dos números como
el área de un rectángulo, como ya se utilizó con anterioridad.
Iniciemos nuestra discusión con la multiplicación:
1
2
1
3

Para ello consideremos un rectángulo con lados en los que se de la relación
expresada en los factores:
1/3
1/2
1/3
1/2
Luego se completa el rectángulo
con cuadros blancos
En un lado se marca un medio y en el otro un tercio, al completar el
rectángulo se observa que el área obscura es 1/6 del total, por lo tanto:
1
2
1
3
1
6
 
Veamos otro ejemplo
2
3
4
5

2/3
4/5
Luego se completa el rectángulo
con cuadros blancos y obscuros
2/3
4/5
según corresponda
Por tanto:
2
3
4
5
8
15
 
Con estas ideas el algoritmo salta a la vista. Cabe mencionar que en el caso
de la suma y la resta de fracciones se procedia a transformar las cantidades

84. 83
83
que se tenían con el mismo denominador y por tanto lo que se hacía era
operar solamente los numeradores conservando el mismo denominador.
2
3
4
5
10
15
12
15
22
15
    o
4
5
2
3
12
15
10
15
2
15
   
lo cual se asemejaba a decir:
10 m + 12 m = 22 m o 12 m - 10 m = 2m
10 Kg + 12 Kg = 22 Kg o 12 Kg - 10 Kg = 2Kg
10 quinceavos + 12 quinceavos = 22 quinceavos o
12 quinceavos - 10 quinceavos = 2 quinceavos
En el caso de la multiplicación ¿esto podría hacerse?
Si, en efecto, recordemos que
10 m  12 m = 22 m2
10 ft  12 ft = 22 ft2
3 quinceavos  5 quinceavos = 15 quinceavos2
Veamos que si se puede hacer así:
1
5
1
3
3
15
5
15
15
152
   
Entonces parece perfilarse como regla general que si se suman, restan o
multiplican fracciones se puede transformar cada elemento de la operación
al mismo denominador y sólo operar los numeradores, cuidando dar el
tratamiento adecuado a las unidades que se estén manejando y que están
representadas por el denominador común.
División de fracciones
Después de lo anterior no resulta difícil considerar a la división como una
operación invesrsa de la multiplicación. Por lo cual tenemos que encontrar
un lado de un rectángulo del cual sabemos el área total (dividendo) y uno de
los lados (divisor). Veamos algunos ejemplos:
1
6
1
3


85. 84
84
1/3
1/6
1/3
1/6
Luego se completa el rectángulo
con cuadros blancos
1/2
Por tanto:
1
6
1
3
1
2
 
Veamos otro ejemplo
8
15
2
3

2/3
8/15
Luego se completa el rectángulo
con cuadros blancos y obscuros
2/3
4/5
según corresponda
8/15
Por tanto:
8
15
2
3
4
5
 
En el caso de la división ¿podría hacerse como si se manejaran unidades?
Si, en efecto, recordemos que
10 m  5 m = 2
36 ft  12 ft = 3
¿36 veinticuatravos  12 veinticuatravos = 36  12 = 3?
Veamos que si se puede hacer así:
9
6
2
4
36
24
12
24
36
12
   
Entonces, sin duda, sólo hay un algoritmo para realizar operaciones con
fracciones:
Transformar cada elemento de la operación al mismo denominador y sólo
operar los numeradores, considerando a los denominadores como unidades y
sujetándose a las reglas para éstas.
ALGORITMOS ANALOGÍAS

86. 85
85
a
b
c
d
ad
bd
cb
bd
ad cb
bd
   

a
b
c
d
ad
bd
cb
bd
ad cb
bd
   

a
b
c
d
ad
bd
cb
bd
ad cb
bd
   

2
a
b
c
d
ad
bd
cb
bd
ad
cb
   
ad m + cb m = (ad + cb) m
ad m - cb m = (ad - cb) m
ad m  cb m = (ad  cb) m
ad m  cb m = (ad  cb)

87. 86
86
Bibliografía:
Dienes, Z (1972); Algebra; Varazán
Howden, H.; Algebra Tiles for the Overhead Projector; Cuisenaire
Dreyfous, R.; Algebloks, user´s manual; Dreyfous & Assoc.