Este documento resume varios conceptos clave relacionados con las sumatorias y las integrales definidas. Introduce la notación sigma para representar sumatorias y cómo se usa para aproximar el área bajo una curva. Explica cómo dividir el área bajo una curva en rectángulos para calcularla numéricamente y define las integrales definidas con sus límites superior e inferior. Resume el teorema del valor medio y el teorema fundamental del cálculo, que establece que la integral y la derivada son inversas la una de la otra.

1. Contenidos de la Unidad I.
Notación Sigma:
Estas indican la sumatoria de una serie de términos que competen a una expresión
algebraica. En general la notación Σ, se usa para abreviar una SUMATORIA es decir una
suma de varios (o incluso un número infinito) de términos. Tiene muchas aplicaciones y
propiedades, una de las más importantes es la que se refiere a sus usos para aproximar el
área bajo la curva de una función.
Como por Ejemplo:
Donde "n" es un entero y representa el índice superior. El índice inferior
puede comenzar en cualquier entero y el índice superior siempre será mayor o igual que el
inferior.
Suma superior e inferior área bajo la curva:
Para calcular el área bajo una curva usaremos Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y continúa
en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", las áreas se dividen en rectángulos y
para calcular el área de cada uno de ellos se incluye una parte del rectángulo que no
pertenece al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación.

2. Integrales definidas:
En estas podemos definir la integral donde “a”(límite inferior) hasta “b”(límite superior),
donde F(x) es la función a integral y “dx” es la derivación a integrar.
Entonces la integral definida de f de a hasta b es el número:
= .
La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en
lugar de x sin que cambie el valor de la integral.
Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas,
se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aun
cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje
x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.
Teorema del valor medio para las integrales:
Esta es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. En esencia el teorema
dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el
intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que
la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f
(b)).
Es decir:

3. Forma integral del Teorema del valor medio:
Para una función continua en el cerrado , existe un valor en dicho intervalo,
tal que1
Demostración:
Dado que la función es continua en el cerrado , posee un valor máximo en dicho
intervalo para algún , que llamaremos y también un valor mínimo
en el mismo intervalo: , para algún .
Es decir y . Si consideramos
las áreas de los rectángulos con base y altura ó tendremos la siguiente
desigualdad:
Lo que implica:
De donde se deduce que debe existir algún para el cual la función alcanza el
valor de la integral , es decir:

4. .
Teorema fundamental del cálculo:
En conclusión este teorema dice que el Diferencial y la Integral son inversos, el uno del
otro.
TEOREMAS:
Sustitución y cambio de variable:
Los cambios de variables son de una gran utilidad en el cálculo integral ya que no siempre
tendremos integrales inmediatas que se resuelvan por los diferentes teoremas ya que existen
expresiones que deben ser modificadas o expresadas de otra forma para su respuesta.

5. Sea x2 + 2 = u, entonces du = 2xdx de donde du/2 = xdx y
reemplazando nos queda: