El documento resume las propiedades y conceptos fundamentales de las sumatorias, integrales definidas y el teorema fundamental del cálculo. Explica que una sumatoria indica la suma de una serie de términos algebraicos entre un intervalo especificado, y que las integrales definidas calculan el área bajo una curva dividiéndola en rectángulos infinitesimales. También resume 10 propiedades clave de las integrales definidas y explica el teorema del valor medio y el teorema fundamental del cálculo.

1. Universidad Fermín Toro
Decanato de ingeniería
Cabudare- Edo. Lara
Integrante:
Gómez Morao, Gustavo Alejandro
C.I:
22.844.761
Sección:
SAIA A
Tutor:
Méndez, Domingo

2. Sumatoria:
Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que corresponden a una expresión
algebraica y que mediante alguna expresión se puede generalizar en un tamaño de intervalo
específico, incrementándose siempre en una unidad. La sumatoria se denota mediante la
letra griega sigma (Σ), en cuya parte inferior y superior se especifica el tamaño del intervalo
en que se desarrollará. Estos números reciben el nombre de índice inferior e índice superior.
Índice superior
Índice
inferior
Donde "n" es un entero. El índice inferior puede comenzar en cualquier entero y el
índice superior siempre será mayor o igual que el inferior. La expresión que aparece
delante del símbolo de sumatoria, siempre contendrá a la variable, en este caso es
"Xk".

3. Propiedades de la sumatoria:
1. 7.
2. 8.
3. 9.
4. 10.
5. 11.
6.

4. Suma superior e inferior:
Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y continúa en todo
el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla en una serie de polígonos
(rectángulos), calculamos el área de cada uno de estos rectángulos la suma nos dará un
valor aproximado del área real.
En la figura 2, el número de
En la figura 1, el área se rectángulos se ha
dividió en dos rectángulos y incrementado y observamos
al calcular el área de cada que la parte que no nos
uno de ellos, se incluye una interesa es menor que a la de
parte del rectángulo que no la figura 1, lo que nos conduce
pertenece al área buscada, a concluir que a mayor número
por lo tanto esta es una de rectángulos "n" más nos
aproximación. aproximamos al área real.

5. Integral definida:
Si a la expresión obtenida para la suma de Riemann le tomamos el límite ya que k =1, 2, 3, 4,
5,....,..n y existe, es decir podemos definir la integral definida de F desde a hasta b por donde
"a" representa el límite inferior y "b" el límite superior de la integral.
Observando la definición de los términos de la integral definida, observamos que F(bk) es la
altura del rectángulo que llamamos partición y Dxk es el ancho del rectángulo de tal manera
que su producto no es más que el área del rectángulo y después de sumar cada una de estas
mismas, obtendremos dicha área bajo la curva, siendo F(x), en el intervalo dado [a, b].

6. Propiedades de la integral definida:
Para facilitar el calculo de una integral definida, sin tener que recurrir a la definición
dada en el capitulo anterior, a continuación les proporcionaremos las siguientes
propiedades de las integrales definidas.
1. Si a > b entonces: 2. Si f(a) existe entonces:
3. Si k es una constante 4. Si la función f es integrable en [a, b] y k
Cualquiera entonces: es una constante arbitraria, entonces:

7. Propiedades de la integral definida:
5. Si las funciones f y g son integrables 6. Si f es integrable en [a, b]; [a, c];
en [a, b], entonces f ± g también es [c, b], y a < c < b
integrable en [a, b]
7. Si f es integrable en un intervalo 8. Si f es integrable en [a, b], y f(x) ≥ 0,
cerrado 1 y (a, b, c) Є 1 para todo x Є [a, b]
9. Si las funciones f y g son 10. Sea f continua en [a, b], si m es el
integrables en [a, b] y f(x) ≥ valor mínimo absoluto y M el valor
g(x) para todo x Є [a, b] máximo absoluto de f en [a, b] y
m ≤ f(x) ≤ M, a ≤ x ≤ b

8. La interpretación geométrica del teorema 10 es la siguiente:
Como f(x) ≥ 0, para todo x Є [a, b], el área de la región baja la curva de f(x),
encerrada entre las rectas x = a y x = b y el eje x esta dada por la integral definida
(1).
El área de la región rectangular cuyas dimensiones son M y (b-a) es mayor que el
área dada por (1) y, el área de la región rectangular cuyas dimensiones son m y
(b- a) es menor que el área dada por (1).

9. Teorema del valor medio (T.V.M):
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe un numero z en
[a, b] tal que:
Considerando a f(x) ≥ 0, para todo x Є [a, b];
en este caso Se toma como el área de
la región encerrada por la curca de f(x), las
rectas x=a, x=b, y el eje x. Entonces, el
teorema antes presentado establece que
existe un numero z Є [a, b] tal que el área
del rectángulo ABCD cuyas dimensiones son
la altura f(z) y el ancho (a-b) es igual a la
región ABDF.

10. Teorema fundamental del calculo:
I. Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y sea la función F definida
por:
, para toda x Є [a, b];
Entonces, F es una anti derivada de f en [a, b] , esto es:
II. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] si F es una anti
derivada de f en [a, b], entonces: