Este documento presenta varios conceptos clave relacionados con las sumatorias y las integrales definidas. Explica que una sumatoria indica la suma de una serie de términos y se denota con el símbolo Σ. También describe cómo el método de Riemann puede usarse para calcular el área bajo una curva dividiéndola en rectángulos y sumando sus áreas. Por último, resume algunas propiedades importantes de las integrales definidas como el Teorema del Valor Medio y los Teoremas Fundamentales del Cálculo.

1. Universidad “Fermín Toro”
Vicerectorado Académico
Facultad de Ingeniería
Escuela de Computación
Estudiante:
Yoselin D. Rojas L. 21.727.009
Barquisimeto, Junio 2012

2. Notación Sigma
Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que
corresponden a una suma algebraica, la misma está denotada por ∑.
Donde, en su parte superior e inferior indican el intervalo a desarrollar; se
expresa de la siguiente forma:
“n” es un número entero que nos indica el índice superior, “k” nos
indica el índice inferior, puede ser cualquier entero menor, o igual a “n”; y por
último, la expresión delante del símbolo de suma, que indica la variable.

3. Propiedades.
Suma Superior e Inferior
Las propiedades nos permiten desarrollar expresiones para calcular áreas
limitadas por curvas planas.
Para calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ≥ 0 y continúa
en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirlo en una serie
de rectángulos, calculando el área de cada uno de ellos, la suma nos dará un valor
aproximado del área real.
El área se dividió en dos rectángulos y al calcular el área de cada
uno de ellos, se incluye una parte del rectángulo que no pertenece
al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación.
El número de rectángulos se ha incrementado hasta 9, se observa
que la parte que no nos interesa es menor que cuando se usan 2
rectángulos.
Podemos concluir que si el número de rectángulos "n" se hace muy grande,
entonces el área calculada será casi exactamente el área buscada.

4. La Integral Definida
“Suma de Riemann: Es un método de integración numérica que sirve para
calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este
método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del
Cálculo.”
Si a la expresión obtenida para la suma se le toma el límite ya que k =n
y existe, es decir, se puede definir la integral definida de F desde a hasta b por
donde "a" representa el límite inferior y "b" el límite superior de la integral.
F(bk)es la altura del rectángulo llamado partición
Dxk es el ancho del rectángulo de tal manera que su producto no es más que el
área del rectángulo.
Después de sumar cada una de estas mismas, se obtendrá dicha área
bajo la curva, siendo F(x), en el intervalo dado [a, b].

5. Propiedades de la Integral
Definida
Las propiedades mas resaltantes son:
1: si f(a) existe
2: si a > b
3: si f es integrable en un intervalo cerrado I y {a,b,c} ϵ I
4: si la función f es integrable en [a,b] y k es una constante
5: si las funciones f y g son integrables en [a,b]
entonces, f ± g también

6. Teorema del Valor Medio.
Integral Definida
Dada una función "f" contínua en un intervalo cerrado [a, b], existe al
menos un valor dentro del mismo, tal que la derivada de la función evaluada en
"c", representa dicho valor promedio, conocido también como valor medio para
integrales.

7. Teoremas Fundamentales del
Cálculo
Establece que el Diferencial y la Integral son inversos el uno del otro.
Primer Teorema:
Segundo Teorema:

8. Sustitución y Cambio de
Variables
No siempre habrá una integral que se resuelva directamente aplicando
los teoremas de la integración. Existen funciones que se deben modificar y
expresarlas de otra forma, sin que cambie la expresión integrando, para poder
encontrar su anti-derivada.
Los cambios de variable se realizan cuando en el integrando existe una
expresión que resulta de derivar otra parte de ella, éstos se complementan
mediante aplicación de artificios matemáticos.