El documento habla sobre los conceptos fundamentales del cálculo integral, incluyendo la notación sigma para sumatorias, el cálculo del área bajo una curva mediante rectángulos, la definición formal de la integral definida y sus propiedades, el teorema del valor medio, los teoremas fundamentales del cálculo, y los cambios de variable para resolver integrales.

1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Vice-rectorado Académico
Escuela de Ingeniería
Elaborado por:
Mario Linares
Ci: 21.048.175

2. 1. La Integral Definida
1.1 Notación Sigma
Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que corresponden a
una expresión algebraica y que mediante alguna expresión se puede
generalizar en un tamaño de intervalo específico, incrementándose siempre
en una unidad.
La sumatoria se denota mediante la letra griega sigma (å), en cuya parte
inferior y superior se especifica el tamaño del intervalo en que se
desarrollará. Estos números reciben el nombre de índice inferior e índice
superior.
Donde "n" es un entero y representa el índice superior. El índice inferior
puede comenzar en cualquier entero y el índice superior siempre será
mayor o igual que el inferior. La expresión que aparece delante del símbolo
de sumatoria, siempre contendrá a la variable, en este caso es "Xk".
El desarrollo de la expresión anterior nos queda:
Ejemplo:
Las siguientes propiedades de la sumatoria, constituyen teoremas cuya
demostración se puede verificar en cualquiera de las literaturas citadas.
Las propiedades son muy útiles para desarrollar expresiones que nos
permiten calcular áreas limitadas por curvas planas.
2. Suma Superior e Inferior

3. Área bajo la Curva
Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y
continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos
dividirla en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de
cada uno de estos rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del
área real.
Si observamos la figura 1, el área se dividió en dos rectángulos y al
calcular el área de cada uno de ellos, se incluye una parte del rectángulo
que no pertenece al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación.
En la figura 2, el número de rectángulos se ha incrementado hasta 9 y
observamos que la parte que no nos interesa es menor que cuando
tomamos 2 rectángulos, lo que nos conduce a concluir que a mayor número
de rectángulos "n" más nos aproximamos al área real.
Podemos finalizar que si el número de rectángulos "n" se hace muy
grande, entonces el área calculada será casi exactamente el área buscada.
3. La Integral Definida y sus propiedades
Integral Definida
Si a la expresión obtenida para la suma de Riemann le tomamos el límite
ya que k =1, 2, 3, 4, 5,....,..n y existe, es decir podemos definir la integral
definida de F desde a hasta b por donde "a" representa el límite inferior y "b"
el límite superior de la integral.

4. Observando la definición de los términos de la integral definida, observamos
que F(bk) es la altura del rectángulo que llamamos partición y Dxk es el
ancho del rectángulo de tal manera que su producto no es más que el área
del rectángulo y después de sumar cada una de estas mismas,
obtendremos dicha área bajo la curva, siendo F(x), en el intervalo dado [a,
b].
Propiedades de la integral definida

6. 4. Teorema del Valor Medio para Integrales
Dada una función "f" continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos
un valor dentro del mismo, tal que la derivada de la función evaluada en "c",
representa dicho valor promedio, conocido también como valor medio para
integrales.
La siguiente propiedad de la integral definida sirve de base para demostrar
el Primer Teorema fundamental del cálculo.

7. 5. Teorema Fundamental del Cálculo
A grandes rasgos, el Teorema fundamental del Cálculo establece que el Diferencial y la Integral son
inversos, el uno del otro.
Teoremas fundamentales del cálculo
Primer teorema fundamental del cálculo:
Segundo teorema fundamental del cálculo:
6. Sustitución y cambio de Variable

8. No siempre tendremos una integral que se resuelva directamente aplicando
los teoremas de la integración. Existen expresiones (funciones) que se
deben modificar y expresarlas de otra forma, sin que cambie la expresión
integrando, para poder encontrar su anti derivada.
Los cambios de variable se realizan cuando en el integrando existe una
expresión que resulta de derivar otra parte de ella, éstos se complementan
mediante aplicación de artificios matemáticos. Veamos el siguiente ejemplo:
Sea x2 + 2 = u, entonces du = 2xdx de donde du/2 = xdx y reemplazando
nos queda: