El documento describe la crisis de los fundamentos de las matemáticas en el siglo XIX. Se cuestionaron los axiomas de Euclides y se descubrieron geometrías no euclidianas. También se descubrió que los conjuntos infinitos plantean paradojas como la de Russell y que conceptos como los números reales son mayores que otros conjuntos. Esto llevó a debates sobre cómo reconstruir los fundamentos de las matemáticas de forma consistente.
Euclides de Alejandría vivió entre el 325 y 265 a.C. y es conocido principalmente por su obra "Los Elementos", un tratado de 13 libros que recopila el conocimiento matemático de la época y que ha sido el texto de estudio más influyente y duradero de la historia, utilizado durante casi 2000 años. "Los Elementos" presenta las matemáticas de manera axiomática y deductiva, partiendo de definiciones, postulados y teoremas para demostrar proposiciones sobre geometría, números y magnitudes.
Un grafo representa relaciones binarias entre un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos. Existen diferentes tipos de grafos como simples, dirigidos, etiquetados, aleatorios e hipergrafos. Un homomorfismo en grafos es una función entre dos grafos que respeta la estructura de adyacencia. La conexidad en grafos determina si son conexos o disconexos dependiendo de si existe o no una cadena entre vértices. Los grafos eulerianos y hamiltonianos se definen por la
El documento describe las contribuciones de varios matemáticos importantes en la historia del cálculo, incluyendo a Arquímedes, quien desarrolló métodos para calcular áreas y volúmenes, Fermat, quien descubrió el principio fundamental de la geometría analítica y trabajó en teoría de números, Barrow, quien calculó tangentes y avanzó el cálculo moderno, y Newton y Leibniz, quienes desarrollaron independientemente el cálculo integral y diferencial.
El documento describe las contribuciones de varios matemáticos importantes en la historia del cálculo, incluyendo Arquímedes, quien desarrolló métodos para calcular áreas y volúmenes, Fermat, quien descubrió el principio fundamental de la geometría analítica y trabajó en teoría de números, Barrow, quien calculó tangentes y ayudó a iniciar el cálculo moderno, y Newton, quien compartió el desarrollo del cálculo integral y diferencial con Leibniz y formuló las leyes de la f
Este documento presenta y analiza varias paradojas matemáticas que han influido en el desarrollo del pensamiento matemático. Describe siete paradojas, incluyendo las paradojas de Zenón sobre el movimiento y la paradoja de Galileo. Las clasifica en dos grupos: paradojas semánticas, relacionadas con el significado de conceptos como infinito, y paradojas lógicas, que contradicen el principio del tercer excluido. El documento muestra cómo estas paradojas llevaron a cuestionar conceptos como igual
Euclides de Alejandría fue un matemático griego del siglo III a.C. conocido principalmente por su obra Los Elementos, compuesta por 13 libros que contienen las bases de la geometría y sirvieron de inspiración para grandes matemáticos. Los Elementos presentan definiciones, postulados, teoremas y problemas sobre geometría plana y del espacio tridimensional. El libro ha permanecido vigente durante más de 2300 años como la obra científica más influyente de todos los tiempos.
Las ecuaciones diferenciales surgieron para resolver problemas de física y geometría relacionados con el movimiento planetario y otros fenómenos. Isaac Newton y Gottfried Leibniz iniciaron su estudio sistemático en el siglo XVII. Desde entonces, matemáticos como Euler, Lagrange, Fourier y otros han hecho contribuciones importantes a la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.
Euclides de Alejandría vivió entre el 325 y 265 a.C. y es conocido principalmente por su obra "Los Elementos", un tratado de 13 libros que recopila el conocimiento matemático de la época y que ha sido el texto de estudio más influyente y duradero de la historia, utilizado durante casi 2000 años. "Los Elementos" presenta las matemáticas de manera axiomática y deductiva, partiendo de definiciones, postulados y teoremas para demostrar proposiciones sobre geometría, números y magnitudes.
Un grafo representa relaciones binarias entre un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos. Existen diferentes tipos de grafos como simples, dirigidos, etiquetados, aleatorios e hipergrafos. Un homomorfismo en grafos es una función entre dos grafos que respeta la estructura de adyacencia. La conexidad en grafos determina si son conexos o disconexos dependiendo de si existe o no una cadena entre vértices. Los grafos eulerianos y hamiltonianos se definen por la
El documento describe las contribuciones de varios matemáticos importantes en la historia del cálculo, incluyendo a Arquímedes, quien desarrolló métodos para calcular áreas y volúmenes, Fermat, quien descubrió el principio fundamental de la geometría analítica y trabajó en teoría de números, Barrow, quien calculó tangentes y avanzó el cálculo moderno, y Newton y Leibniz, quienes desarrollaron independientemente el cálculo integral y diferencial.
El documento describe las contribuciones de varios matemáticos importantes en la historia del cálculo, incluyendo Arquímedes, quien desarrolló métodos para calcular áreas y volúmenes, Fermat, quien descubrió el principio fundamental de la geometría analítica y trabajó en teoría de números, Barrow, quien calculó tangentes y ayudó a iniciar el cálculo moderno, y Newton, quien compartió el desarrollo del cálculo integral y diferencial con Leibniz y formuló las leyes de la f
Este documento presenta y analiza varias paradojas matemáticas que han influido en el desarrollo del pensamiento matemático. Describe siete paradojas, incluyendo las paradojas de Zenón sobre el movimiento y la paradoja de Galileo. Las clasifica en dos grupos: paradojas semánticas, relacionadas con el significado de conceptos como infinito, y paradojas lógicas, que contradicen el principio del tercer excluido. El documento muestra cómo estas paradojas llevaron a cuestionar conceptos como igual
Euclides de Alejandría fue un matemático griego del siglo III a.C. conocido principalmente por su obra Los Elementos, compuesta por 13 libros que contienen las bases de la geometría y sirvieron de inspiración para grandes matemáticos. Los Elementos presentan definiciones, postulados, teoremas y problemas sobre geometría plana y del espacio tridimensional. El libro ha permanecido vigente durante más de 2300 años como la obra científica más influyente de todos los tiempos.
Las ecuaciones diferenciales surgieron para resolver problemas de física y geometría relacionados con el movimiento planetario y otros fenómenos. Isaac Newton y Gottfried Leibniz iniciaron su estudio sistemático en el siglo XVII. Desde entonces, matemáticos como Euler, Lagrange, Fourier y otros han hecho contribuciones importantes a la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.
Este documento muestra una introduccion a la Topologia Matematica con ejemplos de rompecabezas topologicos. Ademas de informacion introductoria con ejemplos de la Teoria de Grafos y la Teoria de Nudos; las cuales son dos ramas de la Topologia.
Este documento describe las tres crisis principales en la historia de las matemáticas: (1) la primera crisis involucró la geometría de Euclides y el quinto postulado de Euclides, (2) la segunda crisis involucró la introducción de nuevos objetos matemáticos como números negativos y complejos, y (3) la tercera crisis involucró los sistemas lógicos y el trabajo de Gödel mostrando que hay enunciados indecidibles en matemáticas. A través de estas crisis, las matemáticas se han enriquecido al
David Hilbert fue un matemático alemán que realizó importantes contribuciones en áreas como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert. Algunas de sus ideas clave incluyen establecer axiomas para la geometría, definir el concepto de espacio vectorial normado infinitamente grande conocido como espacio de Hilbert, y proponer 23 problemas matemáticos conocidos como problemas de Hilbert.
Los Elementos de Euclides es un tratado matemático compuesto de 13 libros que tratan sobre geometría, teoría de números y geometría del espacio. Euclides introduce definiciones, nociones comunes y cinco postulados para construir el resto de proposiciones de manera lógica y deductiva. Los Elementos ha sido una obra fundamental y ha servido como libro de texto durante más de 2000 años.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet fue un matemático alemán que realizó importantes contribuciones en el campo de la teoría de números y el análisis matemático. Se destacó por desarrollar la teoría de las series de Fourier y establecer criterios de convergencia para las series. También perfeccionó la definición de función y aplicó métodos analíticos al estudio de problemas aritméticos y teóricos.
Este documento presenta una línea de tiempo sobre la crisis de los fundamentos matemáticos desde la antigua Grecia hasta el siglo XX. Destaca hitos como las dudas sobre el infinito planteadas por Zenón en el siglo V a.C., el desarrollo del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz en los siglos XVII-XVIII, y los esfuerzos de Cauchy, Weierstrass y Dedekind por establecer conceptos como límite y número real con rigor en el siglo XIX. Finalmente, examina las diferentes posiciones sobre
El documento describe las contribuciones de varios matemáticos a lo largo de la historia al desarrollo del concepto de función y los fundamentos del cálculo y el análisis matemático. Kepler, Euler, Lagrange y Fourier ayudaron a definir funciones y sumas infinitas. Cauchy desarrolló un enfoque lógico del cálculo basado en límites. Dedekind, Cantor y Weierstrass definieron los números reales. Gauss explicó números complejos. Cantor estudió conjuntos infinitos. Los fundamentos matemáticos fueron
Las ecuaciones diferenciales surgieron con el cálculo desarrollado por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. Leibniz introdujo el término "ecuación diferencial" en 1679 para denotar una relación entre diferenciales de variables. Los hermanos Bernoulli y Euler desarrollaron métodos en el siglo XVIII para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y de orden superior. En el siglo XIX, trabajos de Cauchy, Picard y Poincaré establecieron la teoría moderna de ecuaciones diferenciales.
La trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos. Se desarrolló inicialmente para la navegación y astronomía. Los griegos crearon las primeras tablas trigonométricas y los árabes perfeccionaron las funciones seno, coseno y tangente, estableciendo las bases de la trigonometría moderna.
Here is a 3 sentence summary of the document in English:
[SUMMARY] The document discusses Euclid's Elements, a famous Greek mathematics textbook written around 300 BC. It details the organization and content of the 13-book work, which covers plane and solid geometry as well as number theory. Euclid introduced concepts through definitions and proved them as propositions, with the whole presenting the fundamental principles of mathematics in a logical and systematic way.
Conferencia patrones, algoritmos, sistemas dinámicos y fractales.-1-2010jorge2649
Este documento discute el tema de las matemáticas y los sistemas dinámicos. Explica que las matemáticas son el estudio de las estructuras y patrones, y que hacen visible lo invisible al convertir fenómenos abstractos en modelos matemáticos. También argumenta que los profesionales deben entender conceptos básicos de sistemas dinámicos como el cambio y la incertidumbre, y que se debe enseñar sobre sistemas dinámicos de tiempo discreto, continuo y probabilístico.
El método de exhausción fue creado originalmente por Eudoxo de Cnido, pero fue ampliamente utilizado por Arquímedes. Arquímedes atribuyó el origen del método a Eudoxo. Arquímedes usó el método de exhausción para demostrar proposiciones geométricas como que el lado y la diagonal de un cuadrado son inconmensurables, y para aproximar valores como la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. Aunque el método conduce a resultados correctos, su concepci
El documento describe los problemas resueltos por el cálculo integral, incluyendo calcular velocidades y aceleraciones a partir de distancias, tangentes a curvas, valores máximos y mínimos de funciones, áreas, volúmenes y centros de gravedad. También resume las contribuciones de figuras históricas como Newton, Leibniz, Cavalieri y otros al desarrollo del cálculo integral.
SE CONSIDERAN ALGUNOS FRACMENTOS DE LO AMPLIO QUE ES LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA. ESPECÍFICAMENTE CORRESPONDE A LA HISTORIA DE LA GEOMETRÍA. TRATA ASPECTOS IMPORTANTES DE COMO FUE EVOLUCIONANDO ESTA ÁREA DE LA MATEMÁTICA.
El cálculo diferencial se originó en el siglo XVII para estudiar el movimiento de cuerpos en caída libre y la velocidad en cada instante. Isaac Newton y Gottfried Leibniz son considerados los fundadores del cálculo diferencial, aunque utilizan símbolos diferentes. El cálculo diferencial se ha desarrollado a lo largo de los años para analizar procesos de cambio constante en diversas áreas como la ciencia, la economía y la ingeniería.
El documento compara las contribuciones de Newton y Leibniz al desarrollo del cálculo integral y diferencial. Ambos matemáticos compartieron el crédito por este descubrimiento y cada uno hizo contribuciones importantes a las matemáticas, aunque inicialmente hubo desacuerdos entre ellos.
La geometría no euclidiana fue desarrollada en el siglo XIX por matemáticos como Lobachevsky, Bolyai y Riemann, quienes propusieron sistemas alternativos al de Euclides al permitir más de una línea paralela por punto o triángulos con suma de ángulos menor a 180 grados. Más adelante, Riemann sugirió geometrías en superficies curvas que influyeron en artistas del siglo XX como los cubistas.
El documento describe los conceptos de axioma, postulado y diferentes tipos de geometría. Explica que un axioma es una proposición evidente que se acepta sin demostración, mientras que un postulado no necesariamente es evidente. Luego discute los cinco postulados de Euclides y diferentes tipos de geometría no euclidiana como la hiperbólica y elíptica. Finalmente, provee ejemplos de modelos geométricos no euclidianos como una esfera donde las líneas rectas son circunferencias.
1) El documento trata sobre temas de cálculo infinitesimal, teoría de números, y biografías de importantes matemáticos como Newton, Leibniz, Euler y otros. 2) Explica conceptos como el cálculo diferencial, integral, y la historia del desarrollo del cálculo desde la antigua geometría griega hasta los fundamentos sólidos establecidos en el siglo XIX. 3) También resume la teoría de números, la conjetura de Goldbach, y aportes de figuras como Fermat, Gauss y otros a este campo.
El documento presenta una línea de tiempo del cálculo infinitesimal. Comienza con Eudoxo y Arquímedes en el siglo IV a.C. y continúa hasta Bernhard Riemann en el siglo XIX. Los hitos incluyen los trabajos de Newton y Leibniz en el desarrollo del cálculo diferencial e integral en el siglo XVII y las contribuciones de Gauss, Bolzano y Riemann posteriormente.
La matemática griega. Historia de la ciencia Uned.John171106
Este documento resume la influencia de Platón y Aristóteles en el desarrollo de las matemáticas griegas, describe los Elementos de Euclides como la obra fundacional de la geometría axiomática, y resume las contribuciones posteriores de Arquímedes, Apolonio e Hiparco.
Este documento presenta un resumen histórico del desarrollo del método matemático desde los griegos hasta el siglo XX. Comienza describiendo las contribuciones de figuras como Hipócrates de Quío, Eudoxo, Euclides y Arquímedes en la antigua Grecia. Luego discute los intentos posteriores por demostrar el quinto postulado de Euclides y las geometrías no euclidianas propuestas por Saccheri, Riemann y otros. Finalmente, examina los intentos del siglo XX por establecer fundamentos
Este documento muestra una introduccion a la Topologia Matematica con ejemplos de rompecabezas topologicos. Ademas de informacion introductoria con ejemplos de la Teoria de Grafos y la Teoria de Nudos; las cuales son dos ramas de la Topologia.
Este documento describe las tres crisis principales en la historia de las matemáticas: (1) la primera crisis involucró la geometría de Euclides y el quinto postulado de Euclides, (2) la segunda crisis involucró la introducción de nuevos objetos matemáticos como números negativos y complejos, y (3) la tercera crisis involucró los sistemas lógicos y el trabajo de Gödel mostrando que hay enunciados indecidibles en matemáticas. A través de estas crisis, las matemáticas se han enriquecido al
David Hilbert fue un matemático alemán que realizó importantes contribuciones en áreas como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert. Algunas de sus ideas clave incluyen establecer axiomas para la geometría, definir el concepto de espacio vectorial normado infinitamente grande conocido como espacio de Hilbert, y proponer 23 problemas matemáticos conocidos como problemas de Hilbert.
Los Elementos de Euclides es un tratado matemático compuesto de 13 libros que tratan sobre geometría, teoría de números y geometría del espacio. Euclides introduce definiciones, nociones comunes y cinco postulados para construir el resto de proposiciones de manera lógica y deductiva. Los Elementos ha sido una obra fundamental y ha servido como libro de texto durante más de 2000 años.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet fue un matemático alemán que realizó importantes contribuciones en el campo de la teoría de números y el análisis matemático. Se destacó por desarrollar la teoría de las series de Fourier y establecer criterios de convergencia para las series. También perfeccionó la definición de función y aplicó métodos analíticos al estudio de problemas aritméticos y teóricos.
Este documento presenta una línea de tiempo sobre la crisis de los fundamentos matemáticos desde la antigua Grecia hasta el siglo XX. Destaca hitos como las dudas sobre el infinito planteadas por Zenón en el siglo V a.C., el desarrollo del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz en los siglos XVII-XVIII, y los esfuerzos de Cauchy, Weierstrass y Dedekind por establecer conceptos como límite y número real con rigor en el siglo XIX. Finalmente, examina las diferentes posiciones sobre
El documento describe las contribuciones de varios matemáticos a lo largo de la historia al desarrollo del concepto de función y los fundamentos del cálculo y el análisis matemático. Kepler, Euler, Lagrange y Fourier ayudaron a definir funciones y sumas infinitas. Cauchy desarrolló un enfoque lógico del cálculo basado en límites. Dedekind, Cantor y Weierstrass definieron los números reales. Gauss explicó números complejos. Cantor estudió conjuntos infinitos. Los fundamentos matemáticos fueron
Las ecuaciones diferenciales surgieron con el cálculo desarrollado por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. Leibniz introdujo el término "ecuación diferencial" en 1679 para denotar una relación entre diferenciales de variables. Los hermanos Bernoulli y Euler desarrollaron métodos en el siglo XVIII para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y de orden superior. En el siglo XIX, trabajos de Cauchy, Picard y Poincaré establecieron la teoría moderna de ecuaciones diferenciales.
La trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos. Se desarrolló inicialmente para la navegación y astronomía. Los griegos crearon las primeras tablas trigonométricas y los árabes perfeccionaron las funciones seno, coseno y tangente, estableciendo las bases de la trigonometría moderna.
Here is a 3 sentence summary of the document in English:
[SUMMARY] The document discusses Euclid's Elements, a famous Greek mathematics textbook written around 300 BC. It details the organization and content of the 13-book work, which covers plane and solid geometry as well as number theory. Euclid introduced concepts through definitions and proved them as propositions, with the whole presenting the fundamental principles of mathematics in a logical and systematic way.
Conferencia patrones, algoritmos, sistemas dinámicos y fractales.-1-2010jorge2649
Este documento discute el tema de las matemáticas y los sistemas dinámicos. Explica que las matemáticas son el estudio de las estructuras y patrones, y que hacen visible lo invisible al convertir fenómenos abstractos en modelos matemáticos. También argumenta que los profesionales deben entender conceptos básicos de sistemas dinámicos como el cambio y la incertidumbre, y que se debe enseñar sobre sistemas dinámicos de tiempo discreto, continuo y probabilístico.
El método de exhausción fue creado originalmente por Eudoxo de Cnido, pero fue ampliamente utilizado por Arquímedes. Arquímedes atribuyó el origen del método a Eudoxo. Arquímedes usó el método de exhausción para demostrar proposiciones geométricas como que el lado y la diagonal de un cuadrado son inconmensurables, y para aproximar valores como la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. Aunque el método conduce a resultados correctos, su concepci
El documento describe los problemas resueltos por el cálculo integral, incluyendo calcular velocidades y aceleraciones a partir de distancias, tangentes a curvas, valores máximos y mínimos de funciones, áreas, volúmenes y centros de gravedad. También resume las contribuciones de figuras históricas como Newton, Leibniz, Cavalieri y otros al desarrollo del cálculo integral.
SE CONSIDERAN ALGUNOS FRACMENTOS DE LO AMPLIO QUE ES LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA. ESPECÍFICAMENTE CORRESPONDE A LA HISTORIA DE LA GEOMETRÍA. TRATA ASPECTOS IMPORTANTES DE COMO FUE EVOLUCIONANDO ESTA ÁREA DE LA MATEMÁTICA.
El cálculo diferencial se originó en el siglo XVII para estudiar el movimiento de cuerpos en caída libre y la velocidad en cada instante. Isaac Newton y Gottfried Leibniz son considerados los fundadores del cálculo diferencial, aunque utilizan símbolos diferentes. El cálculo diferencial se ha desarrollado a lo largo de los años para analizar procesos de cambio constante en diversas áreas como la ciencia, la economía y la ingeniería.
El documento compara las contribuciones de Newton y Leibniz al desarrollo del cálculo integral y diferencial. Ambos matemáticos compartieron el crédito por este descubrimiento y cada uno hizo contribuciones importantes a las matemáticas, aunque inicialmente hubo desacuerdos entre ellos.
La geometría no euclidiana fue desarrollada en el siglo XIX por matemáticos como Lobachevsky, Bolyai y Riemann, quienes propusieron sistemas alternativos al de Euclides al permitir más de una línea paralela por punto o triángulos con suma de ángulos menor a 180 grados. Más adelante, Riemann sugirió geometrías en superficies curvas que influyeron en artistas del siglo XX como los cubistas.
El documento describe los conceptos de axioma, postulado y diferentes tipos de geometría. Explica que un axioma es una proposición evidente que se acepta sin demostración, mientras que un postulado no necesariamente es evidente. Luego discute los cinco postulados de Euclides y diferentes tipos de geometría no euclidiana como la hiperbólica y elíptica. Finalmente, provee ejemplos de modelos geométricos no euclidianos como una esfera donde las líneas rectas son circunferencias.
1) El documento trata sobre temas de cálculo infinitesimal, teoría de números, y biografías de importantes matemáticos como Newton, Leibniz, Euler y otros. 2) Explica conceptos como el cálculo diferencial, integral, y la historia del desarrollo del cálculo desde la antigua geometría griega hasta los fundamentos sólidos establecidos en el siglo XIX. 3) También resume la teoría de números, la conjetura de Goldbach, y aportes de figuras como Fermat, Gauss y otros a este campo.
El documento presenta una línea de tiempo del cálculo infinitesimal. Comienza con Eudoxo y Arquímedes en el siglo IV a.C. y continúa hasta Bernhard Riemann en el siglo XIX. Los hitos incluyen los trabajos de Newton y Leibniz en el desarrollo del cálculo diferencial e integral en el siglo XVII y las contribuciones de Gauss, Bolzano y Riemann posteriormente.
La matemática griega. Historia de la ciencia Uned.John171106
Este documento resume la influencia de Platón y Aristóteles en el desarrollo de las matemáticas griegas, describe los Elementos de Euclides como la obra fundacional de la geometría axiomática, y resume las contribuciones posteriores de Arquímedes, Apolonio e Hiparco.
Este documento presenta un resumen histórico del desarrollo del método matemático desde los griegos hasta el siglo XX. Comienza describiendo las contribuciones de figuras como Hipócrates de Quío, Eudoxo, Euclides y Arquímedes en la antigua Grecia. Luego discute los intentos posteriores por demostrar el quinto postulado de Euclides y las geometrías no euclidianas propuestas por Saccheri, Riemann y otros. Finalmente, examina los intentos del siglo XX por establecer fundamentos
Este documento resume la historia de la geometría desde sus orígenes como medición de la tierra hasta convertirse en la ciencia que estudia las propiedades de los elementos geométricos. Detalla los aportes de importantes matemáticos como Euclides, Arquímedes, Apolonio de Perga, Descartes, Pascal, Euler, Gauss, Lobachevski entre otros, que revolucionaron el estudio de la geometría a través de los siglos.
..Historia de la geometria euclidiana y no euclidianaKaty B.
Este documento resume la historia de la geometría desde sus orígenes como medición de la tierra hasta su evolución como ciencia abstracta. Detalla las contribuciones de importantes matemáticos como Euclides, Arquímedes, Apolonio de Perga, Descartes, Pascal, Euler, Gauss, Lobachevski, entre otros, y cómo revolucionaron el estudio de las propiedades geométricas y el desarrollo de nuevos conceptos como la geometría no euclidiana.
El documento discute cómo los problemas matemáticos han impulsado el desarrollo de las matemáticas a lo largo de la historia. Identifica cuatro formas en que los problemas han contribuido: 1) Algunos problemas estuvieron en el origen de las matemáticas. 2) La resolución de problemas ha motivado nuevas ramas. 3) Otros problemas han provocado rupturas epistemológicas. 4) Algunos problemas han abierto crisis en los fundamentos. También propone cuatro periodos en el desarrollo de las matemáticas vinculados a
El documento describe la historia de las ecuaciones diferenciales. Comenzó con los primeros intentos en el siglo XVII de resolver problemas físicos usando cálculo diferencial, lo que llevó al desarrollo de esta rama de las matemáticas. En el siglo XVIII, las ecuaciones diferenciales se establecieron como un campo independiente. Científicos como Newton, Leibniz, los Bernoulli y otros hicieron contribuciones fundamentales en los siglos XVII y XVIII. El documento también define y clasifica las ecuaciones diferenciales.
El documento describe la historia de la física teórica y los intentos de unificar las diferentes teorías. La teoría de cuerdas es actualmente la teoría más prometedora para lograr una teoría unificada que incluya la gravedad. La teoría de cuerdas requiere diez dimensiones y propone que las seis dimensiones adicionales están compactadas a una escala microscópica. Existen cinco teorías de supercuerdas consistentes que podrían lograr esta unificación.
El documento resume la evolución de la geometría desde su origen como medición de la tierra hasta convertirse en la ciencia que estudia las propiedades de los elementos geométricos. Destaca las contribuciones de importantes matemáticos como Euclides, Arquímedes, Apolonio de Perga, Descartes, Pascal, Euler, Gauss, Lobachevsky entre otros, que desarrollaron conceptos fundamentales como los postulados de Euclides, el principio de Arquímedes, la geometría analítica, la teoría de probabilidades, la geometría
El documento presenta un resumen de tres teorías geométricas no euclidianas:
1) La geometría hiperbólica de Lobachevski, donde por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas.
2) La geometría elíptica de Riemann, donde por un punto exterior no pasa ninguna paralela.
3) Estas teorías generan una visión diferente del espacio, que ahora puede ser curvo en lugar de plano.
Este documento resume las principales contribuciones de varios matemáticos e históricos al desarrollo del cálculo, incluyendo a Gauss, Kepler, Cavalieri, Descartes, Pascal, Barrow, Bernoulli, Newton, Leibniz y otros. Explica brevemente sus descubrimientos en áreas como el cálculo diferencial e integral, series infinitas, geometría analítica y otros conceptos fundamentales del cálculo moderno.
Este documento resume las principales contribuciones de varios matemáticos e históricos al desarrollo del cálculo, incluyendo a Gauss, Kepler, Cavalieri, Descartes, Pascal, Barrow, Bernoulli, Newton, Leibniz y otros. Explica brevemente sus descubrimientos en áreas como el cálculo diferencial e integral, series infinitas, geometría analítica y otros conceptos fundamentales del cálculo moderno.
Este documento resume las principales contribuciones de varios matemáticos e históricos al desarrollo del cálculo, incluyendo a Gauss, Kepler, Cavalieri, Descartes, Pascal, Barrow, Bernoulli, Newton, Leibniz y otros. Explica brevemente sus descubrimientos en áreas como el cálculo diferencial e integral, series infinitas, geometría analítica y otros conceptos fundamentales del cálculo moderno.
La matemática griega se caracterizó por el deseo de conocimiento a través de la investigación racional y el interés teórico por las matemáticas. Euclides desarrolló la geometría deductiva en sus Elementos, estableciendo definiciones, axiomas, teoremas y problemas. Figuras como Thales, Pitágoras y Arquímedes realizaron importantes contribuciones y avances en geometría, números y mecánica.
Este documento introduce un nuevo paradigma emergente de discontinuidad y completitud de los números reales. Propone redefinir conceptos como cota superior e inferior mediante una definición restringida y establecer un nuevo axioma de discontinuidad y completitud. El objetivo es establecer el conjunto de los números reales como un cuerpo ordenado discontinuo y completo resolviendo anomalías del paradigma clásico de continuidad.
Este documento describe las contribuciones de importantes matemáticos al desarrollo del cálculo, como Arquímedes, Descartes, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann y Lebesgue. Cubren avances en geometría analítica, cálculo diferencial e integral, ecuaciones diferenciales, series infinitas y conceptos como la integral de Lebesgue.
Este documento describe los principales desarrollos en la fundamentación de las matemáticas desde el siglo XIX hasta principios del siglo XX. 1) Figuras como Bolzano, Cauchy, Weierstrass y Dedekind rigirizaron conceptos como la continuidad y los límites. 2) La teoría de conjuntos de Cantor revolucionó las matemáticas pero también descubrió paradojas. 3) Esto llevó a diferentes escuelas como el logicismo, el intuicionismo y el formalismo para resolver la crisis de los fundamentos.
1) Los primeros intentos de definir el infinito surgieron con Antifon y Zenón en la antigua Grecia al tratar de calcular el área de un círculo.
2) Arquímedes desarrolló métodos para calcular el área de figuras geométricas usando polígonos con más y más lados, anticipando los límites.
3) Kepler, Cavalieri y otros comenzaron a usar el lenguaje del infinito y las sumas infinitas para describir figuras geométricas, allanando el camino para el cálculo integral y
El documento presenta información sobre las contribuciones de importantes matemáticos a lo largo de la historia en áreas como geometría, cálculo diferencial, integral, ecuaciones diferenciales y teoría de números. Entre los matemáticos destacados se encuentran Arquímedes, Descartes, Pascal, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Lebesgue y otros que hicieron avances fundamentales en estas áreas clave de las matemáticas.
Este documento discute varios hitos en la historia de las matemáticas y la lógica, incluyendo los trabajos de Gödel, Cantor, Russell, Zermelo, Whitehead y Hilbert en los fundamentos de las matemáticas en el siglo XX, así como las contribuciones de Isaac Barrow, Leibniz, Gauss, Cauchy y Weierstrass a las matemáticas en los siglos XVII-XIX. También menciona el interés temprano de Galileo en las matemáticas y su invención de una balanza hidrostática.
Catalogo general Ariston Amado Salvador distribuidor oficial ValenciaAMADO SALVADOR
Distribuidor Oficial Ariston en Valencia: Amado Salvador distribuidor autorizado de Ariston, una marca líder en soluciones de calefacción y agua caliente sanitaria. Amado Salvador pone a tu disposición el catálogo completo de Ariston, encontrarás una amplia gama de productos diseñados para satisfacer las necesidades de hogares y empresas.
Calderas de condensación: Ofrecemos calderas de alta eficiencia energética que aprovechan al máximo el calor residual. Estas calderas Ariston son ideales para reducir el consumo de gas y minimizar las emisiones de CO2.
Bombas de calor: Las bombas de calor Ariston son una opción sostenible para la producción de agua caliente. Utilizan energía renovable del aire o el suelo para calentar el agua, lo que las convierte en una alternativa ecológica.
Termos eléctricos: Los termos eléctricos, como el modelo VELIS TECH DRY (sustito de los modelos Duo de Fleck), ofrecen diseño moderno y conectividad WIFI. Son ideales para hogares donde se necesita agua caliente de forma rápida y eficiente.
Aerotermia: Si buscas una solución aún más sostenible, considera la aerotermia. Esta tecnología extrae energía del aire exterior para calentar tu hogar y agua. Además, puede ser elegible para subvenciones locales.
Amado Salvador es el distribuidor oficial de Ariston en Valencia. Explora el catálogo y descubre cómo mejorar la comodidad y la eficiencia en tu hogar o negocio.
Catalogo Cajas Fuertes BTV Amado Salvador Distribuidor OficialAMADO SALVADOR
Explora el catálogo completo de cajas fuertes BTV, disponible a través de Amado Salvador, distribuidor oficial de BTV. Este catálogo presenta una amplia variedad de cajas fuertes, cada una diseñada con la más alta calidad para ofrecer la máxima seguridad y satisfacer las diversas necesidades de protección de nuestros clientes.
En Amado Salvador, como distribuidor oficial de BTV, ofrecemos productos que destacan por su innovación, durabilidad y robustez. Las cajas fuertes BTV son reconocidas por su eficiencia en la protección contra robos, incendios y otros riesgos, lo que las convierte en una opción ideal tanto para uso doméstico como comercial.
Amado Salvador, distribuidor oficial BTV, asegura que cada producto cumpla con los más estrictos estándares de calidad y seguridad. Al adquirir una caja fuerte a través de Amado Salvador, distribuidor oficial BTV, los clientes pueden tener la tranquilidad de que están obteniendo una solución confiable y duradera para la protección de sus pertenencias.
Este catálogo incluye detalles técnicos, características y opciones de personalización de cada modelo de caja fuerte BTV. Desde cajas fuertes empotrables hasta modelos de alta seguridad, Amado Salvador, como distribuidor oficial de BTV, tiene la solución perfecta para cualquier necesidad de seguridad. No pierdas la oportunidad de conocer todos los beneficios y características de las cajas fuertes BTV y protege lo que más valoras con la calidad y seguridad que solo BTV y Amado Salvador, distribuidor oficial BTV, pueden ofrecerte.
HPE presenta una competició destinada a estudiants, que busca fomentar habilitats tecnològiques i promoure la innovació en un entorn STEAM (Ciència, Tecnologia, Enginyeria, Arts i Matemàtiques). A través de diverses fases, els equips han de resoldre reptes mensuals basats en àrees com algorísmica, desenvolupament de programari, infraestructures tecnològiques, intel·ligència artificial i altres tecnologies. Els millors equips tenen l'oportunitat de desenvolupar un projecte més gran en una fase presencial final, on han de crear una solució concreta per a un conflicte real relacionat amb la sostenibilitat. Aquesta competició promou la inclusió, la sostenibilitat i l'accessibilitat tecnològica, alineant-se amb els Objectius de Desenvolupament Sostenible de l'ONU.
2. En capítulos anteriores ... Concepto de demostración ( paso a paso a través de la LÓGICA) Necesidad de AXIOMAS (no se puede demostrar TODO)
3. … 2000 años después DESCARTES (1637) GEOMETRÍA EUCLÍDEA (300 a.C) KANT (1724 - 1805) "Vemos las cosas, no como son, sino como somos nosotros." Pienso, luego existo
4. SIGLO XIX Gauss, “el Príncipe de las Matemáticas” (1777 - 1855) I. Crisis de la Geometría de Euclides II. Crisis de los Fundamentos de las Matemáticas
5. CAPÍTULO I DESMONTANDO A EUCLIDES “ En la teoría de las paralelas no estamos hoy más avanzados que Euclides. Esta es una parte vergonzosa de las matemáticas... “ Carl Friedrich GAUSS (1813)
11. Etc ... NOCIONES COMUNES (a todas las ciencias) 1. Cosas iguales a la misma cosa son también iguales entre sí 2. Si a iguales se añaden iguales, las sumas son iguales 3. Si de iguales quitamos iguales, los residuos son iguales 4. Dos objetos que coinciden el uno con el otro son iguales 5. El “todo” es mayor que la “parte”
12. Los Axiomas de Euclides I. Es posible trazar una recta desde cualquier punto a otro punto cualquiera II. Una línea recta finita puede prolongarse continuamente en línea recta III. Se puede trazar una circunferencia , con un punto cualquiera como centro y cualquier distancia como radio IV. Todos los ángulos rectos son iguales ... POSTULADOS (axiomas para la Geometría plana)
13. El quinto postulado de Euclides “Si una recta corta a otras dos, formando ángulos internos, por el mismo lado, que suman menos de dos ángulos rectos, esas dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortarán por ese lado en que los ángulos suman menos de dos rectos” ¡Mi sistema es COMPLETO, CONSISTENTE y NO REDUNDANTE!
14.
15. La suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos (180º)
22. CAPÍTULO II LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS “ Las propiedades de los conjuntos finitos se han extendido alegremente a los conjuntos infinitos” Brouwer Kronecker “ Dios creó los naturales ...” “… lo demás es obra del Hombre”
23. CAPÍTULO II LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS "No existirá otra alegre y confiada mañana" "Nadie podrá expulsarnos del maravilloso paraíso que Cantor ha creado para nosotros" Russell Hilbert
24. Construir las MATEMÁTICAS TODAS LAS MANZANAS SON ROJAS (enunciado) EL CONJUNTO DE LAS MANZANAS ESTÁ INCLUIDO EN EL CONJUNTO DE LAS COSAS ROJAS (TEORÍA DE CONJUNTOS) “ SER MANZANA” -> “SER ROJO” ( LÓGICA )
25. La paradoja del mentiroso “TODOS LOS MATEMÁTICOS MENTIMOS SIEMPRE”
27. La paradoja de Russell LOS CONJUNTOS QUE NO SE CONTIENEN A SÍ MISMOS El conjunto de las manzanas NO es una manzana El conjunto de las cosas que no son manzanas SÍ es una cosa que no es una manzana ¿QUÉ PASA CON EL CONJUNTO DE LOS CONJUNTOS QUE NO SE CONTIENEN A SÍ MISMOS? ¿SE CONTENDRÁ A SÍ MISMO? ¿EH? BERTRAND RUSSELL (1872 - 1970)
30. Demuestra que el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado es MAYOR que dicho conjunto . GEORGE CANTOR (1845 - 1918)
31. La escalera de álefs Números naturales Números pares Escalera de álefs y la hipótesis del continuo (hoy sabemos que es como el quinto postulado) El conjunto de Russell es infinito Euclides: rectas y el todo mayor que la parte Números enteros Números racionales 1 Números irracionales Números reales Intervalo (0,1) Puntos de una recta Puntos de un segmento Puntos de un cuadrado Puntos de todo el Universo conocido 0
32. Los monstruos de la mente Las curvas patológicas David HILBERT (1891) Helge von KOCH (1904)
33. NUEVO CONCEPTO DE CONJUNTO (no queremos conjuntos paradójicos) ¿Cómo reconstruir las bases? CON EL INFINITO NO SE JUEGA (escapa a nuestra intuición) El conjunto de RUSSELL es un conjunto infinito Uno de los Axiomas de EUCLIDES es incompatible con los conjuntos infinitos ( El “todo” es mayor que la “parte” ) , y otro los emplea ( Una línea recta finita puede prolongarse continuamente en línea recta )
35. Brouwer Kronecker LOS INTUICIONISTAS LA EXISTENCIA DE UN OBJETO ES EQUIVALENTE A LA POSIBILIDAD DE SU CONSTRUCCIÓN NO aceptan LOS CONJUNTOS INFINITOS ni las demostraciones por REDUCCIÓN AL ABSURDO
36. LOS LÓGICOS Russell AXIOMA DEL CÍRCULO VICIOSO LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO NO SE PUEDEN DEFINIR A PARTIR DE LOS RESTANTES ELEMENTOS DEL CONJUNTO ¿Qué es eso del conjunto de todos los subconjuntos de sí mismo? ¿EH?
37. LOS FORMALISTAS LA VERDAD MATEMÁTICA ES LA AUSENCIA DE CONTRADICCIÓN Si no te gustan mis AXIOMAS ... ¡tengo otros! Hilbert La LÓGICA es la herramienta , el lenguaje Es INDEPENDIENTE del significado que pueda tener en el MUNDO FÍSICO
INTRODUCCION: El siglo XIX fue muy importante para las Matemáticas. Se fundaron nuevas ramas, se asentaron muchas otras, y vivió uno de los tres matemáticos más grandes de la Historia: Gauss. Sólo de sus contribuciones se podría hablar durante horas, y, lógicamente, va a aparecer en esta exposición.
En las JORNADAS SOBRE LA GRECIA CLÁSICA (en la que aparecía otro de los grandes, Arquímedes) se vio que las dos grandes contribuciones de dicho periodo fueron: El concepto de demostración: razonando paso a paso, utilizando para ello la Lógica Clásica (pitagóricos, siglo V aC). La idea de que no se puede demostrar absolutamente todo, y hay que aceptar ciertos supuestos iniciales, los AXIOMAS, a partir de los cuales se demuestra todo lo demás. Euclides, en el siglo III aC, fue el primero en tener esta idea y la aplicó para construir y demostrar la geometría.
Durante 2000 años la Lógica y la Geometría Euclidiana no cambiaron y acabaron convirtiéndose en VERDADES ABSOLUTAS. De hecho, la Geometría Euclidiana se convirtió en un modelo de construcción del Conocimiento. En el siglo XVIII Pascal y Leibnitz imaginaron máquinas automáticas capaces de calcular y aplicar las reglas lógicas para realizar razonamientos. Descartes construyó su filosofía a partir del Axioma “pienso, luego existo”. El filósofo Inmanuel Kant intentó construir la Metafísica tomando como modelo la Geometría Euclidiana.
Pero a lo largo del siglo XIX se fue comprendiendo que tanto la Geometría como la Lógica distaban mucho de ser tales verdades absolutas. Es más, parecía incluso que iba a ser imposible encontrar algunas bases sólidas sobre las que levantar el edificio de las Matemáticas, que estuvo tambaleándose hasta bien entrado el siglo XX.
La primera en caer fue la geometría de Euclides que, para colmo, parecía un modelo de la realidad material (de la realidad plana, eso sí). Empezaremos contando cómo se planteó y cómo se afrontó su caída, pues esta historia ilustra perfectamente la forma moderna de trabajar en Matemáticas, a la vez que fue su inicio.
EL SISTEMA DE AXIOMAS DE EUCLIDES. Las nociones y las definiciones comunes de Euclides se perciben como obvias por nuestra razón y nuestra intuición, tanto que nos es imposible pensar que alguna pudiera ser falsa en algún contexto. Lo mismo ocurre con los cuatro primeros postulados para la Geometría.
EL SISTEMA DE AXIOMAS DE EUCLIDES. Las nociones y las definiciones comunes de Euclides se perciben como obvias por nuestra razón y nuestra intuición, tanto que nos es imposible pensar que alguna pudiera ser falsa en algún contexto. Lo mismo ocurre con los cuatro primeros postulados para la Geometría.
Pero al llegar al quinto postulado, todos tenemos que hacer un esfuerzo para entenderlo, incluso teniendo delante la figura ilustrativa. Sin embargo, una vez comprendido, también lo percibimos claramente como verdadero. El sistema de axiomas de Euclides fue tan bueno por tres motivos fundamentales: Es COMPLETO. A partir de ellos se puede demostrar toda la Geometría. Es CONSISTENTE. No permite llegar a contradicciones lógicas: si una proposición es verdadera, la contraria no puede ser verdadera también. NO es REDUNDANTE. Si se elimina cualquier axioma, ya no se puede construir toda la Geometría, quedan muchos Teoremas que no se pueden demostrar. Sin embargo, hasta el propio Euclides no usó el quinto postulado hasta que no le quedó más remedio (el teorema número 28 de la construcción de la Geometría).
Esto fue en el 300 aC. Durante siglos los matemáticos intentaron probarlo a partir de los otros, parecía demasiado artificial para ser un axioma básico. Pero fue pasando el tiempo y muchas personas en muchas partes del mundo lo intentaron y fracasaron, y muchas creyeron haberlo demostrado, pero cayendo en un círculo vicioso al basarse en proposiciones equivalentes (la definición no puede entrar en lo definido, la conclusión de un teorema no se puede usar en medio del mismo). Las formulaciones equivalentes del quinto postulado más importantes que se encontraron son: “ Por un punto exterior a una recta dada se puede trazar una única recta paralela a la recta inicial”. “ La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es siempre 180º”. Nosotros intuimos verdaderas estas formulaciones sin mucho esfuerzo. Fueron un pequeño avance porque el quinto postulado quedaba de manera mucho más sencilla, aunque seguía siendo más complejo que los demás. La gran idea fue del italiano Girolamo Saccheri (1667-1733): demostrar el quinto postulado demostrando que NO podía ser falso, que si fuese falso se llegaría a una fuerte contradicción (esta técnica, conocida desde la Grecia Clásica, se conoce como “REDUCCIÓN AL ABSURDO”). Saccheri partió de los axiomas originales de Euclides, pero cambiando el quinto postulado por uno que lo negaba. Primero lo cambió por “la suma de los tres ángulos de un triángulo es mayor de 180º”. La geometría “obtusa” que así creó le llevó rápidamente a una contradicción. Contento, prosiguió a desarrollar la geometría “aguda”, cambiando el quinto postulado por “la suma de los tres ángulos de un triángulo es menor de 180º”. Sin embargo, no encontró la contradicción tan fácilmente como en el caso anterior. De hecho, pasaban los días y no se acercaba a ella. Saccheri se puso nervioso y estuvo agobiado mucho tiempo, porque, de no hallar la contradicción, estaría ante un SISTEMA DE AXIOMAS COMPLETO, CONSISTENTE Y NO REDUNDANTE que creaba una geometría que nada tenía que ver con la realidad ni con la Geometría Euclidiana. Y en aquella época, DUDAR DE EUCLIDES ERA DUDAR DE LA VERDAD ABSOLUTA, DEL MUNDO REAL. Saccheri acabó autosugestionándose y creyó detectar una contradicción, con lo que pudo dormir tranquilo el resto de su vida.
De esta manera llegamos a Gauss, en el siglo XIX, que dijo lo siguiente con relación al quinto postulado: “En la teoría de las paralelas no estamos hoy más avanzados que Euclides. Esta es una parte vergonzosa de las matemáticas...” La Geometría Aguda. En 1815 Gauss ya tenía claro que el quinto postulado es una PROPOSICION INDECIDIBLE, que no se puede deducir de los demás axiomas su verdad o falsedad, y descubrió la GEOMETRÍA AGUDA al igual que Sacheri. Y, al igual que Sacheri, tuvo miedo y no se atrevió a publicar sus resultados, pese a ser el mejor y más reputado matemático de su época. No fue capaz de enfrentarse a los 2000 años de reinado de la “verdad absoluta” de la Geometría Euclidiana hasta que se enteró de que otro matemático, Bolyai, había llegado a las mismas conclusiones que él. Entonces salió para dejar claro que él lo había descubierto antes y llevarse el mérito (sin embargo, el primero fue un matemático ruso, Lobachevski, cuyo trabajo no se conoció hasta muchos años después por haberlo publicado en ruso). En la Geometría Aguda el quinto postulado es “por un punto exterior a una recta se puede trazar más de una recta paralela a la recta dada” (de hecho, hay infinitas rectas que lo hacen) La Geometría Obtusa. Un discípulo de Gauss, Riemann, se dio cuenta en 1854 de que si se cambiaba el postulado II, “toda recta se puede prolongar indefinidamente”, por “todas las rectas son finitas” se podía construir la GEOMETRÍA OBTUSA, aquélla en la que la suma de los tres ángulos de un triángulo es siempre mayor de 180º. En la Geometría Obtusa el quinto postulado es “por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna recta paralela a la recta dada”.
En estas Geometrías NO euclídeas la definición de recta es más amplia, más general que en la Geometría Euclidiana. Se entiende por recta a la trayectoria más corta que hay que seguir para ir de un punto a otro, y también recibe el nombre de geodésica. El modelo de Geometría Obtusa es la geometría sobre la esfera: el camino más corto entre dos puntos es un trozo de círculo máximo (los meridianos y el ecuador de la Tierra, supuesta esférica, son ejemplos de círculos máximos). En la figura podemos ver cómo los ángulos de un triángulo suman más de 180º, y cómo no puede haber círculos máximos – rectas – que no se corten, que sean paralelos). El modelo de la Geometría Aguda es la geometría sobre la pseudoesfera: el camino más corto es aquí siempre un trozo de hipérbola. En la figura podemos comprobar que la suma de los ángulos del triángulo es ahora menor de 180º, y que por lo menos se pueden trazar dos rectas paralelas a una dada que pasen por un punto exterior a ella.
La Geometría Obtusa es la geometría del planeta Tierra. A pequeña escala, la superficie de la Tierra es prácticamente plana (lo que se creyó hasta el descubrimiento de América) y sobre ella funciona la Geometría Rectangular o Euclídea. Sin embargo, en realidad es casi esférica y sobre ella no se pueden trazar líneas rectas infinitas, sino, a lo sumo, círculos máximos, y es la Geometría Esférica la que hemos de usar.
Pero es más: el propio Universo tiene una geometría esférica. Ya Gauss intentó formar un gran triángulo con rayos de luz (que deben seguir trayectorias geodésicas) entre montañas para estudiar la suma de los tres ángulos, pero no pudo concluir nada debido a la tecnología de la época. A principios del siglo XX fue Einstein quien utilizó una geometría esférica para el Universo en su Teoría de la Relatividad. La primera confirmación experimental se obtuvo en 1919 observando en un eclipse el cambio en la posición aparente de las estrellas próximas a la corona solar, que indicaba que su luz seguía una trayectoria curva para llegar a la Tierra, exactamente como predecían las ecuaciones de Einstein. La Geometría Aguda también encontró una aplicación en las ecuaciones de Einstein: en ciertos contextos, al utilizar el tiempo como “cuarta dimensión” aparece una superficie, conocida vulgarmente como “silla de montar” (su nombre técnico es paraboloide hiperbólico) en la que las geodésicas son ramas hiperbólicas y su geometría, por tanto, es Pseudoesférica. En definitiva, tras la crisis de la Geometría Euclídea tenemos tres geometrías completas, consistentes y no redundantes. Ninguna es ni mejor ni peor, ni más verdadera o falsa que las otras. Todas son útiles y todas son verdaderas según el contexto en el que se trabaje.
LA FUNDAMENTACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS. Durante el siglo XIX la Teoría de Conjuntos se estaba usando en la base de diversas ramas de las Matemáticas, pero de forma intuitiva y poco rigurosa, y se veía claramente relacionada con la Lógica, como podemos entender con el ejemplo de esta diapositiva. Es natural que surgiera la intención de construir todas las Matemáticas a partir de la Lógica, y también la de hacerlo a partir de la Teoría de Conjuntos. Aquí es cuando empezaron a surgir los problemas de VERDAD. Se llegó a un punto en el que parecía que nada funcionaba y que no iba a ser posible obtener ninguna verdad ni ningún conocimiento, pues los fallos se encontraron en la base, en el punto de partida de la Lógica y la Teoría de Conjuntos.
PARADOJAS LÓGICAS. Ya dijimos que un sistema de axiomas es CONSISTENTE cuando no se pueden producir contradicciones en su interior: por ejemplo, no pueden demostrarse un teorema y el contrario a la vez, o si una proposición es verdadera la contraria debe ser falsa. La Paradoja del Mentiroso. Yo soy matemático y afirmo: “Todos los matemáticos son unos mentirosos”. ¿Estoy diciendo la verdad o no? Si estoy diciendo la verdad, mi afirmación sería verdadera, con lo que debería estar ...¡mintiendo! ¡Contradicción! Pero si estoy mintiendo, lo que he dicho tiene que ser falso, con lo que debería estar ...¡diciendo la verdad! ¡Contradicción también! “ Esta frase es falsa”. ¿Es una frase verdadera o falsa? No podemos decirlo, pues acabamos razonando en círculos como en el ejemplo anterior. “ Esta frase consta de siete palabras” es una afirmación claramente falsa, por lo que la contraria debería ser verdadera. Pero la afirmación contraria es “Esta frase NO consta de siete palabras”, y resulta que SÍ tiene siete palabras, con lo que es falsa también. Tenemos una proposición que tanto ella como la contraria son falsas. ¿Cuál es la verdad?
La Paradoja de Russell. Bertrand Russell, que además era filósofo, quería construir las Matemáticas a partir de la Lógica. Cuando tenía ya su trabajo avanzado, encontró la paradoja que lleva su nombre. Como vemos en la diapositiva, hay conjuntos que se tienen a sí mismos como elemento, y otros que no. Por tanto, se puede hablar del conjunto de todos los que son de éste último tipo: “el conjunto de todos los conjuntos que no se tienen a sí mismos como elemento”. El conjunto del que hablamos: ¿se tiene a sí mismo como elemento? Raqzonemos como razonemos, acabamos atrapados en otro círculo vicioso parecido al de la Paradoja del Mentiroso.
EL HOTEL DEL INFINITO El Hotel del Infinito. En una galaxia muy lejana hay un hotel con infinitas habitaciones, con el cartel de “Completo”. Las habitaciones son la número 1, la número 2, la número 3, etc... Un día llega un conductor de un ovni, y se queda muy apesadumbrado cuando le comunican que todas las habitaciones están ocupadas. Pero el recepcionista traslada a cada cliente a la habitación siguiente, con lo que queda la habitación número 1 para el agradecido conductor del ovni. Más tarde llegan cinco personas desesperadas por encontrar alojamiento. El recepcionista encuentra habitación para todas: traslada cinco habitaciones hacia adelante a cada cliente, dejando las habitaciones 1, 2, 3, 4 y 5 para los recién llegados. De repente, llega una lanzadera con infinitas personas de un Congreso de Chicles. ¡El recepcionista vuelve a encontrar sitio para todo el mundo! Lo consigue trasladando a cada cliente a la habitación cuyo número es el doble de la que está ocupando, de manera que las infinitas habitaciones con número impar quedan disponibles para los infinitos clientes sorpresa. ¿Qué nos muestra esta paradoja? Nuestra intuición nos dice que el número total de habitaciones es el doble que el número de habitaciones pares. Pero lo que hemos razonado es que LA CANTIDAD TOTAL DE HABITACIONES ES IGUAL A LA CANTIDAD DE HABITACIONES PARES. Dicho desde otra perspectiva: el conjunto de los números naturales (1, 2, 3, etc.., los números que usamos para contar y ordenar) tiene tantos elementos como el subconjunto de los números pares.
LOS CONJUNTOS INFINITOS. Fue George Cantor, que intentaba construir las Matemáticas a partir de la Teoría de Conjuntos, el que se encontró con múltiples resultados contrarios a la intuición y al sentido común, al estudiar de forma seria los conjuntos con infinitos elementos. Dichos conjuntos aparecen por todas partes desde el principio de las Matemáticas: los números más sencillos que usamos, los naturales, constituyen un conjunto infinito; los puntos de un segmento, la cantidad de decimales de π y los números irracionales, etc ... El primer resultado que obtuvo Cantor fue el que acabamos de encontrar en el Hotel del Infinito: en un conjunto infinito hay subconjuntos que tienen la misma cantidad de elementos que él. Es más: Cantor caracterizó precisamente los conjuntos infinitos como aquéllos en los que es posible que una parte del conjunto tenga tantos elementos como todo el conjunto. O sea, en los conjuntos infinitos NO SIEMPRE EL TODO ES MAYOR QUE LA PARTE. Otro resultado muy importante fue: NO TODOS LOS CONJUNTOS INFINITOS TIENEN LA MISMA CANTIDAD DE ELEMENTOS. Dicho de otra forma, hay infinitos más grandes que otros. Este resultado lo consiguió demostrando que el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto siempre tiene más elementos que el conjunto original (si el conjunto original es el de las personas que hay en el salón de actos, el conjunto de todos los subconjuntos es el que tiene todos los posibles grupos de personas que se pueden formar: posibles parejas, tríos, cuartetos, quintetos, etc).
LA ESCALERA DE ÁLEFS Cantor utilizó una letra hebrea para denotar a las cantidades infinitas: א (álef). La cantidad más pequeña que hay que manejar es la que corresponde a los números naturales ( o los números pares, o los impares, etc): Otra cantidad que nos encontramos es la del conjunto de todos los subconjuntos del conjunto de los números naturales: Cantor la llamó . Esta cantidad es la misma que la de todos los conjuntos que vemos en la diapositiva. Ahora bien, podemos continuar con el conjunto de todos los subconjuntos de cualquier conjunto anterior, llegando a . Y así hasta el infinito (¡qué vértigo!)
MONSTRUOS DE LA MENTE. CURVAS PATOLÓGICAS. A finales del siglo XIX aparecieron construcciones geométricas como las que vemos en la diapositiva, que hoy en día conocemos con el nombre de fractales. Los fractales tienen una característica en común: se construyen a partir de unas pocas reglas básicas que se repiten hasta el infinito. En aquella época de crisis, muchos matemáticos fueron incapaces de trabajar con ellas por considerarlas “divertimentos sin sentido” o “monstruos del pensamiento”. La primera es de David Hilbert, al que le debemos, entre otras cosas, la moderna construcción de la Geometría Euclídea. Ideó esta curva perfeccionando una idea de Peano, (que fue el acabó construyendo la Aritmética sobre la que se fundamenta el Análisis Matemático actual), para demostrar que el número de puntos de una línea es igual al número de puntos de un cuadrado, al repetir el proceso infinitas veces. Debajo vemos la aplicación de la misma idea para llenar un cubo con una línea. A la derecha encontramos el copo de nieve de Von Koch: este fractal tiene, tras repetir el proceso infinitas veces, un borde de longitud infinita que, sin embargo, encierra una superficie finita y limitada. Además, la figura creada imita a la naturaleza con una perfección asombrosa.
¿CÓMO RECONSTRUIR LAS BASES? Nueva definición de conjunto que evite la aparición de conjuntos paradójicos (de hecho la propia definición de conjunto de Cantor no era demasiado buena). Hay que tener mucho cuidado con el concepto de infinito es todos sus aspectos. A fin de cuentas, ningún ser humano ha estado en el infinito o ha realizado un proceso infinitas veces. El infinito se sale de nuestra experiencia directa y de nuestra comprensión. Todos los problemas y paradojas que hemos encontrado hasta ahora están relacionados de un modo u otro con los dos puntos que acabamos de mencionar.
LA CONTROVERSIA SOBRE LOS FUNDAMENTOS. La solución a las cuestiones anteriores se enfocó de diferentes formas por los matemáticos de la época, y se dividieron en tres corrientes principales.
En la actualidad, las Matemáticas que estudiamos se corresponden más con las ideas de los formalistas, aunque las corrientes se han mezclado con el paso de los años y de los nuevos descubrimientos, y se han complementado las unas a las otras. Lo que estudiamos ahora parece un cuerpo inexpugnable del conocimiento , pero en realidad se trata de una construcción dinámica que nunca para de crecer y de redefinirse a sí misma. También nos parece algo ajeno a nuestros intereses y a nuestra realidad, pero es justamente lo contrario, ya que somos nosotros los que decidimos cómo vamos a interpretar la realidad según nos interesa.
En la actualidad, las Matemáticas que estudiamos se corresponden más con las ideas de los formalistas, aunque las corrientes se han mezclado con el paso de los años y de los nuevos descubrimientos, y se han complementado las unas a las otras. Lo que estudiamos ahora parece un cuerpo inexpugnable del conocimiento , pero en realidad se trata de una construcción dinámica que nunca para de crecer y de redefinirse a sí misma. También nos parece algo ajeno a nuestros intereses y a nuestra realidad, pero es justamente lo contrario, ya que somos nosotros los que decidimos cómo vamos a interpretar la realidad según nos interesa.