1) El documento describe conceptos relacionados con la derivación y diferenciación de funciones, incluyendo definiciones, reglas y ejemplos. 2) Explica cómo calcular derivadas de funciones simples como polinomios, funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas usando Mathematica. 3) Presenta ejercicios propuestos para practicar el cálculo de derivadas de funciones compuestas.
Este documento presenta información sobre la resolución de determinantes de 3x3 usando la regla de Cramer. También incluye ejemplos de uso de funciones matemáticas como pow() y sqrt() en C para resolver expresiones. Finalmente, proporciona ejemplos de generación de números aleatorios y cálculo de promedios usando funciones aleatorias en C.
El documento presenta tres métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones: el método de la bisección, el método de la regula falsi y el método de Newton. Describe la lógica y las fórmulas matemáticas utilizadas en cada método y proporciona ejemplos de código MATLAB para implementarlos.
Este documento describe la creación de cuatro marcos en una aplicación de presentación en Java. El marco principal contiene tres marcos secundarios que se instancian y agregan a un contenedor. Uno de los marcos secundarios (frmCursos) registra cursos y usa un modelo de tabla personalizado para almacenar y mostrar datos de cursos. Otro marco (frmNotas) muestra notas de estudiantes usando un modelo de tabla y un renderizador personalizado para aplicar estilos a celdas.
El documento presenta varios algoritmos para resolver diferentes problemas matemáticos y lógicos. El primer algoritmo calcula el aumento de sueldo de un trabajador dependiendo de su categoría. El segundo determina la nota de un estudiante en función del promedio de sus calificaciones. El tercero calcula valores de una ecuación variando un valor x. El cuarto imprime los múltiplos de 6 de un vector y su suma total.
Este documento presenta conceptos clave sobre límites y continuidad. Explica qué es un entorno o vecindad y provee ejemplos para ilustrar límites, incluyendo funciones como el cociente, la potencia y la raíz. También define formalmente el límite de una función y discute casos como límites laterales, existencia de límites, y propiedades de límites como la unicidad y los límites de sumas, productos y cocientes. Finalmente, presenta formas determinadas e indeterminadas para calcular límites y resuelve ejemp
Este documento presenta el trabajo de una unidad sobre métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones no lineales. Incluye definiciones de conceptos clave, tablas comparativas de métodos, pseudocódigo de los métodos de bisección y Newton-Raphson y ejemplos resueltos de encontrar raíces mediante gráficas, bisección y otros métodos.
Los 10 algoritmos presentan diferentes métodos para calcular promedios, sueldos, ecuaciones y sistemas de ecuaciones. El algoritmo #10 determina el signo zodiacal a partir de la fecha de nacimiento introducida.
Este documento presenta información sobre la resolución de determinantes de 3x3 usando la regla de Cramer. También incluye ejemplos de uso de funciones matemáticas como pow() y sqrt() en C para resolver expresiones. Finalmente, proporciona ejemplos de generación de números aleatorios y cálculo de promedios usando funciones aleatorias en C.
El documento presenta tres métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones: el método de la bisección, el método de la regula falsi y el método de Newton. Describe la lógica y las fórmulas matemáticas utilizadas en cada método y proporciona ejemplos de código MATLAB para implementarlos.
Este documento describe la creación de cuatro marcos en una aplicación de presentación en Java. El marco principal contiene tres marcos secundarios que se instancian y agregan a un contenedor. Uno de los marcos secundarios (frmCursos) registra cursos y usa un modelo de tabla personalizado para almacenar y mostrar datos de cursos. Otro marco (frmNotas) muestra notas de estudiantes usando un modelo de tabla y un renderizador personalizado para aplicar estilos a celdas.
El documento presenta varios algoritmos para resolver diferentes problemas matemáticos y lógicos. El primer algoritmo calcula el aumento de sueldo de un trabajador dependiendo de su categoría. El segundo determina la nota de un estudiante en función del promedio de sus calificaciones. El tercero calcula valores de una ecuación variando un valor x. El cuarto imprime los múltiplos de 6 de un vector y su suma total.
Este documento presenta conceptos clave sobre límites y continuidad. Explica qué es un entorno o vecindad y provee ejemplos para ilustrar límites, incluyendo funciones como el cociente, la potencia y la raíz. También define formalmente el límite de una función y discute casos como límites laterales, existencia de límites, y propiedades de límites como la unicidad y los límites de sumas, productos y cocientes. Finalmente, presenta formas determinadas e indeterminadas para calcular límites y resuelve ejemp
Este documento presenta el trabajo de una unidad sobre métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones no lineales. Incluye definiciones de conceptos clave, tablas comparativas de métodos, pseudocódigo de los métodos de bisección y Newton-Raphson y ejemplos resueltos de encontrar raíces mediante gráficas, bisección y otros métodos.
Los 10 algoritmos presentan diferentes métodos para calcular promedios, sueldos, ecuaciones y sistemas de ecuaciones. El algoritmo #10 determina el signo zodiacal a partir de la fecha de nacimiento introducida.
Arreglo unidimensionales y bidimensionalesMarco Garay
Este documento explica los arreglos unidimensionales y bidimensionales en C. Los arreglos unidimensionales almacenan vectores, mientras que los arreglos bidimensionales almacenan matrices. Se describen las declaraciones y uso básico de arreglos, incluyendo el paso de arreglos como parámetros de funciones. También incluye ejemplos de programas que leen, escriben y realizan cálculos con arreglos unidimensionales y bidimensionales.
Este documento presenta varios métodos para encontrar las raíces de una ecuación, incluyendo métodos gráficos, el método de bisección, el método de la falsa posición y el método de punto fijo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y discute criterios para estimar errores y parar los cálculos.
Este documento presenta la resolución de un problema de programación lineal mediante el método de las dos fases. En la primera fase se minimizan las variables holgura y exceso para obtener una solución factible al problema relajado. En la segunda fase se resuelve el problema original minimizando la función objetivo sujeta a las restricciones factibles.
Este documento trata sobre la variación de funciones y la determinación de extremos. Explica conceptos como funciones crecientes y decrecientes, valores críticos, y el uso del criterio de la primera derivada para encontrar máximos y mínimos relativos. Además, presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos y teoremas como el teorema del valor medio y de Rolle.
Cálculo Integral. Capítulo 3 Métodos de integración y AplicacionesPablo García y Colomé
El documento trata sobre métodos de integración para funciones algebraicas y trascendentes, incluyendo funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales e hiperbólicas. Explica métodos como la integración trigonométrica usando identidades trigonométricas, la integración por sustitución trigonométrica del ángulo medio y la integración por partes. También cubre la integración por descomposición en fracciones racionales.
El método simplex es un procedimiento iterativo para encontrar la solución óptima de un problema de programación lineal. Se convierten las restricciones con desigualdades en igualdades mediante variables holgura. Se construye una tabla inicial y se aplican criterios de entrada y salida para actualizar la tabla hasta alcanzar la solución óptima, donde no existan valores negativos en la fila objetivo.
El documento describe un problema de programación lineal de dos fases para minimizar una función objetivo sujeto a restricciones. En la primera fase, se minimizan las variables holguras para convertir las restricciones en igualdades. En la segunda fase, se resuelve el problema original eliminando las variables holguras y artificiales. La solución óptima encontrada es X1=2/5, X2=9/5, Z=17/5.
Los 10 algoritmos presentan diferentes métodos para calcular promedios, sueldos, ecuaciones y sistemas de ecuaciones. El algoritmo #10 determina el signo zodiacal a partir de la fecha de nacimiento introducida.
El documento describe los tipos de datos básicos en Java como enteros, flotantes, booleanos y caracteres. Explica que Java es fuertemente tipado y cada variable debe tener un tipo declarado. También cubre operadores aritméticos, lógicos y de asignación, así como estructuras de control como if/else y bucles for y while.
El documento presenta 10 problemas propuestos de programación en PSEINT y Java. Cada problema describe un ejercicio diferente de programación que involucra operaciones matemáticas y lógicas como conversiones de unidades monetarias, cálculo de valores absolutos, promedios, porcentajes y más. Se provee el código de programa en PSEINT y Java para cada problema.
1) El documento analiza los extremos de funciones de dos variables, describiendo las definiciones de extremos absolutos y relativos. 2) Explica que los puntos críticos se determinan igualando las derivadas parciales a cero y que el criterio de la segunda derivada determina si es un máximo o mínimo. 3) También cubre el método de los multiplicadores de Lagrange para calcular extremos con restricciones.
Este documento presenta tres métodos para encontrar raíces de funciones: el método de la bisección, el método de la falsa posición y el método de Newton. El método de la bisección itera entre dos valores que cambian de signo para encontrar una raíz mediante el punto medio. El método de la falsa posición también itera entre dos valores pero actualiza uno de ellos usando la fórmula de la regula falsi. El método de Newton encuentra raíces iterando un punto inicial usando la función y su derivada para aproximar la raíz de manera más rá
El método simplex en dos fases resuelve un modelo de programación lineal en dos etapas. La Fase 1 encuentra una solución básica factible inicial para el modelo aumentado que elimina todas las variables artificiales. La Fase 2 usa esta solución como punto de partida para encontrar la solución óptima del modelo original usando el método simplex regular.
1) El documento discute el origen del término "variable aleatoria" y explica que surgió de una discusión entre Doob y Feller sobre cuál término usar. Optaron por decidirlo mediante un procedimiento aleatorio.
2) Una variable aleatoria es una función que asocia valores numéricos a los sucesos de un espacio muestral de un experimento aleatorio. Puede ser discreta o continua.
3) Se presenta un ejemplo de variable aleatoria discreta para el experimento de lanzar 3 monedas y contar el número de car
Este documento discute variables aleatorias discretas. Explica el origen del término "variable aleatoria" y proporciona ejemplos de variables aleatorias discretas como el número de caras al lanzar monedas. También describe funciones de probabilidad y distribución para variables aleatorias discretas, y cómo se pueden simular estas distribuciones usando números aleatorios uniformes.
9. fundamentos matemáticos aplicaciones de la derivadaManuel Caña
Este documento presenta conceptos fundamentales de cálculo como puntos críticos, máximos y mínimos locales, concavidad y puntos de inflexión. Incluye dos ejemplos resueltos para ilustrar cómo usar la derivada primera y segunda para analizar estas propiedades en funciones específicas.
Este documento presenta conceptos sobre fallo y negación en Prolog. Explica que fail es un predicado que siempre falla y se puede usar para forzar el fallo de una regla. También introduce ejemplos de uso de fail y negación por fallo para expresar conceptos como una puerta lógica NAND de 7 entradas y la negación de que un pájaro sea pingüino o avestruz. Además, discute problemas relacionados con el corte y la negación en Prolog.
1. El documento presenta apuntes sobre la integral indefinida. Explica que la integral indefinida de una función f(x) es el conjunto de todas sus primitivas F(x)+K, donde K es una constante arbitraria. También resume algunas propiedades, métodos como el cambio de variable e integración por partes, y cómo calcular integrales de funciones racionales.
Este documento presenta información sobre límites de funciones. Introduce el concepto de límite de una función y cómo evaluar el comportamiento de una función cuando el valor de la variable independiente se aproxima a un número particular. Explica límites laterales, límites al infinito y límites infinitos. Proporciona ejemplos y ejercicios para ilustrar los diferentes tipos de límites.
Este documento presenta fórmulas para calcular la derivada de funciones algebraicas, trigonométricas y exponenciales. Introduce conceptos como derivar constantes, sumas, productos, cocientes y funciones con exponentes enteros o fraccionarios. Proporciona ejemplos resueltos de cómo aplicar estas fórmulas para derivar funciones como x^2, sen(x), 1/x, raíz cuadrada de x y funciones compuestas de sumas y productos.
El documento trata sobre el tema de las integrales. Explica brevemente qué es una integral indefinida y definida, y cómo se utilizan para calcular áreas y volúmenes. Luego, detalla algunas propiedades y fórmulas básicas para calcular integrales indefinidas de funciones como polinomios, exponenciales, logaritmos, senos y cosenos. Finalmente, introduce algunos métodos para calcular integrales más complejas, como la integración por partes y el cambio de variable.
Arreglo unidimensionales y bidimensionalesMarco Garay
Este documento explica los arreglos unidimensionales y bidimensionales en C. Los arreglos unidimensionales almacenan vectores, mientras que los arreglos bidimensionales almacenan matrices. Se describen las declaraciones y uso básico de arreglos, incluyendo el paso de arreglos como parámetros de funciones. También incluye ejemplos de programas que leen, escriben y realizan cálculos con arreglos unidimensionales y bidimensionales.
Este documento presenta varios métodos para encontrar las raíces de una ecuación, incluyendo métodos gráficos, el método de bisección, el método de la falsa posición y el método de punto fijo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y discute criterios para estimar errores y parar los cálculos.
Este documento presenta la resolución de un problema de programación lineal mediante el método de las dos fases. En la primera fase se minimizan las variables holgura y exceso para obtener una solución factible al problema relajado. En la segunda fase se resuelve el problema original minimizando la función objetivo sujeta a las restricciones factibles.
Este documento trata sobre la variación de funciones y la determinación de extremos. Explica conceptos como funciones crecientes y decrecientes, valores críticos, y el uso del criterio de la primera derivada para encontrar máximos y mínimos relativos. Además, presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos y teoremas como el teorema del valor medio y de Rolle.
Cálculo Integral. Capítulo 3 Métodos de integración y AplicacionesPablo García y Colomé
El documento trata sobre métodos de integración para funciones algebraicas y trascendentes, incluyendo funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales e hiperbólicas. Explica métodos como la integración trigonométrica usando identidades trigonométricas, la integración por sustitución trigonométrica del ángulo medio y la integración por partes. También cubre la integración por descomposición en fracciones racionales.
El método simplex es un procedimiento iterativo para encontrar la solución óptima de un problema de programación lineal. Se convierten las restricciones con desigualdades en igualdades mediante variables holgura. Se construye una tabla inicial y se aplican criterios de entrada y salida para actualizar la tabla hasta alcanzar la solución óptima, donde no existan valores negativos en la fila objetivo.
El documento describe un problema de programación lineal de dos fases para minimizar una función objetivo sujeto a restricciones. En la primera fase, se minimizan las variables holguras para convertir las restricciones en igualdades. En la segunda fase, se resuelve el problema original eliminando las variables holguras y artificiales. La solución óptima encontrada es X1=2/5, X2=9/5, Z=17/5.
Los 10 algoritmos presentan diferentes métodos para calcular promedios, sueldos, ecuaciones y sistemas de ecuaciones. El algoritmo #10 determina el signo zodiacal a partir de la fecha de nacimiento introducida.
El documento describe los tipos de datos básicos en Java como enteros, flotantes, booleanos y caracteres. Explica que Java es fuertemente tipado y cada variable debe tener un tipo declarado. También cubre operadores aritméticos, lógicos y de asignación, así como estructuras de control como if/else y bucles for y while.
El documento presenta 10 problemas propuestos de programación en PSEINT y Java. Cada problema describe un ejercicio diferente de programación que involucra operaciones matemáticas y lógicas como conversiones de unidades monetarias, cálculo de valores absolutos, promedios, porcentajes y más. Se provee el código de programa en PSEINT y Java para cada problema.
1) El documento analiza los extremos de funciones de dos variables, describiendo las definiciones de extremos absolutos y relativos. 2) Explica que los puntos críticos se determinan igualando las derivadas parciales a cero y que el criterio de la segunda derivada determina si es un máximo o mínimo. 3) También cubre el método de los multiplicadores de Lagrange para calcular extremos con restricciones.
Este documento presenta tres métodos para encontrar raíces de funciones: el método de la bisección, el método de la falsa posición y el método de Newton. El método de la bisección itera entre dos valores que cambian de signo para encontrar una raíz mediante el punto medio. El método de la falsa posición también itera entre dos valores pero actualiza uno de ellos usando la fórmula de la regula falsi. El método de Newton encuentra raíces iterando un punto inicial usando la función y su derivada para aproximar la raíz de manera más rá
El método simplex en dos fases resuelve un modelo de programación lineal en dos etapas. La Fase 1 encuentra una solución básica factible inicial para el modelo aumentado que elimina todas las variables artificiales. La Fase 2 usa esta solución como punto de partida para encontrar la solución óptima del modelo original usando el método simplex regular.
1) El documento discute el origen del término "variable aleatoria" y explica que surgió de una discusión entre Doob y Feller sobre cuál término usar. Optaron por decidirlo mediante un procedimiento aleatorio.
2) Una variable aleatoria es una función que asocia valores numéricos a los sucesos de un espacio muestral de un experimento aleatorio. Puede ser discreta o continua.
3) Se presenta un ejemplo de variable aleatoria discreta para el experimento de lanzar 3 monedas y contar el número de car
Este documento discute variables aleatorias discretas. Explica el origen del término "variable aleatoria" y proporciona ejemplos de variables aleatorias discretas como el número de caras al lanzar monedas. También describe funciones de probabilidad y distribución para variables aleatorias discretas, y cómo se pueden simular estas distribuciones usando números aleatorios uniformes.
9. fundamentos matemáticos aplicaciones de la derivadaManuel Caña
Este documento presenta conceptos fundamentales de cálculo como puntos críticos, máximos y mínimos locales, concavidad y puntos de inflexión. Incluye dos ejemplos resueltos para ilustrar cómo usar la derivada primera y segunda para analizar estas propiedades en funciones específicas.
Este documento presenta conceptos sobre fallo y negación en Prolog. Explica que fail es un predicado que siempre falla y se puede usar para forzar el fallo de una regla. También introduce ejemplos de uso de fail y negación por fallo para expresar conceptos como una puerta lógica NAND de 7 entradas y la negación de que un pájaro sea pingüino o avestruz. Además, discute problemas relacionados con el corte y la negación en Prolog.
1. El documento presenta apuntes sobre la integral indefinida. Explica que la integral indefinida de una función f(x) es el conjunto de todas sus primitivas F(x)+K, donde K es una constante arbitraria. También resume algunas propiedades, métodos como el cambio de variable e integración por partes, y cómo calcular integrales de funciones racionales.
Este documento presenta información sobre límites de funciones. Introduce el concepto de límite de una función y cómo evaluar el comportamiento de una función cuando el valor de la variable independiente se aproxima a un número particular. Explica límites laterales, límites al infinito y límites infinitos. Proporciona ejemplos y ejercicios para ilustrar los diferentes tipos de límites.
Este documento presenta fórmulas para calcular la derivada de funciones algebraicas, trigonométricas y exponenciales. Introduce conceptos como derivar constantes, sumas, productos, cocientes y funciones con exponentes enteros o fraccionarios. Proporciona ejemplos resueltos de cómo aplicar estas fórmulas para derivar funciones como x^2, sen(x), 1/x, raíz cuadrada de x y funciones compuestas de sumas y productos.
El documento trata sobre el tema de las integrales. Explica brevemente qué es una integral indefinida y definida, y cómo se utilizan para calcular áreas y volúmenes. Luego, detalla algunas propiedades y fórmulas básicas para calcular integrales indefinidas de funciones como polinomios, exponenciales, logaritmos, senos y cosenos. Finalmente, introduce algunos métodos para calcular integrales más complejas, como la integración por partes y el cambio de variable.
El documento presenta una introducción a la teoría de límites en cálculo diferencial e integral. Explica conceptos fundamentales como variables, constantes, intervalos y funciones de una variable. Luego, introduce la noción de límite y continuidad, y describe diversos teoremas y propiedades de límites como límites de funciones algebraicas, trigonométricas y exponenciales. Finalmente, aborda temas como límites infinitos, límites particulares, formas de levantar indeterminaciones y ejemplos de cálculo de límites.
Introducción al Calculo Diferencial en una variable ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
Este documento trata sobre el cálculo diferencial. Define la derivada de una función como el límite de la razón de cambio de la función cuando cambia la variable independiente. Explica reglas para calcular derivadas de funciones como sumas, productos y cocientes. Finalmente, presenta ejemplos de cálculo de derivadas aplicando dichas reglas.
El documento presenta el concepto de antiderivada e integral indefinida. Explica que la antiderivada de una función f(x) es otra función F(x)+C cuya derivada es f(x). Proporciona ejemplos de cálculo de antiderivadas aplicando las reglas básicas como integrar funciones constantes, potencias y sumas. Finalmente, presenta ejercicios resueltos para afianzar el concepto.
El documento presenta una introducción al cálculo. Explica conceptos fundamentales como límites, derivadas e integrales. En la primera sección define el concepto de límite de manera intuitiva y formal. Luego presenta ejemplos para ilustrar cómo calcular límites laterales y puntuales. La segunda sección motiva el concepto de derivada. La tercera sección introduce las integrales indefinidas y definidas.
Este documento trata sobre la integración o primitivación de funciones. Define una primitiva como una función cuya derivada es igual a la función dada. Explica que para cada función existe una familia de primitivas que difieren solo por una constante. Por último, resume los principales métodos para calcular primitivas como la sustitución y el uso de identidades trigonométricas fundamentales.
1. El documento describe diferentes técnicas para derivar funciones algebraicas utilizando la regla general de derivación. 2. Explica cómo derivar constantes, variables independientes, productos de constantes por variables, sumas de funciones, productos y cocientes de funciones. 3. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo de derivación.
Este documento presenta los conceptos básicos de la integral indefinida. Explica que la integral indefinida es el proceso inverso de la derivada y permite encontrar una función a partir de su tasa de cambio. También enumera algunas propiedades clave de la integral indefinida como que la integral de una suma es la suma de las integrales y que los números pueden salir y entrar de la integral. Por último, proporciona una tabla con las integrales indefinidas más comunes.
Este documento presenta conceptos básicos de cálculo diferencial, incluyendo la definición de derivada, ejemplos de derivadas de funciones simples, reglas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones, y ejemplos de aplicación de estas reglas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre límites de funciones. Define formalmente el límite de una función en un punto como el valor al que se aproxima la función cuando la variable independiente se acerca al punto. Explica propiedades de los límites como la unicidad, operaciones algebraicas y trucos para resolver indeterminaciones como factorización, uso de infinitesimales equivalentes y equivalencias asintóticas. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar los conceptos y métodos de cálculo de límites.
Conceptos de límite de funciones_Propiedades de limitesfreddy remache
Este documento presenta conceptos básicos sobre límites de funciones. Define formalmente el límite de una función en un punto como el valor al que se aproxima la función cuando la variable independiente se acerca al punto. Explica propiedades de los límites como la unicidad, operaciones algebraicas y trucos para resolver indeterminaciones como factorización, uso de infinitesimales equivalentes y equivalencias asintóticas. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar los conceptos y métodos de cálculo de límites.
1) Los documentos tratan sobre técnicas de integración como sustitución algebraica e integración por partes, y cómo aplicarlas para resolver problemas de costos, ventas y otros temas. 2) También incluyen ejemplos de cómo calcular integrales indefinidas usando estas técnicas y ejercicios resueltos. 3) El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular integrales y aplicar los métodos en problemas de ingeniería y administración.
1) Se definen los límites infinitos limx→x0 f(x) = +∞ y limx→x0 f(x) = -∞. Estos ocurren cuando f(x) toma valores arbitrariamente grandes positivos o negativos al acercarse a x0, respectivamente.
2) Se dan ejemplos numéricos que ilustran el cálculo de límites infinitos para funciones como 1/(x-3)2 y 1/(x-2)4.
3) Se explican algunas propiedades de los límites infinitos, como el comportamiento de
1) El documento introduce el concepto de integral indefinida y primitiva de una función, así como propiedades importantes como que si F(x) es una primitiva de f(x), entonces F(x)+C también lo es para cualquier constante C.
2) Se definen algunas integrales básicas o inmediatas cuyo integrando es la derivada de una función conocida, como las integrales del seno, coseno, exponencial, logaritmo y otras funciones.
3) Se describen tres técnicas para calcular integrales: cambio de variable,
Este documento presenta una serie de funciones y pide hallar su derivada o derivadas con respecto a variables como x o t. También incluye ejercicios sobre máximos, mínimos, puntos críticos, concavidad, así como determinar ecuaciones de rectas tangentes y razones de cambio.
Este documento trata sobre la integración indefinida. Define la primitiva de una función y proporciona ejemplos. Explica las propiedades de las primitivas y la notación de la integral indefinida. También presenta métodos para calcular integrales como el cambio de variable, la integración por partes y la integración de funciones racionales.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
1. Derivación y diferenciación. Máximos
y mínimos
Guillermo Sánchez (http://diarium.usal.es/guillermo)
Departamento de Economia e Hª Económica. Universidad de Salamanca.
Actualizado : 2012-11-26
Sobre el estilo utilizado
Mathematica las salidas (Ouput) por defecto las muestra utilizando el estilo: StandardForm. En su lugar preferiamos utilizar el estilo
TraditionalForm que da una apariencia a las salidas (Output) coincidente con el habitualmente utilizado en la notación clásica
utilizada en las matemáticas. Esto puede hacerse para cada celda añadiendo // TraditionalForm al final de cada input . Sin embargo puede
hacerse que este estilo (TraditionalForm) se aplique a todas las salidas del cuaderno (o notebook) a traves de Option Inspector o añadiendo
la siguiente sentencia (en este caso hemos definido la celda para que se ejecute automaticamenteal inicio):
SetOptions EvaluationNotebook ,
CommonDefaultFormatTypes "Output" TraditionalForm
Recuerde que las entradas debe escribirlas en StandardForm. Una vez que compruebe que funciona puede convertir la celda al estilo
tradicional marcando la celda y en la barra de menu elija Cell Convertto TradicionalForm.
En este cuaderno muchas entradas se muestran en el estilo tradicional. Para ver como originalmente han sido introducidas es muy
recomendable que las vea en el estilo estándar, esto pude hacerlo marcando la celda y en la barra de menu elija
Cell Convertto StandardForm.
A lo largo de este cuaderno introduciremos de vez en cuando la instrucción
Clear "Global` "
Esto se hace para borrar definiciones previas. Por ejemplo:
y 3
3
Si utiliza de nuevo y, entonces y se sustituira por y = 3
y2
9
A veces quiere emplear el símbolo y de nuevo en ese caso utilice:
Clear "Global` "
y2
y2
Concepto de derivada
Antes de empezar recuerde que si define una función f x , si asigna a x un valor a lo que se hará es sustituir x por ese valor a. Por ejemplo:
Sea f(x) = x2
entonces para x= 3 se denota: f(3) = 32
= 9. Este mismo criterio se aplica cuando en f(x) en vez de un valor a asigamos a x una
expresión expr. Por ejemplo: si en caso anterior en vez de a tenemos cos x, entonces f(cos x) = cos x 2
Mostramos como se construye con Mathematica el ejemplo anterior. Observe que el argumento de la
función se escribe entre corcheres, en lugar de parentesis. El método es aplicable a cualquier función
f x_ : x2
http://diarium.usal.es/guillermo
2. f 3
9
f Cos x
cos2
x
f x x
x x 2
Sea f (x), se define derivada ( denotado f’(y) o
df
dx
o Df) a
f ' x lim
x a
f x f a
x a
lim
x 0
f x x f x
x
Observe en el gráfico que la definición anterior equivale a construir un triangulo cuya base x-a la va haciendo cada vez mas pequeña.
O
y f x
f x f a
x a
P
Q
mtan limx a
f x f a
x a
msec
f x f a
x a
a x
x
f a
f x
y
Suponga que en el grafico f(x) = x2
y quiere calcular la derivada en a 5 aplicando la definición. Partiramos de
5 x 2 52
x
y vamos
disminuyendo x y vemos que cuando x 0 entonces f ‘(5) = 10
Manipulate
5 x 2
52
x
, x, 0.01, 0.00001
x
10.
Podemos deducir una formula general que nos permita calcular la derivada de x2
para cualquier valor de x
lim
x 0
x x 2
x2
x
lim
x 0
x2
2 x x x2
x2
x
lim
x 0
2 x x x2
x
lim
x 0
2 x x 2 x
lim
x 0
x x 2
x2
x
2 x
Recuerde: Para ver como originalmente ha sido introducidas la expresión anterior marca celda y en la barra de menu elija
Cell Convertto StandardForm. Entonces observe que lim x 0 se escribe Limit[..., x 0]. Una vez escrito puede convertirlo a la
notación tradicional marcando la celda y en la barra de menu elija Cell Convertto TradicionalForm.
2 | DerivadasMaximosMinimos.nb Guillermo Sánchez
http://diarium.usal.es/guillermo
3. Recuerde: Para ver como originalmente ha sido introducidas la expresión anterior marca celda y en la barra de menu elija
Cell Convertto StandardForm. Entonces observe que lim x 0 se escribe Limit[..., x 0]. Una vez escrito puede convertirlo a la
notación tradicional marcando la celda y en la barra de menu elija Cell Convertto TradicionalForm.
La aplicamos a x = 5 , entonces 2 x = 10 , que es el resultado que antes habiamos obtenido.
A partir de la definición de derivada calcular la derivada de xn
, Sen x (en inglés Sin x) y x
Limit
x x n xn
x
, x 0
n xn 1
Limit
Sin x x Sin x
x
, x 0
cos x
Limit
x x x
x
, x 0
x
Concepto geométrico de derivada
La derivada de una función f(x) en un punto x0 podemos interpretarla como la recta tangente en ese punto. Compruebeloen el
grafico anterior: Observe que en el punto P la derivada correspondea la tangente a la función en ese punto.
En efecto como f ' x limx x0
f x f x0
x x0
esto es: f x = f x0 f ' x x x0 .
que la ecuación de una recta Y = A + m X donde A= f x0 , m = f’(x) y X = x x0
En efecto como f ' x limx x0
f x f x0
x x0
esto es: f x = f x0 f ' x x x0
x 0
función x x2
x3
sin x cos x x
log x
5 5 10
10
20
30
40
50
60
función f x x2
m 0.00
5 5 10
15
10
5
5
10
15
derivada f ' x
y 0.00
Adaptado de http://demonstrations.wolfram.com/DerivativeAsAFunction/ por: Jim Brandt
Un enlace intesante: http://demonstrations.wolfram.com/FiniteDifferenceApproximationsOfTheFirstDerivativeOfAFunctio/
Teoremas relacionados con la derivación
Si f una función continua en el intervalo I y derivable en el interior de I (esto es en puntos distintos del inicial y final) entonces:
Si f '(x) > 0 x del interior de I entonces f es estrictamente creciente en I
Si f '(x) < 0 x del interior de I entonces f es estrictamente creciente en I
Guillermo Sánchez DerivadasMaximosMinimos.nb | 3
http://diarium.usal.es/guillermo
4. Si f una función continua en el intervalo I y derivable en el interior de I (esto es en puntos distintos del inicial y final) entonces:
Si f '(x) > 0 x del interior de I entonces f es estrictamente creciente en I
Si f '(x) < 0 x del interior de I entonces f es estrictamente creciente en I
Si f es continua en a y los límites laterales coinciden, esto es: limx a f x = limx a f x b, entonces f es derivable en a y su
valor es b, es decir f ' a b.
Reglas de la derivación de funciones
Para las reglas de la derivación y las derivadas mas comunes puede consular cualquier libro de matematicas de bachiller o http://www.u-
nizar.es/aragon_tres/unidad7/u7der/u7derte30.pdf.
Derivadas simples más comunes
Observe que las derivadas anteriores se obtienen de la definicion de derivada, como se ha mostrado en la sección anterior.
Con Mathematica se calculan directamente:
y x_ : k f x
y' x
k f x
y x_ : xa
y' x
a xa 1
y x_ : Sin x
y' x
cos x
y x_ : x
y' x
x
Suma y resta
Clear "Global` "
4 | DerivadasMaximosMinimos.nb Guillermo Sánchez
http://diarium.usal.es/guillermo
5. Dada una funcion y x
y x_ : f x g x
Su derivada es
y x
f x g x
Para
y x_ : f x g x
Su derivada es
y x
f x g x
Producto
Dada una función y x
y x_ : f x g x
Su derivada es
y' x
g x f x f x g x
Ejemplo: Calcular y’(x) de la función y(x)= x3
x 5 x4
x2
y x_ : x3
x 5 x4
x2
y x Simplify
x2
35 x4
20 x2
3
O paso a paso: y(x_):=f(x)g(x)
f x_ : x3
x
g x_ : 5 x4
x2
f x
3 x2
1
g x
20 x3
2 x
y x
x3
x 20 x3
2 x 3 x2
1 5 x4
x2
Tambien puede hacerse desarrollando primero y x
y x_ : 5 x7
4 x5
x3
y derivando
y x
35 x6
20 x4
3 x2
División
Clear "Global` "
Dada una funcion:
y x_ :
f x
g x
Guillermo Sánchez DerivadasMaximosMinimos.nb | 5
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6. Su derivada es
y x
f x g x
g x 2
f x g x
g x 2
f x g x f x g x
g x 2
Ejemplo
y x_ :
x3 x
5 x4 x2
Se puede derivar directamente
y' x Simplify
5 x4
16 x2
1
5 x3
x 2
O, con un fin didactico, paso a paso:
f x_ : x3
x
g x_ : 5 x4
x2
f x
3 x2
1
g x
20 x3
2 x
f' x g x f x g' x
g x 2
Simplify
5 x4
16 x2
1
5 x3
x 2
O directamente
y x Simplify
5 x4
16 x2
1
5 x3
x 2
Funcion de función
Clear "Global` "
y x_ : g x a
y x a g x a 1
g x
y x_ : x2
1
3
y x_ : x2
1
3
y x
2 x
3 x2
1
2 3
Derivadas logaritmicas
y A
xp a x b q
c x d r
Tomando logaritmos se obtiene
ln y = A+p ln(x)+q ln(b+a x)-r ln(d+c x)
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7. y'
y
p
x
a q
b a x
c r
d c x
y' A
xp a x b q
c x d r
p
x
a q
b a x
c r
d c x
Derivación logarítmica, ampliación
Hallar la derivada de
y A x p
a x b q
c x d r
En casos donde aparecen potencias, raices cocientes y combinaciones de ellas suele ser util utilizar la
derivación logarítmica. En esta caso
ln y ln A p ln x q ln a x b r ln c x d
Lo derivamos respecto a x
y'
y
p
x
a
q
a x b
c
r
c x d
Despejamos y, sustituyendola por su valor
y' A x p
a x b q
c x d r
p
x
a
q
a x b
c
r
c x d
Funciones compuestas: y(x) = f(u(x))
Clear "Global` "
y x_ : f u x
y x f u x u x
Ejemplo
u x_ : 1 x3
y u_ : u5
y u 5 u4
u x 3 x2
y u x u x
15 x2
1 x3 4
Ejercicios propuestos
Calcula las derivada primera de las siguientes funciones:
a) f(x) = x2
+ sen 2x; b) f(x) = x3 1
x2
x2
3
; c) f(x) = x3 2 x
; d) f(x) =
x3
x 1
2 x
; e) f(x) = ln
x 1
x 1
; f) f x sen 3 x
;
g) f x x sin 3 x
f x_ : x2
sin 2 x
f' x
2 x 2 cos 2 x
f x_ : x3
x23 1
x2
que también podemosescribir :
Guillermo Sánchez DerivadasMaximosMinimos.nb | 7
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8. f x_ : x3
x2 3
x 2
aplicar la derivada de xa
que es: a xa 1
, recordar que xba
xb a
f' x
2
x3
3 x2
2
3 x
3
f x_ : x2 2 x
es un productopor tanto :
f x g x h x h x g x
f' x
2 2 x
x2
2 2 x
x
f x_ :
x3
x 1
2 x
f x
h x g x h x g x
g x 2
, con h x x3
x 1 y g x 2 x
f' x
x3
x 1
2 x 2
3 x2
1
2 x
f x_ : log
x 1
x 1
1
g x
g' x
con g x
x 1
x 1
, y
g' x
x 1
x 1 2
x 1
x 1 2
f' x Simplify
2
x2
1
f x_ : sin 3 x
f' x
3 sin 3 x
cos 3 x
f x_ : x sin 3 x
f' x
sin 3 x
2 x
3 x sin 3 x
cos 3 x
Paso a paso
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9. Reproduzca los mismos ejemplos con Mathematica
Halla la función derivada de
1
x 2
para x 2
x2
4 para x 2
Reproducimosel mismo ejemplo con Mathematica
f x_ :
1
x 2
x 2
x2 2 x 2
f' x
1
x 2 2
x 2
2 x x 2
Indeterminate True
Concepto de diferencial
Diferencial. En la definicionde derivada f ' x
dy
dx
lim
x a
f x f a
x a
lim
x 0
f x x f x
x
despejamos dy ,
que denominamos diferencial de y, nos queda
dy lim
x 0
f x0 x f x0 dy f ' x0 dx
Aproximación
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10. Aproximación
y f ' x0 x
Ejemplo: Dado un cuadrado de lado x0= 1 m. ¿Cuanto se increntará el area si el
aumentamos la longitud de lado 0.1 m?, ¿y si lo aumentamos 0.01 m?.
Método exacto
S x2
S x0 x0
2
x0
2
;
para x0 0.1 1.12
1 0.21;
para x0 0.01 1.012
1 0.0201
Método aproximado
S x2
, usamos y f ' x0 x S 2 x0 x ;
para x0 0.1 2 1 0.1 0.2;
para x0 0.01 2 1 0.01 0.02
Comparación método exacto con método aproximado. Observese que el error relativo disminuye
cuando el incremento se va haciendo mas pequeño
(0.21-0.20)/0.21 5.0%
(0.0201-0.02)/0.0201 0.5%
EJEMPLOS PARA ILUSTRAR LA APLICACIÓN DE DERIVADAS EN ECÓNOMIA
Ejemplo 1.- Explotación de un pozo de petroleo
De un pozo de petroleo el coste c t de extracción unitario (en $/barril) aumenta (inflación,..) con el tiempo t (en años) de acuerdo a
c t_ : 0.1 t1.5
10
El volumen diario, q t , (en barriles) extraido disminuye de acuerdo a
q t_ : 105 0.05 t
Obsérvese la variación del coste unitario y de los gastos totales anuales con el tiempo: {año, $/barril}
TableForm Table t, c t , q t , t, 0, 10
0 10. 100000.
1 10.1 95122.9
2 10.2828 90483.7
3 10.5196 86070.8
4 10.8 81873.1
5 11.118 77880.1
6 11.4697 74081.8
7 11.852 70468.8
8 12.2627 67032.
9 12.7 63762.8
10 13.1623 60653.1
El coste de producción , en $/año, con el tiempo (en años) será:
G t_ : c t q t
El coste de producción marginal (tasa de variación) será:
G t = q t c t c t q t , substituyendose obtiene
G t
15000. 0.05 t
t0.5
5000. 0.05 t
0.1 t1.5
10
La tasa proporcional de variación será
10 | DerivadasMaximosMinimos.nb Guillermo Sánchez
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11. G t
G t
=
q t c t c t q t
q t c t
c t
c t
q t
q t
G t
G t
0.05 t
15000. 0.05 t
t0.5
5000. 0.05 t
0.1 t1.5
10 100000 0.1 t1.5
10
Supongamos que se espera que el precio unitario de venta ($/barril) varie de acuerdo a
r t_ : 0.05 t 18
Por tanto, los ingresos totales anuales R t variarán de acuerdo a
R t_ : r t q t
R t
100000 0.05 t
0.05 t 18
El ingreso marginal sera
R t
5000. 0.05 t
5000. 0.05 t
0.05 t 18
Nos planteamos: ¿Cual será el beneficio anual B t esperado?
Vendra dado por la diferencia entre ingresos y gastos
B t_ : R t G t
B t
100000 0.05 t
0.05 t 18 100000 0.05 t
0.1 t1.5
10
Simplify B t
0.05 t
10000. t1.5
5000. t 800000.
Podemos observar que el beneficio anual va disminuyendocon el tiempo.
Plot B t , t, 0, 10 , PlotRange 3 10^5, 9 10^5
0 2 4 6 8 10
400000
500000
600000
700000
800000
900000
Simplify
B t
B t
500. t1.5
15000. t0.5
250. t 35000. 10000. t1.5
5000. t 800000.
Observese que la tasa proporcional de variacion del beneficio tambien disminuye
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12. Plot B' t B t , t, 0, 10 , PlotRange 0, 0.15
2 4 6 8 10
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
Ejemplo 2.- Evolución cíclica del precio de un producto estacional
El precio de las fresas, p, en €/kg, varia ciclicamente (es un producto estacional), supongamos que se puede aproximar (t en semanas)
p t_ : 1.2 0.6 Cos
6
52
t
En una cadena de alimentacion se ha observado que su demanda, x, en kg, depende del precio, p, , en €/kg, de acuerdo a la expresion:
x p_ : 5000 1200 p
¿Cual es la tasa de variación semanal de la demanda?
dx
dt
dx
dp
dp
dt
x p
p
p t
t
83.0769 sin
3 t
26
Plot , t, 0, 52
10 20 30 40 50
50
50
Ejemplo 3.- Inversión publica y crecimiento en el modelo keneysiano
En la teoria keneysiana se supone que el gasto total G de consumo de bienes y servicios es una función del producto nacional bruto Y, que
se representa por:
(3.1) G f Y
En muchos modelos se supone que la función consumo f Y es lineal, esto es
(3.2) f Y a b Y
Si G e Y se miden en millones de dolares b nos dice cuanto aumenta el consumo G si el producto nacional Y aumenta en 1 millón de dólares
12 | DerivadasMaximosMinimos.nb Guillermo Sánchez
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13. En un estudio se comprobó que para EE.UU.
(3.3) f Y 95.05 0.712 Y
Consideremosel siguiente modelo macroeconómico para determinar la renta nacional (o producto nacional)
(3.4) Y G I
a) Hallar la variación Y si I cambia I uds.
Y 95.05 0.712 Y I, despejando Y se tiene
Y 3.47 I 330.03 incrementamosY e I en Y e I
Y Y 3.47 I I 330.03
Restando las dos expresionesanteriores se tiene
Y 3.47 I
Si I varia, p.ej: 109
$ 3.47 109
$.
b) Hallar la expresion dY dI
Substituyendo en (3.4) la expresión (3.1)
Y f Y I
Entonces
dY
dI
f' Y
dY
dI
1
dY
dI
1
1 f' Y
En (3.3) f ' Y = 0.712 y de aquí
dY
dI
1
1 0.712
3.47
Habitualmente (empiricamente0 b 1) 0<f'(Y)<1 dY/dI >1
Esto lleva a una importante conclusión para este modelo (es decir: es valida para lo supuestos del modelo no de forma general): Un aumento
en la inversión publica de 1% normalmenteconllevará un aumento proporcionalmentemayor del 1% en el Producto Nacional Bruto
Hallar la derivada segunda de Y para Y f Y I
dY
dI
1
1 f' Y
d2 Y
dI2
1 1 f' Y 2
.f'' Y
dY
dI
Además
d
dI
1 f ' Y 0 f ' Y
dY
dI
d2 Y
dI2
1 f' Y 3
.f'' Y
f'' Y
1 f' Y 3
Para el modelo anterior:
a) Hallar la diferencial dY en términos de dI
Y G I dY= dG + dI
G = f(Y) dG =f'(Y) dY que substituimosen dY
dY= f'(Y) dY + dI dY =
1
1 f ' Y
dI
b) Se supone que el empleo N g Y , hallar la diferencial dN en términos de dI
N = g(Y) dN =g'(Y) dY , como
dY =
1
1 f ' Y
dI dN =
g' Y
1 f ' Y
dI
Siempre que g'(Y)>0 y 0<f'(Y)<1, se llega a la conclusión de que cuando la inversión crece tambien crece el empleo.
Ejemplo 4 Elasticidad
Un concepto ampliamente utilizado en ecónomia es el de elastidad. La elasticidad, El, de f con respecto
a x se define
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14. Elx f x = x
f x
f ' x
Supongamos que la demanda, Dem, de cierto bien está dada por la expresión: Dem p 8000 p 1.5
Hallar la elasticidad de Dem p
Sol:
Dem p_ 8000 p 1.5
;
Aplicamos la definición de elasticidad. En nuestro caso f es la función demanda dem y x es el precio p
ElxDem p_
p
Dem p
Dem' p
1.5
En este caso la elasticidad es una constante igual a -1.5 y debe interpretarse como que un aumento en el
precio del 1% implica que la demanda cae (pues el signo es -) el 1.5%
En el grafico podemos observar como disminuye la demanda cuando aumenta el precio entre el 1% y el
10%
Plot Dem p , p, 1, 10
4 6 8 10
1000
2000
3000
4000
Ejemplo 5 Elasticidad y derivación logarítmica
En la función demanda del ejercicio anterior tomamos logaritmos
ln Dem p ln 8000 1.5 p
Nota: la relación anterior se dice que es log-lineal
que es la ecuación de una recta de pendiente -1.5. Esto nos permite obtener otra forma de calcular la
elasticidad que es
Elx Dem p
p
Dem p
Dem' p
d ln Dem p
d ln p
y en general
Elx f x
x
f x
f' x
d ln f x
d ln x
Nota: llamamos y f x entonces Elx y x
y
y' x
y
dy
dx
dy
y
dx
x
d ln y
d ln x
por tanto, a veces nos sera mas util calcular las elasticidades utilizando las derivadas logarítmicas
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15. REGLA DE L' HOPITAL
Teorema reducido
Si f y g son derivables en x0, si f(x0) = g(x0) = 0 y g'(x) 0, entonces
lim
x x0
f x
g x
f' x
g' x
Ejemplo:
lim
x 4
x2 16
4 x 8
0
0
f' 4
g' 4
8
lim
x 7
x 1
3
x 3
x 7
0
0
f' 7
g' 7
1
6
Teorema completo
Si f y g son derivables en un intervalo (a, b), centrado en x0 -donde necesariamenteno tiene que ser derivable- y
lim
x x0
f x
g x
0
0
Si g ' (x) 0 x x0 (a, b) y si
lim
x x0
f' x
g' x
L L finito, , , entonces
lim
x x0
f x
g x
lim
x x0
f' x
g' x
L
Nota: a y b pueden sustituirse por ±
Observe que la Regla de L' Hôpital aplica a indeterminacionesdel tipo
0
0
e , pero tambien puede utilizarse en otros tipos de indetermina-
ciones si estas pueden convertirse en indeterminacionesdel tipo
0
0
, como se muestra en el siguiente ejemplo:
lim
x
x5
x45
x
Para aplicar la regla de L'Hôpital hemos de transformar la expresión anterior en la forma 0/0 o
x5
x45
x x5
1
1
x
5 x x 1
1
x
5 x
1 1 x 1 5
1
1 x
lim
x
x5
x45
x lim
x
1 1 x 1 5
1
1 x
0
0
lim
x
f' x
g' x
lim
x
1
5
1 1 x 4 5
1
5
Aplicar la Regla de L’Hôpital para resolver los siguiente límites:
lim
x 1
x2
2 x 1
log x
0
lim
x
x
3 x2
lim
x 0
x log x
0
lim
x 0
1
x
1
sin x
0
Soluciones
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16. Derivadas segundas y sucesivas
Para f(x) de la misma manera que se calcula la derivada primera f’(x) puede calcularse, si es que existen,la derivada segunda (f’’(x), tercera
f’’’(x), cuarta f iv
(x), ...., f n
(x).
Ejemplo: Para
f x_ : 3 x
f' x
3 3 x
f'' x
9 3 x
f''' x
27 3 x
D f x , x, 4
81 3 x
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17. f x ln x
en x
orden de la derivada
f 1
f 1
f 1
2
f 2
3
f 4 6
4
f 5 24
5
Adaptado de http://demonstrations.wolfram.com/MultipleDerivatives
MAXIMOS Y MINIMOS
Se recomienda los enlaces: http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad7/u7graf/u7grafte20.pdf y http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad7/u7-
graf/u7grafte50.pdf
Sea D el dominio de f(x), definimos
c D es un máximo de f f(x) f(c) x D, si el valor de f en c es estrictamente mayor, f(x) <
f(c), que cualquier otro punto de D, entonces c es un máximo estricto.
d D es un mínimo de f f(x) f(d) x D, si el valor de f en d es estrictamente menor, f(x) >
f(d), que cualquier otro punto de D, entonce c es un mínimo estricto.
Los puntos anteriores se les llama usualmente punto criticos o valores óptimos.
Test de la derivada primera y segunda para la determinación de los puntos óptimos
En general x0 es un punto crítico de f si f ' x0 0
Si f es una función con derivada segunda continua en x0 y f ' x0 0, si:
a) f '' x0 0 entonces f tiene en x0 un mínimo relativo estricto
b) f '' x0 0 entonces f tiene en x0 un máximo relativo estricto
c) f '' x0 0 es indeterminado y hemos de aplicar otro criterio.
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18. Test de la derivada primera para la determinación de los puntos óptimos
Si f '(x) 0 x c, y f '(x) 0 x c entonces x =c es un máximo de f.
Si f '(x) 0 x c, y f '(x) 0 x c entonces x =c es un mínimo de f.
Otras opciones para la determinación de los puntos óptimos
Supongamos que la función f tiene un máx. o un mín. en un intervalo acotado I. Los máx. y min.
pueden ser de los tres tipos siguiente:
1.- Puntos interiores de I en los que f ' x 0
2.- Los dos extremos de I
3.- Puntos de I en los que no exista f ' x
Máximos y mínimos locales
La función f tiene un máximo local en c si existe un intervalo (a, b) centrado en c tal que f(x) f(c)
x A (a, b).
La función f tiene un mínimo local en d si existe un intervalo (a, b) centrado en d tal que f(x) f(d)
x A (a, b).
Supongamos que la función f tiene un máx. o un mín. local en un intervalo acotado I. Los máx. y min.
pueden ser de los tres tipos siguiente:
1.- Puntos interiores de I en los que f ' x 0
2.- Los dos extremos de I
3.- Puntos de I en los que no exista f ' x
Calcular los puntos críticos de las funciones f(t)=
t
t2 4
,f x
1
9
x3 1
6
x2 2
3
x 1;y x
6 x3
x4 x2 2
f t_ :
t
t2 4
Plot f t , t, 5, 5
4 2 2 4
0.2
0.1
0.1
0.2
Calculamos la derivada primera y la igualamos a 0
f' t
1
t2
4
2 t2
t2
4 2
Reduce f' t 0, t
t 2 t 2
18 | DerivadasMaximosMinimos.nb Guillermo Sánchez
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19. Vemos que hay dos puntos críticos. De gráfico se deduce que el primero es un mínimo y el segundo un máximo. Tambien podemos
conprobarlo utilizando la derivada segunda.
f'' 2
1
16
como f '' x0 0 en x0 2 entonces x0 es un mínimo relativo estricto
f'' 2
1
16
como f '' x0 0 en x0 2 entonces x0 es un máximo relativo estricto
f x_ :
1
9
x3
1
6
x2
2
3
x 1;
Plot f x , x, 5, 5
4 2 2 4
6
4
2
2
4
6
f' x
x2
3
x
3
2
3
Reduce f' x 0, x
x 1 x 2
y x_
6 x3
x4 x2 2
;
Plot y x , x, 10, 10
10 5 5 10
2
1
1
2
Guillermo Sánchez DerivadasMaximosMinimos.nb | 19
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20. y' x
18 x2
x4
x2
2
6 x3
4 x3
2 x
x4
x2
2 2
y' x
Reduce y' x 0, x
x 0 x 2 x 2 x 3 x 3
y'' 0
0
Problemas
Ejemplo 1
En una explotación agrícola se ha observado que cuando se utilizan Q kg de fertilizante por Ha se se
obtienen P kg de trigo (es decir: P(Q)). El precio de venta del trigo es p (€/kg) y el del fertilizante
q(€/kg). ¿Cuantos kg de fertilizante por Ha hemos de utiliziar para máximizar el beneficio?. Apliquese
al caso particular en el que:
P Q 140 9.8 Q 0.5 Q3 2
solucion
Sol: El beneficio nos vendrá dado por :
B(Q) = p P(Q) - q Q con (Q 0)
Se trata de maximizar la función anterior
B Q_ p P Q q Q;
Para lo que hay que obtener la derivada primera e igualarla a 0
B' Q
p P Q q
Para nuestro caso concreto, P(Q), P'(q) y B`(Q) son
P Q_ 140 9.8 Q 0.5 Q3 2
;
P' Q
9.8 0.75 Q
B' Q
p 9.8 0.75 Q q
Hacemos B'[Q] = 0 y despejamos Q
Solve B' Q 0, Q Simplify
Q
1.77778 q2
p2
34.8444 q
p
170.738
Apliquese al caso en el que p = 0.06 €/kg y el de fertilizantes p= 0.4 €/kg
. p 0.06, q 0.4
Q 17.4538
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21. Conclusion: Se necesitan utilizar 17.45 kg/Ha para maximizar el beneficio
Clear B, P
Quit
Ejemplo 2
Un roble es plantado en el instante t = 0. Se sabe que el precio del roble se varia de acuerdo una función P(t), que es
derivable. Se supone que el precio del dinero esta dado por un tipo de interes continuo 100 r% anual. [ A interés
compuesto continuo de tasa r, una cantidad inicial K0 después de t años se convertira en K = K0Exp[r t]]¿Cuando hay
que cortar el arbol para hacer máximo el valor actual descontado?. Apliquese al caso particular en el que P(t) = t2
+ 10 t
+ 25 y r = 0.05
solución
El valor actual del arbol será f t P t Exp r t
f t_ P t r t
;
Hay que hacer su derivada f'[t]=0
f t
r t
P t r P t r t
Se hace cero cuando
P t r P t
Aplicamos el criterio de la derivada segunda
f t
r t
P t 2 r r t
P t r2
P t r t
Como el punto singular este en P'(t) = r P[t], substuimos P'(t) en la expresion anterior
f t .P t r P t
r t
P t r2
P t r t
Por tanto hay que cortar el arbol cuando en el intervalo (t, t+1) en el que el aumento del valor del
arbol sea igual al interés que se oobtendria durante ese intervalo de tiempo al invertir una cantidad
P(t) a una tasa r. Ojo: Esto indica que el arbol no hay que cortarlo cuando su valor de mercado sea
mayor.
Para el caso en el que
P t_ t2
10 t 25 ; r 0.05; con t 0 ;
Plot P t , t, 0, 100
20 40 60 80 100
2000
4000
6000
8000
entonces f(t) es
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22. f t_ P t r t
0.05 t
t2
10 t 25
Hacemos la derivada primera "0" y se obtienen dos puntos singulares
Reduce f' t 0, t
Reduce::ratnz : Reduce was unable to solve the system with inexact coefficients. The
answer was obtained by solving a corresponding exact system and numericizing the result.
t 5. t 45.
Observese que el valor real disminuye a partir de cierto momento
Plot f t , t, 0, 100
20 40 60 80 100
50
100
150
En t= 45 su derivada segunda es f t 0 luego es un maximo local
f'' 45
0.210798
Sin embargo en t= 5 su derivada segunda es f t 0 luego es un mínimo local
f'' 5
1.5576
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