Módulo 2

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
ASIGNATURA TRÁNSITO Y TRANSPORTE
UNIDAD 1
TEMA SUBTEMAS
Técnicas de análisis estadístico y de
probabilidad para la medición del
desempeño en ingeniería de tránsito
1. Introducción.
2. Estadística descriptiva.
3. Probabilidad.
4. Distribuciones de probabilidad.
5, Intervalos de confianza
6. Análisis económico y financiero

INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN
La medición del desempeño del tránsito y las herramientas utilizadas a menudo requieren de recolección y análisis de datos. La
aplicación de técnicas estadísticas apropiadas en los estudios de ingeniería de tránsito ayuda a los ingenieros a tomar mejores
decisiones. Ingenieros que recolectan y analizan datos con procedimientos estadísticos adecuados están mejor equipados para
evitar la falta de precisión interpretativa y erróneas decisiones de inversión.

INTRODUCCIÓN
El análisis estadístico es el estudio de cómo se recolectan, organizan, analizan e interpretan los datos. Involucra tanto la ciencia de
la incertidumbre y la tecnología de información a partir de datos. Se divide en dos áreas: estadística descriptiva e inferencial. La
estadística descriptiva consiste en la recolección, organización, resumen y presentación de datos de muestra o de población. La
estadística inferencial consiste en métodos para usar información de una muestra con el fin de sacar conclusiones con respecto a la
población.
DEFINICIONES
Una población consiste en todos los sujetos que están siendo estudiados mientras que una muestra es un subconjunto de una
población. Si se pueden obtener datos de la población entera, las mediciones calculadas utilizando todos los valores de datos en
una población se llaman parámetros; medidas calculadas usando muestras son llamados estadísticos.
1. Muestra aleatoria simple: una muestra n tomada de una población de tal manera que cada elemento de la población tienen las
mismas chances de ser seleccionado.
2. Muestreo estratificado: es una muestra que divide la población en distintos grupos, llamados estratos, basado en
características específicas y se toman muestran aleatorias en cada estrato.
3. Muestre sistemático: una muestra que numera todos los miembros de una población secuencialmente, y comienza desde un
punto al azar, incluye cada k miembros de la población en la muestra. 𝑘 = 𝑁/𝑛
ESTRATEGIAS DE MUESTREO

INTRODUCCIÓN
4. Muestra de conglomerado: una muestra que divide la población en segmentos o conglomerados preexistentes y luego se
seleccionan de manera aleatoria conglomerados de donde se obtienen datos de todos los individuos del grupo.
5. Muestreo por conveniencia: una muestra usando datos de miembros de la población que están fácilmente disponibles.
…ESTRATEGIAS DE MUESTREO
Muestro
aleatorio
simple
Muestro
sistémico
Muestro
estratificado
Muestro por
conglomerado

INTRODUCCIÓN
Las pruebas paramétricas se basan en suposiciones sobre la distribución de la población subyacente de la que se tomó la muestra.
La suposición paramétrica más común es que los datos están distribuidos normalmente. Las pruebas no paramétricas no se basan
en suposiciones sobre la forma o los parámetros de la distribución poblacional subyacente
ESTADÍSTICA PARAMÉTRICA VS NO PARAMÉTRICA
1. Error de muestreo: es la diferencia entre la medida de una muestra y las correspondientes medias de una población, lo cual es
causado por el hecho de que la muestra no representan perfectamente la población.
2. Error no muestral: es el resultado de diseño de muestra pobre, descuido en al recogida de datos, instrumentos de medición
defectuosos, sesgo en los cuestionarios o errores de dato de entrada.
TIPOS DE ERROR
VARIABLES
Variables son características o atributos que pueden asumir diferentes valores. Datos son los valores (medidas u observaciones)
que la variable asume. Las variables pueden ser cualitativas o cuantitativas . Variables cualitativas son variables que son puestas en
distintas categorías acorde a alguna característica o atributo. Variables cuantitativas pueden ser divididas en: discretas u ordinarias.
Una variable discreta puede tomar un número finito de valores, mientras que una variable continua puede tomar una cantidad
infinita de valores.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

ESTAD+ISTICADESCRIPTIVA
GRÁFICOS Y TABLAS
Límite
inferior
Limite
superior
Intervalo
de clase
Punto
medio de
clase
Frecuencia
observada
Frecuencia
relativa
Frecuencia
acumulada
35 38 35-38 36,5 3 5% 5%
38 41 38-41 39,5 5 8% 12%
41 44 41-44 42,5 11 17% 29%
44 47 44-47 45,5 21 32% 61%
47 50 47-50 48,5 15 23% 83%
50 53 50-53 51,5 7 11% 94%
53 56 53-56 54,5 4 6% 100%
66 100%
Velocidades puntuales aleatorias tomadas en una arteria urbana (mph)
54 55 45 45 52 40 46 46 41 41 49
41 41 52 53 53 42 42 43 43 44 35
44 38 39 42 44 45 45 48 48 48 37
47 47 51 51 52 46 46 46 50 50 41
47 47 49 49 48 48 48 45 46 46 45
49 49 45 35 40 40 44 45 44 42 44
𝑛𝑖 = 1 + 3,32 log 𝑛
𝑛𝑖 = 𝑁° 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠 (𝑅𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑡𝑢𝑟𝑔𝑒𝑠)
𝑛𝑖 = 7
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
35-38 38-41 41-44 44-47 47-50 50-53 53-56

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1. Media: conocida como promedio aritmético. Cuando
la media se compone de todos los valores de la
población, se está calculando la media poblacional.
Cuando los datos son tomados de una muestra de
población, se está calculando la media muestral.
𝜇 =
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑛
𝑁
=
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖
𝑁
𝑥 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛
2. Promedio ponderado: a veces los datos se miden
en términos de clases o grupos. Utilizando los
puntos medios de cada clase x, y el número de
observaciones en cada clase representa el peso de
la misma w.
𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = 𝑥𝑖 ∗ 𝑤𝑖 / 𝑤𝑖
3. Media truncada: es una medida de tendencia
central más resistente a la influencia de los
valores atípicos, pero aún sigue siendo sensible a
los mismos. Se calcula como un promedio
aritmético después de haber eliminado un
porcentaje específico de los valores más altos y
más bajos de la serie de datos.
4. Mediana: percentil 50
o segundo cuartil. Es el
punto medio en una
serie de datos
ordenada de menor a
mayor.
5. Moda: es el valor más
frecuente en una serie de
datos. Puede no existir moda,
o casos en que se tienen
varias modas.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN
1. Rango: R es la diferencia entre el
valor máximo y el valor mínimo de
una serie de datos. Es susceptible de
valores atípicos.
2. Varianza: describe y cuantifica la dispersión de daos
alrededor de la media. La varianza poblaciones se
denota con 𝜎2
y la varianza muestral como 𝑠2
𝜎2 =
𝑥𝑖 − 𝜇 2
𝑁
𝑠2 =
𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑛 − 1
3. Desviación estándar: es una medida
útil de dispersión porque utiliza las
mismas unidades de la variable que
se analiza
𝑅 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀𝑎𝑥 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛
𝜎 =
𝑥𝑖 − 𝜇 2
𝑁
𝑠 =
𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑛 − 1
4. Coeficiente de variación: se calcula dividiendo la
desviación estándar por el promedio. Se expresa en
porcentaje y permite hacer comparaciones entre
poblacionales.
𝐶𝑉 =
𝜎
𝜇
* 100% 𝐶𝑉 =
𝑆
𝑋
* 100%

MEDIDAS DE POSICIÓN
1. Percentiles: el percentil P de una distribución es
es un valor tal que el P% de los datos caen por
debajo de él, y el (100-P)% de la distribución se
encuentran por encima de él.
2. Valores atípicos: son observaciones
aparentemente muy diferentes a las demás.
Pueden resultar de fluctuaciones aleatorias
de los datos, o de errores no relacionados
con el muestreo (registro de datos, p.e.). Se
identifican a través de barreras.
𝐵𝑎𝑟𝑟𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝑄1 − 1,5 × 𝑅𝐼
𝐵𝑎𝑟𝑟𝑒𝑟𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝑄3 + 1,5 × 𝑅𝐼
𝑅𝐼 = 𝑄3 − 𝑄1

PROBABILIDAD

PROBABILIDAD
REGLAS DE PROBABILIDAD
Probabilidad es el campo de estudio que hace declaraciones sobre lo que ocurrirá cuando son tomadas muestras de una
población. Estadística es el campo de estudio que describe cómo se deben obtener las muestras y cómo hacer inferencias de
poblaciones desconocidas.
DEFINICIONES
Siendo S el espacio de muestra, o la serie de todos los eventos simples y A un evento cualquiera o un subconjunto del espacio de
muestra.
𝑃 𝐴 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

PROBABILIDAD
La prioridad de cualquier evento es 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1. Cuando 𝑃(𝐴) = 0 no es posible que este evento ocurra. Cuando 𝑃(𝐴) =1 el
evento es una certeza. Si 𝑃(𝐴) es la probabilidad de que ocurra un evento A, la probabilidad de no ocurrencia de A se define como
A complemento 𝑃 𝐴 𝐶
. Entonces la probabilidad de todos los eventos en una muestra suman cero.
…REGLAS DE PROBABILIDAD
Regla de suma: si dos eventos (A) y (B) pueden ocurrir pero
no ambos, entonces (A) y (B) son mutuamente excluyentes;
en este caso, la probabilidad de que (A) y (B) ocurran se
calcula usando la regla de la adición.
𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑨 𝑪 = 𝟏
𝑷 𝑨 𝒚 𝑩 = 0 𝑷 𝑨 𝒐 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷(𝑩)
Regla general de la adición: Si los dos eventos no son
mutuamente excluyentes entonces:
𝑷 𝑨 𝒐 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷(𝑨 𝒚 𝑩)
Regla de la multiplicación: si dos eventos (A) y (B) son
eventos independientes (por ejemplo, la ocurrencia de (A)
no influencia la ocurrencia de (B) y viceversa) la probabilidad
de (A) y (B) se calcula como:
𝑷 𝑨 𝒚 𝑩 = 𝑷 𝑨 × 𝑷 𝑩
Regla general de la multiplicación: si los dos eventos (A) y
(B) no son independientes la probabilidad de (A) y (B) se
calcula teniendo en cuenta la probabilidad de qu el evento
(B) ocurra dado un evento (B) ya ocurrido
𝑷 𝑨 𝒚 𝑩 = 𝑷 𝑨 × 𝑷 𝑩│𝑨

PROBABILIDAD
El histórico de dos años de accidentes en intersecciones rurales similares de una jurisdicción revela lo siguiente:
• Total de accidentes: 212
• Total accidentes con lesiones (B): 25
• Total accidentes en ángulo (A): 67
• Total accidentes en ángulo y con lesiones (AB): 20
Determine si los accidentes en ángulo y con lesiones son mutuamente excluyentes y si las evidencias soporta la independencia de
los eventos.
…REGLAS DE PROBABILIDAD (EJEMPLO)
𝑃 𝐵 =
25
212
= 0,118
𝑃 𝐴 =
67
212
= 0,316
𝑃 𝐴𝐵 =
20
212
= 0,094
𝑃 𝐴 𝑦 𝐵 = 0
𝑵𝒐 𝒔𝒐𝒏 𝒎𝒖𝒕𝒖𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒙𝒄𝒍𝒖𝒚𝒆𝒏𝒕𝒆
𝑃 𝐴 𝑦 𝐵 = 𝑃 𝐴 × 𝑃(𝐵)
𝑵𝒐 𝒔𝒐𝒏 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐴 × 𝑃(𝐵)
0,094 = 0,316 × 0,118
0,094 ≠ 0,037
𝑃 𝐴𝐵 = 0,094 ≠ 0

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCIONESDEPROBABILIDAD
A continuación se enseñan las distribuciones discretas de probabilidad más comunes a los análisis de ingeniería de tránsito. Las
características de las distribuciones de probabilidad para una variable aleatoria discreta son:
• La probabilidad de distribución tiene una probabilidad asignada a cada distinto valor de la variable aleatoria.
• La suma de todas las probabilidades asignadas debe ser 1.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
La media de una distribución de probabilidad
discreta puede ser calculada como:
𝜇 = 𝑥𝑖 ∗ 𝑃(𝑥𝑖)
La desviación estándar de una distribución de
probabilidad discreta puede ser calculada como:
𝜎 = (𝑋𝑖 − 𝜇)2 × 𝑃(𝑥)
𝑥 es el valor de la variable aleatoria y 𝑃(𝑥) la probabilidad de esa variable.
Se estudiarán las siguientes distribuciones discretas:
A) Distribución de probabilidad binominal.
B) Distribución de probabilidad Poisson

Distribución de probabilidad binomial examina la probabilidad de tener ciertos resultados (exitosos) en un cierto número de
ensayos de un experimento binomial (o experimento de Bernoulli). Este experimento tiene las siguientes características:
• Tienen un número fijo de ensayos denotado por 𝑛.
• Cada ensayo tiene dos únicos resultados, identificados como éxito (S) o fracaso (F).
• Los 𝑛 ensayos son independientes y se repiten en condiciones idénticas.
• En cada ensayo, la probabilidad de éxito es la misma y se denota por 𝑝. La probabilidad de fracaso es igual a 1 − 𝑝 se denota 𝑞.
La probabilidad asociada a la distribución binomial está dada por:
𝑃 𝑟 =
𝑁!
𝑟! 𝑁 − 𝑟 !
𝑝 𝑟 𝑞 𝑁−𝑟
Donde,
𝑁 = número de ensayos
𝑃(𝑟) = probabilidad de que el evento designado ocurra r veces en
N ensayos
𝑝 = probabilidad de ocurrencia de un evento designado en un
ensayo simple.
𝑞 = 1 − 𝑝
La media es el número esperado de éxitos en 𝑛
ensayos:
𝜇 = 𝑛 × 𝑝
Donde,
𝑛 = número de ensayos
𝑝 = probabilidad de éxito.

Ejemplo distribución binominal: Supongamos que en una intersección T no controlada la probabilidad de que un vehículo se
acerque a la intersección desde la carretera lateral durante un intervalo de 15 segundos y gire a la derecha en la carretera principal
es 1/5. Encuentre las probabilidades de que en un lapso de tiempo de 1 minuto, haya 0, 1, 2 3, ó 4 vehículos que llegan y giren a la
derecha.
𝑁 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠
𝑁 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 15 𝑠 𝑒𝑛 1 min
𝑁 = 4
𝑃 𝑟 =
4!
𝑟! 4 − 𝑟 !
𝑝 𝑟
𝑞4−𝑟
𝑃 𝑟 = 0 =
265
625
= 0,4096
𝑃 𝑟 = 1 =
265
625
= 0,4096
𝑃 𝑟 = 2 =
96
625
= 0,1536
𝑃 𝑟 = 3 =
16
625
= 0,0256
𝑃 𝑟 = 4 =
1
625
= 0,0016

Distribución de probabilidad Poisson: es un caso limitante de la distribución binomial y es apropiado para situaciones con un
número grande ensayos 𝑛 y una probabilidad de éxito que es muy pequeña. Generalmente es válida cuando N es superior a 50 y 𝑝
es menor que 0,1. Bajo estas condiciones queda expresada como:
𝑃 𝑟 =
(𝑁𝑝) 𝑟 𝑒−𝑁𝑝
𝑟!
Donde,
𝑁 = número de ensayos
𝑃(𝑟) = probabilidad de r ocurrencias en N ensayos
𝑝 = probablidad de ocurrencia de un evento designado en un
ensayo simple.
La distribución de Poisson, dada la probabilidad de r
ocurrencias, es el promedio ponderado del número
de ocurrencias, 𝑟 = 0.1,2, … , 𝑁 ponderado por sus
probabilidades. 𝑁𝑝 es el número promedio de
vehículos en un intervalo de tiempo.
Convencionalmente es el número promedio de
llegadas de vehículos por segundo o 𝜆 Si 𝑡 es el
intervalo de interés, entonces el número de vehículos
en este intervalo será λt
Ampliamente usada en la modelación de llegadas aleatorias de vehículos y apropiada para condiciones de tráfico sin congestión.
𝑁𝑝 = 𝜆𝑡 𝑃 𝑟 =
(𝜆𝑡 ) 𝑟
𝑒−𝜆𝑡
𝑟!

Ejemplo distribución de probabilidad Poisson: un ingeniero cuenta 360 vehículos por hora en un punto de una carretera.
Asumiendo que las llegadas de estos vehículos están normalmente distribuidas., estime la probabilidad de tener 0, 1, 2, 3, 4 y 5 o
más llegadas en intervalos de 20 segundos.
𝑃 0 =
(0,1 × 20)0
× 𝑒−0,1×20
0!
= 0,135
𝜆 = 360
𝑣𝑒ℎ
ℎ
= 0,1 𝑣𝑒ℎ/𝑠 𝑡 = 20𝑠
𝑃 1 =
(0,1 × 20)1
× 𝑒−0,1×20
1!
= 0,271
𝜆 𝑦 𝑡 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑃 2 =
(0,1 × 20)2
× 𝑒−0,1×20
2!
= 0,271
𝑃 3 =
(0,1 × 20)3× 𝑒−0,1×20
3!
= 0,180
𝑃 4 =
(0,1 × 20)4
× 𝑒−0,1×20
4!
= 0,090
𝑃 5 𝑜 𝑚á𝑠 = 1 − 𝑃 4 𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 = 1 − 0,135 − 0,271 − 0,271 − 0,180 − 0,090 = 0,053

Una variable es continua si ésta puede asumir cualquier valor real posible en algún intervalo. Recordemos que una distribución de
probabilidad es una asignación de probabilidades a cada valor distinto o rango de valores para una variable aleatoria discreta o
continua. La función de densidad de probabilidad (FDP) puede ser usada para estimar la probabilidad de rangos de valores para la
variable tales como 𝑃(10 < 𝑥 < 20) . Esta es un área que podría ser encontrada integradando y estimando el área bajo la curva
entre dos límites.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA
𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
𝑒
−
(𝑥−𝜇)2
2𝜎2
Donde,
𝜇 = media o valor esperado de la distribución. Mediana y moda
𝜎 = desviación estándar de la variable
𝑝 = probabilidad de ocurrencia de un evento designado en un
ensayo simple.
La más común es la distribución de probabilidad normal o
distribución gaussiana se define como:

La distribución normal estándar es introducida debida a la naturaleza compleja de estimar el área bajo la curva de la FDP para las
infinitas combinaciones de 𝜇 y 𝜎 . Una distribución normal estándar con 𝜇 = 0 y 𝜎 = 1 es construida y denotada como N(0,1).
Cualquier valor de x para cualquier variable distribuida normalmente con N(𝜇, 𝜎) es convertida en un valor z equivalente de la
distribución normal estándar usando:
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
Las unidades de 𝑧 son desviaciones estándar e indican la
posición relativa del valor de x en términos de
desviaciones estándar de la media para cualquier
variable normalmente distribuida con N(𝜇, 𝜎) Al
examinar las tablas normales normales, buscando los
valores de z y las áreas correspondientes, se pueden
hacer evaluaciones de la probabilidad de valores de x.

Tabla de distribución normal estándar

Tabla de distribución normal
Área de probabilidad acumulada

Ejemplo distribución normal estándar: velocidades vehiculares en un tramo particular están normalmente distribuidas con una
media de 50 Km/h y una desviación estándar de 5 Km/h. ¿Cuál es la probabilidad de tener una velocidad por encima de los 55
Km/h? ¿cuál es la probabilidad de observar aleatoriamente vehículos con velocidades entre 40 y 60 Km/h?
𝜇 = 50 𝜎 = 5
𝑧 55 =
55 − 50
5
= +1
El valor de 55 Km/h está a 1 desviación estándar sobre la media. De una tabla de
distribución estándar, el área a la izquierda de 𝑧 =1 es 0,8413, o esto es, existe un
84,13% de probabilidad que una velocidad seleccionada aleatoriamente sea menor a
55 Km/h. Por tanto, la probabilidad de que sea mayor es 1 − 0,8413 = 0,1587 o
15,87%.
𝑧 40 =
40 − 50
5
= −2 (á𝑟𝑒𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑧 = −2 𝑒𝑠 0,0228, 𝑜 2,28%)
𝑧 60 =
60 − 50
5
= +2 (á𝑟𝑒𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑧 = +2 𝑒𝑠 0,9772, 𝑜 97,72%)
𝑃 40 < 𝑥 < 60 = 97,72% − 2,28% = 95,44%
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎

Teorema del límite central: aunque en algunas variables en ingeniería de tráfico no se distribuyen normalmente, los
procedimientos paramétricos asociados con variables distribuidas normalmente pueden ser aplicadas a estas variables en ciertas
situaciones usando el teorema del límite central.
El teorema dice que para cualquier distribución de
probabilidad si x posee cualquier distribución media 𝜇 y
desviación estándar 𝜎, entonces la media muestral 𝑋
basada en una muestra aleatoria de tamaño 𝑛 tendrá una
distribución que se aproxima a la distribución de una
variable aleatoria normal con media 𝜇 y desviación
estándar 𝜎 𝑛 cuando 𝑛 aumenta sin límite.
Esto significa que la distribución primaria de 𝑥 puede ser
cualquier distribución, pero a medida que el tamaño de la
muestra se hace mayor, la distribución de se aproximará a
una distribución normal, con convergencia aceptable en
n ≥ 30.

Probabilidades considerando media muestral: tomando una variable 𝑥 que tiene cualquier distribución donde 𝑛 es el tamaño de la
muestra, 𝜇 es la media de la distribución x y 𝜎 es la desviación estándar de la distribución x. Si la distribución primaria de x es
normal, entonces la distribución de 𝑋 también es normal. Sin embargo, si la distribución primaria de 𝑥 no es normal, y el tamaño
de la muestra es 𝑛 ≥ 30, por el teorema del límite central, la distribución de 𝑋 es aproximadamente normal. En este caso se
puede convertir 𝑋 a 𝑧 usando:
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎/ n

INTERVALOS DE CONFIANZA

INTERVALOSDECONFIANZA
A menudo, por restricciones de tiempo o dinero, no es viable obtener datos para calcular parámetros de ingeniería de tránsito, por
lo que se hace necesario estimar la media poblacional 𝜇 o la proporción 𝑝.
En el caso improbable que la 𝜎 de la población es conocida y la distribución de x es normal (o por el teorema del límite central el
tamaño de muestra n > 30 para 𝑋) la media poblacional 𝜇 es estimada usando dos valores: la estimación puntual 𝑋 y el margen
de error (𝐸). Un intervalo de confianza es construido de la media poblacional 𝜇, usando las siguientes ecuaciones:
ESTIMANDO 𝝁 CUANDO 𝝈 ES CONOCIDA
𝑋 ± 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝐸 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐸 = 𝑧 𝑐 × 𝜎/ 𝑛
𝑋 ± 𝑧 𝑐 × 𝜎/ 𝑛
𝑋 es la media muestral
𝑧 𝑐 valor crítico para nivel de confianza c (basado en la
distribución normal)
𝜎 desviación estándar de la población
𝑛 tamaño de la muestra
El nivel de confianza es expresado como un porcentaje,
usualmente cuantificado como 1 − 𝛼 ∗ 100 porcentaje de
confianza, donde 𝛼 es el riesgo aceptable asociado con la
inclusión del verdadero valor del parámetro.

La velocidad media de 36 vehículos observados en una carretera fue 𝑋 = 25𝐾𝑚/ℎ . Asuma que la desviación estándar de la
población es de 𝜎 = 5 𝐾𝑚/ℎ. Encuentre el intervalo del 95% de confianza para la velocidad media vehicular.
ESTIMANDO 𝝁 CUANDO 𝝈 ES CONOCIDA (EJEMPLO)
25 ± 1,96 × 5/ 36
𝑋 ± 𝑧 𝑐 × 𝜎/ 𝑛
𝑧 𝑐 es obtenido de la tabla de distribución estándar del
área de la cola izquierda y derecha para un intervalo de
confianza especificado. Los valores para 𝑧 𝑐 limitan el
área en la mitad de campana correspondiente al nivel
de confianza.
El área en la cola izquierda de 0,025 corresponde a
𝑧 𝑐 = −1,96 y el área a la izquierda de la cola derecha
es 0,975 que corresponde a 𝑧 𝑐 = 1,96
1 − 𝐼𝐶 = 𝛼
1 − 0,95 = 𝛼
𝛼 = 0,05
𝛼 = 0,025 Área en cada cola
La interpretación del intervalo de confianza del 95%
sugiere que la media de la población en esta
carretera se encuentra en algún lugar de este
intervalo en 95 veces de 100 muestras aleatorias
repetidas en el largo plazo.𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙 95% = 25 ± 1,63 23,37 𝑎 26,63

En el caso probable que 𝜎 de la población es desconocida y la distribución de x es normal (o por el teorema del límite central el
tamaño de muestra n > 30 para 𝑋) la media poblacional 𝜇 es estimada usando dos valores: la estimación puntual y el margen de
error 𝑋) y el margen de error (𝐸). Un intervalo de confianza es construido de la media poblacional 𝜇, usando las siguientes
ecuaciones:
ESTIMANDO 𝝁 CUANDO 𝝈 ES DESCONOCIDA
𝑋 ± 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝐸 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐸 = 𝑡 𝑐,𝛼,𝑔𝑙 × 𝑠/ 𝑛
𝑋 es la media muestral
𝑡 𝑐 valor crítico para nivel de confianza c (basado en la
distribución t-student con n − 1 grados de libertad gl)
𝑠 desviación estándar de la muestra
𝑛 tamaño de la muestra
𝑋 ± 𝑡 𝑐,𝛼,𝑔𝑙 × 𝑠/ 𝑛

Tabla de distribución t-Student

La puntuación media de una muestra de 20 jueces de pruebas de licencia de conducción, elegidos al azar, para una misma prueba,
presentó una media de 9,8525 y una cuasi desviación típica muestral de 0,0965. Calcular un intervalo de confianza con un 95%
para la nota media. (Suponemos que la variable que mide la puntuación sigue una distribución normal.):
𝑋 = 9,8525
𝑋 ± 𝑡 𝑐,𝛼,𝑔𝑙 × 𝑠/ 𝑛
𝑠 = 0,0965 𝑛 = 20 1 − 𝛼 =0,95
𝑔𝑙 = 20 − 1 = 19
Tenemos que buscar un valor 𝑡 𝛼/2, de modo que en la distribución t-
Student con 19 grados de libertad deje una área de probabilidad a la
derecha igual a α/2, es decir 0,025. Dicho valor se corresponde con
un valor de t =2,0930.
9,8525 ± 2,0930 × 0,0965/ 20
9,8525 ± 0,045
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙 95% = 9,8525 ± 0,045
9,807 𝑎 9,897

ANÁLISIS FINANCIERO Y ECONÓMICO EN
INGENIERÍA

ANÁLISISFINANCIEROYECONÓMICO
La economía en ingeniería nos ayuda a optimizar y mejorar las decisiones en los proyectos. Con ésta se analizan los costos,
ingresos y beneficios que pueden ocurrir en cualquier momento
DEFINICIONES
𝑃: 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛
En economía, la moneda es una medida de valor que una persona atribuye a un bien o servicio. Interés puede ser definido como el
costo de tener dinero disponible para usar, mientras que la tasa de interés es un porcentaje que es aplicado periodicamente y se
agrega a una cantidad de dinero a lo lrago de un perído de tiempo predefinido. Esta relación entre el interés y el tiempo lleva al
concepto de valor temporal del dinero.
𝐼: 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜
𝑖: 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠, 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑜𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑛: 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠, 𝑢𝑛 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑐ó𝑛 𝑞𝑢é 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑠 𝑐𝑙𝑎𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜

Interés simple: es el interés que se computa
solamente sobre la suma original, no sobre el
interés acumulado.
La cantidad disponible en el final del período de
interés, 𝐹, es:
𝐼 = 𝑖𝑃 𝑛
𝐹 = 𝑃 1 + 𝑖𝑛
Interés compuesto: es el interés que se cobra sobre
la base del capital restante más los cargos por
intereses acumulados. La cantidad disponible en el
final del período de interés, 𝐹, es:
𝐹 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛
DEFINICIONES

El Banco de Transporte ofrece una tasa de interés anual del 6% para una cuenta de ahorros. Harry planea depositar $ 2.000. No
habrá retiros y los intereses devengados al final de cada año se acumularán.
a) Si el interés simple es aplicado, ¿qué tanto tendrá Harry al final del año 5?
b) Si el interés compuesto es aplicado, ¿ ¿qué tanto tendrá Harry al final del año 5?
EJEMPLO
𝑃 = $2000 𝑛 = 5 𝑖 = 6%
𝐹 = 𝑃 1 + 𝑖𝑛 = $2,000 1 + 0,06 × 5 = $2.600.000
𝐹 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛 = $2,000 1 + 0,06𝑖 5=$2.676.451
En el caso del interés compuesto, el interés acumulado
total es $676.45 mientras que el caso del interés simple
rinde $600.00. El Cuadro siguiente muestra el proceso de
devengo de intereses para el caso de interés compuesto.
Fin año
Interés
ganado
Balance inicial Balance final
1 $ 120 $ 2.000 $ 2.120
2 $ 127 $ 2.120 $ 2.247
3 $ 135 $ 2.247 $ 2.382
4 $ 143 $ 2.382 $ 2.525
5 $ 151 $ 2.525 $ 2.676

Para representar problemas que involucren valor temporal del dinero se utiliza un diagrama de flujo de caja, done el tiempo es
representado por una línea horizontal dividida en los períodos de interés, mientras que el flujo de caja se representa con flechas
hacia arriba (flujo positivo) o flechas hacia abajo (flujo negativo)
DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA
Ejemplo: una carretera tiene un costo de
inversión de $20.000 con un costo anual de
mantenimiento de $1.000. La carretera genera
ingresos por peajes de $5,000 por año en un
período de 5 años, después del cual el costo de
salvamente es de $7.000. Dibuje y simplifique el
correspondiente diagrama de flujo.

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