Apunte de electricidad y magnetismo

1. Electricidad y magnetismo
Apuntes de
Electricidad y Magnetismo
Miguel Bustamante S.
jue 19 de mayo de 2016
Miguel Bustamante Página 1

2. Electricidad y magnetismo
Presentación
El siguiente apuntes de electromagnetismo es la acumulación de varios
años de dictar el curso en la Universidad. Obviamente, es un borrador de un
futuro apunte sobre el ramo. Creo que el nivel actual de desarrollo puede ya
aportar para el estudio de este tema. Falta otros tópicos, pero poco a poco
vamos a ir completando el apunte junto con ejemplos resueltos.
Pueden enviar sus comentarios a correo electrónico
miguelbustamante271@yahoo.com donde responderé agradecido la
consultas que me hagan.
Espero que les ayude en su desarrollo futuro.
Miguel Bustamante Página 2

3. Electricidad y magnetismo
Indice
¿Que son los vectores?..............................................................................................................5
Tarea 1......................................................................................................................5
Bases vectoriales..............................................................................................................5
Tarea 2......................................................................................................................6
Definición: Producto interno..................................................................................6
Definición: Vectores ortogonales...........................................................................6
Definición: Producto cruz......................................................................................7
Espacio geométrico. ..............................................................................................................7
Suma en el espacio vectorial ...........................................................................................7
Producto escalar.................................................................................................................8
Tarea 3.......................................................................................................................8
Definición: Producto interno..................................................................................8
Isomorfismo del espacio geométrico y el espacio |R3...........................................................9
Sistema de referencia......................................................................................................10
Campos Vectoriales..............................................................................................................13
Campo Escalares..................................................................................................................15
Cargas Eléctrica........................................................................................................................20
Álgebra de las cargas......................................................................................................22
Característica de la Fuerza Eléctrica..................................................................................25
Principio de superposición..................................................................................................27
Campos eléctricos de distintas distribuciones:....................................................................31
Campo de una carga puntual...........................................................................................31
Campo eléctrico de una configuración superficial...........................................................33
Campo eléctrico de densidad volumétrica......................................................................34
Ley de Gauss............................................................................................................................37
a) Dipolo eléctrico................................................................................................41
b) Casquete esférico...........................................................................................41
Campo eléctrico dentro de un conductor.........................................................................43
Potencial Eléctrico....................................................................................................................46
Energía potencial eléctrica..................................................................................................46
Distribución discreta.........................................................................................................46
Distribución continua de carga........................................................................................48
Potencial Eléctrico................................................................................................................48
Condensadores........................................................................................................................53
Dieléctrico....................................................................................................................57
Energía almacenada en un condensador............................................................................58
Conexiones de condensadores en serie y en paralelo.................................................59
Conexión de condensadores en serie........................................................................59
Configuración en paralelo................................................................................................60
Corriente Eléctrica ...................................................................................................................62
Densidad de Corriente........................................................................................................62
Corriente eléctrica................................................................................................................64
Ley de Ohm..........................................................................................................................66
Miguel Bustamante Página 3

4. Electricidad y magnetismo
Potencia ...............................................................................................................................69
Definición Malla................................................................................................................70
Enunciado de las leyes de Kirchhoff........................................................................................71
Pero, ¿que es un campo el campo magnético?..................................................................75
Fuerza sobre un conductos que transporta corriente I....................................................77
Alambre infinito:......................................................................................................80
Espira circular..........................................................................................................81
Ley de Faraday....................................................................................................................85
Autoinductancia....................................................................................................................88
Transformadores...................................................................................................................89
Estados transcientes (corriente continua)...............................................................................91
Circuito RC......................................................................................................................91
Circuitos RL......................................................................................................................94
Circuitos LC..........................................................................................................................96
Circuito RCL.......................................................................................................................100
Circuitos en corriente alterna.................................................................................................103
Resistencia............................................................................................................103
Condensador.........................................................................................................103
Bobina....................................................................................................................104
Potencia .........................................................................................................................107
Miguel Bustamante Página 4

5. Electricidad y magnetismo
Vectores
¿Que son los vectores?
Supongamos que tenemos un conjunto V y elementos de ese conjunto u,w (u,w V).
Definimos en este conjunto dos operaciones cerradas: La suma simbolizada por + y el producto escalar
anotado como u, donde  es un número real y u es un elemento de V; de modo que las operaciones
cumpla con la propiedad de la clausura, es decir que el resultado sea un vector del espacio o conjunto
V.
Un ejemplo I
Sea V=|R3
; los elementos de V pueden tener la siguiente estructura:
u=(u1,u2,u3), donde ui son números reales (i=1,2,3). La operación suma que podemos definir sería:
• La suma: u+w=(u1,u2,u3)+(w1,w2,w3) = (u1+w1,u2+w2,u3+w3)
• Producto escalar: u = (u1,u2,u3)=(u1,u2,u3)
Si las operaciones mencionadas satisfacen las siguientes propiedades:
Para la Suma “+”
• Conmutatividad u+v=v+u
• Asociatividad u+(v+w)=(u+v)+w
• Existencia de elemento neutro aditivo v+0=v
• Existencia de elemento inverso aditivo v+(­v)=0
Para el producto escalar: v
Miguel Bustamante Página 5

6. Electricidad y magnetismo
• Distritibuidad por la suma : v+u)=v+u
• Distritibuidad por el producto u)=( u
• Elemento neutro escalar 1v=v
entonces se dice que el espacio V es un espacio vectorial, y sus elementos se denominan vectores. El
ejemplo I demuestra que |R3
es un espacio vectorial, ya que satisface todas las propiedades
mencionadas.
Tarea 1
Verifique si los siguientes operaciones satisfacen las condiciones de espacio vectoriales:
1. Sea V=|R3
, se define la suma u+w=(u1,u2,u3)+(w1,w2,w3) = (u1+w1,u2,u3+w3), y el producto escalar
u = (u1,u2,u3)=(u1,u2,u3)
2. Sea V=M3 conjunto de matrices de 3x3. Se define la suma como M+N=L, donde Lij= Mij­Nij, y el
producto escalar M=Mij.
Bases vectoriales
Supongamos que tenemos un conjunto vi del espacio V de modo que cualquier vector u, que
pertenece a V (u ‰V) se pueda escribir como una combinación lineal
u=1v1+2v2+...MvM= ∑
i=0
M
i vi
done el valor M puede ser incluso infinito. Se dice que el conjunto de vi es una base que genera el
espacio V.
Sí, ahora el vector u=0, y la única forma obtener este vector es que los valores de los i sean
todos cero (i =0) se dice que es una base linealmente independiente. Si encontramos valores i para
algunos i, distintos de cero, se dice que el conjunto de vectores vi es una base, pero dependiente.
Cuando existe un número mínimo de vectores linealmente independientes (base l.i.) la
cantidad de estos vi corresponde a la dimensión del espacio.
En el espacio |R3
, una base linealmente independiente importante es e1=(0,0,1), e2=(0,1,0) y
e3=(1,0,0).
Tarea 2
Descubra si los siguientes vectores de los espacios respectivos son base definido sobre la suma
usual y el producto escalar típico.
• Si V=|R2
, los vectores son: (2,3), (1,1,) (3,3)
• V=|R3
, (1,1,1), (­1,0,1), (­1,1,­1), (0,0,1)
Miguel Bustamante Página 6

7. Electricidad y magnetismo
• V=|R3
, (0,01), (1,2,0), (1,2,1).
Definición: Módulo de un vector
Vamos a definir una función, cuyo dominio está en V=|R3
y la imagen está en |R.
V:|R3
|R
u ∥u∥=u1
2
u2
2
u3
2

Esta función es una función escalar.
Definición: Producto interno
Sean dos vectores u,v del espacio V =|R3
(u,v  V=|R3
). Definimos una función de modo que el
resultado es un escalar
V:|R3 |R
(u,v) u⋅v=u1 v1u2 v2u3 v3
Definición: Vectores ortogonales
Cuando dos vectores tiene como producto interno igual a cero, se dice que los vectores son
ortogonales entre sí; es decir u⋅v=0⇒u⊥v
Definición: Producto cruz
Supongamos que tenemos dos vectores u,v del espacio V. Definimos la operación
u×v=
∣
i j k
ux uy uz
vx vy vz
∣
El vector resultante de esta operación es perpendicular a u y v. El módulo de este producto cruz ||uxv||
=||u||||v|| sin((u,v)), donde (u,v) es el ángulo que forman u y v.
Espacio geométrico.
Un espacio vectorial interesante, es el espacio geométrico. El espacio geométrico consiste en
puntos y tramos (segmentos). En este espacio, se pueden definir las operaciones suma y producto
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V
U
Ux V
O
Plano que define u y v

8. Electricidad y magnetismo
escalar.
Suma en el espacio vectorial
Supongamos que tenemos dos segmentos, desde un mismo origen como se observa en la figura.
En este espacio el módulo de un vector corresponde a
la distancia entre el origen y el final del vector.
La operación suma:
• Trace una linea paralela a OB, pero que contenga el
punto A.
• La distancia 0B, se copia en la recta trazada desde
A.
• Trace una línea paralela a OA que contenga al
punto B
• La distancia OA se copia desde B sobre la linea
trazada que pasa por B.
• Trace una linea recta que contenga el punto O al punto C.
• La distancia desde O a C, es la suma de el vector OA+OB=OC.
Producto escalar
Supongamos un vector OA.
El producto con escalar OA, es repetir la distancia OA, a partir de O en la dirección del tramo
OA. Si >0, se repite en la misma dirección que OA. Si >1, el vector resultante tiene una magnitud
mayor que OA
Nótese que cuando <0, se invierte la dirección del vector OA.
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0
A
B
C
A
O
OA, >1
OA, 0<<1
OA, <0

9. Electricidad y magnetismo
Tarea 3
Verificar que sobre la base de estas operaciones en el espacio geométrico, satisface las
condiciones de espacio vectorial.
Definición: Producto interno
Se definirá el producto interno en el espacio geométrico:
Sean dos vectores OA y OB, que forman entre sí un ángulo .
El producto interno de OA•OB=||OA|| ||OB|| cos()
Interpretemos este producto interno: Se puede pensar que
el producto geométrico es la proyección en distancia del vector
OA en la dirección OB; o viceversa.
Interpretemos el producto cruz, geométricamente:
Sean dos vectores que definen un plano u,v. El producto cruz uxv da como resultado un vector
perpendicular al plano que definen los vectores u y v, por ende perpendicular a u y v.
Si calculamos el módulo del producto cruz, se obtiene el área en verde, que un paralepipedo
cuyo lado corresponde a ||v||sin((u,v)) u ||u||. Nótese en el dibujo que el área corresponde al doble del
triángulo que encierra ou, uv y ov.
En este espacio, cuando dos vectores don perpendiculares entre
si, es que forman un ángulo de 90°, o /2.
En el espacio geométrico existe una base que se denotará por las
letras i,j,k. Estos son tres vectores perpendiculares entre y que tienen una
magnitud 1.
Estos vectores representan una base del espacio geométrico.
Isomorfismo del espacio geométrico y el espacio |R3
.
Existe un isomorfismo entre el espacio geométrico y el espacio |R3; ambos son espacios
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V
U
Ux V
O
Plano que define u y v

O
A
B
i
j
k

10. Electricidad y magnetismo
vectoriales, pero lo interesante es que un punto O del espacio geométrico se puede asociar un único
punto en el espacio |R3
. Por tanto las operaciones que definíamos en cada espacio corresponden a una
característica del vector. Podemos describir el espacio geométrico del modo |R3
, o por medio de trazos.
El espacio geométrico nos permite visualizar un vector que en el espacio |R3 es solo un conjunto de
tríos ordenados.
Asociemos a los vectores i,j,k los vectores unitarios de la base e1,e2,e3; es decir
i e1
j e2
k e3
Con la equivalencia anterior, un vector del espacio geométrico v que se escribe de la forma
v=ai+bj+ck, donde a,b,c son reales (a,b,c |R) tiene una representación única en |R3
del modo
v=ae1+be2+ce3.
Sobre lo anterior el producto interno de u⋅v=u1 v1u2 v2u3 v3 se iguala a ||u|| ||v|| cos().
||u|| ||v|| cos()= u⋅v=u1 v1u2 v2u3 v3
Sistema de referencia
Supongamos que estamos en el espacio V=|R3.
En un punto O,
asociamos el origen de tres vectores linealmente independiente y ortogonales
entre sí. Desde este punto O vamos a realizar todas nuestras observaciones
y mediciones. Este conjunto de vectores y origen O se denomina sistema de
referencia.
Ejercicios en sala
Supongamos que en una esquina se asocia el origen de un sistema de referencia O. Las
direcciones i,j,k se asocian a los tramos que salen de esa esquina.
Calcule:
• La distancia de su posición al origen.
• La distancia de un compañero de usted al origen
• La distancia relativa entre usted y su compañero.
El valor de largo 1, se asocia a la longitud de una baldosa.
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i
j
k
O

11. Electricidad y magnetismo
Los valores escalares que multiplican a los vectores unitarios e1, e2, e3 (i,j,k) se denominan
coordenadas. Sin embargo existen otros sistemas de referencia. Su aplicación depende de la
simetrías involucradas en el problema en estudio. El sistema mencionado anteriormente corresponde
a un sistema de referencia Cartesiano; pero existen sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas.
En el caso de coordenadas cilíndricas las coordenadas son (distancia del origen al punto D, que es la
proyección de P sobre el plano xy;  ángulo que forma el eje x con respecto a la proyección del vector
r sobre el plano xy; y z que es la altura del punto P sobre el plano xy. (r,,z). En un sistema de
referencia de coordenadas esféricas las coordenadas son: r, distancia del punto P al origen O,  ángulo
que forma el eje x con la proyección del vector sobre el plano xy y , ángulo que forma el vector r con
el eje z.
Todos estos sistemas son equivalentes. Las equivalencia se presentan en la tabla siguiente. Los
operadores gradiente o laplaciano, elemento de volumen o área y otros se pueden expresar en cualquier
de los tres sistemas de referencia.
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x
Y
Z
x
Y
Z
P
P
Coordenadas EsféricasCoordenadas Cilíndricas
D


Z


r

12. Electricidad y magnetismo
Equivalencias Matemáticas.
Coordenada
s
Cartesianas
(Referencia)
Cilíndricas Esféricas
x,y,z x=rcos(),
y=rsin(),z=z
x=rcos()sin(),y=rsin()sin(),z=rcos()
Elemento
de camino
dl
dxi+dyj+dzk kdzrdrdr ˆˆˆ    ˆ)(ˆˆ drsinrdrdr 
Elemento
de área
dxdy, dydz, dzdx rdrd, drdz, rddz rdrd, rdrsin()d, dr rsin()d
Elemento
de
Volumen
dxdydz rdrddz r2
drdsin()d
Gradiente
A
 k
z
j
y
i
x
ˆˆˆ







 zA
z
A
r
rA
r
ˆˆ1
ˆ)(














ˆ
)(
1ˆ)(
1
ˆ)( A
rsin
A
r
rA
r 







Laplaciano
A2
 2
2
2
2
2
2
z
A
y
A
x
A




























z
A
zr
A
rr
A
r
rr 
11











































A
sin
A
sinA
r
sinr
rsinr )(
1
)()(
)/
1 2
2
Rotor xA

zyx AAA
zyx
kji






ˆˆˆ



ArAA
zr
r
z
r
r
r






ˆˆˆ
 





ArsinrAA
r
rrsinsinr
r
r )(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
2






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x
Y
Z
x
Y
Z
P
P
Coordenadas EsféricasCoordenadas Cilíndricas
D


Z


r

13. Electricidad y magnetismo
Campos Vectoriales
Vamos a hablar de un concepto muy utilizado en Física; los campos vectoriales.
Supongamos que estamos en un espacio V y esta vez cada punto se asocia una propiedad, una
propiedad vectorial (un vector). La asignación del punto de vista matemáticas puede ser por medio de
una función, por ejemplo: F(x,y,z)=x2
i+y/(x2
+z3
)j+yk. El espacio de le función vectorial F es |R3
.
También puede ser una función que a todo punto de espacio es un vector constante (1,1,1).
Para visualizar el concepto de campo, supongamos que en un espacio bidimensional, todos los
puntos del espacio (x,y) tienen asociado un vector descrito por (1,0). Se representa gráficamente por
una flechita en un punto (x,y), como se observa en la figura.
Si aplicamos el gradiente a este campo (grad E) nos dará como resultado cero. Cuando el
gradiente es distinto de cero, existe cambio en la direcciones de los vectores.
Supongamos que tenemos la siguiente función del campo:
E x ,y=
x
 x−x0²y²

x
xx0²y²
i
x
 x−x0²y²

x
xx0²y²
 J
Nótese que este es un vector. En una representación bidimensional en el plano z=0 el campo se
observa que los vectores van cambiando según la posición (x,y).
Miguel Bustamante Página 13
X
Y

14. Electricidad y magnetismo
Miguel Bustamante Página 14
Fig 1: Represetación de un campo vectorial

15. Electricidad y magnetismo
Campo Escalares
Un campo escalar, a cada punto (x,y,z) se asocia un número , un escalar. Anotaremos como
V(x,y,z) un campo escalar.
Una representación bidimensional (|R2
). Se observa en la figura siguiente siguiente. La función
es V(x,y)= e−x²y³ 
Cada punto del plano (x,y) tiene asociado un número. Si unimos por segmento aquellos puntos
que tienen los mismo valores, se formaran curvas de V(x,y) constante. Observe en la figura, junto con
los valores de cada curva.
Miguel Bustamante Página 15
Potencial e isoniveles
Potencial v(x,y)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3
-2
-1
0
1
2
3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9

16. Electricidad y magnetismo
Si representamos sin la superficie v(x,y) , se observa los contornos
Vemos otro ejemplo. Supongamos la función bidimensional
V x , y=−e−x−1
2
y
2

e−x1
2
y
2

Miguel Bustamante Página 16
Potencial e isoniveles
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3
-2
-1
0
1
2
3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9

17. Electricidad y magnetismo
Esta vez, los contorno (isoniveles) tienen valores positivos como negativos. Observemos los
contornos libres de la superficie.
Miguel Bustamante Página 17
Potencial e isoniveles
v(x,y)
0.8
0.6
0.4
0.2
-5.55e-17
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Potencial e isoniveles
0.8
0.6
0.4
0.2
-5.55e-17
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

18. Electricidad y magnetismo
Des una vista superior se observa caminos que de igual valor escalar.
Cuando aplicamos el operador gradiente a un campo escalar ( ∇ V x , y ) se obtiene un
campo vectorial; en particular en un punto (x,y) se asocia un vector E(x,y)
Vemos una ilustración de esto.
Miguel Bustamante Página 18
Potencial e isoniveles
0.8
0.6
0.4
0.2
-5.55e-17
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81

19. Electricidad y magnetismo
Los vectores obtenidos E(x,y) indican la la tendencia de mayor crecimiento. Obviamente en los
máximos y mínimos E(x,y)max=E(x,y)min=0.0.
Podemos decir que obtenemos un campo E del gradiente del potencial; o también de menos el
gradiente del potencial (E=­grad V). Por otro lado, si conocemos un campo E(x,y), podríamos conocer
una campo escalar V(x,y) usando la ecuación siguiente:
V x ,y , z=∫ E⋅d l C
donde C es una constante de integración, que puede tomar un valor arbitrario, como un valor de
potencial en un punto cualquiera fijo.
Ejercicio:
1. Se conoce el siguiente potencial V x ,y=5sinxy , deduzca el campo vectorial asociado.
2. Se conoce un campo E x ,y=x i y
2 j , deduzca un campo escalar asociado a este campo.
Miguel Bustamante Página 19

20. Electricidad y magnetismo
Cargas Eléctrica
Las manifestaciones electrostática han estado presente en nuestras vidas cotidianas y se
conocen desde el tiempo de los griegos. Cuando usted se peina en un día seco ( baja humedad
relativa) el cabello tiende a separar uno de otros y están en dirección radial con respecto a la
superficie. El cabello adquiere una propiedad física que se manifiesta; o al tomar un telar de “POLAR”,
y se frota en la oscuridad, se observan chispas; en los dos casos se dice que los cuerpos están
“electrificados”, El termino de electricidad proviene de la palabra griega elektron que es el ámbar, ya
que experimentando con vidrio, lana y ámbar, lograban obtener estas manifestaciones.
La repulsión eléctrica fue descrita en 1672 por Otto von Guerick, cuando frotaba esferas de
azufre y las acercaba. 100 años más tarde Charles Du Fay, descubrió que no todos los cuerpos se
repelen, sino que existe una atracción entre cuerpos. Sobre esta observación y la anterior, llegó a la
conclusión que existe dos clases de cargas eléctricas: de la misma clase se repelen y de cargas
opuestas se atraen.
Charles, para poder distinguirlas uso los términos vítreos (del latín Vitrum= vidrio) y
resinoso. Bejamin Farkling denomino las cargas vítreas como positivas y las resinosas como
negativas. Tradicionalmente, en experimentos de electricidad estática, un método estándar para obtener
cargas “positivas” es frotar vidrio con ceda, y para cargas negativas, es frotar ebonita con piel. Hoy
en día, para cargas positivas podemos usar acetato de celulosa y polietileno para cargas negativas.
Miguel Bustamante Página 20

21. Electricidad y magnetismo
Afines del siglo 19, Sir J.J. Thomson por medio de experimentos de descarga eléctrica en un
tubo a baja presión llegó a la conclusión que la electricidad negativa consiste de partículas de masa
despreciables que llamo electrones.
Pero un átomo de un elemento es neutro eléctricamente. Sobre la base del descubrimiento de
Thomson, deben existir al mismo tiempo que las cargas negativas, cargas positivas. Estas cargas las
llamaremos protones.
Experimentos posteriores revelaron que la distribución es: Las carga positiva está en el centro
y las cargas negativas en torno a las cargas positivas. Pero, la repulsión es muy grande para los
protones en un núcleo distinto del hidrógeno para que pueda existir. Para poder explicar este hecho,
debe existir otra partícula que mantenga al sistema en equilibrio, pero no cargada . Esta carga la
llamaremos neutrón. En un esquema representativa sería
Sobre la base de estos modelos, las cargas se presentan en números enteros, positivos o
negativos. Cuando una sustancia o material suma el neutro cero, existe una cantidad igual de carga
positiva y negativa.
Milikan midió la carga del electrón y obtuvo la siguiente cantidad: ­1.60x10­19
C. C, es la
unidad de carga que se denomina coulomb, y es del sistema M.K.S o internacional. En el sistema c g s ,
la unidad de carga es statcoulomb. La carga del protón es 1.60x10­19
C
Miguel Bustamante Página 21
Fig 2: Estructura del átomo: Vista clásica
Electrón
Protón
Neutrón

22. Electricidad y magnetismo
Álgebra de las cargas
Cuando en un cuerpo existe cargas negativas como positivas, se suman como número reales.
Un cuerpo no manifiesta un estado de cargado cuando la suma neta de las carga es cero.
Matemáticamente hablando, podemos decir que la carga total de un cuerpo es: Q=∑ qi
Estimemos cuantos electrones existen en una moneda de cobre de 2 gr. El cobre tiene un
número atómico igual a 29 , que corresponde al número de protones y electrones del átomo de cobre.
Un atomogramo de cobre es igual a 63.546 grs/mol. Es un atomogramo hay 6.023x1023
átomos , por
tanto en 2 gramos hay 1.8377x1022
átomo de cobre. Por cada átomo de cobre hay 29 electrones; así el
número de electrones es 5.32x1023
electrones.
La carga total de la moneda es cero, pero la carga total de los electrones en la moneda es 85273.6 C.
Esta cantidad de carga es excesivo. Como vemos la cantidad de electrones en los materiales es del
orden 1021
. Por esta cantidad, podemos aplicar teoría de suma continuas y suponer que las
distribuciones de carga se pueden describir como funciones continuas.
Sobre la base de la acotación anterior vamos a definir los siguientes términos:
• Densidad lineal: carga distribuida en una longitud; cantidad de carga por unidad de longitud.
Anotaremos como =dq/dl la densidad lineal de carga.
• Densidad superficial: Carga por unidad de área. Anotamos esta densidad como =dq/da.
• Densidad volumétrica: Carga por unidad de volumen. Anotamos esta densidad como =dq/dv.
Estas densidad, no necesariamente son constante. Veamos un ejemplo de cada caso:
• Densidad Lineal: Supongamos que (x), depende la posición x, como vemos en la figura
Si sumamos (integramos) a todo lo largo de la barra, para obtener la carga total, nos da un valor de 0.
Q=∫
−L
L
xdx =0, donde 2L es el lago de la barra (L=2). No siempre es así. Podemos tener una
distribución de (x) dado por la expresión x=sinx
2
. Al calcular la carga, la suma da un
Miguel Bustamante Página 22
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Densidad Lineal
l(x)

23. Electricidad y magnetismo
número distinto de cero entre los,límites ­L y L da
2Lsin2L
2
. Compruebe este hecho.
• Densidad superficial: Sea  x , y=sinxsin2y .
Si se integra en los límites del gráfico, nuevamente la carga neta es cero. Cómo ejercicio, suponga que
(x,y)=sin(x)2
sin(y)2
. La expresión será Q=∫
−

∫
−

x , yda=2
• Densidad volumétrica. Podemos decir que que la densidad volumétrica tiene una expresión
x , y, z=e
−x2
y2
z2

2 en una región (­5<x<5,­5<y<5,­5<z<5). Para ilustrar el
concepto de la densidad volumétrica vamos a supone que tenemos una esfera con densidad descrita.
Trazamos una linea que contenga el centro y ver el cambio de densidad por los puntos de la recta.
La densidad por la linea recta es:
Miguel Bustamante Página 23
Densidad superficial
sin(x)*sin(y*2)
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-4 -2 0 2 4
Densidad Volumétrica
exp(-(x**2/2))

24. Electricidad y magnetismo
Podemos tener tantas distribuciones como queramos. La carga total en una distribución volumétrica es:
Q=∫dv , donde dv es un elemento de volumen.
Miguel Bustamante Página 24

25. Electricidad y magnetismo
Fuerza Eléctrica
Hasta el momento hemos hablado de las cargas eléctricas y decimos que un cuerpo esta
electrificado, cuando hay un exceso o un defecto de cargas en el. Ahora vamos a estudiar como
interactúan estas cargas.
Característica de la Fuerza Eléctrica.
Las manifestaciones eléctrica se conocen desde los griegos hasta la época actual. Coloumb, a
los 23 años estudió la fuerza eléctrica y pudo llegar a las siguientes conclusiones:
1. La fuerza eléctrica es proporcional al producto de las cargas. Sin ambas cargas son iguales, existe
una repulsión; si son distintas, atracción.
2. La magnitud de la fuerza eléctrica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
3. La acción de la fuerza actúa por la recta que contiene las cargas.
Miguel Bustamante Página 25

26. Electricidad y magnetismo
Veamos cada punto descrito por Coulomb.
Supongamos que tenemos dos carga Q1 y Q2 a una distancia D.
La fuerza es proporcional al producto de las cargas. En una notación matemática la fuerza F Q1Q2.
Este se refiere al punto 1.
El punto 2, dice que la fuerza es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia. En
términos matemáticos F  1/D2
.
Combinando el punto 1 y 2, se tiene que la fuerza eléctrica es proporcional al producto de las
carga y al inverso del cuadrado de la distancia y pro tanto la fuerza se puede anotar como:
F=k
Q1 Q2
D2
donde k es una constante calculada por medio de datos experimentales. El valor
obtenido es k=8.99x109
Nm2
/C2
.
El tercer punto se relaciona con la dirección de la acción de la fuerza. La fuerza actúa en la
dirección de la recta que une las cargas, pero el sentido de la fuerza depende del signo del producto de
las cargas y de la posición de cada carga. Veamos con detalle la carga Q1. Supongamos que las cargas
son distintos signos: la fuerza es de atracción; la fuerza tiende a juntar las cargas. Si el signos de las
cargas son iguales: la fuerza que actúa es de repulsión.
Denotemos en un forma general, la fuerza para cualquier sistema de referencia.
Sobre la base del sistema asociado al punto
O, la fuerza eléctrica que actúa sobre Q2,
debido a la presencia de Q1 está dado por la
expresión:
Ecu 1: Fuerza Eléctrica
Escribamos la fuerza que actúa sobre la
carga Q1 debido a la presencia Q2.
Miguel Bustamante Página 26
F21 R2 =k
Q1 Q2
∣ R2− R1∣3
 R2− R1
D
Q1
Q2
D
Q1
Q2
R2
R1
O
R2
­R1
Q1
Fuerza de atracciónFuerza de repulsión Q2

27. Electricidad y magnetismo
La expresión es:
F12  R1=k
Q2Q1
∣ R1− R2∣
3
 R1− R2 . Nótese que F12 es ­F21. Esta fuerza cumple con el tercer principio
de Newton: acción y reacción.
Principio de superposición
Supongamos que tenemos el siguiente problema. Tenemos N carga Qi y querremos calcular la
fuerza que actúa sobre la carga de prueba Qp.
Según lo visto anteriormente cada carga Qi actúa sobre la carga Qp por una fuerza Fi dado por la
expresión Ecu 1: Fuerza Eléctrica. Pero, la pregunta que surge ¿La fuerza total que actúa sobre la
carga Qp es la suma, es otro tipo de operación vectorial?
Para contestar esta pregunta vamos a adoptar una hipótesis: “La fuerza neta es el resultado de
las suma individuales de cada carga Qi sobre Qp”. Esta hipótesis esconde un principio: “El principio
de superposición”; es decir las fuerzas se van superponiendo linealmente, todas las fuerzas tienen
igual peso. Luego, la fuerza neta sobre se puede escribir en términos matemáticos como:
Ecu 2: Fuerza neta
Miguel Bustamante Página 27
Fp=∑ Fi
Fig 3: Distribución discreta de cargas
Q2
Q3
Q1
Q4
QN
Qp
O
Rp
RN
R1
R2
R3
R4

28. Electricidad y magnetismo
donde los Fi,
Ecu 3:
.
La expresión Ecu 2: Fuerza neta, es válida para distribuciones descritas de carga. El problema
es cuando tenemos una distribución continua de carga., ¿cómo calculamos la fuerza sobre una carga
puntual?
Veamos el siguiente esquema:
Debemos aplicar la expresión 28, pero para distribución continua. La suma debe recorrer toda
la distribución. Podemos elegir una Qi tan pequeño como queramos, tan pequeño como un dq; la suma
se convierte en una integral. La expresión de la fuerza de una distribución continua es
Fp=k∫dq
Qp
∣ R2− R1∣3
 R2− R1
Lo interesante de esta expresión, es que el vector R1 debe generar la distribución completa de
carga.
Como hemos visto, cuando la distribución es lineal el dq=dl, en una distribución superficial
dq= da, y si es volumétrica dq= dv.
Miguel Bustamante Página 28
Fi=k
Qp Qi
∣ Rp− Ri∣
3
 Rp− Ri
Fig 4: Esquema de distribución continua de carga
R2
R1
R2
­R1
Carga dq
Qp
O

29. Electricidad y magnetismo
Supongamos que tenemos dos distribuciones de cargas.
En este caso, la fuerza neta es la4 suma de infinita sobre el dqp, cuando R2 recorra toda el volumen
Qp. La fuerza neta que actúa está dado por la siguiente expresión:
F=k∫∫
dq dqp
∣ R2−R1∣
3
 R2− R1
Esta es la fuerza neta que actúa sobre la carga Qp debido a la carga Q.
Miguel Bustamante Página 29
Fig 5: Esquema de objetos no puntuales interactuando
O R2
R1
R2
­R1
dqp
dq
Qp
Q

30. Electricidad y magnetismo
Campo Eléctrico
Ya hemos definido que es un campo vectorial (5). Lo que debemos definir ahora es un campo
eléctrico, un campo vectorial eléctrico.
Como sabemos cada punto de espacio tiene asociado un vector. El campo eléctrico se define a
partir de la fuerza.
Supongamos que tenemos una distribución de carga y una carga de prueba Qp en el punto P.
Ya conocemos la fuerza en P. Definimos el campo eléctrico en el punto P, como
Miguel Bustamante Página 30
Distribución de carga
O
R2R1
R2
­R1
Qp
P

31. Electricidad y magnetismo
4. Ecu: Definición del campo E
Por cada punto P, se define el vector asociado al punto, lo cual llamaremos Campo Eléctrico.
Campos eléctricos de distintas distribuciones:
Campo de una carga puntual.
De la situación anterior , suponiendo que la distribución es una carga puntual Q, el campo está dado
por la expresión de acuerdo a la expresión 4. Ecu: Definición del campo E:
5. Ecu: Campo de una carga Q
La carga Q esta situado en el punto R1, y la expresión 31 corresponde al campo en el punto R2.
En el caso de dos carga puntuales, el campo en un punto , es la suma individual de cada campo
en el punto. Esto es consecuencia del principio de superposición.
Miguel Bustamante Página 31
E  R2=k
Q
∣ R2− R1∣3
 R2− R1
E  R2= lim
QP
0
F p
QP
E.1
Q
O
R2
R2
­R1
R1
O
R1 R2
R
R­R1 R­R2
Q1
Q2

32. Electricidad y magnetismo
En este caso, el campo eléctrico en el punto R es igual a la suma del los campo que producen las
cargas Q1 y Q2. El campo en el punto R es:
E(R)=E1(R)+E2(R)
donde E1 es E1R=k
Q1
∣R− R1∣
3
R− R1 y E2 es E2R=k
Q2
∣R− R2∣
3
R− R2
Un ejemplo de este último párrafo es un campo de un dipolo.
Este es un diagrama de un campo eléctrico con una carga puntual +Q y una ­Q.
Por el principio de superposición, si tenemos N carga Qi, el campo en un punto dado en un punto R es:
E=∑ Ei
Campo eléctrico de una configuración superficial
Supongamos un disco de radio R, cuya densidad de carga  es superficial y constante en todos
los puntos del disco. Se quiere calcular el campo eléctrico en cualquier punto del eje x. Recordemos la
expresión de la fuerza eléctrica de sobre una carga de prueba en un punto R2.
Miguel Bustamante Página 32
Carga
puntual +Q
Carga
puntal ­Q
Fig 6: Diagrama de un dipolo

33. Electricidad y magnetismo
Fp=k∫dq
Qp
∣ R2− R1∣3
 R2− R1 En este caso, el dq=da, donde da es elemento diferencial de área.
En este caso, R2 es el punto (x,0,0); R1 indica la posición del dq; nótese que para resolver este
problema debemos asumir el principio de superposición. La integral no es más que una suma de
elementos diferenciales. Sobre la base de la definición de campo eléctrico, la expresión tiene la forma
de:
Ecu 6: Expresión del campo para
distribución continua
donde dq=rdrdR2=(x,0,0,) y R1=(0,rcos(),rsin())., donde los límites de integración en r es 0 a a,
y en  0 a 2. La expresión del campo eléctrico sobre la base de los límites anteriores queda:
Ep x=k∫
0
a
∫
0
2 
 rdrd x i−rcosj−rsin k
x2
r2
3
La expresión anterior da como resultado:
Epx=2 k a signox−
x
x2
a2
i
donde signo x=
x
∣x∣
Miguel Bustamante Página 33
Ep=k∫
dq
∣ R2− R1∣
3
 R2− R1
Elemento dq
X
Y
Z

34. Electricidad y magnetismo
Campo eléctrico de densidad volumétrica
Supongamos que tenemos una distribución volumétrica de carga, como se observa en la figura:
Las dimensiones del cilindro es: radio a y largo L.
Estamos suponiendo que la distribución de carga es constante y la denotamos con .
La ecuación Ecu 6: Expresión del campo para distribución continua se aplica a esta situación; en
este caso dq=dv. El dv por la simetría que se tiene corresponde a un elemento de volumen de
Miguel Bustamante Página 34
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-10 -5 0 5 10
Campo de un disco en el eje x
sigma positivo
sigma negativo
Z
X
Y

35. Electricidad y magnetismo
configuración cilíndrica. El dv es igual a: rdrddz, el vector R2 es xi y R1 es igual a acos()i+asin()
+z'k. Veamos con detención este vector.
El vector R1 indica la posición del elemento de carga dq. En el caso del disco (caso de densidad
superficial) el R1 está contenida en un plano y debe moverse (para generar) todo el plano donde exista
la distribución de carga . Desde una vista frontal, el vector R1, se ve como si fuera superficial:
Sin embargo desde una vista superior (vista perpendicular al plano ZX) se observa que el vector tiene
una componente en k.
Con esto claro, podemos remplazar directamente las expresiones de R1, R2, y dq en la ecuación Ecu 6:
Expresión del campo para distribución continua. La ecuación que se obtiene es:
Ez=k∫
0
a
∫
0
2
∫
−L
0
rdr d  dzz k−rcosi−rsin j−z' k
z−z' 
2
r
23
El resultado de esta integral es para z>0:
Ez=2 k z2
a2
−zl2
a2
l
Miguel Bustamante Página 35
R1
Vista frontal
R1

36. Electricidad y magnetismo
En un esquema del campo eléctrico para z>0, se obtiene:
Miguel Bustamante Página 36
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 1 2 3 4 5
Bosquejo del campo Electrico Z>0

37. Electricidad y magnetismo
Ley de Gauss
Hasta el momento hemos estudiado la interacción entre las cargas y las propiedad
vectorial que adquiere. Es la propiedad de este campo que nos interesa ahora.
Supongamos que tenemos una carga puntual en el origen de un sistema. El campo
eléctrico de esta carga está dado por la expresión Er =k
q
r
2
r . el campo eléctrico de
esta se puede visualizar como vectores que salen radialmente desde la carga.
Pero ahora encerramos esta carga q con una superficie esférica de radio r (casquete
esférico), de modo que el centro del casquete coincida con la posición de la carga.
Miguel Bustamante Página 37

38. Electricidad y magnetismo
Las líneas de campo salen de la carga,forman un ángulo de 90º con la superficie, cualquier
linea que cruce por el centro de la esfera formará un ángulo 90º con respecto a la superficie
al salir del casquete.
Vamos a calcular el “Flujo de líneas de campo” que atraviesan la superficie imaginaria.
El flujo del campo eléctrico se define como:
Ecu 7: Flujo I
El vector da, es un vector que tiene la magnitud de un
elemento de área en la superficie y es perpendicular a esta.
En el caso del casquete, tenemos que las líneas de campo
son perpendiculares a la superficie, y por tanto el vector da es
paralelo a las líneas de campo. La integral Ecu 7: Flujo I da:
I=∫∣E∣∣da∣=∫k
q
r
2
da
Esto lo interesante de esta integral: “El valor de r no cambia ya que es un casquete
(radio r), como la carga esta centrada en el origen, r es una constante”. Recuerde que
la integral es de superficie, no a lo largo del vector r. Dicho esto la integral anterior toma la
Miguel Bustamante Página 38
I=∫ E⋅d a
Fig 7: Vector da
da

39. Electricidad y magnetismo
forma: I=k
q
r2 ∫da=k
q
r2
4r2
=kq 4=
q
0
. El flujo del campo es igual a q/0 para cualquier
valor de r.
Supongamos ahora que tenemos esa misma carga, pero rodeado de una superficie
cualquiera cerrada convexa.
Las líneas de campo salen a través de la superficie imaginaria. El problema es
calcular el flujo de este campo por esta nueva superficie cerrada. Lo que ya conocemos es
el flujo a través de un cascaron esférico. Encerremos esta superficie por medio de un
cascaron de radio r, como se observa en la figura.
Si nos abstraemos de la superficie del interior , el flujo por la superficie esférica es
q/0. Pero este flujo debe ser el mismo que debe tener la superficie interna, ya que las
mismas lineas de campo que atraviesan la superficie. Por tanto, el flujo por la superficie
Miguel Bustamante Página 39
S
S

40. Electricidad y magnetismo
interior S es también q/0.
Podemos decir que para una carga puntual el flujo por una superficie que encierre
esta carga es igual a q/0. En términos matemáticos, se escribe como:
Ecu 8: Ley de Gauss
La expresión escrita en Ecu 8: Ley de Gauss es la ley de Gauss para una carga
puntual.
El problema ahora, cuando se tiene una distribución continua de carga, ¿es valida la ley de
Gauss?
Supongamos que tenemos una distribución de carga, cuya densidad podemos
caracterizarla por (r'). Encerremos esta distribución por una superficie cualquiera S.
La suma continua de las cargas sobre la
distribución de carga  da la carga total de la
distribución, Q=∫dv . Podemos pensar que
la distribución está constituida por elementos
diferenciales de carga que llamaremos dq y que
es igual a dv.
Este punto es el importante, ya que cada
dq se puede pensar como una carga puntual. En
este caso el flujo del campo producido por la
carga dq es igual dq/0. Pero otro dq,
producirá el flujo dq/0 por ls superficie S.
Así, el flujo por la superficie S es la suma continua de todos los dq que constituyen la
distribución. En lenguaje matemático podemos escribir
∫E⋅d a=
∫ dv
0
Miguel Bustamante Página 40
∫E⋅d a=
q
0
S
(r)
dq=dv

41. Electricidad y magnetismo
Es es la expresión general de la ley de Gauss. Es necesario decir que la lay de
Gauss es válida siempre, pero en algunas configuraciones con una alta simetría podemos
conocer la expresión analítica de la magnitud del campo eléctrico ó de la distribución de
carga.
Discutamos algunos casos:
a) Dipolo eléctrico
supongamos que tenemos dos cargas de igual magnitud de carga pero de signos
opuestos. Encerremos estas cargas por una superficie S.
El flujo de la carga positiva a través de la superficie es q/0, el flujo de la carga negativa a
través de la superficie -q/0. La suma neta de estos flujos es cero (0). Esto no implica que
el campo sea cero como erróneamente se puede concluir; el flujo es cero, debido a que la
cantidad de líneas de campo que salen de las superficie es igual a los que entran y nada
más.
b) Casquete esférico
Supongamos que tenemos un casquete esférico de radio R y con una densidad
superficial de carga igual a .
El propósito es calcular una expresión del campo E
en todos los puntos de espacio.
Vamos a encerrar la esfera por otra esfera
imaginaria, cuyo radio se a mayor a la de la esfera. Esto,
debido a que las líneas de campo son perpendiculares a
la superficie S.
Miguel Bustamante Página 41
Q ­Q

42. Electricidad y magnetismo
Por la simetría la magnitud del campo E no varia según la posición angular, es decir
no depende del ángulo. Además, el vector da es paralelo al campo E en la superficie
Gaussiana. Sobre la base de la información anterior, el producto interno del campo E y el da
es |E|d|a|, debido a que forma un ángulo de cero grado (cos(0)=1, paralelos). La integral se
iguala ∫ E⋅d a=E 4r
2
Este resultado es por la elección del tipo de superficie y a la alta
simetría de este problema. Aplicando la ley de Gauss el resultado anterior es igual a la
carga encerrada por la superficie, que corresponde a la carga toda sobre el casquete, esto
es 4R2
divido por 0
De esta igualdad se despeja E y se obtiene que para un radio mayor que R (r>R), el
campo es igual a ∣E∣=
4 R
2

4r
2
0
(r>R).
Ahora, una superficie esférica de radio menor que R y centrada en la carga
Existe un punto de cuidado y corresponde al radio de la superficie circular
Aplicando nuevamente la ley de Gauss, obtenemos que el flujo en el interior del
casquete es cero, no hay carga encerrada para un valor de r menor que R (r<R). sin
embargo, no importa el valor de r (r<R) siempre es cero para todo r<R, por tanto el flujo es
cero y se concluye que el campo en el interior del casquete es cero,
El campo es: E=
4 R
2

4 r²0
r rR
0 rR
Miguel Bustamante Página 42

43. Electricidad y magnetismo
El gráfico Fig 8: Intensidad de campo en función de r adjunto representa en forma
esquemática el campo en función de de la distancia r.
Campo eléctrico dentro de un conductor.
Para comenzar este tema, primero debemos definir que es un conductor. Un conductor es un
material que tienen cargas libres en su interior y estas pueden desplazarse dentro del material. Estas
cargas se pueden mover dentro del material por efectos de un campo externo, pero no salen de este.
Miguel Bustamante Página 43
Fig 8: Intensidad de campo en función de r
|E|
r
Q, positiva
­
­
­
+
+
+

44. Electricidad y magnetismo
Quedémonos con estas idea por el momento, mayores detalles se verán en el capitulo de corriente.
Supongamos que tenemos una esfera conductora con una carga neta igual a cero (la suma de las
cargas positivas y negativas es cero). A este material conductor acercamos una carga positiva q.
El campo producido por la carga actúa sobre las cargas del conductor produciendo una fuerza sobre
ella de modo que las cargas negativas son atraídas y las positivas son repelidas . Sin embargo en una
superficie imaginaria S cualquiera el flujo es cero, ya que la cantidad de carga neta es cero y por tanto
en el interior del conductor el campo es cero, para cualquier tipo de cuperficie cerrada.
Este hecho ocurre en todos los conductores. Supongamos ahora que a una esfera conductora se
agregan una cierta cantidad de carga positivas Q. Como las cargas se pueden mover libremente en el
conductor estas se repelen (cargas del mismo signo) y colocan en posiciones los mas alejadas una de
otras, y por tanto en un casquete esférico, en la superficie.
Sobre la base de los anterior veamos el siguiente caso:
Se tiene un casquete conductor grueso de radio interior a y exterior b y en el centro del
casquete existe una carga q, positiva.
La presencia de esta carga induce un orden de cargas en el conductor como se observa en la
figura. Lo interesante de este fenómeno, es que cuando si se genera una superficie gaussiana de modo
que está entre los radios a y b, el flujo del campo es cero, ya que la suma de las cargas es cero, para
cualquier tipo de superficie entre a y b. Esto implica que la suma de las cargas negativas inducidas por
la carga positiva Q debe ser ­Q. En este caso, el conductor es neutro, por tanto la carga inducida en la
superficie corresponde a Q; es decir para radio mayores que b, esta configuración se comporta como un
casquete de radio b. Por lo tanto, la densidad superficial es Q/4b2
.
En una gráfico de magnitud del campo eléctrico en función de la distancia radial r, m se observa
que el interior del casquete es cero.
Como se observa el campo eléctrico es discontinuo en b y en a.
Miguel Bustamante Página 44
­
­
­
­
+
+
+
+
Superficie Gaussiana

45. Electricidad y magnetismo
Miguel Bustamante Página 45
Q
­
­
­
­
­
­
­
­
­
­
­
­
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
ab

46. Electricidad y magnetismo
Potencial Eléctrico
Ya hemos definido que el campo eléctrico y fuerza eléctrica. Vamos a comenzar a
hablar de un nuevo concepto, que se deriva de los anteriores: el potencial eléctrico.
Primero debemos discutir los términos de energía y trabajo eléctrico.
Energía potencial eléctrica
Distribución discreta.
Por los capítulos anteriores, conocemos la expresión de la fuerza eléctrica, y del
campo eléctrico. Definamos, el concepto de energía potencial eléctrica.
Supongamos que tenemos una carga q, y en presencia de esta carga se traslada una
carga Q desde infinito a un punto R.
La expresión del trabajo necesario para el traslado es:
Miguel Bustamante Página 46
R
Infinito
R1 R2
R2­R1
Q
q

47. Electricidad y magnetismo
Ecu 9: Potencial Eléctrico
La expresión anterior es la expresión del trabajo externo que debe realizase para efectuar
para lograr la configuración descrita. Este trabajo se transforma en energía potencial del
sistema, energía que queda en el sistema y dispuesta para realizar un trabajo posterior. Por
tanto, la expresión Ecu 9: Potencial Eléctrico es la energía potencial eléctrica del sistema
de cargas. Evaluando la expresión Potencial Eléctrico, La energía potencial eléctrica que
anotaremos como U(R2), tiene la expresión:
Ecu 10: Energía potencial
La expresión Ecu 10: Energía potencial , es sólo válida para la configuración ya
descrita.
Supongamos ahora, que en presencia de las cargas q y Q, se realiza el trabajo de
mover una carga Qi desde el infinito a un punto Pi.
Se puede pensar, que por el principio de superposición, la fuerza neta actuando sobre la
carga Qi es la suma de las fuerzas individuales de las carga q y Q actuando sobre Qi.
Sobre esta base, el trabajo realizado es igual a la suma de los trabajos realizados
individualmente, es decir:
Ecu 11: Trabajo dos partículas
Sin embargo, la energía potencial eléctrica contenida en el sistema es igual a la suma
de todas los trabajos necesarios para formar el sistema; esto es, a la expresión Ecu 11:
Trabajo dos partículas debemos sumar el trabajo necesario para formar la configuración
anterior, la expresión Ecu 10: Energía potencial . Así, la energía potencial eléctrica del
sistema de cargas es:
Miguel Bustamante Página 47
W Pi=k
qQi
∥Pi− R1∥
k
QQi
∥Pi−R2∥
U R2=k
qQ
∥R2−R1∥
W =−∫
∞
R2
Fr ⋅d r
Infinito
R
R1 R2
R2­R1
Q
q
Qi
Pi
Pi­R1 Pi­R2

48. Electricidad y magnetismo
U=k
qQi
∥Pi−R1∥
k
QQi
∥Pi−R2∥
k
qQ
∥R2−R1∥
De esta forma se puede obtener una expresión general de la energía contenida en
una distribución discretas de cargas. Supongamos que tenemos N cargas con valores Qi, en
las posiciones ri.
La energía potencial de este arreglo de cargas
está dado por la expresión:
Ecu 12: Energía electrostática de una configuración de cargas
La igualdad de la expresión Ecu 12: Energía electrostática de una configuración de cargas5,
señala que son equivalentes.
Distribución continua de carga.
El análisis anterior está basado en una distribución discreta de carga. Pero
enfrentemos el problema de una distribución continua.
Supongamos que tenemos una esfera de radio R.
La esfera tiene una carga total Q. Esta carga Q, es
resultado de la suma continua de todas las diferenciales de
carga en el interior de la esfera, esto es Q=∫dq . Por tanto,
basándose en la expresión 12.5, podemos obtener una
expresión integral de la energía eléctrica almacenada en una
esfera.
Ecu 13: Energía de una distribución continua
, donde q=
∫
0
r1
dq
Volveremos sobre este tema en lineas posteriores.
Potencial Eléctrico.
Supongamos que tenemos una distribución, de carga (continua o discreta), y que en
Miguel Bustamante Página 48
Q1
Q2
Q3 QN
r1
r2
rN
dq
U=
1
2
∑
j ,i=1,i ≠ j
N
k
qi
qj
∥r j−ri∥
=∑
i=1
N
∑
j=1
i j
k
qi
qj
∥r j−ri∥
U=∫k
q dq
∥r−r '∥

49. Electricidad y magnetismo
presencia de esta se traslada una carga q desde el infinito un punto P.
El trabajo realizado es W =−∫F⋅d r (x) que corresponde a la energía potencial U
en el punto P. Definimos el potencial eléctrico en el punto P, como
V(P)=U(P)/q. (*)
Sin embargo, podemos obtener otra expresión del potencial. Sabemos U es el trabajo
realizado por un agente externo. Veamos bien esto. La expresión (x) se puede escribir de la
forma: U=−∫
∞
P
F⋅d r =−∫
∞
P
q E⋅d r=qV  p . Así, el potencial se puede definir como:
Ecu 14: Potencial eléctrico
la expresión Ecu 14: Potencial eléctrico, es la expresión conocida, no única del
potencial eléctrico, que es equivalente a (*).
Pero, ¿que es potencial?
Nótese que por cada punto P, se asocia un valor de la integral 14, cada punto del
espacio tiene asociado un valor escalar, un número. El potencial eléctrico es un campo
escalar; a cada punto del espacio se asocia un número. El valor asociado a cada punto
del espacio corresponde al valor del trabajo que se hace para trasladar en presencia de una
distribución de carga un carga de valor 1 desde el infinito a un punto P, cualquiera.
Miguel Bustamante Página 49
Fig 9: Potencial de unacarga, en el plano z=0
Potencial de una carga
-10
-5
0
5
10 -10
-5
0
5
10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
V P=−∫
∞
P
E⋅dr

50. Electricidad y magnetismo
Veamos algunos visualizaciones en dos dimensiones de un potencial:
1. Carga puntual. El campo de una carga puntual es k
q r2−r1
∥r2−r1∥3 . Al aplicar la expresión
14, se obtiene que el potencial V  r2=k
q
∥r2−r1∥
Situemos esta carga positiva en el
origen de un sistema de referencia; en ese caso, r1= origen, y r2=(x,y) (Plano). En este
caso la carga es positiva. Nótese que en el infinito, el potencial de este carga es cero;
esto es por que se ha definido así. No siempre se puede definir el potencial cero en
infinito. Estos casos los veremos más adelante.
2. Supongamos ahora que tenemos una carga positiva y una carga negativa en distintos
puntos Nótese que un potencial es positivo (carga positiva) y el otro es negativo (carga
negativa). Esta configuración corresponde a un dipolo eléctrico.
3. De la expresión 14, podemos obtener que el campo eléctrico como la función inversa de
la integral. La expresión que relaciona el campo eléctrico y el potencial es:
Ecu 15: E=Gradiente del potencial
Para el potencial eléctrico, sobre la base de la relación 14, se
Miguel Bustamante Página 50
dq
r2
r1
O
Fig 10: Potencial de dos cargas (dipolo) em z=0
Potencial de una carga positiva y negativa
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-150
-100
-50
0
50
100
150
E r2=− ∇ V  r2

51. Electricidad y magnetismo
aplica el principio de superposición. El potencial eléctrico de una carga es conocida y
está dado por la expresión: V  r2=k
q
∥r2− r1∥
. Supongamos que tenemos un
distribución continua de carga. Cada elemento de dq de la distribución se comporta como
una carga puntual de valor de dq. Por el principio de superposición el potencial V(r2) es la
suma continua de los potenciales producidos por los dq en el punto r2. La expresión del
potencial de un punto r2, de una distribución continua es:
Ecu 16: Expresión del potencial, para un continuo
Supongamos que tenemos tenemos un disco de radio a, con una densidad continua y
valor constante s sobre la superficie. El potencial en el eje de simetría del disco es:
En este problema dq=r1dr1dq, y r1=r1cos()j+r1cos()j y r2=xi. De la expresión 16, tiene la
forma para este problema V x=k∫
0
R
∫
0
2
 r1
dr1
d 
r1
2
x2
=2 k R2
 x2
−∣x∣ .
En un gráfico del
Miguel Bustamante Página 51
Fig 11: Esquema de disco cargado
dq
X
Y
Z
P.9
V  r2=k∫
dq
∥r2− r1∥

52. Electricidad y magnetismo
potencial, y de expresión 15, se obtiene el campo eléctrico.
E x=−2 k 
x
R2
x2
−
x
∣x∣

Observe la discontinuidad del campo E, en x=0. Si R∞ , el disco se transforma en
un plano. En este caso, el potencial no queda definido en el infinito. El campo en este
Miguel Bustamante Página 52
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-10 -5 0 5 10
Campo electrico del disco en eje X

53. Electricidad y magnetismo
nuevo caso es: E=2 
x
∣x∣
i
Miguel Bustamante Página 53

54. Electricidad y magnetismo
Condensadores y dieléctricos
En este capítulo estudiaremos la capacidad de ciertos materiales y configuraciones de guardar
energía, Estos dispositivos los llamaremos condensadores, y los estudiaremos a continuación.
Condensadores
Supongamos que tenemos dos conductores que están conectados por medio de una “bomba de
electrones”.
La bomba de electrones tiene como
propósito el obtener cargas de un conductor y
llevarlas a otro conductor. Cada vez que una
carga es trasladada, la placa faltantes de cargas
(electrones) se carga positivamente y la que
recibe, negativamente. Es necesario para este
fin, que el interruptor esté en modo de
conducción.
En la medida que se cargue las placas,
un campo eléctrico comenzará a aparecer; entre
más se cargan mas intenso será el campo.
En un momento, el interruptor está en modo de no conducción y las cargas quedan aisladas no
Miguel Bustamante Página 54
Interruptor S
Cargas en
movimiento
Carga positiva Carga negativa
E

55. Electricidad y magnetismo
pudiendo volver a su estado inicial. En esta situación el sistema puede almacenar carga, como también
energía.
Cuando un dispositivo es capaz de mantener un campo por la distribución de cargas lo
llamamos condensador.
Esta capacidad de mantener un campo eléctrico o las cargas de distinto tipo de anota como C, y
su unidad es el farad (1f= 1C/volt). Se observa que la cantidad de carga almacenada por un dispositivo
es proporcional a la diferencia de potencia que está sometida, esto es Q=CV. En este caso la diferencia
de potencial se anota como V y no como V.
Realicemos un calculo de capacidad.
Supongamos que tenemos dos placas paralelas metálicas con un área A, separadas a una distancia d.
Una placa está cargada negativamente, con una densidad ­ y la otra placa, cargada positivamente con
una densidad superficial de .
Primero debemos calcular el campo eléctrico de una placa de densidad superficial .
Despreciando los efectos de borde, podemos asumir que se comporta como una placa infinita. Con
estas suposiciones podemos aplicar la ley de Gauss para obtener el campo eléctrico.
Sea la superficie S, de modo que las cara A y A' sean paralelas a la placa cargada, y la envoltura
forma una ángulo de 90 grados por la superficie.
Miguel Bustamante Página 55
D
Densidad ­
Densidad 

56. Electricidad y magnetismo
En la figura Fig 12: Representación de la superficie de Gauss las flechas negras representas las
fechas del campo eléctrico. El flujo por la cara A del campo eléctrico es ∫ E⋅d a=
 A
0
, según la
ley de Gauss. Del lado izquierdo de la igualdad se obtiene que EA=A/0., El otro lado, la cara A', se
tiene que ∫E⋅d a=
 A'
0
y nuevamente EA'=A'/0. El flujo por el manto lateral es cero, debido a
las lineas de campo están en paralelo a la cara, o el vector da está formando un ángulo de 90º. Por tanto
sumando los flujos nos el siguiente resultado:
EA+0+EA'=A/0+A'/0.
del cual se obtiene que E=20.(intensidad del
campo E). en un dibujo se vería
Las lineas de campo salen de la placa.
Nótese que existe una dirección positiva y otra
negativa, pero el módulo es el mismo.
Supongamos una placa cargada
negativamente Usando la ley de Gauss,
podemos calcular el campo E. Observe el
sentido de las líneas de campo; estas entran a
la placa.
Ahora coloquemos la placa positiva a
la izquierda de la negativa.
Miguel Bustamante Página 56
E=/20
iE=­/20
i
E=­/20
iE=/20
i
Fig 12: Representación de la superficie de Gauss
Plano
infinito
A
A'

57. Electricidad y magnetismo
Por principio de superposición, los campos se suman vectorialmente, obteniéndose que la región
distinta de cero es cuando está en medio de las placas cuyo valor es E=/0.
Conocemos la expresión del campo eléctrico entre las placas. Calculemos la diferencia de
potencia:  V =−∫
a
b
E⋅dr =Ed , donde d es la separación de las placas. La capacidad es C=Q/V. La
carga Q es Q=A, donde A es el área del condensador. Además E= /0, y remplazando en la expresión
de capacidad
C=A/(d /0)=A0/d
Según esta expresión, la capacidad de un condensador de placa paralelas depende del área y la
distancia entre ellas.
Desayuno
Sobre la base de los conocimientos anteriores, calcule la capacidad de un condensador
casquetes esféricos concéntricos. El casquete interior tiene una radio a y el externo un radio b.
Con el resultado anterior, tome el límite cuando b (radio externo) tiende a infinito. ¿Que
demonios significa este resultado?
Miguel Bustamante Página 57
E=/20
iE=­/20
i
E=/20
i
E=/20
i
E=­/20
i
E=/20
i
E=0
E=/0
E=0
ab
C.1

58. Electricidad y magnetismo
Dieléctrico
Hemos estudiado la capacidad de los condensadores cuyo medio es el vacío. Sin embargo, con
ciertos materiales la capacidad de estos condensadores pueden aumentar hasta 80 veces, con las
mismas dimensiones.
Recordemos como se comportaba un conductor en presencia de un campo; se inducían cargas
en su superficie de modo que el campo en el interior es cero (ley de Gauss:conductores). Un
dieléctrico también reacciona frente a un campo externo, pero a diferencia de un conductor el campo no
es cero en su interior, es menor que externo.
El campo interno Eint=E­Eind. Se
asume que el campo interno Eint es
proporcional al campo externo, opero de
intensidad menor.
Si el proporcional, se puede tener la
siguiente relación E=KE' (E'=Eint) con K
mayor que 1 (K>1).
Supongamos nuevamente que
tenemos el condensador de placas paralela
pero con un material de constante K
conocida.
Calculemos la diferencia de
potencial del campo E'.
 V '=−∫E'⋅d r =−∫
E
K
⋅d r=
 V
K
Ahora la capacidad es C'=Q/V'=KQ/ V=KC.
Las cargas Q son las misma que del condensador en el vacío. Ya que estas cargas son las que
crean el campo externo al dieléctrico. La disminución del campo es debido al efecto de las cargas
inducidas dentro del Dielectrico. Que quede claro que este escrito es una visión de que como se
comportan un Dieléctrico; No es la única por suerte, existen visiones mas complejas y completas, sin
embargo el resultado es similar para materiales que responden proporcional al campo externo, y es
adecuado para el nivel de este escrito.
Nótese que la capacidad C' es K veces la capacidad C al vacío. La constante K se denomina
coeficiente Dieléctrico y es adimensional. Esta constante K=0, donde  es la constante dieléctrica
del material, 
En la siguiente tabla se presentan alguno valores de K para distintos materiales y además de la
Miguel Bustamante Página 58
Dirección del campo eléctrico externo E
­
­
­
­
­
­
+
+
+
+
+
Campo
inducio
Eind
Campo Neto
E­Eind

59. Electricidad y magnetismo
resistencia dieléctrica que es la diferencia de potencial necesaria por unidad de longitud para que el
dieléctrico sea un conductor.
TABLA DE CONSTANTE DIELECTRICA Y RESISTENCIA DIELECTRICA PARA
DISTITNOS MATERIALES.
MATERIALES K RESISTENCIA DIELECTRICA
(V/m)
AGUA (20ºC) 80 0
BAQUELITA 4.90 24.00
MICA 5.40 10­100
PAPEL 3.70 16.00
PARAFINA 2.1­2.5 10
VIDRIO (PYREX) 5.7 14.00
Energía almacenada en un condensador
Como sabemos, un condensador puede mantener un campo eléctrico. Para lograr esto es
necesario mover cargas de un punto a otro. El problema es que cada vez que que cargo la placa con
electrones, poner el siguiente electrón cuesta más y más. La carga cargada repele a las cargas
adicionales, por tanto es necesario realizar un trabajo cada vez mayor para llevar el condensador a un
estado con una carga Q un carga dq. Supongamos que el condensador tiene almacenado una cantidad Q
y queremos incrementarlo en un dq; el incremento de energía es dU=Vdq (Recordar energía potencial).
Pero la relación entre la capacidad y el voltaje aplicado es V=Q/C. Si remplazamos obtenemos que la
energía potencial almacenada en un condensador con una carga total Q es:
Ecu 17: Energía alamcenda en el condensaor
La ecuación 17 es la expresión de la energía almacenada en un condensador en función de la
carga o de la diferencia de potencial V.
Miguel Bustamante Página 59
U=∫
0
Q
q
C
dq=
1
2
Q²
C
=
1
2
CV²

60. Electricidad y magnetismo
Desayuno
Supongamos que tenemos un condensador esférico de radio interior igual 1 cm y exterior igual
a 1.3 cm.
Calcule la capacidad de este condensador y la carga almacenada cuando se conecta a una batería
de 50 Volt.
Si estamos cargado, s llena de un dieléctrico, cuya constante K=81, ¿Cual será la diferencia de
potencia de este nuevo condensador?,
¿Cuanta carga almacena ?
Conexiones de condensadores en serie y en paralelo.
Conexión de condensadores en serie
Supongamos dos condensadores C1 y C2 en serie (ver figura)
Cuando sale una carga de una condensador se induce una carga opuesta en la cara contraria,
que a su vez induce una carga de signo contrario a la inducida en el cara del otro condensador. Cada
vez que saco una carga de una lado se induce cargas, de modo que la suma de estas es cero. Por tanto la
cantidad de carga en un condensador en la misma que el otro condensador. Como estos condenadores
están en serie, los trabajos para lograr las configuraciones se suman. El trabajo total U=V1Q+V2Q.
Pero por la relación C=Q/V, se tiene V1=Q/C1 y V2=Q/C2. Si suponemos que estos condensadores se
comportan como un condensador equivalente entonces el trabajo U=VQ. Esto implica que
Miguel Bustamante Página 60
C1 C2
Fuente de voltaje V

61. Electricidad y magnetismo
VQ=V1Q+V2Q, es decir V=V1+V2, pero V=Q/C, V1=Q/C1 y V2=Q/C2, dando como resultado:
Ecu 18: Equivalencencia en Serie
Configuración en paralelo
La configuración en paralelo es:
en esta configuración, los condensadores entregan cargas diferentes. Pero, estos condensadores
están sometido a un mismo potencial (energía por unidad de carga). La carga total Q es la suma de la
carga de cada condensador; Q=Q1+Q2. Utilizando la relación Q=VC, tenemos que
Q=VC1+VC2=V(C1+C2).
Suponiendo que esta configuración se comporta como un condensador C, a un potencial V,
podemos decir que Q=VC=V(C1+C2), lo que implica
Ecu 19: Equivalencia en Paralelo
Esta es la relación de los condensadores que están en paralelo.
Miguel Bustamante Página 61
C=C1C2.
1
C equi
=
1
C1

1
C2
Fuente de voltaje V
C1
C2

62. Electricidad y magnetismo
Miguel Bustamante Página 62

63. Electricidad y magnetismo
Corriente Eléctrica
En los capítulos previos henos estudiado como interactúan las cargas y como modifican las
propiedades del espacio, estando siempre en un régimen estático.
Abordaremos en este nuevo capítulo cuando las cargas están en movimiento. Para poder
desarrollar el tema debemos comenzar con ciertas definiciones pertinentes.
Densidad de Corriente
Supongamos que existe una partícula de carga Q y de masa M en presencia de un campo
eléctrico E.
Si la carga es positiva, sobre esta y por efecto del campo actuará una fuerza F dado por la
expresión F=QE. Según la segunda ley de Newton, la acción de esta fuerza producirá una aceleración
que esta dado por la fórmula a=F/M=QE/M. Se puede concluir entonces que las cargas adquirirán una
Miguel Bustamante Página 63
Dirección del campo E

64. Electricidad y magnetismo
aceleración y por tanto una velocidad.
Supongamos ahora que tenemoscarga Qi y con masa Mi en presencia de un campo E. Se define
densidad de corriente como:
Ecu 20: Densidad de corriente
donde ni es el número de cargas que tienen carga Qi, con masa Mi y velocidad vi.
La unidad de la densidad de corriente es Ampere por segundo (A/seg).
Veamos una aplicación. Supongamos una dos carga Q positivas moviéndose en dirección del eje y
dirección positiva y velocidad 2v,– Q carga negativas en dirección del eje X sentido negativo y una
carga positiva Q en dirección X, sentido positivo y velocidad v/2.
Aplicando la ecuación 20 la densidad de corriente es:
J=QMv2j+­QM(­v)2i+ QMvi = QMv2j+ 3QMvi=QMv(3i+2j).
Nótese que la corriente es la suma ponderada, y no necesariamente esta en la dirección del
movimiento de las carga.
Veamos otro caso. Supongamos que tenemos una carga negativa ­Q, moviéndose en dirección
negativa del eje X, con masa M y velocidad V, y una carga positiva Q, en dirección negativa del eje X,
con masa M/2 y velocidad 2V.
La densidad de corriente J en este caso es J=­QM(­V)i+QM/2 (­2V)i=0i. Según este resultado,
no hay densidad de corriente eléctrica. Si unas de las cargas experimentara una variación de la
Miguel Bustamante Página 64
J=∑Qi Mi vi ni
Cargas positivas
Cargas negativas Carga positiva
X
Y
Dirección de J

65. Electricidad y magnetismo
velocidad, la densidad de corriente eléctrica seria distinto de cero.
Corriente eléctrica
Supongamos que tenemos una densidad J de corriente eléctrica en una dirección determinada.
Definimos que el flujo de la densidad corriente eléctrica por cierta área es la corriente eléctrica
anotada por I.
En términos matemáticos, la corriente
eléctrica se puede escribir como:
Ecu 21: Corriente Eléctrica
donde d a es un vector perpendicular a un
elemento de área. Nótese que I es un escalar y J es
un vector, o mas bien un campo vectorial.
La unidad de la corriente I es Ampere (A), y el
ampere se define como 1C/seg.
En el análisis preliminar, la corriente eléctrica proviene del hecho que las partículas
experimentaban un cambio en la velocidad. Físicamente es imposible que una partícula adquiera una
velocidad cada vez mayor, por limitaciones de espacios o por un medio que impida un movimiento
libre. Se ha observado que las partículas dentro un medio adquieren una velocidad final y se mantendrá
en esta velocidad mientras exista una campo eléctrico. Modelaremos este fenómeno para entender.
Supongamos una partícula con carga Q
(positiva), masa M que está en presencia de un
campo eléctrico E.
Cuando un cuerpo se mueve en un
medio viscoso, aparece una fuerza que se opone
al movimiento y se puede pensar (por ahora)
que es proporcional a la velocidad con que la
partícula se mueve en el medio. Si usamos esta
Miguel Bustamante Página 65
I=∫J⋅d a
Campo E
Dirección de la
Fuerza F=QE
Fuerza viscosa
F=­kv
Fig 13: Ejemplo de Densidad de corriente igual a cero
­Q,M,V
Q,M/2,2V
Fig 14: Esquema de corriente eléctrica
Densidad de
corriente J
Area

66. Electricidad y magnetismo
hipótesis, la fuerza se puede modelar como F=­kv, donde k es una constante proporcional que depende
del medio.
Escribamos la ecuación vectorial Según la segunda ley de Newton esta suma neta de fuerzas
debe seria igual a la masa por la aceleración.
Ecu 22:
Como estamos analizando el problema en una dimensión podemos obviar los vectores de la velocidad,
el campo y la aceleración. La ecuación 22 es una ecuación diferencial cuya incógnita es la velocidad.
La solución de la ecuación es:
vt =
QE
k
1−e
−k
M
t

En un gráfico esquemático de velocidad para distinto k, se observa que siempre llegar a una
velocidad terminal dado por la expresión v0=QE/k
Mientras más pequeño k mayor es la velocidad que alcanza la partícula. Obviamente si k tiende
a cero la velocidad tiende a infinito, ya que no hay resistencia al movimiento.
Miguel Bustamante Página 66
−k vQ E=M a C.3

67. Electricidad y magnetismo
Ejercicio personal
Sobre la base de los discutido anteriormente, asuma que la fuerza viscosa es de la forma ­kv2
.
Calcule la velocidad terminal.
Ley de Ohm
Sabemos por medio de un modelo, que las cargas llegarán a un velocidad límite. Por tanto un
conjunto de cargas en medio tendrá una velocidad media y podemos pensar que todas se mueven a la
misma velocidad. Veamos la situación siguiente:
Podemos pensar que hay n particular por unidad de área entrando al material; por tanto la densidad de
corriente se puede escribir como J=nQvp. Esta ecuación es muy interesante, ya que la velocidad
terminal depende del campo E; de modo que J=nQ2
E/k. Este expresión se puede encontrar en la
literatura como:
Ecu 23: Ley de ohm
donde  es nQ2
/k y se conoce como conductividad. La expresión 23 se conoce como la ley de Ohm.
Este ley es una ley empírica y no se da en todos los materiales, pero si en su mayoría. Lo interesante de
esta ley es que relaciona la densidad de corriente eléctrica con el campo eléctrico E. Sin embargo, la
expresión 23 no es la más popular. Remitámonos a la figura 15 cuando las dimensiones son muy
Miguel Bustamante Página 67
J= E
Fig 15: Esquema de ley de ohm
Material, de radio R y largo L
Area A

68. Electricidad y magnetismo
“pequeñas” podemos hacer ciertas aproximaciones sin perdida de precisión. Para que un campo exista
debe haber una batería que genere una diferencia de potencial V. El potencial se pude escribir en
función campo E y el largo L como V=EL (Una aproximación muy burda de la integral). Por otro lado,
la densidad de corriente J se puede escribir I/A (nuevamente una aproximación burda, pero que
funciona). Remplacemos estos términos en la ecuación 23.
Ecu 24:
Si bautizamos a 1/ como  y denominamos la resistividad, la expresión 24 toma la forma
Ecu 25:
, donde R=L/A. R se conoce como la resistencia eléctrica del material. La expresión 25
es la fórmula popular de la ley de Ohm, pero no la más correcta. La unidad de la resistencia eléctrica
R es Ohm que es igual a [V/A].
La resistividad  caracteriza a los materiales eléctricamente. Sin embargo esta característica de­
pende de la temperatura y en general se puede describir con le ecuación
T =20 1t−20
donde 20 es la resistividad a los 20 grados Celcius.
En la siguiente tabla se presenta algunos valores de resistividad y el coeficiente .
Tabla de Resistividad y coeficiente térmico para distintos materiales
Material Resitividad (ohm m) Coeficiente de temperatura

Plata 1.6x10­8
3.8x10­3
Cobre 1.7x10­7
3.9x10­9
Carbón 3500x10­8
­0.5x10­3
Nicrom 100x10­8
0.4x10­3
Silicio 640 ­4.8x10­2
Madera 108
­1014
Tungsteno 5.5x10­8
4.5x10­3
Azufre 1x1015
En un gráfico 2 de la resistividad de los metales se observa la tendencia en función de la
temperatura
Miguel Bustamante Página 68
V=RI
I
A
=
V
L
⇒V=
L
A
1
 I

69. Electricidad y magnetismo
En otro gráfico 1 de mostramos la resistividad del silicio, Observe que la resistividad baja con
la temperatura.
Existen materiales que presentan un estado de resistividad igual 0.0 (mediciones). Estos materiales
cuando están en este estado se denominan superconductores. En estos materiales no se observa una
resistencia. Generalmente este estado se observa a bajas temperaturas (~50 °K).
Miguel Bustamante Página 69
Grafico 1: Resistividad en función de la temperatura

70. Electricidad y magnetismo
Potencia
La potencia es la cantidad de energía disipada por unidad de tiempo. Apliquemos la definición
directa: P=dU/dt. Pero Sabemos que la energía potencial se puede expresar como U=QV. Por tanto la
potencial que expresada como:
P=
VdQ
dt
=I V
Recuerde que la corriente es carga por unidad de tiempo. Esta expresión es válida sólo para corriente
continua y corresponde as la energía disipada por el material por unidad de tiempo . La unidad de
potencia es Watts, que es [J/seg].
Miguel Bustamante Página 70
Grafico 2: Resistividad en función de la temperatura

71. Electricidad y magnetismo
Leyes de Kirchhoff
En este capítulo estudiaremos las leyes que rigen a los circuitos eléctricos. Con los conocimientos
previos, estamos en condiciones de entender las razones del enunciado de estas leyes.
Para enunciar y poder entender correctamente las leyes de Kirchhoff debemos definir
previamente dos conceptos: Malla y nodo.
Definición Malla
Supongamos que tenemos el siguiente circuito:
El circuito está constituido por 3 resistencia (R1,R2,R3), una fuente de poder y alambres
conductores. Definamos Malla: Es una trayectoria que realiza la corriente en el circuito de modo que
Miguel Bustamante Página 71
A
B
Fuente de Voltaje V
Resistencia R1
Resistencia R2
Resistencia R3
C
DE
F

72. Electricidad y magnetismo
que llega al mismo punto de partida. Un ejemplo, es el segmento FC, CD, DE, EF. Al final del
recorrido, estamos donde empezamos. Otra malla en el circuito es:
AB, BD, DC,CA.
Un nodo es un punto del circuito en donde se divide la corriente o se juntan corriente. En el
circuito, un nodo es el punto A, y también el punto B.
Enunciado de las leyes de Kirchhoff.
La primera ley de Kirchhoff se conoce que la ley de las mallas.
• La suma algebraica de las fuentes de poder en una malla es igual a la suma algebraica de las
caídas de tensión que hay en la malla.
Esta ley implica una definición de un sentido positivo y negativo. Esta elección del signo es
una arbitrariedad. Lo importante es respetar la convención según la elección. En general, ustedes
pueden ver que la fuente se representa con una línea mas ancha que la otra. Esta situación obedece a
que la línea ancha es la parte positiva de la fuente, y obviamente el segmento corto representa el signo
negativo; la dirección positiva en una malla es cuando la dirección de la fuente va desde el lado
positivo hacia el negativo a favor de las manecillas del reloj análogo .
A cada resistencia se asocia una corriente Ii, y con sentido arbitrario. Sin embargo, el signo de
estas corriente debe estar acorde con la elección de sentido positivo. Un ejemplo: Supongamos que se
eligió como positivo ( de acuerdo a la convección de la fuente) la dirección EF. La resistencia R1 tiene
una corriente asignada I1 pero en dirección AF. Esta corriente esta en el sentido negativo que la
elección de la fuente, y por tanto al momento de escribirlo en la ecuación esta debe llevar un signo
menos.
Cuando las mallas no tenga una fuente ustedes deben darse un sentido positivo en la malla y
escribir las ecuaciones con respecto a esa elección, con las fuentes igual a un valor cero.
Esta ley es consecuencia de la conservación de la energía. La energía entregadas por las fuentes
es disipadas en los dispositivos electrónicos: conservación de la energía.
Veamos las malla EF, FC,CD,DE.
Existe una fuente en la malla y las corriente de la cada resistencia nos damos según las
siguientes direcciones:
R1 I1 FA (positivo)
R2 I2 AB
R3 I3 CD
Según ley, la ecuación de esta malla es: V (fuente de poder)= I1R1I3R3 (Caída de tensión)
Miguel Bustamante Página 72
K.1

73. Electricidad y magnetismo
Escribamos la ecuación de la malla: EF,FA,AB,BE.
La suma de la tensión V es igual a I1R1+I2R2. (V=I1R1+I2R2).
Y finalmente la malla BA, AC, CD, DB: 0=­I2R2+I3R3.
Nótese que la caída de tensión en BA es negativa, con respecto a la dirección de la malla
Si sumamos la ecuación K.2 con K.3 obtenemos la ecuación K.1 Esto implica que las ecuaciones K.1,
K.2, K.3 son linealmente dependiente.
En general si tenemos N mallas, N­1 son linealmente independientes.
La segunda ley está relacionado con la conservación del caudal; un ejemplo es un canal que se
divide en dos canales posteriores.
• La suma algebraica de las corrientes en un nodo es cero.
No existe ninguna fuente de agua
en el canal, como tampoco un
vertedero cerca de esta división
(nodo). Por tanto, la cantidad de
caudal debe conservarse, es decir
I0=I1+I2. El enunciado señala
un sentido positivo y sentido
negativo. Esta afirmación es debido a un acuerdo, que es que las corrientes que van hacia el nodo son
positivas y las que salen del nodo son negativas. La expresión matemática de esta ley es I0­I1­I2=0. Esta
última expresión es equivalente a la ecuación K.4.
En los nodos A y B, las ecuaciones son
nodo A: I0­I1­I2=0
nodo B: I1+I2­I0=0
Sobre la base de las ecuaciones que se obtienen de la aplicación de las leyes se obtienen los
Miguel Bustamante Página 73
K.2
K.3
Caudal I0 Caudal I1
Caudal I2
K.4
I0
I1
I2
I2
I1I0

74. Electricidad y magnetismo
valores de las corrientes y con estas, las caídas de potencial.
Veamos algunos circuitos de interés:
I.­Circuito, en configuración resistencias en paralelo.
1. Distingamos las mallas del circuito: La primera
malla es: GA, AC, CD, DG; la segunda: AB, BE,
EG, GA; la tercera: BC, CD, DE, EB. La ecuación
de la primera malla es: V­I2R2=0. La ecuación de la
segunda malla es: V­I1R1=0. La ecuación de la
tercera malla es: I2R2­I1R2=0. De las ecuaciones
planteadas obtenemos que la caída de tensión en
cada resistencia es la misma (tercera ecuación); en
combinación con le segunda y tercera ecuación
obtenemos que la caída de tensión es V.
2. Existen dos nodos: B y E. en el Nodo B, podemos
decir I0=I1+I2, donde I0 s la corriente que entrega la fuente. Del nodo E, la ecuación es I1+I2­I0=0.
Tenemos todas ecuaciones planteadas y resolvamos el problema, calculando las corrientes.
De la primera ecuación de las mallas se obtiene que I1=V/R1; de la segunda I2=V/R2. La
ecuación de los nodos platea que I0=I1+I2, y remplazando en función de las resistencia y el voltaje, se
obtiene que I0=V/R1+V/R2. Desde el punto de vista de la fuentes, la resistencia que tiene el circuito se
comporta como una resistencia equivalente, es decir I0=V/Requi. Así, se obtiene que
V/Requi=V/R1+V/R2. Según este resultado, la resistencia equivalente de las dos resistencia en
configuración en paralelo es:
Ecu 26: Resistencia en Paralelo
Este resultado nos dice, que cuando tengamos un caso de resistencias en configuración paralelo,
la resistencia equivalente está descrita por la fórmula 26.
II.­Resistencia en configuración en serie
Sea el siguiente circuito:
1. Apliquemos la ley de las malla: En este
circuito, existe una sola malla y la
ecuación es V=IR1+IR2. Nótese que que
la corriente es la misma ya que el caudal
debe ser el mismo, no se crea o destruye
carga en el proceso.
2. La segunda no es aplicable en este problema: No existe nodo.
Miguel Bustamante Página 74
1
Requi
=
1
R1

1
R2
Fuente de
voltaje
V R1 R2
A B C
D
EG
Fuente de
voltaje V
R1 R2
K.5

75. Electricidad y magnetismo
La única ecuación del circuitos V=IR1+IR2. Desde el punto de vista de la fuente, esta entrega una
corriente I, no percatándose de cuantas o que tipo de resistencia hay en la red; para la fuente se
comporta a una corriente dada como una sola resistencia equivalente Requi.
Si suponemos esto el voltaje V es igual IRequi; e implica que
IRequi=IR1+IR2. =>
Ecu 27: Resistencia en Serie
.
Análogamente al resultado anterior, la resistencia equivalente de dos resistencia en serie está
descrita por la ecuación 27.
Estos resultados obtenidos son conocidos en el medio y se aplican a la mayoría de los circuitos.
La mayorías de las configuraciones de resistencia se pueden reducir a una resistencia equivalente.
Desayuno (para la merienda)
Supongamos que tenemos la siguiente configuración de resistencias
La configuración de las resistencia no esta en paralelo, como tampoco en serie. Para obtener
la resistencia equivalente debe aplicar las
leyes de Kirchhoff y calcular corriente que
entrega la fuente, y suponer una resistencia
equivalente R
Miguel Bustamante Página 75
Requi=R1R2
V
R1 R2
R3R4
R5

76. Electricidad y magnetismo
Fuerza de Lorentz
Hasta los capítulos previos, hemos estudiado las interacciones del tipo electrostáticos. Sin
embargo existe manifestaciones de fuerzas cuyo origen no es electrostático. Que son provenientes de
un campo magnético, que notaremos como B.
Pero, ¿que es un campo el campo magnético?
En experimentos de fines del siglo 19, principio del 20, se observaba que las partículas cargadas
con una velocidad v, experimentaban una fuerza por la presencia de un campo B, de modo que la
fuerza que experimentaban se puede representar analíticamente como:
Ecu 28: Fuerza de Lorentz
donde v es la velocidad de la partícula cargada, q es la carga de la partícula y B es el campo magnético
que define a partir de la fuerza de Lorentz, Fl; Se puede decir que las fuerzas que experimentan las
cargas en movimiento en presencia de un campo B están descrita por la fórmula 28.
Supongamos el Caso de 3 partículas que entrar en un espacio con presencia de un campo
Miguel Bustamante Página 76
Fl=q v×B