El documento explica diferentes técnicas de aproximación numérica como el redondeo, truncamiento, cálculo de errores absolutos, relativos y relativos porcentuales. También describe métodos de diferenciación numérica como las reglas de 3 y 5 puntos, y métodos de integración numérica como el punto medio, trapecio y Simpson.

1. Distribución normal
Fernando Torres
Métodos Numéricos

2. Métodos Numéricos
Aproximar
un
número
Redondeo
Para redondear un número a una
unidad determinada, debemos
fijarnos en la cifra inmediatamente
posterior (la que le sigue) y:
Si es mayor o igual que 5, se
aumenta en uno la cifra
anterior.
Si es menor que 5, se deja la
cifra igual.
Truncamiento
Para truncar un número se
eliminan las cifras que están a
la derecha de la unidad a la
que debemos truncar.
TÉCNICAS DE APROXIMACIÓN

3. Aproximar los siguientes números:
Número # cifras Redondear Truncar
2.4564 2 2.46 2.45
-1.5451 3 -1.545 -1.545
45.1297 3
3.5981 0 4 3
TÉCNICAS DE APROXIMACIÓN
Métodos Numéricos

4. ABSOLUTO
𝜺𝒂 = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍 − 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒐
RELATIVO
𝜺𝒓 =
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍 − 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒐
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍
RELATIVO PORCENTUAL
𝜺𝒓 =
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍 − 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒐
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍
∙ 𝟏𝟎𝟎%
Errores
Métodos Numéricos

5. Ejemplo:
La población mundial ha crecido de forma exponencial desde 1650. La función
exponencial que aproxima la población mundial, en miles de millones, con
proyección a 2020 es:
𝑃 𝑡 =
1
2
∙ 𝑑0.0072𝑡
Con 𝑑 como la tasa de crecimiento de la población y 𝑡 representa el tiempo medido
en años.
Calcule el ERROR RELATIVO PORCENTUAL de la población para el año de 1950, si se
conoce que la tasa de crecimiento es 2.71825; REDONDEANDO la tasa a 2 decimales.
TÉCNICAS DE APROXIMACIÓN
Métodos Numéricos

6. Es una técnica del análisis numérico empleado para calcular una aproximación a
la derivada de una función en un punto utilizando valores y propiedades de la
función.
Definición usual de derivada
𝑓′
𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
Progresiva Centrada Regresiva
𝑓′
𝑥 =
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓′
𝑥 =
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥 − ℎ)
2ℎ
𝑓′
𝑥 =
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥 − ℎ)
ℎ
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
Métodos Numéricos

7. REGLA DE 3 PUNTOS
Progresivas
𝑓′
𝑥 =
−3𝑓 𝑥 +4𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥+2ℎ)
2ℎ
Centrada
𝑓′
𝑥 =
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥−ℎ)
2ℎ
Regresiva
𝑓′
𝑥 =
3𝑓 𝑥 −4𝑓 𝑥−ℎ +𝑓(𝑥−2ℎ)
2ℎ
REGLA DE 5 PUNTOS
Progresivas
𝑓′ 𝑥 =
−25𝑓 𝑥 +48𝑓 𝑥+ℎ −36𝑓 𝑥+2ℎ +16𝑓 𝑥+3ℎ −3𝑓(𝑥+4ℎ)
12ℎ
Centrada
𝑓′
𝑥 =
𝑓 𝑥−2ℎ −8𝑓 𝑥−ℎ +8𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥+2ℎ)
12ℎ
Regresiva
𝑓′
𝑥 =
25𝑓 𝑥 −48𝑓 𝑥−ℎ +36𝑓 𝑥−2ℎ −16𝑓 𝑥−3ℎ +3𝑓(𝑥−4ℎ)
12ℎ
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
Métodos Numéricos

8. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
Métodos Numéricos
Ejemplo:
Se han tomado algunas mediciones respecto al radio de un globo que se desinfla:
Utilice la regla de 3 puntos para estimar la tasa de variación del volumen del globo
pasados 1.5 𝑠𝑒𝑔.
𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐𝒔𝒆𝒈 0 0.5 1.0 1.5
𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐𝒄𝒎 30 22.3 18.6 15.1

9. Métodos Numéricos
Ejemplo: Datos suministrados por la entidades gubernamentales de los Estados Unidos, se deduce
que la deuda nacional, entre los años de 1980 y 2000, se resume en la siguiente tabla:
Estime la razón de cambio del aumento de la deuda para:
a) El año 2000, con la regla de 3 puntos correspondiente
b) El año de 1980, con la regla de 5 puntos correspondiente
c) El año de 1990.
Año Deuda
(miles de millones)
1980 930,2
1985 1945,9
1990 3233,3
1995 4974,0
2000 5674,2
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

10. Métodos Numéricos
Progresiva
DIFERENCIACIÓN DE ORDEN SUPERIOR

11. Métodos Numéricos
Regresiva

12. Métodos Numéricos
Centrada

13. Métodos Numéricos
Ejemplo o La ecuación
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2 + 𝑤2
𝑦 = 0 representa un movimiento armónico simple
en un sistema masa-resorte, donde 𝑤2 =
𝛽
𝑚
. 𝛽 representa la constante
de elasticidad y 𝑚 es la masa considerada en el sistema.
Considere el esquema:
𝒇′′ 𝒙 =
𝒇 𝒙 − 𝟐𝒇 𝒙 − 𝒉 + 𝒇(𝒙 − 𝟐𝒉)
𝒉𝟐
para determinar el valor de 𝛽, en un sistema con una masa de 1.5 Kg,
sabiendo que la solución de la ecuación que modela el movimiento
es y 𝑡 = 10 cos(4𝑡) para 𝑡 = 1.7 𝑠𝑒𝑔. Utilice ℎ = 0.2

14. Métodos Numéricos
𝑥1
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ℎ ∙ 𝑓 𝑥1 + ℎ ∙ 𝑓 𝑥2 + ⋯ + ℎ ∙ 𝑓 𝑥𝑛
ℎ = ∆𝑥𝑖
𝑥2 𝑥𝑛
Punto medio
INTEGRACIÓN
ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛
𝑥𝑖 =
𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖
2

15. Métodos Numéricos
𝑥1
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ℎ ∙ 𝑓 𝑥1 + ℎ ∙ 𝑓 𝑥2 + ⋯ + ℎ ∙ 𝑓 𝑥𝑛
ℎ = ∆𝑥𝑖
𝑥2 𝑥𝑛
ℎ =
𝑏 − 𝑎
𝑛
𝑥𝑖 =
𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖
2
= ℎ 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛
ℎ = ∆𝑥𝑖
Punto medio
INTEGRACIÓN

16. Métodos Numéricos
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ℎ ∙
𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥1
2
+ ℎ ∙
𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2
2
+ ⋯ + ℎ ∙
𝑓 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛
2
𝑥0
ℎ = ∆𝑥
𝑥1 𝑥𝑛
𝑥0
1 trapecio 2 trapecio
Trapecio
INTEGRACIÓN

17. Métodos Numéricos
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ℎ ∙
𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥1
2
+ ℎ ∙
𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2
2
+ ⋯ + ℎ ∙
𝑓 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛
2
𝑥0
ℎ = ∆𝑥
𝑥1 𝑥𝑛
𝑥0
=
ℎ
2
[𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + 𝑓 𝑥2 + 𝑓 𝑥3 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 ]
Trapecio
INTEGRACIÓN
=
ℎ
2
[𝑓 𝑥0 + 2𝑓 𝑥1 + 2𝑓 𝑥2 + 2𝑓 𝑥3 + ⋯ + 2𝑓 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 ]

18. Métodos Numéricos
Regla
𝟏
𝟑
de Simpson
Polinomios Cuadráticos
Regla
𝟑
𝟖
de Simpson
Polinomios Cúbicos
INTEGRACIÓN
Regla de Simpson

19. Métodos Numéricos
Regla de Simpson
INTEGRACIÓN
Regla
𝟏
𝟑
de Simpson
Polinomios Cuadráticos
Regla
𝟑
𝟖
de Simpson
Polinomios Cúbicos
6 intervalos

20. Métodos Numéricos
Regla de Simpson
INTEGRACIÓN
Sea 𝑓 continua en 𝑎, 𝑏 y sea 𝑛 ∈ Ζ, se tiene que:
• La regla de
1
3
de Simpson:
Sea 𝑛 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟, aproxima a 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 como:
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =
ℎ
3
𝑓 𝑥0 + 4𝑓 𝑥1 + 2𝑓 𝑥2 + 4𝑓 𝑥3 + 2𝑓 𝑥4 + ⋯ + 4𝑓 𝑥 𝑛−1 + 𝑓(𝑥𝑛)
• La regla de
3
8
de Simpson:
Sea 𝑛 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 3𝑘, aproxima a 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 como:
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =
3ℎ
8
𝑓 𝑥0 + 3𝑓 𝑥1 + 3𝑓 𝑥2 + 2𝑓 𝑥3 + 3𝑓 𝑥4 + ⋯ + 3𝑓 𝑥 𝑛−1 + 𝑓(𝑥𝑛)

21. Métodos Numéricos
Ejercicio
Aproxime el área de la región sombreada utilizando la regla de Simpson
con 𝑛 = 4
INTEGRACIÓN

22. Métodos Numéricos