Matemática aplicada a la Física

Teorema de
Pitágoras
Matemática aplicada a la Física
2

Teorema de Pitágoras
3
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos.
𝒄 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒃 𝟐
De la anterior ecuación se deducen:
𝒂 = 𝒄 𝟐 − 𝒃 𝟐 𝒃 = 𝒄 𝟐 − 𝒂 𝟐𝒄 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐

Teorema de Pitágoras
4
Ejemplos: 𝒙 𝟐
= 𝟑 𝟐
+ 𝟒 𝟐
𝒙 = 𝟗 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓
𝒙 = 𝟓
𝟏𝟎 𝟐
= 𝟖 𝟐
+ 𝒙 𝟐
𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟔𝟒 = 𝟑𝟔
𝒙 = 𝟔
x
8
10
4
3
x

Triángulos
Notables
5

Triángulos Notables
6
Triángulos rectángulos cuyos lados son conocidos.
4
3
5
8
6
10
12
5
13
8
6
10
12
5
13
4
3
5
8
6
10
1
5
1

7
Ejemplo:
15
9
h
Triángulo semejante
5
3
4≈
Por lo tanto:
ℎ = 12
ℎ = 3 × 4
3x5
3x3
3x#

Razones
Trigonométricas
8

Razones Trigonométricas
9
Seno
El seno del ángulo θ es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la
hipotenusa.
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝒂
𝒄
θ
a
b
c

10
Coseno
El coseno del ángulo θ es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la
hipotenusa.
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝒃
𝒄
θ
a
b
c

11
Tangente
La tangente del ángulo θ es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el
cateto adyacente.
𝐭𝐚𝐧 𝜽 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝒂
𝒃
θ
a
b
c

Ángulos
Notables
12

Ángulos Notables
13
En la matemática y específicamente en la trigonometría, la palabra
“notable” se utiliza para referirnos a procesos o valores que están
bien definidos o muy comunes, y por ende, se reconocen y
memorizan fácilmente.
Estos ángulos son los de 30°, 45° y 60°
30°
60° 45°
45°

Método sin
calculadora

Método sin calculadora
Calcular Seno, Coseno y Tangente sin calculadora
Ing. Jefferson Revelo
30° 45° 60° 90°0°
1 2 3 40
3 2 1 04
2
sin
cos
30° 45° 60° 90°0°
1 2 3 40
3 2 1 04
tan
sin 30° =
𝟏
2
=
1
2
cos 30° =
𝟑
2
tan 30° =
𝟏
𝟑
=
1
3
∙
3
3
tan 30° =
3
3
30° 45° 60° 90°0°
1 2 3 40
3 2 1 04
2
sin
cos
30° 45° 60° 90°0°
1 2 3 40
3 2 1 04
tan

Triángulos
Rectángulos
16

Triángulos Rectángulos
17
Triángulos rectángulos que aparecen muy seguido son:
30°
60°
a 3
a
2a 45°
45°
a
a
a 2
Al identificar el triángulo notable, se puede encontrar el valor de los
lados del triángulo, de una forma más rápida.

18
Ejemplo: Encontrar los valores de v y w
30°
60°
3 3
3
2x3=6
=
30°
60°
a 3
a
2a
Identificamos el triángulo:
30°
w
3
v

19
Ejemplo: Encontrar los valores de g y d
=
Identificamos el triángulo
45°
45°
a
a
a 2 45°
45°
7
7
7 2
7
d
g

Notación
Científica
20

Notación Científica
21
Ejemplo:
Permite escribir números muy grandes o muy pequeños de forma
abreviada.
Consiste simplemente en multiplicar por una potencia de base 10
con exponente positivo o negativo.
Escribir en notación científica el siguiente número:
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟖𝟒 = 𝟎, 𝟎 𝟎 𝟎 𝟖 𝟒 = 𝟖, 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟒
+ −

Notación Científica
22
Ejemplos: Escribir en notación científica los siguientes números:
𝟒𝟖𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟒 𝟖 𝟓 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 = 𝟒, 𝟖𝟓 × 𝟏𝟎 𝟔
𝟓𝟎𝟎 = 𝟓 𝟎 𝟎 = 𝟓 × 𝟏𝟎 𝟐
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟕𝟖 = 𝟎, 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟓 𝟕 𝟖 = 𝟓, 𝟕𝟖 × 𝟏𝟎−𝟓

Notación a
Decimal
23

Notación a Decimal
24
Ejemplos:
𝟏, 𝟖 × 𝟏𝟎−𝟐
= 𝟎 𝟎 𝟏, 𝟖 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟖
𝟖, 𝟑 × 𝟏𝟎 𝟓
= 𝟖, 𝟑 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 = 𝟖𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎
Convertimos la potencia de 10 en una serie de ceros entre el número
y la coma. Tantos ceros que indique su exponente.
Si el exponente es negativo, todos esos ceros van a la izquierda del
número.
Si el exponente es positivo, todos esos ceros van a la derecha.
− +

Notación a Decimal
25
Ejemplos: Escribir en decimal las siguientes notaciones científicas:
𝟐, 𝟑𝟒𝟓 × 𝟏𝟎 𝟐
= 𝟐, 𝟑 𝟒 𝟓 = 𝟐𝟑𝟒, 𝟓
𝟓 × 𝟏𝟎−𝟓
= 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓
𝟎, 𝟎𝟕𝟖𝟒 × 𝟏𝟎 𝟑
= 𝟎, 𝟎 𝟕 𝟖 𝟒 = 𝟕𝟖, 𝟒

Operaciones
26

Operaciones con Notación Científica
27
Suma o Resta:
Se debe sumar los coeficientes (o restar si se trata de una resta),
dejando la potencia de 10 con el mismo grado, siempre que las
potencias de 10 sean las mismas.
𝟓, 𝟔𝟐 × 𝟏𝟎 𝟓
𝟐, 𝟏𝟓 × 𝟏𝟎 𝟓
+ 𝟑, 𝟒𝟕 × 𝟏𝟎 𝟓
=
𝟑, 𝟒𝟗 × 𝟏𝟎 𝟖
𝟔, 𝟐𝟓 × 𝟏𝟎 𝟖
− 𝟐, 𝟕𝟔 × 𝟏𝟎 𝟖
=

28
En caso de tener diferentes exponentes:
Se debe convertir el coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10
tantas veces como se necesite para obtener el mismo exponente.
𝟐 × 𝟏𝟎 𝟔
+ 𝟑, 𝟒 × 𝟏𝟎 𝟓
𝟐, 𝟑𝟒 × 𝟏𝟎 𝟔𝟐 × 𝟏𝟎 𝟔
+ 𝟎, 𝟑𝟒 × 𝟏𝟎 𝟔
=

29
Multiplicación:
Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se
multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.
𝟔 × 𝟏𝟎 𝟓
(𝟐 × 𝟏𝟎 𝟐
) × (𝟑 × 𝟏𝟎 𝟑
) =
División:
Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los
coeficientes y se restan los exponentes.
𝟒 × 𝟏𝟎 𝟒(𝟒𝟖 × 𝟏𝟎 𝟕
) ÷ (𝟏𝟐 × 𝟏𝟎 𝟑
) =
𝟕 − 𝟑 =4
𝟐 + 𝟑 =5

Sistema
Internacional de
Medidas
30

Magnitudes
31
Magnitudes Fundamentales
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO
Longitud
Masa
Tiempo
Intensidad Eléctrica
Temperatura
Calor
Cantidad de Sustancia
metro
kilogramo
segundo
amperio
kelvin
caloría
mol
𝑚
𝑘𝑔
𝑠
𝐴
𝐾
𝑐𝑎𝑙
𝑚𝑜𝑙
Son aquellas que no se pueden definir o expresar en términos de otras y
es sobres estás que se definen o se expresan las demás magnitudes

Magnitudes
32
Magnitudes Derivadas
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO
Área
Volumen
Velocidad
Aceleración
Densidad
Fuerza
metro cuadrado
metro cúbico
metro por segundo
metro / seg2
kilogr / metro cúbico
Newton
𝑚2
m3
m/s
m/s2
kg/m3
N
Son aquellas que se expresan dimensionalmente en función de las
magnitudes fundamentales

Conversión de
Unidades
33

Conversión de Unidades
34
Alguna veces es necesario convertir unidades de un sistema a otro
para lo cual se presenta algunos factores de conversión entre las
unidades SI y las convencionales.
MASA
1 𝑘𝑔 = 1000 𝑔
1000 𝑘𝑔 = 1 𝑡
1 𝑘𝑔 = 2,2 𝑙𝑏
LONGITUD
1 𝑚 = 100 𝑐𝑚
1 𝑝𝑖𝑒 = 12 𝑝𝑢𝑙𝑔
1 𝑝𝑢𝑙𝑔 = 2,54 𝑐𝑚
TIEMPO
1 𝑑í𝑎 = 24 ℎ
1 ℎ = 60 𝑚𝑖𝑛
1 𝑚𝑖𝑛 = 60 𝑠
VOLUMEN
1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 = 1000 𝑐𝑚3

Conversión de Unidades
35
Ejemplos:
MASA
5000 𝑘𝑔 ×
1 t
1000 [𝑘𝑔]
1000 𝑘𝑔 = 1 𝑡
5000 𝑘𝑔 = 5 𝑡
TIEMPO
Factor de conversión
▪ Convertir 5000 kg a toneladas ▪ Convertir 1 día en minutos
1 𝑑í𝑎 = 24 ℎ
Factores de conversión
1 𝑑í𝑎 ×
24 [ℎ]
1 𝑑í𝑎
×
60 𝑚𝑖𝑛
1 ℎ
1 ℎ = 60 𝑚𝑖𝑛
1 𝑑í𝑎 = 1440 𝑚𝑖𝑛

Despejes de
Variable
36

Despejes
37
Despejar una variable en una fórmula o ecuación es el proceso que
lleva a encontrar una ecuación equivalente en que la variable esté
aislada en un miembro de la ecuación.
Ejemplos:
𝑨 = 𝝅𝑹 𝟐
; 𝑹
𝑨
𝝅
= 𝑹 𝟐
𝑨
𝝅
= 𝑹
𝑸 = 𝑺 − 𝑺 𝒓 ; 𝑺 𝒓
𝑸 + 𝑺 𝒓 = 𝑺
𝑺 𝒓 = 𝑺 − 𝑸
Sr de restar pasa a sumar.
Q de sumar pasa a restar.
𝜋 de multiplicar pasa a dividir.
La raíz para eliminar el cuadrado

Proporcionalidad
38

Proporcionalidad
39
Cuando se estudia los fenómenos que ocurre en la naturaleza, se
encuentra que en ellos intervienen dos o más magnitudes que están
relacionadas entre sí.
Las relaciones de proporcionalidad mas importantes entre las magnitudes
físicas son:
Directa Inversa
Ej: La cantidad y el precio Ej: La velocidad y el tiempo
A mayor cantidad mayor precio A mayor velocidad, menor tiempo en
recorrer una distancia

Proporcionalidad
40
Directa Inversa
Gráficamente, se representa por una
recta que pasa por el origen.
Gráficamente, se representa por la
rama de una hipérbola.
𝑦 ∝ 𝑥
𝑦 = 𝑘𝑥
k = constante de proporcionalidad
𝑦 ∝
1
𝑥
𝑦 = 𝑘
1
𝑥

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