1) El documento presenta la solución a un problema que pide hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados. 2) Para resolverlo, se establecen tres ecuaciones igualando la ecuación general de una circunferencia sustituyendo los valores de los tres puntos, formando un sistema de ecuaciones. 3) Luego, se resuelve el sistema utilizando el determinante de Cramer, obteniendo la ecuación de la circunferencia buscada.

1. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE
CIRCUNFERENCIAS
4.- Halla la ecuación de la circunferencia
que pasa por los puntos A( 1, 1) B( – 2, 3)
C(– 1,– 1)
Elaborado por Pascual Sardella

2. Solución al Problema Nº
4Datos del Problema: Como dichos puntos pertenecen a lugar
geométrico de la circunferencia cuya ecuación general es:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Entonces tenemos que sustituir a «x» y «y» en la ecuación
anterior, así obtenemos tres ecuaciones con las variables A, B y
C:
Para P(1,1): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
(1)2+(1)2+𝐴 1 + 𝐵 1 + 𝐶 = 0 → 1 + 1 + 𝐴 − 𝐵 + 𝐶 = 0
𝑨 − 𝑩 + 𝑪 = −𝟐 (1)
Para Q(-2,3): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
(−2)2+(3)2+𝐴 −2 + 𝐵 3 + 𝐶 = 0 → 4 + 9 − 2𝐴 + 3𝐵 + 𝐶 = 0
−𝟐𝑨 + 𝟑𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟑 (2)
Para R(-1,-1): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
−𝟏 𝟐
+ −𝟏 𝟐
+ 𝑨 −𝟏 + 𝑩 −𝟏 + 𝑪 = 𝟎 → 𝟐 − 𝑨 − 𝑩 + 𝑪 = 𝟎
−𝑨 − 𝑩 + 𝑪 = −𝟐 (3)
Luego tenemos el sistema siguiente:
𝑨 − 𝑩 + 𝑪 = −𝟐 (1)
−𝟐𝑨 + 𝟑𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟑 (2)
𝟏 −𝟏 𝟏
−𝟐 𝟑 𝟏
−𝟏 −𝟏 𝟏
−𝟐
−𝟏𝟑
−𝟐

3. Solución al Problema Nº 4
Paso 1: Empezamos a calcular el determinante del sistema (∆ 𝑺)
∆ 𝑺=
𝟏 −𝟏 𝟏
−𝟐 𝟑 𝟏
−𝟏 −𝟏 𝟏
Paso 2: Resolvemos este determinante por la Regla de Sarrus,
es decir:
a) Repitiendo filas 1 y 2 debajo de la fila 3:
∆ 𝑠=
1 −1 1
−2 3 1
−1 −1 1
1 −1 1
−2 3 1
= 6 − (−2) → ∆ 𝐒= 𝟖
Ó b) repitiendo columnas 1 y 2 después de la 3:
∆ 𝑺=
𝟏 −𝟏 𝟏
−𝟐 𝟑 𝟏
−𝟏 −𝟏 𝟏
𝟏 −𝟏
−𝟐 𝟑
−𝟏 −𝟏
→ ∆ 𝑺=
𝟏 −𝟏 𝟏
−𝟐 𝟑 𝟏
−𝟏 −𝟏 𝟏
𝟏 −𝟏
−𝟐 𝟑
−𝟏 −𝟏
= ∆ 𝑺=8
Debe dar igual, por lo que puedes usar cualquier método.
𝟏 −𝟏 𝟏
−𝟐 𝟑 𝟏
−𝟏 −𝟏 𝟏
−𝟐
−𝟏𝟑
−𝟐

4. Solución al Problema Nº 4
Ahora debemos hallar el determinantes de las variables A, B y
C, es decir:
∆ 𝑨=
−𝟐 −𝟏 𝟏
−𝟏𝟑 𝟑 𝟏
−𝟐 −𝟏 𝟏
→ ∆ 𝑨=
−𝟐 −𝟏 𝟏
−𝟏𝟑 𝟑 𝟏
−𝟐 −𝟏 𝟏
−𝟐 −𝟏
−𝟏𝟑 𝟑
−𝟐 −𝟏
∆ 𝑨= 𝟏
∆ 𝑩=
𝟏 −𝟐 𝟏
−𝟐 −𝟏𝟑 𝟏
−𝟏 −𝟐 𝟏
→ ∆ 𝑩=
𝟏 −𝟐 𝟏
−𝟐 −𝟏𝟑 𝟏
−𝟏 −𝟐 𝟏
𝟏 −𝟐
−𝟐 −𝟏𝟑
−𝟏 −𝟐
∆ 𝑩= −𝟐𝟏
∆ 𝑪=
𝟏 −𝟏 −𝟐
−𝟐 𝟑 −𝟏𝟑
−𝟏 −𝟏 −𝟐
→ ∆ 𝑪=
𝟏 −𝟏 −𝟐
−𝟐 𝟑 −𝟏𝟑
−𝟏 −𝟏 −𝟐
𝟏 −𝟏
−𝟐 𝟑
−𝟏 −𝟏
∆ 𝑪= −𝟑𝟖
𝑨 =
∆ 𝑨
∆ 𝑺
=
𝟏
𝟖
; 𝑩 =
∆ 𝑩
∆ 𝑺
= −
𝟐𝟏
𝟖
; 𝑪 = −
𝟑𝟖
𝟖
Ahora se debe sustituir estos valores en la ecuación general,
es decir:

5. Solución al Problema Nº 4
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝑥2 + 𝑦2 +
1
8
𝑥 + −
21
8
𝑦 −
38
8
= 0
𝟖𝒙 𝟐
+ 𝟖𝒚 𝟐
+ 𝟏𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟑𝟖 = 𝟎
Luego la ecuación de la circunferencia es:
𝟖𝒙 𝟐 + 𝟖𝒚 𝟐 + 𝟏𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟑𝟖 = 𝟎
Para llevarla a la ecuación ordinaria o usual se agrupa términos en
«x» y en «y» y se busca configurarlo como trinomios notables, es
decir:
𝟖𝒙 𝟐 + 𝟖𝒚 𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟑𝟖 = 𝟎
𝟖𝒙 𝟐
+ 𝒙 + 𝟖𝒚 𝟐
− 𝟐𝟏𝒚 = 𝟑𝟖 → 𝟖 𝒙 𝟐
+
𝟏
𝟖
𝒙 + 𝟖 𝒚 𝟐
−
𝟐𝟏
𝟖
𝒚 = 𝟑𝟖
8 𝑥2
+
1
8
𝑥 +
1
256
− 8 ·
1
256
+ 8 𝑦2
−
21
8
𝑦 +
441
256
− 8 ·
441
256
= 38
8 𝑥 +
1
8
2
+ 8 𝑦 −
21
8
2
= 38 +
8
256
+
3528
256
=
13264
256
𝑥 +
1
8
2
+ 𝑦 −
21
8
2
=
829
16

6. Gráfica del Problema Nº 4
Para la representación gráfica utilizamos el software Geogebra