Para el pórtico de la figura hallar los valores de las reacciones de vínculo por el método de las fuerzas. Trazar los diagramas de características.

1. Hiperestáticos
Método de las Fuerzas
Resolución del Ejercicio N° 2 de la
Guía de la Práctica – TP N° 9
(Ejercicio IIb del Complemento Teórico)
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Para el pórtico de la figura hallar los
valores de las reacciones de vínculo por
el método de las fuerzas…
Enunciado
… Trazar los diagramas de características
Datos: Perfil 1 “doble T” (IPB 450 - DIN
1026); Perfil 2 “doble T” (IPB 550 - DIN
1026); H=5,6 m; L=8,4 m; q=2,7 t/m;
adm=1400 Kg/cm2; E=2,1x106 Kg/cm2;
J1=79890 cm4 ; J2=136700 cm4.
Estamos en presencia de un sistema hiperestático de grado tres (6 vínculos y 3 grados de
libertad)

3. Resolución
El sistema fundamental se obtiene a
partir de la estructura hiperestática
planteada, reemplazando tres de los
vínculos, por las acciones que los mismos
introducen, para resolver este problema,
nosotros adoptamos reemplazar el
vínculo de tercera especie en A por sus
reacciones hiperestáticas (incógnitas) X1,
X2 y X3.
X3
Sistema Fundamental (SF)
… en este punto es indistinto el sentido que le asignemos a las incógnitas X1, X2 y X3
X1
X2
Para el pórtico de la figura hallar los
valores de las reacciones de vínculo por
el método de las fuerzas…

4. Resolución
Por lo tanto, en el sistema fundamental la suma de los
desplazamientos en la sección A (A), originados por las
cargas exteriores y las incógnitas hiperestáticas actuando
conjuntamente, debe ser nula.
=
X1 = 1
. X1 +
cargas (q)
+
X2 = 1
. X2 +
X3 = 1
. X3
Los valores de las incógnitas hiperestáticas quedarán determinados por la condición de
volver a llevar los puntos que se han liberado al encuentro de los enlaces preexistentes.
𝜹𝒊
𝑨
= 𝜹𝒊𝒒
𝑨
+ 𝑿𝟏 ∙ 𝜹𝒊𝟏
𝑨
+ 𝑿𝟐 ∙ 𝜹𝒊𝟐
𝑨
+ 𝑿𝟑 ∙ 𝜹𝒊𝟑
𝑨
= 𝟎
La expresión de los desplazamientos δA
ij la
obtenemos aplicando el Principio de los
Trabajos Virtuales:
𝜹𝒊𝒋
𝑨
=
𝑴𝒊 ∙ 𝑴𝒋
𝑬 ∙ 𝑱
∙ 𝒅𝒍
donde δij son los desplazamientos en la dirección de la incógnita
hiperestática i originados por el valor unitario de la incógnita
hiperestática j, así:
𝜹𝟏𝒒
𝑨
+ 𝑿𝟏 ∙ 𝜹𝟏𝟏
𝑨
+ 𝑿𝟐 ∙ 𝜹𝟏𝟐
𝑨
+ 𝑿𝟑 ∙ 𝜹𝟏𝟑
𝑨
= 𝟎
𝜹𝟐𝒒
𝑨
+ 𝑿𝟏 ∙ 𝜹𝟐𝟏
𝑨
+ 𝑿𝟐 ∙ 𝜹𝟐𝟐
𝑨
+ 𝑿𝟑 ∙ 𝜹𝟐𝟑
𝑨
= 𝟎
𝜹𝟑𝒒
𝑨
+ 𝑿𝟏 ∙ 𝜹𝟑𝟏
𝑨
+ 𝑿𝟐 ∙ 𝜹𝟑𝟐
𝑨
+ 𝑿𝟑 ∙ 𝜹𝟑𝟑
𝑨
= 𝟎
…sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas X1; X2 y X3
Para el pórtico de la figura hallar los
valores de las reacciones de vínculo por
el método de las fuerzas…

5. Resolución
Determinamos a continuación los diagramas de
momentos flexores para las carga y las incógnitas
hiperestáticas (con valores unitarios)
42,34
[105 kg x cm]
42,34
42,34
cargas (q)

6. Resolución
Determinamos a continuación los diagramas de
momentos flexores para las carga y las incógnitas
hiperestáticas (con valores unitarios)
5,60
[kg x cm]
5,60
X1 = 1

7. Resolución
Determinamos a continuación los diagramas de
momentos flexores para las carga y las incógnitas
hiperestáticas (con valores unitarios)
8,40
[kg x cm]
8,40
X2 = 1

8. Resolución
Determinamos a continuación los diagramas de
momentos flexores para las carga y las incógnitas
hiperestáticas (con valores unitarios)
1
[kg x cm]
1
X3 = 1

9. Resolución
Determinamos a continuación los coeficientes
ij, para ello utilizaremos las tablas de
multiplicación de diagramas
Coeficiente 𝜹𝟏𝒒
𝑨
=
𝑴𝟏∙𝑴𝒒
𝑬∙𝑱
∙ 𝒅𝒍
Cargas q [105 kg x cm]
42,34
42,34
42,34
5,60
X1 = 1 [kg x cm]
5,60
𝜹𝟏𝒒
𝑨
=
𝑴𝟏 ∙ 𝑴𝒒
𝑬 ∙ 𝑱
∙ 𝒅𝒍 =
𝟎
𝑯
◢ ∙
𝑬 ∙ 𝑱𝟏
∙ 𝒅𝒍 +
𝟎
𝑳
▬ ∙ ▬
𝑬 ∙ 𝑱𝟐
∙ 𝒅𝒍 +
𝑯
𝟎
◣ ∙
𝑬 ∙ 𝑱𝟏
∙ 𝒅𝒍

10. Resolución
Determinamos a continuación los coeficientes
ij, para ello utilizaremos las tablas de
multiplicación de diagramas
Coeficiente 𝜹𝟏𝒒
𝑨
=
𝑴𝟏∙𝑴𝒒
𝑬∙𝑱
∙ 𝒅𝒍
Cargas q [105 kg x cm]
42,34
42,34
42,34
5,60
X1 = 1 [kg x cm]
5,60
𝜹𝟏𝒒
𝑨
=
𝑴𝟏 ∙ 𝑴𝒒
𝑬 ∙ 𝑱
∙ 𝒅𝒍 =
𝟎
𝑯
◢ ∙
𝑬 ∙ 𝑱𝟏
∙ 𝒅𝒍 +
𝟎
𝑳
▬ ∙ ▬
𝑬 ∙ 𝑱𝟐
∙ 𝒅𝒍 +
𝑯
𝟎
◣ ∙
𝑬 ∙ 𝑱𝟏
∙ 𝒅𝒍
𝜹𝟏𝒒
𝑨
=
𝟏
𝑬
𝟏
𝟒𝑱𝟏
∙ 𝑴 ∙ 𝒎 ∙ 𝑯 +
𝟏
𝑱𝟐
𝑴 ∙ 𝒎 ∙ 𝑳 +
𝟏
𝟔𝑱𝟏
∙ 𝑴 ∙ 𝒎 ∙ 𝑯
…y reemplazando valores resulta: 𝜹𝟏𝒒
𝑨
= 𝟏𝟎, 𝟐𝟑𝟓 𝒌𝒈 ∙ 𝒄𝒎

11. Resolución
Coeficiente 𝜹𝟐𝟑
𝑨
=
𝑴𝟐∙𝑴𝟑
𝑬∙𝑱
∙ 𝒅𝒍
𝜹𝟐𝟑
𝑨
=
𝑴𝟐 ∙ 𝑴𝟑
𝑬 ∙ 𝑱
∙ 𝒅𝒍 =
𝟎
𝑯
𝟎 ∙ ▬
𝑬 ∙ 𝑱𝟏
∙ 𝒅𝒍 +
𝟎
𝑳
◢ ∙ ▬
𝑬 ∙ 𝑱𝟐
∙ 𝒅𝒍 +
𝑯
𝟎
▬ ∙ ▬
𝑬 ∙ 𝑱𝟏
∙ 𝒅𝒍
8,40
X2 = [kg x cm]
8,40
1
X3 = [kg x cm]
1
𝜹𝟐𝟑
𝑨
=
𝟏
𝑬
𝟎 +
𝟏
𝟐𝑱𝟐
∙ 𝑴 ∙ 𝒎 ∙ 𝑳 +
𝟏
𝑱𝟏
∙ 𝑴 ∙ 𝒎 ∙ 𝑯
…y reemplazando valores resulta: 𝜹𝟐𝟑
𝑨
= −𝟒, 𝟎𝟑𝟐 × 𝟏𝟎−𝟔 𝒌𝒈 ∙ 𝒄𝒎

12. Resolución
Coeficiente 𝜹𝟑𝟑
𝑨
=
𝑴𝟑∙𝑴𝟑
𝑬∙𝑱
∙ 𝒅𝒍
𝜹𝟑𝟑
𝑨
=
𝑴𝟑 ∙ 𝑴𝟑
𝑬 ∙ 𝑱
∙ 𝒅𝒍 =
𝟎
𝑯
▬ ∙ ▬
𝑬 ∙ 𝑱𝟏
∙ 𝒅𝒍 +
𝟎
𝑳
▬ ∙ ▬
𝑬 ∙ 𝑱𝟐
∙ 𝒅𝒍 +
𝑯
𝟎
▬ ∙ ▬
𝑬 ∙ 𝑱𝟏
∙ 𝒅𝒍
1
X3 = [kg x cm]
1
𝜹𝟑𝟑
𝑨
=
𝟏
𝑬
𝟏
𝑱𝟏
𝑴 ∙ 𝒎 ∙ 𝑯 +
𝟏
𝑱𝟐
𝑴 ∙ 𝒎 ∙ 𝑳 +
𝟏
𝑱𝟏
𝑴 ∙ 𝒎 ∙ 𝑯
…y reemplazando valores resulta: 𝜹𝟑𝟑
𝑨
= 𝟗, 𝟔𝟎𝟐 × 𝟏𝟎−𝟗 𝒌𝒈 ∙ 𝒄𝒎
1
X3 = [kg x cm]
1

13. Resolución
En forma análoga calculamos los restantes coeficiente
𝜹𝒊𝒋
𝑨
=
𝑴𝒊∙𝑴𝒋
𝑬∙𝑱
∙ 𝒅𝒍 , reemplazamos y resolvemos el sistema.
𝟏𝟎, 𝟐𝟑𝟓 + 𝑿𝟏 ∙ 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟔𝟏𝟓 + 𝑿𝟐 ∙ 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟕 + 𝑿𝟑 ∙ 𝟑, 𝟓𝟎𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟎
−𝟓, 𝟐𝟎𝟑 + 𝑿𝟏 ∙ 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟕 + 𝑿𝟐 ∙ 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟎𝟒 + 𝑿𝟑 ∙ 𝟒, 𝟎𝟑𝟐𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟎
𝟎, 𝟎𝟏𝟕𝟏 + 𝑿𝟏 ∙ 𝟑, 𝟓𝟎𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔
+ 𝑿𝟐 ∙ 𝟒, 𝟎𝟑𝟐𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔
+ 𝑿𝟑 ∙ 𝟗, 𝟔𝟎𝟐 × 𝟏𝟎−𝟗
= 𝟎
→
𝑿𝟏 = −𝟏𝟏, 𝟗𝟓 𝒕
𝑿𝟐 = −𝟏, 𝟒𝟒 𝒕
𝑿𝟑 = 𝟏𝟗, 𝟕𝟗 𝒕 ∙ 𝒎
X1
X2
X3
El signo negativo de las incógnitas halladas
indica que el sentido adoptado al definir el
Sistema Fundamental fue el incorrecto.
Procedemos a corregirlo.

14. Resolución
En forma análoga calculamos los restantes coeficiente
𝜹𝒊𝒋
𝑨
=
𝑴𝒊∙𝑴𝒋
𝑬∙𝑱
∙ 𝒅𝒍 , reemplazamos y resolvemos el sistema.
𝟏𝟎, 𝟐𝟑𝟓 + 𝑿𝟏 ∙ 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟔𝟏𝟓 + 𝑿𝟐 ∙ 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟕 + 𝑿𝟑 ∙ 𝟑, 𝟓𝟎𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟎
−𝟓, 𝟐𝟎𝟑 + 𝑿𝟏 ∙ 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟕 + 𝑿𝟐 ∙ 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟎𝟒 + 𝑿𝟑 ∙ 𝟒, 𝟎𝟑𝟐𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟎
𝟎, 𝟎𝟏𝟕𝟏 + 𝑿𝟏 ∙ 𝟑, 𝟓𝟎𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔
+ 𝑿𝟐 ∙ 𝟒, 𝟎𝟑𝟐𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔
+ 𝑿𝟑 ∙ 𝟗, 𝟔𝟎𝟐 × 𝟏𝟎−𝟗
= 𝟎
→
𝑿𝟏 = −𝟏𝟏, 𝟗𝟓 𝒕
𝑿𝟐 = −𝟏, 𝟒𝟒 𝒕
𝑿𝟑 = 𝟏𝟗, 𝟕𝟗 𝒕 ∙ 𝒎
X1
X2
X3
11,95 [t]
1,44 [t]
19,79 [tm]
El signo negativo de las incógnitas halladas
indica que el sentido adoptado al definir el
Sistema Fundamental fue el incorrecto.
Procedemos a corregirlo.

15. Resolución
Graficamos los diagramas de Q, M y N
En forma análoga calculamos los restantes coeficiente
𝜹𝒊𝒋
𝑨
=
𝑴𝒊∙𝑴𝒋
𝑬∙𝑱
∙ 𝒅𝒍 , reemplazamos y resolvemos el sistema.
𝟏𝟎, 𝟐𝟑𝟓 + 𝑿𝟏 ∙ 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟔𝟏𝟓 + 𝑿𝟐 ∙ 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟕 + 𝑿𝟑 ∙ 𝟑, 𝟓𝟎𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟎
−𝟓, 𝟐𝟎𝟑 + 𝑿𝟏 ∙ 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟕 + 𝑿𝟐 ∙ 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟎𝟒 + 𝑿𝟑 ∙ 𝟒, 𝟎𝟑𝟐𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟎
𝟎, 𝟎𝟏𝟕𝟏 + 𝑿𝟏 ∙ 𝟑, 𝟓𝟎𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔
+ 𝑿𝟐 ∙ 𝟒, 𝟎𝟑𝟐𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔
+ 𝑿𝟑 ∙ 𝟗, 𝟔𝟎𝟐 × 𝟏𝟎−𝟗
= 𝟎
→
𝑿𝟏 = −𝟏𝟏, 𝟗𝟓 𝒕
𝑿𝟐 = −𝟏, 𝟒𝟒 𝒕
𝑿𝟑 = 𝟏𝟗, 𝟕𝟗 𝒕 ∙ 𝒎
El signo negativo de las incógnitas halladas
indica que el sentido adoptado al definir el
Sistema Fundamental fue el incorrecto.
Procedemos a corregirlo.
11,95 [t]
1,44 [t]
19,79 [tm]

16. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

17. Muchas Gracias