Modelos Inventario

Planificación y Control de la Producción I
Modelos de Administración de Inventarios
Mba. Ing. Oscar Danilo Fuentes Espinoza
Elaborado por: Ing. Oscar Danilo Fuentes Espinoza 1

Contenidos
1. El problema de inventarios
2. Definición de inventarios
3. Función de los inventarios
4. Propósitos del inventario
5. Costos del inventario
6. Demanda independiente y dependiente

Contenidos
7 Sistemas de inventarios
7.1 Sistema ABC
7.2 Modelo básico de materia prima
7.3 Modelo básico de producto terminado
7.4 Modelo para materia prima con descuentos por cantidad
7.5 Modelo para producto terminado múltiples
7.6 Modelo de inventario de periodo único
7.7 Sistema de inventario de varios periodos
7.7.1 Modelo de punto fijo, revisión continua o modelo Q
7.7.2 Modelo de ciclo fijo, revisión periódica o modelo P

Tema 1. El problema de inventarios
Cual es el problema fundamental de la administración de inventarios?
(Chase, 2014)
1. Cuando se debe hacer un pedido?
2. Cuanto se debe pedir

Por que debemos estudiar los inventarios? (Chase, 2014)
El inventario es $$$ guardado en estantes y anaqueles, así como
en camiones y aviones mientras se encuentran en transito. Esto es el
inventario: DINERO

Que modelos de inventarios deben utilizarse en tiendas minoristas o
almacenes y en plantas de manufactura? (Chase, 2014)
En tiendas minoristas y almacenes: inventarios de un periodo, cantidad
fija de pedido, periodo fijo
En plantas de manufactura: MRP

Tema 2. Definición de inventarios
Que es un inventario?
Son las existencias de una pieza o recurso utilizado en una
organización. (Chase & Jacobs, 2014)

Que es un sistema de inventarios?
Es el conjunto de políticas y controles con los cuales se vigilan los
niveles de inventario y determinan los que se van a mantener, el
momento en que es necesario reabastecerlo y las dimensiones de los
pedidos. (Chase & Jacobs, 2014)

Que es el inventario de manufactura?
Se refiere a las piezas que contribuyen o se vuelven parte de la
producción de la empresa. (Chase & Jacobs, 2014)

Como se clasifica el inventario de manufactura?
Materia prima, productos terminados, partes componentes,
suministros y trabajos en proceso. (Chase & Jacobs, 2014)

En los servicios, a que se refiere el termino inventario?
Se refiere a los bienes tangibles por vender y los suministros necesarios
para administrar el servicio. (Chase & Jacobs, 2014)

Tema 3. Función de los inventario
(De Holanda, 2003)
La función básica de los inventarios, sean estos de materias primas, material
semi-procesado o productos terminados, es mantener relativamente
independientes las siguientes actividades:
* Compra de materias primas.
* Producción.
* Ventas.

Tema 3. Función de los inventario. (De Holanda, 2003)
Los inventarios actúan como resortes según se muestra en la Figura
siguiente

Como puede observarse, los inventarios de materias primas son
necesarios para separar "Producción" de "Compras" y los
inventarios de productos terminados sirven para separar
"Producción" de "Ventas".

Los inventarios solo serán evitables cuando el flujo de una sola pieza
sea posible, la demanda sea muy estable y el tiempo de entrega sea
extremadamente corto. Esto es precisamente lo que se conoce como
"entregas justo-a-tiempo"

Tema 4. Propósitos del inventario
Cuál es el propósito básico de análisis de inventario en la
manufactura y los servicios?
El propósito básico es especificar:
1 cuando es necesario pedir mas piezas
2 las cantidades de los pedidos. (Chase & Jacobs, 2014)

Tema 4. Propósitos del inventario
Cuáles son los propósitos de los inventarios?
(Chase & Jacobs, 2014), indican que los propósitos de los inventarios
son:
1. Mantener la independencia de las operaciones
2. Cubrir la variación en la demanda
3. Permitir la flexibilidad en la programación de la producción
4. Protegerse contra la variación del tiempo de entrega de materias
primas
5. Aprovechar los descuentos basados en el tamaño del pedido.

Tema 5. Costos del inventario
Cuáles son los costos de los inventarios?
(Chase & Jacobs, 2014), indican que los costos de los inventarios son:
1 Costos de mantenimiento o transporte:
2 Costos de preparación (o cambio de producción).
3 Costos de pedido. Se refieren a los administrativos y de oficina por
preparar la orden de compra o producción.
4 Costos de faltantes.

Cuáles son los costos de los inventarios? (De Holanda,2003)
1. Costo de preparación
2. Costo de almacenamiento
3. Costo de capital
4. Costo de mantener
5. Costo de faltante
6. Costo de compra y costo de producción

Costo de preparación
Este es el costo correspondiente a todas las actividades relacionadas
con la fabricación de un lote dado del producto ("Cp" del lote de
producción) o relacionadas con la realización de un pedido al
proveedor ("Cp" del pedido).

Costo de ordenar
En el caso mas pesimista, el costo de preparación del pedido (también
llamado costo de "ordenar") puede incluir los costos de las siguientes
actividades:
* Decisión de que cantidad comprar.
* Análisis de cotizaciones.
* Elaboración del pedido.
* Autorización del pedido.

Costo de ordenar
* Seguimiento del pedido.
* Transporte.
* Tramites aduanales (si el material es de importación).
* Tramites de recepción.
* Inspección de recepción,
* Actualización de registros (en el almacén),
* Etc ..

Cuáles son los costos de los inventarios?. (De Holanda,2003)
Costo de preparación de un lote
En el caso mas pesimista, el costo de preparación de un lote (también
llamado "set-up" o costo de "arranque") puede incluir los costos de las
siguientes actividades:

* Decisión de que cantidad fabricar.
* Elaboración de la orden de producción.
* Programación de producción
* Mano de obra y materiales de preparación de la(s) maquina (s).

* Producción perdida o depreciación de la (s) maquina (s) durante el
tiempo de preparación,
* Control de producción.
* Inspección de los lotes.
* Recepción en el almacén,
* Etc

A continuación proporcionamos un ejemplo real de calculo del costo de
preparación de los pedidos de los materiales requeridos en la
fabricación de una determinada marca de cigarros (se omite el nombre
de la empresa por razones de confidencialidad):

Tema 5. Costos del inventario(De Holanda,2003)
* Año de realización de los cálculos: 1991.
* País: México.
* Se decidió calcular un solo "Cp" para los 13 materiales.
* Se considero un total de 850 pedidos realizados en el a ñ o.
* Cuatro personas estaban involucradas en el proceso de realización de los
pedidos: El Sub-Director de Logística, el Gerente de Control de Inventarios y
2 asistentes. La nomina relacionada directamente con la realización de los
pedidos era 14/40 del salario del Sub-Director, mas 100% del salario de las
otras 3 personas, mas 50% de prestaciones. Total: $20,000/mes.

* El proceso de compras para los 13 materiales se realizaba 5 veces por año.
En cada ocasión, una secretaria que ganaba $2,175/mes (incluyendo
prestaciones) dedicaba un día completo. Considerando 160 horas/mes y 8
horas por día, el costo correspondiente fue:
[($2,175)(8)/(160)](5)/(12) = $45.311mes.
* En el departamento había 3 computadoras con un valor aproximado de
$36,000 que se depreciaban en 3 años; el costo de depreciación por mes fue
de: ($36,000)/(3)(12) = $1,OOO/mes

* El costo de espacio fue estimado en $30/m2 por mes. Como el
departamento ocupaba 60 m2, el costo del espacio fue: $2,000/mes.
* Otros costos indirectos (teléfono, luz, papel, fax, etc.) fueron
estimados en $5,000/mes.
* Por 10 tanto, el costo mensual total fue de $28,045. Considerando
850 pedidos por año el "Cp" fue calculado en: ($28,045)(12)/850 ≈
$400/pedido.

Costo de almacenamiento (Ca). De Holanda, R. (2003)
Este incluye los costos que se incurren en el almacén propiamente
dicho y que dependen del numero de unidades almacenadas. El
concepto es valido tanto para materias primas como para productos
terminados, y en el caso mas pesimista el costo de almacenamiento
incluye:

* Sueldos y salarios del personal que controla y maneja el inventario.
* Seguros, robos, obsolescencia y deterioro del material.
* Operación y depreciación del equipo de manejo.
* Luz, calefacción o refrigeración.
* Espacio.
* Realización de inventarios.
* Etc..

El costo de almacenamiento puede expresarse en $/unid. año (que
significa $ para almacenar una unidad durante un año) o %/año del
valor del inventario (por ejemplo, podemos decir que el "Ca"
representa un 5% al año del valor promedio del inventario).

Costo de capital (Cc). De Holanda, R. (2003)
Este representa el costo de oportunidad por tener el dinero invertido en
inventarios. En la mayoría de los casos consideramos que el costo de capital
es igual a su rentabilidad si este fuera invertido en otras actividades (por
ejemplo, una cuenta maestra). El costo de capital también puede expresarse
en %/año o $/unid.año.

Costo de mantener (Cm o Fm). De Holanda, R. (2003)
El costo de mantener es la suma (Ca+Cc). Si se expresa en $/unid.año
usaremos el termino "Cm“ y si se expresa en %/año usaremos el termino
"Fm".
Como ejemplo, a continuación presentamos los cálculos hechos en la
empresa cigarrera (mencionada anteriormente) para la determinación del
"Fm":

* El costo de capital fue estimado en 6.54%/año (excluyendo inflación).
* El valor total promedio del inventario de materias primas, reportado
por el Departamento de Contabilidad, era de $6,397,094.

* La depreciación del almacén (incluyendo costo del espacio),
reportado por Contabilidad, era de $55,531/año, lo que conduce a un
costo porcentual anual respecto al valor del inventario de
($55,531/$6,397,094)(100) =0.87%/año.

* Los costos de seguros reportados por Contabilidad eran de $1.5789/mes por
$1,000 del valor del inventario. o sea, el costo porcentual anual era:
[($1.5789)(12)/(1,000)](100)= 1.89%/año.
* La nomina del almacén era $136,688/año(incluyendo prestaciones). Por lo
tanto, el costo porcentual anual era: [($136,688)/($6,397,094)](100)
=2.14%/año.

* Se hacia un inventario (conteo) por año. El costo correspondiente era
de $798 (incluyendo prestaciones). El costo porcentual anual era:
[($798)/(6,397,094)](100) = 0.01%/año

* La depreciación anual de los montacargas era de $6,690/año. El costo
porcentual anual correspondiente era:
[($6,690)/(6,397,094)](100) = 0.10%/año.
* Los costos de obsolescencia, control de temperatura, humedad, etc. se
consideraron despreciables.
* El costo de mantener anual "Fm" era: 6.54 + 0.87 + 1.89 + 2.14 + 0.01 +
0.10 = 11.55%/año.

Costo de faltante (Cf). De Holanda, R. (2003)
Es el costo relativo a la falta de materias primas o productos terminados
cuando estos son solicitados por Producción o por los clientes,
respectivamente.
En lo que se refiere a la falta de materias primas, esto puede causar el paro
de una línea (con la consecuente producción perdida) o una reprogramación
de la producción, Obviamente, la falta de materias primas también puede
provocar la falta de productos terminados.

La falta de productos terminados puede implicar ventas perdidas, perdida de
prestigio, etc.. De todos los costos, el costo de faltante es el mas difícil de
calcular y puede expresarse de distintas maneras: $/unid., $/unid.año,
$/falta, etc.. Afortunadamente, en algunas situaciones su calculo es sencillo.
Veamos el ejemplo de la empresa cigarrera:

* La producción perdida no provocaba perdida de ventas, ya que
aquella se recuperaba en los fines de semana,
* El costo de mano de obra directa por unidad del producto terminado
era de $0.021 (incluyendo prestaciones).

* El tiempo extra se pagaba al doble, por lo que cada unidad producida
en tiempo extra provocaba un costo adicional de ($0.021)(2) =
$0.042/unid.
* Por lo tanto, el costo por unidad faltante de materia prima era de
$O.042/unid. (Aquí, "unidad" significa la cantidad de materia prima por
producto terminado. Por ejemplo, una cajetilla por producto
terminado. Cada cajetilla faltante provocaba un costo de $0.042.)

Costo de compra y costo de producción (k). De Holanda, R. (2003)
El costo de compra de la materia prima es su valor por unidad que
llamaremos "K".
Dicho costo será necesario en los modelos de inventarios con descuentos por
cantidad.
Análogamente, para el producto terminado, "K" es el valor de una unidad del
producto.
Generalmente, para productos terminados, "K" solo incluye los costos
directos. Es fácil concluir que en ambos casos (materiales o productos)
Cm=Fm.K.

Tema 6. Demanda dependiente e independiente
Que es la demanda independiente y dependiente?
En la demanda independiente, las demandas de varias piezas no
guardan relación entre si.
En la demanda dependiente, la necesidad de cualquier pieza es un
resultado directo de la necesidad de otra, casi siempre un articulo de
nivel superior del que forma parte.

Tema 7. Sistemas de inventarios
7.1 Sistema ABC
7.3 Modelo básico de producto terminado
7.4 Modelo para materia prima con descuentos por cantidad
7.5 Modelo para producto terminado múltiples
7.7 Modelo de punto fijo, revisión continua o modelo Q
7.8 Modelo de ciclo fijo, revisión periódica o modelo P

7.1 Sistema ABC
Mantener el inventario mediante el conteo, la elaboración de
pedidos, la recepción de existencias, etc., requiere de tiempo del
personal y cuesta dinero.
Cuando existen límites para estos recursos, el movimiento lógico
consiste en tratar de utilizar los recursos disponibles para
controlar el inventario de la mejor manera.
En otras palabras, enfocarse en las piezas más importante en el
inventario.

7.1 Sistema ABC
Cualquier sistema de inventario debe especificar el momento de pedir
una pieza y cuántas unidades ordenar. Casi todas las situaciones de
control de inventarios comprenden tantas piezas que no resulta
práctico crear un modelo y dar un tratamiento uniforme a cada una.
Para evitar este problema, el esquema de clasificación ABC divide las
piezas de un inventario en tres grupos:

7.1 Sistema ABC
Volumen de dólares alto (A), volumen de dólares moderado ((B) y
volumen de dólares bajo (C).
El volumen en dinero es una medida de la importancia; una pieza
de bajo costo pero de alto volumen puede ser más Importante que
una pieza cara pero de bajo volumen.

7.1 Sistema ABC
Si el uso anual de las piezas de un inventario se presenta según el
volumen de dólares, por lo regular, la lista muestra que un número
reducido de piezas representa un volumen de dólares alto y que
muchas piezas conforman un volumen de dólares bajo

7.1 Sistema ABC. Ejemplo
Número pieza Uso anual en dólares Porcentaje valor tota
22 95000 40.69%
68 75000 32.13%
27 25000 10.71%
3 15000 6.43%
82 13000 5.57%
54 7500 3.21%
36 1500 0.64%
19 800 0.34%
23 425 0.18%
41 225 0.10%
233450 100.00%

La estrategia ABC divide esta lista en tres grupos según el valor: las
piezas A constituyen casi 15% más alto de las piezas, las piezas B
35% siguiente y las piezas C el último 50%.
A partir de la observación, la lista en tabla anterior se puede
agrupar con A incluyendo 20% (2 de 10), B incluyendo 30% y C
incluyendo 50%.

Estos puntos muestran límites muy claros entre las secciones. El resultado de esta
segmentación se muestra en la siguiente
C10 425 22595000750002500015000 13000 7500 1500 800
Porcentaje 0.2 0.140.7 32.1 10.7 6.4 5.6 3.2 0.6 0.3
% acumulado 99.9 100.040.7 72.8 83.5 90.0 95.5 98.7 99.4 99.7
C1 4123193654823276822
250000
200000
150000
100000
50000
0
100
80
60
40
20
0
C10
Porcentaje
Diagrama de Pareto de C1

El propósito de clasificar las piezas en grupos es establecer el grado de
control apropiado sobre cada uno. En forma periódica, por ejemplo, las
piezas de la clase A quizás estén más controladas con pedidos
semanales, las piezas B se podrían pedir cada dos semanas y las piezas
C cada uno o dos meses.

Observe que el costo unitario de las piezas no tiene ninguna
relación con su clasificación. Una pieza A puede tener un
volumen de dinero alto mediante una combinación de bajo
costo y alto uso o de costo alto y uso bajo.
De manera similar, las piezas C pueden tener un volumen de
dinero bajo porque tienen una demanda o un costo bajo.

En una estación de servicio para automóviles, la gasolina sería una pieza A con
resurtido diario o semanal;
las llantas, las baterías, el aceite y el líquido de la transmisión podrían ser piezas
B y pedirse cada dos a cuatro semanas; y
las piezas C consistirían en válvulas, limpiaparabrisas, tapones de radiador,
mangueras, bandas de ventilador, aceite y aditivos para gasolina, cera
automotriz, etc. Estas piezas se podrían pedir cada dos o tres meses e incluso
permitir que se agotaran antes de volver a pedirlos porque el castigo por las
existencias agotadas no es muy serio

Resuelva los ejercicios 15,23 y 29 del libro de administración de
operaciones de Chase, Jacobs y Aquilano, 12 edición.

En lo que se refiere a los inventarios de materias primas, el problema
básico a resolver es el siguiente:
* Cuando comprar la materia prima,
* Que cantidad,
de tal manera que se minimice la suma de todos los costos relevantes
(en el modelo básico solo "Cp" y "Cm" son relevantes).

Obviamente, estas decisiones están relacionadas porque si compramos
cantidades grandes, estas serán compradas con poca frecuencia, y vice-
versa.
La política de la figura (a) conduce a altos costos de mantener y bajos costos
de preparación, mientras la política de la figura (b) conduce a bajos costos de
mantener pero a altos costos de preparación.
Aparentemente, el problema no tiene solución, sin embargo, la suma de
ambos tipos de costos si pasa por un mínimo, como veremos a continuación.

EI modelo básico (también llamado modelo "clásico") de inventarios
de materias primas requiere los siguientes supuestos:
* La tasa de demanda (consumo) de la materia prima es constante.
* Siempre se pide la misma cantidad "Q".
* La cantidad "Q" se entrega de una sola vez.
* EI tiempo de entrega del proveedor es conocido y constante.

• No hay faltantes ni sobrantes.
• No hay descuentos por cantidad.
• Independencia: la política de compras de un material no depende
de las políticas de los otros.
* No hay limitación de recursos (por ejemplo, dinero, espacio, etc.).

Estos supuestos no son totalmente independientes. Por ejemplo, para
que no haya faltantes ni sobrantes es necesario que la demanda sea
constante y que el tiempo de entrega sea conocido y constante; la
limitación de recursos en general provoca dependencia; etc..
Si todos estos supuestos se cumplen, las afirmaciones a continuación
son verdaderas:

El inventario en el modelo clásico se comporta como en la siguiente
figura:

EI costo de preparación anual (CPA), el costo de mantener anual (CMA)
y el costo total anual (CTA) se comportan como se ilustra en la Figura
siguiente

La política optima de compras puede determinarse simplemente
encontrando el valor "Qo" que minimiza el costo total anual e
ignorando los demás materiales.
CTA = CPA + CMA = (numero de pedidos)(Cp) + (inventario medio)(Cm)
CTA =(N)(Cp) + (Q/2)(Cm)
CTA = (D/Q)(Cp) + (Q/2)(Cm)
donde: D =demanda anual.
Cm = costo de mantener =$/unid.año.
Cp =costo de preparación = $/pedido.

El valor de "Q" que minimiza "CTA" se obtiene por derivación y lo
llamaremos "Qo“ (cantidad optima):

Ejemplo
Considerando que D=2,500 unid./año, Cm=$0.50/unid.año y
Cp=$10/pedido, determinar los parámetros del modelo clásico de
materias primas.

7.3 Modelo de inventario de producto terminado
EI modelo básico de materias primas puede ser fácilmente adaptado
para reflejar el comportamiento del inventario de un producto
terminado. De hecho, la única diferencia consiste en que, cuando se
fabrica el lote "Q", el inventario no se incrementa instantáneamente,
sino que crece gradualmente de cero a un nivel máximo "Imax" en un
tiempo de producción "Tp" con una tasa de crecimiento (P-D), donde
"P" es tasa de producción y "D" es tasa de demanda (ambas en
unid./unid. de tiempo).

Esta situación se ilustra en la siguiente figura

La consecuencia de que el inventario máximo sea "Imax" en vez de "Q",
como en el modelo básico de materias primas, es una pequeña
modificación en las formulas del modelo, que quedan así:

Considerando que P=20,000 unid./año, D=5,000 unid./año,
Cm=$0.20/unid.año y cp=$10/lote, determinar los parámetros
del modelo básico de productos terminados.

Debe resaltarse que en muchas situaciones "P" es mucho mayor que
"D", por lo que (1-D/P) ~ 1. Esto implica que, como aproximación, los
modelos de materias primas pueden utilizarse también para
productos terminados.

7.4 Modelos para materias primas con descuentos por cantidad
Cuando el precio de la unidad de materia prima cambia según la cantidad
comprada, el modelo de inventarios se complica un poco. Por
simplicidad, consideremos inicialmente un solo cambio de precio a partir
de una cantidad comprada "B" (usaremos la letra "B“ de "price break" en
vez de "C" de "cambio de precio", debido a que esta ultima letra la
estamos usando para "costo").
Tenemos básicamente 3 situaciones:

a) Si Q >= B el precio de todas las unidades compradas disminuye de
"K1" a "K2" y el costo de mantener Cm1=Fm.K1 baja a Cm2=Fm.K2.
En otras palabras, el costo de mantener una unidad es directamente
proporcional al precio.
Esta suposición será la mas realista cuando el costo del capital sea
muy grande en comparación con los demás rubros del costo de
mantener.

b) Si Q >= B, el precio de todas las unidades compradas disminuye de
"K1" a "K2", pero el costo de mantener permanece constante.
Esta suposición será la mas realista cuando el costo del capital sea
relativamente bajo.

Si Q>= B solo el precio de las unidades extras Q-B disminuye. Este
modelo también se llama "progresivo" y puede manejarse con
"Cm“ proporcional a "K" como en "a" o con "Cm“ constante como
en "b".

7.4.1 Modelo con costo de mantener proporcional al precio
Para analizar esta situación, lo primero que tenemos que hacer es
agregar a la formula de "CTA" un costo mas, que es el "costo de comprar
anual" (este costo no se considero antes porque no afectaba el valor
optimo de "Q"):
CCA = (demanda anual)(precio unitario) = (D)*(K)

El costo total anual queda así:
CTA = CPA + CMA + CCA = (D/Q)(Cp) + (Q/2)(Cm) + (D)(K)
Como Cm= (Fm)(K),escribimos:
CTA = (D/Q)(Cp) + (Q/2)(Fm)(K) + (D)(K).

En este modelo, "Q" es la única variable independiente y "K" depende de "Q", cambiando
bruscamente de "K1" a "K2" cuando Q>=B. Las 4 situaciones posibles se presentan en las
Figuras (a), (b), (c) y (d). A continuación, dependiendo de las 4 posiciones diferentes de
"B". En estas, la curva de arriba es:
CTAl = (D/Q)(Cp) + (Q/2)(Fm)(Kl) + (D)(Kl)
y la curva de abajo es:
CTA2= (D/Q)(Cp) + (Q/2)(Fm)(K2) + (D)(K2).

Ambas tienen la misma forma que la curva de "CTA" del modelo básico, pero están
ubicadas (D.K) mas arriba.
Es importante, antes de seguir adelante, que el lector verifique por su cuenta que
"CTA1“ siempre esta por arriba de "CTA2" y que el mínimo de "CTA1" esta a la
izquierda del mínimo de "CTA2".
Solo las partes gruesas de las curvas son validas, ya que "CTA2" no existe para Q<B y
"CTA1" no existe para Q>=B. El punto mas bajo de la línea gruesa indicara, en cada
situación, la solución optima.

En el caso de la Figura (a), podemos observar claramente que la cantidad
optima corresponde al punto mínimo de la curva "CTA2" y esta dada por:
Lo mismo ocurre en la Figura (b): " Qo,2 " sigue siendo optima. En otras
palabras, si " Qo,2 " esta a la derecha de "B" siempre será optima.

Veamos ahora las Figura (c) y (d). En (c) la solución optima es "B" y en (d) la solución
optima es "Qo,1" dada por:

Es decir, cuando "Qo,2" esta a la izquierda de "B", la solución optima puede
ser "Qo,1" o "B". La única manera de conocer la solución optima es
comparando los costos correspondientes a estas dos cantidades:

Dicho procedimiento puede ser fácilmente generalizado para "n"
cambios de precio (B1, B2, ... , Bn) con sus correspondientes (n+1)
precios diferentes (K1, K2, ... , Kn+1). Analicemos las Figuras (a), (b), (c) y
(d).
Empecemos con la Figura (a). Si hay "n" cambios de precio, habrá (n+1)
precios diferentes, de modo que la ultima curva tendrá que ser la
"CTAn+1".Si "Bn" es menor que "Qo,n+1", esta ultima será sin duda la
cantidad optima, ya que ningún otro punto de las (n+1) curvas podrá
estar mas abajo que el punto mínimo de la curva "CTAn+1"

Es importante observar que, en el caso de la Figura (a), si compramos
una cantidad "Qo,n+1",el proveedor nos cobrara el precio "Kn+1" (!los
índices coinciden!) y debido a esto diremos que la cantidad "Qo,n+1" es
compatible. Si a una cantidad cualquiera "Qo,i" no corresponde el precio
"Ki", diremos entonces que esta cantidad no es compatible.
Observemos, por ejemplo, la cantidad "Qo,n-1“ en la Figura (a). Si
compramos esta cantidad, el proveedor nos cobrara el precio "Kn" y por
lo tanto la cantidad "Qo,n-1“ no es compatible.

Analicemos ahora la Figura (b). Si "B," es mayor que "Qo,n+1",como se
muestra en esta Figura, entonces dicha cantidad no seria compatible y
al mismo tiempo no podríamos decir cual seria la cantidad optima, ya
que los costos "CTABn" y "CTAo,n" están compitiendo;
consecuentemente, tenemos que compararlos para determinar si la
cantidad optima es "Bn" o "Qo,n".

Por otro lado, debemos observar que "Qo,n“ si es compatible y por lo tanto
cuando "Qo,n+l“ resulta no compatible y "Qo,n“ resulta compatible, tenemos
que comparar los costos "CTABn"y "CTAo,n“ para poder llegar a una
decisión final.

Observemos ahora la Figura (c). "Qo,n+1"y "Qo,n“ no son compatibles y "Qo,n-
1“ si es compatible. La grafica muestra que los costos "CTAo,n-1","CTABn-1"y
"CTABn“ están compitiendo y que es indispensable compararlos para poder
determinar la cantidad oóptima.

Finalmente, observemos la Figura (d). La única cantidad compatible es
"Qo,n-2“ y puede observarse también que para resolver el problema
debemos comparar "CTAo,n-2", "CTABn-2","CTABn-1"y "CTABn".

De lo expuesto anteriormente, podemos entonces afirmar que un
procedimiento general para resolver problemas con "n" cambios de
precio, es el siguiente:
a) Calcular "Qo,n+1"y verificar si es compatible. Si es compatible, esta será
la cantidad optima. Si "Qo,n+1"no es compatible, pasar al inciso "b".
b) Calcular "Qo,n"y verificar si es compatible. Si es compatible, comparar
"CTAo,n“ con "CTABn"; el menor costa indicara cual es la cantidad optima. Si
"Qo,n" no es compatible, pasar al inciso "c".

c) Calcular "Qo,n-1"y verificar si es compatible. Si es compatible,
comparar "CTAo,n-1", "CTABn-1"y "CTABn" (debe observarse que se
compara "CTAo,n-1"con los costos correspondientes a todas las "Bi"
que están a la derecha y que la primera "B," tiene exactamente el
mismo sub-indice que "CTAo,n-1",es decir, el sub-indice (n-1)). Como
en el inciso "b", el menor de estos tres costos indicara cual es la
cantidad optima. Si "Qo,n-1"no es compatible, pasar al inciso "d".

d) Seguir calculando las demás cantidades "Qo,n-2","Qo,n-3",etc., hasta
que se encuentre una cantidad compatible "Qo,i". Comparar entonces
"CTAo,i“ con los costos "CTABi", "CTABi+1", ... , "CTABn".El menor costa
indicara la cantidad optima.

Ejemplo
Un proveedor tiene la siguiente política de descuentos para una
determinada materia prima:
Q < 500 unid. K1 = $10.00/unid.
500<=Q < 1,000 unid. K2= $9.00/unid.
1,000 <= Q <2,000 unid. K3= $8.00/unid.
Q >= 2,000 unid. K4= $7.50/unid
.Determinar el tamaño optimo de pedido suponiendo que
Cp=$300/pedido, Fm=25%/año y D=5,000 unid/año, Considerar que el
costo de mantener es proporcional al precio.

7.4.1 Modelo con costo de mantener constante
Cuando el costo de mantener "Cm“ es constante las curvas
correspondientes a los "CTAi" serán "concéntricas", es decir, todas
pasaran por el mínimo en una misma cantidad "Qo,i" dada por (véase la
siguiente Figura.

No habrá ninguna otra diferencia, por lo que podemos seguir
aplicando el mismo procedimiento. Debemos recordar, sin embargo,
que para todos los "CTAi" el costo de mantener "Cm“ será el mismo.

Un proveedor tiene la siguiente política de descuentos:
Q<200unid. K1 = $20.00/unid.
200 <=Q < 800 unid. K2= $15.00/unid
800 <=Q < 1,500 unid. K3= $12.00/unid.
Q >= 1,500 unid. K4 = $10.00/unid.
Considerando un costo de mantener constante, determinar el tamaño
optimo de pedido suponiendo que Cp=$400/pedido, Cm=$8 unid/año y
D=10,000 unid/año.

7.4.1 Modelo con descuentos progresivos
Como mencionamos anteriormente, en el modelo progresivo tenemos un
precio "K1" para las primeras "B1-1" unidades; las siguientes "B2-B1"
unidades cuestan "K2"; y así sucesivamente. Por ejemplo, supongamos
que B1=100, B2=200, B3=300 y compramos Q=250. Las primeras 99 serán
cobradas a "K1"; las siguientes 100 serán cobradas a "K2“ y las siguientes
51 serán cobradas a "K3".

El comportamiento de los costos se ilustra en la Figura a continuación.
Observando la siguiente Figura el lector debe recordar que la línea
"CTA1" es valida solo de cero a "B1"; la línea "CTA2" es valida solo de
"B1" a "B2"; etc.. Por lo tanto, algunas "Qo,i" serán compatibles y otras
no. La "Qo,i" compatible que conduzca al costa total anual mínimo es
optima.

Fig a. Modelo con descuento progresivo

Analizaremos el modelo con costo de mantener constante por ser
mucho mas sencillo, proporcionando la ecuación matemática de las
líneas "CTAi", el punto mínimo de estas y la condición de optimalidad.
Si hay 3 "Bi" (cambios de precio), como en la Figura anterior, hay 4
rangos de precio diferentes:

Resumiendo, el procedimiento para el modelo progresivo es el
siguiente:
a) Calcular todas las "Qo,i" .
b) Verificar cuales "Qo,i" son compatibles.
c) Calcular los "CTAo,i" solo de las "Qo,i" compatibles.
d) EI minimo "CTAo,i" identificara la "Qo,i" optima

Ejemplo
Supongamos que el proveedor tiene la siguiente política de descuentos:
Las primeras 499 unidades, a K1=$10.00.
Las siguientes 500 unidades, a K2 = $9.00.
Las siguientes 4,000 unidades, a K3 = $8.00.
Las siguientes, a K4= $7.50.
En otras palabras, tenemos B1=500, B2=1,000, B3=5,000. Además
tenemos que D=5,000 unid/año, Cp=$300/pedido y Cm=$2.50/unid/año.
Determinar la cantidad optima a comprar.

Solución
Para empezar recordemos que B‘1=499, B'2=999 y B'3=4,999. Las
cantidades "Qo,i" son las siguientes:

7.5 Modelo para productos terminados múltiples
Cuando una empresa utiliza el mismo equipo (o grupo de equipos)
para la fabricación de varios productos terminados, no siempre es
posible calcular los lotes óptimos usándose la formula:

Esto se debe al hecho de que obtendríamos lotes óptimos Qo,1 Qo,2, ... Qo,n
que no necesariamente serian factibles de fabricarse sin que se agotaran
las existencias de uno o mas de ellos. En otras palabras, podría darse el
caso de que los productos fueran fabricándose en forma secuencial y el
inventario del producto "i" se agotara antes de que se completara un ciclo
y se volviera a fabricarlo. En este caso, será necesario fabricar lotes
diferentes de los lotes "óptimos" calculados con la formula que se
encuentra arriba (la palabra “óptimos" esta entre comillas porque si no son
factibles dejan de ser optimos).

Cuando hay problemas de agotamiento de existencias antes de que se
complete un ciclo, el procedimiento alternativo es determinar un
numero de ciclos al año único para todos los productos y con base en
este determinar nuevas cantidades. Si el numero de ciclos es optimo
(No) las nuevas cantidades también serán optimas.
A continuación deducimos la formula que nos proporciona "No":

Ejemplo
Determinar las cantidades optimas factibles de tres productos
terminados con base en la siguiente información:

Que es un Modelo de inventario de periodo único?
Es un modelo que se basa en decisiones de compra única diseñada para cubrir un
periodo fijo y la pieza no se va a volver a pedir.
Explique en que situaciones se puede aplicar el modelo de inventario de periodo
único?
1. Reservaciones adicionales para vuelos. Es común que los clientes cancelen las
reservaciones de un vuelo por diversas razones. En este caso, el costo de
subestimar (Cu) es una perdida de ganancias debido a un asiento vacio en un vuelo.

único?
El costo de sobrestimar (Co) las cancelaciones es la compensación con vuelos gratis
o pagos en efectivo a los clientes cuando no pueden abordar el avión.
2 Pedidos de artículos de moda. Un problema para un minorista que vende
artículos de moda es que a menudo solo es posible hacer un pedido para toda la
temporada. El Cu es la ganancia perdida debido a las no ventas realizadas. El Co es
el costo que resulta cuando se vende con descuento.

único?
3. Todo tipo de pedido único. Dos ejemplos son pedir camisetas para un acto
deportivo e imprimir mapas que se vuelven obsoletos después de cierto tiempo.

Ejemplo 1.
Una persona que vende periódicos en un puesto determinado recopilo información
durante algunos meses y se dio cuenta de que, en promedio, cada martes se
venden 85 periódicos con una desviación estándar de 8. Si el voceador paga 5
C$/periódico y lo vende a C$8. Calcule el nivel de inventario optimo, mediante un
análisis marginal

Ejemplo 2.
Cuando un hotel está totalmente reservado, el número de cancelaciones de último
momento tiene una media de 6 y una desviación estándar de 2. La tarifa por
habitación promedio es de $80. Cuando el hotel tiene un exceso de reservaciones y
se presenta un cliente con reservación la política es buscarle una habitación en un
hotel cercano y pagar la habitación, por lo general, esto le cuesta al hotel, más o
menos $200, pues la habitaciones contratadas de último momento son costosas.
Cuantas habitaciones debe reservar en exceso el hotel?

Ejemplo 3.
Para los datos del problema anterior, considere que se recopilo información y que
la distribución de los clientes que no llegaron es la siguiente:
Cantidad de
cancelaciones
probabilidad Probabilidad acumulada
0 0.05
1 0.08
2 0.1
3 0.15

Cantidad de cancelaciones probabilidad Probabilidad acumulada
4 0.2
5 0.15
6 0.11
7 0.06
8 0.05
9 0.04
10 0.01
Calcule el número de habitaciones que debe reservar en exceso el
hotel, utilizando el método de la distribución de probabilidad discreta

7.7 Sistema de inventarios de varios periodos
Cuales son los dos tipos generales de sistemas de inventarios de varios periodos?
1. Los modelos de cantidad de pedido fija (EOQ o modelo Q)
2. Los modelos de periodo fijo (sistema periódico, sistema de revisión periódica,
sistema de intervalo fijo y modelo P)

Para que se diseñan los sistemas de inventarios de varios periodos?
Para garantizar la disponibilidad de una pieza todo el año. Por lo general, la pieza se
pide varias veces en el año, la lógica del sistema indica la cantidad real pedida y el
momento del pedido.

Cual es la distinción fundamental entre el modelo Q y el modelo P?
El modelo Q se basa en sucesos, este inicia un pedido cuando ocurre el acto de
llegar a un nivel especifico en el que es necesario volver a hacer un pedido. Este
acontecimiento puede presentarse en cualquier momento, según la demanda de
las piezas consideradas.
El modelo P se limita a hacer pedidos al final de un periodo determinado, el
modelo se basa solo en el paso del tiempo.

Cuales son algunas diferencias adicionales que tienden a influir en la elección de
entre el modelo Q y el modelo P?
El modelo p tiene un inventario promedio mas numeroso porque también debe
ofrecer una protección contra faltantes durante el periodo de revisión, T ; el
modelo Q no tiene periodo de revisión.
El modelo Q favorece las piezas mas caras porque el inventario promedio es mas
bajo.

Cuales son algunas diferencias adicionales que tienden a influir en la elección de
entre el modelo Q y el modelo P?
El modelo q es mas apropiado para las piezas importantes o indispensables, pues
hay una supervisión mas estrecha y por tanto una respuesta mas rápida ante la
posibilidad de carecer de unidades.
El modelo Q requiere mas tiempo para su mantenimiento porque se registra cada
adición y retiro.

Cuales son las características del modelo Q y del modelo P?
Característica Modelo Q Modelo P
Cantidad de pedido Q, constante (siempre se pide la misma cantidad Q, variable (varia cada vez que se
hace un pedido)
Donde hacerlo R, cuando la posición del inventario baja al nivel
de volver a pedir
T, cuando llega el periodo de
revisión
Registros Cada vez que se realiza un retiro o una adición Solo se cuenta en el periodo de
revisión
Tamaño del inventario Menos que el modelo de periodo fijo Mas grande que el modelo Q
Tiempo para
mantenerlo
Mas alto debido a los registros perpetuos
Tipo de pieza Piezas de precio mas alto, críticos o importante

7.7.1 Modelo Q o cantidad de pedido fija
Cual es el objetivo del modelo Q?
Determinar el punto especifico R en que se hará un pedido, así como su tamaño Q.
el punto de pedido R siempre es un numero especifico de unidades. Se hace un
pedido de tamaño Q cuando el inventario disponible llega al punto R.
Como se define la posición del inventario?
Como la cantidad disponible mas la pedida menos los pedidos acumulados.

Cuales son las características del modelo básico Q?
 La demanda del producto es constante y uniforme durante todo el periodo
 El tiempo de entrega (tiempo para recibir el periodo) es constante
 El precio por unidad es constante
 El costo por mantener el inventario se basa en el inventario promedio
 Los costos de pedido o preparación son constantes
 Se van a cubrir todas las demandas del producto (no se permiten pedidos
acumulados)

Cual es la ecuación de costo del modelo Q?
Costo anual total= costo de compra anual + costo de pedidos anual + costo de mantener
anual.
TC=DC+(D/Q)S+(Q/2)H
Tc = costo total anual Q = cantidad por pedir (la cantidad optima se conoce
como EOQ o Qopt)
D= demanda anual S= costo de preparación o costo de hacer un pedido
C = costo por unidad H= costo anual de mantenimiento, a menudo H=ic, donde i es
el porcentaje del costo de manejo)

Cual es la ecuación de Qopt y de R?
Qopt =
2𝐷𝑠
ℎ
R= dL, donde
d = demanda diaria promedio (constante)
L = tiempo de entrega en días (constante)

Encuentre el EOQ y R, dados
Demanda anual (D) = 1000 unidades
Demanda promedio diaria (d) = 1000/365
Costo de pedido (s) = 5 dólares por pedido
Costo de mantenimiento (H)= 1.25 dólares por unidad al ano
Tiempo de entrega (L) = 5 días
Costo por unidad (c) = 12.5 dólares

Solución
𝑄 = (2 ∗ 1000 ∗
5)
1.25
= √8000= 89.4 unidades
R= 1000/365 * (5) = 13. 7 unidades
Tc= (1000*12.5)+(1000/89.4)*5+(89.4/2)*1.25= $12611.81
Política de inventario
Cuando la posición del inventario baja a 14 unidades se debe hacer un pedido de
89 piezas mas.

Que es el inventario de seguridad?
Se define como las existencias que manejan además de la demanda esperada.
En que consiste el enfoque de probabilidad?
Consiste en calcular la probabilidad de quedarse sin inventario, no la cantidad de
unidades faltantes.

7.7.1 Modelo Q o cantidad de pedido fija con inventarios de seguridad
Un sistema de cantidad de pedido fija vigila en forma constante el nivel del
inventario y hace un pedido nuevo cuando las existencias alcanzan cierto nivel, R.
Cuando ocurre el peligro de tener un faltante en el modelo q con inventarios de
seguridad?
Ocurre solo durante el tiempo de entrega, entre el momento de hacer un pedido y
su recepción

Como se muestra en la figura anterior se hace un pedido cuando la posición del
inventario baja al punto de volver a pedir, R. Durante este tiempo de entrega, L, es
posible que haya gran variedad de demandas. Esta variedad se determina a partir
de un análisis de los datos sobre la demanda pasada o de un estimado (en caso de
no contar con información sobre el pasado).

El inventario de seguridad depende del nivel de servicio deseado, como ya se vio.
La cantidad que se va a pedir, Q, se calcula de la manera normal considerando la
demanda, el costo de faltantes, el costo de pedido, el costo de mantenimiento, etc.

Cual es la diferencia básica entre un modelo q en el que se conoce la demanda y
otro en el que la demanda es incierta?
Radica en el calculo del punto de reorden.
Modelo q demanda conocida, R= dL
Modelo q demanda incierta, R=dL+zσ
R = punto de reorden en unidades
d = demada diaria promedio
L = tiempo de entrega en dias (tiempo transcurrido entre hacer y recibir el pedido)

Cual es la diferencia básica entre un modelo q en el que se conoce la demanda y otro en
el que la demanda es incierta? Como se calcula R en cada caso
Radica en el calculo del punto de reorden.
Modelo q demanda conocida, R= dL
Modelo q demanda incierta, R=dL+zσ
Z = numero de desviaciones estandar para una probabilidad de servicio especifica
σ = desviacion estandar del uso durante el tiempo de entrega
La cantidad de pedido es la misma en ambos casos.

Como se representa el inventario de seguridad?
zσ
Ejemplo punto de reorden
Considere un caso de cantidad económica de pedido en el que la demanda anual
=1000 unidades, EOQ = 200 unidades, probabilidad deseada de que el inventario
no se agote p = 0.95, desviación estándar de la demanda durante el tiempo de
entrega σL=25 unidades y tiempo de entrega L=15 días. Determine el punto de
reorden. Suponga que la demanda es sobre un ano de 250 días hábiles.

Solución
d = 1000/250 = 4 y L = 5 días
R = dL+zσL
R = 4*5 + (1.64*25)
R = 101
Esto indica que, cuando el inventario disponible baje a 101 unidades, es necesario
pedir 200 mas.

Ejemplo
La demanda diaria de cierto producto tiene una distribución normal con una media
de 60 y una desviación estándar de 7. la fuente de suministro es confiable y
mantiene un tiempo de entrega constante de seis días. El costo de hacer el pedido
es de $10 y los costos de mantenimiento anuales son de $0.5 por unidad. No hay
costos por faltantes y los pedidos no cubiertos se cubren tan pronto como llega el
pedido. Suponga que las ventas ocurren durante los 365 días del año. Encuentre la
cantidad de pedido y el punto de reorden para satisfacer una probabilidad de 95%
de que el inventario no se agote durante el tiempo de entrega.

7.7.2 Modelo P
En un sistema de periodo fijo, el inventario se cuenta sólo en algunos
momentos, como cada semana o cada mes.
Es recomendable contar el inventario y hacer pedidos en forma
periódica en situaciones como cuando los proveedores hacen visitas de
rutina a los clientes y levantan pedidos para toda la línea de productos
o cuando los compradores quieren combinar los pedidos para ahorrar
en costos de transporte.

7.7.2 Modelo P
Los modelos de periodo fijo generan cantidades de pedidos que varían
de un periodo a otro, dependiendo de los índices de uso.
Por lo general, para esto es necesario un nivel más alto de inventario de
seguridad que en el sistema de cantidad de pedido fija

7.7.2 Modelo P
El sistema de cantidad de pedido fija supone el rastreo continuo del
inventario disponible y que se hará un pedido al llegar al punto
correspondiente. En contraste, los modelos de periodo fijo estándar
suponen que el inventario sólo se cuenta en el momento específico de
la revisión.

7.7.2 Modelo P
Es posible que una demanda alta haga que el inventario llegue a cero
justo después de hacer el pedido. Esta condición pasará inadvertida
hasta el siguiente periodo de revisión; además, el nuevo pedido tardará
en llegar. Por lo tanto, es probable que el inventario se agote durante
todo el periodo de revisión, T, y el tiempo de entrega, L.

7.7.2 Modelo P
Por consiguiente, el inventario de seguridad debe ofrecer una
protección contra las existencias agotadas en el periodo de
revisión mismo, así como durante el tiempo de entrega desde
el momento en que se hace el pedido hasta que se recibe.

7.7.2 Modelo P

7.7.2 Modelo Periodo fijo con inventarios de seguridad
En un sistema de periodo fijo, los pedidos se vuelven a hacer en el
momento de la revisión (T), y el inventario de seguridad que es
necesario volver a pedir es
Inventario de seguridad = zσT + L

La cantidad a pedir, q, es

donde
q = Cantidad a pedir
T = El número de días entre revisiones
L = Tiempo de entrega en días (tiempo entre el momento de hacer un pedido y
recibirlo)
d= Demanda diaria promedio pronosticada
z = Número de desviaciones estándar para una probabilidad de servicio específica
σT + L = Desviación estándar de la demanda durante el periodo de revisión y entrega
I = Nivel de inventario actual (incluye las piezas pedidas)

Ejemplo
La demanda diaria de un producto es de 10 unidades con una desviación estándar de 3
unidades. El periodo de revisión es de 30 días y el tiempo de entrega de 14 días. La gerencia
estableció la política de cubrir 98% de la demanda con las existencias. Al principio de este
periodo de revisión, hay 150 unidades en el inventario.
¿Cuántas unidades se deben pedir?

Referencias Bibliográficas
Chase, R; Jacobs, F.R. & Aquilano, N. (2009). Administracion de
operaciones, producción y cadena de suministro. McGrawHill, México.
Chase, R & Jacobs, F.R. (2014). Administracion de Operaciones,
producción y cadena de suministro. McGrawHill, México.
De Holanda, R. (2003). Administracion de Operaciones. Temas selectos,
Aplicaciones y un caso de estudio. ITESM, México.

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