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• Físico: Galarza Espinoza. 
• moisesperu15@gmail.com
F  ky 
F bv b  
ma   ky  
bv 
 
F  ma 
0 
0 
d y 
d y 
d y 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
   
dy 
b 
dy 
   
y 
k 
dy 
b 
   
m 
dt 
m 
dt 
ky 
dt 
dt 
m 
dt 
ky b 
dt 
m
 
 ma F 
0 
k 
dy 
b 
b 
   
2 
y 
dy 
2 0 
d y 
d y 
2 0 
2 
2 
2 
   
dt 
dt 
y 
m 
dt 
m 
dt 
  
2  
m
• Haciendo un cambio de variable: 
y z e t   
dy dz 
    
   d y dz 
d z 
dz 
              2 
  t t t t e z e 
dt 
dt 
e 
dt 
e 
dt 
2 
2 
2 
2 
t t z e 
dt 
e 
dt
• Reemplazando en: 
dy 
2 0 2 
d x 
2 0 
 2 2  0 
d z 
2 0 
2 
  z  
dt 
  
2 
  y  
dt 
dt 
  
• Tenemos: 
2    
2 2 
0 
0 2 
d z 
2 
2 
 z  
dt 

• Es un M.A.S: 
0 2 
d z 
2 
2 
 z  
dt 
 
   
• Analicemos : 2 
• Analicemos cuando: 
2 2 
0 
  
2 2 
0 
2 
    
 
    
 
caso a 
2 2 
0 
2 2 
1 0 
: 
  
 
: 
 
0 
caso b 
 
2 2 
0 
  
 
2 2 
0 
: 
    
 
caso c 
2 2 
0 
  
 
i
2 2 
0 • Caso a:        
0 z  ACos  t   2 
d z 
2 
2 
 z  
dt 
 
• Recordando: 
t y z e   
• Nuestra solución será: 
       y Ae Cos t t 
2 2 
1 0
0 2 
d z 
2 
2 
 z  
dt 
 
2 2 
0 
    
 
2 2 
0 
2 
    
 
2 
 
T  
k 
 2 
0  
m 
2 
2 
2 
b 
b 
    
m 
2 4m 
2 
2 
b 
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2 
m 
k 
m 
T 
 
 

       y Ae Cos t t 
t Amplitud Ae  
0 2 
d z 
2 
2 
 z  
dt 
 
0 2 2 
0      
• La ecuación se reduce a: 
t y z e   
• Caso b: 
d z 
0 2 
2 
 
dt
• Operando: 
z d 
0 2 
2 
 
dt 
z  ct  B 
t y ze   
  t y B ct e    
• Recordando: 
• La solución :
y ze t   
  t y B ct e   
2 2 
0 
• Caso c: 
      i 1 
0 2 
d z 
2 
2 
 z  
dt 
• La ecuación se reduce a: 
0 2 
d z 
2 
2 
 z  
dt 

• Operando: 
d z 
2 
2 
 z  
dt 
 
z e t   
t y ze   
0 2 
• Probando con: 
t z e   
• La combinación también cumplirá: 
t t z e e     
• Solución general: 
t t z Be Ce    
• De la solución general: 
t t z Be Ce     
• recordando: 
y ze t   
• Solución buscada: 
t  t t  y e Be Ce     
t  t t  y e Be Ce     
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  • 1. • Físico: Galarza Espinoza. • moisesperu15@gmail.com
  • 2.
  • 3. F  ky F bv b  
  • 4. ma   ky  bv  F  ma 0 0 d y d y d y 2 2 2 2 2 2    dy b dy    y k dy b    m dt m dt ky dt dt m dt ky b dt m
  • 5.   ma F 0 k dy b b    2 y dy 2 0 d y d y 2 0 2 2 2    dt dt y m dt m dt   2  m
  • 6. • Haciendo un cambio de variable: y z e t   dy dz        d y dz d z dz               2   t t t t e z e dt dt e dt e dt 2 2 2 2 t t z e dt e dt
  • 7. • Reemplazando en: dy 2 0 2 d x 2 0  2 2  0 d z 2 0 2   z  dt   2   y  dt dt   • Tenemos: 2    2 2 0 0 2 d z 2 2  z  dt 
  • 8. • Es un M.A.S: 0 2 d z 2 2  z  dt     • Analicemos : 2 • Analicemos cuando: 2 2 0   2 2 0 2           caso a 2 2 0 2 2 1 0 :    :  0 caso b  2 2 0    2 2 0 :      caso c 2 2 0    i
  • 9. 2 2 0 • Caso a:        0 z  ACos  t   2 d z 2 2  z  dt  • Recordando: t y z e   • Nuestra solución será:        y Ae Cos t t 2 2 1 0
  • 10. 0 2 d z 2 2  z  dt  2 2 0      2 2 0 2      2  T  k  2 0  m 2 2 2 b b     m 2 4m 2 2 b 4 2 m k m T   
  • 11.        y Ae Cos t t t Amplitud Ae  
  • 12. 0 2 d z 2 2  z  dt  0 2 2 0      • La ecuación se reduce a: t y z e   • Caso b: d z 0 2 2  dt
  • 13. • Operando: z d 0 2 2  dt z  ct  B t y ze     t y B ct e    • Recordando: • La solución :
  • 14. y ze t     t y B ct e   
  • 15. 2 2 0 • Caso c:       i 1 0 2 d z 2 2  z  dt • La ecuación se reduce a: 0 2 d z 2 2  z  dt 
  • 16. • Operando: d z 2 2  z  dt  z e t   t y ze   0 2 • Probando con: t z e   • La combinación también cumplirá: t t z e e     • Solución general: t t z Be Ce    
  • 17. • De la solución general: t t z Be Ce     • recordando: y ze t   • Solución buscada: t  t t  y e Be Ce     
  • 18. t  t t  y e Be Ce     