El documento explica las tres leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas. La primera ley establece que los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, que se encuentra en uno de los focos de la elipse. La segunda ley indica que los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales a medida que se mueven. Y la tercera ley establece que el cuadrado del período de revolución de cada planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol.

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA<br />REALIZADO POR: Mayra Tatiana Dávila Rivera<br />CARRERA: Bioquímica y Farmacia “A”<br />ASIGNATURA: Matemática.<br />PROYECTO DE MATEMÁTICAS PARA LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS<br />Tema<br />Uso de las elipses para explicar el movimiento de los planetas<br />Objetivo<br />Explicar mediante las elipses como se da el movimiento de los planetas y comprobar que las teorías planteadas por el astrologo Johannes Kepler (1571 - 1630) son certeras <br />Introducción<br />Más de mil años después de que los griegos definieran las secciones cónicas, en la época del Renacimiento, el astrónomo polaco Nicholas Copérnicus (1473 - 1543), en su obra: Sobre las revoluciones de las esferas celestes, sostenía que todos los planetas, incluso la Tierra, giraban en órbitas circulares alrededor del Sol.<br />Aunque muchas de las afirmaciones de Copérnico no eran válidas la controversia provocada por su teoría heliocéntrica empujó a los astrónomos a buscar un modelo matemático que explicará los movimientos de los planetas y el Sol.<br /> El primero en hallarlo fue el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571 - 1630).Kepler descubrió que los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, con el Sol colocado no en el centro sino en uno de los focos. El uso de las elipses para explicar el movimiento de los planetas es tan sólo una de sus diversas aplicaciones.<br />Johannes Kepler (, Alemania, 27 de diciembre de 1571 - Ratisbona, Alemania, 15 de noviembre de 1630), figura clave en la revolución científica, astrónomo y matemático alemán; fundamentalmente conocido por sus leyes sobre el movimiento de los planetas sobre su órbita alrededor del sol . Fue colaborador de Tycho Brahe, a quien sustituyó como matemático imperial de Rodolfo II.<br />LEYES DE KEPLER<br />Durante su estancia con Tycho le fue imposible acceder a los datos de los movimientos aparentes de los planetas ya que Tycho se negaba a dar esa información. Ya en el lecho de muerte de Tycho y después a través de su familia, Kepler accedió a los datos de las órbitas de los planetas que durante años se habían ido recolectando. Gracias a esos datos, los más precisos y abundantes de la época, Kepler pudo ir deduciendo las órbitas reales planetarias. Afortunadamente, Tycho se centró en Marte, con una elíptica muy acusada, de otra manera le hubiera sido imposible a Kepler darse cuenta de que las órbitas de los planetas eran elípticas. Inicialmente Kepler intentó el círculo, por ser la más perfecta de las trayectorias, pero los datos observados impedían un correcto ajuste, lo que entristeció a Kepler ya que no podía saltarse un pertinaz error de ocho minutos de arco. Kepler comprendió que debía abandonar el círculo, lo que implicaba abandonar la idea de un quot;
mundo perfectoquot;
. De profundas creencias religiosas, le costó llegar a la conclusión de que la tierra era un planeta imperfecto, asolado por las guerras, en esa misma misiva incluyó la cita clave: quot;
Si los planetas son lugares imperfectos, ¿por qué no deben de serlo las órbitas de las mismas?quot;
. Finalmente utilizó la fórmula de la elipse, una rara figura descrita por Apolonio de Pérgamo una de las obras salvadas de la destrucción de la biblioteca de Alejandría. Descubrió que encajaba perfectamente en las mediciones de Tycho.<br />Había descubierto la primera ley de Kepler:<br />Los planetas en su desplazamiento alrededor del Sol describen elipses, con el Sol ubicado en uno de sus focos.<br />Debe tenerse en cuenta que las elipses planetarias son muy poco excéntricas (es decir, la figura se aparta poco de la circunferencia) y la diferencia entre las posiciones extremas de un planeta son mínimas (9). La Tierra, por ejemplo, en su mínima distancia al Sol se halla a 147 millones de km, mientras que en su máxima lejanía no supera los 152 millones de km.<br />2) La segunda ley, puede expresarse como:<br />Las áreas barridas por el segmento que une al Sol con el planeta (radio vector) son proporcionales a los tiempos empleados para describirlas.<br />Esta ley implica que el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales; esto indica que la velocidad orbital es variable a lo largo de la trayectoria del astro siendo máxima en el perihelio y mínima en el afelio (10). Por ejemplo, la Tierra viaja a 30,75 km/seg en el perihelio y quot;
rebajaquot;
a 28,76 en el afelio.<br />3) La tercera ley, finalmente, dice que:<br />El cuadrado del período de revolución de cada planeta es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol.<br />La tercera ley permite deducir que los planetas más lejanos al Sol orbitan a menor velocidad que los cercanos; dice que el período de revolución depende de la distancia al Sol.<br />Pero esto sólo es válido si la masa de cada uno de los planetas es despreciable en comparación al Sol. Si se quisiera calcular el período de revolución de astros de otro sistema planetario, se debería aplicar otra expresión comúnmente denominada tercera ley de Kepler generalizada. <br />Esta ley generalizada tiene en cuenta la masa del planeta y extiende la tercera ley clásica a los sistemas planetarios con una estrella central de masa diferente a la del Sol.<br />Que es una elipse?<br />Una elipse es el conjunto de puntos (x,y) cuya suma de distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es constante. <br />La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.<br />Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.<br />Metodología.<br />En la primera ley determino que:<br />Los planetas tienen movimientos elípticos alrededor del Sol, estando éste situado en uno de los 2 focos que contiene la elipse.<br />Al estar situados los focos en el eje mayor entre el centro y los vértices, siempre se tiene que:<br />Es decir, las elipses tienen una excentricidad menor a uno. <br />Para una elipse casi circular, los focos están cerca del centro y es pequeño. <br />Para una elipse alargada los focos están cerca de los vértices y es casi . <br />Esto explica la dificultad de los astrónomos en detectar las órbitas elípticas de los planetas, pues estas tienen los focos muy cerca de su centro, lo cual las hace casi circulares. La siguiente tabla muestra la excentricidad de las órbitas de los nueve planetas y la Luna. <br />La segunda ley dice:<br />Las áreas barridas por el segmento que une al Sol con el planeta (radio vector) son proporcionales a los tiempos empleados para describirlas.<br />En matemática la excentricidad es la razón de c a a. Entre más grande sea c, comparada con a, los focos están más lejos del centro.<br />En cualquier elipse, a > c ≥ 0. Dividiendo esta desigualdad entre a se obtiene que 0 ≤e <1 entonces la excentricidad de una elipse está entre 0 y 1<br />Tercera ley indica:<br />El cuadrado del período de revolución de cada planeta es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol.<br />T2a3=k<br />T= Periodo orbital, tiempo que tarda cada planeta en dar una vuelta alrededor del sol.<br />a= Distancia media del planeta con el sol<br />Conclusión. <br />Las leyes de kleper efectivamente comprueban que movimiento planetario describe elipses y además Las tres leyes de Kepler, las cuales describen la relación matemática entre el periodo de revolución de un planeta y su distancia desde el Sol, pueden ser usadas para encontrar la distancia relativa de los otros planetas al Sol probablemente para medir cuanto les toma a éstos planetas orbitar el Sol.<br />Bibliografía:<br /> Comellas J. (1983). Astronomía. Editorial Rialp. Tercera Edición. Pág. 456-457 <br /> Sagan C. (1980). Cosmos. Editorial Planeta. Primera edición. Pág. 341 <br /> Bakulin,et al. (1987). Curso de Astronomía general. Editorial MIR. Tercera reimpresión. . Pág. 386<br /> Asimov I. (1984). De Saturno a Plutón. Alianza Editorial. Sexta Edición. Pág. 230<br /> Comellas J.et al. (1985). El cometa Halley. Salvat Editores. Cuarta edición. Pág.362 <br /> Heintz W. (1968). El mundo de los planetas. Ediciones Iberoamericanas. Segunda edición. Pág. 312 <br /> Asimov I. (1982). quot;
Investigación y Cienciaquot;
. Editorial Prensa Científica. Séptima edición. Pág. 498<br /> Moore P. (1982).Guía de las Estrellas y los Planetas. Ediciones Folio. Quinta edición. Pág. 563.<br />  Tortosa L. (2008). Introducción a la geometría analítica. Torres Gosálvez Ediciones. Primera Edición. Pág. 460. <br /> Berdugo I. (2007). Geometría analítica para la distensión. Asociación Cultural Tántalo. Primera Edición. Pág. 100. <br /> Martín P. (2007). Notas de geometría analítica. PREMIR Oposiciones Médicas S.L. Pág. 163..<br />