El método de las dos fases es una variante del algoritmo simplex que resuelve problemas de programación lineal en dos etapas. La primera fase minimiza las variables artificiales para determinar si existe una solución factible. Si la función objetivo es cero, se procede a la segunda fase que elimina las variables artificiales y resuelve el problema original usando simplex tradicional.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTÍN - TARAPOTO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN
MÉTODOS CUANTITATIVOS
Docente: Dra. Elia Anacely Córdova
Calle
2022

2. METODO DE LAS DOS FASES
El Método de las Dos Fases es una variante del Algoritmo simplex, que es
usado como alternativa al Método de la Gran M, donde se evita el uso de la
constante M para las variables artificiales. Se puede resumir así:
Fase Uno:
Minimizar la suma de las variables artificiales del modelo. Si el valor de la Z
óptima es cero, se puede proseguir a la Fase Dos, de lo contrario el
problema no tiene solución.

3. Fase Dos:
Con base en la tabla óptima de la fase uno, se elimina de las
restricciones las variables artificiales, y se reemplaza la función
objetivo, por la función objetivo original y se resuelve a partir de ahí,
con el método Simplex tradicional.

4. ¿Porque existe el método Simplex de 2 fases?
La desventaja de la técnica M es el posible error de cómputo que podría
resultar de asignar un valor muy grande a la constante M. Esta situación
podría presentar errores de redondeo en las operaciones de la computadora
digital. Para evitar esta dificultad el problema se puede resolver en 2 fases.
Éste método difiere del Simplex en que primero hay que resolver un
problema auxiliar que trata de minimizar la suma de las variables artificiales.
Una vez resuelto este primer problema y reorganizar la tabla final, pasamos
a la segunda fase, que consiste en realizar el método Simplex normal.

5. Algoritmo para la aplicación del método de 2 fases
¿Aparecen Var. Art?
Método Simplex
Método 2 Fases
Construimos Primera Tabla
Cumple Parada
Elegir Variable Entrante
Elegir Variable que Sale
Actualizar Tabla
Construimos tabla
para minimizar
suma de Var. Artificiales
Cumple Parada
Elegir Variable Entrante
Elegir Variable que Sale
Actualizar Tabla
F.Objetivo=0
Eliminar Columnas
de Var. Artificiales
No existe Solución
Dar resultado
SI
NO
SI
NO
SI
NO
SI NO

6. Reglas:
- Construcción de la primera tabla: Se hace de la misma forma que la tabla
inicial del método Simplex, pero con algunas diferencias. La fila de la
función objetivo cambia para la primera fase, ya que cambia la función
objetivo, por lo tanto aparecerán todos los términos a cero excepto
aquellos que sean variables artificiales, que tendrán valor "-1" debido a que
se está minimizando la suma de dichas variables (recuerde que minimizar
F es igual que maximizar F·(-1)). La otra diferencia para la primera tabla
radica en la forma de calcular la fila Z. Ahora tendremos que hacer el
cálculo de la siguiente forma: Se sumarán los productos Cb·Pj para todas
las filas y al resultado se le restará el valor que aparezca (según la
columna que se éste haciendo) en la fila de la función objetivo.

7. • - Condición de parada: La condición de parada es la misma que en
el método Simplex normal. La diferencia estriba en que pueden
ocurrir dos casos cuando se produce la parada: la función toma un
valor 0, que significa que el problema original tiene solución, o que
tome un valor distinto, indicando que nuestro modelo no tiene
solución.

8. - Eliminar Columna de variables artificiales: Si hemos llegado a la
conclusión de que el problema original tiene solución, debemos preparar
nuestra tabla para la segunda fase. Deberemos eliminar las columnas de
las variables artificiales, modificar la fila de la función objetivo por la
original, y calcular la fila Z de la misma forma que en la primera tabla de la
fase 1.

9. Identificación de Casos Anómalos y Soluciones
- Infinitas soluciones: Cumplida la condición de parada, si se observa que
alguna variable que no está en la base, tiene un 0 en la fila Z, quiere decir
que existe otra solución que da el mismo valor óptimo para la función
objetivo. Si estamos ante este caso, estamos ante un problema que admite
infinitas soluciones, todas ellas comprendidas dentro del segmento (o
porción del plano, o región del espacio, dependiendo del número de
variables del problema) que define Ax+By=Z0. Si se desea se puede hacer
otra iteración haciendo entrar en la base a la variable que tiene el 0 en la fila
Z, y se obtendrá otra solución. -

10. • - Empate de variable entrante: Se puede optar por
cualquiera de ellas, sin que afecte a la solución final, el
inconveniente que presenta es que según por cual se
opte se harán más o menos iteraciones. Se aconseja
que se opte a favor de las variables básicas, ya que
son aquellas las que quedarán en la base cuando se
alcance la solución con estos métodos.

11. - Solución ilimitada: Si al intentar buscar la variable que debe abandonar la
base, nos encontramos que toda la columna de la variable entrante tiene
todos sus elementos negativos o nulos, estamos ante un problema que
tiene solución ilimitada. No hay valor óptimo concreto, ya que al aumentar
el valor de las variables se aumenta el valor de la función objetivo, y no
viola ninguna restricción.
- No existe solución: En el caso de que no exista solución, seguro que no
tendremos que realizar las dos fases, por lo que al término de la primera
sabremos si estamos en tal situación.

12. - Empate de variable saliente: Se puede nuevamente optar por cualquiera de
ellas, aunque se puede dar el caso degenerado y entrar en ciclos perpetuos.
Para evitarlos en la medida de lo posible, discriminaremos a favor de las
variables básicas haciendo que se queden en la base. Ante el caso de estar
en la primera fase (del método de las Dos Fases), se optará por sacar en
caso de empate las variables artificiales.

13. • Ejemplo Simplex de 2 Fases
• Considere el siguiente modelo de Programación Lineal:
• FASE 1: Al agregar S1 como variable de exceso en la restricción 1
resulta evidente que no se dispone de una solución básica factible
inicial, por tanto utilizaremos una variable auxiliar "y" que
incluiremos en el lado izquierdo de la restricción y que servirá como
variable básica inicial. Esto define el problema inicial de la Fase 1
junto a su tabla.

14. Luego la variable X2 entra a la base (costo reducido negativo) y
claramente "y" deja la base. Se actualiza la tabla utilizando el método
simplex:
Con esta tabla finaliza la Fase 1. Notar que el valor de la función
objetivo al finalizar la Fase 1 es cero, por tanto podemos continuar
la Fase 2.

15. • FASE 2: Se elimina la columna asociada a la variable artificial "y" y se
actualiza el vector de costos reducidos considerando la función objetivo
original. De esta forma se obtiene la tabla inicial de la Fase 2.

16. Dado que X2 es variable básica al finalizar la Fase 1 buscamos
dejar esta misma variable como básica al iniciar la Fase 2. Para
ello multiplicamos por -3 la fila 1 y luego la sumamos a la fila 2.
En este sencillo ejemplo se llega inmediatamente a la tabla final
de la Fase 2, con solución óptima X1=0 y X2=10. El valor
óptimo V(P)=-30.