Este documento explica el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Presenta cuatro ejemplos de sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Para cada sistema, se forma una matriz y se calculan los determinantes de la matriz original y de las matrices modificadas reemplazando cada columna. Estos determinantes permiten calcular los valores de las incógnitas. Los dos primeros sistemas tienen solución única mientras que los otros dos no la tienen porque sus determinantes son cero.

1. Método Regla de CramerGermán Alberto López s.José Luis PreciadoUniversidad Minuto de Dios

2. Regla de Cramer Ejercicio a:A ) x - 2y + z = 5 formamos una matriz de 1 -2 1 5 2x - y - 2z = -1 tres por tres excluyendo 2 -1 2 - 1 x + 3y + z = 0 las incógnitas (letras).1 3 1 0luego sacamos los determinantes: DET DE SISTEMA (a) , DET X (a1),DET Y (a2),DET Z( a3).

3. Regla de Cramer *SACAMOS LAS COLUMNAS X, Y, Z; LE AUMENTAMOS LAS DOS PRIMERAS FILAS EN LA PARTE INFERIOR LUEGO MULTIPLICAMOS ENTRE COLUMNAS DIAGONALMENTE COMO INDICA EL EJEMPLO. DTE (A) X Y Z 1 -2 1 Det (A) = [-1 + 6 + 4] – [-1 - 6 - 4] 2 -1 -2 Det (A) = [9] – [-11] 1 3 1 Det (A) = 9 + 11 1 -2 1 Det (A) = 20 2 -1 -2**LUEGO REEMPLAZAMOS LA CUARTA COLUMNA DE LA MATRIZ POR LA COLUMNA X, Y HACEMOS LO MISMO QUE EN EL ANTERIOR EJEMPLO. DTE (A1) X Y Z 5 -2 1 Det (A1) = [-5 -3 + 0] – [0 -30 + 2] -1 -1 -2 Det (A1) = [-8] – [-28] 0 3 1 Det (A1) = -8 + 28 5 -2 1 Det (A1) = 20 -1 -1 -2

4. Regla de Cramer ***PARA LA DET (A2) HACEMOS LO MISMO PERO ESTA VEZ REEMPLAZAMOS LA SEGUNDA FILA QUE ES LA FILA DE Y.DTE (A2) X Y Z 1 5 1 Det (A2) = [-1 +0 -10] – [-1 +0 +10] 2 -1 -2 Det (A2) = [-11]-[9] 1 0 1 Det (A2) = -11 - 9 1 5 1 Det (A2) = -20 2 -1 -2****IGUALMENTE PARA AYAR EL DET (A3), ESTA VEZ SE REMPLAZA LA FILA Z. X Y Z 1 -2 5 Det (A3) = [0 +30 +2] - [-5 -3 +0] 2 -1 -1 Det (A3) = [32] – [-8] 1 3 0 Det (A3) = 32 + 8 1 -2 5 Det (A3) = 40 2 -1 -1

5. Regla de Cramer TERMINADOS LAS 4 DET, APLICAMOS LA SIGUIETE FORMULA:X = Det (A1) Y = Det (A2) Z = Det (A3)Det(A) Det(A) Det (A) X = 20/20 Y = -20/20 Z = 40/20ENTONCES SEGÚN EL RESULATADO LO VOLORES DE LAS VARIABLES SON:X= 1 Y=-1Z= 2

6. Regla de Cramer Ejercicio B: B) 3x -4y +6z = 7 Este EJERCICIO LO HACEMOS IGUAL 3 -4 6 7 5x+2y -4z = 5 QUE EL ANTERIOR. 5 2 -4 5 x +3y -5z =3 1 3 -5 3DTE (A)x y z 3 -4 6 det(A) = [-30 +90 +16] - [12 -36 +100]5 2 -4 det(A) = [76] – [76]1 3 -5 det(A) = 76 - 76 3 - 4 6 det(A) = 05 2 - 4 ESTE SISTEMA NO TIENE SOLUCION PORQUE EL DETERMINANTE DEL SISTEMA ES UGUAL A CERO.

7. Regla de Cramer EjercicioB: D)X +3y + z = 0 Este EJERCICIO LO HACEMOS IGUAL1 3 1 0 2x + y - 3z = 5 QUE EL ANTERIOR . 2 1 -3 5 -x +7y +9z = a -1 7 9 aDet (A) 1 3 1Det (A) = [9 + 14 +9] – [-1 -21 +54]2 1 -3Det (A) = [32] – [32]-1 7 9Det (A) = 32 -321 3 1Det (A) = 02 1 -3 ESTE SISTEMA TAMPOCO TIENE SOLUCION PORQUE LA DETERMINANTE DEL SISTEMA TAMBIEN ES IGUAL A CERO.