El documento explica los conceptos de máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM) de números. Define el MCD como el mayor número que divide a todos exactamente y el MCM como el menor de los múltiplos comunes. Detalla los pasos para calcular el MCD y MCM descomponiendo los números en factores primos y tomando los factores comunes con menor/mayor exponente. Incluye ejemplos resueltos de cálculos de MCD y MCM y su aplicación a problemas.

1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Máximo común divisor
El máximo común divisor, m.c.d. de dos o más números es el
mayor número que divide a todos exactamente.
Cálculo del máximo común divisor
1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman los factores comunes con menor exponente.
Ejemplo
Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60.
1.
72 = 23 · 32
108 = 22 · 33
60 = 22 · 3 · 5
2.
m. c. d. (72, 108, 60) = 22 · 3 = 12
12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.

2. Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m. c. d.
El número 12 es divisor de 36.
m. c. d. (12, 36) = 12
Mínimo común múltiplo
Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números ,
excluido el cero.
Cálculo del mínimo común múltiplo
1. Se descomponen los números en factores primos
2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor
exponente.
Ejemplo
72 = 23 · 32
108 = 22 · 33
60 = 22 · 3 · 5
m. c. m. (72, 108, 60) = 23 · 33 · 5 = 1 080
1 080 es el menor número que divide a: 72, 108 y 60.
Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de
ambos.
El número 36 es múltiplo de 12.
m. c. m. (12, 36) = 36

3. Relación entre el m. c. d. y m. c. m.
m. c. d. (a, b) · m. c. m. (a, b) = a · b
Ejercicios
Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:
1428 y 376
428 = 22 · 107
376 = 23 · 47
m. c. d. (428, 376) = 22 = 4
m. c. m. (428, 376) = 23 · 107 · 47 = 40 232
2148 y 156
148 = 22 · 37
156 = 22 · 3 · 13
m. c. d. (148 , 156) = 22 = 4
m. c. m. (148 , 156) = 22 · 3 · 37 · 13 = 5772
3600 y 1 000
600 = 23 · 3 · 52
1000 = 23 · 53
m. c. d. (600 , 1000) = 23 · 52 = 200
m. c. m. ( 600 , 1000) = 23 · 3 · 53 = 3000

4. Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:
11048, 786 y 3930
1048 = 23 · 131
786 = 2 · 3 · 131
3930 = 2 · 3 · 5 · 131
m. c. d. (1048, 786, 3930) = 2 ·131 = 262
m. c. m. (1048, 786, 3930) = 23 · 3 · 5 · 131 = 15 720
23120, 6200 y 1864
3210 = 24 · 3 · 5 · 13
6200 = 23 · 52 · 31
1864 = 23 · 233
m. c. d. (3210, 6200, 1864) = 23 = 8
m. c. m. (3210, 6200, 1864) = 24 ·3 · 52 · 13 · 31 · 233 =
= 1 746 521 400

5. Ejercicios resueltos.-
1.-Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y
un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.
Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos
siguientes.
12 = 22 · 3
18 = 2· 32
60 = 22 · 3 · 5
m. c. m. (12 , 18, 60) = 22 · 32 · 5= 180
180 : 60 = 3
Sólo a las 6.33 h.
2.-Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy
han estado los dos en Barcelona.
¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en
Barcelona?
18 = 2 · 32
24 = 23 · 3
m. c. m. (18, 24) =23 · 32 = 72
Dentro de 72 días.

6. 3.-¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15,
20, 36 y 48 en cada caso dar de resto 9?
m. c. m. (15 , 20, 36, 48) = 24 · 32 · 5 = 720
720 + 9 = 729
4.-En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son:
250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de
garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas
para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los
toneles, y el número de garrafas que se necesitan.
m. c. d.(250, 360, 540) = 10
Capacidad de las garrafas = 10 l.
Número de garrafas de T 1 = 250 / 10 = 25
Número de garrafas de T 2 = 360 / 10 = 36
Número de garrafas de T 3 = 540 / 10 = 54
Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas.
5.-El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m
de largo y 3 m de ancho.
Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de
baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar
ninguna de ellas.
3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5
5 m = 50 dm 50 = 2 · 52

7. A = 30 · 50 = 1500 dm2
m. c. d. (30 , 50) = 2· 5= 10 dm de lado
A b = 102 = 100 dm2
1500 dm2 : 100 dm2 = 15 baldosas
6.-Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772
naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas
o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de
naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.
m. c. d. (12 028, 12 772) = 124
124 naranjas en cada caja.
Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 104
Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97
Cajas necesarias = 104 + 97 = 201
7.-¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número
exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y
cuántas baldosas se necesitan?
8 m = 80 dm 80 = 24 · 5
6.4 m = 64 dm64 = 26
m. c. d. (80, 64) = 24 = 16 dm de lado
A b = 162 = 256 dm2
A = 80 · 64 = 5120 dm2

8. 5120 dm2 : 256 dm2 = 15 baldosas