Asignación de matemática sobre los números Reales y el Plano Numérico

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la educación
Universitaria, Ciencia Tecnología e Innovación
Barquisimeto – Estado Lara
PNF Informática
Integrante:
Jean C. Leal
C.I: 30.218.497
Sección : IN0403R
14/01/2024
Número Reales y
Plano Numérico

2. Definición de Conjuntos
La definición de conjuntos en matemáticas se refiere a la
colección de objetos o elementos. Estos elementos pueden ser
números, letras, o cualquier cosa en particular. Los conjuntos
se representan con llaves, y los elementos se separan por
comas. Por ejemplo, el conjunto de números pares menores
que 10 se representaría como {2, 4, 6, 8}.
Ejercicio básico de conjuntos
Sea A={1,2,3,4} y B={2,4,6,8}.
a) Calcule AUB.
Respuesta:
AUB={1,2,3,4,6,8}

3. Operaciones con Conjuntos
Unión
La unión de dos conjuntos A y B,
denotada por A ∪ B, consiste en todos
los elementos que pertenecen a A, a B,
o a ambos conjuntos. Es decir,
combina todos los elementos únicos
de ambos conjuntos.
Intersección
La intersección de dos conjuntos A y
B, denotada por A ∩ B, contiene todos
los elementos que pertenecen tanto al
conjunto A como al conjunto B. Es
decir, solo incluye los elementos
comunes a ambos conjuntos.
Diferencia
La diferencia de dos conjuntos A y B, denotada por A - B, consiste en todos los
elementos que pertenecen a A pero no a B. Es decir, excluye los elementos de B que
también están en A.

4. Números Reales
Definición
Los números reales son cualquier
número que se puede representar en la
recta numérica, incluyendo los números
enteros, fraccionarios, decimales y raíces
cuadradas
Números Racionales
Los números reales incluyen números
racionales, es decir, aquellos que
pueden expresarse como el cociente
de dos números enteros.
Además de los racionales, los
números reales contienen números
irracionales, como π y√2,que no
pueden expresarse como fracciones.
Números Irracionales
Los números reales también incluyen
a los números enteros, que consisten
en los números naturales y sus
negativos, así como el cero.
Números Enteros
¿Cuál es el conjunto de soluciones de la
siguiente ecuación:
x2+x-6=0
Solución:
Podemos resolver la ecuación por
factorización:
(x+3)(x-2)=0
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación
son x=-3 y x=2.
El conjunto de soluciones es {-3,2}.

5. Desigualdades
1 Desigualdades Lineales
En matemáticas, las desigualdades
lineales comparan dos expresiones
lineales utilizando los signos de
desigualdad como <, >, ≤,o ≥.
2
Sistemas de Desigualdades
Los sistemas de desigualdades
nsisten en múltiples desigualdades
que se resuelven simultáneamente
para encontrar las soluciones
comunes a todas las desigualdades
del sistema.
3 Desigualdades Cuadráticas
Las desigualdades cuadráticas
involucran términos cuadráticos y
presentan múltiples soluciones que
pueden representarse en una parábola
en un plano cartesiano.
Ejercicio de Desigualdad:
3x+5>2x-1
Solución:
3x+5>2x-1
Mover 5 al lado derecho
3x>2x-1-5
Aplicar la suma del número
3x>2x-6
Luego pasar el 2x hacia la izquie
3x-2x>-6
Realizamos la resta y quedaría d
siguiente manera
X>-6
La solución para la desigualdad
x>-6

6. Definición de Valor Absoluto
1 Significado
El valor absoluto de un número real representa su distancia al origen en la recta
numérica, ignorando su signo. Esto proporciona una medida de la magnitud del
número sin considerar su dirección.
2 Notación
El valor absoluto se denota de la siguiente manera |x|. Por ejemplo, |-5|= 5, y |3| = 3.
Esta notación hace énfasis en la distancia del número al cero, independientemente de
su positividad o negatividad.

7. Desigualdades con Valor Absoluto
Expresiones
En desigualdades con valor
absoluto, se consideran
expresiones de la forma
|f(x)| ≤ a, |f(x)| < a, |f(x)| ≥ a,
y |f(x)| > a. Estas
desigualdades representan
restricciones en la magnitud
de la expresión f(x).
Resolución
Resolver desigualdades con
valor absoluto involucra
considerar casos donde la
expresión dentro del valor
absoluto es positiva,
negativa o cero, y aplicar las
propiedades del valor
absoluto para encontrar
intervalos de solución.
Gráficos
Los gráficos son útiles para
visualizar soluciones de
desigualdades con valor
absoluto en la recta
numérica, representando
los intervalos donde la
expresión cumple las
condiciones impuestas.

8. Propiedades de los Conjuntos
Conjunto Vacío
El conjunto vacío,
representado por ∅, es un
conjunto sin elementos.
Aunque es un concepto
sencillo, tiene aplicaciones
importantes en la teoría de
conjuntos y en la lógica
matemática.
Diagramas de Venn
Los diagramas de Venn son
representaciones visuales que
muestran las relaciones entre
conjuntos. Son útiles para
entender la intersección,
unión, y diferencia entre
conjuntos de una manera
intuitiva.
Conjuntos Infinitos
Hay conjuntos que contienen
un número infinito de
elementos, como el conjunto
de todos los números
naturales. Entender las
propiedades únicas de estos
conjuntos es esencial en
matemáticas.

9. Propiedades de los Números Reales
1 Tricotomía
La tricotomía establece
que para cualquier par
de números reales a y
b, solo una de las
siguientes relaciones es
verdadera: a < b, a = b, o
a > b. Esta propiedad es
fundamental en el
orden de los números
reales.
2 Densidad
La propiedad de
densidad de los
números reales
establece que entre dos
números reales
distintos siempre hay
otro número real. Esto
implica que no hay
"huecos" en la recta
numérica.
3 Ley de Completitud
La ley de completitud
señala que cualquier
conjunto no vacío de
números reales acotado
superiormente tiene un
supremo. Esta
propiedad es esencial
en análisis matemático
y cálculo.

10. Propiedades de las Desigualdades
1 Transitividad
La propiedad de transitividad
establece que si a < b y b < c,
entonces a < c. Esta propiedad es
fundamental en el razonamiento
matemático y en la solución de
sistemas de desigualdades.
2
Simetria
La simetría indica que si a > b,
entonces b < a. Es decir, la inversión
del símbolo de desigualdad cambia la
dirección de la relación. Esta
propiedad es característica de las
desigualdades.
3 Ecuación Implicada
Las desigualdades se pueden
convertir en ecuaciones utilizando la
notación de valor absoluto. Por
ejemplo, |x - 2| < 5 se traduce a -5 < x
- 2 < 5, lo que brinda nuevas formas
de interpretar y resolver
desigualdades.

11. Plano Numérico
El plano numérico es un sistema de coordenadas
ortogonales que se utiliza para representar puntos
en el plano. Está formado por dos rectas
numéricas, llamadas ejes, que se cortan en un
punto llamado origen.
Ejes
Los ejes del plano numérico son:
El eje horizontal, también llamado
eje de las abscissas, se representa
con la letra x.
El eje vertical, también llamado eje
de las coordenadas, se representa
con la letra y.
Origen
El origen es el punto de
intersección de los dos ejes
del plano numérico. Se
representa con el punto (0,0).

12. Distancia y Punto Medio en el Plano Numérico
La distancia es la longitud del segmento que
une dos puntos.
En cuanto al plano numérico, se refiere al
plano cartesiano, que es un sistema de
coordenadas que se utiliza para representar
gráficamente puntos y figuras geométricas
El punto medio es el punto que se
encuentra a la misma distancia de otros
dos puntos cualquiera o extremos de un
segmento
Si es un segmento, el punto medio es el
que lo divide en dos partes iguales

13. Representación Gráficas de las Ecuaciones Cónicas
Las ecuaciones cónicas son las ecuaciones que representan cada una de
las cuatro curvas cónicas: la elipse, la circunferencia, la parábola y
la hipérbola. Cada una de estas curvas tiene una definición
geométrica y una ecuación algebraica que la representa. Las
representaciones gráficas de las ecuaciones cónicas son las curvas
que se obtienen al graficar las ecuaciones correspondientes en un
plano cartesiano

14. Ecuación y Trazado de circunferencias
La circunferencia es una curva cerrada que está formada
por todos los puntos que se encuentran a la misma
distancia de un punto fijo, llamado centro. La ecuación de
una circunferencia con centro en el punto (a,b) y radio r es
la siguiente:
(x-h) ²+(y-k) ²= r² Trazado de una hipérbola
Para trazar una circunferencia, se pueden
utilizar los siguientes pasos:
- Se traza una recta que pasa por el centro de la
circunferencia.
- Se traza un círculo con centro en la
intersección de la recta y un radio igual al radio
de la circunferencia.
Y asi los puntos de intersección del círculo con la
recta forman una circunferencia.

15. Ecuacion y trazado de las Parábola
La parábola es una curva que se obtiene al cortar un
plano oblicuo con un cono. La ecuación de una parábola
con vértice en el punto (a,b) y foco en el punto (c,b) es la
siguiente:
(x−h)
² =4p(y−k)
donde p es la distancia entre el
vértice y el foco de la parábola.
Trazado de una Parabola
Para trazar una parábola, se pueden utilizar los
siguientes pasos:
- Se localiza el foco de la parábola.
- Se traza la directriz de la parábola.
- Se traza una línea perpendicular a la directriz que
pasa por el foco.
- Se traza una serie de puntos que estén a una
distancia de a del foco.
- Los puntos de intersección de la línea
perpendicular con los puntos que están a una
distancia de a del foco forman la parábola.

16. Ecuacion y trazado de los elipses
Una elipse es una curva cerrada en forma de
huevo que se puede definir como la colección de
todos los puntos en un plano que están a la misma
distancia de dos puntos fijos llamados focos.
La ecuación de una
elipse en forma
estándar es:
Trazado de una Elipse
Para trazar una elipse, se pueden utilizar los
siguientes pasos:
- Se trazan dos rectas perpendiculares que pasan por
los focos.
- Se trazan dos círculos concéntricos con radios a y b.
- Se unen los puntos de intersección de los círculos
con los focos.
- Los puntos de intersección de los círculos con los
focos forman una elipse.

17. Ecuacion y Trazado de los hipérbola
Una hipérbola es una curva cerrada en forma de "U" que
se puede definir como la colección de todos los puntos
en un plano que están a una distancia igual a la distancia
focal de dos puntos fijos llamados focos, pero en
direcciones opuestas.
Trazado de una hipérbola
Para trazar una hipérbola, se pueden utilizar
los siguientes pasos:
- Se trazan dos rectas perpendiculares que
pasan por los focos.
- Se trazan dos semicírculos con radios a y b.
- Se unen los puntos de intersección de los
semicírculos con las rectas.
- Los puntos de intersección de los
semicírculos con las rectas forman una
hipérbola.
La ecuación de una
hipérbola en forma
estándar es: