Este documento presenta los conceptos básicos de estimación por regresión para estimar totales poblacionales bajo diseños de muestreo aleatorios. Explica cómo el estimador de regresión hace un uso eficiente de la información auxiliar y propone métodos para estimar su varianza, como jackknife y grupos aleatorios dependientes. Finalmente, incluye un ejemplo ilustrativo.

1. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
´
UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
´
VI ENCUENTRO DE MATEMATICA DEL CARIBE COLOMBIANO
Estimadores de regresi´n en dise˜os de muestreo
o n
Humberto Barrios
hbarriosus@gmail.com
17 de agosto de 2009
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Humberto Barrios UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR ´
ESTIMADORES DE REGRESION

2. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Contenido
1 Preliminares
Resumen
Dise˜o de Muestreo
n
2 Estimador de Regresi´n
o
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
3 Para el caso de una Variable Auxiliar
Pasa por el Origen
No pasa por el Origen
4 Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Introducci´n
o
M´todo la Navaja
e university-logo
M´todo de los Grupos Aleatorios Dependientes
e
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ESTIMADORES DE REGRESION

3. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Contenido
1 Preliminares
Resumen
Dise˜o de Muestreo
n
2 Estimador de Regresi´n
o
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
3 Para el caso de una Variable Auxiliar
Pasa por el Origen
No pasa por el Origen
4 Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Introducci´n
o
M´todo la Navaja
e university-logo
M´todo de los Grupos Aleatorios Dependientes
e
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4. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Contenido
1 Preliminares
Resumen
Dise˜o de Muestreo
n
2 Estimador de Regresi´n
o
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
3 Para el caso de una Variable Auxiliar
Pasa por el Origen
No pasa por el Origen
4 Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Introducci´n
o
M´todo la Navaja
e university-logo
M´todo de los Grupos Aleatorios Dependientes
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5. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Contenido
1 Preliminares
Resumen
Dise˜o de Muestreo
n
2 Estimador de Regresi´n
o
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
3 Para el caso de una Variable Auxiliar
Pasa por el Origen
No pasa por el Origen
4 Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Introducci´n
o
M´todo la Navaja
e university-logo
M´todo de los Grupos Aleatorios Dependientes
e
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6. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Resumen
Para el caso de una Variable Auxiliar Dise˜o de Muestreo
n
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Contenido
1 Preliminares
Resumen
Dise˜o de Muestreo
n
2 Estimador de Regresi´n
o
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
3 Para el caso de una Variable Auxiliar
Pasa por el Origen
No pasa por el Origen
4 Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Introducci´n
o
M´todo la Navaja
e university-logo
M´todo de los Grupos Aleatorios Dependientes
e
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7. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Resumen
Para el caso de una Variable Auxiliar Dise˜o de Muestreo
n
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Contenido
1 Preliminares
Resumen
Dise˜o de Muestreo
n
2 Estimador de Regresi´n
o
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
3 Para el caso de una Variable Auxiliar
Pasa por el Origen
No pasa por el Origen
4 Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Introducci´n
o
M´todo la Navaja
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M´todo de los Grupos Aleatorios Dependientes
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8. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Resumen
Para el caso de una Variable Auxiliar Dise˜o de Muestreo
n
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Resumen
En muestreo una de sus caracter´ ısticas es usar la informaci´n para
o
mejor la precisi´n de las estimaciones.El estimador de regresi´n es
o o
un tipo de estimador que hace eficiente el uso de la informaci´n.Elo
objetivo de este cursillo es introducir el estimador de regresi´n para
o
estimar un total poblacional. bajos los dise˜os de muestreo
n
aleatorio simple y aleatorio con probabilidades diferentes de
selecci´n sin reemplazo.Tambi´n, se proponen algunos m´todos
o e e
para estimar la varianza para el estimador de regresi´n.Finalmente,
o
se realiza un ejemplo para ilustrar todo lo anterior.
Palabras claves:
Informaci´n Auxiliar, Estimador de Regresi´n, Linealizaci´n Taylor,
o o o
Jackknife, Grupos Aleatorios Dependientes, Dise˜o de Muestreo
n
con Probabilidades Desiguales. university-logo
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9. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Resumen
Para el caso de una Variable Auxiliar Dise˜o de Muestreo
n
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Resumen
En muestreo una de sus caracter´ ısticas es usar la informaci´n para
o
mejor la precisi´n de las estimaciones.El estimador de regresi´n es
o o
un tipo de estimador que hace eficiente el uso de la informaci´n.Elo
objetivo de este cursillo es introducir el estimador de regresi´n para
o
estimar un total poblacional. bajos los dise˜os de muestreo
n
aleatorio simple y aleatorio con probabilidades diferentes de
selecci´n sin reemplazo.Tambi´n, se proponen algunos m´todos
o e e
para estimar la varianza para el estimador de regresi´n.Finalmente,
o
se realiza un ejemplo para ilustrar todo lo anterior.
Palabras claves:
Informaci´n Auxiliar, Estimador de Regresi´n, Linealizaci´n Taylor,
o o o
Jackknife, Grupos Aleatorios Dependientes, Dise˜o de Muestreo
n
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10. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Resumen
Para el caso de una Variable Auxiliar Dise˜o de Muestreo
n
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Resumen
En muestreo una de sus caracter´ ısticas es usar la informaci´n para
o
mejor la precisi´n de las estimaciones.El estimador de regresi´n es
o o
un tipo de estimador que hace eficiente el uso de la informaci´n.Elo
objetivo de este cursillo es introducir el estimador de regresi´n para
o
estimar un total poblacional. bajos los dise˜os de muestreo
n
aleatorio simple y aleatorio con probabilidades diferentes de
selecci´n sin reemplazo.Tambi´n, se proponen algunos m´todos
o e e
para estimar la varianza para el estimador de regresi´n.Finalmente,
o
se realiza un ejemplo para ilustrar todo lo anterior.
Palabras claves:
Informaci´n Auxiliar, Estimador de Regresi´n, Linealizaci´n Taylor,
o o o
Jackknife, Grupos Aleatorios Dependientes, Dise˜o de Muestreo
n
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11. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Resumen
Para el caso de una Variable Auxiliar Dise˜o de Muestreo
n
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Resumen
En muestreo una de sus caracter´ ısticas es usar la informaci´n para
o
mejor la precisi´n de las estimaciones.El estimador de regresi´n es
o o
un tipo de estimador que hace eficiente el uso de la informaci´n.Elo
objetivo de este cursillo es introducir el estimador de regresi´n para
o
estimar un total poblacional. bajos los dise˜os de muestreo
n
aleatorio simple y aleatorio con probabilidades diferentes de
selecci´n sin reemplazo.Tambi´n, se proponen algunos m´todos
o e e
para estimar la varianza para el estimador de regresi´n.Finalmente,
o
se realiza un ejemplo para ilustrar todo lo anterior.
Palabras claves:
Informaci´n Auxiliar, Estimador de Regresi´n, Linealizaci´n Taylor,
o o o
Jackknife, Grupos Aleatorios Dependientes, Dise˜o de Muestreo
n
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12. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Resumen
Para el caso de una Variable Auxiliar Dise˜o de Muestreo
n
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Resumen
En muestreo una de sus caracter´ ısticas es usar la informaci´n para
o
mejor la precisi´n de las estimaciones.El estimador de regresi´n es
o o
un tipo de estimador que hace eficiente el uso de la informaci´n.Elo
objetivo de este cursillo es introducir el estimador de regresi´n para
o
estimar un total poblacional. bajos los dise˜os de muestreo
n
aleatorio simple y aleatorio con probabilidades diferentes de
selecci´n sin reemplazo.Tambi´n, se proponen algunos m´todos
o e e
para estimar la varianza para el estimador de regresi´n.Finalmente,
o
se realiza un ejemplo para ilustrar todo lo anterior.
Palabras claves:
Informaci´n Auxiliar, Estimador de Regresi´n, Linealizaci´n Taylor,
o o o
Jackknife, Grupos Aleatorios Dependientes, Dise˜o de Muestreo
n
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13. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Resumen
Para el caso de una Variable Auxiliar Dise˜o de Muestreo
n
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Resumen
En muestreo una de sus caracter´ ısticas es usar la informaci´n para
o
mejor la precisi´n de las estimaciones.El estimador de regresi´n es
o o
un tipo de estimador que hace eficiente el uso de la informaci´n.Elo
objetivo de este cursillo es introducir el estimador de regresi´n para
o
estimar un total poblacional. bajos los dise˜os de muestreo
n
aleatorio simple y aleatorio con probabilidades diferentes de
selecci´n sin reemplazo.Tambi´n, se proponen algunos m´todos
o e e
para estimar la varianza para el estimador de regresi´n.Finalmente,
o
se realiza un ejemplo para ilustrar todo lo anterior.
Palabras claves:
Informaci´n Auxiliar, Estimador de Regresi´n, Linealizaci´n Taylor,
o o o
Jackknife, Grupos Aleatorios Dependientes, Dise˜o de Muestreo
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14. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Resumen
Para el caso de una Variable Auxiliar Dise˜o de Muestreo
n
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Resumen
En muestreo una de sus caracter´ ısticas es usar la informaci´n para
o
mejor la precisi´n de las estimaciones.El estimador de regresi´n es
o o
un tipo de estimador que hace eficiente el uso de la informaci´n.Elo
objetivo de este cursillo es introducir el estimador de regresi´n para
o
estimar un total poblacional. bajos los dise˜os de muestreo
n
aleatorio simple y aleatorio con probabilidades diferentes de
selecci´n sin reemplazo.Tambi´n, se proponen algunos m´todos
o e e
para estimar la varianza para el estimador de regresi´n.Finalmente,
o
se realiza un ejemplo para ilustrar todo lo anterior.
Palabras claves:
Informaci´n Auxiliar, Estimador de Regresi´n, Linealizaci´n Taylor,
o o o
Jackknife, Grupos Aleatorios Dependientes, Dise˜o de Muestreo
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15. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Resumen
Para el caso de una Variable Auxiliar Dise˜o de Muestreo
n
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Resumen
En muestreo una de sus caracter´ ısticas es usar la informaci´n para
o
mejor la precisi´n de las estimaciones.El estimador de regresi´n es
o o
un tipo de estimador que hace eficiente el uso de la informaci´n.Elo
objetivo de este cursillo es introducir el estimador de regresi´n para
o
estimar un total poblacional. bajos los dise˜os de muestreo
n
aleatorio simple y aleatorio con probabilidades diferentes de
selecci´n sin reemplazo.Tambi´n, se proponen algunos m´todos
o e e
para estimar la varianza para el estimador de regresi´n.Finalmente,
o
se realiza un ejemplo para ilustrar todo lo anterior.
Palabras claves:
Informaci´n Auxiliar, Estimador de Regresi´n, Linealizaci´n Taylor,
o o o
Jackknife, Grupos Aleatorios Dependientes, Dise˜o de Muestreo
n
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16. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Resumen
Para el caso de una Variable Auxiliar Dise˜o de Muestreo
n
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Contenido
1 Preliminares
Resumen
Dise˜o de Muestreo
n
2 Estimador de Regresi´n
o
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
3 Para el caso de una Variable Auxiliar
Pasa por el Origen
No pasa por el Origen
4 Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Introducci´n
o
M´todo la Navaja
e university-logo
M´todo de los Grupos Aleatorios Dependientes
e
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17. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Resumen
Para el caso de una Variable Auxiliar Dise˜o de Muestreo
n
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Dise˜o de Muestreo
n
Una manera idealista como se puede describir un dise˜o de
n
muestreo:
U = {1, 2, . . . , N}.
Una caracter´
ıstica de inter´s (yi , xi ) asociado con la unidad i.
e
El par´metro de inter´s, el cual es funci´n de (yi , xi ),
a e o
i = 1, 2, . . . , N.
Un plan de muestreo. Es decir, a cada s ∈ S asigna una
p(s) > 0 y S p(s) = 1.
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18. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Resumen
Para el caso de una Variable Auxiliar Dise˜o de Muestreo
n
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Dise˜o de Muestreo
n
Una manera idealista como se puede describir un dise˜o de
n
muestreo:
U = {1, 2, . . . , N}.
Una caracter´
ıstica de inter´s (yi , xi ) asociado con la unidad i.
e
El par´metro de inter´s, el cual es funci´n de (yi , xi ),
a e o
i = 1, 2, . . . , N.
Un plan de muestreo. Es decir, a cada s ∈ S asigna una
p(s) > 0 y S p(s) = 1.
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19. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Resumen
Para el caso de una Variable Auxiliar Dise˜o de Muestreo
n
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Dise˜o de Muestreo
n
Una manera idealista como se puede describir un dise˜o de
n
muestreo:
U = {1, 2, . . . , N}.
Una caracter´
ıstica de inter´s (yi , xi ) asociado con la unidad i.
e
El par´metro de inter´s, el cual es funci´n de (yi , xi ),
a e o
i = 1, 2, . . . , N.
Un plan de muestreo. Es decir, a cada s ∈ S asigna una
p(s) > 0 y S p(s) = 1.
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20. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Resumen
Para el caso de una Variable Auxiliar Dise˜o de Muestreo
n
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Dise˜o de Muestreo
n
Una manera idealista como se puede describir un dise˜o de
n
muestreo:
U = {1, 2, . . . , N}.
Una caracter´
ıstica de inter´s (yi , xi ) asociado con la unidad i.
e
El par´metro de inter´s, el cual es funci´n de (yi , xi ),
a e o
i = 1, 2, . . . , N.
Un plan de muestreo. Es decir, a cada s ∈ S asigna una
p(s) > 0 y S p(s) = 1.
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21. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Resumen
Para el caso de una Variable Auxiliar Dise˜o de Muestreo
n
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Dise˜o de Muestreo
n
Una manera idealista como se puede describir un dise˜o de
n
muestreo:
U = {1, 2, . . . , N}.
Una caracter´
ıstica de inter´s (yi , xi ) asociado con la unidad i.
e
El par´metro de inter´s, el cual es funci´n de (yi , xi ),
a e o
i = 1, 2, . . . , N.
Un plan de muestreo. Es decir, a cada s ∈ S asigna una
p(s) > 0 y S p(s) = 1.
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22. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Contenido
1 Preliminares
Resumen
Dise˜o de Muestreo
n
2 Estimador de Regresi´n
o
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
3 Para el caso de una Variable Auxiliar
Pasa por el Origen
No pasa por el Origen
4 Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Introducci´n
o
M´todo la Navaja
e university-logo
M´todo de los Grupos Aleatorios Dependientes
e
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23. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Estimador de Regresi´n
o
Sea
xk = (x1k , . . . , xjk , . . . , xJk )
denota el valor para el k-´simo elemento de un vector auxiliar
e
J-dimensional.
El objetivo estimar el total poblacional de la variable y
N
ty = yk
k=1
Cuando se observa (yk , xk ) para k ∈ S.
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24. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Estimador de Regresi´n
o
Sea
xk = (x1k , . . . , xjk , . . . , xJk )
denota el valor para el k-´simo elemento de un vector auxiliar
e
J-dimensional.
El objetivo estimar el total poblacional de la variable y
N
ty = yk
k=1
Cuando se observa (yk , xk ) para k ∈ S.
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25. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Contenido
1 Preliminares
Resumen
Dise˜o de Muestreo
n
2 Estimador de Regresi´n
o
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
3 Para el caso de una Variable Auxiliar
Pasa por el Origen
No pasa por el Origen
4 Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Introducci´n
o
M´todo la Navaja
e university-logo
M´todo de los Grupos Aleatorios Dependientes
e
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26. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Supuestos del Modelo
Bajo los siguientes supuestos expresados en t´rminos de un modelo.
e
M´s precisamente, el modelo de regresi´n ξ que tiene las siguientes
a o
propiedades:
1 y1 , . . . , yN se asumen como realizaciones independientes de las
variables aleatorias Y1 , . . . , YN .
J
2 Eξ (Yk ) = j=1 βj xjk ; k = 1, . . . , N.
3 Vξ (Yk ) = 2
σk ; k = 1, . . . , N.
donde Eξ y Vξ denotan el valor esperado y la varianza con respecto
2 2
al modelo ξ, y donde β1 , . . . , βJ y σ1 , . . . , σJ son par´metros del
a
modelo.
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27. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Supuestos del Modelo
Bajo los siguientes supuestos expresados en t´rminos de un modelo.
e
M´s precisamente, el modelo de regresi´n ξ que tiene las siguientes
a o
propiedades:
1 y1 , . . . , yN se asumen como realizaciones independientes de las
variables aleatorias Y1 , . . . , YN .
J
2 Eξ (Yk ) = j=1 βj xjk ; k = 1, . . . , N.
3 Vξ (Yk ) = 2
σk ; k = 1, . . . , N.
donde Eξ y Vξ denotan el valor esperado y la varianza con respecto
2 2
al modelo ξ, y donde β1 , . . . , βJ y σ1 , . . . , σJ son par´metros del
a
modelo.
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28. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Supuestos del Modelo
Bajo los siguientes supuestos expresados en t´rminos de un modelo.
e
M´s precisamente, el modelo de regresi´n ξ que tiene las siguientes
a o
propiedades:
1 y1 , . . . , yN se asumen como realizaciones independientes de las
variables aleatorias Y1 , . . . , YN .
J
2 Eξ (Yk ) = j=1 βj xjk ; k = 1, . . . , N.
3 Vξ (Yk ) = 2
σk ; k = 1, . . . , N.
donde Eξ y Vξ denotan el valor esperado y la varianza con respecto
2 2
al modelo ξ, y donde β1 , . . . , βJ y σ1 , . . . , σJ son par´metros del
a
modelo.
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29. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Supuestos del Modelo
Bajo los siguientes supuestos expresados en t´rminos de un modelo.
e
M´s precisamente, el modelo de regresi´n ξ que tiene las siguientes
a o
propiedades:
1 y1 , . . . , yN se asumen como realizaciones independientes de las
variables aleatorias Y1 , . . . , YN .
J
2 Eξ (Yk ) = j=1 βj xjk ; k = 1, . . . , N.
3 Vξ (Yk ) = 2
σk ; k = 1, . . . , N.
donde Eξ y Vξ denotan el valor esperado y la varianza con respecto
2 2
al modelo ξ, y donde β1 , . . . , βJ y σ1 , . . . , σJ son par´metros del
a
modelo.
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30. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Supuestos del Modelo
Bajo los siguientes supuestos expresados en t´rminos de un modelo.
e
M´s precisamente, el modelo de regresi´n ξ que tiene las siguientes
a o
propiedades:
1 y1 , . . . , yN se asumen como realizaciones independientes de las
variables aleatorias Y1 , . . . , YN .
J
2 Eξ (Yk ) = j=1 βj xjk ; k = 1, . . . , N.
3 Vξ (Yk ) = 2
σk ; k = 1, . . . , N.
donde Eξ y Vξ denotan el valor esperado y la varianza con respecto
2 2
al modelo ξ, y donde β1 , . . . , βJ y σ1 , . . . , σJ son par´metros del
a
modelo.
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ESTIMADORES DE REGRESION

31. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Supuestos del Modelo
Bajo los siguientes supuestos expresados en t´rminos de un modelo.
e
M´s precisamente, el modelo de regresi´n ξ que tiene las siguientes
a o
propiedades:
1 y1 , . . . , yN se asumen como realizaciones independientes de las
variables aleatorias Y1 , . . . , YN .
J
2 Eξ (Yk ) = j=1 βj xjk ; k = 1, . . . , N.
3 Vξ (Yk ) = 2
σk ; k = 1, . . . , N.
donde Eξ y Vξ denotan el valor esperado y la varianza con respecto
2 2
al modelo ξ, y donde β1 , . . . , βJ y σ1 , . . . , σJ son par´metros del
a
modelo.
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32. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Supuestos del Modelo
Bajo los siguientes supuestos expresados en t´rminos de un modelo.
e
M´s precisamente, el modelo de regresi´n ξ que tiene las siguientes
a o
propiedades:
1 y1 , . . . , yN se asumen como realizaciones independientes de las
variables aleatorias Y1 , . . . , YN .
J
2 Eξ (Yk ) = j=1 βj xjk ; k = 1, . . . , N.
3 Vξ (Yk ) = 2
σk ; k = 1, . . . , N.
donde Eξ y Vξ denotan el valor esperado y la varianza con respecto
2 2
al modelo ξ, y donde β1 , . . . , βJ y σ1 , . . . , σJ son par´metros del
a
modelo.
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33. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Contenido
1 Preliminares
Resumen
Dise˜o de Muestreo
n
2 Estimador de Regresi´n
o
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
3 Para el caso de una Variable Auxiliar
Pasa por el Origen
No pasa por el Origen
4 Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Introducci´n
o
M´todo la Navaja
e university-logo
M´todo de los Grupos Aleatorios Dependientes
e
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34. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Estimador para el Total
J
ˆGREG = ˆy π +
t t ˆ
Bj (txj − ˆxjπ )
t (1)
j=1
donde
n
yk
ˆy π =
t
πk
k=1
es el π estimador de ty ,
n
xj
ˆxj π =
t
πk
j=1 university-logo
es el π estimador de total txj conocido.
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35. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Estimador para el Total
J
ˆGREG = ˆy π +
t t ˆ
Bj (txj − ˆxjπ )
t (1)
j=1
donde
n
yk
ˆy π =
t
πk
k=1
es el π estimador de ty ,
n
xj
ˆxj π =
t
πk
j=1 university-logo
es el π estimador de total txj conocido.
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36. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Estimador para el Total
J
ˆGREG = ˆy π +
t t ˆ
Bj (txj − ˆxjπ )
t (1)
j=1
donde
n
yk
ˆy π =
t
πk
k=1
es el π estimador de ty ,
n
xj
ˆxj π =
t
πk
j=1 university-logo
es el π estimador de total txj conocido.
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37. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Donde
Estimador de B
n −1 n
ˆ ˆ ˆ
B = (B1 , . . . , BJ ) = 2
xk xk /σk πk 2
xk yk /σk πk (2)
k=1 k=1
es soluci´n de las ecuaciones normales basada en la muestra
o
n n
2 2
xk xk /σk πk = xk yk /σk πk
k=1 k=1
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38. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Donde
Estimador de B
n −1 n
ˆ ˆ ˆ
B = (B1 , . . . , BJ ) = 2
xk xk /σk πk 2
xk yk /σk πk (2)
k=1 k=1
es soluci´n de las ecuaciones normales basada en la muestra
o
n n
2 2
xk xk /σk πk = xk yk /σk πk
k=1 k=1
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39. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Donde
Estimador de B
n −1 n
ˆ ˆ ˆ
B = (B1 , . . . , BJ ) = 2
xk xk /σk πk 2
xk yk /σk πk (2)
k=1 k=1
es soluci´n de las ecuaciones normales basada en la muestra
o
n n
2 2
xk xk /σk πk = xk yk /σk πk
k=1 k=1
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40. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Donde
Estimador de B
n −1 n
ˆ ˆ ˆ
B = (B1 , . . . , BJ ) = 2
xk xk /σk πk 2
xk yk /σk πk (2)
k=1 k=1
es soluci´n de las ecuaciones normales basada en la muestra
o
n n
2 2
xk xk /σk πk = xk yk /σk πk
k=1 k=1
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41. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Contenido
1 Preliminares
Resumen
Dise˜o de Muestreo
n
2 Estimador de Regresi´n
o
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
3 Para el caso de una Variable Auxiliar
Pasa por el Origen
No pasa por el Origen
4 Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Introducci´n
o
M´todo la Navaja
e university-logo
M´todo de los Grupos Aleatorios Dependientes
e
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42. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
t t ˆ
ˆGREG = ˆy π + (tx − ˆxπ ) B
t (3)
donde es como esta definido en 2.
Estimador de Regresi´n para el Total
o
n
yk
ˆGREG =
t gks (4)
πk
k=1
donde
t ˆ
gsk = 1 + (tx − ˆxπ ) T −1 xk /σk
2
ˆ n xk xk
T = k=1 σ 2 πk university-logo
k
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43. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
t t ˆ
ˆGREG = ˆy π + (tx − ˆxπ ) B
t (3)
donde es como esta definido en 2.
Estimador de Regresi´n para el Total
o
n
yk
ˆGREG =
t gks (4)
πk
k=1
donde
t ˆ
gsk = 1 + (tx − ˆxπ ) T −1 xk /σk
2
ˆ n xk xk
T = k=1 σ 2 πk university-logo
k
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44. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
t t ˆ
ˆGREG = ˆy π + (tx − ˆxπ ) B
t (3)
donde es como esta definido en 2.
Estimador de Regresi´n para el Total
o
n
yk
ˆGREG =
t gks (4)
πk
k=1
donde
t ˆ
gsk = 1 + (tx − ˆxπ ) T −1 xk /σk
2
ˆ n xk xk
T = k=1 σ 2 πk university-logo
k
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45. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
t t ˆ
ˆGREG = ˆy π + (tx − ˆxπ ) B
t (3)
donde es como esta definido en 2.
Estimador de Regresi´n para el Total
o
n
yk
ˆGREG =
t gks (4)
πk
k=1
donde
t ˆ
gsk = 1 + (tx − ˆxπ ) T −1 xk /σk
2
ˆ n xk xk
T = k=1 σ 2 πk university-logo
k
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46. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Varianza para ˆGREG y Estimaci´n de AV (ˆGREG )
t o t
y k − xk B y l − xl B
AV (ˆGREG ) =
t (πkl − πk πl ) (5)
πk πl
U
Estimaci´n de AV (ˆGREG )
o t
n
ˆ t πkl − πk πl
V (ˆGREG ) = (gks eks )(gls els )
ˇ ˇ (6)
πkl
k=1 k<l
Donde
eks = yk − yk
ˇ ˆ
yk = xk B = J Bj xjk
ˆ ˆ
j=1
ˆ
t ˆ
gsk = 1 + (tx − ˆxπ ) T −1 xk /σk
2
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xk xk
T = n
ˆ
k=1 σ πk
2
k
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47. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Varianza para ˆGREG y Estimaci´n de AV (ˆGREG )
t o t
y k − xk B y l − xl B
AV (ˆGREG ) =
t (πkl − πk πl ) (5)
πk πl
U
Estimaci´n de AV (ˆGREG )
o t
n
ˆ t πkl − πk πl
V (ˆGREG ) = (gks eks )(gls els )
ˇ ˇ (6)
πkl
k=1 k<l
Donde
eks = yk − yk
ˇ ˆ
yk = xk B = J Bj xjk
ˆ ˆ
j=1
ˆ
t ˆ
gsk = 1 + (tx − ˆxπ ) T −1 xk /σk
2
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xk xk
T = n
ˆ
k=1 σ πk
2
k
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48. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Varianza para ˆGREG y Estimaci´n de AV (ˆGREG )
t o t
y k − xk B y l − xl B
AV (ˆGREG ) =
t (πkl − πk πl ) (5)
πk πl
U
Estimaci´n de AV (ˆGREG )
o t
n
ˆ t πkl − πk πl
V (ˆGREG ) = (gks eks )(gls els )
ˇ ˇ (6)
πkl
k=1 k<l
Donde
eks = yk − yk
ˇ ˆ
yk = xk B = J Bj xjk
ˆ ˆ
j=1
ˆ
t ˆ
gsk = 1 + (tx − ˆxπ ) T −1 xk /σk
2
university-logo
xk xk
T = n
ˆ
k=1 σ πk
2
k
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49. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Varianza para ˆGREG y Estimaci´n de AV (ˆGREG )
t o t
y k − xk B y l − xl B
AV (ˆGREG ) =
t (πkl − πk πl ) (5)
πk πl
U
Estimaci´n de AV (ˆGREG )
o t
n
ˆ t πkl − πk πl
V (ˆGREG ) = (gks eks )(gls els )
ˇ ˇ (6)
πkl
k=1 k<l
Donde
eks = yk − yk
ˇ ˆ
yk = xk B = J Bj xjk
ˆ ˆ
j=1
ˆ
t ˆ
gsk = 1 + (tx − ˆxπ ) T −1 xk /σk
2
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xk xk
T = n
ˆ
k=1 σ πk
2
k
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50. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Varianza para ˆGREG y Estimaci´n de AV (ˆGREG )
t o t
y k − xk B y l − xl B
AV (ˆGREG ) =
t (πkl − πk πl ) (5)
πk πl
U
Estimaci´n de AV (ˆGREG )
o t
n
ˆ t πkl − πk πl
V (ˆGREG ) = (gks eks )(gls els )
ˇ ˇ (6)
πkl
k=1 k<l
Donde
eks = yk − yk
ˇ ˆ
yk = xk B = J Bj xjk
ˆ ˆ
j=1
ˆ
t ˆ
gsk = 1 + (tx − ˆxπ ) T −1 xk /σk
2
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xk xk
T = n
ˆ
k=1 σ πk
2
k
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51. Preliminares
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n
o
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Para el caso de una Variable Auxiliar
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Varianza para ˆGREG y Estimaci´n de AV (ˆGREG )
t o t
y k − xk B y l − xl B
AV (ˆGREG ) =
t (πkl − πk πl ) (5)
πk πl
U
Estimaci´n de AV (ˆGREG )
o t
n
ˆ t πkl − πk πl
V (ˆGREG ) = (gks eks )(gls els )
ˇ ˇ (6)
πkl
k=1 k<l
Donde
eks = yk − yk
ˇ ˆ
yk = xk B = J Bj xjk
ˆ ˆ
j=1
ˆ
t ˆ
gsk = 1 + (tx − ˆxπ ) T −1 xk /σk
2
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xk xk
T = n
ˆ
k=1 σ πk
2
k
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52. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Pasa por el Origen
Para el caso de una Variable Auxiliar No pasa por el Origen
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Contenido
1 Preliminares
Resumen
Dise˜o de Muestreo
n
2 Estimador de Regresi´n
o
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
3 Para el caso de una Variable Auxiliar
Pasa por el Origen
No pasa por el Origen
4 Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Introducci´n
o
M´todo la Navaja
e university-logo
M´todo de los Grupos Aleatorios Dependientes
e
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53. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Pasa por el Origen
Para el caso de una Variable Auxiliar No pasa por el Origen
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Contenido
1 Preliminares
Resumen
Dise˜o de Muestreo
n
2 Estimador de Regresi´n
o
Supuestos del Modelo
Estimador de Regresi´n para el Total
o
Otras Expresiones para Estimador de Regresi´n
o
3 Para el caso de una Variable Auxiliar
Pasa por el Origen
No pasa por el Origen
4 Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Introducci´n
o
M´todo la Navaja
e university-logo
M´todo de los Grupos Aleatorios Dependientes
e
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54. Preliminares
Estimador de Regresi´n
o Pasa por el Origen
Para el caso de una Variable Auxiliar No pasa por el Origen
Alternativa para Estimar V (ˆGREG )
t
Estimador de Raz´n
o
En el caso de una variable auxiliar y el modelo Eξ (yk ) = βxk y
Vξ (yk ) = σ 2 xk
Estimador de Raz´n
o
ˆy π
t
ˆGREG =
t t (7)
ˆxπ x
t
Bajo el muestreo aleatorio simple sin reemplazo
Estimaci´n de AV (ˆGREG )
o t
2 ˆ
ˆ t xU
¯ 1−f s (yk− Bxk )2
V (ˆGREG ) = N 2 (8)
xs
¯ n n−1
ˆ ¯ x
donde B = ys /¯s y n = fN es el tama˜o de la muestra.
n university-logo
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