Números complejos

1. FORMULARIO NÚMEROS COMPLEJOS
Unidad imaginaria. Es el número −1 y
se designa por i
Números complejos: Son aquellos que se pue-
den escribir de la forma abi , donde a y
b son números reales e i la unidad imagina-
ria.
a= Re(z) es la parte real
b=Im(z) es la parte imaginaria
El conjunto de todos los números complejos se designa por
ℂ y se define como ℂ:={z=abi / a,b∈ℜ}
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma
parte real y la misma parte imaginaria:
abi=a' b' ia=a' y b=b'
Forma binómica de un número complejo: z=abi
Si b=0 z=a es un número real.
Si b≠0 y a=0 z=bi , es un número imaginario puro.
Conjugado, opuesto e inverso de un número en forma binó-
mica: * opuesto: −z=−a−bi
* conjugado: 
z=a−bi
* inverso: z
−1
=
1
z
=
1
abi
Representación de números complejos
ℂ:={Pa,b / a ,b∈ℜ} A cada número complejo
z=a+bi se le hace corresponder el punto P(a,b), que se llama
afijo del número complejo.
Potencias de i:
i0
=1 , i1
=i , i2
=−1 , i3
=−i , i4
=1 , i5
=i ...
i
254
=i
4

63
⋅i
2
=1−1=−1
Operaciones con números complejos:
• Suma abicdi=acbdi
• Resta abi−cdi=a−cb−di
• Producto abicdi=ac−bdadbci
• División
abi
cdi
=
abic−di
cdic−di
=...
Números complejos en forma polar: r
r=∣z∣ Es el módulo de un número
complejo.
 Es el argumento del número
complejo, que se puede expresar en gra-
dos o en radianes. Dos números com-
plejos son iguales si tienen el mismo
módulo y el mismo argumento.
r=r '' r=r ' y ='k · 360º k∈ℤ
Tomaremos siempre ∈[ 0,360º )
Conjugado, opuesto e inverso de un número en forma polar:
• opuesto: −z=r180º
• conjugado: 
z=r−
• inverso: z
−1
=
1
z
=
1
r
=
10º
r
=1
r −
Paso de forma binómica a polar:
r=∣z∣=a
2
b
2
tg=
b
a
 =arctgb
a 
Paso de forma polar a binómica:
a=r cos b=r sen
Forma trigonométrica:
z=abi=r cos r seni=rcosi sen
Producto de números complejos en forma polar:
r⋅r ''=r⋅r ''
Cociente de números complejos en forma polar:
r
r''
=r
r' −'
Potencias de números complejos:
rα 
n
=r⋅r⋅r⋅...r

n veces
=r ·r ·r ·...·r...=r
n
n
Fórmula de Moivre:
z
n
=r
n
=r
n
cos ni senn Si r =1, es muy útil
en trigonometría:
1
n
=cosi sen
n
=cosni sen n
Raíces de números complejos:
n
r=n
r360º k
n
Siendo k = 0, 1, 2,.., (n-1)
Los afijos de n
r son los
vértices de un polígono regular
de n lados inscrito en una cir-
cunferencia de radio n
r
Formula del binomio de Newton abin
=∑
k =0
n
n
k an−k
bik
r
r−
r