Este documento describe los números complejos, incluyendo su representación como suma de un número real y uno imaginario, y las operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división. Explica que los números complejos son herramientas importantes en álgebra, análisis y ramas aplicadas como electromagnetismo. También presenta formas de representar números complejos de manera binómica y polar, así como fórmulas para operaciones en estas formas.

1. NUMEROS
COMPLEJOS
OPERACIONES CON NUMEROS
COMPLEJOS
Oriana Hidalgo
CI.25020681
Ing. industrial

2. NUMEROS COMPLEJOS
• Los números complejos son una extensión de los números reales y
forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado. Los números
complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia
de los reales. Todo número complejo puede representarse como la
suma de un número real y un número imaginario (que es un
múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o
en forma polar.
• Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra,
análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas
como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitación de
cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y
electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los
números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en
muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica)
y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las
telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas
electromagnéticas y la corriente eléctrica.

3. La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando
las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Ejemplo: (5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i
OPERACIONES DE NUEMEROS COMPLEJOS
Multiplicación de números complejos
El producto de los números complejos se realiza aplicando
la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y
teniendo en cuenta que i2 = −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Ejemplo: (5 + 2 i) · (2 − 3 i) =
= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

4. División de números complejos
El cociente de números complejos se realiza multiplicando
numerador y denominador por el conjugado de este.
Ejemplo:

5. Un número complejo en forma biónica
Es a + bi.
El número a es la parte real del número complejo.
El número b es la parte imaginaria del número complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real, ya que a +
0i = a.
Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un
número imaginario puro.
El conjunto de los números complejos se designa por
Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.
Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma
componente real y la misma componente imaginaria.

6. Representación gráfica de números complejos
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X
se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se
representa:
1Por el punto (a,b), que se llama su afijo,

7. 2 Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).
Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X.
Y los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.

8. Operaciones de complejos en forma binómica
Suma de números complejos
La suma de números complejos se realiza sumando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Resta de números complejos
La diferencia de números complejos se realiza restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre
sí.
( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i
Multiplicación de números complejos
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto
respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =
=10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
División de números complejos
Para dividir números complejos en forma binómica se multiplica numerador y denominador por el
conjugado del denominador y se realizan las operaciones correspondientes.

9. Número complejo en forma polar
consta de dos componentes: módulo y argumento.
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de
coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.
Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real.
Se designa por arg(z).
.

10. Operaciones de complejos en forma polar
Multiplicación
La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es el producto de los módulos.
Su argumento es la suma de los argumentos.
645° · 315° = 1860°
Producto por un complejo de módulo 1
Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del
origen.
rα · 1β = rα + β

11. División
La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es el cociente de los módulos.
Su argumento es la diferencia de los argumentos.
645° : 315° = 230°
Potencias
La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la potencia n-ésima del módulo.
Su argumento es n veces el argumento dado.
(230°)4 = 16120°

12. La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para
cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para
cualquier entero n se verifica que:
Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad
imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como
cis x.
Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la
imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en
términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar
expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z
tal que zn = 1.
Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 este último escribió que ya
conocía dicha fórmula desde 1676.
TEOREMA DE MOIVRE