Este documento introduce los números complejos, incluyendo su representación gráfica y operaciones como suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces. Explica cómo pasar entre la forma binómica (a + bi) y la forma polar (r(cosθ + isenθ)), y cómo realizar operaciones en cada forma.

1. Jhuliza Nuñez
Los Números CompLejos

2. Temario
Introducción
Representación gráfica
Operaciones de números complejos
Forma polar
Pasar de forma polar a forma binómico
Pasar de forma binómico a forma polar
Multiplicación y división
Potencias y raíces

3. Introducción
 Toda expresión en la forma a + bi donde a y b son números reales e i es la
unidad imaginaria( ) recibe el nombre de Número Complejo. Se designan a los
números complejos con la letra Z ; así z = a + bi
 Se llama PARTE REAL a la primera componente “a”.
 Se llama PARTE IMAGINARIA a la segunda componente “b”.
 Si la parte real "a" es 0 se dice que el complejo 0 + bi es un Número Imaginario
Puro.
 Dos números complejos son iguales si lo son cada una de sus partes. a + bi = c +
di  a = c y b = d
 Dos números son conjugados cuando tienen la misma parte real y partes
imaginarias opuestas. Se representa con una raya sobre la Z. Ej: z = a + bi  = a
– bi
 Dos complejos son opuestos cuando lo son tanto la parte real como la
imaginaria. Ej: z = a + bi -z = -a –bi

4. Representación gráfica
Re. es la parte real y se
representa en el eje de las X.
Im. es la parte imaginaria y se
representa en el eje de las Y.
Z(a,b) es el punto del numero
complejo.
r es igual al modulo de z(a,b).

5. Operaciones
 Para sumar los números complejos se suman algebraicamente entre sí por
separado sus partes reales y sus partes imaginarias. Ej: Dados z1 = a1 + b1i y z2
= a2 + b2i
Z1 + Z2 = ( a1 + a2 ) + (b1 + b2)i
 Para restar cantidades complejas, se restan las partes reales entre sí y las partes
imaginarias entre sí. Ej: z1 - z2 =(x + yi) - (a + bi) =(x - a) - (y - b)i
 La multiplicación puede hacerse directamente observando que i2 = -1. Ej: (a +
bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
 Para dividir expresiones complejas, se expresa el cociente en forma de fracción
y se racionaliza el denominador de esta fracción, multiplicando ambos términos
de la fracción por la conjugada del denominador. Ej:
1
2 2 2
2 2
( ) ( )z a bi a bi c di ac bd ad bc i ac bd ad bc i
z c di c di c di c d z
+ + − + + − + + + − +
= = × = =
+ + − +

6. Pasar de polar a binómica
La forma trigonométrica de un número
complejo se establece observando el
triángulo amarillo.
Luego:
Por lo tanto: sin sin
cos cos
y
y r
r
x
x r
r

θ = ⇒ = θ

 θ = ⇒ = θ

( , ) cos sin (cos sin )z x y x yi r i r r i= = + = θ + θ = θ + θ

7. Pasar de binómica a polar
Para pasar un número complejo z = a + bi a forma polar z =
ra es suficiente con hallar el módulo |z| y el argumento a.
Llamaremos módulo del número complejo z, al número real
dado por y lo denotaremos por |z|.

8. Multiplicación y división
La multiplicación de dos números complejos en su forma
polar da como resultado un número complejo cuyo
módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo
argumento es igual a la suma de los argumentos.Ej: z x z
= (r x r)a + a
La division es igual que la multiplicacion pero cambiando
los simbolos de multiplicacion por el de division y el de
sumar por el de restar.

9. Potencias y raíces
Las potencias darán como resultado el modulo elevado a la
potencia y el argumento multiplicado por la potencia.
Las raíces es igual al numero de raíces que indica el radical.
El argumento es igual a : argumento + 360 x (el radical – 1)
y ÷ por el radical.

10. Potencias y raíces
Las potencias darán como resultado el modulo elevado a la
potencia y el argumento multiplicado por la potencia.
Las raíces es igual al numero de raíces que indica el radical.
El argumento es igual a : argumento + 360 x (el radical – 1)
y ÷ por el radical.