Numeros complejos

Tema 12
Corriente alterna
12.1 Producción de fem alternas sinusoidales
12.2 Valores medios y eficaces
12.3 Corriente alterna en elementos de circuito
12.4 Circuitos LCR. Impedancia
12.5 Notación fasorial
12.6 Potencia en corriente alterna
12.7 Resonancia. Factor de calidad
12.8 Transformadores
BIBLIOGRAFÍA
- Alonso; Finn. "Física ". Cap. 27. Addison-Wesley Iberoamericana.
- Edminister. “Circuitos eléctricos”. Cap. 8, 9 y 30.
McGraw-Hill
- Fraile Mora. “Electromagnetismo y circuitos
eléctricos”. E.T.S.I.T. Madrid.
- Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 31 McGraw-Hill.
- Halliday; Resnick. "Fundamentos de física". Cap. 39. CECSA.
- Roller; Blum. "Física". Cap. 39. Reverté.
- Serway. "Física". Cap. 33. McGraw-Hill.

12.1 Producción de fem alternas sinusoidales

Se dice que una corriente es alterna si cambia de sentido periódicamente.

Generador de Una espira que gira con velocidad angular constante
corriente alterna en el seno de un campo magnético uniforme

Φ B = B S cos θ
Dpto de Física Aplicada, Escuela Politécnica Superior de Albacete (UCLM)

Como θ = ω t + θo
Autores Mar Artigao Castillo, Manuel Sánchez Martínez

Φ B = B S cos(ω t + θo )

Tomando θo=π/2, para una Φ B = − N B S senω t
espira con N vueltas
dΦ B
Aplicando la ley de Faraday ε=− = N B Sω cos ω t
dt
ε = εo cos ω t Generador de corriente alterna

e VH
L
Representación gráfica

Generador de corriente alterna

4

H
L
2

T s
p 2p 3p
-2

-4 T

εo: Amplitud de la función Fuerza electromotriz máxima

T=2π/ω: Periodo de la fem Tiempo que tarda en recorrer un ciclo completo

f=1/T: Frecuencia Ciclos realizados por unidad de tiempo (Hz)

12.2 Valores medios y eficaces

Caracterización de una corriente utilizando valores medios
T
1
1
T
V =
∫
V dt
f =
T∫f dt
0
T
T
0
1
I =
T∫I dt

0

2π
Si V = Vo cos ωt con T =
ω

T
ω 1
∫ Vo [ senωt ] 0 π / ω = 0
2
V = Vo cosωt dt =
2π 2π Los valores medios no
0
dan información sobre las
corrientes alternas.
T
ω 1
∫ Io [ senωt ] 0 π / ω = 0
2
I = Io cosωt dt =
2π 2π
0

Caracterización de las corrientes alternas utilizando valores eficaces

Vef = V2
f ef = f2
Ief = I2

T 2π / ω
ω ω 2 cos 2ωt + 1 ω 2 1 2π V0 2 Vo
∫ ∫

V 2
= Vo cos 2ωt dt =
2
Vo dt = Vo = Vef =
2π 2π 2 2π 2 ω 2 2
0 0

T 2π / ω 2
ω 2 2 ω 2 cos 2ωt + 1 ω 2 1 2π I 0
∫ ∫

2
I = Iocos ωt dt = Io dt = Io = Io
2π 2π 2 2π 2 ω 2 Ief =
0 0 2

Los voltímetros y amperímetros están diseñados para medir valores eficaces de
la corriente o la tensión.

12.3 Corriente alterna en elementos de circuito
I. Corriente alterna en una resistencia
Para calcular la corriente en el circuito
aplicamos la L.K.V

ε=IR εo cos ωt = I R

εo I( t ) = Io cos ωt
I( t ) = cos ωt
R

La tensión aplicada y la corriente están en fase

V,I Circuito con R
10 V

5 I

wt
p 2p 3p
-5

-10

II. Corriente alterna en un condensador
aplicamos la L.K.V
q q
ε = Vc = εo cos ωt =
C C
q ( t ) = εoC cos ωt

dq ( t ) εo  π  π
I( t ) = = −εoCω senωt I( t ) = cos ωt +  = Io cos ωt + 
dt 1 / Cω  2  2
1

Donde Χ c = Reactancia capacitiva o capacitancia
Cω
V,I Circuito con C
10 V

En este caso, corriente y 5 I
voltaje están desfasados: la wt
corriente está adelantada π/2 p 2p 3p
respecto del voltaje -5

-10

III. Corriente alterna en una bobina
aplicamos la L.K.V
dI dI
ε−L =0 εo cos ωt = L
dt dt

εo
dI = cos ωt dt
L

εo  π  π
I( t ) = cos ωt −  = Io cos ωt − 
Lω  2  2

Donde Χ L = Lω Reactancia inductiva o inductancia
V,I Circuito con L
10 V

5 I
En este caso, corriente y
voltaje están desfasados: la wt
corriente está atrasada π/2 p 2p 3p
respecto del voltaje -5

-10

12.4 Circuitos LCR: Impedancia
Circuito LCR en serie q dI
εo cos ωt = +IR+L
C dt

Derivando con respecto al tiempo

I dI d 2I
− εoω senωt = + R + L 2
C dt dt

Esta ecuación es una ecuación diferencial,
I = Io cos(ωt − δ) Io , δ : constantes
con dos constantes de integración, cuya
solución se puede escribir de la forma

ΧL − ΧC
Ángulo de fase tg δ =
R ΧL − ΧC Reactancia total
εo εo
Corriente máxima Io = =
R 2 + ( ΧL − ΧC ) 2 Z
Z = R 2 + ( ΧL − ΧC ) 2 Impedancia

12.5 Notación fasorial
La relación entre corriente y voltaje en una bobina o en un condensador puede
representarse mediante vectores bidimensionales llamados fasores.

Podemos representar la caída de potencial en
una resistencia como un vector de módulo IoR,
que forma un ángulo θ con el eje X

El valor instantáneo de la caída de tensión es la
componente x del vector VR, que gira en sentido
antihorario con una velocidad ω.

Cualquier función A cos(ωt-δ), será la componente x
Uso de los fasores
de un fasor que forma un ángulo (ωt-δ) con el eje x


A cos(ωt-δ1) Fasor A ( A )
  
 C=A+B
B cos(ωt-δ2) Fasor B ( B)

Esta representación fasorial, la podemos llevar a cabo en el plano complejo

Im
Coordenadas cartesianas z = a + jb
b r
Coordenadas polares z = rθ
θ
a Re

r = a 2 + b2

Cartesianas a polares b
θ = arc tg
Cambio de a
coordenadas a = r cos θ
Polares a cartesianas
b = r senθ

Fórmula de Euler re± jθ = r cos θ ± jr senθ

ε

Circuito: ε, R, L, C. ε (t ) = ε max
cos ωt ω

RMK

Número
Ecuación Diferencial de 2º orden:
Fasor complejo

L
2
d I
+R
dI 1
+ I =
d ε
2
dt dt C dt Solución con dos
parámetros
Solución 1 Solución 2
C, impedancia

I (t ) = I cos(ω t − φ )
max
Ζ
φ

Z= Z
φ
Número Ohm
Fasor complejo

NO SI ε max
φ: Defasaje I max =
Z

Ley de Ohm
ε
I=
Z
CA=CC+C Valores eficaces
Enrique Arribas
Consuelo Gallardo

Representación compleja de elementos de corriente alterna

Vamos a reproducir las corrientes encontradas en circuitos de corriente alterna
utilizando el formalismo de los números complejos. Representaremos por ε e i
las tensiones y corrientes, teniendo en cuenta que las magnitudes de interés
físico serán Re(ε) y Re(i). Así, los circuitos de corriente alterna se pueden
resolver considerando la ley de Ohm con el formalismo de los números
complejos.

ε = εoe j(ωt + δ) ε = εo δ Re(ε) = εo cos(ωt + δ)
Fuente de tensión

Corriente y tensión están
Resistencia ZR = R
en fase.

j Corriente adelantada π/2
Condensador ZC = −
Cω respecto de la tensión.

ZL = jLω Corriente atrasada π/2
Inducción
respecto de la tensión.

I. Corriente alterna compleja en una resistencia

ε = ε o e j ωt Aplicando la ley de Ohm
ZR = R

ε ε ε
i= = o e j ωt I = Re(i) = o cos ωt
ZR R R

II. Corriente alterna compleja en un condensador

ε = ε o e jω t
j Aplicando la ley de Ohm
ZC = −
Cω

ε εo ε εo
i= = e jωt = o e j(ωt + π / 2) I = Re(i) = cos(ωt + π / 2)
Z C − j / Cω 1/ Cω 1/ Cω

III. Corriente alterna compleja en una bobina

ε = ε o e j ωt Aplicando la ley de Ohm
ZL = jLω

ε ε ε ε
I = Re(i) = o cos(ωt − π / 2)

i= = o e jωt = o e j(ωt − π / 2)
ZL jLω Lω Lω

Circuito LCR en serie
ε = ε o e jω t
1
ZT = R + j(Lω − ) = R + j( X L − X C )
Cω

ε εo
i= = e j ωt

ZT R + j(X L − X C )

ε εo
Multiplicando numerador y i= = e j(ωt − δ)

denominador por el conjugado, ZT R 2 + (X L − X C )2
se obtiene

εo
Io =
R 2 + (X L − X C )2
I = Re(i) = I o cos(ωt − δ)
X L − XC
tan δ =
R

Para una impedancia cualquiera y un circuito que no sea RCL en serie,
tendremos, suponiendo que el voltaje no tiene fase inicial, magnitudes del
tipo

v = Voe jωt
Z = Z e jδ

Para calcular la corriente compleja aplicamos la ley de Ohm de forma que,
operando con fasores podemos escribir

v Vo j(ωt −δ)
i= = e
Z Z

V
Io = o
V Z
Con lo cual I = Re(i) = o cos(ωt − δ)
Z
Im(Z)
tan δ =
Re( Z)

12.6 Potencia en corriente alterna

Potencia en una resistencia Como la resistencia no introduce diferencia de
fase entre corriente y voltaje, podemos escribir

Potencia instantánea P ( t ) = ε ( t ) I( t )
ε2
P( t ) = εo Io cos ωt cos ωt = o cos2 ωt

R

ε2 2
o cos2 ωt = εo 1
Potencia media P = P( t ) =

R R 2

ε2
Con valores eficaces P = ef = R I2
ef
R

La resistencia disipa energía en forma de calor por efecto Joule.

Potencia en un condensador
En un instante dado, la energía puede estar entrando o saliendo del
condensador, dependiendo si en ese momento se carga o se
descarga. Como la corriente oscila sinusoidalmente, la energía
promedio disipada en el condensador es cero.

ε2
P( t ) = εo Io cos ωt cos(ωt + π / 2) = − o cos ωt senωt
XC

ε2
Potencia media P = P( t ) = − o cos ωt senωt = 0
XC

Potencia en una bobina: Ocurre lo mismo que con el condensador, luego

ε2
P( t ) = εo Io cos ωt cos(ωt − π / 2) = o cos ωt senωt
XL

ε2
Potencia media P = P( t ) = o cos ωt senωt = 0
XL

Caso general
V = Vo cos ωt
Supongamos un circuito caracterizado por
I = Io cos(ωt − δ)

V Im(Z)
siendo Io = o tan δ =
Z Re( Z)

Potencia instantánea P ( t ) = V ( t ) I( t )

P( t ) = Vo Io cos ωt cos(ωt − δ)

Potencia media
P = P( t ) = Vo Io cos ωt cos(ωt - δ) = Vo Io cos2 ωt cos δ + Vo Io cos ωt senωt senδ

VI 0
P = P( t ) = o o cos δ
2

Con valores eficaces P = Vef Ief cos δ

v = Voe jωt
1 1
Potencia compleja i = Ioe j(ωt − δ) S = v i∗ = Vo Ioe jδ = Vef Ief (cos δ + j senδ)
2 2
Z = Z e jδ

Cada uno de los términos de esta potencia compleja tiene un significado

Potencia activa (se mide en Watios, W) P = Re(S) = Vef Ief cos δ

Potencia reactiva (se mide en Voltio·Amperio Q = Im(S) = Vef Ief senδ
reactivo, VAR)

Potencia aparente (se mide en Voltio·Amperio, VA) S = S = Vef Ief

Con estos tres términos se define el triángulo de potencias, de forma que

S S = P + jQ Factor de potencia
Q
δ P
P cos δ =
S

12.7 Resonancia. Factor de calidad

En un circuito RCL en serie, tanto la corriente máxima como la diferencia
de fase dependen de la frecuencia angular ω.

Frecuencia natural de oscilación
La frecuencia de la fuerza impulsora
εo (fem alterna) coincide con esta
Io =

2
2  1  frecuencia natural
R +  Lω − 
 Cω 
XL − XC
tan δ =

R Respuesta máxima del circuito

X L = XC 1
Io será máxima cuando ω= = ωo
LC Frecuencia de
resonancia
En este caso la impedancia
alcanza su valor mínimo y la Circuito en resonancia
corriente su valor más alto
δ vale cero y el factor de
potencia vale 1

Curvas de resonancia Representan la potencia media suministrada por
el generador al circuito en función de la
frecuencia del generador.

La potencia media es máxima cuando ω = ωo.
Cuando R es pequeña, la anchura de la curva
también lo es, mientras que se ensancha a
medida que R aumenta.

∆ω = Diferencia entre los
Anchura de dos puntos de la curva en
resonancia que la potencia es la

mitad de su valor máximo

Factor de calidad
ωo L
Q= Q alto implica curva de ωo
R Q=
resonancia estrecha ∆ω

12.8 Transformadores
Un transformador es un dispositivo utilizado para aumentar o disminuir el voltaje
en un circuito sin pérdida apreciable de potencia. Consta de dos bobinas
arrolladas sobre un núcleo de hierro.

dφ
V1 = N1
dt

El flujo que atraviesa cada espira en ambos
arrollamientos es el mismo, luego la tensión que
aparece en el secundario es
dφ
V2 = N 2

dt
Primario Secundario
Transformador N 2 > N1 ⇒ V2 > V1
Elevador
Comparando las N
V2 = 2 V1
dos ecuaciones N1
Transformador N 2 < N1 ⇒ V2 < V1
Reductor

Si colocamos una resistencia de carga en el secundario, aparecerá una
corriente I2 en fase con V2 y aparecerá un flujo adicional proporcional a N2 I2

Como el flujo en el primario debe tener el mismo ritmo de variación al estar
conectado a una fem externa, debe aparecer una corriente I1en el primario
de forma que
N1I1 = − N 2 I 2

Si no existen pérdidas, se debe cumplir que εef I1ef = V2 I 2ef

Transporte de energía eléctrica con
Uso de los transformadores pérdidas mínimas de energía por efecto
Joule utilizando alto voltaje y baja
corriente.

Ejemplo:
En Albacete, con una población de 100.000 habitantes, si suponemos
que cada uno consume una potencia media de 1.5 kW, se necesita
para cada persona una corriente
1500
P=VI I= =7A
220

La corriente total necesaria para Albacete sería de 700.000 A, para lo

cual se necesitarían gruesos cilindros de cobre con grandes pérdidas.

Si se utilizan transformadores de alta (elevadores) para transportar la potencia, la

corriente necesaria se reduce a
220
εef I1ef = V2 I 2ef I 2ef = 700.000 = 250 A
600.000

Dentro de la ciudad se sitúan transformadores que reducen el valor del voltaje
hasta 10.000 V, por ejemplo. Cerca de las casa se sitúan nuevos
transformadores que reducen el voltaje de nuevo hasta 220 V. Debido a esta
facilidad para aumentar o reducir el voltaje de la corriente alterna, se utiliza este
tipo de corriente y no la corriente continua.

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