El vídeo tutorial abordan un problema de optimización para determinar la cantidad óptima de árboles que un agricultor debe plantar en su finca para maximizar la producción de frutos. Se establece que, al plantar 8 árboles adicionales a los 24 iniciales, la producción total alcanza 15,360 frutos. La función de producción se maximiza al encontrar el número total de árboles necesario, que resulta ser 32.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: optimización
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Obtener la ecuación que liga las incógnitas en un problema de optimización.
- Calcular la función que debemos de optimizar.
- Estudiar los extremos relativos de la función.
- A partir de los extremos relativos de la función, determinar el valor óptimo que
resuelve el problema.

2. ENUNCIADO:
Un agricultor hace un estudio para plantar árboles en una finca. Sabe que si planta 24 árboles
la producción media de cada uno de ellos será de 600 frutos. Estima que por cada árbol
adicional plantado la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos.
a) ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la
producción sea máxima?
b) ¿Cuál es esa producción?
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3. En primer lugar vamos a denotar por x al número de árboles que se plantan adicionales a 24.
Nos indica el enunciado que por cara árbol adicional la producción disminuye en 15 frutos, por lo tanto si se plantan x
árboles adicionales la producción de cada árbol será 600-15x
Entonces tenemos que la función de producción total vendrá dada por
𝑓 𝑥 = 24 + 𝑥 600 − 15𝑥
El problema nos pregunta por el número de árbol adicionales que han de plantarse para que la producción sea máxima, por
tanto debemos buscar el máximo de la función anterior.
Debemos calcular la derivada y hallar los puntos críticos, es decir, los puntos que anulan a la primera derivada.
𝑓´ 𝑥 = 600 − 15𝑥 − 15 · 24 + 𝑥 = 600 − 15𝑥 − 360 − 15𝑥 = 240 − 30𝑥
De ésta forma al igualar a cero tenemos:
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4. 240 − 30𝑥 = 0 𝑥 = 8
Vamos a estudiar a continuación si el punto crítico obtenido es un máximo o un mínimo, para ello hallaremos la segunda
derivada y estudiaremos el signo de la segunda derivada en este punto. (Recordemos que también podemos estudiar si
existe un cambio de signo en la primera derivada)
𝑓´´ 𝑥 = −30
Por lo tanto tenemos que
𝑓´´ 8 < 0 𝑥 = 8 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
Por lo tanto la función f tiene un máximo relativo en x=8.
En consecuencia se deben de plantar 8 árboles adicionales (En total habrá 8+24=32 árboles), y el beneficio máximo que se
obtendrá será de 600 − 15 · 8 = 480 frutos por árbol de media, es decir un total de 32 · 480 = 15360 frutos.
Vamos a responder a las cuestiones que se plantean:
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5. a) ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima?
Según el razonamiento realizado anteriormente el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción
sea máxima es de 32 árboles.
a) ¿Cuál es esa producción?
La producción total será de 15360 frutos.
FIN
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